تحديد رتبة المصفوفة

خذ بعين الاعتبار مصفوفة \(A\) من النوع \((m,n)\). دع، للتحديد، \(m \leq n\). لنأخذ صفوف \(m\) ونختار \(m\) أعمدة المصفوفة \(A\)، عند تقاطع هذه الصفوف والأعمدة نحصل على مصفوفة مربعة من الترتيب \(m\)، محددها يسمى أمر بسيط \(م\) المصفوفات \(أ\). إذا كان هذا القاصر يختلف عن 0، فإنه يسمى قاصر الأساسية ويقولون أن رتبة المصفوفة \(A\) تساوي \(m\). إذا كان هذا المحدد يساوي 0، فسيتم اختيار أعمدة \(m\) أخرى، عند تقاطعها هناك عناصر تشكل ثانوية أخرى من الترتيب \(m\). إذا كان القاصر 0، نواصل الإجراء. إذا لم يكن هناك أي أصفار من بين جميع العناصر الثانوية المحتملة من الرتبة \(m\) فإننا نختار \(m-1\) صفوف وأعمدة من المصفوفة \(A\) وعند تقاطعها مصفوفة مربعة من الرتبة \(m- 1\) ، ويسمى محدده رتبة ثانوية \(m-1\) للمصفوفة الأصلية. لمواصلة الإجراء، نبحث عن قاصر غير صفري، ونمر عبر جميع القاصرين المحتملين، ونخفض ترتيبهم.

تعريف.

يُطلق على المصفوفة الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينة من الدرجة الأعلى قاصر الأساسية من المصفوفة الأصلية، يسمى ترتيبها رتبة تسمى المصفوفات \(A\) والصفوف والأعمدة، التي يوجد عند تقاطعها قاعدة ثانوية، صفوف وأعمدة أساسية. يُشار إلى رتبة المصفوفة بالرمز \(rang(A)\).

من هذا التعريف اتبع خصائص بسيطة لرتبة المصفوفة: فهي عدد صحيح، ورتبة المصفوفة غير الصفرية تلبي المتباينات: \(1 \leq rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

كيف ستتغير رتبة المصفوفة إذا تم حذف الصف؟ إضافة بعض الخط؟

تحقق من الجواب

1) قد ينخفض ​​الترتيب بمقدار 1.

2) يمكن زيادة الرتبة بمقدار 1.

الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأعمدة المصفوفة

اجعل \(A\) مصفوفة من النوع \((m,n)\). خذ بعين الاعتبار أعمدة المصفوفة \(A\) - هذه أعمدة مكونة من أرقام \(m\) لكل منها. دعنا نشير إليهم \(A_1,A_2,...,A_n\). دع \(c_1,c_2,...,c_n\) عبارة عن بعض الأرقام.

تعريف.

العمود \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] يسمى مجموعة خطية من الأعمدة \(A_1,A_2,...,A_n\)، أرقام \( c_1,c_2 ,...,c_n\) تسمى معاملات هذه المجموعة الخطية.

تعريف.

دع الأعمدة \(p\) \(A_1, A_2, ..., A_p\) تعطى. إذا كان هناك أرقام \(c_1,c_2,...,c_p\) هكذا

1. ليست كل هذه الأرقام تساوي الصفر،

2. التركيبة الخطية \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) تساوي عمود الصفر (أي عمود جميع عناصره أصفار)، فنقول أن الأعمدة \( A_1، A_2، ...، A_p\) تعتمد خطيًا. إذا كانت هذه الأرقام \(c_1,c_2,...,c_n\) غير موجودة لمجموعة معينة من الأعمدة، فستسمى الأعمدة مستقلة خطيًا.

مثال. خذ بعين الاعتبار عمودين

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right)، A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)، \] ثم بالنسبة لأي أرقام \(c_1,c_2\) لدينا: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

هذه التركيبة الخطية تساوي عمود الصفر إذا وفقط إذا كان كلا الرقمين \(c_1,c_2\) يساوي الصفر. وبالتالي، فإن هذه الأعمدة مستقلة خطيا.

إفادة. لكي تكون الأعمدة معتمدة خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحدها عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

دع الأعمدة \(A_1,A_2,...,A_m\) تكون تابعة خطيًا، أي. بالنسبة لبعض الثوابت \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\)، والتي لا تساوي جميعها 0، فإن ما يلي ينطبق على: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (على الجانب الأيمن يوجد عمود الصفر). لنفترض على سبيل المثال \(\lambda _1 \neq 0\). ثم \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] أي. العمود الأول عبارة عن مزيج خطي من الآخرين.

أساس النظرية الثانوية

نظرية.

بالنسبة لأي مصفوفة غير الصفر \(A\) يكون ما يلي صحيحًا:

1. الأعمدة الأساسية مستقلة خطيًا.

2. أي عمود مصفوفة هو عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة الأساس الخاصة به.

(وينطبق الشيء نفسه على السلاسل).

لنفترض، من أجل التحديد، \((m,n)\) هو نوع المصفوفة \(A\)، \(rang(A)=r \leq n\) ويقع الأساس الثانوي في \(r) الأول \) مصفوفات الصفوف والأعمدة \(A\). دع \(s\) يكون أي رقم بين 1 و \(m\)، \(k\) يكون أي رقم بين 1 و \(n\). خذ بعين الاعتبار نموذجًا صغيرًا من النموذج التالي: \[ D=\left| \begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| ، \] أي. لقد قمنا بتعيين العمود \(s-\)الصف \(k-\)th إلى الأساس الثانوي. من خلال تعريف رتبة المصفوفة، فإن هذا المحدد يساوي الصفر (إذا اخترنا \(s\leq r\) أو \(k \leq r\)، فإن هذا المحدد الصغير لديه عمودين متطابقين أو صفين متطابقين، إذا \(s>r\) و \(k>r\) - حسب تعريف الرتبة، يصبح الحجم الصغير الأكبر من \(r\) صفرًا). لنوسع هذا المحدد على طول السطر الأخير، نحصل على: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) أ_(كانساس)=0. \رباعية \رباعية(16) \]

هنا الأرقام \(A_(kp)\) هي المكملات الجبرية للعناصر من الصف السفلي \(D\). قيمها لا تعتمد على \(ك\)، لأن يتم تشكيلها باستخدام عناصر من الأسطر \(r\) الأولى. في هذه الحالة، القيمة \(A_(ks)\) هي قيمة ثانوية أساسية، تختلف عن 0. دعنا نشير إلى \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). دعونا نعيد كتابة (16) بترميز جديد: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] أو بالقسمة على \(c_s\)، \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr)، \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] هذه المساواة صالحة لأي قيمة \(k\)، لذلك \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r)، \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(السيد). \] إذن، العمود \(s-\)th هو مزيج خطي من الأعمدة \(r\) الأولى. تم إثبات النظرية.

تعليق.

ويترتب على النظرية الثانوية الأساسية أن رتبة المصفوفة تساوي عدد أعمدتها المستقلة خطيًا (وهو ما يساوي عدد الصفوف المستقلة خطيًا).

النتيجة الطبيعية 1.

إذا كان المحدد صفرًا، فهذا يعني أنه يحتوي على عمود عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

النتيجة الطبيعية 2.

إذا كانت رتبة المصفوفة أقل من عدد الأعمدة، فإن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيا.

حساب رتبة المصفوفة وإيجاد الأساس الثانوي

بعض تحويلات المصفوفة لا تغير رتبتها. يمكن تسمية هذه التحولات بالابتدائية. يمكن التحقق من الحقائق المقابلة بسهولة باستخدام خصائص المحددات وتحديد رتبة المصفوفة.

1. إعادة ترتيب الأعمدة.

2. ضرب عناصر أي عمود بمعامل غير الصفر.

3. إضافة أي عمود آخر إلى عمود مضروبا في رقم عشوائي.

4. شطب عمود الصفر.

وينطبق الشيء نفسه على السلاسل.

باستخدام هذه التحويلات، يمكن تحويل المصفوفة إلى ما يسمى بالشكل "شبه المنحرف" - مصفوفة تحتوي على أصفار فقط تحت القطر الرئيسي. بالنسبة للمصفوفة "شبه المنحرفة"، فإن الرتبة هي عدد العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي، والأساس الصغير هو الصغير الذي يتطابق قطره مع مجموعة العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي للمصفوفة المحولة.

مثال. النظر في المصفوفة

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(صفيف) \يمين). \] سنقوم بتحويله باستخدام التحويلات المذكورة أعلاه. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right). \]

هنا نقوم بالخطوات التالية بالتتابع: 1) إعادة ترتيب السطر الثاني إلى الأعلى، 2) طرح السطر الأول من الباقي بعامل مناسب، 3) طرح السطر الثاني من الثالث 4 مرات، إضافة السطر الثاني إلى السطر الثاني. الرابع، 4) شطب خطي الصفر - الثالث والرابع . حصلت المصفوفة النهائية على الشكل المطلوب: توجد أرقام غير صفرية على القطر الرئيسي، وأصفار تحت القطر الرئيسي. بعد ذلك يتوقف الإجراء ويصبح عدد العناصر غير الصفرية على القطر الرئيسي مساويًا لرتبة المصفوفة. القاصر الأساسي هو أول صفين وأول عمودين. عند تقاطعهما توجد مصفوفة من الرتبة 2 ذات محدد غير صفري. في الوقت نفسه، بالعودة إلى سلسلة التحولات، يمكنك تتبع من أين جاء هذا الصف أو ذاك (هذا العمود أو ذاك) في المصفوفة النهائية، أي. تحديد الصفوف والأعمدة الأساسية في المصفوفة الأصلية. في هذه الحالة، يشكل أول صفين وأول عمودين الأساس الثانوي.

وسنتناول أيضًا تطبيقًا عمليًا مهمًا للموضوع: دراسة نظام المعادلات الخطية من أجل الاتساق.

ما هي رتبة المصفوفة؟

تحتوي النقوش الفكاهية للمقال على قدر كبير من الحقيقة. عادة ما نربط كلمة "رتبة" بنوع من التسلسل الهرمي، وفي أغلب الأحيان بالسلم الوظيفي. كلما زادت المعرفة والخبرة والقدرات والاتصالات وما إلى ذلك لدى الشخص. – كلما ارتفع مركزه ونطاق الفرص. في مصطلحات الشباب، تشير الرتبة إلى الدرجة العامة من "الانحدار".

وإخواننا الرياضيون يعيشون بنفس المبادئ. لنأخذ بعض الأشياء العشوائية في نزهة على الأقدام مصفوفات صفر:

دعونا نفكر في الأمر، إذا كان في المصفوفة جميع الأصفار، ثم ما هي المرتبة التي يمكن أن نتحدث عنها؟ الجميع على دراية بالتعبير غير الرسمي "الصفر الإجمالي". في مجتمع المصفوفات، كل شيء هو نفسه تمامًا:

رتبة المصفوفة الصفريةأي حجم يساوي صفر.

ملحوظة : المصفوفة الصفرية يرمز لها بالحرف اليوناني "ثيتا"

من أجل فهم أفضل لرتبة المصفوفة، سأستخدم هنا أيضًا مواد للمساعدة الهندسة التحليلية. اعتبر الصفر المتجهفضائنا الثلاثي الأبعاد الذي لا يحدد اتجاها محددا ولا فائدة منه في البناء أساس تقاربي. من وجهة نظر جبرية، تتم كتابة إحداثيات هذا المتجه مصفوفة"واحدًا تلو الآخر" ومنطقيًا (بالمعنى الهندسي المذكور)لنفترض أن رتبة هذه المصفوفة هي صفر.

الآن دعونا نلقي نظرة على عدد قليل غير صفرية ناقلات العمودو ناقلات الصف:


يحتوي كل مثيل على عنصر واحد غير صفري على الأقل، وهذا شيء!

رتبة أي متجه صف غير صفري (ناقل العمود) تساوي واحدًا

وبشكل عام - إذا كان في المصفوفة أحجام تعسفيةهناك عنصر واحد على الأقل غير الصفر، ثم رتبته ليس أقلوحدات.

متجهات الصفوف ومتجهات الأعمدة الجبرية هي إلى حد ما مجردة، لذلك دعونا نعود مرة أخرى إلى الارتباط الهندسي. غير صفرية المتجهيحدد اتجاهًا محددًا للغاية في الفضاء ومناسبًا للبناء أساسوبالتالي فإن رتبة المصفوفة تعتبر مساوية لواحد.

المعلومات النظرية : في الجبر الخطي، المتجه هو عنصر من الفضاء المتجه (يتم تعريفه من خلال 8 بديهيات)، والذي، على وجه الخصوص، يمكن أن يمثل صفًا (أو عمودًا) مرتبًا من الأعداد الحقيقية مع تحديد عمليات الجمع والضرب برقم حقيقي بالنسبة لهم. يمكن العثور على معلومات أكثر تفصيلاً حول المتجهات في المقالة التحولات الخطية.

تعتمد خطيا(يتم التعبير عنها من خلال بعضها البعض). من وجهة نظر هندسية، يحتوي السطر الثاني على إحداثيات المتجه الخطي المتداخل وهو ما لم يتقدم بالأمر إطلاقا في البناء أساس ثلاثي الأبعاد، كونها بهذا المعنى زائدة عن الحاجة. وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي واحدًا أيضًا.

دعونا نعيد كتابة إحداثيات المتجهات في أعمدة ( تبديل المصفوفة):

ما الذي تغير من حيث الرتبة؟ لا شئ. الأعمدة متناسبة، مما يعني أن الرتبة تساوي واحدًا. بالمناسبة، لاحظ أن الخطوط الثلاثة متناسبة أيضًا. ويمكن التعرف عليها مع الإحداثيات ثلاثةالمتجهات الخطية للطائرة، منها واحد فقطمفيدة لبناء أساس "مسطح". وهذا يتوافق تمامًا مع إحساسنا الهندسي بالرتبة.

يتبع بيان مهم من المثال أعلاه:

رتبة المصفوفة في الصفوف تساوي رتبة المصفوفة في الأعمدة. لقد ذكرت هذا قليلاً في الدرس حول الفعالية طرق حساب المحدد.

ملحوظة : الاعتماد الخطي للصفوف يعني الاعتماد الخطي للأعمدة (والعكس صحيح). ولكن من أجل توفير الوقت، ومن باب العادة، سأتحدث دائمًا تقريبًا عن الاعتماد الخطي للسلاسل.

دعونا نواصل تدريب حيواننا الأليف المحبوب. دعونا نضيف إحداثيات متجه خطي آخر إلى المصفوفة في الصف الثالث :

هل ساعدنا في بناء أساس ثلاثي الأبعاد؟ بالطبع لا. تتحرك المتجهات الثلاثة ذهابًا وإيابًا على نفس المسار، ورتبة المصفوفة تساوي واحدًا. يمكنك أن تأخذ أي عدد تريده من المتجهات الخطية، على سبيل المثال، 100، وتضع إحداثياتها في مصفوفة "مائة × ثلاثة"، وستظل رتبة ناطحة السحاب هذه واحدة.

دعونا نتعرف على المصفوفة، والصفوف منها مستقل خطيا. زوج من المتجهات غير الخطية مناسب لبناء أساس ثلاثي الأبعاد. ورتبة هذه المصفوفة اثنان.

ما هي رتبة المصفوفة؟ لا يبدو أن الخطوط متناسبة... لذا، من الناحية النظرية، فهي ثلاثة. ومع ذلك، فإن رتبة هذه المصفوفة هي أيضًا اثنان. أضفت السطرين الأولين وكتبت النتيجة في الأسفل، أي. أعرب خطياالسطر الثالث من خلال الأولين. هندسيًا، تتوافق صفوف المصفوفة مع إحداثيات العدد ثلاثة ناقلات متحدة المستوىومن بين هؤلاء الثلاثة هناك زوج من الرفاق غير الخطيين.

كما ترون، الاعتماد الخطيفي المصفوفة المدروسة ليست واضحة، واليوم سنتعلم كيفية إخراجها إلى العلن.

أعتقد أن الكثير من الناس يمكنهم تخمين رتبة المصفوفة!

خذ بعين الاعتبار المصفوفة التي صفوفها مستقل خطيا. شكل المتجهات أساس تقاربي، ورتبة هذه المصفوفة هي ثلاثة.

كما تعلم، فإن أي متجه رابع أو خامس أو عاشر للفضاء ثلاثي الأبعاد سيتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأساسية. ولذلك، إذا قمت بإضافة أي عدد من الصفوف إلى مصفوفة، فإن رتبتها سيظل يساوي ثلاثة.

يمكن إجراء تفكير مماثل للمصفوفات ذات الأحجام الأكبر (بالطبع، دون أي معنى هندسي).

تعريف : رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيا. أو: رتبة المصفوفة هي الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيا. نعم، عددهم هو نفسه دائما.

يتبع أيضًا ما ورد أعلاه مبدأ توجيهي عملي مهم: ألا تتجاوز رتبة المصفوفة الحد الأدنى لأبعادها. على سبيل المثال، في المصفوفة أربعة صفوف وخمسة أعمدة. الحد الأدنى للبعد هو أربعة، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة بالتأكيد لن تتجاوز 4.

التسميات: في النظرية والممارسة العالمية، لا يوجد معيار مقبول بشكل عام لتعيين رتبة المصفوفة، ويمكن العثور على المعيار الأكثر شيوعًا: - كما يقولون، يكتب رجل إنجليزي شيئًا واحدًا، والألماني يكتب شيئًا آخر. لذلك، استنادًا إلى النكتة الشهيرة حول الجحيم الأمريكي والروسي، دعونا نشير إلى رتبة المصفوفة بكلمة أصلية. على سبيل المثال: . وإذا كانت المصفوفة "غير مسماة"، وهي كثيرة، فيمكنك ببساطة الكتابة .

كيفية العثور على رتبة المصفوفة باستخدام القصر؟

إذا كان لدى جدتي عمود خامس في مصفوفتها، فسيتعين عليها حساب قاصر آخر من الترتيب الرابع ("أزرق"، "التوت" + العمود الخامس).

خاتمة: الحد الأقصى لترتيب القاصر غير الصفر هو ثلاثة، وهو ما يعني .

ربما لم يفهم الجميع هذه العبارة بشكل كامل: القاصر من الدرجة الرابعة يساوي الصفر، ولكن من بين القاصرين من الدرجة الثالثة كان هناك واحد غير صفر - وبالتالي فإن الحد الأقصى للطلب غير صفريةالصغرى ويساوي ثلاثة.

السؤال الذي يطرح نفسه، لماذا لا نحسب المحدد على الفور؟ حسنًا، أولاً، في معظم المهام، المصفوفة ليست مربعة، وثانيًا، حتى لو حصلت على قيمة غير صفرية، فمن المرجح أن يتم رفض المهمة، لأنها تتضمن عادةً حلاً قياسيًا "من الأسفل إلى الأعلى". وفي المثال المذكور، يسمح لنا المحدد الصفري للرتبة الرابعة أن نذكر أن رتبة المصفوفة أقل من أربعة فقط.

يجب أن أعترف أنني توصلت إلى المشكلة التي قمت بتحليلها بنفسي من أجل شرح طريقة مجاورة القاصرين بشكل أفضل. في الممارسة العملية، كل شيء أبسط:

مثال 2

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحافة الثانوية

الحل والجواب في نهاية الدرس .

متى تعمل الخوارزمية بشكل أسرع؟ دعنا نعود إلى نفس المصفوفة ذات الأربعة في الأربعة. . ومن الواضح أن الحل سيكون الأقصر في حالة "الخير" قاصرون الزاوية:

وإذا كان غير ذلك - .

التفكير ليس افتراضيًا على الإطلاق - فهناك العديد من الأمثلة التي يقتصر فيها الأمر برمته على القاصرين الزاويين فقط.

ومع ذلك، في بعض الحالات تكون هناك طريقة أخرى أكثر فعالية وأفضل:

كيفية العثور على رتبة المصفوفة باستخدام طريقة غاوس؟

هذه الفقرة مخصصة للقراء الذين هم على دراية بالفعل طريقة غاوسيةوأكثر أو أقل وضعوا أيديهم عليه.

من الناحية الفنية، الطريقة ليست جديدة:

1) باستخدام التحويلات الأولية، نقوم بتقليل المصفوفة إلى شكل تدريجي؛

2) رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف.

ومن الواضح تماما أن استخدام الطريقة الغوسية لا يغير رتبة المصفوفة، والجوهر هنا بسيط للغاية: وفقًا للخوارزمية، أثناء التحويلات الأولية، يتم تحديد وإزالة جميع الصفوف المتناسبة (المعتمدة خطيًا) غير الضرورية، مما يؤدي إلى ظهور "بقايا جافة" - الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا.

لنقم بتحويل المصفوفة القديمة المألوفة بإحداثيات ثلاثة متجهات خطية واحدة:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث.

(2) تتم إزالة خطوط الصفر.

وبالتالي، هناك سطر واحد متبقي، وبالتالي . وغني عن القول أن هذا أسرع بكثير من حساب تسعة أصفار ثانوية من الدرجة الثانية وعندها فقط استخلاص النتيجة.

أذكرك بذلك في حد ذاته مصفوفة جبريةلا يمكن تغيير أي شيء، ويتم إجراء التحولات فقط لغرض تحديد الرتبة! بالمناسبة، دعونا نتناول السؤال مرة أخرى، لماذا لا؟ مصفوفة المصدر يحمل معلومات تختلف جوهريًا عن معلومات المصفوفة والصف. في بعض النماذج الرياضية (بدون مبالغة)، يمكن أن يكون الاختلاف في رقم واحد مسألة حياة أو موت. ...تذكرت معلمي الرياضيات في المدارس الابتدائية والثانوية الذين قاموا بتخفيض الدرجات بلا رحمة بمقدار 1-2 نقطة لأدنى قدر من عدم الدقة أو الانحراف عن الخوارزمية. وكان الأمر مخيبا للآمال للغاية عندما تبين أنه بدلا من "أ" المضمون على ما يبدو، كان "جيدا" أو حتى أسوأ. جاء التفاهم بعد ذلك بكثير - وإلا كيف يمكن تكليف شخص ما بالأقمار الصناعية والرؤوس الحربية النووية ومحطات الطاقة؟ لكن لا تقلق فأنا لا أعمل في هذه المجالات =)

دعنا ننتقل إلى مهام أكثر أهمية، حيث سنتعرف، من بين أمور أخرى، على تقنيات حسابية مهمة طريقة غاوس:

مثال 3

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية

حل: يتم إعطاء مصفوفة "أربعة في خمسة"، مما يعني أن رتبتها بالتأكيد لا تزيد عن 4.

في العمود الأول، لا يوجد 1 أو -1، لذلك يلزم اتخاذ إجراءات إضافية للحصول على وحدة واحدة على الأقل. طوال فترة وجود الموقع، تم طرح السؤال مرارًا وتكرارًا: "هل من الممكن إعادة ترتيب الأعمدة أثناء التحولات الأولية؟" هنا - قمنا بإعادة ترتيب العمودين الأول والثاني، وكل شيء على ما يرام! في معظم المهام حيث يتم استخدامه طريقة غاوسية، يمكن بالفعل إعادة ترتيب الأعمدة. ولكن ليس هناك حاجة. والنقطة ليست حتى في الخلط المحتمل مع المتغيرات، والنقطة هي أنه في الدورة الكلاسيكية للرياضيات العليا، لا يتم النظر في هذا الإجراء تقليديا، لذلك سيتم النظر إلى مثل هذه الإيماءة بشكل ملتوي للغاية (أو حتى إجبارها على إعادة كل شيء).

النقطة الثانية تتعلق بالأرقام. عندما تتخذ قرارك، من المفيد استخدام القاعدة الأساسية التالية: يجب أن تؤدي التحويلات الأولية، إن أمكن، إلى تقليل أرقام المصفوفة. بعد كل شيء، من الأسهل بكثير العمل مع واحد واثنين وثلاثة من، على سبيل المثال، مع 23 و 45 و 97. والإجراء الأول لا يهدف فقط إلى الحصول على واحد في العمود الأول، ولكن أيضا إلى إزالة الأرقام 7 و 11.

أولا الحل الكامل ثم التعليقات:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -3. وإلى الكومة: تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الرابع مضروبًا في -1.

(٢) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة. تمت إزالة السطرين الثالث والرابع، وتم نقل السطر الثاني إلى المركز الأول.

(3) تم إضافة السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -3.

تحتوي المصفوفة المختزلة إلى شكل الصف على صفين.

إجابة:

الآن حان دورك لتعذيب المصفوفة أربعة في أربعة:

مثال 4

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام الطريقة الغوسية

أذكرك بذلك طريقة غاوسيةلا يعني صلابة لا لبس فيها، ومن المرجح أن يختلف قرارك عن قراري. مثال موجز للمهمة في نهاية الدرس.

ما الطريقة التي يجب استخدامها للعثور على رتبة المصفوفة؟

من الناحية العملية، غالبًا لا يتم ذكر الطريقة التي يجب استخدامها للعثور على الرتبة. في مثل هذه الحالة، يجب تحليل الحالة - بالنسبة لبعض المصفوفات يكون حلها من خلال القاصرين أكثر عقلانية، بينما بالنسبة للآخرين يكون تطبيق التحولات الأولية أكثر ربحية:

مثال 5

أوجد رتبة المصفوفة

حل: الطريقة الأولى تختفي على الفور بطريقة أو بأخرى =)

أعلى قليلاً، نصحت بعدم لمس أعمدة المصفوفة، ولكن عندما يكون هناك عمود صفر، أو أعمدة متناسبة/متزامنة، فلا يزال الأمر يستحق البتر:

(1) العمود الخامس هو صفر، قم بإزالته من المصفوفة. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة لا تزيد عن أربعة. تم ضرب السطر الأول بـ -1. هذه ميزة مميزة أخرى لطريقة غاوس، والتي تحول الإجراء التالي إلى نزهة ممتعة:

(٢) إلى جميع الأسطر ابتداءً من الثاني أضيف السطر الأول.

(3) تم ضرب السطر الأول في -1، وتم تقسيم السطر الثالث على 2، وتم تقسيم السطر الرابع على 3. وأضيف السطر الثاني إلى السطر الخامس، مضروبًا في -1.

(4) أضيف السطر الثالث إلى السطر الخامس مضروبا في -2.

(5) السطران الأخيران متناسبان، والخامس محذوف.

والنتيجة هي 4 أسطر.

إجابة:

مبنى قياسي من خمسة طوابق للدراسة المستقلة:

مثال 6

أوجد رتبة المصفوفة

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أن عبارة "رتبة المصفوفة" لا تُرى في كثير من الأحيان في الممارسة العملية، وفي معظم المشاكل يمكنك الاستغناء عنها تمامًا. لكن هناك مهمة واحدة يكون فيها المفهوم المطروح هو الشخصية الرئيسية، وسنختتم المقال بهذا التطبيق العملي:

كيفية دراسة نظام المعادلات الخطية من أجل الاتساق؟

في كثير من الأحيان، بالإضافة إلى الحل أنظمة المعادلات الخطيةوبحسب الشرط، يجب أولاً فحصه للتأكد من توافقه، أي إثبات وجود أي حل على الإطلاق. لعبت دورا رئيسيا في هذا التحقق من قبل نظرية كرونيكر كابيليوالتي سأصوغها بالشكل اللازم:

إذا رتبة مصفوفات النظاميساوي رتبة نظام المصفوفة الموسعةفإن النظام متسق، وإذا تزامن هذا العدد مع عدد المجهولات فإن الحل فريد.

وبالتالي، لدراسة نظام التوافق من الضروري التحقق من المساواة ، أين - مصفوفة النظام(تذكر المصطلحات من الدرس طريقة غاوس)، أ - مصفوفة النظام الموسعة(أي مصفوفة بها معاملات المتغيرات + عمود من المصطلحات الحرة).

>>رتبة المصفوفة

رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة

النظر في مصفوفة مستطيلة. إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفة كخطوط و كالأعمدة، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة تشكل مصفوفة مربعة بالترتيب k. يسمى محدد هذه المصفوفة قاصر من الترتيب kالمصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها عناصر ثانوية من أي ترتيب من 1 إلى أصغر الأرقام m وn. من بين جميع العناصر الثانوية غير الصفرية في المصفوفة A، هناك على الأقل عامل ثانوي واحد ترتيبه هو الأكبر. تسمى أكبر الأوامر الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينة رتبةالمصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي ص، هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي غير الصفر صبل كل قاصر من أجل أكبر من ص، يساوي الصفر. يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r(A). من الواضح أن العلاقة قائمة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما بطريقة الحدود الثانوية أو بطريقة التحويلات الأولية. عند حساب رتبة مصفوفة باستخدام الطريقة الأولى، يجب عليك الانتقال من الترتيب الثانوي إلى الترتيب الثانوي. إذا تم بالفعل العثور على قاصر D من الرتبة k للمصفوفة A، يختلف عن الصفر، فإن الرتب الثانوية (k+1) المتاخمة للمصفوفة D الثانوية فقط هي التي تتطلب الحساب، أي. تحتوي على أنها قاصر. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي ك.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

.

حل.نبدأ بالقاصرين من الدرجة الأولى، أي. من عناصر المصفوفة A. دعونا نختار، على سبيل المثال، (عنصر) ثانوي M 1 = 1، الموجود في الصف الأول والعمود الأول. الحدود بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث نحصل على قاصر M 2 = يختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لـ M2. يوجد اثنان منهم فقط (يمكنك إضافة عمود ثانٍ أو رابع). دعونا نحسبهم: = 0. وبالتالي، تبين أن جميع القاصرين المتاخمين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. رتبة المصفوفة A هي اثنان.

حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) التقليب من أي صفين (أو أعمدة)،

2) ضرب صف (أو عمود) برقم غير الصفر،

3) إضافة صف (أو عمود) إلى صف (أو عمود) آخر (أو عمود) مضروبًا في رقم معين.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية.

المصفوفات المتكافئة ليست متساوية بشكل عام، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متكافئتين، فسيتم كتابتهما على النحو التالي: A~ ب.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة يوجد فيها في بداية القطر الرئيسي عدة مصفوفات متتالية (يمكن أن يكون عددها صفرًا)، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر، على سبيل المثال،

.

باستخدام التحويلات الأولية للصفوف والأعمدة، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد المصفوفات الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد رتبة المصفوفة

وإحضاره إلى الشكل القانوني.

حل.من السطر الثاني اطرح الأول وأعد ترتيب هذه الأسطر:

.

الآن من السطرين الثاني والثالث نطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من السطر الثالث؛ نحصل على مصفوفة

ب = ,

وهو ما يعادل المصفوفة A، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2، وبالتالي r(A)=2. يمكن بسهولة اختزال المصفوفة B إلى المستوى الأساسي. وبطرح العمود الأول مضروبا بالأرقام المناسبة من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول، باستثناء الأول، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك، بطرح العمود الثاني، مضروبًا بالأرقام المناسبة، من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر لجميع عناصر الصف الثاني، باستثناء الثاني، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

.

يُسمى الرقم r رتبة المصفوفة A إذا:
1) يوجد في المصفوفة A رتبة ثانوية r تختلف عن الصفر؛
2) جميع العناصر الثانوية من رتبة (r+1) وما فوقها إن وجدت تساوي صفراً.
وبخلاف ذلك، فإن رتبة المصفوفة هي أعلى رتبة ثانوية بخلاف الصفر.
التسميات: rangA، r A أو r.
ويترتب على التعريف أن r عدد صحيح موجب. بالنسبة للمصفوفة الخالية، تعتبر الرتبة صفرًا.

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت للعثور على رتبة المصفوفة. في هذه الحالة، يتم حفظ الحل بتنسيق Word وExcel. انظر الحل المثال.

تعليمات. حدد بُعد المصفوفة، ثم انقر فوق "التالي".

حدد بُعد المصفوفة 3 4 5 6 7 × 3 4 5 6 7

تعريف . دع مصفوفة الرتبة r تعطى. أي مصفوفة ثانوية تختلف عن الصفر ولها ترتيب r تسمى أساسًا، وتسمى صفوف وأعمدة مكوناتها صفوف وأعمدة أساسية.
وفقا لهذا التعريف، يمكن أن تحتوي المصفوفة A على عدة قواعد ثانوية.

رتبة مصفوفة الهوية E هي n (عدد الصفوف).

مثال 1. نظرا لمصفوفتين، وقصرهم , . أي منهم يمكن اعتباره الأساسي؟
حل. Minor M 1 = 0، لذلك لا يمكن أن يكون أساسًا لأي من المصفوفات. الصغرى M 2 = -9≠0 ولها الترتيب 2، مما يعني أنه يمكن اتخاذها كأساس للمصفوفات A أو / و B، بشرط أن تكون رتبتها تساوي 2. نظرًا لأن detB=0 (كمحدد بعمودين متناسبين)، فيمكن اعتبار rangB=2 وM 2 بمثابة الأساس الثانوي للمصفوفة B. ورتبة المصفوفة A هي 3، نظرًا لحقيقة أن detA=-27≠ 0، وبالتالي فإن الترتيب الأساسي لهذه المصفوفة يجب أن يساوي 3، أي أن M 2 ليس أساسًا للمصفوفة A. لاحظ أن المصفوفة A لها أساس صغير واحد، يساوي محدد المصفوفة A.

نظرية (حول الأساس الصغير). أي صف (عمود) من المصفوفة هو مزيج خطي من صفوفها (الأعمدة) الأساسية.
النتائج الطبيعية من النظرية.

1. كل مصفوفة عمود (صف) (r+1) من الرتبة r تعتمد خطيًا.
2. إذا كانت رتبة المصفوفة أقل من عدد صفوفها (أعمدةها)، فإن صفوفها (أعمدةها) تعتمد خطيا. إذا كانت rangA تساوي عدد صفوفها (أعمدةها)، فإن الصفوف (الأعمدة) تكون مستقلة خطيًا.
3. محدد المصفوفة A يساوي الصفر إذا وفقط إذا كانت صفوفها (أعمدتها) مرتبطة خطيًا.
4. إذا قمت بإضافة صف (عمود) آخر إلى صف (عمود) من مصفوفة، مضروبًا في أي رقم غير الصفر، فلن يتغير ترتيب المصفوفة.
5. إذا قمت بشطب صف (عمود) في مصفوفة، وهي عبارة عن مجموعة خطية من صفوف (أعمدة) أخرى، فلن يتغير ترتيب المصفوفة.
6. رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها (الأعمدة) المستقلة خطيًا.
7. الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا هو نفس الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا.

مثال 2. أوجد رتبة المصفوفة .
حل. بناءً على تعريف رتبة المصفوفة، سنبحث عن رتبة ثانوية من أعلى رتبة تختلف عن الصفر. أولاً، دعونا نحول المصفوفة إلى شكل أبسط. للقيام بذلك، اضرب الصف الأول من المصفوفة في (-2) وأضفه إلى الثاني، ثم اضربه في (-1) وأضفه إلى الثالث.

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) التقليب من أي صفين (أو أعمدة)،

2) ضرب صف (أو عمود) برقم غير الصفر،

3) إضافة صف (أو عمود) إلى صف (أو عمود) آخر (أو عمود) مضروبًا في رقم معين.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية.

المصفوفات المتكافئة ليست متساوية بشكل عام، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متكافئتين، فسيتم كتابتهما على النحو التالي: A ~ B.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة يوجد فيها في بداية القطر الرئيسي عدة مصفوفات متتالية (يمكن أن يكون عددها صفرًا)، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر، على سبيل المثال،

باستخدام التحويلات الأولية للصفوف والأعمدة، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد المصفوفات الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد رتبة المصفوفة

أ=

وإحضاره إلى الشكل القانوني.

حل.من السطر الثاني اطرح الأول وأعد ترتيب هذه الأسطر:

.

الآن من السطرين الثاني والثالث نطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من السطر الثالث؛ نحصل على مصفوفة

ب = ,

وهو ما يعادل المصفوفة A، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2، وبالتالي r(A)=2. يمكن بسهولة اختزال المصفوفة B إلى المستوى الأساسي. وبطرح العمود الأول مضروبا بالأرقام المناسبة من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول، باستثناء الأول، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك، بطرح العمود الثاني، مضروبًا بالأرقام المناسبة، من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر لجميع عناصر الصف الثاني، باستثناء الثاني، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

.

كرونيكر - نظرية كابيلي- معيار التوافق لنظام المعادلات الجبرية الخطية:

لكي يكون النظام الخطي متسقا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام مساوية لرتبة مصفوفته الرئيسية.

إثبات (شروط توافق النظام)

ضروري

يترك نظاممشترك

ثم هناك أرقام من هذا القبيل . ولذلك، فإن العمود عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة المصفوفة. من حقيقة أن رتبة المصفوفة لن تتغير إذا تم حذف صف (عمود) أو إضافته من نظام صفوفه (أعمدةه)، وهو عبارة عن مزيج خطي من صفوف (أعمدة) أخرى، يتبع ذلك.

قدرة يترك . لنأخذ بعض العناصر الثانوية الأساسية في المصفوفة. وبما أنه سيكون أيضًا الأساس الثانوي للمصفوفة. ثم وفقا لنظرية الأساسصغير

، سيكون العمود الأخير من المصفوفة عبارة عن مجموعة خطية من أعمدة الأساس، أي أعمدة المصفوفة. ولذلك، فإن عمود الحدود الحرة للنظام عبارة عن مزيج خطي من أعمدة المصفوفة.

عواقب عدد المتغيرات الرئيسيةأنظمة

يساوي رتبة النظام. نظاممشترك

سيتم تعريفه (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام تساوي عدد جميع متغيراته.

نظام متجانس من المعادلات15 . 2 نظام متجانس من المعادلات

هو دائما مشترك.

دليل. بالنسبة لهذا النظام، مجموعة الأرقام،،،، هي الحل.

في هذا القسم سوف نستخدم تدوين المصفوفة للنظام: .

نظام متجانس من المعادلات15 . 3 مجموع حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية هو حل لهذا النظام. الحل مضروبًا في رقم هو أيضًا حل.

دليل. دعهم بمثابة حلول للنظام. ثم و.

يترك . ثم

منذ ذلك الحين - الحل.

يترك . ثم

اسمحوا ان يكون عددا تعسفيا ، . ثم15 . 1 عاقبة

إذا كان نظام متجانس من المعادلات الخطية له حل غير صفري، فإن لديه عددًا لا نهائيًا من الحلول المختلفة.

تعريف15 . 5 في الواقع، بضرب الحل غير الصفري في أعداد مختلفة، سنحصل على حلول مختلفة. سنقول أن الحلول شكل النظمالنظام الأساسي للحلول ، إذا كانت الأعمدة