لا توجد طريقة عالمية لحل المعادلات غير المنطقية، لأن فئتها تختلف في الكمية. ستسلط المقالة الضوء على الأنواع المميزة للمعادلات مع الاستبدال باستخدام طريقة التكامل.

لاستخدام طريقة التكامل المباشر، من الضروري حساب التكاملات غير المحددة من النوع ∫ k x + b p d x ، حيث p جزء نسبي، و k و b معاملان حقيقيان.

مثال 1

أوجد المشتقات العكسية للدالة واحسبها y = 1 3 x - 1 3 .

حل

وفقا لقاعدة التكامل، من الضروري تطبيق الصيغة ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C، ويشير جدول المشتقات العكسية إلى وجود حل جاهز لهذه الدالة . لقد حصلنا على ذلك

∫ د x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + ج

إجابة:∫ د x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

هناك حالات يمكن فيها استخدام طريقة تضمين الإشارة التفاضلية. يتم حل هذه المشكلة من خلال مبدأ إيجاد التكاملات غير المحددة للصيغة ∫ f " (x) · (f (x)) p d x ، عندما تعتبر قيمة p كسرًا عقلانيًا.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

حل

لاحظ أن d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. فمن الضروري إدراج الإشارة التفاضلية باستخدام جداول المشتقات العكسية. نحصل على ذلك

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 د (س 3 + 5 س - 7) = س 3 + 5 س - 7 = ض = = ∫ ض - 7 6 د ض = 1 - 7 6 + 1 ض - 7 6 + 1 + C = - 6 ض - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

إجابة:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

يتضمن حل التكاملات غير المحددة صيغة على الصورة ∫ d x x 2 + p x + q، حيث p وq معاملان حقيقيان. ثم تحتاج إلى تحديد مربع كامل من تحت الجذر. لقد حصلنا على ذلك

س 2 + ص س + ف = س 2 + ص س + ص 2 2 - ص 2 2 + ف = س + ص 2 2 + 4 ف - ص 2 4

وبتطبيق الصيغة الموجودة في جدول التكاملات غير المحددة نحصل على:

∫ د × × 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

ثم يتم حساب التكامل:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + س 2 + ص س + ف + ج

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد للصيغة ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

حل

لإجراء الحساب، عليك إخراج الرقم 2 ووضعه أمام الجذر:

∫ د x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ د x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

حدد مربعًا كاملاً في التعبير الجذري. لقد حصلنا على ذلك

س 2 + 3 2 س - 1 2 = س 2 + 3 2 س + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = س + 3 4 2 - 17 16

ثم نحصل على تكامل غير محدد من الصورة 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + ج

إجابة:د × × 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

يتم تنفيذ تكامل الوظائف غير العقلانية بطريقة مماثلة. ينطبق على وظائف النموذج y = 1 - x 2 + p x + q.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

حل

تحتاج أولاً إلى اشتقاق مربع مقام التعبير من أسفل الجذر.

∫ د x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (س - 2) 2 + 9

تكامل الجدول له الصيغة ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C، ثم نحصل على ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +ج

إجابة:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

عملية إيجاد دوال غير منطقية مشتقة عكسية من الشكل y = M x + N x 2 + p x + q، حيث M، N، p، q الموجودة هي معاملات حقيقية، وتشبه تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث . ويمر هذا التحول بعدة مراحل:

جمع التفاضل تحت الجذر، وعزل المربع الكامل للتعبير تحت الجذر، باستخدام الصيغ الجدولية.

مثال 5

أوجد المشتقات العكسية للدالة y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

حل

من الشرط لدينا أن d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x و x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2، ثم (x + 2) d x = 1 2 (2 س - 3) + 7 2 د x = 1 2 د (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 د x .

لنحسب التكامل: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 س + 1 + ج

إجابة:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

يتم البحث عن التكاملات غير المحددة للدالة ∫ x m (a + b x n) p d x باستخدام طريقة الاستبدال.

لحلها من الضروري إدخال متغيرات جديدة:

1. عندما يكون p عددًا صحيحًا، يتم أخذ x = z N في الاعتبار، وN هو القاسم المشترك لـ m, n.
2. عندما يكون m + 1 n عددًا صحيحًا، فإن a + b x n = z N، وN هو مقام p.
3. عندما يكون m + 1 n + p عددًا صحيحًا، فإن المتغير a x - n + b = z N مطلوب، وN هو مقام الرقم p.

مثال 6

أوجد التكامل المحدد ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

حل

حصلنا على ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . ويترتب على ذلك أن m = - 1, n = 1, p = - 1 2, ثم m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 عدد صحيح. يمكنك إدخال متغير جديد للنموذج - 9 + 2 x = z 2. من الضروري التعبير عن x بدلالة z. كإخراج نحصل على ذلك

9 + 2 x = ض 2 ⇒ x = ض 2 + 9 2 ⇒ د x = ض 2 + 9 2 " د ض = ض د ض - 9 + 2 س = ض

من الضروري إجراء استبدال في التكامل المحدد. لدينا هذا

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

إجابة:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

لتبسيط حل المعادلات غير المنطقية، يتم استخدام طرق التكامل الأساسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

إن فئة الوظائف غير العقلانية واسعة جدًا، لذا لا يمكن ببساطة أن تكون هناك طريقة عالمية لدمجها. سنحاول في هذه المقالة تسليط الضوء على أكثر أنواع الدوال التكاملية غير المنطقية تميزًا وربط طريقة التكامل بها.

هناك حالات يكون من المناسب فيها استخدام طريقة الاشتراك في العلامة التفاضلية. على سبيل المثال، عند العثور على تكاملات غير محددة من النموذج، أين ص- جزء عقلاني.

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

ليس من الصعب ملاحظة ذلك. ولذلك نضعها تحت علامة التفاضل ونستخدم جدول المشتقات العكسية:

إجابة:

.

13. الاستبدال الخطي الكسري

التكاملات من النوع حيث a، b، c، d هي أرقام حقيقية، a، b،...، d، g هي أعداد طبيعية، يتم اختزالها إلى تكاملات دالة كسرية عن طريق الاستبدال، حيث K هو المضاعف المشترك الأصغر للعدد مقامات الكسور

في الواقع، من الاستبدال يتبع ذلك

أي يتم التعبير عن x وdx من خلال الوظائف العقلانية لـ t. علاوة على ذلك، يتم التعبير عن كل درجة من الكسر من خلال دالة عقلانية لـ t.

مثال 33.4. أوجد التكامل

الحل: المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسرين 2/3 و1/2 هو 6.

لذلك، نضع x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, وبالتالي,

مثال 33.5.حدد الاستبدال لإيجاد التكاملات:

الحل: استبدال I 1 x=t 2، استبدال I 2

14. الاستبدال المثلثي

يتم اختزال تكاملات النوع إلى تكاملات الدوال التي تعتمد بشكل عقلاني على الدوال المثلثية باستخدام البدائل المثلثية التالية: x = a sint للتكامل الأول؛ x=a tgt للتكامل الثاني.

مثال 33.6.أوجد التكامل

الحل: لنضع x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. ثم

هنا التكامل هو دالة عقلانية فيما يتعلق بـ x و من خلال اختيار مربع كامل تحت الجذر وإجراء الاستبدال، يتم تقليل تكاملات النوع المشار إليه إلى تكاملات من النوع الذي تم النظر فيه بالفعل، أي إلى تكاملات من النوع يمكن حساب هذه التكاملات باستخدام البدائل المثلثية المناسبة.

مثال 33.7.أوجد التكامل

الحل: بما أن x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5، فإن x+1=t، x=t-1، dx=dt. لهذا هيا نضع

ملاحظة: نوع متكامل من المناسب إيجاده باستخدام التعويض x=1/t.

15. التكامل المحدد

دع الدالة يتم تعريفها على قطعة ما ولها مشتق عكسي عليها. ويسمى الفرق تكامل محدد وظائف على طول الجزء وتدل. لذا،

يتم كتابة الفرق في النموذج، ثم . يتم استدعاء الأرقام حدود التكامل .

على سبيل المثال، أحد المشتقات العكسية للدالة. لهذا

16 . إذا كان c رقمًا ثابتًا والدالة ƒ(x) قابلة للتكامل، إذن

أي أنه يمكن إخراج العامل الثابت c من إشارة التكامل المحدد.

▼ دعونا نؤلف المجموع التكاملي للدالة ذات ƒ(x). لدينا:

ويترتب على ذلك أن الدالة c ƒ(x) قابلة للتكامل على [a; ب] والصيغة (38.1) صالحة.▲

2. إذا كانت الدالتان ƒ 1 (x) و ƒ 2 (x) قابلة للتكامل في [a;b]، فهي قابلة للتكامل في [a; ب] مجموعهم ش

أي أن تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات.

▼
▲

تنطبق الخاصية 2 على مجموع أي عدد محدود من الحدود.

3.

يمكن قبول هذه الخاصية بحكم التعريف. تم تأكيد هذه الخاصية أيضًا من خلال صيغة نيوتن-لايبنتز.

4. إذا كانت الدالة ƒ(x) قابلة للتكامل على [a; ب] و أ< с < b, то

أي أن التكامل على القطعة بأكملها يساوي مجموع التكاملات على أجزاء هذه القطعة. تسمى هذه الخاصية جمع التكامل المحدد (أو خاصية الجمع).

عند تقسيم المقطع [a;b] إلى أجزاء نقوم بإدراج النقطة c في عدد نقاط التقسيم (ويمكن القيام بذلك بسبب استقلال حد المجموع التكاملي عن طريقة تقسيم المقطع [a;b] إلى أجزاء). إذا كانت c = x m، فيمكن تقسيم المجموع التكاملي إلى مجموعين:

كل من المبالغ المكتوبة جزء لا يتجزأ، على التوالي، للقطاعات [أ؛ ب]، [أ؛ ق] و [ق؛ ب]. وبالانتقال إلى الحد في المساواة الأخيرة كـ n → ∞ (lect → 0)، نحصل على المساواة (38.3).

الخاصية 4 صالحة لأي موقع من النقاط a، b، c (نحن نفترض أن الدالة ƒ (x) قابلة للتكامل على أكبر المقاطع الناتجة).

لذلك، على سبيل المثال، إذا كان أ< b < с, то

(تم استخدام الخصائص 4 و 3).

5. "نظرية القيم المتوسطة". إذا كانت الدالة ƒ(x) متصلة على الفترة [a; ب]، ثم هناك تونكا مع є [أ؛ ب] هكذا

▼بواسطة صيغة نيوتن-لايبنتز لدينا

حيث F"(x) = ƒ(x). وبتطبيق نظرية لاغرانج (نظرية الزيادة المحدودة للدالة) على الفرق F(b)-F(a)، نحصل على

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

الخاصية 5 ("نظرية القيمة المتوسطة") لـ ƒ (x) ≥ 0 لها معنى هندسي بسيط: قيمة التكامل المحدد تساوي، بالنسبة لبعض c є (a؛ b)، مساحة المستطيل مع الارتفاع ƒ (ج) والقاعدة ب-أ ( انظر الشكل 170). رقم

تسمى القيمة المتوسطة للدالة ƒ(x) على الفاصل الزمني [a; ب].

6. إذا احتفظت الدالة ƒ (x) بإشارتها على المقطع [a؛ ب]، حيث أ< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ بواسطة "نظرية القيمة المتوسطة" (الخاصية 5)

حيث ج є [أ؛ ب]. وبما أن ƒ(x) ≥ 0 للجميع x О [a; ب] إذن

ƒ(س)≥0، ب-أ>0.

لذلك ƒ(с) (b-а) ≥ 0، أي. ▲

7. عدم المساواة بين الوظائف المستمرة على الفاصل الزمني [أ؛ ب]، (أ

▼ منذ ƒ 2 (x) - ƒ 1 (x)≥0، ثم عندما أ< b, согласно свойству 6, имеем

أو حسب الخاصية 2 ،

لاحظ أنه من المستحيل التمييز بين عدم المساواة.

8. تقدير التكامل. إذا كانت m وM، على التوالي، أصغر وأكبر قيم للدالة y = ƒ (x) على المقطع [a؛ ب]، (أ< b), то

▼ بما أنه لأي x є [a;b] لدينا m≤ƒ(x)≥М، إذن وفقًا للخاصية 7، لدينا

وبتطبيق الخاصية 5 على التكاملات القصوى نحصل على

▲

إذا كانت ƒ(x)≥0، فسيتم توضيح الخاصية 8 هندسيًا: مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع محاطة بين مساحات المستطيلات التي قاعدتها وارتفاعاتها m وM (انظر الشكل 171).

9. لا يتجاوز معامل التكامل المحدد تكامل معامل التكامل:

▼ بتطبيق الخاصية 7 على المتباينات الواضحة -|ƒ(x)|≥ƒ(x)≤|ƒ(x)|، نحصل على

إنه يتبع هذا

▲

10. مشتقة التكامل المحدد بالنسبة إلى حد أعلى متغير تساوي التكامل الذي يستبدل فيه متغير التكامل بهذا الحد، أي.

يعد حساب مساحة الشكل من أصعب المسائل في نظرية المساحة. في دورة الهندسة المدرسية، تعلمنا إيجاد مساحات الأشكال الهندسية الأساسية، على سبيل المثال، دائرة، مثلث، معين، إلخ. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يتعين عليك التعامل مع حساب مساحات الأشكال الأكثر تعقيدًا. عند حل مثل هذه المشاكل، لا بد من اللجوء إلى حساب التفاضل والتكامل.

سنتناول في هذا المقال مشكلة حساب مساحة شبه المنحرف المنحني، وسنتناولها من الناحية الهندسية. سيسمح لنا ذلك بمعرفة العلاقة المباشرة بين التكامل المحدد ومساحة شبه المنحرف المنحني.

الإجابات الجاهزة حول تكامل الوظائف مأخوذة من اختبار طلاب السنة الأولى والثانية في أقسام الرياضيات. للتأكد من أن الصيغ الموجودة في المشكلات والإجابات لا تكرر شروط المهام، فلن نكتبها. أنت تعلم بالفعل أنه في المسائل التي تحتاج فيها إما إلى "البحث عن التكامل" أو "حساب التكامل". لذلك، إذا كنت بحاجة إلى إجابات حول التكامل، فابدأ بدراسة الأمثلة التالية.

تكامل الوظائف غير العقلانية

مثال 18. نقوم بتغيير المتغيرات تحت التكامل. لتبسيط العمليات الحسابية، لا نختار الجذر فقط، بل المقام بأكمله للمتغير الجديد. بعد هذا الاستبدال، يتم تحويل التكامل إلى مجموع تكاملين جدوليين، والتي لا تحتاج إلى تبسيط

بعد التكامل نعوض بالمتغير
مثال 19. لقد تم إنفاق الكثير من الوقت والمساحة على تكامل هذه الدالة الكسرية غير المنطقية، ولا نعرف حتى ما إذا كان بإمكانك اكتشافها من جهاز لوحي أو هاتف. للتخلص من اللاعقلانية، ونحن هنا نتعامل مع الجذر التكعيبي، نختار الدالة الجذرية للقوة الثالثة للمتغير الجديد. بعد ذلك، نوجد التفاضلية ونستبدل الدالة السابقة بالتكامل

الجزء الأكثر استهلاكًا للوقت هو جدولة وظيفة جديدة لعلاقات القوة والكسور.

بعد التحويلات نجد بعض التكاملات مباشرة ونكتب الأخير إلى اثنين نحوله حسب صيغ التكامل الجدولي

بعد كل الحسابات، لا تنس العودة إلى الاستبدال الذي تم إجراؤه في البداية

دمج الدوال المثلثية

مثال 20. علينا إيجاد تكامل الجيب للقوة السابعة. وفقًا للقواعد، يجب دفع جيب واحد إلى التفاضل (نحصل على تفاضل جيب التمام)، ويجب كتابة الجيب إلى القوة السادسة من خلال جيب التمام. وهكذا نصل إلى التكامل من دالة المتغير الجديد t = cos (x). في هذه الحالة، سيتعين عليك إحضار الفرق إلى المكعب، ثم التكامل



ونتيجة لذلك، نحصل على كثيرة الحدود من الرتبة 7 في جيب التمام.
مثال 21. في هذا التكامل، من الضروري كتابة جيب تمام الدرجة الرابعة في الصيغ المثلثية من خلال الاعتماد على جيب تمام الدرجة الأولى. بعد ذلك، نطبق الصيغة الجدولية لتكامل جيب التمام.


مثال 22. تحت التكامل لدينا حاصل ضرب الجيب وجيب التمام. وفقًا للصيغ المثلثية، نكتب حاصل الضرب من خلال فرق الجيب. يمكن فهم كيفية الحصول على هذا القوس من خلال تحليل معاملات "x". بعد ذلك نقوم بدمج الجيوب

مثال 23. هنا لدينا دالة جيب التمام وجيب التمام في المقام. علاوة على ذلك، فإن الصيغ المثلثية لن تساعد في تبسيط الاعتماد. لإيجاد التكامل، نطبق الاستبدال المثلثي الشامل t=tan(x/2)

يتضح من السجل أن المقامين سوف يلغيان وسنحصل على ثلاثية مربعة في مقام الكسر. فيه نختار مربعًا كاملاً وجزءًا مجانيًا. وبعد التكامل، نصل إلى لوغاريتم الفرق بين العوامل الأولية للمقام. لتبسيط الترميز، تم ضرب كل من البسط والمقام تحت اللوغاريتم في اثنين.

في نهاية الحسابات، بدلًا من المتغير، نعوض بظل نصف الوسيطة.
مثال 24. لتكامل الدالة، نخرج مربع جيب التمام من الأقواس، ونطرح واحدًا ونضيف واحدًا من الأقواس للحصول على ظل التمام.

بعد ذلك، نختار ظل التمام u = ctg (x) للمتغير الجديد، وسيعطينا تفاضله العامل الذي نحتاجه للتبسيط. بعد الاستبدال نصل إلى دالة تعطي ظل قوسي عند تكاملها.

حسنًا، لا تنس تغيير u إلى ظل التمام.
مثال 25. في المهمة الأخيرة للاختبار، تحتاج إلى تحقيق تكامل ظل التمام لزاوية مزدوجة حتى الدرجة الرابعة.


في هذه المرحلة، تم حل اختبار التكامل، ولن يجد أي معلم خطأً في الإجابات ومبررات التحويلات.
إذا تعلمت كيفية التكامل بهذه الطريقة، فإن الاختبارات أو الأقسام المتعلقة بموضوع التكاملات ليست مخيفة بالنسبة لك. كل شخص آخر لديه الفرصة للتعلم أو طلب حلول التكاملات منا (أو من منافسينا :))).

الدالة غير المنطقية للمتغير هي دالة تتكون من متغير وثوابت عشوائية باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب (الرفع إلى قوة عددية) والقسمة وأخذ الجذور. تختلف الوظيفة غير العقلانية عن الوظيفة العقلانية من حيث أن الوظيفة غير العقلانية تحتوي على عمليات لاستخراج الجذور.

هناك ثلاثة أنواع رئيسية من الدوال غير المنطقية، والتي يتم تقليل التكاملات غير المحددة منها إلى تكاملات الدوال الكسرية. هذه هي تكاملات تحتوي على جذور قوى أعداد صحيحة من دالة كسرية خطية (يمكن أن تكون الجذور ذات قوى مختلفة، ولكن من نفس الوظيفة الكسرية الخطية)؛ تكاملات ذات الحدين التفاضلية والتكاملات مع الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة.

ملاحظة مهمة. الجذور لها معاني متعددة!

عند حساب التكاملات التي تحتوي على جذور، غالبًا ما نواجه تعبيرات النموذج، حيث توجد بعض وظائف متغير التكامل. وينبغي أن يؤخذ في الاعتبار ذلك. وهذا هو، في ر> 0 , |t| = ر. في ر< 0 , |t| = - ر .لذلك، عند حساب هذه التكاملات، من الضروري النظر بشكل منفصل في الحالات t > 0 و ت< 0 . ويمكن القيام بذلك عن طريق كتابة العلامات أو حيثما كان ذلك ضروريا. على افتراض أن العلامة العلوية تشير إلى الحالة t> 0 والسفلي - للحالة ر< 0 . مع مزيد من التحول، تميل هذه العلامات إلى إلغاء بعضها البعض.

هناك طريقة ثانية ممكنة أيضًا، حيث يمكن اعتبار التكامل ونتيجة التكامل دوال معقدة لمتغيرات معقدة. إذًا ليس عليك الانتباه إلى العلامات الموجودة في التعبيرات المتطرفة. ينطبق هذا النهج إذا كان التكامل تحليليًا، أي دالة قابلة للتفاضل لمتغير معقد. في هذه الحالة، يعتبر التكامل وتكامله دوال متعددة القيم. لذلك، بعد التكامل، عند استبدال القيم العددية، من الضروري تحديد فرع أحادي القيمة (سطح ريمان) من التكامل، وله تحديد الفرع المقابل لنتيجة التكامل.

اللاعقلانية الخطية الكسرية

هذه تكاملات لها جذور من نفس الدالة الخطية الكسرية:
,
حيث R هي دالة عقلانية، وهي أرقام عقلانية، m 1، n 1، ...، m s، n s أعداد صحيحة، α، β، γ، δ هي أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكامل دالة عقلانية عن طريق الاستبدال:
، حيث n هو القاسم المشترك للأرقام r 1، ...، r s.

قد لا تأتي الجذور بالضرورة من دالة كسرية خطية، ولكن أيضًا من دالة خطية (γ = 0 , δ = 1)، أو على متغير التكامل x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

فيما يلي أمثلة على هذه التكاملات:
, .

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية لها الشكل:
,
حيث m، n، p هي أرقام نسبية، وa، b أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكاملات الدوال العقلانية في ثلاث حالات.

1) إذا كان p عدداً صحيحاً. الاستبدال x = t N، حيث N هو القاسم المشترك للكسرين m و n.
2) إذا - عدد صحيح. التعويض a x n + b = t M، حيث M هو مقام الرقم p.
3) إذا - عدد صحيح. الاستبدال a + b x - n = t M، حيث M هو مقام الرقم p.

وفي حالات أخرى، لا يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

في بعض الأحيان يمكن تبسيط هذه التكاملات باستخدام صيغ الاختزال:
;
.

التكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة

هذه التكاملات لها الشكل:
,
حيث R هي دالة عقلانية. لكل تكامل من هذا القبيل هناك عدة طرق لحله.
1) يؤدي استخدام التحويلات إلى تكاملات أبسط.
2) تطبيق البدائل المثلثية أو الزائدية.
3) تطبيق بدائل أويلر.

دعونا نلقي نظرة على هذه الأساليب بمزيد من التفصيل.

1) تحويل الدالة التكاملية

بتطبيق الصيغة وإجراء التحويلات الجبرية، نقوم بتبسيط الدالة التكاملية إلى النموذج:
,
حيث φ(x)، ω(x) هي وظائف عقلانية.

النوع I

تكامل النموذج:
,
حيث P n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n.

تم العثور على هذه التكاملات بطريقة المعاملات غير المحددة باستخدام الهوية:

.
بتفاضل هذه المعادلة ومساواة الطرفين الأيسر والأيمن نجد المعاملات A i.

النوع الثاني

تكامل النموذج:
,
حيث P m (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة m.

استبدال ر = (س - α) -1يتم تقليل هذا التكامل إلى النوع السابق. إذا كان m ≥ n، فيجب أن يحتوي الكسر على جزء صحيح.

النوع الثالث

هنا نقوم بالاستبدال:
.
وبعد ذلك سوف يأخذ التكامل الشكل:
.
بعد ذلك، يجب اختيار الثوابت α، β بحيث تصبح معاملات t في المقام صفرًا:
ب = 0، ب 1 = 0.
ثم يتحلل التكامل إلى مجموع التكاملات من نوعين:
,
,
والتي يتم دمجها عن طريق البدائل:
ش 2 = أ 1 ر 2 + ج 1،
الخامس 2 = أ 1 + ج 1 ر -2 .

2) البدائل المثلثية والزائدة

بالنسبة لتكاملات النموذج أ > 0 ,
لدينا ثلاثة بدائل رئيسية:
;
;
;

بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
لدينا البدائل التالية:
;
;
;

وأخيرًا، بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
البدائل هي كما يلي:
;
;
;

3) بدائل أويلر

أيضًا، يمكن اختزال التكاملات إلى تكاملات الدوال الكسرية لواحدة من بدائل أويلر الثلاثة:
، ل> 0؛
, ل ج > 0 ;
، حيث x 1 هو جذر المعادلة a x 2 + b x + c = 0. إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية.

التكاملات الاهليلجية

في الختام، النظر في تكاملات النموذج:
,
حيث R هي دالة عقلانية. تسمى هذه التكاملات إهليلجية. بشكل عام، لا يتم التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، هناك حالات عندما تكون هناك علاقات بين المعاملات A، B، C، D، E، حيث يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

فيما يلي مثال يتعلق بمتعددات الحدود الانعكاسية. يتم حساب هذه التكاملات باستخدام البدائل:
.

مثال

حساب التكامل:
.

حل

دعونا نجعل الاستبدال.

.
هنا في x> 0 (ش> 0 ) خذ العلامة العلوية ′+ ′. في العاشر< 0 (ش< 0 ) - أدنى '- '.

.

إجابة

مراجع:
ن.م. غونتر، ر.و. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

في السابق، بالنظر إلى دالة معينة، مسترشدة بصيغ وقواعد مختلفة، وجدنا مشتقها. للمشتق استخدامات عديدة: فهو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ المعامل الزاوي للظل للرسم البياني للوظيفة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص دالة للرتابة والنقاط القصوى؛ فهو يساعد على حل مشاكل التحسين.

ولكن إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، هناك أيضًا مشكلة عكسية - مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.

مثال 1.تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم، وسرعتها عند الزمن t تعطى بالصيغة v=gt. العثور على قانون الحركة.
حل. دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. من المعروف أن s"(t) = v(t). وهذا يعني أنه لحل المشكلة، عليك تحديد دالة s = s(t)، مشتقها يساوي gt. ليس من الصعب تخمينها أن \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ كدوت 2t = GT\)
الإجابة: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد حصلنا على \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). في الواقع، المشكلة لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة على الشكل \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\)، حيث C ثابت اعتباطي، يمكن أن تكون بمثابة قانون لـ الحركة، منذ \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

لجعل المشكلة أكثر تحديدًا، كان علينا إصلاح الموقف الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال عند t = 0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة s(t) = (gt 2)/2 + C نحصل على: s(0) = 0 + C، أي C = s 0. الآن تم تعريف قانون الحركة بشكل فريد: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

في الرياضيات، تُعطى العمليات العكسية المتبادلة أسماء مختلفة، ويتم اختراع رموز خاصة، على سبيل المثال: التربيع (x 2) والجذر التربيعي (\(\sqrt(x) \)) وجيب الجيب (sin x) وقوس الجيب (arcsin x) وما إلى ذلك. تسمى عملية العثور على مشتق دالة معينة التفاضل، والعملية العكسية، أي عملية إيجاد دالة من مشتق معين، هي اندماج.

يمكن تبرير مصطلح "مشتق" في حد ذاته "في المصطلحات اليومية": الوظيفة y = f(x) "تلد" وظيفة جديدة y" = f"(x). تعمل الدالة y = f(x) بمثابة "الوالد"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يطلقون عليها اسم "الوالد" أو "المنتج"، بل يقولون إنها كذلك بالنسبة إلى الدالة y" = f"( x) أو الصورة الأساسية أو البدائية.

تعريف.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) على الفاصل الزمني X إذا كانت المساواة F"(x) = f(x) تنطبق على \(x \in X\)

من الناحية العملية، عادة لا يتم تحديد الفاصل الزمني X، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).

دعونا نعطي أمثلة.
1) الدالة y = x 2 هي مشتق عكسي للدالة y = 2x، لأنه لأي x تكون المساواة (x 2)" = 2x صحيحة
2) الدالة y = x 3 هي مشتق عكسي للدالة y = 3x 2، لأنه بالنسبة لأي x تكون المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة
3) الدالة y = sin(x) هي مشتق عكسي للدالة y = cos(x)، لأنه لأي x المساواة (sin(x))" = cos(x) صحيحة

عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نحن نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقاته. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

المادة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.

نحن نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 2.إذا كان F(x) هو مشتق عكسي لـ f(x)، فإن kF(x) هو مشتق عكسي لـ kf(x).

النظرية 1.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y = f(kx + m) هو الدالة \(y=\frac(1)(k)F (ك س + م) \)

النظرية 2.إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x) في الفترة X، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، وجميعها لها الشكل y = F(x) + ج.

طرق التكامل

طريقة الاستبدال المتغيرة (طريقة الاستبدال)

تتضمن طريقة التكامل بالاستبدال إدخال متغير تكامل جديد (أي الاستبدال). في هذه الحالة، يتم تقليل التكامل المحدد إلى تكامل جديد، والذي يكون جدوليًا أو قابلاً للاختزال إليه. لا توجد طرق عامة لاختيار البدائل. يتم اكتساب القدرة على تحديد الاستبدال بشكل صحيح من خلال الممارسة.
فليكن من الضروري حساب التكامل \(\textstyle \int F(x)dx \). لنجري الاستبدال \(x= \varphi(t) \) حيث \(\varphi(t) \) هي دالة لها مشتق مستمر.
ثم \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) وبناء على خاصية الثبات لصيغة التكامل للتكامل غير المحدد نحصل على صيغة التكامل عن طريق التعويض:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

تكامل تعبيرات النموذج \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

إذا كانت m فردية، m > 0، فمن الأفضل إجراء الاستبدال sin x = t.
إذا كانت n فردية، n > 0، فمن الأفضل إجراء الاستبدال cos x = t.
إذا كان n وm متساويين، فمن الأفضل إجراء الاستبدال tg x = t.

تكامل اجزاء

التكامل بالأجزاء - تطبيق الصيغة التالية للتكامل:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
أو:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الدوال

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) × +C $$