في الحياة اليوميةلقد اعتدنا على استخدام نظام الأرقام العشري المألوف لنا منذ المدرسة. ومع ذلك، إلى جانب ذلك، هناك العديد من الأنظمة الأخرى. كيف تكتب الأرقام ليس بالنظام العشري، ولكن على سبيل المثال؟

كيفية تحويل أي رقم من النظام العشري إلى الثنائي

إن الحاجة إلى تحويل رقم عشري إلى رقم ثنائي تبدو شاقة للوهلة الأولى فقط. في الواقع، الأمر بسيط جدًا - ليس عليك حتى البحث عن الخدمات عبر الإنترنت لإتمام المعاملة.

• على سبيل المثال، لنأخذ الرقم 156، المكتوب بالصورة العشرية التي نعرفها، ونحاول تحويله إلى الصورة الثنائية.
• ستبدو الخوارزمية هكذا - يجب تقسيم الرقم الأولي على اثنين، ثم مرة أخرى على 2، ومرة ​​أخرى على 2 حتى تظل الإجابة واحدة.
• عند إجراء القسمة، ليست الأعداد الصحيحة هي التي تهم للتحويل إلى النظام الثنائي، بل الباقي. إذا تبين أن الإجابة عند القسمة هي رقم زوجي، فسيتم كتابة الباقي بالرقم 0، وإذا كان فرديًا، فسيتم كتابته بالرقم 1.
• من الناحية العملية، يمكنك بسهولة التحقق من أن السلسلة الثنائية الأولية للبواقي للرقم 156 ستبدو هكذا - 00111001. لتحويلها إلى رمز ثنائي كامل، يجب كتابة هذه السلسلة بترتيب عكسي - ذلك هو 10011100.

الرقم الثنائي 10011100، الذي تم الحصول عليه نتيجة لعملية بسيطة، سيكون التعبير الثنائي للرقم 156.

مثال آخر، ولكن في الصورة

تحويل الرقم الثنائي إلى النظام العشري

قد يبدو التحويل العكسي - من الثنائي إلى العشري - أكثر تعقيدًا بعض الشيء. ولكن إذا كنت تستخدم طريقة مضاعفة بسيطة، فيمكنك التعامل مع هذه المهمة في بضع دقائق. على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقم، 156، ولكن في شكل ثنائي - 10011100.

• تعتمد طريقة المضاعفة على حقيقة أنه في كل خطوة من خطوات الحساب، يتم أخذ ما يسمى الإجمالي السابق وإضافة الرقم التالي إليه.
• نظرًا لأن المجموع السابق في الخطوة الأولى لم يكن موجودًا بعد، فهنا دائمًا نأخذ 0 ونضاعفه ونضيف الرقم الأول من التعبير إليه. في مثالنا سيكون 0 * 2 + 1 = 1.
• في الخطوة الثانية، لدينا بالفعل المجموع السابق - وهو يساوي 1. يجب مضاعفة هذا الرقم، ثم يجب إضافة الرقم التالي إليه، أي - 1 * 2 + 0 = 2.
• وفي الخطوات الثالثة والرابعة واللاحقة، يتم أخذ المجاميع السابقة وإضافتها إلى الرقم اللاحق في التعبير.

عندما يبقى الرقم الأخير فقط في التدوين الثنائي، ولا يوجد شيء آخر يمكن إضافته، تكتمل العملية. من خلال فحص بسيط، يمكنك التأكد من أن الإجابة تحتوي على الرقم العشري المطلوب 156.

لقد تم استلام النتيجة بالفعل!

أنظمة الأرقام

هناك أنظمة أرقام موضعية وغير موضعية. نظام الأرقام العربي الذي نستخدمه في حياتنا اليومية هو نظام موضعي، لكن نظام الأرقام الروماني ليس كذلك. في أنظمة الأرقام الموضعية، يحدد موضع الرقم حجم الرقم بشكل فريد. دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال الرقم 6372 في نظام الأرقام العشري. لنرقم هذا الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:

ومن ثم يمكن تمثيل الرقم 6372 على النحو التالي:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

يحدد الرقم 10 نظام الأرقام (في هذه الحالة هو 10). يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.

خذ بعين الاعتبار الرقم العشري الحقيقي 1287.923. لنرقمه بدءًا من موضع الرقم الصفر من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:

ومن ثم يمكن تمثيل الرقم 1287.923 على النحو التالي:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

بشكل عام، يمكن تمثيل الصيغة على النحو التالي:

ج ن سن +ج ن-1 · سن-1+...+ج1 · س 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

حيث C n هو عدد صحيح في الموضع ن، D -k - الرقم الكسري في الموضع (-k)، س- نظام رقم.

بضع كلمات عن أنظمة الأرقام يتكون الرقم في نظام الأرقام العشري من العديد من الأرقام (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، في نظام الأرقام الثماني يتكون من العديد من الأرقام. (0,1, 2,3,4,5,6,7)، في نظام الأرقام الثنائية - من مجموعة أرقام (0,1)، في نظام الأرقام السداسية العشرية - من مجموعة أرقام (0,1 ،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، حيث A،B،C،D،E،F تتوافق مع الأرقام 10،11، 12،13،14،15. في الجدول Tab.1 يتم عرض الأرقام في أنظمة أرقام مختلفة.

الجدول 1
الرموز
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	أ
11	1011	13	ب
12	1100	14	ج
13	1101	15	د
14	1110	16	ه
15	1111	17	F

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر، أسهل طريقة هي تحويل الرقم أولاً إلى نظام الأرقام العشري، ثم التحويل من نظام الأرقام العشري إلى نظام الأرقام المطلوب.

تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري

باستخدام الصيغة (1)، يمكنك تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري.

مثال 1. تحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثنائية (SS) إلى النظام العشري SS. حل:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4+ 1 ·2 3+ 1 ·2 2+ 0 ·2 1+ 1 ·2 0+ 0 ·2 -1+ 0 ·2 -2+ 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال2. تحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثماني (SS) إلى النظام العشري SS. حل:

مثال 3 . تحويل الرقم AB572.CDF من نظام الأرقام الست عشري إلى النظام العشري SS. حل:

هنا أ- تم استبداله بـ 10، ب- في 11، ج- في 12، F- بحلول 15.

تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، تحتاج إلى تحويل الجزء الصحيح من الرقم والجزء الكسري من الرقم بشكل منفصل.

يتم تحويل الجزء الصحيح من الرقم من نظام SS العشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق تقسيم الجزء الصحيح من الرقم بالتسلسل على أساس نظام الأرقام (لـ SS الثنائي - على 2، لـ SS 8-ary - على 8، لـ 16 -ary SS - بمقدار 16، وما إلى ذلك) حتى يتم الحصول على بقايا كاملة، أقل من CC الأساسي.

مثال 4 . لنقم بتحويل الرقم 159 من SS العشري إلى SS الثنائي:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

كما يظهر في الشكل. 1، الرقم 159 عند القسمة على 2 يعطي الناتج 79 والباقي 1. علاوة على ذلك، الرقم 79 عند القسمة على 2 يعطي الناتج 39 والباقي 1، إلخ. نتيجة لذلك، عند إنشاء رقم من بقايا القسمة (من اليمين إلى اليسار)، نحصل على رقم في SS الثنائي: 10011111 . ولذلك يمكننا أن نكتب:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 . لنقم بتحويل الرقم 615 من SS العشري إلى SS الثماني.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

عند تحويل رقم من SS العشري إلى SS الثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم بالتتابع على 8 حتى تحصل على عدد صحيح متبقي أقل من 8. ونتيجة لذلك، عند إنشاء رقم من باقي القسمة (من اليمين إلى اليسار) نحصل على رقم في الثماني SS: 1147 (انظر الشكل 2). ولذلك يمكننا أن نكتب:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 . لنقم بتحويل الرقم 19673 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

كما يتبين من الشكل 3، من خلال قسمة الرقم 19673 على 16 على التوالي، يكون الباقي هو 4، 12، 13، 9. في نظام الأرقام السداسي العشري، الرقم 12 يتوافق مع C، والرقم 13 يتوافق مع D. لذلك، لدينا الرقم الست عشري هو 4CD9.

لتحويل الكسور العشرية العادية (رقم حقيقي بجزء صحيح صفري) إلى نظام أرقام ذو أساس s، من الضروري ضرب هذا الرقم تباعًا في s حتى يحتوي الجزء الكسري على صفر خالص، أو نحصل على العدد المطلوب من الأرقام . إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ هذا الجزء الصحيح في الاعتبار (يتم تضمينه في النتيجة بالتسلسل).

دعونا نلقي نظرة على ما سبق مع الأمثلة.

مثال 7 . دعونا نحول الرقم 0.214 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي.

		0.214
	س	2
0		0.428
	س	2
0		0.856
	س	2
1		0.712
	س	2
1		0.424
	س	2
0		0.848
	س	2
1		0.696
	س	2
1		0.392

كما يتبين من الشكل 4، يتم ضرب الرقم 0.214 بالتتابع في 2. إذا كانت نتيجة الضرب رقمًا به جزء صحيح غير الصفر، فسيتم كتابة الجزء الصحيح بشكل منفصل (على يسار الرقم)، ويتم كتابة الرقم بجزء صحيح صفر. إذا نتج عن الضرب رقم جزءه صحيح صفر، فيكتب صفر على يساره. وتستمر عملية الضرب حتى يصل الجزء الكسري إلى الصفر الخالص أو نحصل على العدد المطلوب من الأرقام. وبكتابة الأرقام بالخط العريض (الشكل 4) من الأعلى إلى الأسفل نحصل على الرقم المطلوب في نظام الأرقام الثنائية: 0. 0011011 .

ولذلك يمكننا أن نكتب:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 . لنقم بتحويل الرقم 0.125 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي.

		0.125
	س	2
0		0.25
	س	2
0		0.5
	س	2
1		0.0

ولتحويل الرقم 0.125 من الرقم العشري SS إلى الثنائي يتم ضرب هذا الرقم بالتسلسل في 2. وفي المرحلة الثالثة تكون النتيجة 0، وبالتالي يتم الحصول على النتيجة التالية:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 . لنقم بتحويل الرقم 0.214 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري.

		0.214
	س	16
3		0.424
	س	16
6		0.784
	س	16
12		0.544
	س	16
8		0.704
	س	16
11		0.264
	س	16
4		0.224

باتباع المثالين 4 و5، نحصل على الأرقام 3، 6، 12، 8، 11، 4. لكن في نظام SS السداسي العشري، يتوافق الرقمان 12 و11 مع الرقمين C وB. لذلك، لدينا:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

مثال 10 . لنقم بتحويل الرقم 0.512 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثماني.

		0.512
	س	8
4		0.096
	س	8
0		0.768
	س	8
6		0.144
	س	8
1		0.152
	س	8
1		0.216
	س	8
1		0.728

يملك:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 . لنقم بتحويل الرقم 159.125 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي. للقيام بذلك، نترجم بشكل منفصل الجزء الصحيح من الرقم (المثال 4) والجزء الكسري من الرقم (المثال 8). مزيد من الجمع بين هذه النتائج نحصل على:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 . لنقم بتحويل الرقم 19673.214 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري. للقيام بذلك، نترجم بشكل منفصل الجزء الصحيح من الرقم (المثال 6) والجزء الكسري من الرقم (المثال 9). وعلاوة على ذلك، والجمع بين هذه النتائج التي نحصل عليها.

أولئك الذين يتقدمون لامتحان الدولة الموحدة والمزيد...

ومن الغريب أنه في دروس علوم الكمبيوتر في المدارس عادة ما يوضحون للطلاب الطريقة الأكثر تعقيدًا وإزعاجًا لتحويل الأرقام من نظام إلى آخر. تتكون هذه الطريقة من قسمة الرقم الأصلي على الأساس بالتسلسل وجمع الباقي من القسمة بترتيب عكسي.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تحويل الرقم 810 10 إلى ثنائي:

نكتب النتيجة بترتيب عكسي من الأسفل إلى الأعلى. اتضح 81010 = 11001010102

إذا كنت بحاجة إلى تحويل أرقام كبيرة إلى حد ما إلى النظام الثنائي، فإن سلم التقسيم يأخذ حجم مبنى متعدد الطوابق. وكيف يمكنك جمع كل الآحاد والأصفار وعدم تفويت أي منها؟

يتضمن برنامج امتحان الدولة الموحدة في علوم الكمبيوتر عدة مهام تتعلق بتحويل الأرقام من نظام إلى آخر. عادةً ما يكون هذا تحويلًا بين الأنظمة الثمانية والست عشرية والثنائية. هذه هي الأقسام A1، B11. ولكن هناك أيضًا مشكلات في أنظمة الأعداد الأخرى، كما هو الحال في القسم B7.

في البداية، دعونا نتذكر جدولين سيكون من الجيد حفظهما عن ظهر قلب لأولئك الذين يختارون علوم الكمبيوتر كمهنة مستقبلية لهم.

جدول الصلاحيات رقم 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

ويمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق ضرب الرقم السابق في 2. لذا، إذا كنت لا تتذكر كل هذه الأرقام، فليس من الصعب الحصول على الباقي في ذهنك من تلك التي تتذكرها.

جدول الأرقام الثنائية من 0 إلى 15 مع تمثيل سداسي عشري:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	أ	ب	ج	د	ه	F

من السهل أيضًا حساب القيم المفقودة عن طريق إضافة 1 إلى القيم المعروفة.

تحويل عدد صحيح

لذلك، دعونا نبدأ بالتحويل مباشرة إلى النظام الثنائي. لنأخذ نفس الرقم 810 10. علينا تحليل هذا العدد إلى حدود تساوي قوى العدد اثنين.

1. نحن نبحث عن قوة اثنين الأقرب إلى 810 ولا تتجاوزها. هذا هو 2 9 = 512.
2. اطرح 512 من 810 نحصل على 298.
3. كرر الخطوتين 1 و2 حتى لا يتبقى أي رقم 1 أو 0.
4. لقد حصلنا عليها هكذا: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

ثم هناك طريقتان، يمكنك استخدام أي منهما. كم هو سهل أن نرى أن قاعدته في أي نظام أرقام هي دائمًا 10. وسيكون مربع القاعدة دائمًا 100، والمكعب 1000. أي أن درجة قاعدة نظام الأرقام هي 1 (واحد)، و هناك العديد من الأصفار خلفها مثل الدرجة.

طريقة 1: رتب 1 حسب أرقام مؤشرات المصطلحات. في مثالنا، هذه هي 9 و8 و5 و3 و1. وستحتوي الأماكن المتبقية على أصفار. لذلك، حصلنا على التمثيل الثنائي للرقم 810 10 = 1100101010 2. يتم وضع الوحدات في المراكز التاسع والثامن والخامس والثالث والأول، ويتم العد من اليمين إلى اليسار من الصفر.

الطريقة 2: لنكتب الحدود كقوى لاثنين تحت بعضها البعض، بدءًا بالأكبر.

810 =

الآن دعونا نضيف هذه الخطوات معًا، مثل طي المروحة: 1100101010.

هذا كل شئ. في الوقت نفسه، تم أيضًا حل مشكلة "كم عدد الوحدات الموجودة في التمثيل الثنائي للرقم 810؟"

الجواب على قدر وجود مصطلحات (قوى اثنين) في هذا التمثيل. 810 لديه 5 منهم.

الآن المثال أبسط.

دعونا نحول الرقم 63 إلى نظام الأعداد الخماسي. أقرب قوة من 5 إلى 63 هي 25 (المربع 5). سيكون المكعب (125) كثيرًا بالفعل. أي أن 63 يقع بين مربع 5 والمكعب. ثم سنختار المعامل لـ 5 2. هذا هو 2.

نحصل على 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

وأخيرًا، ترجمات سهلة جدًا بين الأنظمة 8 والأنظمة السداسية العشرية. وبما أن قاعدتها هي قوة اثنين، فإن الترجمة تتم تلقائيًا، وذلك ببساطة عن طريق استبدال الأرقام بتمثيلها الثنائي. بالنسبة للنظام الثماني، يتم استبدال كل رقم بثلاثة أرقام ثنائية، وبالنسبة للنظام السداسي العشري، يتم استبدال أربعة. في هذه الحالة، جميع الأصفار البادئة مطلوبة، باستثناء الرقم الأكثر أهمية.

دعونا نحول الرقم 547 8 إلى ثنائي.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

واحد آخر، على سبيل المثال 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	د	6	أ

لنحول الرقم 7368 إلى النظام السداسي العشري أولًا، نكتب الأرقام بثلاثة توائم، ثم نقسمها إلى رباعيات من النهاية: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. دعونا نحول الرقم C25 16 إلى النظام الثماني. أولا نكتب الأرقام رباعية ثم نقسمها إلى ثلاثات من النهاية: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. الآن دعونا نلقي نظرة على التحويل مرة أخرى إلى النظام العشري. ليس من الصعب، والشيء الرئيسي هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. نقوم بتوسيع الرقم إلى كثيرة الحدود مع قوى الأساس ومعاملاتها. ثم نضرب ونضيف كل شيء. ه68 16 = 14*16 2 + 6*16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

تحويل الأرقام السالبة

هنا عليك أن تأخذ في الاعتبار أنه سيتم تقديم الرقم في رمز مكمل لشخصين. لتحويل رقم إلى رمز إضافي، تحتاج إلى معرفة الحجم النهائي للرقم، أي ما نريد أن يتناسب معه - بايت، بايتين، أربعة. الرقم الأكثر أهمية في الرقم يعني العلامة. إذا كان هناك 0، فإن الرقم موجب، وإذا كان 1، فهو سلبي. على اليسار، يتم استكمال الرقم برقم الإشارة. نحن لا نعتبر الأرقام غير الموقعة؛ فهي دائمًا موجبة، ويتم استخدام الجزء الأكثر أهمية فيها كمعلومات.

لتحويل رقم سالب إلى مكمل ثنائي، تحتاج إلى تحويل رقم موجب إلى ثنائي، ثم تغيير الأصفار إلى آحاد والآحاد إلى أصفار. ثم أضف 1 إلى النتيجة.

لذلك، دعونا نحول الرقم -79 إلى النظام الثنائي. الرقم سوف يأخذنا بايت واحد.

نقوم بتحويل 79 إلى النظام الثنائي، 79 = 1001111. نضيف أصفارًا على اليسار إلى حجم البايت، 8 بتات، نحصل على 01001111. نغير 1 إلى 0 و0 إلى 1. نحصل على 10110000. نضيف 1 إلى والنتيجة نحصل على الجواب 10110001. على طول الطريق، نجيب على سؤال امتحان الدولة الموحدة "كم عدد الوحدات الموجودة في التمثيل الثنائي للرقم -79؟" الجواب هو 4.

تؤدي إضافة 1 إلى معكوس الرقم إلى إزالة الفرق بين التمثيلين +0 = 00000000 و -0 = 11111111. في الكود المكمل لشخصين، سيتم كتابتهما بنفس الطريقة 00000000.

تحويل الأعداد الكسرية

يتم تحويل الأعداد الكسرية بالطريقة العكسية لقسمة الأعداد الصحيحة على الأساس، وهو ما نظرنا إليه في البداية. أي استخدام الضرب المتسلسل بأساس جديد مع جمع الأجزاء الكاملة. يتم جمع الأجزاء الصحيحة التي تم الحصول عليها أثناء الضرب، ولكن لا تشارك في العمليات التالية. يتم ضرب الكسور فقط. إذا كان الرقم الأصلي أكبر من 1، فسيتم ترجمة الأجزاء الصحيحة والكسرية بشكل منفصل ثم لصقها معًا.

دعونا نحول الرقم 0.6752 إلى النظام الثنائي.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

ويمكن أن تستمر العملية لفترة طويلة حتى نحصل على جميع الأصفار في الجزء الكسري أو يتم تحقيق الدقة المطلوبة. دعونا نتوقف عند العلامة السادسة في الوقت الحالي.

اتضح 0.6752 = 0.101011.

إذا كان الرقم 5.6752، فسيكون 101.101011 في النظام الثنائي.

يستخدم معظم الناس على كوكبنا نظام الأرقام العشرية عند العد، لكن أجهزة الكمبيوتر تستخدم نظام الأرقام الثنائية. استخدمت بعض القبائل في فجر التنمية البشرية النظام الاثني عشري والستيني. ومنهم يتبقى لنا 12 ساعة على الاتصال الهاتفي و 60 دقيقة في الساعة.

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحويل رقم من نظام إلى آخر. في هذه المقالة، سننظر بشكل أكثر تحديدًا في كيفية التحويل إلى النظام العشري من بعض الأنظمة الشائعة الأخرى.

مبدأ بناء رقم من الأرقام

أولا وقبل كل شيء، عليك أن تفهم ما هو نظام الأرقام وأساسه. نظام الأرقام هو وسيلة لتمثيل الأرقام كمجموعة من أرقام معينة. أساس النظام هو عدد الأرقام المستخدمة فيه. على سبيل المثال، في النظام العشري ذو الأساس 10 يوجد 10 أرقام فقط - من 0 إلى 9. في النظام السداسي العشري، يوجد، على التوالي، 16 رقمًا، يتم تحديدها بالأرقام العربية 0 - 9 والأحرف اللاتينية A - F بدلاً من الأرقام 10 - 15. على سبيل المثال، 2F7BE 16 - رقم سداسي عشري. عند كتابته بهذه الطريقة، يشير الحرف المنخفض إلى قاعدة نظام الأرقام. الفرق الرئيسي بين الأنظمة ذات القواعد المختلفة هو "قيمة" الرقم 10. في النظام السداسي العشري، 10 16 يساوي 16 10، ولكن في النظام الثنائي، 10 2 سيكون مساويا لاثنين فقط. سيتم حساب 100 16 كـ

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

ومن الضروري أيضًا التمييز بين مفهومي "الرقم" و"الرقم". يُشار إلى الرقم برمز واحد، ويمكن تمثيل الرقم بعدة رموز. على سبيل المثال، الرقم 9 10 في النظام الثنائي سيبدو مثل 1001 2، والرقم 9 في النظام الثنائي غير موجود على هذا النحو.

خوارزمية الترجمة

لتحويل رقم إلى النظام العشري، عليك أن تتعلم كيفية استخدام خوارزمية بسيطة.

1. تحديد أساس نظام الأرقام. ويشار إليه بالخط المنخفض بعد الرقم، على سبيل المثال، في الرقم 2F7BE 16 الأساس هو 16.
2. اضرب كل رقم من الرقم في الأساس إلى قوة تساوي عدد الرقم من اليمين إلى اليسار، بدءًا من الصفر. في الرقم 2F7BE، يتم ضرب 16 E (يساوي 14) في 16 أس صفر، و B (الرقم 11) في 16 أس الأول، وهكذا: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11 *16 1 + 14*16 0 .
3. قم بإضافة النتائج.

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

دعونا نلقي نظرة على أمثلة حول كيفية تحويل الأنظمة السداسية العشرية والثمانية والثنائية الأكثر شيوعًا إلى نظام عشري.

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10

وبطبيعة الحال، يعد العد يدويًا في كل مرة أمرًا غير مريح وغير عقلاني وحتى مترددًا. هناك العديد من الآلات الحاسبة التي يمكنها تحويل الأرقام من نظام إلى نظام. على سبيل المثال، يمكن لآلة حاسبة Windows القياسية في الوضع المبرمج (مفاتيح Alt+3 أو قائمة العرض) أن تعمل مع أنظمة الجذر 2 و8 و10 و16.

في إحدى المواد لدينا نظرنا إلى التعريف. لديها أقصر الأبجدية. رقمين فقط: 0 و 1. وترد في الجدول أمثلة على الحروف الهجائية لأنظمة الأرقام الموضعية.

أنظمة الأرقام الموضعية

اسم النظام	قاعدة	الأبجدية
الثنائية
الثالوث
رباعي
خمسة أضعاف
ثماني
عدد عشري		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
الاثني عشري		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,أ,ب
السداسي عشري		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,أ,ب,ج,د,ه,F
ستة وثلاثون		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O, P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

لتحويل رقم صغير من رقم عشري إلى ثنائي وبالعكس، من الأفضل استخدام الجدول التالي.

جدول تحويل الأعداد العشرية من 0 إلى 20 إلى نظام الأرقام الثنائية.

عدد عشري رقم	عدد ثنائي	عدد عشري رقم	عدد ثنائي

ومع ذلك، فإن الجدول سيكون ضخما إذا كتبت جميع الأرقام هناك. سيكون العثور على الرقم الصحيح بينهم أكثر صعوبة. من الأسهل بكثير تذكر العديد من الخوارزميات لتحويل الأرقام من نظام أرقام موضعي إلى آخر.

كيفية التحويل من نظام أرقام إلى آخر؟ في علوم الكمبيوتر، هناك عدة طرق بسيطة لتحويل الأرقام العشرية إلى أرقام ثنائية. دعونا ننظر إلى اثنين منهم.

الطريقة رقم 1.

لنفترض أنك بحاجة إلى تحويل رقم 637 النظام العشري إلى النظام الثنائي.

يتم ذلك على النحو التالي: تم العثور على القوة القصوى لاثنين بحيث يكون اثنان في هذه القوة أقل من أو يساوي الرقم الأصلي.

في حالتنا هو 9، لأن 2 9 =512 ، أ 2 10 =1024 وهو أكبر من رقمنا الأولي. وهكذا حصلنا على عدد أرقام النتيجة. وهي تساوي 9+1=10. هذا يعني أن النتيجة ستبدو كما يلي: 1××××××××، حيث يمكن استبدال x بـ 1 أو 0.

دعونا نجد الرقم الثاني من النتيجة. لنرفع اثنين للقوة 9 ونطرح من الرقم الأصلي: 637-2 9 =125. ثم قارن مع الرقم 2 8 =256 . وبما أن 125 أقل من 256، فإن الرقم التاسع سيكون 0، أي. ستبدو النتيجة بالفعل مثل 10××××××.

2 7 =128 > 125 مما يعني أن الرقم الثامن سيكون أيضًا صفرًا.

2 6 =64 ، فالرقم السابع يساوي 1. 125-64=61 وبذلك نكون قد حصلنا على أربعة أرقام أولية وسيكون الرقم على الشكل 10011×××××.

2 5 =32 ونحن نرى أن 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - الرقم الخامس 1 => 1001111xxx. الباقي 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111x. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111x، الباقي 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x، الباقي 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

وستكون هذه هي النتيجة النهائية.

الطريقة رقم 2.

تنص قاعدة تحويل الأعداد الصحيحة العشرية إلى نظام الأرقام الثنائية على ما يلي:

1. دعونا نقسم أ n−1 أ n−2 ...أ 1 أ 0 =أ n−1⋅2 ن−1 +أ ن−2⋅2 ن−2 +...+أ 0⋅2 0 × 2.
2. سيكون حاصل القسمة مساوياً لـ و−1⋅2n−2+...+a1، والباقي سيكون متساويا
3. دعونا نقسم حاصل القسمة مرة أخرى على 2، وسيكون باقي القسمة مساويًا لـ a1.
4. إذا واصلنا عملية القسمة هذه، فسنحصل في الخطوة n على مجموعة من الأرقام: أ 0 ,أ 1 ,أ 2 ,...,أ n−1، والتي يتم تضمينها في التمثيل الثنائي للرقم الأصلي وتتزامن مع الباقي عندما يتم تقسيمه بالتسلسل على 2.
5. وبالتالي، لتحويل رقم عشري صحيح إلى نظام الأرقام الثنائية، تحتاج إلى تقسيم الرقم المحدد ونواتج القسمة الصحيحة الناتجة على 2 حتى نحصل على حاصل قسمة يساوي الصفر.

يتم تجميع الرقم الأصلي في نظام الأرقام الثنائية عن طريق تسجيل البقايا الناتجة بشكل تسلسلي. نبدأ في تسجيله مع آخر ما تم العثور عليه.

دعونا نحول الرقم العشري 11 في نظام الأرقام الثنائية. يمكن تصوير تسلسل الإجراءات التي تمت مناقشتها أعلاه (خوارزمية الترجمة) على النحو التالي:

يملك 11 10 =1011 2 .

مثال:

إذا كان الرقم العشري كبيرًا بما يكفي، فإن الطريقة التالية لكتابة الخوارزمية التي تمت مناقشتها أعلاه تكون أكثر ملاءمة:

363 10 =101101011 2