جدول قيم الدوال المثلثية

ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية هذا علامة √ لتمثيل الجذر التربيعي. للإشارة إلى الكسر، استخدم الرمز "/".

أنظر أيضامواد مفيدة:

ل تحديد قيمة الدالة المثلثية، ابحث عنه عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال، جيب 30 درجة - نبحث عن العمود الذي يحمل العنوان sin (sine) ونجد تقاطع عمود الجدول هذا مع الصف "30 درجة"، عند تقاطعهما نقرأ النتيجة - نصف. وبالمثل نجد جيب التمام 60درجات، جيب 60درجات (مرة أخرى، عند تقاطع عمود الخطيئة وخط الـ 60 درجة نجد القيمة جا 60 = √3/2)، إلخ. تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال للزوايا "الشعبية" الأخرى بنفس الطريقة.

جيب بي، جيب التمام بي، بي الظل والزوايا الأخرى في راديان

الجدول أدناه لجيب التمام وجيب التمام والظل مناسب أيضًا للعثور على قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها تعطى بالراديان. للقيام بذلك، استخدم العمود الثاني من قيم الزوايا. بفضل هذا، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشائعة من الدرجات إلى الراديان. على سبيل المثال، دعونا نوجد الزاوية التي قياسها 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالراديان تحتها. 60 درجة تساوي π/3 راديان.

يعبر الرقم pi بشكل لا لبس فيه عن اعتماد المحيط على درجة قياس الزاوية. وبالتالي، فإن راديان باي يساوي 180 درجة.

يمكن تحويل أي رقم يتم التعبير عنه بـ pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال pi (π) بـ 180.

أمثلة:
1. جيب بي.
الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
وبالتالي، فإن جيب باي هو نفس جيب 180 درجة ويساوي صفر.

2. جيب التمام بي.
كوس π = كوس 180 = -1
وبالتالي، فإن جيب تمام باي هو نفس جيب تمام 180 درجة وهو يساوي سالب واحد.

3. الظل بي
تيراغرام π = تيراغرام 180 = 0
وبالتالي، فإن ظل الزاوية باي هو نفس ظل الزاوية 180 درجة ويساوي الصفر.

جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا 0 - 360 درجة (القيم المشتركة)

قيمة الزاوية α (درجات)	قيمة الزاوية α بالراديان (عبر بي)	خطيئة (التجويف)	كوس (جيب التمام)	tg (الظل)	ctg (ظل التمام)	ثانية (قاطع)	com.cosec (قاطع التمام)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

إذا تمت الإشارة إلى شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية بدلاً من قيمة الدالة (ظل (tg) 90 درجة، ظل التمام (ctg) 180 درجة)، فبالنسبة لقيمة معينة لقياس درجة الزاوية تكون الدالة ليس لها قيمة محددة. إذا لم يكن هناك شرطة، فإن الخلية فارغة، مما يعني أننا لم ندخل القيمة المطلوبة بعد. نحن مهتمون بالاستعلامات التي يأتي إلينا المستخدمون من أجلها ونكمل الجدول بقيم جديدة، على الرغم من أن البيانات الحالية حول قيم جيب التمام والجيوب والظلال لقيم الزوايا الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

جدول قيم الدوال المثلثية sin، cos، tg للزوايا الأكثر شيوعًا
0، 15، 30، 45، 60، 90... 360 درجة
(القيم الرقمية "حسب جداول براديس")

قيمة الزاوية α (بالدرجات)	قيمة الزاوية α بالراديان	الخطيئة (جيب)	كوس (جيب التمام)	تيراغرام (الظل)	CTG (ظل التمام)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

بادئ ذي بدء، اسمحوا لي أن أذكركم باستنتاج بسيط ولكنه مفيد للغاية من الدرس "ما هو جيب التمام وجيب التمام؟ ما هو الظل وظل التمام؟"

هذا هو الإخراج:

يرتبط جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام ارتباطًا وثيقًا بزواياهم. نحن نعرف شيئًا واحدًا، مما يعني أننا نعرف شيئًا آخر.

بمعنى آخر، كل زاوية لها جيب التمام وجيب التمام الثابت الخاص بها. وكل شخص تقريبًا لديه ظل التمام وظل التمام الخاص به. لماذا بالكاد؟المزيد عن هذا أدناه.

هذه المعرفة تساعد كثيرا في دراستك! هناك الكثير من المهام التي تحتاج فيها إلى الانتقال من الجيوب إلى الزوايا والعكس. لهذا هناك جدول الجيوب.وبالمثل، بالنسبة للمهام ذات جيب التمام - جدول جيب التمام.وكما كنت قد خمنت، هناك جدول الظلو جدول ظل التمام.)

الجداول مختلفة. الطويلة، حيث يمكنك أن ترى ما يساوي، على سبيل المثال، sin37°6’. نفتح جداول براديس ونبحث عن زاوية مقدارها سبعة وثلاثون درجة وست دقائق ونرى القيمة 0.6032. من الواضح أنه ليست هناك حاجة على الإطلاق لتذكر هذا الرقم (وآلاف قيم الجدول الأخرى).

في الواقع، في عصرنا، ليست هناك حاجة حقًا إلى جداول طويلة من جيب التمام، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام. آلة حاسبة واحدة جيدة تحل محلها بالكامل. لكن لا يضر معرفة وجود مثل هذه الجداول. لسعة الاطلاع العامة.)

ولماذا هذا الدرس إذن؟! - أنت تسأل.

لكن لماذا. من بين العدد اللانهائي من الزوايا هناك خاص،والتي يجب أن تعرف عنها الجميع. جميع الهندسة المدرسية وعلم المثلثات مبنية على هذه الزوايا. هذا نوع من "جدول الضرب" في علم المثلثات. إذا كنت لا تعرف ما هي قيمة الخطيئة 50 درجة، على سبيل المثال، فلن يحكم عليك أحد.) ولكن إذا كنت لا تعرف ما هي قيمة الخطيئة 30 درجة، فكن مستعدًا للحصول على جائزتين بجدارة...

هذه خاصالزوايا هي أيضا جيدة جدا. عادة ما تقدم الكتب المدرسية الحفظ جدول الجيب وجدول جيب التماملسبعة عشر زاوية. وبالطبع، جدول الظل وجدول ظل التماملنفس الزوايا السبع عشرة... أي: يقترح أن نتذكر 68 القيم. وهي، بالمناسبة، متشابهة جدًا مع بعضها البعض، تكرر نفسها بين الحين والآخر وتغير الإشارات. بالنسبة لشخص ليس لديه ذاكرة بصرية كاملة، فهذه مهمة كبيرة...)

سنتخذ طريقًا مختلفًا. دعونا نستبدل الحفظ عن ظهر قلب بالمنطق والإبداع. ثم سيتعين علينا حفظ 3 (ثلاثة!) قيم لجدول الجيب وجدول جيب التمام. و3 (ثلاثة!) قيم لجدول الظلال وجدول ظل التمام. هذا كل شئ. ست قيم أسهل في التذكر من 68، على ما يبدو لي...)

سوف نحصل على جميع القيم الضرورية الأخرى من هذه القيم الستة باستخدام ورقة غش قانونية قوية - دائرة مثلثية.إذا لم تكن قد درست هذا الموضوع، فاتبع الرابط، ولا تكن كسولاً. هذه الدائرة ليست ضرورية لهذا الدرس فقط. إنه لا يمكن الاستغناء عنه لجميع علم المثلثات في وقت واحد. عدم استخدام مثل هذه الأداة هو مجرد خطيئة! انت لا تريد؟ هذا هو عملك حفظ جدول الجيوب. جدول جيب التمام. جدول الظلال. جدول ظل التمام.جميع القيم 68 لمجموعة متنوعة من الزوايا.)

لذلك، دعونا نبدأ. أولاً، دعونا نقسم كل هذه الزوايا الخاصة إلى ثلاث مجموعات.

المجموعة الأولى من الزوايا.

دعونا نفكر في المجموعة الأولى سبعة عشر زاوية خاص. هذه هي 5 زوايا: 0 درجة، 90 درجة، 180 درجة، 270 درجة، 360 درجة.

هذا ما يبدو عليه جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لهذه الزوايا:

زاوية س (على درجات)	0	90	180	270	360
زاوية س (بالراديان)	0
الخطيئة س	0	1	0	-1	0
كوس س	1	0	-1	0	1
تيراغرام س	0	اسم	0	اسم	0
سي تي جي ×	اسم	0	اسم	0	اسم

ومن أراد أن يتذكر فليتذكر. لكنني سأقول على الفور أن كل هذه الآحاد والأصفار مرتبكة جدًا في رأسي. أقوى بكثير مما نريد.) لذلك نعتمد على المنطق و دائرة مثلثية.

نرسم دائرة ونحدد عليها نفس الزوايا: 0°، 90°، 180°، 270°، 360°. قمت بتمييز هذه الزوايا بنقاط حمراء:

من الواضح على الفور ما هو المميز في هذه الزوايا. نعم! هذه هي الزوايا التي تسقط بالضبط على محور الإحداثيات!في الواقع، لهذا السبب يرتبك الناس... لكننا لن نرتبك. دعونا نتعرف على كيفية العثور على الدوال المثلثية لهذه الزوايا دون حفظ الكثير.

بالمناسبة، موضع الزاوية هو 0 درجة يتزامن تمامامع وضع زاوية 360 درجة. وهذا يعني أن الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزوايا هي نفسها تمامًا. لقد حددت زاوية 360 درجة لإكمال الدائرة.

لنفترض، في البيئة الصعبة والمجهدة لامتحان الدولة الموحدة، أنك شككت بطريقة أو بأخرى... ما هو جيب الزاوية 0 درجة؟ يبدو وكأنه صفر... وماذا لو كان واحداً؟! الحفظ الميكانيكي هو شيء من هذا القبيل. وفي الظروف القاسية تبدأ الشكوك تنخر...)

اهدأ، فقط اهدأ!) سأخبرك بأسلوب عملي سيمنحك إجابة صحيحة بنسبة 100% ويزيل كل الشكوك تمامًا.

على سبيل المثال، دعونا نتعرف على كيفية تحديد جيب الزاوية 0 درجة بشكل واضح وموثوق. وفي الوقت نفسه، جيب التمام 0. ومن الغريب أن الناس غالبًا ما يشعرون بالارتباك في هذه القيم.

للقيام بذلك، ارسم على دائرة اِعتِباطِيّركن X. وفي الربع الأول كانت قريبة من 0 درجة. دعونا نحدد جيب وجيب التمام لهذه الزاوية على المحاور X،كل شيء على ما يرام. مثله:

والآن - انتبه! دعونا نقلل الزاوية X، اجعل الجانب المتحرك أقرب إلى المحور أوه. حرك مؤشر الماوس فوق الصورة (أو اضغط على الصورة على جهازك اللوحي) وسترى كل شيء.

الآن دعونا ننتقل إلى المنطق الأولي!فلننظر ونفكر: كيف يتصرف sinx عندما تتناقص الزاوية x؟ عندما تقترب الزاوية من الصفر؟انها تتقلص! والكوسكس يزيد!يبقى أن نعرف ماذا سيحدث للجيب عندما تنهار الزاوية تمامًا؟ متى يستقر الضلع المتحرك للزاوية (النقطة A) على المحور OX وتصبح الزاوية صفراً؟ ومن الواضح أن جيب الزاوية سوف يذهب إلى الصفر. وسيزداد جيب التمام إلى... إلى... ما طول الضلع المتحرك للزاوية (نصف قطر الدائرة المثلثية)؟ واحد!

هنا هو الجواب. جيب تمام 0 درجة يساوي 0. جيب تمام 0 درجة يساوي 1. حديد تمامًا وبدون أي شك!) ببساطة لأنه بخلاف ذلك لا يمكن أن تكون.

بنفس الطريقة تمامًا، يمكنك معرفة (أو توضيح) جيب الزاوية 270 درجة، على سبيل المثال. أو جيب التمام 180. ارسم دائرة، اِعتِباطِيّزاوية في الربع بجوار محور الإحداثيات الذي يهمنا، حرك جانب الزاوية عقليًا وافهم ما سيصبح عليه الجيب وجيب التمام عندما يقع جانب الزاوية على المحور. هذا كل شئ.

كما ترون، ليست هناك حاجة لحفظ أي شيء لهذه المجموعة من الزوايا. ليست هناك حاجة هنا جدول الجيوب...نعم و جدول جيب التمام- أيضًا.) بالمناسبة، بعد عدة استخدامات للدائرة المثلثية، سيتم تذكر كل هذه القيم من تلقاء نفسها. وإذا نسوا رسمت دائرة في 5 ثواني ووضحتها. أسهل بكثير من الاتصال بصديق من المرحاض والمخاطرة بشهادتك، أليس كذلك؟)

أما بالنسبة للظل وظل التمام، فكل شيء هو نفسه. نرسم خط ظل (ظل التمام) على الدائرة - وكل شيء مرئي على الفور. حيث تساوي الصفر، وحيث لا وجود لها. ماذا، ألا تعرف عن خطوط المماس وظل التمام؟ هذا أمر محزن، ولكن قابل للإصلاح.) تمت زيارته القسم 555 الظل وظل التمام على الدائرة المثلثية- ولا مشكلة!

إذا كنت قد اكتشفت كيفية تحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لهذه الزوايا الخمس بوضوح، تهانينا! فقط في حالة إبلاغك أنه يمكنك الآن تحديد الوظائف أي الزوايا الساقطة على المحاور.وهذه هي 450 درجة، و540 درجة، و1800 درجة، وعدد لا حصر له من الآخرين...) لقد حسبت (بشكل صحيح!) الزاوية الموجودة على الدائرة - ولا توجد مشاكل في الوظائف.

ولكن مع قياس الزوايا بالتحديد تحدث المشاكل والأخطاء... كيفية تجنبها مكتوبة في الدرس: كيفية رسم (قياس) أي زاوية على الدائرة المثلثية بالدرجات.ابتدائية ولكنها مفيدة جدًا في مكافحة الأخطاء.)

وهنا الدرس: كيفية رسم (قياس) أي زاوية على دائرة مثلثية بالراديان- سيكون أكثر برودة. من حيث الإمكانيات. لنفترض أننا حددنا على أي من أنصاف المحاور الأربعة تقع الزاوية

يمكنك القيام بذلك في بضع ثوان. أنا لا أمزح! فقط في بضع ثوان. حسنًا، بالطبع، ليس فقط 345 بي...) و121 و16 و-1345. أي معامل عدد صحيح مناسب للإجابة الفورية.

وإذا الزاوية

فقط فكر! يتم الحصول على الإجابة الصحيحة خلال 10 ثوانٍ لأي قيمة كسرية للراديان بمقامها اثنان.

في الواقع، هذا هو الشيء الجيد في الدائرة المثلثية. لأن القدرة على العمل مع بعضالزوايا التي تتوسع إليها تلقائيًا مجموعة لا نهائيةزوايا

إذن، نكون قد فرزنا خمس زوايا من سبعة عشر.

المجموعة الثانية من الزوايا.

المجموعة التالية من الزوايا هي الزوايا 30° و45° و60°. لماذا بالضبط هذه، وليس، على سبيل المثال، 20 و 50 و 80؟ نعم، بطريقة ما اتضح الأمر بهذه الطريقة... تاريخيًا.) بعد ذلك سنرى لماذا هذه الزوايا جيدة.

يبدو جدول جيب التمام وظل التمام لهذه الزوايا كما يلي:

زاوية س (على درجات)	0	30	45	60	90
زاوية س (بالراديان)	0
الخطيئة س	0				1
كوس س	1				0
تيراغرام س	0		1		اسم
سي تي جي ×	اسم		1		0

لقد تركت القيمتين 0° و 90° من الجدول السابق لتكتمل الصورة.) لكي ترى أن هذه الزوايا تقع في الربع الأول وتزداد. من 0 إلى 90. سيكون هذا مفيدًا لنا لاحقًا.

يجب تذكر قيم الجدول للزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة. احفظها إذا أردت. ولكن هنا أيضًا هناك فرصة لجعل حياتك أسهل.) انتبه إلى ذلك قيم الجدول الجيبيةهذه الزوايا. وقارن مع قيم جدول جيب التمام...

نعم! هم نفس!مجرد ترتيب في ترتيب عكسي. زيادة الزوايا (0، 30، 45، 60، 90) - وقيم الجيب يزيدمن 0 إلى 1. يمكنك التحقق باستخدام الآلة الحاسبة. وقيم جيب التمام هي تتناقصمن 1 إلى الصفر. علاوة على ذلك، القيم نفسها نفس.بالنسبة للزوايا 20، 50، 80 هذا لن ينجح...

وهذا هو الاستنتاج المفيد. يكفي أن نتعلم ثلاثةقيم الزوايا 30، 45، 60 درجة. وتذكر أنهم يزيدون على جيب التمام وينقصون على جيب التمام. نحو جيب التمام.) يلتقيان في منتصف الطريق (45 درجة)، أي أن جيب 45 درجة يساوي جيب تمام 45 درجة. ومن ثم يتباعدان مرة أخرى... يمكن تعلم ثلاثة معانٍ، أليس كذلك؟

مع الظلال - ظل التمام، الصورة هي نفسها تمامًا. واحد لواحد. فقط المعاني مختلفة. هذه القيم (ثلاثة أخرى!) تحتاج أيضًا إلى تعلمها.

حسنا، تقريبا كل الحفظ قد انتهى. لقد فهمت (نأمل) كيفية تحديد قيم الزوايا الخمس الواقعة على المحور وتعلمت قيم الزوايا 30، 45، 60 درجة. المجموع 8.

يبقى التعامل مع المجموعة الأخيرة المكونة من 9 زوايا.

وهذه هي الزوايا:
120 درجة؛ 135 درجة؛ 150 درجة؛ 210 درجة؛ 225 درجة؛ 240 درجة؛ 300 درجة؛ 315 درجة؛ 330 درجة. بالنسبة لهذه الزوايا، عليك أن تعرف جدول الجيب، وجدول جيب التمام، وما إلى ذلك.

كابوس أليس كذلك؟)

وإذا أضفت زوايا هنا، مثل: 405 درجة، أو 600 درجة، أو 3000 درجة والعديد والعديد من الزوايا المتساوية في الجمال؟)

أو الزوايا بالراديان؟ على سبيل المثال، حول الزوايا:

وغيرها الكثير يجب أن تعرف الجميع.

الشيء المضحك هو معرفة هذا الجميع - مستحيل من حيث المبدأ.إذا كنت تستخدم الذاكرة الميكانيكية.

وهو أمر سهل للغاية، بل إنه في واقع الأمر أمر بدائي - إذا كنت تستخدم دائرة مثلثية. إذا كنت تتقن العمل العملي على الدائرة المثلثية،كل تلك الزوايا الرهيبة بالدرجات سيتم اختزالها بسهولة وأناقة إلى الزوايا القديمة الجيدة:

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

معلومات مرجعية عن الدوال المثلثية جيب التمام (sin x) وجيب التمام (cos x). التعريف الهندسي، الخصائص، الرسوم البيانية، الصيغ. جدول الجيب وجيب التمام، المشتقات، التكاملات، توسعات السلسلة، القاطع، قاطع التمام. التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة. الاتصال مع الوظائف الزائدية.

التعريف الهندسي للجيب وجيب التمام

|دينار بحريني|- طول قوس الدائرة التي مركزها نقطة أ.
α - الزاوية المعبر عنها بالراديان.

تعريف
جيب (الخطيئة α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الوتر |AC|.

جيب التمام (cos α)هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| إلى طول الوتر |AC|.

التدوينات المقبولة

;
;
.

;
;
.

رسم بياني لدالة الجيب، y = sin x

رسم بياني لدالة جيب التمام، y = cos x

خصائص الجيب وجيب التمام

الدورية

وظائف ص = الخطيئة سو ص = كوس سدورية مع فترة 2π.

التكافؤ

دالة الجيب غريبة. وظيفة جيب التمام حتى.

مجال التعريف والقيم، القصوى، الزيادة، النقصان

دوال الجيب وجيب التمام مستمرة في مجال تعريفها، أي لكل x (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (n - عدد صحيح).

	ص= الخطيئة س	ص= كوس س
النطاق والاستمرارية	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مدى من القيم	-1 ≥ ص ≥ 1	-1 ≥ ص ≥ 1
في ازدياد
تنازلي
ماكسيما، ص = 1
الحد الأدنى، ص = - 1
أصفار، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص= 0	ص= 1

الصيغ الأساسية

مجموع مربعات الجيب وجيب التمام

صيغ الجيب وجيب التمام من المجموع والفرق

;
;

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام

صيغ الجمع والفرق

التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

;
;
;
.

التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام

;
;
;
.

التعبير من خلال الظل

; .

عندما نمتلك:
; .

في :
; .

جدول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لقيم معينة للوسيطة.

التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة

;

صيغة أويلر

{ -∞ < x < +∞ }

قاطع التمام

وظائف عكسية

الوظائف العكسية للجيب وجيب التمام هي أركسين وأركوسين، على التوالي.

أركسين، أركسين

أركوسين، أركوسين

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.