Условные обозначения нечетких и лингвистических переменных. Лингвистические переменные

28.04.2019

С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику"

1.7. Нечеткая логика

Нечеткая логика это обобщение традиционной аристотелевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: "очень истинно", "более-менее истинно", "не очень ложно" и т.п. Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами.

1.7.1. Лингвистические переменные

Напомним, что лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терм-множеством. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет"; "гармоничный вкус" и т.п. Психологи установили, что в человеческом мозге почти вся числовая информация вербально перекодируется и хранится в виде лингвистических термов. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально, лингвистическая переменная определяется следующим образом.

Определение 44. Лингвистическая переменная задается пятеркой , где - ; имя переменной; - ; терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве ; - ; синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; - ; семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами .

Пример 9. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку можно определить так:

Таблица 4 - Правила расчета функций принадлежности

Графики функций принадлежности термов "холодно", "не очень холодно", "комфортно", "более-менее комфортно", "жарко" и "очень жарко" лингвистической переменной "температура в комнате" показаны на рис. 13.

Рисунок 13 - Лингвистическая переменная "температура в комнате"

1.7.2. Нечеткая истинность

Особое место в нечеткой логике занимает лингвистическая переменная "истинность". В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность "размытая". Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разные авторы делают это по-разному. Интервал используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной "истинность". Обычная, четкая истинность может быть представлена нечеткими множествами-синглтонами. В этом случае четкому понятию истинно будет соответствовать функция принадлежности , а четкому понятию ложно - ; , .

Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":

;

где - ; параметр, определяющий носители нечетких множеств "истинно" и "ложно". Для нечеткого множества "истинно" носителем будет интервал , а для нечеткого множества ложно" - ; .

Функции принадлежности нечетких термов "истинно" и "ложно" изображены на рис. 14. Они построены при значении параметра . Как видно, графики функций принадлежности термов "истинно" и "ложно" представляют собой зеркальные отображения.

Рисунок 14 - Лингвистическая переменная "истинность" по Заде

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":

Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так:

Графики функций принадлежности этих термов показаны на рис. 15.

Рисунок 15 - Лингвистическая переменная "истинность" по Балдвину

1.7.3. Нечеткие логические операции

Вначале кратко напомнить основные положения обычной (булевой) логики. Рассмотрим два утверждения A и B, каждое из которых может быть истинным или ложным, т.е. принимать значения "1" или "0". Для этих двух утверждений всего существует различных логических операций, из которых содержательно интерпретируются лишь пять: И (), ИЛИ (), исключающее ИЛИ (), импликация () и эквивалентность (). Таблицы истинности для этих операций приведены в табл. 5.

Таблица 5 - Таблицы истинности булевой логики

Предположим, что логическое утверждение может принимать не два значения истинности, а три, например: "истинно", "ложно" и "неопределенно". В этом случае мы будем иметь дело не с двухзначной, а трехзначной логикой. Общее количество бинарных операций, а, следовательно, и таблиц истинности, в трехзначной логике равно . Нечеткая логика является разновидностью многозначной логики, в которой значения истинности задаются лингвистическими переменными или термами лингвистической переменной "истинность". Правила выполнения нечетких логических операций получают из булевых логических операций с помощью принципа обобщения.

Определение 45. Обозначим нечеткие логические переменные через и , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных через и , . Нечеткие логические операции И (), ИЛИ (),
НЕ () и импликация () выполняются по таким правилам:

;

В многозначной логике логические операции могут быть заданы таблицами истинности. В нечеткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечным, следовательно в общем виде табличное представление логических операций невозможно. Однако, в табличной форме можно представить нечеткие логические операции для ограниченного количества истинностных значений, например, для терм-множества {"истинно", "очень истинно", "не истинно", "более-менее ложно", "ложно"}. Для трехзначной логики с нечеткими значениями истинности T - ; "истинно", F - ; "ложно" и T+F - "неизвестно" Л Заде предложил такие лингвистические таблицы истинности:

Применяя правила выполнения нечетких логических операций из определения 45 можно расширить таблицы истинности для большего количества термов. Как это сделать рассмотрим на следующем примере.

Пример 10. Заданы следующие нечеткие истинностные значения:

Применяя правило из определения 45, найдем нечеткую истинность выражения "почти истинно ИЛИ истинно":

Сравним полученное нечеткое множество с нечетким множеством "более-менее истинно". Они почти равны, значит:

В результате выполнения логических операций часто получается нечеткое множество, которое не эквивалентно ни одному из ранее введенных нечетких значений истинности. В этом случае необходимо среди нечетких значений истинности найти такое, которое соответствует результату выполнения нечеткой логической операции в максимальной степени. Другими словами, необходимо провести так называемую лингвистическую аппроксимацию , которая может рассматриваться как аналог аппроксимации эмпирического статистическими распределения стандартными функциями распределения случайных величин. В качестве примера приведем предложенные Балдвином лингвистические таблицы истинности для показанных на рис. 15 нечетких значений истинности:





неопределенно			неопределенно
неопределенно		неопределенно
неопределенно	неопределенно	неопределенно	неопределенно
	очень истинно		очень истинно
	более-менее истинно	более-менее истинно

1.7.3. Нечеткая база знаний

Определение 46. Нечеткой базой знаний называется совокупность нечетких правил "Если - то", определяющих взаимосвязь между входами и выходами исследуемого объекта. Обобщенный формат нечетких правил такой:

Если посылка правила, то заключение правила.

Посылка правила или антецедент представляет собой утверждение типа "x есть низкий", где "низкий" - ;это терм (лингвистическое значение), заданный нечетким множеством на универсальном множестве лингвистической переменной x. Квантификаторы "очень", "более-менее", "не", "почти" и т.п. могут использоваться для модификации термов антецедента.

Заключение или следствие правила представляет собой утверждение типа "y есть d", в котором значение выходной переменной (d) может задаваться:

нечетким термом: "y есть высокий";
классом решений: "y есть бронхит"
четкой константой: "y=5";
четкой функцией от входных переменных: "y=5+4*x".

Если значение выходной переменной в правиле задано нечетким множеством, тогда правило может быть представлено нечетким отношением. Для нечеткого правила "Если x есть , то y есть ", нечеткое отношение задается на декартовом произведении , где - ; универсальное множество входной (выходной) переменной. Для расчета нечеткого отношения можно применять нечеткую импликацию и t-норму. При использовании в качестве t-нормы операции нахождения минимума, расчет нечеткого отношения осуществляется так:

Пример 11. Следующая нечеткая база знаний описывает зависимость между возрастом водителя (x) и возможностью дорожно-транспортного происшествия (y):

Если x = Молодой, то y = Высокая;

Если x = Средний, то y = Низкая;

Если x = Очень старый, то y = Высокая.

Пусть функции принадлежностей термов имеют вид, показанный на рис. 16. Тогда нечеткие отношения, соответствующие правилам базы знаний, будут такими, как на рис. 17.

Рисунок 16 - Функции принадлежности термов

Рисунок 17 - Нечеткие отношения, соответствующие правилам базы знаний из примера 11

Для задания многомерных зависимостей "входы-выходы" используют нечеткие логические операции И и ИЛИ. Удобно правила формулировать так, чтобы внутри каждого правил переменные объединялись логической операцией И, а правила в базе знаний связывались операцией ИЛИ. В этом случае нечеткую базу знаний, связывающую входы с выходом , можно представить в следующем виде.

При неформальном обсуждении понятия лингвистической переменной в §1 мы сформулировали, что лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, представляющее собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное красивый отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества, представляющего собой ограничение, обусловленное нечеткой переменной красивый . С этой точки зрения термины очень красивый , некрасивый , чрезвычайно красивый , вполне красивый и т. д. - названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов очень , не , чрезвычайно , вполне и т. п. на нечеткое множество красивый . В сущности эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством красивый играют роль значений лингвистической переменной Внешность .

Важным аспектом понятия лингвистической переменной является то, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной Возраст могут быть: молодой, немолодой, старый, очень старый, немолодой и не старый, вполне старый и т. п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если - название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной . Так, если ограничение, обусловленное нечеткой переменной старый , представляет собой нечеткое подмножество множества вида

, , (5.1)

Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной соответствуют два правила: (1) синтаксическое правило, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей названия значений переменной; (2) семантическое правило, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения. Эти правила составляют существенную часть описания структуры лингвистической переменной.

Рис. 5.1. Функции совместимости для значений и.

Поскольку лингвистическая переменная - переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, то и ее описание должно быть сложнее данного в определении 4.1 описания нечеткой переменной.

Определение 5.1. Лингвистическая переменная характеризуется набором , в котором - название переменной; (или просто ) обозначает терм-множество переменной , т. е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ; - синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее названия значений переменной , а – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т. е. нечеткое подмножество универсального множества . Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных термов, называется составным термом. Конкатенация некоторых компонент составного терма является подтермом. Если - термы в , то можно представить в виде объединения

(5.2)

При необходимости явно указать на то, что был порожден грамматикой , будем писать .

Смысл терма определяется как ограничение на базовую переменную , обусловленное нечеткой переменной :

, (5.3)

имея в виду, что и, следовательно, можно рассматривать как нечеткое подмножество множества , имеющее название . Связь между ее лингвистическим значением и базовой переменной иллюстрируется на рис. 1.3.

Замечание 5.2. Для того чтобы избежать большого количества символов, целесообразно присваивать несколько значений некоторым символам, встречающимся в определении 5.1, полагаясь при этом на контекст для разрешения возможных неопределенностей. В частности:

а) Символ мы будем часто использовать для обозначения как названия самой переменной, так и общего названия ее значений. Аналогично, будет обозначать как общее название значений переменной, так и название самой переменной.

б) Будем пользоваться одним и тем же символом для обозначения множества и его названия. Так, символы ,и будут взаимозаменяемыми, хотя, строго говоря, как название (или ) не то же самое, что нечеткое множество . Другими словами, когда мы говорим, что терм (например, молодой) есть значение переменной (например, Возраст ), то имеем в виду, что действительное значение есть , а - просто название этого значения.

Пример 5.3. Возраст , т. е. , и пусть . Лингвистическим значением переменной Возраст может быть, например, старый , причем значение старый является атомарным термом. Другим значением может быть очень старый , т. е. составной терм, в котором старый - атомарный терм, а очень и старый - подтермы.

Значение более или менее молодой переменной Возраст - составной терм, в котором терм молодой - атомарный, а более или менее - подтерм. Терм-множество переменной Возраст можно записать следующим образом:

(5.4)

Здесь каждый терм является названием нечеткой переменной в универсальном множестве . Ограничение, обусловленное термом, скажем , есть смысл лингвистического значения старый . Таким образом, если определяется согласно (5.1), то смысл лингвистического значения старый определяется выражением

, (5.5)

или проще (см. замечание 5.2)

. (5.6)

Аналогичным образом смысл такого лингвистического значения, как очень старый , можно выразить так (см. рис. 5.1):

Уравнение назначения в случае лингвистической переменной принимает вид

откуда следует, что смысл, назначенный терму , выражается равенством

Другими словами, смысл терма получается путем применения семантического правила к значению терма , назначенному согласно правой части уравнения (5.8). Более того, из определения (5.3) следует, что идентично ограничению, обусловленному термом .

Замечание 5.4. В соответствии с замечанием 5.2(а) уравнение назначения будет обычно записываться в виде

, (5.10)

понимая это так, что старый - ограничение на значения базовой переменной , определяемое (5.1), - назначается лингвистической переменной Возраст . Важно отметить, что знак равенства в (5.10) не обозначает симметрического отношения, как в случае арифметического равенства. Так, бессмысленно записывать (5.11) в виде

Чтобы проиллюстрировать понятие лингвистической переменной, мы рассмотрим сначала очень простой пример, в котором содержит лишь небольшое число термов, а синтаксическое и семантическое правила тривиальны.

Пример 5.5. Рассмотрим лингвистическую переменную Число , конечное терм-множество которой имеет вид

где каждый терм представляет собой ограничение на значения базовой переменной в универсальном множестве

Предполагается, что эти ограничения - нечеткие подмножества множества и определяются они следующим образом:

, (5.15) с бинарным ограничением приближенно равны.

Чтобы назначить значение, скажем, приближенно равны лингвистической переменной , мы напишем

где, как и в (5.18), имеется в виду, что в качестве значения переменной назначается бинарное нечеткое отношение приближенно равны , являющееся бинарным ограничением на значения базовой переменной в универсальном множестве (5.20).

Рис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменной

Замечание 5.7. Используя аналогию с саквояжем (см. замечание 4.3), лингвистическую переменную в смысле определения 5.1 можно уподобить жесткому саквояжу, в который можно помещать мягкие саквояжи, как показано на рис. 5.2. Мягкий саквояж соответствует нечеткой переменной, которая является лингвистическим значением переменной , а играет роль ярлыка на мягком саквояже.

Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода.

(Конспект)

В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множества могут иметь различные степени вырожденности этого свойства и, следовательно, различную степень принадлежности этому свойству.

Пусть U некоторое множество. Нечетким множеством Ã в U называется совокупность пар вида {(µ Ã (u), u)}, где u U, µ Ã .

Значение µ Ã называется степенью принадлежности объекта к нечеткому множеству U.

µ Ã : U 

µ Ã – называется функцией принадлежности.

Пример нечетких множеств – возраст людей (рис. 19.1).

По аналогии с традиционной теорией множеств в Теории НМ определяются следующие операции:

Объединение:

, где

Перечисление:

Дополнение:

Алгебраическое произведение:

, где

n-арным нечетким отношением определенным на множествах называется нечеткое подмножество декартовых произведений

Так как нечеткое отношение является множеством для него справедливы все операции определенные для нечетких множеств. В практических приложениях теории нечетких множеств важную роль играет операция композиции нечетких отношений.

Композиция нечетких отношений

Пусть заданы 2 двухместных нечетких отношения:

Композиция нечетких отношений определяется следующим выражением:

Степени принадлежности конкретных выражений

Лингвистическая переменная - - это пятерка Х – имя переменной (возраст), U – базовое множество (0…150), Т(х) – терм множества. Множества лингвистических значений(молодой, средних лет, пожилой, старый). Каждое лингвистическое значение является меткой нечеткого множества определенного на U. G – синтаксическое правило, порождающее лингвистическое значение переменной Х (очень молодой, очень старый). М – семантическое правило ставящее в соответствие каждому лингвистическому значению нечеткое подмножество базового множества, то есть функция принадлежности.

Нечетким высказыванием называется утверждение относительно которого в данный момент времени можно судить о степени его истинности или ложности. Истинность принимает значение в интервале . Нечеткое высказывание не допускающее разделения на более простые называется элементарным.

Нечеткое высказывание построенное на элементарных с использованием логических связок называется составным нечетким высказыванием. Логическим связкам соответствуют операции над истинностью нечетких высказываний. - степени истинности конкретных высказываний.

Таким образом алгебра нечетких множеств изоморфна алгебре нечетких высказываний.

4) операция импликации

Для операции импликации в нечеткой логике предложено несколько определений. Основные:

5) Эквивалентность

n-местным нечетким предикатом, определенным на множествах U 1 , U 2 ,…,U n называется выражение содержащее предметные переменные данных множеств и превращающиеся в нечеткие высказывания при замене предметных переменных элементами множеств U 1 , U 2 ,…,U n .

Пусть U 1 , U 2 ,…,U n базовые множества лингвистических переменных, а в качестве символов предметных переменных выступают иена лингвистических переменных. Тогда примерами нечетких предикатов являются:

«давление в цилиндре низкое» - одноместный предикат

«температура в котле значительно выше температуры в теплообменнике» - двуместных предикат.

Если U k =1,5 следовательно «давление в котле низкое» = 0,7

При построении и реализации нечетких алгоритмов важную роль играет композиционное правило вывода.

Пусть - нечеткое отображение

Нечеткое подмножество универсума U, тогда порождает в V нечеткое подмножество

композиционное правило вывода является основой при построении логического вывода в нечеткой логике.

Пусть задано нечеткое высказывание  , где и – нечеткие множества. Пусть также того задано некоторое высказывание (близкое к А, но не тождественное ему).

В классической логике широко используется правило вывода Modus Ponens

Это правило обобщается на случай нечеткой логики следующим образом:

Пусть множество и определены на базовом множестве Х, а и на базовом множестве Y. Естественно считать, что высказывание если задает некоторое нечеткое отображение из множества Х в Y

Тогда в соответствии с композиционным правилом вывода имеем:

Отношение строится на основе определения операции импликации в нечеткой логики.

Если температура в котле низкая (), то подогрев повышенный ()

Реальные нечеткие логические алгоритмы содержат не одно, а множество продукционных правил

Если S 1 , то R 1 , иначе

Если S n , то R n , иначе

Поэтому нечеткие отношения должны быть построены для каждого отдельного правила, а затем агрегированы путем наложения друг на друга

В качестве агрегирующей операции выбирается или min или max в зависимости от типа импликации.

Когда нечеткий вывод используется в контуре управления реальным объектом, на объект должно выдаваться четкое управляющее воздействие. Поэтому необходимо преобразовать нечеткое множество, формируемое на основе композиционного правила вывода, в четкое значение. Эта процедура называется процедурой дефаззификации. Чаще используется 2 способа дефаззификации:

1) Середина «плато»

2) Центр тяжести, определяется точка которая делит площадь нечеткого множества пополам.

Пример 9. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку можно определить так:

Таблица 4 - Правила расчета функций принадлежности

Рисунок 13 - Лингвистическая переменная "температура в комнате"

Нечеткая истинность

Для задания нечеткой истинности Заде предложил такие функции принадлежности термов "истинно" и "ложно":

;

Рисунок 14 - Лингвистическая переменная "истинность" по Заде

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":

Из естественного или искусственного языка . Например, лингвистическая переменная «скорость» может иметь значения «высокая», «средняя», «очень низкая» и т. д. Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством .

Математическое определение

Лингвистической переменной называется пятерка $\{ x, T(x), X, G, M \}$ , где $x$ - имя переменной; $T(x)$ - некоторое множество значений лингвистической переменной $x$ , каждое из которых является нечеткой переменной на множестве $X$ ; $G$ есть синтаксическое правило для образования имен новых значений $x$ ; $M$ есть семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое имя, образованное процедурой $G$ , в нечеткую переменную (задать вид функции принадлежности), ассоциирует имя с его значением, понятием.

$T(x)$ также называют базовым терм-множеством, поскольку оно задает минимальное количество значений, на основании которых при помощи правил $G$ и $M$ можно сформировать остальные допустимые значения лингвистической переменной. Множество $T(x)$ и новые образованные при помощи $G$ и $M$ значения лингвистической переменной образуют расширенное терм-множество.

Пример: нечёткий возраст

Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда:

$x$ : «возраст»;
$X$ : множество целых чисел из интервала ;
$T(x)$ : значения «молодой», «зрелый», «старый». множество $T(x)$ - множество нечетких переменных, для каждого значения: «молодой», «зрелый», «старый», необходимо задать функцию принадлежности , которая задает информацию о том, людей какого возраста считать молодыми, зрелыми, старыми;
$G$ : «очень», «не очень». Такие добавки позволяют образовывать новые значения: «очень молодой», «не очень старый» и пр.
$M$ : математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения образованного при помощи правила $G$ .

Напишите отзыв о статье "Лингвистическая переменная"

Отрывок, характеризующий Лингвистическая переменная

Граф опять пошел за перегородку и лег. Графиня подошла к Наташе, дотронулась перевернутой рукой до ее головы, как это она делала, когда дочь ее бывала больна, потом дотронулась до ее лба губами, как бы для того, чтобы узнать, есть ли жар, и поцеловала ее.
– Ты озябла. Ты вся дрожишь. Ты бы ложилась, – сказала она.
– Ложиться? Да, хорошо, я лягу. Я сейчас лягу, – сказала Наташа.
С тех пор как Наташе в нынешнее утро сказали о том, что князь Андрей тяжело ранен и едет с ними, она только в первую минуту много спрашивала о том, куда? как? опасно ли он ранен? и можно ли ей видеть его? Но после того как ей сказали, что видеть его ей нельзя, что он ранен тяжело, но что жизнь его не в опасности, она, очевидно, не поверив тому, что ей говорили, но убедившись, что сколько бы она ни говорила, ей будут отвечать одно и то же, перестала спрашивать и говорить. Всю дорогу с большими глазами, которые так знала и которых выражения так боялась графиня, Наташа сидела неподвижно в углу кареты и так же сидела теперь на лавке, на которую села. Что то она задумывала, что то она решала или уже решила в своем уме теперь, – это знала графиня, но что это такое было, она не знала, и это то страшило и мучило ее.
– Наташа, разденься, голубушка, ложись на мою постель. (Только графине одной была постелена постель на кровати; m me Schoss и обе барышни должны были спать на полу на сене.)
– Нет, мама, я лягу тут, на полу, – сердито сказала Наташа, подошла к окну и отворила его. Стон адъютанта из открытого окна послышался явственнее. Она высунула голову в сырой воздух ночи, и графиня видела, как тонкие плечи ее тряслись от рыданий и бились о раму. Наташа знала, что стонал не князь Андрей. Она знала, что князь Андрей лежал в той же связи, где они были, в другой избе через сени; но этот страшный неумолкавший стон заставил зарыдать ее. Графиня переглянулась с Соней.
– Ложись, голубушка, ложись, мой дружок, – сказала графиня, слегка дотрогиваясь рукой до плеча Наташи. – Ну, ложись же.
– Ах, да… Я сейчас, сейчас лягу, – сказала Наташа, поспешно раздеваясь и обрывая завязки юбок. Скинув платье и надев кофту, она, подвернув ноги, села на приготовленную на полу постель и, перекинув через плечо наперед свою недлинную тонкую косу, стала переплетать ее. Тонкие длинные привычные пальцы быстро, ловко разбирали, плели, завязывали косу. Голова Наташи привычным жестом поворачивалась то в одну, то в другую сторону, но глаза, лихорадочно открытые, неподвижно смотрели прямо. Когда ночной костюм был окончен, Наташа тихо опустилась на простыню, постланную на сено с края от двери.