يتم استخدامه لحل المشكلات بالتعبير التحليلي لمعيار المثالية وفي ظل وجود قيود على المتغيرات المستقلة مثل المساواة. للحصول على حل تحليلي، يجب أن يكون للقيود شكل تحليلي. يتيح لنا استخدام مضاعفات لاغرانج غير المحددة تقليل مشكلة التحسين من خلال القيود المفروضة على المشكلة التي يتم حلها عن طريق طرق دراسة وظائف التحليل الكلاسيكي. في هذه الحالة، ترتيب نظام المعادلات التي تم حلها لإيجاد الحد الأقصى لمعيار التحسين يزداد بعدد القيود. تكون الطريقة فعالة عندما يكون عدد المتغيرات ثلاثة أو أقل. يتم استخدام الطريقة أيضًا عندما يكون عدد المتغيرات أكثر من ثلاثة، إذا كانت العملية موصوفة بمعادلات محدودة.

من الضروري إيجاد الحد الأقصى للدالة التي تعتمد على متغيرات n، والتي بدورها ترتبط بالعلاقات. ويسمى الحد الأقصى الذي تحققه الدالة، مع مراعاة استيفاء الشروط، نسبيًا أو مشروطًا. إذا كان عدد المتغيرات يساوي عدد العلاقات ()، فسيتم العثور على المجهولات المطلوبة عن طريق حل نظام المعادلات الموصوفة بالعلاقات. يأتي حل مشكلة التحسين من خلال التحقق من قيم المتغيرات الموجودة بهذه الطريقة مقابل الوظائف. وبالتالي، يمكن حل المشكلة القصوى ببساطة عن طريق تعداد المتغيرات التي تحقق الشروط.

لو م< n ثم من معادلات الاتصال يمكننا إيجاد التبعية مالمتغيرات من ن - مالمتغيرات المتبقية، أي

يمكن الحصول على الدالة عن طريق استبدال المتغيرات الناتجة في الدالة. بعد ذلك سيعتمد فقط على المتغيرات غير المرتبطة بشروط إضافية. وبالتالي، من خلال إزالة القيود، من الممكن تقليل حجم مشكلة التحسين الأصلية. في كثير من الأحيان لا يمكن حل المشكلة تحليليا بهذه الطريقة. لذلك، لحل مشاكل إيجاد الحد الأقصى لدالة العديد من المتغيرات، عادة ما يتم استخدام طريقة لاغرانج للمضاعفات غير المحددة.

عند إدخال متغيرات جديدة تسمى مضاعفات لاغرانج غير المحددة، يصبح من الممكن تقديم دالة جديدة

أولئك. وظيفة م+نالمتغيرات، حيث يتم تضمين القيود التي يفرضها نظام الوظائف كجزء لا يتجزأ.

تتزامن القيمة القصوى للدالة مع القيمة القصوى للدالة إذا تم استيفاء شرط القيد. من الشروط الضرورية لأقصى دالة ذات متغيرات عديدة أن يكون تفاضل هذه الدالة عند أقصى نقطة لها مساوياً للصفر، أي.

لكي يتم استيفاء هذا التعبير لأي قيم للتفاضلات المستقلة، من الضروري أن تكون معاملات هذه التفاضلات مساوية للصفر، مما يعطي نظام المعادلات

في هذه الحالة، يتم تحديد مستقلة جديدة من الحالة

يمكن الحصول على مزيج من الأنظمة (4.3.1) و (4.3.2).

وبالتالي فإن المشكلة في النموذج (4.3.3) تتلخص في المهمة: البحث

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى أنه في الحالة العامة، تسمح طريقة مضاعف لاغرانج بإيجاد الشروط اللازمة فقط لوجود الحد الأقصى الشرطي للوظائف المستمرة التي لها مشتقات مستمرة. ومع ذلك، من المعنى المادي للمشكلة التي يتم حلها، من المعروف عادة ما إذا كنا نتحدث عن الحد الأقصى أو الأدنى للوظيفة، بالإضافة إلى ذلك، كقاعدة عامة، في مشاكل التصميم، تكون الوظيفة في الجزء قيد النظر أحادية الواسطة. لذلك، في مشاكل التصميم ليست هناك حاجة للتحقق من قيم المتغيرات الموجودة عند حل أنظمة المعادلات المدروسة من أجل أقصى الحدود باستخدام تحليل المشتقات ذات الرتبة الأعلى.

وصف الطريقة

أين .

الأساس المنطقي

إن التبرير التالي لطريقة مضاعف لاغرانج ليس دليلاً صارمًا عليها. يحتوي على تفكير إرشادي يساعد على فهم المعنى الهندسي للطريقة.

حالة ثنائية الأبعاد

خطوط المستوى والمنحنى.

فليكن مطلوبًا العثور على الحد الأقصى لبعض الوظائف لمتغيرين في ظل الحالة المحددة بالمعادلة . سنفترض أن جميع الدوال قابلة للاشتقاق بشكل مستمر، وأن هذه المعادلة تحدد منحنى سلسًا سعلى السطح . ثم تتلخص المشكلة في إيجاد الحد الأقصى للدالة Fعلى المنحنى س. وسوف نفترض ذلك أيضا سلا يمر عبر النقاط التي يكون فيها التدرج Fيتحول إلى 0.

دعونا نرسم خطوط مستوى الوظيفة على المستوى F(أي المنحنيات). ومن الاعتبارات الهندسية يتضح أن الحد الأقصى للدالة Fعلى المنحنى سلا يمكن أن يكون هناك سوى النقاط التي الظلال ل سويتزامن خط المستوى المقابل. في الواقع، إذا كان المنحنى سيعبر خط المستوى Fعند نقطة عرضية (أي عند زاوية غير الصفر)، ثم التحرك على طول المنحنى سمن نقطة ما يمكننا الوصول إلى خطوط المستوى المقابلة لقيمة أكبر F، و اقل. ولذلك، فإن مثل هذه النقطة لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة.

وبالتالي، فإن الشرط الضروري لوجود حد أقصى في حالتنا هو تطابق المماسات. ولكتابتها بصيغة تحليلية لاحظ أنها تعادل توازي تدرجات الدوال Fو ψ عند نقطة معينة، حيث أن متجه التدرج عمودي على مماس خط المستوى. ويتم التعبير عن هذا الشرط بالشكل التالي:

حيث α هو رقم غير صفري وهو مضاعف لاغرانج.

دعونا نفكر الآن وظيفة لاغرانج، اعتمادًا على و χ:

والشرط الضروري لأقصى حد له هو أن يكون الميل مساوياً للصفر. وفقا لقواعد التمايز، يتم كتابتها في النموذج

لقد حصلنا على نظام، المعادلتان الأوليتان منه تعادلان الشرط اللازم لحد محلى (1)، والثالثة تعادل المعادلة . يمكنك العثور عليه منه. علاوة على ذلك، وإلا فإن تدرج الوظيفة Fيختفي عند هذه النقطة ، وهو ما يتناقض مع افتراضاتنا. وتجدر الإشارة إلى أن النقاط التي تم العثور عليها بهذه الطريقة قد لا تكون هي النقاط المرغوبة في الحد الأقصى الشرطي - فالشرط المعتبر ضروري ولكنه غير كافٍ. العثور على الحد الأقصى الشرطي باستخدام وظيفة مساعدة لويشكل أساس طريقة مضاعف لاغرانج، المطبقة هنا على أبسط حالة لمتغيرين. وتبين أنه يمكن تعميم المنطق أعلاه على حالة وجود عدد عشوائي من المتغيرات والمعادلات التي تحدد الشروط.

استناداً إلى طريقة مضاعف لاغرانج، من الممكن إثبات بعض الشروط الكافية للحد الأقصى الشرطي، والتي تتطلب تحليل المشتقات الثانية لدالة لاغرانج.

طلب

• يتم استخدام طريقة مضاعف لاغرانج لحل مشاكل البرمجة غير الخطية التي تنشأ في العديد من المجالات (على سبيل المثال، في الاقتصاد).
• الطريقة الرئيسية لحل مشكلة تحسين جودة تشفير بيانات الصوت والفيديو بمعدل بت متوسط ​​معين (تحسين التشويه - الإنجليزية. تحسين معدل التشويه).

أنظر أيضا

روابط

• زوريش V. A.التحليل الرياضي. الجزء 1. - أد. الثانية ، القس. وإضافية - م: فازيس، 1997.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تعرف على "مضاعفات لاغرانج" في القواميس الأخرى:

مضاعفات لاغرانج- العوامل الإضافية التي تحول الدالة الموضوعية للمسألة القصوى للبرمجة المحدبة (وبالتحديد البرمجة الخطية) عند حلها باستخدام إحدى الطرق الكلاسيكية باستخدام طريقة حل المضاعفات... ... القاموس الاقتصادي والرياضي

مضاعفات لاغرانج- العوامل الإضافية التي تحول الدالة الموضوعية لمسألة البرمجة المحدبة القصوى (وبالأخص البرمجة الخطية) عند حلها باستخدام إحدى الطرق الكلاسيكية طريقة حل المضاعفات (طريقة لاغرانج).... ... دليل المترجم الفني

علم الميكانيكا. 1) معادلات لاغرانج من النوع الأول، المعادلات التفاضلية للحركة الميكانيكية. الأنظمة التي يتم تقديمها في الإسقاطات على محاور الإحداثيات المستطيلة وتحتوي على ما يسمى. مضاعفات لاغرانج. حصل عليها ج. لاغرانج عام 1788. بالنسبة لنظام هولونومي، ... ... الموسوعة الفيزيائية

الميكانيكا المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية، تصف الحركات الميكانيكية. الأنظمة تحت تأثير القوى المطبقة عليها. لو. أنشأتها مجموعة J. Lag في شكلين: L. u. النوع الأول، أو المعادلات في الإحداثيات الديكارتية مع ... ... الموسوعة الرياضية

1) في الهيدروميكانيكا معادلة حركة الموائع (الغازات) في متغيرات لاغرانج وهي إحداثيات الوسط. تلقى الفرنسية العالم ج. لاغرانج (حوالي 1780). من L. u. يتم تحديد قانون حركة الوسط على شكل تبعيات ... ... الموسوعة الفيزيائية

طريقة مضاعف لاغرانج، طريقة لإيجاد الحد الأقصى الشرطي للدالة f(x)، حيث، بالنسبة إلى قيود m، i يختلف من واحد إلى m. المحتويات 1 وصف الطريقة ... ويكيبيديا

دالة تستخدم في حل مسائل على الحد الأقصى الشرطي لدوال العديد من المتغيرات والدوال. بمساعدة L. f. يتم تدوين الشروط اللازمة لتحقيق المثالية في المشكلات ذات الحد المشروط. في هذه الحالة، ليس من الضروري التعبير عن المتغيرات فقط... الموسوعة الرياضية

طريقة حل المسائل على الحدود الشرطية؛ يتكون L.M.M من تقليل هذه المشاكل إلى مشاكل في الحد الأقصى غير المشروط للوظيفة المساعدة، ما يسمى. وظائف لاغرانج. لمسألة الحد الأقصى للدالة f (x1, x2,..., xn) لـ... ...

المتغيرات، والتي يتم من خلالها إنشاء دالة لاغرانج عند دراسة المشكلات على الحد الأقصى الشرطي. يتيح لنا استخدام الطرق الخطية ودالة لاغرانج الحصول على شروط المثالية اللازمة في المسائل التي تنطوي على حد مشروط بطريقة موحدة... الموسوعة الرياضية

1) في الهيدروميكانيكا، معادلات حركة وسط مائع، مكتوبة بمتغيرات لاغرانج، وهي إحداثيات جسيمات الوسط. من L. u. يتم تحديد قانون حركة جسيمات الوسط على شكل اعتماد الإحداثيات على الزمن ومنها... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

تبدأ طريقة تحديد الحد الأقصى الشرطي ببناء دالة لاغرانج المساعدة والتي تصل في منطقة الحلول الممكنة إلى الحد الأقصى لنفس قيم المتغيرات س 1 ، س 2 ، ...، خ ن ، وهي نفس الوظيفة الهدف ض . دع مشكلة تحديد الحد الأقصى الشرطي للدالة يتم حلها ض = و(X) تحت القيود φ أنا ( س 1 , س 2 , ..., س ن ) = 0, أنا = 1, 2, ..., م , م < ن

دعونا نؤلف دالة

من اتصل وظيفة لاغرانج. X - عوامل ثابتة ( مضاعفات لاغرانج). لاحظ أنه يمكن إعطاء مضاعفات لاغرانج معنى اقتصاديًا. لو و(س 1 ، س 2 ، ...، خ ن ) - دخل يتوافق مع الخطة س = (س 1 ، س 2 ، ...، خ ن ) ، والوظيفة φ أنا (x 1 ، س 2 ، ...، خ ن ) - تكاليف المورد الأول المطابق لهذه الخطة إذن X ، هو سعر (تقدير) المورد i، الذي يميز التغير في القيمة القصوى للدالة الموضوعية اعتمادًا على التغير في حجم المورد i (التقدير الهامشي). ل (س) - وظيفة ن + م المتغيرات (x 1 ، س 2 ، ...، خ ن , λ 1 , λ 2 , ..., λ ن ) . يؤدي تحديد النقاط الثابتة لهذه الدالة إلى حل نظام المعادلات

من السهل رؤية ذلك . وبالتالي، فإن مهمة العثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = و(X) يقلل من العثور على الحد الأقصى المحلي للوظيفة ل (س) . إذا تم العثور على نقطة ثابتة فإن مسألة وجود حد أقصى في أبسط الحالات يتم حلها على أساس الشروط الكافية للطرف - دراسة إشارة التفاضل الثاني د 2 ل (س) عند نقطة ثابتة، بشرط أن يتزايد المتغير Δx أنا - متصلة بالعلاقات

تم الحصول عليها عن طريق التمييز بين معادلات الاقتران.

حل نظام من المعادلات غير الخطية في مجهولين باستخدام أداة Solution Finder

إعدادات إيجاد حليسمح لك بإيجاد حل لنظام المعادلات غير الخطية مع مجهولين:

أين
- دالة غير خطية للمتغيرات س و ذ ,
- ثابت تعسفي.

ومن المعروف أن الزوجين ( س , ذ ) هو حل لنظام المعادلات (10) إذا وفقط إذا كان حلاً للمعادلة التالية ذات مجهولين:

معومن ناحية أخرى فإن حل النظام (10) هو نقاط تقاطع منحنيين: F ] (س, ذ) = ج و F 2 (س، ص) = ج 2 على السطح XOي.

وهذا يؤدي إلى طريقة للعثور على جذور النظام. المعادلات غير الخطية:

حدد (على الأقل تقريبًا) الفاصل الزمني لوجود حل لنظام المعادلات (10) أو المعادلة (11). من الضروري هنا أن نأخذ في الاعتبار نوع المعادلات المضمنة في النظام، ومجال تعريف كل من معادلاتها، وما إلى ذلك. في بعض الأحيان يتم استخدام اختيار تقريبي أولي للحل؛

جدولة حل المعادلة (11) بدلالة المتغيرين x وy على فترة زمنية محددة، أو إنشاء رسوم بيانية للدوال F 1 (س, ذ) = ج، و F 2 (س، ص) = ج 2 (نظام (10)).

تحديد الجذور المفترضة لنظام المعادلات - العثور على عدة قيم دنيا من الجدول الذي يبين جذور المعادلة (11)، أو تحديد نقاط تقاطع المنحنيات المتضمنة في النظام (10).

4. ابحث عن جذور نظام المعادلات (10) باستخدام الوظيفة الإضافية إيجاد حل.

ولد جوزيف لويس لاغرانج في تورينو (إيطاليا) لعائلة إيطالية فرنسية. درس ثم درّس في مدرسة المدفعية. في عام 1759، بناء على توصية أويلر، تم انتخاب لاغرانج البالغ من العمر 23 عاما عضوا في أكاديمية برلين للعلوم. في عام 1766 أصبح بالفعل رئيسًا لها. دعا فريدريك الثاني لاغرانج إلى برلين. بعد وفاة فريدريك الثاني عام 1786، انتقل لاغرانج إلى باريس. منذ عام 1722 كان عضوًا في أكاديمية باريس للعلوم، وفي عام 1795 تم تعيينه عضوًا في مكتب خطوط الطول، وقام بدور نشط في إنشاء النظام المتري للقياسات. كان نطاق البحث العلمي لاغرانج واسعًا بشكل غير عادي. وهي مخصصة للميكانيكا والهندسة والتحليل الرياضي والجبر ونظرية الأعداد وعلم الفلك النظري. كان الاتجاه الرئيسي لأبحاث لاغرانج هو عرض مجموعة واسعة من الظواهر في الميكانيكا من وجهة نظر موحدة. لقد اشتق معادلة تصف سلوك أي نظام تحت تأثير القوى. وفي مجال علم الفلك، بذل لاغرانج الكثير لحل مشكلة استقرار النظام الشمسي؛ أثبت بعض الحالات الخاصة للحركة المستقرة، خاصة بالنسبة للأجسام الصغيرة الموجودة في ما يسمى بنقاط الميزان المثلثة.

طريقة لاغرانج─ هي طريقة لحل مشكلة التحسين المقيدة حيث يتم دمج القيود، المكتوبة كوظائف ضمنية، مع وظيفة موضوعية في شكل معادلة جديدة تسمى لاغرانجيان.

دعونا نفكر في حالة خاصة لمشكلة البرمجة غير الخطية العامة:

نظرا لنظام المعادلات غير الخطية (1):

(1) جي(x1,x2,…,xn)=ثنائية (i=1..m),

ابحث عن أصغر (أو أكبر) قيمة للدالة (2)

(2) و (x1،x2،…،xn)،

إذا لم تكن هناك شروط لتكون المتغيرات غير سالبة و f(x1,x2,…,xn) و gi(x1,x2,…,xn) هي دوال متصلة مع مشتقاتها الجزئية.

لإيجاد حل لهذه المشكلة يمكنك تطبيق الطريقة التالية: 1. أدخل مجموعة من المتغيرات 1، 1،…، 1، تسمى مضاعفات لاغرانج، قم بتكوين دالة لاغرانج (3)

(3) F(x1,x2,…,xn, α1,π2,…,ạm) = f(x1,x2,…,xn)+ lecti.

2. أوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج بالنسبة للمتغيرين xi و lecti وساويها بالصفر.

3. من خلال حل نظام من المعادلات، يجدون نقاطًا قد يكون فيها للوظيفة الموضوعية للمشكلة حدًا متطرفًا.

4. من بين النقاط المشبوهة وليس القصوى، ابحث عن تلك التي تم الوصول إليها، واحسب قيم الدالة عند هذه النقاط .

4. قارن القيم التي تم الحصول عليها للدالة f واختر الأفضل.

ووفقا لخطة الإنتاج، تحتاج الشركة إلى إنتاج 180 منتجا. يمكن تصنيع هذه المنتجات بطريقتين تكنولوجيتين. عند إنتاج منتجات x1 باستخدام الطريقة الأولى، تكون التكاليف 4*x1+x1^2 روبل، وعند إنتاج منتجات x2 باستخدام الطريقة الثانية، تكون التكاليف 8*x2+x2^2 روبل. تحديد عدد المنتجات التي يجب إنتاجها باستخدام كل طريقة بحيث تكون التكلفة الإجمالية للإنتاج في حدها الأدنى.

الحل: تتمثل الصيغة الرياضية للمسألة في تحديد أصغر قيمة لدالة ذات متغيرين:

و = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2، بشرط أن يكون x1 +x2 = 180.

دعونا نؤلف دالة لاغرانج:

F(x1,x2,κ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+lect*(180-x1-x2).

لنحسب مشتقاتها الجزئية بالنسبة إلى x1، x2، α ونساويها بالصفر:

لننقل α إلى الطرف الأيمن من المعادلتين الأوليين ونساوي طرفيهما الأيسر، فنحصل على 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2، أو x1 − x2 = 2.

وبحل المعادلة الأخيرة مع المعادلة x1 + x2 = 180 نجد x1 = 91، x2 = 89، أي أننا حصلنا على حل يحقق الشروط:

لنجد قيمة الدالة الهدف f لقيم المتغيرات هذه:

و(x1، x2) = 17278

هذه النقطة مشبوهة لنقطة متطرفة. باستخدام المشتقات الجزئية الثانية، يمكننا أن نبين أنه عند النقطة (91.89) فإن الدالة f لها قيمة دنيا.

دع الدوال العددية القابلة للتمييز مرتين بشكل مستمر للوسيطة المتجهة. مطلوب إيجاد الحد الأقصى للدالة، بشرط أن تكون الوسيطة تستوفي نظام القيود:

(الشرط الأخير يسمى أيضًا شرط الاتصال).

إن أبسط طريقة لإيجاد حد مشروط مشروط هو تقليل المشكلة إلى إيجاد حد غير مشروط عن طريق حل معادلة الاتصال فيما يتعلق بـ مالمتغيرات واستبدالها لاحقًا في الوظيفة الهدف.

مثال 3.أوجد الحد الأقصى للدالة تحت الشرط.

حل. من معادلة الاتصال نعبر عنها × 2خلال × 1واستبدل التعبير الناتج في الدالة في:

هذه الوظيفة لها حد أقصى واحد (الحد الأدنى) عند × 1=2. على التوالى، × 2=1. وبالتالي، فإن النقطة القصوى (الدنيا) الشرطية للدالة المعطاة هي النقطة.

في المثال المذكور، معادلة الاقتران قابلة للحل بسهولة فيما يتعلق بأحد المتغيرات. ومع ذلك، في الحالات الأكثر تعقيدًا، ليس من الممكن دائمًا التعبير عن المتغيرات. وبناء على ذلك، فإن النهج الموصوف أعلاه لا ينطبق على جميع المشاكل.

هناك طريقة أكثر عالمية لحل مشاكل إيجاد الحد الأقصى المشروط طريقة لاغرانج المضاعف. لأنه يقوم على تطبيق النظرية التالية. إذا كانت النقطة هي النقطة القصوى لدالة في المنطقة المحددة بواسطة المعادلات، فعندئذ (في ظل بعض الشروط الإضافية) توجد مثل هذه النقطة مالمتجه ذو الأبعاد تلك النقطة هي نقطة ثابتة للدالة

خوارزمية طريقة مضاعف لاغرانج

الخطوة 1. إنشاء دالة لاغرانج:

أين هو مضاعف لاغرانج المقابل ل أنا-التقييد.

الخطوة 2. أوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج وساويها بالصفر

الخطوه 3.بعد أن حل النظام الناتج من ن+مالمعادلات، العثور على نقاط ثابتة.

لاحظ أنه عند النقاط الثابتة يتم استيفاء الشرط الضروري ولكن غير الكافي للحد الأقصى للوظيفة. إن تحليل نقطة ثابتة لوجود حد متطرف فيها في هذه الحالة أمر معقد للغاية. ولذلك فإن طريقة مضاعف لاغرانج تستخدم بشكل رئيسي في الحالات التي يكون فيها وجود حد أدنى أو أقصى للدالة قيد الدراسة معروفا مسبقا من اعتبارات هندسية أو موضوعية.

عند حل بعض المشاكل الاقتصادية، تحتوي مضاعفات لاغرانج على محتوى دلالي معين. لذلك، إذا - ربح المؤسسة بموجب خطة الإنتاج نالبضائع - التكاليف أنا-المورد، ثم ل أنا- تقييم هذا المورد، وتحديد معدل التغير في المستوى الأمثل لوظيفة الهدف تبعاً للتغير أنا-المصدر.

مثال 4.أوجد الحد الأقصى للدالة تحت الشرط.

حل. الدوال مستمرة ولها مشتقات جزئية مستمرة. دعونا نؤلف دالة لاغرانج:

دعونا نوجد المشتقات الجزئية ونساويها بالصفر.

نحصل على نقطتين ثابتتين:

ومع الأخذ بعين الاعتبار طبيعة الدالة الموضوعية، التي تكون خطوط مستواها مستويات، والدالة (القطع الناقص)، نستنتج أن الدالة عند النقطة تأخذ قيمة دنيا، وعند النقطة قيمة قصوى.

مثال 5.في مجال حلول الأنظمة

أوجد القيمة العظمى والصغرى للدالة بمعلومية الشرط.

حل. تقاطع منطقة الحلول الممكنة والخط المستقيم هو القطعة مينيسوتا: م(0,6), ن(6.0). لذلك يمكن للدالة أن تأخذ قيمًا متطرفة إما عند نقاط ثابتة أو عند نقاط مو ن. للعثور على نقطة ثابتة، نستخدم طريقة لاغرانج. دعونا نؤلف دالة لاغرانج

دعونا نوجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونساويها بالصفر

بحل النظام نحصل على نقطة ثابتة ك(2.2؛3.8). دعونا نقارن قيم الدالة الهدف عند النقاط ك, م, ن:

لذلك،

مثال 6.ومن المعروف أن طلب السوق على منتج معين يبلغ 180 قطعة. يمكن تصنيع هذا المنتج من قبل شركتين لنفس الاهتمام باستخدام تقنيات مختلفة. في الانتاج × 1المنتجات من قبل المؤسسة الأولى، وسوف تكون تكاليفها فرك، وأثناء الإنتاج × 2المنتجات من قبل المؤسسة الثانية التي يشكلونها فرك.

تحديد عدد المنتجات المصنعة باستخدام كل تقنية يمكن أن تقدمها الشركة بحيث تكون التكاليف الإجمالية لإنتاجها في حدها الأدنى.

حل. النموذج الرياضي للمشكلة:

للعثور على الحد الأدنى لقيمة وظيفة الهدف الخاضعة ل × 1+ × 2=180، أي. دون مراعاة شرط عدم سلبية المتغيرات نؤلف دالة لاغرانج:

دعونا نوجد المشتقات الأولى لدالة لاغرانج فيما يتعلق بـ × 1, × 2, ل، ونساويهم بـ 0. نحصل على نظام المعادلات:

وبحل هذا النظام نجد الجذور التالية: ، أي. نحصل على إحداثيات نقطة يشتبه في أنها نقطة متطرفة.

لتحديد ما إذا كانت النقطة ( ) الحد الأدنى المحلي، ندرس محدد هسه، والذي نحسب من أجله المشتقات الجزئية الثانية للدالة الموضوعية:

لأن

ثم يكون محدد هسه موجبًا محددًا؛ وبالتالي فإن الدالة الموضوعية تكون محدبة وعند النقطة ( ) لدينا الحد الأدنى المحلي: