الطريقة الوحيدة الموجودة كانت التشفير المتماثل. يجب أن يظل مفتاح الخوارزمية سريًا من قبل كلا الطرفين. يتم اختيار خوارزمية التشفير من قبل الأطراف قبل بدء تبادل الرسائل.

يوتيوب الموسوعي

1 / 3

علوم الكمبيوتر. حماية المعلومات: التشفير المتماثل. مركز فوكسفورد للتعليم عبر الإنترنت

PGP.01 فهم التشفير غير المتماثل

شفرة قيصر. التشفير المتماثل

ترجمات

معلومات اساسية

تُستخدم خوارزميات تشفير البيانات على نطاق واسع في تكنولوجيا الكمبيوتر في أنظمة إخفاء المعلومات السرية والتجارية من الاستخدام الضار من قبل أطراف ثالثة. المبدأ الرئيسي فيها هو الشرط يعرف المرسل والمستقبل خوارزمية التشفير مسبقًاوكذلك مفتاح الرسالة التي بدونها تكون المعلومات مجرد مجموعة من الرموز التي لا معنى لها.

الأمثلة الكلاسيكية لهذه الخوارزميات هي خوارزميات التشفير المتماثلة، المدرجة أدناه:

• إعادة ترتيب بسيطة
• التقليب واحد عن طريق المفتاح
• التقليب المزدوج
• التقليب "المربع السحري"

إعادة ترتيب بسيطة

يعد التقليب البسيط بدون مفتاح أحد أبسط طرق التشفير. تتم كتابة الرسالة في جدول في الأعمدة. بعد كتابة النص العادي في أعمدة، تتم قراءته سطرًا تلو الآخر لتكوين النص المشفر. لاستخدام هذا التشفير، يجب على المرسل والمستلم الاتفاق على مفتاح مشترك في شكل حجم جدول. لا يتم تضمين دمج الحروف في مجموعات في مفتاح التشفير ويستخدم فقط لتسهيل كتابة نص لا معنى له.

التقليب واحد عن طريق المفتاح

هناك طريقة تشفير أكثر عملية تسمى تبديل المفتاح الفردي تشبه إلى حد كبير الطريقة السابقة. ويختلف فقط في أنه يتم إعادة ترتيب أعمدة الجدول وفقًا لكلمة رئيسية أو عبارة أو مجموعة من الأرقام بطول سطر الجدول.

التقليب المزدوج

لمزيد من الأمان، يمكنك إعادة تشفير رسالة تم تشفيرها بالفعل. تُعرف هذه الطريقة بالتقليب المزدوج. وللقيام بذلك يتم تحديد حجم الجدول الثاني بحيث تختلف أطوال صفوفه وأعمدته عن أطوال الجدول الأول. من الأفضل أن تكون أولية نسبيًا. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إعادة ترتيب الأعمدة الموجودة في الجدول الأول، ويمكن إعادة ترتيب الصفوف الموجودة في الجدول الثاني. أخيرًا، يمكنك ملء الجدول بشكل متعرج أو ثعبان أو حلزوني أو بطريقة أخرى. مثل هذه الأساليب لملء الجدول، إذا لم تزيد من قوة التشفير، فإنها تجعل عملية التشفير أكثر إمتاعًا.

التقليب "المربع السحري"

المربعات السحرية عبارة عن جداول مربعة تحتوي على أرقام طبيعية متتالية من 1 مدرجة في خلاياها، والتي يكون مجموعها نفس الرقم لكل عمود وكل صف وكل قطري. تم استخدام هذه المربعات على نطاق واسع لإدخال نص مشفر وفقًا للترقيم الوارد فيها. إذا قمت بعد ذلك بكتابة محتويات الجدول سطرًا تلو الآخر، فستحصل على التشفير عن طريق إعادة ترتيب الحروف. للوهلة الأولى، يبدو كما لو أن هناك عددًا قليلاً جدًا من المربعات السحرية. ومع ذلك، فإن عددهم يتزايد بسرعة كبيرة مع زيادة حجم المربع. وبالتالي، هناك مربع سحري واحد فقط بقياس 3 × 3، إذا لم تأخذ في الاعتبار دورانه. يوجد بالفعل 880 مربعًا سحريًا بحجم 4 × 4، ويبلغ عدد المربعات السحرية بحجم 5 × 5 حوالي 250000، لذلك يمكن أن تكون المربعات السحرية الكبيرة أساسًا جيدًا لنظام تشفير موثوق في ذلك الوقت، نظرًا لمحاولة كل ذلك يدويًا كانت الخيارات الرئيسية لهذا التشفير غير واردة.

الأرقام من 1 إلى 16 تتلاءم مع مربع قياسه 4 × 4. وكان سحره هو أن مجموع الأرقام في الصفوف والأعمدة والأقطار الكاملة يساوي نفس الرقم - 34. ظهرت هذه المربعات لأول مرة في الصين، حيث تم تخصيصها بعض "القوة السحرية".

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

تم تنفيذ تشفير المربع السحري على النحو التالي. على سبيل المثال، تحتاج إلى تشفير العبارة: "أنا قادم اليوم". تتم كتابة أحرف هذه العبارة بالتتابع في المربع حسب الأرقام المكتوبة فيها: موضع الحرف في الجملة يتوافق مع الرقم الترتيبي. يتم وضع نقطة في الخلايا الفارغة.

16.	3 و	2 ص	13 د
5 ض	العاشر	11 جرام	8 ش
9 ج	6 ث	7 أ	12 س
الرابع	15 ط	14 ن	1 ص

بعد ذلك، تتم كتابة النص المشفر في سلسلة (تتم القراءة من اليسار إلى اليمين، سطرًا تلو الآخر):
.irdzegu SzhaoyanP

عند فك التشفير، يتم وضع النص في مربع، ويتم قراءة النص العادي بتسلسل أرقام "المربع السحري". يجب أن يقوم البرنامج بإنشاء "مربعات سحرية" واختيار المربع المطلوب بناءً على المفتاح. المربع أكبر من 3x3.

قصة

متطلبات

يعد الفقدان الكامل لجميع الأنماط الإحصائية للرسالة الأصلية متطلبًا مهمًا للتشفير المتماثل. للقيام بذلك، يجب أن يكون للتشفير "تأثير الانهيار الجليدي" - يجب أن يحدث تغيير قوي في كتلة التشفير مع تغيير 1 بت في بيانات الإدخال (من الناحية المثالية، يجب أن تكون قيم 1/2 بت من كتلة التشفير يتغير).

هناك شرط مهم آخر وهو غياب الخطية (أي الشروط f(a) xor f(b) == f(a xor b))، وإلا فسيتم تسهيل تطبيق تحليل الشفرات التفاضلي على التشفير.

المخطط العام

حاليا، الأصفار المتماثلة هي:

• كتلة الأصفار. يقومون بمعالجة المعلومات في كتل ذات طول معين (عادة 64، 128 بت)، وتطبيق مفتاح على الكتلة بترتيب محدد، عادة من خلال عدة دورات من الخلط والاستبدال، تسمى جولات. نتيجة تكرار الجولات هو تأثير الانهيار الجليدي - فقدان متزايد لمراسلات البت بين كتل البيانات العادية والمشفرة.
• تشفير التدفق، حيث يتم التشفير على كل بت أو بايت من النص الأصلي (العادي) باستخدام جاما. يمكن إنشاء تشفير التدفق بسهولة استنادًا إلى تشفير الكتلة (على سبيل المثال، GOST 28147-89 في وضع جاما) الذي يتم تشغيله في وضع خاص.

تستخدم معظم الأصفار المتماثلة مجموعة معقدة من عدد كبير من الاستبدالات والتباديل. يتم تنفيذ العديد من هذه الأصفار في عدة تمريرات (أحيانًا تصل إلى 80) تمريرة، باستخدام "مفتاح المرور" في كل تمريرة. تسمى مجموعة "مفاتيح المرور" لجميع التمريرات "جدول المفاتيح". كقاعدة عامة، يتم إنشاؤه من المفتاح عن طريق إجراء عمليات معينة عليه، بما في ذلك التباديل والاستبدالات.

الطريقة النموذجية لبناء خوارزميات التشفير المتماثل هي شبكة Feistel. تقوم الخوارزمية ببناء نظام تشفير يعتمد على الدالة F(D, K)، حيث D عبارة عن جزء من البيانات بنصف حجم كتلة التشفير، وK هو "مفتاح المرور" لتمرير معين. ليس من الضروري أن تكون الدالة قابلة للعكس - فقد تكون وظيفتها العكسية غير معروفة. تتمثل مزايا شبكة Feistel في المصادفة شبه الكاملة لفك التشفير مع التشفير (الفرق الوحيد هو الترتيب العكسي لـ "مفاتيح المرور" في الجدول الزمني)، مما يسهل إلى حد كبير تنفيذ الأجهزة.

تقوم عملية التقليب بخلط بتات الرسالة وفقًا لقانون معين. في تطبيقات الأجهزة، يتم تنفيذه بشكل تافه كعكس الأسلاك. إن عمليات التقليب هي التي تجعل من الممكن تحقيق "تأثير الانهيار الجليدي". عملية التقليب خطية - f(a) xor f(b) == f(a xor b)

يتم تنفيذ عمليات الاستبدال كاستبدال قيمة جزء معين من الرسالة (غالبًا 4 أو 6 أو 8 بت) برقم قياسي ثابت في الخوارزمية عن طريق الوصول إلى مصفوفة ثابتة. تقدم عملية الاستبدال اللاخطية في الخوارزمية.

في كثير من الأحيان، تعتمد قوة الخوارزمية، وخاصة في مواجهة تحليل الشفرات التفاضلي، على اختيار القيم في جداول البحث (S-boxes). كحد أدنى، يعتبر من غير المرغوب فيه وجود عناصر ثابتة S(x) = x، بالإضافة إلى غياب تأثير بعض البتات من بايت الإدخال على بعض البتات من النتيجة - أي الحالات التي تكون فيها البتة الناتجة هي نفس الشيء بالنسبة لجميع أزواج كلمات الإدخال التي تختلف فقط في هذا الجزء.

معلمات الخوارزمية

هناك العديد من خوارزميات التشفير المتماثل (ما لا يقل عن عشرين)، المعلمات الأساسية لها هي:

• طول المفتاح
• عدد الجولات
• طول الكتلة المعالجة
• تعقيد تنفيذ الأجهزة / البرامج
• تعقيد التحويل

أنواع الأصفار المتماثلة

كتلة الأصفار

• AES (معيار التشفير المتقدم بالهندسة) - معيار التشفير الأمريكي

التعريف 1

مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة $y=f(x)$، المعرفة في مقطع معين، تسمى التكامل غير المحدد لدالة معينة $y=f(x)$. يُشار إلى التكامل غير المحدد بالرمز $\int f(x)dx $.

تعليق

يمكن كتابة التعريف 2 على النحو التالي:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

لا يمكن التعبير عن كل وظيفة غير عقلانية باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، يمكن اختزال معظم هذه التكاملات باستخدام بدائل تكاملات الدوال الكسرية، والتي يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \يمين)^(r/s) \يمين)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

أنا

عند العثور على تكامل من النموذج $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ فمن الضروري إجراء الاستبدال التالي:

مع هذا الاستبدال، يتم التعبير عن كل قوة كسرية للمتغير $x$ من خلال قوة عددية للمتغير $t$. ونتيجة لذلك، يتم تحويل الدالة التكاملية إلى دالة نسبية للمتغير $t$.

مثال 1

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

حل:

$k=4$ هو القاسم المشترك للكسور $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(صفيف)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

ثانيا

عند العثور على تكامل للنموذج $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ من الضروري إجراء الاستبدال التالي:

حيث $k$ هو القاسم المشترك للكسور $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

ونتيجة لهذا الاستبدال، يتم تحويل الدالة التكاملية إلى دالة نسبية للمتغير $t$.

مثال 2

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

حل:

لنقم بالاستبدال التالي:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1) +\frac(4)(t^(2) -4) \يمين)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \يسار |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

وبعد إجراء الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة النهائية:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

ثالثا

عند العثور على تكامل من النموذج $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $، يتم إجراء ما يسمى باستبدال أويلر (أحد البدائل الثلاثة الممكنة هو مستخدم).

استبدال أويلر الأول

بالنسبة للحالة $a>

أخذ علامة "+" أمام $\sqrt(a) $، نحصل عليها

مثال 3

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) ) .\]

حل:

لنجري الاستبدال التالي (الحالة $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

وبعد إجراء الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة النهائية:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

تبديل أويلر الثاني

بالنسبة للحالة $c>0$، من الضروري إجراء الاستبدال التالي:

أخذ علامة "+" أمام $\sqrt(c) $، نحصل عليها

مثال 4

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2)) ) ) dx .\]

حل:

لنقم بالاستبدال التالي:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ بعد إجراء العكس بالتعويض نحصل على النتيجة النهائية:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2)) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2)) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2)) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2)) ) +1\right|+C) \end ( مجموعة مصفوفة)\]

تبديل أويلر الثالث

الدالة غير المنطقية للمتغير هي دالة تتكون من متغير وثوابت عشوائية باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب (الرفع إلى قوة عددية) والقسمة وأخذ الجذور. تختلف الوظيفة غير العقلانية عن الوظيفة العقلانية من حيث أن الوظيفة غير العقلانية تحتوي على عمليات لاستخراج الجذور.

هناك ثلاثة أنواع رئيسية من الدوال غير المنطقية، والتي يتم تقليل تكاملاتها غير المحددة إلى تكاملات الدوال الكسرية. هذه هي تكاملات تحتوي على جذور قوى أعداد صحيحة من دالة كسرية خطية (يمكن أن تكون الجذور ذات قوى مختلفة، ولكن من نفس الوظيفة الكسرية الخطية)؛ تكاملات ذات الحدين التفاضلية والتكاملات مع الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة.

ملاحظة مهمة. الجذور لها معاني متعددة!

عند حساب التكاملات التي تحتوي على جذور، غالبًا ما نواجه تعبيرات النموذج، حيث توجد بعض وظائف متغير التكامل. وينبغي أن يؤخذ في الاعتبار ذلك. وهذا هو، في ر> 0 , |t| = ر. في ر< 0 , |t| = - ر .لذلك، عند حساب هذه التكاملات، من الضروري النظر بشكل منفصل في الحالات t > 0 و ت< 0 . ويمكن القيام بذلك عن طريق كتابة العلامات أو حيثما كان ذلك ضروريا. على افتراض أن العلامة العلوية تشير إلى الحالة t> 0 والسفلي - للحالة ر< 0 . مع مزيد من التحول، تميل هذه العلامات إلى إلغاء بعضها البعض.

هناك طريقة ثانية ممكنة أيضًا، حيث يمكن اعتبار التكامل ونتيجة التكامل دوال معقدة لمتغيرات معقدة. إذًا ليس عليك الانتباه إلى العلامات الموجودة في التعبيرات المتطرفة. ينطبق هذا النهج إذا كان التكامل تحليليًا، أي دالة قابلة للتفاضل لمتغير معقد. في هذه الحالة، يعتبر التكامل وتكامله دوال متعددة القيم. لذلك، بعد التكامل، عند استبدال القيم العددية، من الضروري تحديد فرع أحادي القيمة (سطح ريمان) من التكامل، وله تحديد الفرع المقابل لنتيجة التكامل.

اللاعقلانية الخطية الكسرية

هذه تكاملات لها جذور من نفس الدالة الخطية الكسرية:
,
حيث R هي دالة عقلانية، وهي أرقام عقلانية، m 1، n 1، ...، m s، n s أعداد صحيحة، α، β، γ، δ هي أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكامل دالة عقلانية عن طريق الاستبدال:
، حيث n هو القاسم المشترك للأرقام r 1، ...، r s.

قد لا تأتي الجذور بالضرورة من دالة كسرية خطية، ولكن أيضًا من دالة خطية (γ = 0 , δ = 1)، أو على متغير التكامل x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

فيما يلي أمثلة على هذه التكاملات:
, .

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية لها الشكل:
,
حيث m، n، p هي أرقام نسبية، وa، b أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكاملات الدوال العقلانية في ثلاث حالات.

1) إذا كان p عدداً صحيحاً. الاستبدال x = t N، حيث N هو القاسم المشترك للكسرين m و n.
2) إذا - عدد صحيح. التعويض a x n + b = t M، حيث M هو مقام الرقم p.
3) إذا - عدد صحيح. الاستبدال a + b x - n = t M، حيث M هو مقام الرقم p.

وفي حالات أخرى، لا يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

في بعض الأحيان يمكن تبسيط هذه التكاملات باستخدام صيغ الاختزال:
;
.

التكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة

هذه التكاملات لها الشكل:
,
حيث R هي دالة عقلانية. لكل تكامل من هذا القبيل هناك عدة طرق لحله.
1) يؤدي استخدام التحويلات إلى تكاملات أبسط.
2) تطبيق البدائل المثلثية أو الزائدية.
3) تطبيق بدائل أويلر.

دعونا نلقي نظرة على هذه الأساليب بمزيد من التفصيل.

1) تحويل الدالة التكاملية

بتطبيق الصيغة وإجراء التحويلات الجبرية، نقوم بتبسيط الدالة التكاملية إلى النموذج:
,
حيث φ(x)، ω(x) هي وظائف عقلانية.

النوع I

تكامل النموذج:
,
حيث P n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n.

تم العثور على هذه التكاملات بطريقة المعاملات غير المحددة باستخدام الهوية:

.
بتفاضل هذه المعادلة ومساواة الطرفين الأيسر والأيمن نجد المعاملات A i.

النوع الثاني

تكامل النموذج:
,
حيث P m (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة m.

استبدال ر = (س - α) -1يتم تقليل هذا التكامل إلى النوع السابق. إذا كان m ≥ n، فيجب أن يحتوي الكسر على جزء صحيح.

النوع الثالث

وهنا نقوم بالاستبدال:
.
وبعد ذلك سوف يأخذ التكامل الشكل:
.
بعد ذلك، يجب اختيار الثوابت α، β بحيث تصبح معاملات t في المقام صفرًا:
ب = 0، ب 1 = 0.
ثم يتحلل التكامل إلى مجموع التكاملات من نوعين:
,
,
التي يتم دمجها عن طريق البدائل:
ش 2 = أ 1 ر 2 + ج 1،
الخامس 2 = أ 1 + ج 1 ر -2 .

2) البدائل المثلثية والزائدة

بالنسبة لتكاملات النموذج أ > 0 ,
لدينا ثلاثة بدائل رئيسية:
;
;
;

بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
لدينا البدائل التالية:
;
;
;

وأخيرًا، بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
البدائل هي كما يلي:
;
;
;

3) بدائل أويلر

أيضًا، يمكن اختزال التكاملات إلى تكاملات الدوال الكسرية لواحدة من بدائل أويلر الثلاثة:
، ل> 0؛
, ل ج > 0 ;
، حيث x 1 هو جذر المعادلة a x 2 + b x + c = 0. إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية.

التكاملات الاهليلجية

في الختام، النظر في تكاملات النموذج:
,
حيث R هي دالة عقلانية. تسمى هذه التكاملات إهليلجية. بشكل عام، لا يتم التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، هناك حالات عندما تكون هناك علاقات بين المعاملات A، B، C، D، E، حيث يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

فيما يلي مثال يتعلق بمتعددات الحدود الانعكاسية. يتم حساب هذه التكاملات باستخدام البدائل:
.

مثال

حساب التكامل:
.

حل

دعونا نجعل الاستبدال.

.
هنا في x> 0 (ش> 0 ) خذ العلامة العلوية ′+ ′. في العاشر< 0 (ش< 0 ) - أدنى '- '.

.

إجابة

مراجع:
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

نواصل النظر في تكاملات الكسور والجذور. ليست جميعها معقدة للغاية، ولكن لسبب أو لآخر كانت الأمثلة "خارج الموضوع" قليلاً في مقالات أخرى.

مثال 9

أوجد التكامل غير المحدد

يوجد في المقام تحت الجذر ثلاثية الحدود بالإضافة إلى "ملحق" على شكل "X" خارج الجذر. يمكن حل جزء لا يتجزأ من هذا النوع باستخدام الاستبدال القياسي.

.

الاستبدال هنا بسيط:

دعونا ننظر إلى الحياة بعد الاستبدال:

(1) بعد التعويض، نختصر الحدود الموجودة تحت الجذر إلى قاسم مشترك.

(2) نخرجه من تحت الجذر.

(3) يتم تقليل البسط والمقام بمقدار . وفي الوقت نفسه، قمنا بإعادة ترتيب المصطلحات الموجودة تحت الجذر بترتيب مناسب. مع بعض الخبرة، يمكن تخطي الخطوات (1)، (2) عن طريق تنفيذ الإجراءات التي تم التعليق عليها شفهيًا.

(4) تم حل التكامل الناتج، كما تتذكر طريقة استخراج المربع الكامل. حدد مربعًا كاملاً.

(5) بالتكامل نحصل على لوغاريتم "طويل" عادي.

(6) نقوم بإجراء الاستبدال العكسي. إذا كان في البداية، ثم العودة: .

(7) يهدف الإجراء النهائي إلى تقويم النتيجة: تحت الجذر نعيد المصطلحات إلى قاسم مشترك ونخرجها من تحت الجذر.

مثال 10

أوجد التكامل غير المحدد

.

هذا مثال لك لحله بنفسك. هنا يتم إضافة ثابت إلى "X" المنفرد، والاستبدال هو نفسه تقريبًا:

.

الشيء الوحيد المطلوب هو إضافة علامة "x" من عملية الاستبدال الجاري تنفيذها:

.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

في بعض الأحيان في مثل هذا التكامل قد يكون هناك ذات حدين من الدرجة الثانية تحت الجذر، وهذا لا يغير طريقة الحل، بل سيكون أبسط. تشعر الفرق:

مثال 11

أوجد التكامل غير المحدد

مثال 12

أوجد التكامل غير المحدد

حلول وإجابات مختصرة في نهاية الدرس. تجدر الإشارة إلى أن المثال 11 هو بالضبط تكامل ذو الحدين، والتي تمت مناقشة حلها في الفصل تكاملات الوظائف غير العقلانية.

تكامل كثيرة الحدود من الدرجة الثانية غير القابلة للتحلل في المقام للقوة

نوع أكثر ندرة من التكامل، ولكن مع ذلك يتم مواجهته في الأمثلة العملية.

مثال 13

أوجد التكامل غير المحدد

يحتوي مقام التكامل على ذات حدين من الدرجة الثانية لا يمكن تحليلها إلى عوامل. نؤكد على أن عدم القابلية للتحليل هي سمة أساسية. إذا تم تحليل كثير الحدود، فكل شيء يصبح أكثر وضوحا، على سبيل المثال:

لنعد إلى مثال رقم الحظ 13. هذا التكامل هو أيضًا أحد التكاملات التي يمكن أن تكون مؤلمة جدًا إذا كنت لا تعرف كيفية حلها.

الحل يبدأ بتحول مصطنع:

أعتقد أن الجميع يفهم بالفعل كيفية قسمة البسط على المقام حدًا تلو الآخر.

يتم أخذ التكامل الناتج في أجزاء:

لجزء لا يتجزأ من النموذج

أين ( ك≥ 2) – عدد طبيعي، مشتق متكررصيغة التخفيض:

; هو تكامل لدرجة أقل بمقدار 1.

ماذا لو كان هناك كثير حدود إضافي في البسط؟ في هذه الحالة، يتم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة، ويتم توسيع التكامل إلى مجموع الكسور. إذا واجهت مثل هذا التكامل، فاطلع على الكتاب المدرسي - كل شيء بسيط هناك.

الإجابات الجاهزة حول تكامل الوظائف مأخوذة من اختبار طلاب السنة الأولى والثانية في أقسام الرياضيات. للتأكد من أن الصيغ في المسائل والإجابات لا تكرر شروط المهام، لن نكتب الشروط. أنت تعلم بالفعل أنه في المسائل التي تحتاج فيها إما إلى "البحث عن التكامل" أو "حساب التكامل". لذلك، إذا كنت بحاجة إلى إجابات حول التكامل، فابدأ بدراسة الأمثلة التالية.

تكامل الوظائف غير العقلانية

مثال 18. نقوم بتغيير المتغيرات تحت التكامل. لتبسيط العمليات الحسابية، لا نختار الجذر فقط، بل المقام بأكمله للمتغير الجديد. بعد هذا الاستبدال، يتم تحويل التكامل إلى مجموع تكاملين جدوليين، والتي لا تحتاج إلى تبسيط

بعد التكامل نعوض بالمتغير
مثال 19. لقد تم إنفاق الكثير من الوقت والمساحة على تكامل هذه الدالة الكسرية غير المنطقية، ولا نعرف حتى ما إذا كان بإمكانك اكتشافها من جهاز لوحي أو هاتف. للتخلص من اللاعقلانية، ونحن هنا نتعامل مع الجذر التكعيبي، نختار الدالة الجذرية للقوة الثالثة للمتغير الجديد. بعد ذلك، نوجد التفاضلية ونستبدل الدالة السابقة بالتكامل

الجزء الأكثر استهلاكًا للوقت هو جدولة وظيفة جديدة لعلاقات القوة والكسور.

بعد التحويلات نجد بعض التكاملات مباشرة ونكتب الأخير إلى اثنين نحوله حسب صيغ التكامل الجدولي

بعد كل الحسابات، لا تنس العودة إلى الاستبدال الذي تم إجراؤه في البداية

دمج الدوال المثلثية

مثال 20. علينا إيجاد تكامل الجيب للقوة السابعة. وفقًا للقواعد، يجب دفع جيب واحد إلى التفاضل (نحصل على تفاضل جيب التمام)، ويجب كتابة الجيب إلى القوة السادسة من خلال جيب التمام. وهكذا نصل إلى التكامل من دالة المتغير الجديد t = cos (x). في هذه الحالة، سيتعين عليك إحضار الفرق إلى المكعب، ثم التكامل



ونتيجة لذلك، نحصل على كثيرة الحدود من الرتبة 7 في جيب التمام.
مثال 21. في هذا التكامل، من الضروري كتابة جيب تمام الدرجة الرابعة في الصيغ المثلثية من خلال الاعتماد على جيب تمام الدرجة الأولى. بعد ذلك، نطبق الصيغة الجدولية لتكامل جيب التمام.


مثال 22. تحت التكامل لدينا حاصل ضرب الجيب وجيب التمام. وفقًا للصيغ المثلثية، نكتب حاصل الضرب من خلال فرق الجيب. يمكن فهم كيفية الحصول على هذا القوس من خلال تحليل معاملات "x". بعد ذلك نقوم بدمج الجيوب

مثال 23. لدينا هنا دالة الجيب وجيب التمام في المقام. علاوة على ذلك، فإن الصيغ المثلثية لن تساعد في تبسيط الاعتماد. لإيجاد التكامل، نطبق الاستبدال المثلثي الشامل t=tan(x/2)

يتضح من السجل أن المقامين سوف يلغيان وسنحصل على ثلاثية مربعة في مقام الكسر. فيه نختار مربعًا كاملاً وجزءًا مجانيًا. وبعد التكامل، نصل إلى لوغاريتم الفرق بين العوامل الأولية للمقام. لتبسيط الترميز، تم ضرب كل من البسط والمقام تحت اللوغاريتم في اثنين.

في نهاية الحسابات، بدلًا من المتغير، نعوض بظل نصف الوسيطة.
مثال 24. لتكامل الدالة، نخرج مربع جيب التمام من الأقواس، ونطرح واحدًا ونضيف واحدًا من الأقواس للحصول على ظل التمام.

بعد ذلك، نختار ظل التمام u = ctg (x) للمتغير الجديد، وسيعطينا تفاضله العامل الذي نحتاجه للتبسيط. بعد الاستبدال، نصل إلى دالة تعطي ظل قوسي عند تكاملها.

حسنًا، لا تنس تغيير u إلى ظل التمام.
مثال 25. في المهمة الأخيرة للاختبار، تحتاج إلى تحقيق تكامل ظل التمام لزاوية مزدوجة حتى الدرجة الرابعة.


في هذه المرحلة، تم حل اختبار التكامل، ولن يجد أي معلم خطأً في الإجابات ومبررات التحويلات.
إذا تعلمت كيفية التكامل بهذه الطريقة، فإن الاختبارات أو الأقسام المتعلقة بموضوع التكاملات ليست مخيفة بالنسبة لك. كل شخص آخر لديه الفرصة للتعلم أو طلب حلول التكاملات منا (أو من منافسينا :))).