سيغطي هذا الموضوع عمليات مثل جمع وطرح المصفوفات، وضرب مصفوفة في رقم، وضرب مصفوفة في مصفوفة، ونقل مصفوفة. جميع الرموز المستخدمة في هذه الصفحة مأخوذة من الموضوع السابق.

جمع وطرح المصفوفات.

مجموع $A+B$ من المصفوفات $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و$B_(m\times n)=(b_(ij))$ يسمى المصفوفة $C_(m) \times n) =(c_(ij))$، حيث $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ لكل $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline( 1،ن) $.

يتم تقديم تعريف مماثل لاختلاف المصفوفات:

الفرق بين المصفوفات $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ هي المصفوفة $C_(m\times) n)=( c_(ij))$، حيث $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ لكل $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1, ن)$.

شرح للمدخل $i=\overline(1,m)$: show\hide

الترميز "$i=\overline(1,m)$" يعني أن المعلمة $i$ تختلف من 1 إلى m. على سبيل المثال، يشير الإدخال $i=\overline(1,5)$ إلى أن المعلمة $i$ تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5.

تجدر الإشارة إلى أن عمليات الجمع والطرح يتم تعريفها فقط للمصفوفات ذات الحجم نفسه. بشكل عام، جمع وطرح المصفوفات هي عمليات واضحة بشكل حدسي، لأنها تعني في الأساس مجرد جمع أو طرح العناصر المقابلة.

المثال رقم 1

يتم إعطاء ثلاث مصفوفات:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

هل من الممكن العثور على المصفوفة $A+F$؟ ابحث عن المصفوفات $C$ و$D$ إذا كانت $C=A+B$ و$D=A-B$.

تحتوي المصفوفة $A$ على صفين و3 أعمدة (بمعنى آخر، حجم المصفوفة $A$ هو $2\times 3$)، وتحتوي المصفوفة $F$ على صفين وعمودين. حجم المصفوفتين $A$ و$F$ غير متطابقين، لذا لا يمكننا جمعهما، أي. لم يتم تعريف العملية $A+F$ لهذه المصفوفات.

أحجام المصفوفات $A$ و $B$ هي نفسها، أي. تحتوي بيانات المصفوفة على عدد متساو من الصفوف والأعمدة، وبالتالي فإن عملية الجمع تنطبق عليها.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

لنجد المصفوفة $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

إجابة: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

ضرب مصفوفة بعدد.

حاصل ضرب المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ بالرقم $\alpha$ هو المصفوفة $B_(m\times n)=(b_(ij))$، حيث $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ للجميع $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1,n)$.

ببساطة، ضرب مصفوفة في عدد معين يعني ضرب كل عنصر في مصفوفة معينة في هذا الرقم.

المثال رقم 2

يتم إعطاء المصفوفة: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. ابحث عن المصفوفات $3\cdot A$ و$-5\cdot A$ و$-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( صفيف) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (صفيف) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

الترميز $-A$ هو تدوين مختصر لـ $-1\cdot A$. أي أنه للعثور على $-A$، فإنك تحتاج إلى ضرب جميع عناصر المصفوفة $A$ في (-1). هذا يعني بشكل أساسي أن إشارة جميع عناصر المصفوفة $A$ ستتغير إلى العكس:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

إجابة: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

منتج من مصفوفتين.

إن تعريف هذه العملية مرهق وغير واضح للوهلة الأولى. لذلك، سأشير أولا إلى تعريف عام، ثم سنقوم بتحليل بالتفصيل ما يعنيه وكيفية العمل معه.

حاصل ضرب المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ بالمصفوفة $B_(n\times k)=(b_(ij))$ هو المصفوفة $C_(m\times k) )=(c_( ij))$، حيث كل عنصر $c_(ij)$ يساوي مجموع منتجات العناصر المقابلة للصف الأول من المصفوفة $A$ بواسطة عناصر j - العمود من المصفوفة $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

دعونا نلقي نظرة على ضرب المصفوفات خطوة بخطوة باستخدام مثال. ومع ذلك، يجب أن تلاحظ على الفور أنه لا يمكن ضرب جميع المصفوفات. إذا أردنا ضرب المصفوفة $A$ في المصفوفة $B$، فعلينا أولاً التأكد من أن عدد أعمدة المصفوفة $A$ يساوي عدد صفوف المصفوفة $B$ (غالبًا ما تسمى هذه المصفوفات متفق عليه). على سبيل المثال، لا يمكن ضرب المصفوفة $A_(5\times 4)$ (تحتوي المصفوفة على 5 صفوف و4 أعمدة) في المصفوفة $F_(9\times 8)$ (9 صفوف و8 أعمدة)، نظرًا لأن الرقم عدد أعمدة المصفوفة $A $ لا يساوي عدد صفوف المصفوفة $F$، أي. 4 دولارات/ما يعادل 9 دولارات. لكن يمكنك ضرب المصفوفة $A_(5\times 4)$ بالمصفوفة $B_(4\times 9)$، نظرًا لأن عدد أعمدة المصفوفة $A$ يساوي عدد صفوف المصفوفة $ ب $. في هذه الحالة، نتيجة ضرب المصفوفات $A_(5\times 4)$ و $B_(4\times 9)$ ستكون المصفوفة $C_(5\times 9)$، التي تحتوي على 5 صفوف و9 أعمدة:

المثال رقم 3

المصفوفات المعطاة: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (صفيف) \يمين)$ و $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. أوجد المصفوفة $C=A\cdot B$.

أولاً، دعونا نحدد على الفور حجم المصفوفة $C$. نظرًا لأن حجم المصفوفة $A$ هو $3\times 4$، وحجم المصفوفة $B$ هو $4\times 2$، فإن حجم المصفوفة $C$ هو: $3\times 2$:

لذلك، كنتيجة لمنتج المصفوفات $A$ و$B$، يجب أن نحصل على مصفوفة $C$، تتكون من ثلاثة صفوف وعمودين: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. إذا كان تعيين العناصر يثير تساؤلات، فيمكنك الاطلاع على الموضوع السابق: "أنواع المصفوفات"، وفي بدايته تم شرح تسمية عناصر المصفوفة. هدفنا: إيجاد قيم جميع عناصر المصفوفة $C$.

لنبدأ بالعنصر $c_(11)$. للحصول على العنصر $c_(11)$، تحتاج إلى إيجاد مجموع منتجات عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ والعمود الأول من المصفوفة $B$:

للعثور على العنصر $c_(11)$ نفسه، تحتاج إلى ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ في العناصر المقابلة للعمود الأول من المصفوفة $B$، أي. العنصر الأول إلى الأول، والثاني إلى الثاني، والثالث إلى الثالث، والرابع إلى الرابع. ونلخص النتائج التي تم الحصول عليها:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

لنواصل الحل ونجد $c_(12)$. للقيام بذلك، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ والعمود الثاني من المصفوفة $B$:

وكما هو الحال مع السابق لدينا:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

تم العثور على جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة $C$. لننتقل إلى السطر الثاني الذي يبدأ بالعنصر $c_(21)$. للعثور عليه، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة $A$ والعمود الأول من المصفوفة $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

نجد العنصر التالي $c_(22)$ عن طريق ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة $A$ في العناصر المقابلة لها في العمود الثاني من المصفوفة $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

للعثور على $c_(31)$، اضرب عناصر الصف الثالث من المصفوفة $A$ بعناصر العمود الأول من المصفوفة $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

وأخيرًا، للعثور على العنصر $c_(32)$، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الثالث من المصفوفة $A$ بالعناصر المقابلة للعمود الثاني من المصفوفة $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

تم العثور على جميع عناصر المصفوفة $C$، كل ما تبقى هو كتابة $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( صفيف) \يمين)$ . أو للكتابة كاملة:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

إجابة: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

بالمناسبة، غالبًا لا يوجد سبب لوصف موقع كل عنصر من عناصر مصفوفة النتائج بالتفصيل. بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم الصغير، يمكنك القيام بذلك:

ومن الجدير بالذكر أيضًا أن ضرب المصفوفات غير تبادلي. وهذا يعني أنه في الحالة العامة $A\cdot B\neq B\cdot A$. فقط لبعض أنواع المصفوفات، والتي تسمى قابل للتبديل(أو التنقل)، فإن المساواة $A\cdot B=B\cdot A$ صحيحة. يعتمد هذا على عدم تبادلية الضرب التي نحتاجها للإشارة بالضبط إلى كيفية ضرب التعبير في مصفوفة معينة: على اليمين أو على اليسار. على سبيل المثال، العبارة "اضرب طرفي المساواة $3E-F=Y$ في المصفوفة $A$ على اليمين" تعني أنك تريد الحصول على المساواة التالية: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $.

منقولة فيما يتعلق بالمصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ هي المصفوفة $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, للعناصر $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

ببساطة، للحصول على مصفوفة منقولة $A^T$، تحتاج إلى استبدال الأعمدة الموجودة في المصفوفة الأصلية $A$ بالصفوف المقابلة وفقًا لهذا المبدأ: كان هناك صف أول - سيكون هناك عمود أول ; كان هناك صف ثان - سيكون هناك عمود ثان؛ كان هناك صف ثالث - سيكون هناك عمود ثالث وهكذا. على سبيل المثال، لنبحث عن المصفوفة المنقولة إلى المصفوفة $A_(3\times 5)$:

وفقًا لذلك، إذا كان حجم المصفوفة الأصلية هو $3\× 5$، فإن حجم المصفوفة المنقولة يبلغ $5\× 3$.

بعض خصائص العمليات على المصفوفات.

من المفترض هنا أن $\alpha$، $\beta$ عبارة عن بعض الأرقام، وأن $A$، $B$، $C$ عبارة عن مصفوفات. بالنسبة للخصائص الأربعة الأولى، فقد أشرت إلى أسماء؛ ويمكن تسمية الباقي قياسًا على الخصائص الأربعة الأولى.

1. $A+B=B+A$ (إبدالية الإضافة)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ترابط الجمع)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (توزيع الضرب بمصفوفة فيما يتعلق بجمع الأرقام)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (توزيع الضرب برقم بالنسبة إلى إضافة المصفوفة)
5. $أ(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$، $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$، $E\cdot A=A$، حيث $E$ هي مصفوفة الهوية بالترتيب المقابل.
9. $A\cdot O=O$، $O\cdot A=O$، حيث $O$ عبارة عن مصفوفة صفرية بالحجم المناسب.
10. $\left(A^T \يمين)^T=A$
11. $(أ+ب)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

في الجزء التالي، سنتناول عملية رفع المصفوفة إلى قوة عدد صحيح غير سالب، وسنحل أيضًا الأمثلة التي يلزم فيها إجراء عدة عمليات على المصفوفات.

لذا، تناولنا في الدرس السابق قواعد جمع وطرح المصفوفات. هذه هي العمليات البسيطة التي يفهمها معظم الطلاب حرفيًا فورًا.

ومع ذلك، تفرح مبكرا. انتهت الهدية الترويجية - دعنا ننتقل إلى الضرب. سأحذرك على الفور: ضرب مصفوفتين لا يعني على الإطلاق ضرب أرقام في خلايا لها نفس الإحداثيات، كما قد تعتقد. كل شيء أكثر متعة هنا. وسيتعين علينا أن نبدأ بالتعريفات الأولية.

المصفوفات المتطابقة

من أهم خصائص المصفوفة حجمها. لقد تحدثنا عن هذا بالفعل مائة مرة: الترميز $A=\left[ m\times n \right]$ يعني أن المصفوفة تحتوي بالضبط على صفوف $m$ وأعمدة $n$. لقد ناقشنا بالفعل كيفية عدم الخلط بين الصفوف والأعمدة. هناك شيء آخر مهم الآن.

تعريف. مصفوفات بالشكل $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، حيث يتطابق عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف وفي الثانية، تسمى متسقة.

مرة أخرى: عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في الثانية! ومن هنا نحصل على نتيجتين في وقت واحد:

1. ترتيب المصفوفات مهم بالنسبة لنا. على سبيل المثال، المصفوفات $A=\left[ 3\times 2 \right]$ و $B=\left[ 2\times 5 \right]$ متسقة (عمودان في المصفوفة الأولى وصفين في المصفوفة الثانية) ، ولكن العكس — المصفوفات $B=\left[ 2\times 5 \right]$ و $A=\left[ 3\times 2 \right]$ لم تعد متسقة (5 أعمدة في المصفوفة الأولى ليست 3 صفوف في الثانية).
2. يمكن التحقق من الاتساق بسهولة عن طريق تدوين جميع الأبعاد واحدًا تلو الآخر. باستخدام المثال من الفقرة السابقة: "3 2 2 5" - الأرقام الموجودة في المنتصف هي نفسها، وبالتالي فإن المصفوفات متسقة. لكن "2 5 3 2" غير متسقة، نظرًا لوجود أرقام مختلفة في المنتصف.

بالإضافة إلى ذلك، يبدو أن Captain Obviousness يلمح إلى أن المصفوفات المربعة ذات الحجم نفسه $\left[ n\times n \right]$ تكون دائمًا متسقة.

في الرياضيات، عندما يكون ترتيب إدراج الكائنات مهمًا (على سبيل المثال، في التعريف الذي تمت مناقشته أعلاه، يكون ترتيب المصفوفات مهمًا)، فإننا غالبًا ما نتحدث عن أزواج مرتبة. التقينا بهم في المدرسة: أعتقد أنه من غير المنطقي أن تحدد الإحداثيات $\left(1;0 \right)$ و $\left(0;1 \right)$ نقاطًا مختلفة على المستوى.

إذن: الإحداثيات هي أيضًا أزواج مرتبة مكونة من أرقام. لكن لا شيء يمنعك من صنع مثل هذا الزوج من المصفوفات. ثم يمكننا أن نقول: "زوج المصفوفات المرتب $\left(A;B \right)$ يكون متسقًا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى هو نفس عدد الصفوف في الثانية."

حسنا، ماذا في ذلك؟

تعريف الضرب

خذ بعين الاعتبار مصفوفتين متناسقتين: $A=\left[ m\times n \right]$ و$B=\left[ n\times k \right]$. ونحدد لهم عملية الضرب.

تعريف. حاصل ضرب المصفوفتين المتطابقتين $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$ هو المصفوفة الجديدة $C=\left[ m\times k \ حق] $، والتي يتم حساب عناصرها باستخدام الصيغة:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

تتم الإشارة إلى مثل هذا المنتج بالطريقة القياسية: $C=A\cdot B$.

أولئك الذين يرون هذا التعريف لأول مرة لديهم سؤالان على الفور:

1. أي نوع من اللعبة الشرسة هذا؟
2. لماذا هو صعب جدا؟

حسنا، أول الأشياء أولا. لنبدأ بالسؤال الأول. ماذا تعني كل هذه المؤشرات؟ وكيف لا نخطئ عند العمل مع المصفوفات الحقيقية؟

بداية نلاحظ أن الخط الطويل لحساب $((c)_(i;j))$ (وضعت فاصلة منقوطة بين المؤشرات خصيصًا حتى لا يتم الخلط بينها، ولكن لا داعي لوضعها عام - لقد تعبت بنفسي من كتابة الصيغة في التعريف) في الواقع يعود إلى قاعدة بسيطة:

1. خذ الصف $i$th في المصفوفة الأولى؛
2. خذ العمود $j$th في المصفوفة الثانية؛
3. نحصل على تسلسلين من الأرقام. ونضرب عناصر هذه المتتابعات بنفس الأرقام، ثم نضيف المنتجات الناتجة.

هذه العملية سهلة الفهم من الصورة:

مخطط لضرب مصفوفتين

مرة أخرى: نصلح الصف $i$ في المصفوفة الأولى، والعمود $j$ في المصفوفة الثانية، ونضرب العناصر بنفس الأرقام، ثم نضيف المنتجات الناتجة - نحصل على $((c)_(ij))$ . وهكذا بالنسبة لكل $1\le i\le m$ و $1\le j\le k$. أولئك. سيكون هناك $m\times k$ من هذه "الانحرافات" في المجموع.

في الواقع، لقد واجهنا بالفعل ضرب المصفوفات في المناهج المدرسية، ولكن بشكل مخفض إلى حد كبير. دع المتجهات تعطى:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \النهاية(محاذاة)\]

عندها سيكون منتجهم العددي هو مجموع المنتجات الزوجية بالضبط:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(ب))+((ض)_(أ))\cdot ((ض)_(ب))\]

في الأساس، عندما كانت الأشجار أكثر خضرة والسماء أكثر سطوعًا، قمنا ببساطة بضرب متجه الصف $\overrightarrow(a)$ في متجه العمود $\overrightarrow(b)$.

لم يتغير شيء اليوم. كل ما في الأمر هو أن هناك الآن المزيد من متجهات الصفوف والأعمدة هذه.

لكن نظرية كافية! دعونا نلقي نظرة على أمثلة حقيقية. ودعنا نبدأ بأبسط حالة - المصفوفات المربعة.

ضرب المصفوفة المربعة

المهمة 1. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(ص)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

حل. لذا، لدينا مصفوفتان: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ و $B=\left[ 2\times 2 \right]$. من الواضح أنها متسقة (المصفوفات المربعة ذات الحجم نفسه تكون متسقة دائمًا). لذلك نقوم بعملية الضرب:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ نهاية (مصفوفة)\يمين]. \end(محاذاة)\]

هذا كل شئ!

الإجابة: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

المهمة 2. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(صفيف) \right]\]

حل. مرة أخرى، مصفوفات متسقة، لذلك نقوم بالإجراءات التالية:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(محاذاة)\]

كما ترون، والنتيجة هي مصفوفة مليئة بالأصفار

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

من الأمثلة المذكورة أعلاه، من الواضح أن ضرب المصفوفات ليس عملية معقدة. على الأقل لمصفوفات 2 × 2 مربعة.

في عملية الحسابات، قمنا بتجميع مصفوفة وسيطة، حيث وصفنا مباشرة الأرقام المضمنة في خلية معينة. هذا هو بالضبط ما يجب القيام به عند حل المشكلات الحقيقية.

الخصائص الأساسية لمنتج المصفوفة

شيء صغير. ضرب المصفوفة:

1. غير تبادلية: $A\cdot B\ne B\cdot A$ في الحالة العامة. هناك بالطبع مصفوفات خاصة تكون فيها المساواة $A\cdot B=B\cdot A$ (على سبيل المثال، إذا كانت $B=E$ هي مصفوفة الهوية)، ولكن في الغالبية العظمى من الحالات، لا ينجح هذا ;
2. بشكل ترابطي: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. لا توجد خيارات هنا: يمكن ضرب المصفوفات المتجاورة دون القلق بشأن ما هو على يسار أو على يمين هاتين المصفوفتين.
3. توزيعيًا: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ و $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (بسبب عدم تبادلية المنتج، من الضروري تحديد التوزيع الأيمن والأيسر بشكل منفصل.

والآن - كل شيء هو نفسه، ولكن بمزيد من التفصيل.

يشبه ضرب المصفوفات في كثير من النواحي ضرب الأرقام الكلاسيكية. ولكن هناك اختلافات، وأهمها هو ذلك ضرب المصفوفة، بشكل عام، غير تبادلي.

دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على المصفوفات من المشكلة 1. نحن نعرف بالفعل منتجها المباشر:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(ص)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(صفيف) \right]\]

ولكن إذا قمنا بتبديل المصفوفات، فسنحصل على نتيجة مختلفة تمامًا:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(ص)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix )\يمين]\]

اتضح أن $A\cdot B\ne B\cdot A$. بالإضافة إلى ذلك، يتم تعريف عملية الضرب فقط للمصفوفات المتسقة $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، ولكن لم يضمن أحد أنها ستبقى متسقة إذا تم تبديلها. على سبيل المثال، المصفوفات $\left[ 2\times 3 \right]$ و $\left[ 3\times 5 \right]$ متسقة تمامًا بالترتيب المحدد، ولكن نفس المصفوفات $\left[ 3\times 5 \right] $ و$\left[ 2\times 3 \right]$ المكتوبة بترتيب عكسي لم تعد متسقة. حزين.:(

من بين المصفوفات المربعة ذات الحجم المحدد $n$، ستكون هناك دائمًا تلك التي تعطي نفس النتيجة عند ضربها بترتيب مباشر أو عكسي. كيفية وصف كل هذه المصفوفات (وعددها بشكل عام) هو موضوع لدرس منفصل. لن نتحدث عن ذلك اليوم :)

ومع ذلك، فإن ضرب المصفوفة هو ترابطي:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

لذلك، عندما تحتاج إلى مضاعفة عدة مصفوفات متتالية في وقت واحد، فليس من الضروري على الإطلاق القيام بذلك على الفور: فمن الممكن أن تعطي بعض المصفوفات المجاورة نتيجة مثيرة للاهتمام عند الضرب. على سبيل المثال، مصفوفة صفرية، كما في المشكلة 2 التي تمت مناقشتها أعلاه.

في المسائل الحقيقية، يتعين علينا في أغلب الأحيان ضرب المصفوفات المربعة ذات الحجم $\left[ n\times n \right]$. تتم الإشارة إلى مجموعة كل هذه المصفوفات بواسطة $((M)^(n))$ (أي، الإدخالات $A=\left[ n\times n \right]$ و \ تعني نفس الشيء)، وسوف تحتوي بالضرورة على مصفوفة $E$، والتي تسمى مصفوفة الهوية.

تعريف. مصفوفة الهوية ذات الحجم $n$ هي مصفوفة $E$ بحيث تكون المساواة لأي مصفوفة مربعة $A=\left[ n\times n \right]$ كما يلي:

تبدو هذه المصفوفة دائمًا كما هي: هناك أرقام على قطرها الرئيسي، وأصفار في جميع الخلايا الأخرى.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

بمعنى آخر، إذا كنت بحاجة إلى ضرب مصفوفة واحدة في مجموع مصفوفتين أخريين، فيمكنك ضربها في كل من "المصفوفتين الأخريين" ثم إضافة النتائج. من الناحية العملية، يتعين علينا عادة إجراء العملية المعاكسة: نلاحظ نفس المصفوفة، ونخرجها من الأقواس، ونجري عملية الجمع، وبالتالي نبسط حياتنا :).

ملحوظة: لوصف التوزيعية، كان علينا كتابة صيغتين: حيث يكون المجموع في العامل الثاني وحيث يكون المجموع في العامل الأول. يحدث هذا على وجه التحديد لأن ضرب المصفوفات غير تبادلي (وبشكل عام، في الجبر غير التبادلي، هناك الكثير من الأشياء الممتعة التي لا تتبادر إلى الذهن حتى عند التعامل مع الأعداد العادية). وإذا، على سبيل المثال، تحتاج إلى كتابة هذه الخاصية في الامتحان، فتأكد من كتابة كلتا الصيغتين، وإلا فقد يغضب المعلم قليلاً.

حسنًا، كانت هذه كلها حكايات خيالية عن المصفوفات المربعة. ماذا عن المستطيلة؟

حالة المصفوفات المستطيلة

ولكن لا شيء - كل شيء هو نفسه كما هو الحال مع المربعات.

المهمة 3. قم بالضرب:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

حل. لدينا مصفوفتان: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ و $B=\left[ 2\times 2 \right]$. لنكتب الأرقام التي تشير إلى الأحجام على التوالي:

كما ترون، الرقمان المركزيان متطابقان. وهذا يعني أن المصفوفات متسقة ويمكن ضربها. علاوة على ذلك، عند الإخراج نحصل على المصفوفة $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(صفيف) \يمين]. \end(محاذاة)\]

كل شيء واضح: المصفوفة النهائية تحتوي على 3 صفوف وعمودين. تمامًا $=\left[ 3\times 2 \right]$.

الإجابة: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(array) \right]$.

الآن دعونا نلقي نظرة على واحدة من أفضل المهام التدريبية لأولئك الذين بدأوا للتو في العمل مع المصفوفات. وفيه لا تحتاج إلى ضرب بعض اللوحين فحسب، بل تحتاج أولاً إلى تحديد: هل يجوز هذا الضرب؟

المشكلة 4. ابحث عن جميع منتجات المصفوفات الزوجية الممكنة:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrix) \\\end(matrix) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

حل. أولاً، دعونا نكتب أحجام المصفوفات:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

نجد أن المصفوفة $A$ لا يمكن التوفيق بينها إلا مع المصفوفة $B$، نظرًا لأن عدد أعمدة $A$ هو 4، و$B$ فقط يحتوي على هذا العدد من الصفوف. لذلك يمكننا العثور على المنتج:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ يسار[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

أقترح على القارئ إكمال الخطوات الوسيطة بشكل مستقل. سأشير فقط إلى أنه من الأفضل تحديد حجم المصفوفة الناتجة مسبقًا، حتى قبل إجراء أي حسابات:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

بمعنى آخر، نقوم ببساطة بإزالة معاملات "العبور" التي تضمن اتساق المصفوفات.

ما هي الخيارات الأخرى الممكنة؟ بالطبع، يمكن العثور على $B\cdot A$، نظرًا لأن $B=\left[ 4\times 2 \right]$، $A=\left[ 2\times 4 \right]$، وبالتالي فإن الزوج المرتب $\ left(B ;A \right)$ متسق، وسيكون أبعاد المنتج كما يلي:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

باختصار، سيكون الناتج عبارة عن مصفوفة $\left[ 4\times 4 \right]$، والتي يمكن حساب معاملاتها بسهولة:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ يسار[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(صفيف) \يمين]\]

من الواضح أنه يمكنك أيضًا الاتفاق على $C\cdot A$ و$B\cdot C$ - وهذا كل شيء. لذلك، نقوم ببساطة بكتابة المنتجات الناتجة:

لقد كان سهلا.:)

الإجابة: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

بشكل عام، أوصي بشدة بالقيام بهذه المهمة بنفسك. ومهمة أخرى مماثلة في الواجبات المنزلية. ستساعدك هذه الأفكار التي تبدو بسيطة على التدرب على جميع المراحل الأساسية لضرب المصفوفات.

لكن القصة لا تنتهي عند هذا الحد. دعنا ننتقل إلى حالات الضرب الخاصة :)

ناقلات الصف ومتجهات العمود

إحدى عمليات المصفوفات الأكثر شيوعًا هي الضرب في مصفوفة تحتوي على صف واحد أو عمود واحد.

تعريف. متجه العمود عبارة عن مصفوفة بحجم $\left[ m\times 1 \right]$، أي. يتكون من عدة صفوف وعمود واحد فقط.

متجه الصف عبارة عن مصفوفة بحجم $\left[ 1\times n \right]$، أي يتكون من صف واحد وعدة أعمدة.

في الواقع، لقد واجهنا بالفعل هذه الأشياء. على سبيل المثال، المتجه العادي ثلاثي الأبعاد من القياس المجسم $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ ليس أكثر من مجرد متجه صف. من الناحية النظرية، لا يوجد فرق تقريبًا بين الصفوف والأعمدة. ما عليك سوى توخي الحذر عند التنسيق مع المصفوفات المضاعفة المحيطة.

المهمة 5. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

حل. لدينا هنا حاصل ضرب المصفوفات المتطابقة: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. لنجد هذه القطعة:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

الإجابة: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

المهمة 6. قم بعملية الضرب:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (ص)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

حل. مرة أخرى، تم الاتفاق على كل شيء: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. نحن نحسب المنتج:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (ص)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

كما ترى، عندما نضرب متجه صف ومتجه عمود في مصفوفة مربعة، ينتج عن الإخراج دائمًا صف أو عمود بنفس الحجم. هذه الحقيقة لها العديد من التطبيقات - من حل المعادلات الخطية إلى جميع أنواع تحويلات الإحداثيات (والتي تنتهي أيضًا في النهاية إلى أنظمة المعادلات، لكن دعونا لا نتحدث عن أشياء حزينة).

أعتقد أن كل شيء كان واضحا هنا. دعنا ننتقل إلى الجزء الأخير من درس اليوم.

الأسي مصفوفة

من بين جميع عمليات الضرب، تستحق الأسية اهتمامًا خاصًا - وذلك عندما نضرب نفس الكائن في نفسه عدة مرات. المصفوفات ليست استثناءً، ويمكن أيضًا رفعها إلى قوى مختلفة.

يتم الاتفاق دائمًا على مثل هذه الأعمال:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

ويتم تحديدها بنفس طريقة الدرجات العادية تمامًا:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \النهاية(محاذاة)\]

للوهلة الأولى، كل شيء بسيط. دعونا نرى كيف يبدو هذا في الممارسة العملية:

المهمة 7. ارفع المصفوفة إلى القوة المشار إليها:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

حل. حسنا حسنا، دعونا نبني. أولا دعونا مربع ذلك:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(صفيف) \يمين] \end(محاذاة)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (مصفوفة) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(مصفوفة) \يمين])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( مصفوفة) \يمين]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \end(محاذاة)\]

هذا كل شئ.:)

الإجابة: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

المشكلة 8. ارفع المصفوفة إلى القوة المشار إليها:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

حل. فقط لا تبكي الآن بشأن حقيقة أن "الدرجة كبيرة جدًا"، و"العالم ليس عادلاً"، و"لقد فقد المعلمون شواطئهم تمامًا". إنه في الواقع سهل:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (مصفوفة) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

لاحظ أننا في السطر الثاني استخدمنا ترابط الضرب. في الواقع، استخدمناها في المهمة السابقة، لكنها كانت ضمنية هناك.

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في رفع المصفوفة إلى قوة. ويمكن تلخيص المثال الأخير:

\[(\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (ص)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

ومن السهل إثبات هذه الحقيقة من خلال الاستقراء الرياضي أو الضرب المباشر. ومع ذلك، ليس من الممكن دائمًا اكتشاف مثل هذه الأنماط عند الرفع إلى مستوى الطاقة. لذلك كن حذرًا: غالبًا ما يكون ضرب عدة مصفوفات "عشوائيًا" أسهل وأسرع من البحث عن نوع ما من الأنماط.

بشكل عام، لا تبحث عن معنى أعلى حيث لا يوجد شيء. في الختام، دعونا ننظر في الأسي لمصفوفة أكبر - بقدر $\left[ 3\times 3 \right]$.

المشكلة 9. ارفع المصفوفة إلى القوة المشار إليها:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

حل. دعونا لا نبحث عن الأنماط. نحن نعمل للأمام:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (مصفوفة)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(مصفوفة) \يمين]\]

أولاً، لنقوم بتربيع هذه المصفوفة:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

الآن دعونا نجعلها مكعبة:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( صفيف)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

هذا كل شئ. حلت المشكلة.

الإجابة: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

كما ترون، أصبح حجم الحسابات أكبر، ولكن المعنى لم يتغير على الإطلاق :).

بهذا يختتم الدرس. في المرة القادمة سننظر في العملية العكسية: باستخدام المنتج الحالي سنبحث عن العوامل الأصلية.

كما خمنت على الأرجح، سنتحدث عن المصفوفة العكسية وطرق العثور عليها.

سيساعدك هذا الدليل على تعلم كيفية الأداء العمليات مع المصفوفات: جمع (طرح) المصفوفات، تبديل المصفوفات، ضرب المصفوفات، إيجاد المصفوفة العكسية. يتم تقديم جميع المواد في شكل بسيط وسهل الوصول إليه، ويتم تقديم الأمثلة ذات الصلة، لذلك حتى الشخص غير المستعد يمكنه تعلم كيفية تنفيذ الإجراءات باستخدام المصفوفات. للمراقبة الذاتية والاختبار الذاتي، يمكنك تنزيل حاسبة المصفوفات مجانًا >>>.

سأحاول تقليل الحسابات النظرية، في بعض الأماكن من الممكن تفسيرات "على الأصابع" واستخدام المصطلحات غير العلمية. عشاق النظرية الصلبة، يرجى عدم الانخراط في النقد، مهمتنا هي تعلم كيفية إجراء العمليات مع المصفوفات.

للتحضير بسرعة فائقة حول موضوع (من "يشتعل")، توجد دورة تدريبية مكثفة بتنسيق pdf مصفوفة ومحددة واختبار!

المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل للبعض عناصر. مثل عناصرسننظر في الأرقام، أي المصفوفات العددية. عنصرهو مصطلح. من المستحسن أن تتذكر هذا المصطلح، فهو سيظهر كثيرًا، وليس من قبيل الصدفة أنني استخدمت الخط العريض لتسليط الضوء عليه.

تعيين:يُشار إلى المصفوفات عادةً بأحرف لاتينية كبيرة

مثال:النظر في مصفوفة اثنين في ثلاثة:

تتكون هذه المصفوفة من ستة عناصر:

جميع الأرقام (العناصر) الموجودة داخل المصفوفة موجودة من تلقاء نفسها، أي أنه ليس هناك شك في أي طرح:

إنه مجرد جدول (مجموعة) من الأرقام!

سوف نتفق أيضا لا إعادة ترتيبالأرقام، ما لم ينص على خلاف ذلك في التوضيحات. كل رقم له موقعه الخاص ولا يمكن خلطه!

تحتوي المصفوفة المعنية على صفين:

وثلاثة أعمدة:

معيار: عند الحديث عن أحجام المصفوفة، إذن في البدايهتشير إلى عدد الصفوف، وبعد ذلك فقط عدد الأعمدة. لقد قمنا للتو بتفكيك المصفوفة التي تساوي اثنين في ثلاثة.

إذا كان عدد صفوف وأعمدة المصفوفة هو نفسه، يتم استدعاء المصفوفة مربع، على سبيل المثال: - مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.

إذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد أو صف واحد، فإن هذه المصفوفات تسمى أيضًا ثلاثة أبعاد.

في الواقع، لقد عرفنا مفهوم المصفوفة منذ المدرسة؛ لنأخذ على سبيل المثال نقطة ذات إحداثيات "x" و"y": . بشكل أساسي، تتم كتابة إحداثيات النقطة في مصفوفة واحدة تلو الأخرى. بالمناسبة، هنا مثال على أهمية ترتيب الأرقام: وهما نقطتان مختلفتان تمامًا على المستوى.

الآن دعنا ننتقل إلى الدراسة العمليات مع المصفوفات:

1) الفعل الأول. إزالة علامة ناقص من المصفوفة (إدخال علامة ناقص في المصفوفة).

دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا . كما لاحظت على الأرجح، يوجد عدد كبير جدًا من الأرقام السالبة في هذه المصفوفة. هذا غير مريح للغاية من وجهة نظر تنفيذ إجراءات مختلفة باستخدام المصفوفة، ومن غير الملائم كتابة الكثير من السلبيات، وهو ببساطة يبدو قبيحًا في التصميم.

دعونا ننقل الطرح خارج المصفوفة، مع تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:

عند الصفر، كما تفهم، فإن العلامة لا تتغير؛ الصفر هو أيضًا صفر في أفريقيا.

مثال عكسي: . يبدو قبيحا.

دعونا نقدم علامة ناقص في المصفوفة عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:

حسنا، اتضح أجمل بكثير. والأهم من ذلك أنه سيكون من الأسهل تنفيذ أي إجراءات باستخدام المصفوفة. لأن هناك مثل هذه العلامة الشعبية الرياضية: والمزيد من السلبيات، والمزيد من الارتباك والأخطاء.

2) الفعل الثاني. ضرب مصفوفة بعدد.

مثال:

الأمر بسيط، من أجل ضرب مصفوفة برقم، تحتاج كلعنصر المصفوفة مضروبا في عدد معين. في هذه الحالة - ثلاثة.

مثال مفيد آخر:

- ضرب المصفوفة بكسر

أولا دعونا نلقي نظرة على ما يجب القيام به لا حاجة:

ليست هناك حاجة لإدخال كسر في المصفوفة أولاً، فهذا يؤدي فقط إلى تعقيد الإجراءات الإضافية مع المصفوفة، وثانيًا، يجعل من الصعب على المعلم التحقق من الحل (خاصة إذا كان ذلك ممكنًا). - الإجابة النهائية للمهمة).

وخاصة، لا حاجةقسّم كل عنصر من عناصر المصفوفة على ناقص سبعة:

من المقال الرياضيات للدمى أو من أين تبدأ نتذكر أنه في الرياضيات العليا يحاولون تجنب الكسور العشرية بفواصل بكل طريقة ممكنة.

الشيء الوحيد هو ويفضلما يجب فعله في هذا المثال هو إضافة علامة ناقص إلى المصفوفة:

ولكن إذا فقط الجميعتم تقسيم عناصر المصفوفة على 7 دون أن يترك أثرا، فسيكون من الممكن (والضروري!) التقسيم.

مثال:

في هذه الحالة، يمكنك بحاجة لاضرب جميع عناصر المصفوفة في، حيث أن جميع أرقام المصفوفات قابلة للقسمة على 2 دون أن يترك أثرا.

ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "القسمة". بدلًا من قول "هذا مقسومًا على ذاك"، يمكنك دائمًا أن تقول "هذا مضروبًا في كسر". أي أن القسمة هي حالة خاصة من الضرب.

3) الفعل الثالث. تبديل المصفوفة.

من أجل تبديل مصفوفة، تحتاج إلى كتابة صفوفها في أعمدة المصفوفة المنقولة.

مثال:

تبديل المصفوفة

يوجد سطر واحد فقط هنا، ووفقًا للقاعدة، يجب كتابته في عمود:

- مصفوفة منقولة.

يُشار عادةً إلى المصفوفة المنقولة بحرف مرتفع أو أولي في أعلى اليمين.

مثال خطوة بخطوة:

تبديل المصفوفة

أولاً نعيد كتابة الصف الأول في العمود الأول:

ثم نعيد كتابة السطر الثاني في العمود الثاني:

وأخيرًا، نعيد كتابة الصف الثالث في العمود الثالث:

مستعد. بشكل تقريبي، النقل يعني قلب المصفوفة على جانبها.

4) الفصل الرابع. مجموع (الفرق) من المصفوفات.

مجموع المصفوفات عملية بسيطة
لا يمكن طي جميع المصفوفات. لإجراء عملية الجمع (الطرح) للمصفوفات، من الضروري أن تكون بنفس الحجم.

على سبيل المثال، إذا تم إعطاء مصفوفة اثنين في اثنين، فلا يمكن إضافتها إلا بمصفوفة اثنين في اثنين وليس غيرها!

مثال:

إضافة المصفوفات و

من أجل إضافة المصفوفات، تحتاج إلى إضافة العناصر المقابلة لها:

بالنسبة لاختلاف المصفوفات فإن القاعدة متشابهة، فمن الضروري العثور على الفرق بين العناصر المقابلة.

مثال:

أوجد اختلاف المصفوفة ,

كيف يمكنك حل هذا المثال بسهولة أكبر حتى لا تتشوش؟ يُنصح بالتخلص من السلبيات غير الضرورية؛ للقيام بذلك، أضف علامة ناقص إلى المصفوفة:

ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "الطرح". بدلًا من قول "اطرح هذا من هذا"، يمكنك دائمًا أن تقول "أضف عددًا سالبًا إلى هذا". أي أن الطرح هو حالة خاصة من عمليات الجمع.

5) الفعل الخامس. ضرب المصفوفة.

ما المصفوفات التي يمكن ضربها؟

من أجل ضرب المصفوفة بمصفوفة، فمن الضروري بحيث يكون عدد أعمدة المصفوفة مساوياً لعدد صفوف المصفوفة.

مثال:
هل من الممكن ضرب مصفوفة بمصفوفة؟

وهذا يعني أنه يمكن ضرب بيانات المصفوفة.

ولكن إذا تم إعادة ترتيب المصفوفات، ففي هذه الحالة، لم يعد الضرب ممكنًا!

ولذلك فإن الضرب غير ممكن:

ليس من النادر أن تواجه المهام بخدعة، عندما يُطلب من الطالب ضرب المصفوفات، ومن الواضح أن ضربها مستحيل.

وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الحالات يمكن ضرب المصفوفات في كلا الاتجاهين.
على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفات، وكل من الضرب والضرب ممكنان

سوف نقوم "باستبعاد" المجهول بالتتابع. للقيام بذلك، سنترك المعادلة الأولى للنظام دون تغيير، ونحول الثانية والثالثة:

1) إلى المعادلة الثانية نضيف الأولى مضروبة في -2 ونحولها إلى الصورة -3 س 2 –2س 3 = –2;

2) إلى المعادلة الثالثة نضيف الأولى مضروبة في -4 ونحولها إلى الصورة -3 س 2 – 4س 3 = 2.

ونتيجة لذلك، سيتم استبعاد المجهول من المعادلتين الثانية والثالثة س 1 وسوف يأخذ النظام النموذج

نضرب المعادلتين الثانية والثالثة للنظام بـ -1، نحصل على ذلك

المعامل 1 في المعادلة الأولى للمجهول الأول X 1 يسمى العنصر الرائدالخطوة الأولى للقضاء.

في الخطوة الثانية تبقى المعادلتان الأولى والثانية دون تغيير، ويتم تطبيق نفس طريقة حذف المتغير على المعادلة الثالثة س 2 . العنصر الرائدمن الخطوة الثانية هو المعامل 3. ​​إلى المعادلة الثالثة نضيف الثانية مضروبة في -1، ثم يتحول النظام إلى الشكل

(1.2)

تسمى عملية اختزال النظام (1.1) إلى الشكل (1.2) بعملية مباشرة التقدم في الطريقةغاوس.

يسمى إجراء حل النظام (1.2). إلى الوراء.من المعادلة الأخيرة نحصل عليها X 3 = -2. وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية نحصل على: X 2 = 2. وبعد ذلك تعطي المعادلة الأولى X 1 = 1. وبالتالي هو الحل للنظام (1.1).

مفهوم المصفوفة

دعونا نفكر في الكميات المدرجة في النظام (1.1). مجموعة من تسعة معاملات رقمية تظهر قبل المجهول في المعادلات تشكل جدول أرقام يسمى مصفوفة:

أ= .

(1.3)

يتم استدعاء أرقام الجدول عناصرالمصفوفات. شكل العناصر الصفوف و الأعمةالمصفوفات. عدد الصفوف وعدد الأعمدة في النموذج البعدالمصفوفات. مصفوفة أأبعاده 3'3 ("ثلاثة في ثلاثة")، حيث يشير الرقم الأول إلى عدد الصفوف، والثاني إلى عدد الأعمدة. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المصفوفة من خلال الإشارة إلى بعدها A (3 × 3). منذ عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة أنفس الشيء، يسمى المصفوفة مربع.يسمى عدد الصفوف (والأعمدة) في المصفوفة المربعة به مرتب، لهذا أ- مصفوفة الترتيب الثالث.

تشكل الجوانب اليمنى من المعادلات أيضًا جدول أرقام، أي. مصفوفة:

ويتكون كل صف من هذه المصفوفة من عنصر واحد، لذلك ب(3 × 1) يسمى عمود المصفوفة، البعد هو 3'1. يمكن أيضًا تمثيل مجموعة المجهولة كمصفوفة عمود:

ضرب مصفوفة مربعة في مصفوفة عمود

يمكنك إجراء عمليات مختلفة باستخدام المصفوفات، والتي سيتم مناقشتها بالتفصيل لاحقًا. سنقوم هنا فقط بتحليل قاعدة ضرب المصفوفة المربعة في مصفوفة العمود. بواسطة تعريف، نتيجة ضرب المصفوفة أ(3 × 3) لكل عمود في(3 × 1) هو العمود د(3 ´ 1) التي تساوي عناصرها مجموع منتجات عناصر صفوف المصفوفة ألعناصر العمود في:

2)ثانيةعنصر العمود ديساوي مجموع منتجات العناصر ثانيةصفوف المصفوفة ألعناصر العمود في:

من الصيغ المذكورة أعلاه يتضح أن ضرب المصفوفة بعمود فيممكن فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة أيساوي عدد العناصر في العمود في.

دعونا نلقي نظرة على مثالين عدديين آخرين لضرب المصفوفات (3 ´3) لكل عمود (3 ´1):

مثال 1.1

أ.ب =
.

مثال 1.2

أ.ب= .