تعريف. القطع المكافئهي مجموعة من النقاط على المستوى، كل منها على مسافة واحدة من نقطة معينة تسمى البؤرة، ومن خط معين يسمى الدليل ولا تمر بالبؤرة.

لنضع أصل الإحداثيات في المنتصف بين البؤرة والدليل.

ضخامة ر(المسافة من التركيز إلى الدليل) تسمى معاملالقطع المكافئة. دعونا نستنتج المعادلة القانونية للقطع المكافئ.

من العلاقات الهندسية: أكون. = م.ف.; أكون. = س + ص/2;

م.ف. 2 = ص 2 + (س – ص/2) 2

(س + ص/2) 2 = ص 2 + (س – ص/2) 2

س 2 +xp+p 2 /4 = ص 2 +x 2 – إكس بي + ص 2 /4

ذ 2 = 2 بكسل(3.7)

معادلة الدليل: س = - ص/2 إحداثيات التركيز F(ص/2;0), أوهأوه (يمين ) .

شعاع من الأشعة مع مصدر يقع في التركيز، بعد الانعكاس من القطع المكافئ، سوف يتحول إلى شعاع مواز من الأشعة. هوائيات المرآة المكافئة مبنية على هذا المبدأ.

اعتمادًا على اختيار موضع نقطة الأصل ومحاور الإحداثيات بالنسبة إلى التركيز والدليل، يمكن الحصول على ثلاث معادلات قانونية أخرى للقطع المكافئ:

ذ 2 = -2 بكسل: إحداثيات التركيز F(- ص/2;0), مركز القطع المكافئ هو في الأصل. محور التماثل – المحور أوهأوه(غادر).

X 2 = 2 صص:إحداثيات التركيز F(0; ص/2), مركز القطع المكافئ هو في الأصل. محور التماثل – المحور الوحدة التنظيمية، يتم توجيه فروع القطع المكافئ في الاتجاه الموجب للمحور الوحدة التنظيمية(أعلى).

X 2 = -2 صص:إحداثيات التركيز F(0;- ص/2), مركز القطع المكافئ هو في الأصل. محور التماثل – المحور الوحدة التنظيمية، يتم توجيه فروع القطع المكافئ في الاتجاه السلبي للمحور الوحدة التنظيمية(تحت).

ومع ذلك، في كثير من الأحيان يتعين عليك التعامل مع معادلة القطع المكافئ المعتادة، المعروفة من المدرسة:

ذ = فأس 2 + bx + ج(3.8) ، أين أ، ب، ج –المعلمات القطع المكافئ. الرسوم البيانية لقيم مختلفة من هذه المعلمات:

أ < 0

أ > 0

عادة، يتم استخدام عدة نقاط رئيسية لرسم رسم بياني للقطع المكافئ: الجذور، ومحور التماثل، ورأس القطع المكافئ، حيث يتم توجيه فروع القطع المكافئ (لأعلى أو لأسفل)، وما إلى ذلك. من المفترض إيجاد هذه النقاط الرئيسية من معادلة القطع المكافئ

مثال.على القطع المكافئ في 2 = 8xأوجد النقطة التي تكون بعدها عن الدليل 4.

ومن معادلة القطع المكافئ نجد أن p = 4.

ص = س + ص/2 = 4؛ لذلك:

س = 2;ذ 2 = 16;ذ =4. النقاط التي تم البحث عنها: م 1 (2; 4),م 2 (2; -4).

§4. نظم الإحداثيات.

يمكن تحديد أي نقطة على المستوى بشكل فريد باستخدام أنظمة إحداثيات مختلفة، ويتم تحديد اختيارها من خلال عوامل مختلفة.

يمكن لطريقة تحديد الشروط الأولية لحل أي مشكلة عملية محددة أن تحدد اختيار نظام إحداثي معين. لسهولة الحساب، غالبا ما يفضل استخدام أنظمة إحداثيات أخرى غير النظام الديكارتي المستطيل. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يعتمد وضوح عرض الإجابة النهائية أيضًا بشكل كبير على اختيار نظام الإحداثيات.

دعونا نفكر في ما يسمى نظام الإحداثيات القطبية; إنها مريحة للغاية ويتم استخدامها كثيرًا.

دالة النموذج a>0، يتم توجيه الفروع لأعلى 0، يتم توجيه الفروع لأعلى 0، يتم توجيه الفروع لأعلى 0، يتم توجيه الفروع لأعلى 0، يتم توجيه الفروع لأعلى 0، يتم توجيه الفروع لأعلى 0، يتم توجيه الفروع لأعلى أ

دالة النموذج a>0 تتفرع إلى الأعلى n>0 n 0 فروع لأعلى n>0 n"> 0 فروع لأعلى n>0 n"> 0 فروع لأعلى n>0 n" title="وظيفة النموذج a>0 فروع لأعلى n>0 n""> title="دالة النموذج a>0 تتفرع إلى الأعلى n>0 n"> !}

دالة النموذج a>0 فروع أعلى m>0 m 0 فروع لأعلى م>0 م"> 0 فروع لأعلى م>0 م"> 0 فروع لأعلى م>0 م" title="وظيفة النموذج a>0 فروع لأعلى م>0 م""> title="دالة النموذج a>0 فروع أعلى m>0 m"> !}

باستخدام الرسم البياني للدالة، حدد علامات المعاملات a و c 1) a0 4) a>0,c 0,c"> 0,c"> 0,c" title=" باستخدام الرسم البياني للدالة، حدد علامات المعاملات a وc 1) a0 4) a>0,c"> title="باستخدام الرسم البياني للدالة، حدد علامات المعاملات a و c 1) a0 4) a>0,c"> !}

0) 2. حدد أصغر قيمة للدالة 3. ما هو نطاق قيمها. 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد فترات العمر" title=" قم ببناء رسم بياني للدالة 1. عند أي قيم للوسيطة تكون الدالة إيجابية القيم (y>0) 2. حدد أصغر قيمة للدالة 3. ما هي المساحة قيمها 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد فترات العمر." class="link_thumb"> 17 !}إنشاء رسم بياني للدالة 1. عند أي قيم للوسيطة تأخذ الدالة قيمًا موجبة (y>0) 2. أشر إلى أصغر قيمة للدالة 3. ما هو نطاق قيمها. 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد فترات الزيادة والنقصان للدالة 6. ما هي القيم التي تأخذها الدالة إذا كانت 0x4 0) 2. حدد أصغر قيمة للدالة 3. ما هو نطاق قيمها. 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد فترات الزيادة "> 0) 2. حدد أصغر قيمة للدالة 3. ما مدى قيمها. 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. أشر إلى فترات الزيادة والنقصان للدالة 6. ما هي القيم التي تأخذها الدالة إذا 0x4"> 0) 2. أشر إلى أصغر قيمة للدالة 3. ما هي نطاق قيمها. 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد فترات العمر" title=" قم ببناء رسم بياني للدالة 1. عند أي قيم للوسيطة تكون الدالة إيجابية القيم (y>0) 2. حدد أصغر قيمة للدالة 3. ما هي المساحة قيمها 4. ابحث عن إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد فترات العمر."> title="إنشاء رسم بياني للدالة 1. عند أي قيم للوسيطة تأخذ الدالة قيمًا موجبة (y>0) 2. أشر إلى أصغر قيمة للدالة 3. ما هو نطاق قيمها. 4. أوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور 5. حدد الفترات العمرية"> !}

كيفية بناء القطع المكافئ؟ هناك عدة طرق لرسم دالة تربيعية بيانيًا. كل واحد منهم لديه إيجابيات وسلبيات. دعونا نفكر في طريقتين.

لنبدأ برسم دالة تربيعية بالشكل y=x²+bx+c وy= -x²+bx+c.

مثال.

ارسم بيانيًا الدالة y=x²+2x-3.

حل:

y=x²+2x-3 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ

من الرأس (-1;-4) نبني رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ y=x² (اعتبارًا من أصل الإحداثيات. بدلاً من (0;0) - الرأس (-1;-4). من (-1; -4) نذهب إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة وإلى أعلى بمقدار وحدة واحدة، ثم إلى اليسار بمقدار 1 وإلى الأعلى بمقدار 1 ثم: 2 - يمين، 4 - أعلى، 2 - يسار، 3 - أعلى، 3 -؛ اليسار، 9 - أعلى إذا كانت هذه النقاط السبع غير كافية، ثم 4 إلى اليمين، و 16 إلى الأعلى، وما إلى ذلك).

الرسم البياني للدالة التربيعية y= -x²+bx+c عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه نحو الأسفل. لإنشاء رسم بياني، نبحث عن إحداثيات الرأس ومنه نبني قطعًا مكافئًا y= -x².

مثال.

ارسم الدالة y= -x²+2x+8.

حل:

y= -x²+2x+8 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ

من الأعلى نبني القطع المكافئ y= -x² (1 - إلى اليمين، 1- إلى الأسفل؛ 1 - إلى اليسار، 1 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليمين، 4 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليسار، 4 - إلى الأسفل، إلخ.):

تسمح لك هذه الطريقة ببناء القطع المكافئ بسرعة ولا تسبب صعوبات إذا كنت تعرف كيفية رسم الدالتين y=x² وy= -x². العيب: إذا كانت إحداثيات الرأس عبارة عن أرقام كسرية، فليس من المناسب جدًا إنشاء رسم بياني. إذا كنت تريد معرفة القيم الدقيقة لنقاط تقاطع الرسم البياني مع محور الثور، فسيتعين عليك أيضًا حل المعادلة x²+bx+c=0 (أو -x²+bx+c=0)، حتى لو كان من الممكن تحديد هذه النقاط مباشرة من الرسم.

هناك طريقة أخرى لإنشاء قطع مكافئ وهي بالنقاط، أي أنه يمكنك العثور على عدة نقاط على الرسم البياني ورسم قطع مكافئ من خلالها (مع الأخذ في الاعتبار أن الخط x=xₒ هو محور التماثل). عادةً ما يتم أخذ قمة القطع المكافئ ونقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات و1-2 نقاط إضافية لهذا الغرض.

ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y=x²+5x+4.

حل:

y=x²+5x+4 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ

أي أن الجزء العلوي من القطع المكافئ هو النقطة (-2.5؛ -2.25).

يبحثون عن . عند نقطة التقاطع مع محور الثور y=0: x²+5x+4=0. جذور المعادلة التربيعية x1=-1، x2=-4، أي أننا حصلنا على نقطتين على الرسم البياني (-1؛ 0) و (-4؛ 0).

عند نقطة تقاطع الرسم البياني مع محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. لقد حصلنا على النقطة (0؛ 4).

لتوضيح الرسم البياني، يمكنك العثور على نقطة إضافية. لنأخذ x=1، ثم y=1²+5∙1+4=10، أي نقطة أخرى على الرسم البياني هي (1; 10). نحتفل بهذه النقاط على المستوى الإحداثي. مع الأخذ في الاعتبار تماثل القطع المكافئ بالنسبة للخط الذي يمر عبر رأسه، نحدد نقطتين إضافيتين: (-5؛ 6) و (-6؛ 10) ونرسم قطعًا مكافئًا من خلالهما:

ارسم الدالة y= -x²-3x.

حل:

y= -x²-3x هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ

الرأس (-1.5؛ 2.25) هو النقطة الأولى في القطع المكافئ.

عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور x y=0، نحل المعادلة -x²-3x=0. جذورها هي x=0 وx=-3، أي (0;0) و(-3;0) - نقطتان إضافيتان على الرسم البياني. النقطة (o; 0) هي أيضًا نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور الإحداثي.

عند x=1 y=-1²-3∙1=-4، تكون (1; -4) نقطة إضافية للتخطيط.

يعد إنشاء القطع المكافئ من النقاط طريقة أكثر كثافة في العمالة مقارنة بالطريقة الأولى. إذا لم يتقاطع القطع المكافئ مع محور الثور، فستكون هناك حاجة إلى المزيد من النقاط الإضافية.

قبل الاستمرار في إنشاء الرسوم البيانية للدوال التربيعية بالصيغة y=ax²+bx+c، دعونا نفكر في إنشاء الرسوم البيانية للدوال باستخدام التحولات الهندسية. ومن الأكثر ملائمة أيضًا إنشاء رسوم بيانية للدوال بالصيغة y=x²+c باستخدام أحد هذه التحويلات - الترجمة الموازية.

التصنيف: |

دالة النموذج حيث يتم استدعاؤها وظيفة من الدرجة الثانية.

الرسم البياني للدالة التربيعية – القطع المكافئ.

دعونا ننظر في الحالات:

أنا أعتبر القطع المكافئ الكلاسيكي

إنه ، ،

للبناء، املأ الجدول عن طريق استبدال قيم x في الصيغة:

ضع علامة على النقاط (0؛0)؛ (1؛1)؛ (-1؛1)، الخ. على المستوى الإحداثي (كلما كانت الخطوة التي نتخذها لقيم x أصغر (في هذه الحالة، الخطوة 1)، وكلما زادت قيم x التي نتخذها، كلما كان المنحنى أكثر سلاسة)، نحصل على القطع المكافئ:

من السهل أن نرى أنه إذا أخذنا الحالة، فسنحصل على قطع مكافئ متماثل حول المحور (أوه). من السهل التحقق من ذلك عن طريق ملء جدول مماثل:

الحالة الثانية، "أ" تختلف عن الوحدة

ماذا سيحدث لو أخذنا ،،؟ كيف سيتغير سلوك القطع المكافئ؟ مع العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

في الصورة الأولى (أنظر أعلاه) يظهر بوضوح أن النقاط من الجدول الخاص بالقطع المكافئ (1;1)، (-1;1) قد تم تحويلها إلى نقاط (1;4)، (1;-4)، أي أنه مع نفس القيم، يتم ضرب إحداثيات كل نقطة في 4. سيحدث هذا لجميع النقاط الرئيسية في الجدول الأصلي. نحن نفكر بالمثل في حالات الصورتين 2 و 3.

وعندما "يصبح القطع المكافئ أوسع" من القطع المكافئ:

دعونا نلخص:

1)تحدد علامة المعامل اتجاه الفروع. مع العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) قيمه مطلقهالمعامل (المعامل) هو المسؤول عن "تمدد" و"ضغط" القطع المكافئ. كلما كان القطع المكافئ أكبر، كان القطع المكافئ أضيق؛ وكلما كان |a| أصغر، كان القطع المكافئ أوسع.

الحالة الثالثة، تظهر "C".

الآن دعونا ندخل في اللعبة (أي، النظر في الحالة عندما)، سننظر في القطع المكافئة من النموذج . ليس من الصعب التخمين (يمكنك دائمًا الرجوع إلى الجدول) أن القطع المكافئ سيتحرك لأعلى أو لأسفل على طول المحور اعتمادًا على العلامة:

الحالة الرابعة، تظهر "ب".

متى "ينفصل" القطع المكافئ عن المحور ويسير في النهاية على طول المستوى الإحداثي بأكمله؟ متى سيتوقف عن المساواة؟

هنا لبناء القطع المكافئ الذي نحتاجه صيغة لحساب قمة الرأس: , .

لذلك عند هذه النقطة (كما هو الحال عند النقطة (0؛0) من نظام الإحداثيات الجديد) سنقوم ببناء القطع المكافئ، وهو ما يمكننا القيام به بالفعل. إذا كنا نتعامل مع هذه الحالة، فمن قمة الرأس نضع قطعة وحدة واحدة إلى اليمين، وواحدة لأعلى - النقطة الناتجة هي نقطتنا (وبالمثل، خطوة إلى اليسار، خطوة للأعلى هي نقطتنا)؛ إذا كنا نتعامل، على سبيل المثال، فمن الرأس نضع قطعة وحدة واحدة إلى اليمين، واثنين - لأعلى، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، قمة القطع المكافئ:

الآن الشيء الرئيسي الذي يجب أن نفهمه هو أننا في هذه القمة سنبني قطعًا مكافئًا وفقًا لنمط القطع المكافئ، لأنه في حالتنا.

عند بناء القطع المكافئ بعد العثور على إحداثيات قمة الرأس جدامن الملائم مراعاة النقاط التالية:

1) القطع المكافئ سوف تمر بالتأكيد من خلال هذه النقطة . في الواقع، باستبدال x=0 في الصيغة، نحصل على ذلك. أي أن إحداثية نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) هي . في مثالنا (أعلاه)، يتقاطع القطع المكافئ مع الإحداثي عند النقطة .

2) محاور التماثل القطع المكافئة هو خط مستقيم، لذا فإن جميع نقاط القطع المكافئ ستكون متماثلة حوله. في مثالنا، نأخذ النقطة (0؛ -2) على الفور ونبنيها متناظرة بالنسبة إلى محور تماثل القطع المكافئ، نحصل على النقطة (4؛ -2) التي سيمر من خلالها القطع المكافئ.

3) وبمساواة نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (يا). للقيام بذلك، قمنا بحل المعادلة. اعتمادًا على المُميز، سنحصل على واحد (، ) ، اثنان ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . في المثال السابق، جذر المميز ليس عددًا صحيحًا؛ عند البناء، ليس من المنطقي بالنسبة لنا إيجاد الجذور، لكننا نرى بوضوح أنه سيكون لدينا نقطتا تقاطع مع المحور (أوه). (منذ العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

لذلك دعونا نعمل على حل هذه المشكلة

خوارزمية بناء القطع المكافئ إذا تم تقديمها في النموذج

1) تحديد اتجاه الفروع (أ>0 – أعلى، أ<0 – вниз)

2) نجد إحداثيات رأس القطع المكافئ باستخدام الصيغة .

3) نجد نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) باستخدام المصطلح الحر، وننشئ نقطة متناظرة لهذه النقطة بالنسبة إلى محور تماثل القطع المكافئ (تجدر الإشارة إلى أنه يحدث أنه من غير المربح تحديد هذه النقطة مثلا لأن القيمة كبيرة...نتخطى هذه النقطة...)

4) عند النقطة التي تم العثور عليها - قمة القطع المكافئ (كما هو الحال عند النقطة (0؛0) من نظام الإحداثيات الجديد) نقوم ببناء القطع المكافئ. إذا كان العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) (إذا لم "تظهر" بعد) عن طريق حل المعادلة

مثال 1

مثال 2

ملاحظة 1.إذا تم إعطاء القطع المكافئ لنا في البداية في النموذج، حيث توجد بعض الأرقام (على سبيل المثال، )، فسيكون من الأسهل بناءه، لأننا حصلنا بالفعل على إحداثيات الرأس. لماذا؟

لنأخذ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ونعزل المربع الكامل فيها: انظر، لقد حصلنا على ذلك، . لقد قمنا أنا وأنت سابقًا بتسمية قمة القطع المكافئ، أي الآن، .

على سبيل المثال، . نحدد قمة القطع المكافئ على المستوى، ونفهم أن الفروع موجهة نحو الأسفل، ويتم توسيع القطع المكافئ (بالنسبة إلى ). أي أننا ننفذ النقاط 1؛ 3؛ 4؛ 5 من خوارزمية بناء القطع المكافئ (انظر أعلاه).

ملاحظة 2.إذا تم إعطاء القطع المكافئ في شكل مشابه لهذا (أي يتم تقديمه كمنتج لعاملين خطيين)، فإننا نرى على الفور نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (الثور). في هذه الحالة – ​​(0;0) و (4;0). بالنسبة للباقي، نتصرف وفقًا للخوارزمية، ونفتح الأقواس.

ربما يعلم الجميع ما هو القطع المكافئ. لكننا سننظر في كيفية استخدامه بشكل صحيح وكفء عند حل المشكلات العملية المختلفة أدناه.

أولاً، دعونا نلخص المفاهيم الأساسية التي يقدمها الجبر والهندسة لهذا المصطلح. دعونا ننظر في جميع الأنواع الممكنة من هذا الرسم البياني.

دعونا نتعرف على جميع الخصائص الرئيسية لهذه الوظيفة. دعونا نفهم أساسيات بناء المنحنى (الهندسة). دعونا نتعلم كيفية العثور على القيم العليا والقيم الأساسية الأخرى للرسم البياني من هذا النوع.

دعونا نكتشف: كيفية بناء المنحنى المطلوب بشكل صحيح باستخدام المعادلة، وما الذي تحتاج إلى الاهتمام به. دعونا نلقي نظرة على التطبيق العملي الرئيسي لهذه القيمة الفريدة في حياة الإنسان.

ما هو القطع المكافئ وكيف يبدو؟

الجبر: يشير هذا المصطلح إلى الرسم البياني للدالة التربيعية.

الهندسة: هذا منحنى من الدرجة الثانية يحتوي على عدد من الميزات المحددة:

معادلة القطع المكافئ الكنسي

يوضح الشكل نظام الإحداثيات المستطيل (XOY)، وهو الحد الأقصى، واتجاه فروع الدالة المرسومة على طول محور الإحداثي السيني.

المعادلة الكنسية هي:

ص 2 = 2 * ص * س،

حيث المعامل p هو المعلمة البؤرية للقطع المكافئ (AF).

في الجبر سيتم كتابته بشكل مختلف:

ص = أ س 2 + ب س + ج (النمط الذي يمكن التعرف عليه: ص = س 2).

خصائص والرسم البياني للدالة التربيعية

الدالة لها محور تماثل ومركز (أقصى). مجال التعريف هو كل قيم محور الإحداثي السيني.

نطاق قيم الدالة – ​​(-∞, M) أو (M, +∞) يعتمد على اتجاه فروع المنحنى. المعلمة M هنا تعني قيمة الدالة في أعلى السطر.

كيفية تحديد أين يتم توجيه فروع القطع المكافئ

للعثور على اتجاه منحنى من هذا النوع من التعبير، تحتاج إلى تحديد الإشارة قبل المعلمة الأولى للتعبير الجبري. إذا كانت ˃ 0، فهي موجهة للأعلى. إذا كان الأمر على العكس من ذلك، إلى أسفل.

كيفية العثور على قمة القطع المكافئ باستخدام الصيغة

يعد العثور على الحد الأقصى هو الخطوة الأساسية في حل العديد من المشكلات العملية. بالطبع، يمكنك فتح آلات حاسبة خاصة عبر الإنترنت، ولكن من الأفضل أن تكون قادرًا على القيام بذلك بنفسك.

كيفية تحديد ذلك؟ هناك صيغة خاصة. عندما لا يساوي b 0، نحتاج إلى البحث عن إحداثيات هذه النقطة.

صيغ العثور على قمة الرأس:

• س 0 = -ب / (2 * أ)؛
• ص 0 = ص (س 0).

مثال.

توجد دالة y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. فلنوجد رؤوس هذه الدالة.

لخط مثل هذا:

• س = -16 / (2 * 4) = -2؛
• ص = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

نحصل على إحداثيات الرأس (-2، -41).

إزاحة القطع المكافئ

الحالة الكلاسيكية هي عندما تكون المعلمتان الثانية والثالثة في الدالة التربيعية y = a x 2 + b x + c مساوية للصفر، و= 1 - يكون الرأس عند النقطة (0؛ 0).

الحركة على طول المحور الإحداثي أو الإحداثي ترجع إلى التغيرات في المعلمات b و c على التوالي.سيتم إزاحة الخط الموجود على المستوى بعدد الوحدات الذي يساوي قيمة المعلمة بالضبط.

مثال.

لدينا: ب = 2، ج = 3.

وهذا يعني أن الشكل الكلاسيكي للمنحنى سوف يتحول بمقدار جزأين وحدة على طول محور الإحداثي الإحداثي وبنسبة 3 على طول المحور الإحداثي.

كيفية بناء القطع المكافئ باستخدام معادلة تربيعية

من المهم لأطفال المدارس أن يتعلموا كيفية رسم القطع المكافئ بشكل صحيح باستخدام معلمات معينة.

ومن خلال تحليل التعبيرات والمعادلات، يمكنك رؤية ما يلي:

1. نقطة تقاطع الخط المطلوب مع المتجه الإحداثي ستكون لها قيمة تساوي c.
2. ستكون جميع نقاط الرسم البياني (على طول المحور السيني) متناظرة بالنسبة إلى الحد الأقصى الرئيسي للدالة.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن إيجاد نقاط التقاطع مع OX بمعرفة المميز (D) لهذه الدالة:

د = (ب 2 - 4 * أ * ج).

للقيام بذلك، تحتاج إلى مساواة التعبير بالصفر.

يعتمد وجود جذور القطع المكافئ على النتيجة:

• د˃ 0، ثم س 1، 2 = (-ب ± د 0.5) / (2 * أ)؛
• د = 0، ثم س 1، 2 = -ب / (2 * أ)؛
• D ˂ 0، فلا توجد نقاط تقاطع مع المتجه OX.

نحصل على الخوارزمية لبناء القطع المكافئ:

• تحديد اتجاه الفروع.
• العثور على إحداثيات الرأس.
• العثور على التقاطع مع المحور الإحداثي.
• أوجد التقاطع مع المحور x.

مثال 1.

بالنظر إلى الدالة y = x 2 - 5 * x + 4. فمن الضروري بناء القطع المكافئ. نحن نتبع الخوارزمية:

1. أ = 1، لذلك يتم توجيه الفروع إلى الأعلى؛
2. الإحداثيات القصوى: x = - (-5) / 2 = 5/2؛ ص = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4؛
3. يتقاطع مع المحور الإحداثي عند القيمة y = 4؛
4. لنجد المميز: D = 25 - 16 = 9؛
5. البحث عن الجذور:

• × 1 = (5 + 3) / 2 = 4؛ (4، 0)؛
• × 2 = (5 - 3) / 2 = 1؛ (10).

مثال 2.

بالنسبة للدالة y = 3 * x 2 - 2 * x - 1، عليك إنشاء قطع مكافئ. نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية المحددة:

1. أ = 3، لذلك يتم توجيه الفروع إلى الأعلى؛
2. الإحداثيات القصوى: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3؛ ص = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3؛
3. سوف يتقاطع مع المحور y عند القيمة y = -1؛
4. لنجد المميز: د = 4 + 12 = 16. إذن الجذور هي:

• × 1 = (2 + 4) / 6 = 1؛ (1;0);
• × 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3؛ (-1/3؛ 0).

باستخدام النقاط التي تم الحصول عليها، يمكنك بناء القطع المكافئ.

الدليل، الانحراف، تركيز القطع المكافئ

بناءً على المعادلة الأساسية، فإن تركيز F له إحداثيات (p/2, 0).

الخط المستقيم AB هو دليل (نوع من وتر القطع المكافئ بطول معين). معادلتها: x = -p/2.

الانحراف (ثابت) = 1.

خاتمة

نظرنا إلى موضوع يدرسه الطلاب في المدرسة الثانوية. الآن أنت تعرف، بالنظر إلى الدالة التربيعية للقطع المكافئ، كيفية العثور على قمة الرأس، وفي أي اتجاه سيتم توجيه الفروع، وما إذا كان هناك إزاحة على طول المحاور، وبوجود خوارزمية بناء، يمكنك رسم الرسم البياني الخاص بها.