التعريف 1

مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة $y=f(x)$، المعرفة في مقطع معين، تسمى التكامل غير المحدد لدالة معينة $y=f(x)$. يُشار إلى التكامل غير المحدد بالرمز $\int f(x)dx $.

تعليق

يمكن كتابة التعريف 2 على النحو التالي:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

لا يمكن التعبير عن كل وظيفة غير عقلانية باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، يمكن اختزال معظم هذه التكاملات باستخدام بدائل تكاملات الدوال الكسرية، والتي يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \يمين)^(r/s) \يمين)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

أنا

عند العثور على تكامل من النموذج $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ فمن الضروري إجراء الاستبدال التالي:

مع هذا الاستبدال، يتم التعبير عن كل قوة كسرية للمتغير $x$ من خلال قوة عددية للمتغير $t$. ونتيجة لذلك، يتم تحويل الدالة التكاملية إلى دالة نسبية للمتغير $t$.

مثال 1

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

حل:

$k=4$ هو القاسم المشترك للكسور $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(صفيف)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

ثانيا

عند العثور على تكامل للنموذج $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ من الضروري إجراء الاستبدال التالي:

حيث $k$ هو القاسم المشترك للكسور $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

ونتيجة لهذا الاستبدال، يتم تحويل الدالة التكاملية إلى دالة نسبية للمتغير $t$.

مثال 2

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

حل:

لنقم بالاستبدال التالي:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1) +\frac(4)(t^(2) -4) \يمين)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \يسار |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

وبعد إجراء الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة النهائية:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

ثالثا

عند العثور على تكامل من النموذج $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $، يتم إجراء ما يسمى باستبدال أويلر (أحد البدائل الثلاثة الممكنة هو مستخدم).

استبدال أويلر الأول

بالنسبة للحالة $a>

أخذ علامة "+" أمام $\sqrt(a) $، نحصل عليها

مثال 3

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) ) .\]

حل:

لنجري الاستبدال التالي (الحالة $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

وبعد إجراء الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة النهائية:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

تبديل أويلر الثاني

بالنسبة للحالة $c>0$، من الضروري إجراء الاستبدال التالي:

أخذ علامة "+" أمام $\sqrt(c) $، نحصل عليها

مثال 4

تنفيذ التكامل:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2)) ) ) dx .\]

حل:

لنقم بالاستبدال التالي:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ بعد إجراء العكس بالتعويض نحصل على النتيجة النهائية:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2)) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2)) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2)) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2)) ) +1\right|+C) \end ( مجموعة مصفوفة)\]

تبديل أويلر الثالث

لا توجد طريقة عالمية لحل المعادلات غير المنطقية، لأن فئتها تختلف في الكمية. ستسلط المقالة الضوء على الأنواع المميزة للمعادلات مع الاستبدال باستخدام طريقة التكامل.

لاستخدام طريقة التكامل المباشر، من الضروري حساب التكاملات غير المحددة من النوع ∫ k x + b p d x ، حيث p جزء نسبي، و k و b معاملات حقيقية.

مثال 1

أوجد المشتقات العكسية للدالة واحسبها y = 1 3 x - 1 3 .

حل

وفقا لقاعدة التكامل، من الضروري تطبيق الصيغة ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C، ويشير جدول المشتقات العكسية إلى وجود حل جاهز لهذه الدالة . لقد حصلنا على ذلك

∫ د x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + ج

إجابة:∫ د x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

هناك حالات يمكن فيها استخدام طريقة تضمين الإشارة التفاضلية. يتم حل هذه المشكلة من خلال مبدأ إيجاد التكاملات غير المحددة للصيغة ∫ f " (x) · (f (x)) p d x ، عندما تعتبر قيمة p كسرًا عقلانيًا.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

حل

لاحظ أن d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. فمن الضروري إدراج الإشارة التفاضلية باستخدام جداول المشتقات العكسية. نحصل على ذلك

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 د (س 3 + 5 س - 7) = س 3 + 5 س - 7 = ض = = ∫ ض - 7 6 د ض = 1 - 7 6 + 1 ض - 7 6 + 1 + C = - 6 ض - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

إجابة:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

يتضمن حل التكاملات غير المحددة صيغة على الصورة ∫ d x x 2 + p x + q، حيث p وq معاملان حقيقيان. ثم تحتاج إلى تحديد مربع كامل من تحت الجذر. لقد حصلنا على ذلك

س 2 + ص س + ف = س 2 + ص س + ص 2 2 - ص 2 2 + ف = س + ص 2 2 + 4 ف - ص 2 4

وبتطبيق الصيغة الموجودة في جدول التكاملات غير المحددة نحصل على:

∫ د × × 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

ثم يتم حساب التكامل:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + س 2 + ص س + ف + ج

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد للصيغة ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

حل

لإجراء الحساب، عليك إخراج الرقم 2 ووضعه أمام الجذر:

∫ د x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ د x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

حدد مربعًا كاملاً في التعبير الجذري. لقد حصلنا على ذلك

س 2 + 3 2 س - 1 2 = س 2 + 3 2 س + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = س + 3 4 2 - 17 16

ثم نحصل على تكامل غير محدد من الصورة 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + ج

إجابة:د x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

يتم تنفيذ تكامل الوظائف غير العقلانية بطريقة مماثلة. ينطبق على وظائف النموذج y = 1 - x 2 + p x + q.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

حل

تحتاج أولاً إلى اشتقاق مربع مقام التعبير من أسفل الجذر.

∫ د x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (س - 2) 2 + 9

تكامل الجدول له الصيغة ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C، ثم نحصل على ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +ج

إجابة:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

عملية إيجاد دوال غير عقلانية مشتقة عكسية من الشكل y = M x + N x 2 + p x + q، حيث M، N، p، q الموجودة هي معاملات حقيقية، وتشبه تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث . ويمر هذا التحول بعدة مراحل:

جمع التفاضل تحت الجذر، وعزل المربع الكامل للتعبير تحت الجذر، باستخدام الصيغ الجدولية.

مثال 5

أوجد المشتقات العكسية للدالة y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

حل

من الشرط لدينا أن d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x و x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2، ثم (x + 2) d x = 1 2 (2 س - 3) + 7 2 د x = 1 2 د (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 د x .

لنحسب التكامل: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 س + 1 + ج

إجابة:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

يتم البحث عن التكاملات غير المحددة للدالة ∫ x m (a + b x n) p d x باستخدام طريقة الاستبدال.

لحلها من الضروري إدخال متغيرات جديدة:

1. عندما يكون p عددًا صحيحًا، يتم أخذ x = z N في الاعتبار، وN هو القاسم المشترك لـ m, n.
2. عندما يكون m + 1 n عددًا صحيحًا، فإن a + b x n = z N، وN هو مقام p.
3. عندما يكون m + 1 n + p عددًا صحيحًا، فإن المتغير a x - n + b = z N مطلوب، وN هو مقام الرقم p.

مثال 6

أوجد التكامل المحدد ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

حل

حصلنا على ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . ويترتب على ذلك أن m = - 1, n = 1, p = - 1 2, ثم m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 عدد صحيح. يمكنك إدخال متغير جديد للنموذج - 9 + 2 x = z 2. من الضروري التعبير عن x بدلالة z. كإخراج نحصل على ذلك

9 + 2 x = ض 2 ⇒ x = ض 2 + 9 2 ⇒ د x = ض 2 + 9 2 " د ض = ض د ض - 9 + 2 س = ض

من الضروري إجراء استبدال في التكامل المحدد. لدينا هذا

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

إجابة:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

لتبسيط حل المعادلات غير المنطقية، يتم استخدام طرق التكامل الأساسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تحت غير منطقيفهم تعبير يتم فيه تضمين المتغير المستقل %%x%% أو كثير الحدود %%P_n(x)%% من الدرجة %%n \in \mathbb(N)%% تحت العلامة متطرف(من اللاتينية الجذر- الجذر)، أي. مرفوع إلى قوة كسرية. من خلال استبدال متغير، يمكن اختزال بعض فئات التكاملات غير المنطقية بالنسبة إلى %%x%% إلى تعبيرات منطقية بالنسبة إلى متغير جديد.

يمكن توسيع مفهوم الدالة العقلانية لمتغير واحد ليشمل وسائط متعددة. إذا كان لكل وسيطة %%u، v، \dotsc، w%% عند حساب قيمة دالة، يتم توفير العمليات الحسابية فقط والرفع إلى قوة عدد صحيح، فإننا نتحدث عن دالة عقلانية لهذه الوسائط، والتي عادة ما تكون يُشار إليه بـ %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. يمكن أن تكون وسيطات هذه الدالة نفسها دوال للمتغير المستقل %%x%%، بما في ذلك الجذور من النموذج %%\sqrt[n](x)، n \in \mathbb(N)%%. على سبيل المثال، الدالة المنطقية $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ مع %%u = x، v = \sqrt(x)%% و%% w = \sqrt(x^2 + 1)%% هي دالة عقلانية لـ $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ من %%x%% والجذور %%\sqrt(x)%% و%%\sqrt(x) ^2 + 1 )%%، بينما الدالة %%f(x)%% ستكون دالة غير منطقية (جبرية) لمتغير مستقل واحد %%x%%.

لنفكر في التكاملات بالشكل %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. يتم ترشيد هذه التكاملات عن طريق استبدال المتغير %%t = \sqrt[n](x)%%، ثم %%x = t^n، \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

مثال 1

ابحث عن %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

تتم كتابة تكامل الوسيطة المطلوبة كدالة لجذور الدرجة %%2%% و%%3%%. بما أن المضاعف المشترك الأصغر لـ %%2%% و%%3%% هو %%6%%، فإن هذا التكامل هو تكامل من النوع %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% ويمكن ترشيدها عن طريق استبدال %%\sqrt(x) = t%%. ثم %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. ولذلك، $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ لنأخذ %%t + 1 = z، \mathrm(d)t = \mathrm(d)z، z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% و$$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\يمين) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(صفيف) $$

التكاملات ذات الشكل %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% هي حالة خاصة من اللاعقلانية الخطية الكسرية، أي. تكاملات النموذج %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%، حيث %% ad - bc \neq 0%%، والتي يمكن ترشيدها عن طريق استبدال المتغير %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%، ثم %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. ثم $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

مثال 2

ابحث عن %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

لنأخذ %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%، ثم %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ لذلك، $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

لنفكر في التكاملات بالشكل %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. في أبسط الحالات، يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكاملات جدولية إذا تم إجراء تغيير في المتغيرات بعد عزل المربع الكامل.

مثال 3

أوجد التكامل %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

بالنظر إلى أن %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%، فإننا نأخذ %%t = x + 2، \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%، ثم $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C.\end(صفيف) $$

في الحالات الأكثر تعقيدًا، للعثور على تكاملات بالشكل %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) يتم استخدام \mathrm(d)x%%

الدالة غير المنطقية للمتغير هي دالة تتكون من متغير وثوابت عشوائية باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب (الرفع إلى قوة عددية) والقسمة وأخذ الجذور. تختلف الوظيفة غير العقلانية عن الوظيفة العقلانية من حيث أن الوظيفة غير العقلانية تحتوي على عمليات لاستخراج الجذور.

هناك ثلاثة أنواع رئيسية من الدوال غير المنطقية، والتي يتم تقليل تكاملاتها غير المحددة إلى تكاملات الدوال الكسرية. هذه هي تكاملات تحتوي على جذور قوى أعداد صحيحة من دالة كسرية خطية (يمكن أن تكون الجذور ذات قوى مختلفة، ولكن من نفس الوظيفة الكسرية الخطية)؛ تكاملات ذات الحدين التفاضلية والتكاملات مع الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة.

ملاحظة مهمة. الجذور لها معاني متعددة!

عند حساب التكاملات التي تحتوي على جذور، غالبًا ما نواجه تعبيرات النموذج، حيث توجد بعض وظائف متغير التكامل. وينبغي أن يؤخذ في الاعتبار ذلك. وهذا هو، في ر> 0 , |t| = ر. في ر< 0 , |t| = - ر .لذلك، عند حساب هذه التكاملات، من الضروري النظر بشكل منفصل في الحالات t > 0 و ت< 0 . ويمكن القيام بذلك عن طريق كتابة العلامات أو حيثما كان ذلك ضروريا. على افتراض أن العلامة العلوية تشير إلى الحالة t> 0 والسفلي - للحالة ر< 0 . مع مزيد من التحول، تميل هذه العلامات إلى إلغاء بعضها البعض.

هناك طريقة ثانية ممكنة أيضًا، حيث يمكن اعتبار التكامل ونتيجة التكامل دوال معقدة لمتغيرات معقدة. إذًا ليس عليك الانتباه إلى العلامات الموجودة في التعبيرات المتطرفة. ينطبق هذا النهج إذا كان التكامل تحليليًا، أي دالة قابلة للتفاضل لمتغير معقد. في هذه الحالة، يعتبر التكامل وتكامله دوال متعددة القيم. لذلك، بعد التكامل، عند استبدال القيم العددية، من الضروري تحديد فرع أحادي القيمة (سطح ريمان) من التكامل، وله تحديد الفرع المقابل لنتيجة التكامل.

اللاعقلانية الخطية الكسرية

هذه تكاملات لها جذور من نفس الدالة الخطية الكسرية:
,
حيث R هي دالة عقلانية، وهي أرقام عقلانية، m 1، n 1، ...، m s، n s أعداد صحيحة، α، β، γ، δ هي أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكامل دالة عقلانية عن طريق الاستبدال:
، حيث n هو القاسم المشترك للأرقام r 1، ...، r s.

قد لا تأتي الجذور بالضرورة من دالة كسرية خطية، ولكن أيضًا من دالة خطية (γ = 0 , δ = 1)، أو على متغير التكامل x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

فيما يلي أمثلة على هذه التكاملات:
, .

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية لها الشكل:
,
حيث m، n، p هي أرقام نسبية، وa، b أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكاملات الدوال العقلانية في ثلاث حالات.

1) إذا كان p عدداً صحيحاً. الاستبدال x = t N، حيث N هو القاسم المشترك للكسرين m و n.
2) إذا - عدد صحيح. التعويض a x n + b = t M، حيث M هو مقام الرقم p.
3) إذا - عدد صحيح. الاستبدال a + b x - n = t M، حيث M هو مقام الرقم p.

وفي حالات أخرى، لا يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

في بعض الأحيان يمكن تبسيط هذه التكاملات باستخدام صيغ الاختزال:
;
.

التكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة

هذه التكاملات لها الشكل:
,
حيث R هي دالة عقلانية. لكل تكامل من هذا القبيل هناك عدة طرق لحله.
1) يؤدي استخدام التحويلات إلى تكاملات أبسط.
2) تطبيق البدائل المثلثية أو الزائدية.
3) تطبيق بدائل أويلر.

دعونا نلقي نظرة على هذه الأساليب بمزيد من التفصيل.

1) تحويل الدالة التكاملية

بتطبيق الصيغة وإجراء التحويلات الجبرية، نقوم بتبسيط الدالة التكاملية إلى النموذج:
,
حيث φ(x)، ω(x) هي وظائف عقلانية.

النوع I

تكامل النموذج:
,
حيث P n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n.

تم العثور على هذه التكاملات بطريقة المعاملات غير المحددة باستخدام الهوية:

.
بتفاضل هذه المعادلة ومساواة الطرفين الأيسر والأيمن نجد المعاملات A i.

النوع الثاني

تكامل النموذج:
,
حيث P m (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة m.

استبدال ر = (س - α) -1يتم تقليل هذا التكامل إلى النوع السابق. إذا كان m ≥ n، فيجب أن يحتوي الكسر على جزء صحيح.

النوع الثالث

وهنا نقوم بالاستبدال:
.
وبعد ذلك سوف يأخذ التكامل الشكل:
.
بعد ذلك، يجب اختيار الثوابت α، β بحيث تصبح معاملات t في المقام صفرًا:
ب = 0، ب 1 = 0.
ثم يتحلل التكامل إلى مجموع التكاملات من نوعين:
,
,
التي يتم دمجها عن طريق البدائل:
ش 2 = أ 1 ر 2 + ج 1،
الخامس 2 = أ 1 + ج 1 ر -2 .

2) البدائل المثلثية والزائدة

بالنسبة لتكاملات النموذج أ > 0 ,
لدينا ثلاثة بدائل رئيسية:
;
;
;

بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
لدينا البدائل التالية:
;
;
;

وأخيرًا، بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
البدائل هي كما يلي:
;
;
;

3) بدائل أويلر

أيضًا، يمكن اختزال التكاملات إلى تكاملات الدوال الكسرية لواحدة من بدائل أويلر الثلاثة:
، ل> 0؛
, ل ج > 0 ;
، حيث x 1 هو جذر المعادلة a x 2 + b x + c = 0. إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية.

التكاملات الاهليلجية

في الختام، النظر في تكاملات النموذج:
,
حيث R هي دالة عقلانية. تسمى هذه التكاملات إهليلجية. بشكل عام، لا يتم التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، هناك حالات عندما تكون هناك علاقات بين المعاملات A، B، C، D، E، حيث يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

فيما يلي مثال يتعلق بمتعددات الحدود الانعكاسية. يتم حساب هذه التكاملات باستخدام البدائل:
.

مثال

حساب التكامل:
.

حل

دعونا نجعل الاستبدال.

.
هنا في x> 0 (ش> 0 ) خذ العلامة العلوية ′+ ′. في العاشر< 0 (ش< 0 ) - أدنى '- '.

.

إجابة

مراجع:
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

تقوم الآلة الحاسبة بحل التكاملات مع وصف الإجراءات بالتفصيل باللغة الروسية ومجانًا!

حل التكاملات غير المحددة

هذه خدمة عبر الإنترنت في خطوة واحدة:

حل التكاملات المحددة

هذه خدمة عبر الإنترنت في خطوة واحدة:

• أدخل تعبير التكامل (وظيفة متكاملة)
• أدخل الحد الأدنى للتكامل
• أدخل الحد الأعلى للتكامل

حل التكاملات المزدوجة

• أدخل تعبير التكامل (وظيفة متكاملة)

حل التكاملات غير الصحيحة

• أدخل تعبير التكامل (وظيفة متكاملة)
• أدخل المنطقة العليا للتكامل (أو + اللانهاية)
• أدخل المنطقة السفلى من التكامل (أو - اللانهاية)

اذهب إلى: الخدمة عبر الإنترنت "تكامل غير لائق" →

حل التكاملات الثلاثية

• أدخل تعبير التكامل (وظيفة متكاملة)
• أدخل الحدود الدنيا والعليا لمنطقة التكامل الأولى
• أدخل الحد الأدنى والأعلى لمنطقة التكامل الثانية
• أدخل الحد الأدنى والأعلى للمنطقة الثالثة للتكامل

اذهب إلى: الخدمة عبر الإنترنت "التكامل الثلاثي" →

تتيح لك هذه الخدمة التحقق من بياناتك العمليات الحسابيةمن أجل الصواب

الاحتمالات

• يدعم جميع الوظائف الرياضية الممكنة: الجيب، وجيب التمام، والأس، والظل، وظل التمام، والجذور التربيعية والمكعبية، والقوى، والأسي وغيرها.
• هناك أمثلة للمدخلات، سواء للتكاملات غير المحددة أو للتكاملات غير الصحيحة والمحددة.
• يصحح الأخطاء في التعبيرات التي تدخلها ويقدم خياراتك الخاصة للإدخال.
• الحل العددي للتكاملات المحددة وغير الصحيحة (بما في ذلك التكاملات المزدوجة والثلاثية).
• دعم الأعداد المركبة، بالإضافة إلى المعلمات المختلفة (لا يمكنك تحديد متغير التكامل فحسب، بل أيضًا متغيرات المعلمات الأخرى في تعبير التكامل)