وظائف العديد من المتغيرات

§1. مفهوم وظيفة العديد من المتغيرات.

فليكن هناك نكميات متغيرة. كل مجموعة
يدل على نقطة ن- مجموعة الأبعاد
(ص-ناقل الأبعاد).

اسمحوا مجموعات معينة
و
.

المساعدة الإنمائية الرسمية. إذا كانت كل نقطة
يطابق الرقم المفرد
، فنقول أنه تم إعطاء دالة عددية نالمتغيرات:

.

ويسمى مجال التعريف،
- مجموعة من قيم دالة معينة.

متى ن=2 بدلا من ذلك
الكتابة عادة س, ذ, ض. ثم وظيفة متغيرين لها الشكل:

ض= F(س, ذ).

على سبيل المثال،
- وظيفة اثنين من المتغيرات.

- وظيفة ثلاثة متغيرات.

دالة خطية نالمتغيرات.

المساعدة الإنمائية الرسمية. الرسم البياني الوظيفي نتسمى المتغيرات ن- سطح فائق الأبعاد في الفضاء
، ويتم تحديد كل نقطة منها عن طريق الإحداثيات

على سبيل المثال، رسم بياني لدالة من متغيرين ض= F(س, ذ) هو سطح في فضاء ثلاثي الأبعاد، يتم تحديد كل نقطة منه بإحداثيات ( س, ذ, ض) ، أين
، و
.

نظرًا لأنه ليس من الممكن تصوير رسم بياني لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر، فسنأخذ في الاعتبار بشكل أساسي (من أجل الوضوح) وظائف متغيرين.

يعد رسم وظائف متغيرين مهمة صعبة للغاية. يمكن أن يوفر إنشاء ما يسمى بخطوط المستوى مساعدة كبيرة في حل هذه المشكلة.

المساعدة الإنمائية الرسمية. خط المستوى لدالة ذات متغيرين ض= F(س, ذ) تسمى مجموعة نقاط المستوى هو، وهي إسقاط قسم الرسم البياني للدالة بمستوى موازٍ هو.عند كل نقطة على خط المستوى يكون للدالة نفس القيمة. يتم وصف خطوط المستوى بالمعادلة F(س, ذ)=ج، أين مع– عدد معين . هناك عدد لا نهائي من خطوط المستوى، ويمكن رسم واحد منها من خلال كل نقطة من مجال التعريف.

المساعدة الإنمائية الرسمية. وظيفة مستوى السطح نالمتغيرات ذ= F (
) يسمى السطح الفائق في الفضاء
حيث تكون قيمة الدالة عند كل نقطة ثابتة وتساوي قيمة معينة مع. معادلة سطح المستوى: F (
)=s.

مثال. ارسم دالة لمتغيرين

.

.

عندما ج = 1:
;
.

مع ج = 4:
;
.

في ج = 9:
;
.

خطوط المستوى هي دوائر متحدة المركز، نصف قطرها يتناقص مع الزيادة ض.

§2. حد واستمرارية دالة ذات عدة متغيرات.

بالنسبة لوظائف العديد من المتغيرات، يتم تعريف نفس المفاهيم كما هو الحال بالنسبة لوظائف متغير واحد. على سبيل المثال، يمكنك إعطاء تعريفات للحد واستمرارية الوظيفة.

المساعدة الإنمائية الرسمية. الرقم A يسمى نهاية دالة ذات متغيرين ض= F(س, ذ) في
,
ويتم تعيينه
، إذا كان لأي رقم موجب هناك رقم موجب ، بحيث إذا كانت هذه النقطة
بعيدا عن النقطة
مسافة أقل ثم المقادير F(س, ذ) و تختلف بأقل من .

المساعدة الإنمائية الرسمية. إذا كانت الوظيفة ض= F(س, ذ) محددة عند النقطة
ولها نهاية عند هذه النقطة تساوي قيمة الدالة
، ثم يطلق عليه مستمر عند نقطة معينة.

.

§3. المشتقات الجزئية لدوال عدة متغيرات.

النظر في وظيفة من متغيرين
.

دعونا نصلح قيمة إحدى وسيطاتها، على سبيل المثال ، وضع
. ثم الوظيفة
هناك وظيفة لمتغير واحد . دعها تحتوي على مشتقة عند هذه النقطة :

.

يسمى هذا المشتق المشتق الجزئي (أو المشتق الجزئي من الدرجة الأولى) للدالة
بواسطة عند هذه النقطة
ويتم تعيين:
;
;
;
.

ويسمى الفرق بالزيادة الجزئية ويتم تعيينه
:

مع الأخذ في الاعتبار الرموز المذكورة أعلاه، يمكننا أن نكتب

.

تعريف بالمثل

.

اشتقاق جزئيتسمى دوال عدة متغيرات في أحد هذه المتغيرات حد نسبة الزيادة الجزئية للدالة إلى زيادة المتغير المستقل المقابل لها، عندما تتجه هذه الزيادة إلى الصفر.

عند إيجاد المشتقة الجزئية فيما يتعلق بأي وسيطة، تعتبر الحجج الأخرى ثابتة. جميع القواعد والصيغ الخاصة بالتمييز بين دوال متغير واحد صالحة للمشتقات الجزئية لدوال العديد من المتغيرات.

لاحظ أن المشتقات الجزئية للدالة هي دوال لنفس المتغيرات. هذه الوظائف، بدورها، يمكن أن يكون لها مشتقات جزئية، والتي تسمى المشتقات الجزئية الثانية(أو المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية) للدالة الأصلية.

على سبيل المثال، الدالة
له أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية، والتي يشار إليها على النحو التالي:

;
;

;
.

و
- مشتقات جزئية مختلطة.

مثال.إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية لدالة

.

حل.
,
.

,
.

,
.

يمارس.

1. ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدوال

,
;

2. للوظيفة
اثبت ذلك
.

التفاضلية الكاملة وظائف العديد من المتغيرات.

مع تغييرات متزامنة في القيم Xو فيوظيفة
سيتغير بمبلغ يسمى الزيادة الإجمالية للوظيفة ض عند هذه النقطة
. كما هو الحال في حالة دالة ذات متغير واحد، تنشأ مشكلة الاستبدال التقريبي للزيادة
إلى وظيفة خطية
و
. يتم تنفيذ دور التقريب الخطي بواسطة التفاضلية الكاملةسمات:

الدرجة الثانية مجموع التفاضل:

=
.

=
.

بشكل عام، والفرق الكلي ص-الترتيب له الشكل:

مشتق اتجاهي. الانحدار.

دع الوظيفة ض= F(س, ذ) يتم تعريفه في بعض أحياء النقطة M( س, ذ) و - بعض الاتجاه المحدد بواسطة ناقل الوحدة
. يتم التعبير عن إحداثيات متجه الوحدة من خلال جيب تمام الزوايا التي يشكلها المتجه ومحاور الإحداثيات وتسمى جيب تمام الاتجاه:

,

.

عند تحريك النقطة M( س, ذ) في هذا الاتجاه ل بالضبط
وظيفة ضسوف تحصل على زيادة

تسمى زيادة الوظيفة في اتجاه معين ل.

ه إذا مم 1 =∆ ل، الذي - التي

ت

متى

عن

إلخ. المشتق المهام ض= F(س, ذ) تجاه تسمى نهاية نسبة زيادة الدالة في هذا الاتجاه إلى حجم الإزاحة ∆ ل حيث أن الأخير يميل إلى الصفر:

يحدد المشتق الاتجاهي معدل تغير الدالة في اتجاه معين. ومن الواضح أن المشتقات الجزئية و تمثل المشتقات في اتجاهات موازية للمحاور ثور و أوي. ومن السهل إظهار ذلك

مثال. احسب مشتقة الدالة
عند النقطة (1؛1) في الاتجاه
.

المساعدة الإنمائية الرسمية. الانحدارالمهام ض= F(س, ذ) هو متجه بإحداثيات تساوي المشتقات الجزئية:

.

النظر في المنتج العددي للمتجهات
و
:

من السهل رؤية ذلك
، أي. مشتق الاتجاه يساوي المنتج القياسي للتدرج ومتجه اتجاه الوحدة .

بسبب ال
، فإن المنتج العددي يكون الحد الأقصى عندما يكون للمتجهات نفس الاتجاهات. وبالتالي، فإن تدرج الدالة عند نقطة ما يحدد اتجاه أسرع زيادة في الدالة عند هذه النقطة، ومعامل التدرج يساوي الحد الأقصى لمعدل نمو الدالة.

بمعرفة تدرج الدالة، يمكن للمرء إنشاء خطوط مستوى الدالة محليًا.

نظرية. دعونا نعطي وظيفة قابلة للتمييز ض= F(س, ذ) وعند هذه النقطة
تدرج الدالة ليس صفراً:
. ثم يكون التدرج عموديًا على خط المستوى الذي يمر عبر النقطة المحددة.

وبالتالي، إذا قمنا، بدءًا من نقطة معينة، ببناء تدرج الوظيفة وجزء صغير من خط المستوى المتعامد معها عند نقاط قريبة، فيمكننا (مع بعض الخطأ) إنشاء خطوط المستوى.

الحد الأقصى المحلي لدالة ذات متغيرين

دع الوظيفة
محددة ومستمرة في بعض أحياء النقطة
.

المساعدة الإنمائية الرسمية. نقطة
تسمى النقطة القصوى المحلية للدالة
، إذا كان هناك مثل هذا الحي للنقطة ، حيث لأي نقطة
يحمل عدم المساواة:

.

يتم تقديم مفهوم الحد الأدنى المحلي بالمثل.

النظرية (شرط ضروري للحد الأقصى المحلي).

من أجل وظيفة قابلة للتمييز
كان لديه طرف محلي عند هذه النقطة
فمن الضروري أن تكون جميع مشتقاتها الجزئية من الدرجة الأولى عند هذه النقطة مساوية للصفر:

لذا فإن نقاط الوجود المحتمل للطرف هي تلك النقاط التي تكون الدالة قابلة للاشتقاق عندها ويكون انحدارها يساوي 0:
. كما هو الحال في حالة دالة ذات متغير واحد، تسمى هذه النقاط ثابتة.

) لقد واجهنا بالفعل مشتقات جزئية لوظائف معقدة مثل وأمثلة أكثر صعوبة. إذن ما الذي يمكنك التحدث عنه أيضًا؟! ...وكل شيء كما هو الحال في الحياة - لا يوجد تعقيد لا يمكن أن يكون معقدًا =) لكن الرياضيات هي الهدف من الرياضيات، لتناسب تنوع عالمنا في إطار صارم. وأحيانًا يمكن فعل ذلك بجملة واحدة:

بشكل عام، الوظيفة المعقدة لها الشكل ، أين، مرة على الأقلمن الحروف يمثل وظيفة، والتي قد تعتمد على اِعتِباطِيّعدد المتغيرات.

الخيار الأدنى والأبسط هو الوظيفة المعقدة المألوفة منذ زمن طويل لمتغير واحد، الذي مشتقلقد تعلمنا كيفية العثور على الفصل الدراسي الماضي. لديك أيضًا المهارات اللازمة للتمييز بين الوظائف (ألق نظرة على نفس الوظائف ) .

وبالتالي، الآن سوف نكون مهتمين بالقضية فقط. نظرا للتنوع الكبير في الوظائف المعقدة، فإن الصيغ العامة لمشتقاتها مرهقة للغاية ويصعب هضمها. وفي هذا الصدد، سأقتصر على أمثلة محددة يمكنك من خلالها فهم المبدأ العام لإيجاد هذه المشتقات:

مثال 1

نظرا لوظيفة معقدة حيث . مطلوب:
1) ابحث عن مشتقه واكتب التفاضل الإجمالي من الدرجة الأولى؛
2) احسب قيمة المشتق عند .

حل: أولا، دعونا نلقي نظرة على الوظيفة نفسها. تُعرض علينا وظيفة تعتمد على و، والتي بدورها هي وظائفمتغير واحد:

ثانيا، دعونا نولي اهتماما وثيقا للمهمة نفسها - نحن مطالبون بالعثور عليها المشتقأي أننا لا نتحدث عن المشتقات الجزئية التي اعتدنا على إيجادها! منذ الوظيفة في الواقع يعتمد على متغير واحد فقط، ومن ثم تعني كلمة "مشتق". مشتق الكلي. كيف تجدها؟

أول ما يتبادر إلى الذهن هو الاستبدال المباشر والمزيد من التمايز. دعونا نستبدل للعمل:
وبعد ذلك لا توجد مشاكل مع المشتق المطلوب:

وبناء على ذلك فإن الفارق الإجمالي:

هذا الحل صحيح رياضيًا، ولكن هناك فارق بسيط وهو أنه عندما تتم صياغة المشكلة بالطريقة التي تمت صياغتها بها، لا أحد يتوقع منك مثل هذه الهمجية =) ولكن على محمل الجد، يمكنك حقًا العثور على خطأ هنا. تخيل أن دالة تصف رحلة نحلة طنانة، وأن الوظائف المتداخلة تتغير تبعًا لدرجة الحرارة. إجراء الاستبدال المباشر ، نحصل فقط معلومات خاصة، الذي يميز الطيران، على سبيل المثال، فقط في الطقس الحار. علاوة على ذلك، إذا تم عرض النتيجة النهائية على شخص ليس على دراية بالنحل الطنان، بل وأخبره ما هي هذه الوظيفة، فلن يتعلم أبدًا أي شيء عن القانون الأساسي للطيران!

لذلك، وبشكل غير متوقع تمامًا، ساعدنا أخونا الطنان في فهم معنى وأهمية الصيغة العالمية:

التعود على تدوين المشتقات "المكون من طابقين" - في المهمة قيد النظر، فهي المستخدمة. في هذه الحالة، ينبغي للمرء أن يكون أنيق جدافي الإدخال: المشتقات ذات الرموز المباشرة "de" هي مشتقات كاملة، والمشتقات ذات الأيقونات المستديرة هي المشتقات الجزئية. لنبدأ بالأخيرة:

حسنًا ، مع "ذيول" كل شيء أساسي بشكل عام:

دعنا نستبدل المشتقات الموجودة في صيغتنا:

عندما يتم اقتراح دالة في البداية بطريقة معقدة، سيكون الأمر منطقيًا (وهذا موضح أعلاه!)اترك النتائج كما هي:

في الوقت نفسه، في الإجابات "المعقدة" من الأفضل الامتناع حتى عن الحد الأدنى من التبسيط (هنا على سبيل المثال يطلب إزالة 3 سلبيات)- ولديك عمل أقل، ويسعد صديقك ذو الفراء بمراجعة المهمة بشكل أسهل.

ومع ذلك، فإن الفحص التقريبي لن يكون غير ضروري. دعونا نستبدل في المشتق الموجود وقم بالتبسيط:


(في الخطوة الأخيرة استخدمنا الصيغ المثلثية , )

ونتيجة لذلك تم الحصول على نفس النتيجة كما هو الحال مع طريقة الحل "البربرية".

دعونا نحسب المشتق عند هذه النقطة. أولاً، من الملائم معرفة قيم "العبور". (قيم الوظيفة ) :

الآن نقوم بإجراء الحسابات النهائية، والتي في هذه الحالة يمكن إجراؤها بطرق مختلفة. أستخدم تقنية مثيرة للاهتمام حيث يتم تبسيط "الطابقين" الثالث والرابع ليس وفقًا للقواعد المعتادة، ولكن يتم تحويلهما إلى حاصل قسمة رقمين:

وبطبيعة الحال، سيكون من الخطيئة عدم التحقق باستخدام تدوين أكثر إحكاما :

إجابة:

ويحدث أن يتم طرح المشكلة بشكل "شبه عام":

"ابحث عن مشتق الدالة حيث »

وهذا يعني أن الوظيفة "الرئيسية" غير محددة، ولكن "إدراجاتها" محددة تمامًا. يجب أن تكون الإجابة بنفس الأسلوب:

علاوة على ذلك، يمكن تشفير الحالة قليلاً:

"العثور على مشتق من وظيفة »

في هذه الحالة تحتاج على المرءتعيين وظائف متداخلة مع بعض الحروف المناسبة، على سبيل المثال، من خلال واستخدم نفس الصيغة:

بالمناسبة، حول تسميات الحروف. لقد حثثت مراراً وتكراراً على عدم "التمسك بالرسائل" كما لو كانت منقذة للحياة، والآن أصبح هذا الأمر ذا أهمية خاصة! من خلال تحليل مصادر مختلفة حول هذا الموضوع، كان لدي انطباع عمومًا بأن المؤلفين "أصيبوا بالجنون" وبدأوا في إلقاء الطلاب بلا رحمة في هاوية الرياضيات العاصفة =) لذا سامحني :))

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة ، لو

التسميات الأخرى لا ينبغي أن تكون مربكة! في كل مرة تواجه فيها مهمة كهذه، عليك الإجابة على سؤالين بسيطين:

1) على ماذا تعتمد الوظيفة "الرئيسية"؟في هذه الحالة، تعتمد الدالة "zet" على دالتين ("y" و"ve").

2) ما هي المتغيرات التي تعتمد عليها الوظائف المتداخلة؟في هذه الحالة، يعتمد كلا "المدخلين" فقط على "X".

لذلك لن تواجه أي صعوبة في تكييف الصيغة مع هذه المهمة!

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

يمكن العثور على أمثلة إضافية للنوع الأول في كتاب مشكلة ريابوشكو (آي دي زد 10.1)، حسنًا، نحن نتجه نحو وظيفة ثلاثة متغيرات:

مثال 3

نظرا لوظيفة حيث .
حساب المشتقة عند النقطة

صيغة مشتقة دالة معقدة، كما يعتقد الكثيرون، لها شكل مرتبط:

قرر بمجرد خمنتك =)

فقط في حالة، سأقدم صيغة عامة للوظيفة:
، على الرغم من أنه من غير المرجح أن ترى في الممارسة العملية أي شيء أطول من المثال 3.

بالإضافة إلى ذلك، في بعض الأحيان يكون من الضروري التمييز بين الإصدار "المقتطع" - كقاعدة عامة، وظيفة النموذج أو. أترك لك هذا السؤال لتدرسه بنفسك - ابتكر بعض الأمثلة البسيطة وفكر وجرب واستنتج صيغًا مختصرة للمشتقات.

إذا كان هناك أي شيء لا يزال غير واضح، يرجى إعادة قراءة الجزء الأول من الدرس ببطء وفهمه، لأن المهمة الآن ستصبح أكثر تعقيدًا:

مثال 4

أوجد المشتقات الجزئية لدالة معقدة حيث

حل: هذه الدالة لها الشكل، وبعد التعويض المباشر نحصل على الدالة المعتادة لمتغيرين:

لكن مثل هذا الخوف ليس غير مقبول فحسب، بل لم يعد المرء يريد التفريق =) لذلك، سوف نستخدم الصيغ الجاهزة. ولمساعدتك على فهم النمط بسرعة، سأقوم بتدوين بعض الملاحظات:

انظر جيداً إلى الصورة من الأعلى إلى الأسفل ومن اليسار إلى اليمين....

أولا، دعونا نجد المشتقات الجزئية للدالة "الرئيسية":

الآن نجد مشتقات "X" من "البطانات":

واكتب مشتق "X" النهائي:

وبالمثل مع "اللعبة":

و

يمكنك الالتزام بأسلوب آخر - ابحث عن كل "الذيول" مرة واحدة ثم اكتب كلا المشتقتين.

إجابة:

حول الاستبدال بطريقة ما لا أفكر في الأمر على الإطلاق =) =)، ولكن يمكنك تعديل النتائج قليلاً. رغم ذلك، مرة أخرى، لماذا؟ – فقط تجعل الأمر أكثر صعوبة على المعلم للتحقق.

إذا لزم الأمر، ثم التفاضلية الكاملةهنا مكتوب وفقًا للصيغة المعتادة، وبالمناسبة، في هذه الخطوة تصبح مستحضرات التجميل الخفيفة مناسبة:


هذا... ...تابوت على عجلات.

نظرا لشعبية نوع الوظيفة المعقدة قيد النظر، هناك عدة مهام لحل مستقل. المثال الأبسط في النموذج "شبه العام" هو فهم الصيغة نفسها؛-):

مثال 5

أوجد المشتقات الجزئية للدالة حيث

والأكثر تعقيدًا - مع تضمين تقنيات التمايز:

مثال 6

أوجد التفاضل الكامل للدالة ، أين

لا، أنا لا أحاول "إرسالك إلى الأسفل" على الإطلاق - جميع الأمثلة مأخوذة من أعمال حقيقية، و"في أعالي البحار" يمكنك العثور على أي رسائل. في أي حال، سوف تحتاج إلى تحليل الوظيفة (الإجابة على سؤالين - انظر أعلاه)وتقديمه بشكل عام وتعديل صيغ المشتقات الجزئية بعناية. قد تكون مرتبكًا بعض الشيء الآن، لكنك ستفهم مبدأ بنائها ذاته! لأن التحديات الحقيقية بدأت للتو :)))

مثال 7

ابحث عن المشتقات الجزئية وأنشئ التفاضل الكامل لدالة معقدة
، أين

حل: الدالة "الرئيسية" لها الشكل ولا تزال تعتمد على متغيرين - "x" و"y". ولكن بالمقارنة مع المثال 4، تمت إضافة دالة متداخلة أخرى، وبالتالي تم إطالة صيغ المشتقة الجزئية أيضًا. كما في هذا المثال، للحصول على تصور أفضل للنمط، سأسلط الضوء على المشتقات الجزئية "الرئيسية" بألوان مختلفة:

ومرة أخرى، ادرس السجل بعناية من الأعلى إلى الأسفل ومن اليسار إلى اليمين.

وبما أن المشكلة قد تمت صياغتها في شكل "شبه عام"، فإن عملنا كله يقتصر بشكل أساسي على إيجاد مشتقات جزئية للدوال المضمنة:

يمكن لطالب الصف الأول التعامل مع:

وحتى الفارق الكامل أصبح لطيفًا جدًا:

لم أعرض عليك عمدا أي وظيفة محددة - حتى لا تتعارض الفوضى غير الضرورية مع الفهم الجيد للمخطط الأساسي للمهمة.

إجابة:

في كثير من الأحيان يمكنك العثور على استثمارات "مختلطة الحجم"، على سبيل المثال:

هنا الوظيفة "الرئيسية"، على الرغم من أنها تأخذ الشكل، لا تزال تعتمد على كل من "x" و"y". لذلك، تعمل نفس الصيغ - فقط بعض المشتقات الجزئية ستكون مساوية للصفر. علاوة على ذلك، هذا ينطبق أيضًا على وظائف مثل ، حيث يعتمد كل "خط" على متغير واحد.

يحدث موقف مماثل في المثالين الأخيرين من الدرس:

مثال 8

أوجد التفاضل الكلي لدالة معقدة عند نقطة ما

حل: تمت صياغة الشرط بطريقة "الميزانية"، ويجب علينا تسمية الوظائف المتداخلة بأنفسنا. أعتقد أن هذا خيار جيد:

تحتوي "المدخلات" على ( انتباه!) ثلاثة أحرف هي "X-Y-Z" القديمة الجيدة، مما يعني أن الوظيفة "الرئيسية" تعتمد في الواقع على ثلاثة متغيرات. يمكن إعادة كتابتها رسميًا كـ، ويتم تحديد المشتقات الجزئية في هذه الحالة بواسطة الصيغ التالية:

نحن نمسح، نتعمق، نلتقط….

في مهمتنا:

وظائف العديد من المتغيرات

1. المفاهيم الأساسية

Let: z - قيمة متغيرة مع نطاق من التغييرات R؛ ص - خط الأعداد؛ د - المنطقة على المستوى الإحداثي R2.

أي تعيين D->R يسمى دالة لمتغيرين مع المجال D ومكتوب z = f(x;y).

بعبارة أخرى:

إذا كان كل زوج (x; y) من متغيرين مستقلين من المجال D، وفقًا لبعض القواعد، مرتبطًا بقيمة واحدة محددة z من R، فإن المتغير z يسمى دالة لمتغيرين مستقلين x و y مع المجال من التعريف D وهو مكتوب

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width = "215" height = "32 src = ">

مثال 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width = "157" height = "29 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" محاذاة = "left" width = "110" height = "89">

مجال التعريف هو جزء من المستوى الواقع داخل دائرة نصف قطرها r = 3، ويكون مركزها عند نقطة الأصل، انظر الشكل.

مثال 3.إيجاد ورسم مجال الدالة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width = "86" height = "32 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width = "147" height = "30 src = ">

2. التفسير الهندسي لوظيفة اثنين

المتغيرات

2.1. رسم بياني لدالة لمتغيرين

دعونا نفكر في نظام إحداثي مستطيل في الفضاء والمنطقة D على المستوى xOy. عند كل نقطة M(x;y) من هذه المنطقة نقوم باستعادة خط عمودي على مستوى xOy ونرسم القيمة z = f(x;y) عليه. الموقع الهندسي للنقاط التي تم الحصول عليها

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width = "106" height = "23 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

هذه دوائر مركزها نقطة الأصل، ونصف القطر R = C1/2 والمعادلة

x2 + y2 = R2، انظر الشكل.

تسمح لنا خطوط المستوى بتمثيل السطح قيد النظر، مما يعطي دوائر متحدة المركز عند تقسيمها بمستويات z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> وابحث عن .

حل. دعونا نستخدم طريقة القسم.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– في المستوى – قطع مكافئ.

– في الطائرة – القطع المكافئ.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width = "43" height = "24 src = "> – دائرة.

السطح المطلوب هو القطع المكافئ للثورة.

مسافة بين نقطتين تعسفيتينوالفضاء (الإقليدي) يسمى رقماً

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> يسمى دائرة مفتوحة نصف القطر المتمركز عند النقطة r.

تسمى دائرة مفتوحة نصف قطرها ε ومركزها عند النقطة A - ε - محيط النقطة أ.

3مهمة

ابحث عن مجال تعريف الوظيفة ورسمه بيانياً:

رسم خطوط مستوى الوظيفة:

3. حدود دالة لمتغيرين

المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي المقدمة لدالة متغير واحد تمتد إلى وظائف عدة متغيرات.

تعريف:

الرقم الثابت A يسمى نهاية دالة ذات متغيرين z = f(x;y) لـ x -> x0, y -> y0، إذا كان لأي

ε >0 هناك δ >0 بحيث |f(x; y) - A|< ε , как только

|س - س0|< δ и |у – у0| < δ.

ومما يدل على هذه الحقيقة ما يلي:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width = "160" height = "39 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width = "20" height = "25 src = ">. بالنسبة لدالة ذات متغيرين، السعي وراء نقطة نهاية على المستوى يمكن أن تحدث في عدد لا حصر له من الاتجاهات (وليس بالضرورة في خط مستقيم)، وبالتالي فإن شرط وجود حد لدالة مكونة من متغيرين (أو عدة) يكون "أكثر صرامة" مقارنة بدالة ذات متغير واحد.

مثال 1.يجد .

حل.دع الرغبة تصل إلى النقطة المحددة http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. ثم

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> يعتمد على ذلك.

مثال 2.يجد .

حل.بالنسبة لأي خط مستقيم، النهاية هي نفسها:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. ثم

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">، (والباقي عن طريق القياس).

تعريف.الرقم يسمى حدوظائف ل و، إذا كان من أجل عدم المساواة ويعني عدم المساواة . هذه الحقيقة مكتوبة باختصار على النحو التالي:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width = "124" height = "48">.gif" width = "236" height = "48 src = ">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width = "247" height = "60 src = ">،

أين هي نقطة الحد http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width = "85" height = "24 src = "> مع مجال التعريف ودع - النقطة الحدية للمجموعة، أي النقطة التي تتجه إليها الحجج Xو في.

التعريف 1.يقولون أن الوظيفة تكون مستمرة عند نقطة إذا:

1) ;

2)، أي. .

دعونا نقوم بصياغة تعريف الاستمرارية بشكل مكافئ..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> تكون مستمرة عند نقطة ما إذا كانت المساواة قائمة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width = "16" height = "20 src = ">.gif" width = "15 height = 16" height = "16"> دعونا نعطي زيادة تعسفية. ستتلقى الوظيفة زيادة جزئية بمقدار X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> هي دالة لمتغير واحد. وبالمثل،

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> يسمى مستمر عند نقطة على متغير (على متغير) إذا

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

نظرية.إذا كانت الوظيفةمحددة في جوار معين من نقطة ما ومتصلة عند هذه النقطة، ثم تكون مستمرة عند هذه النقطة في كل متغير من المتغيرات.

البيان العكسي غير صحيح.

مثالدعونا نثبت أن الوظيفة

مستمر عند النقطة http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > عند النقطة المقابلة للزيادة http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width = "99" height = "36 src = ">، مما يعني أنه مستمر عند نقطة ما في المتغير.

وبالمثل، يمكن إثبات الاستمرارية عند نقطة بالنسبة لمتغير.

دعونا نظهر أنه لا يوجد حد. دع نقطة تقترب من نقطة على طول خط مستقيم يمر عبر هذه النقطة. ثم نحصل

.

وهكذا، عند الاقتراب من النقطة http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">، نحصل على قيم حدية مختلفة. ويترتب على ذلك أن الحد لهذا الوظيفة غير موجودة عند هذه النقطة، مما يعني أن الوظيفة http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

تسميات أخرى

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" العرض = "389" الارتفاع = "55 src = ">

تسميات أخرى

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width = "60" height = "28 src = ">.

حل. لدينا:

,

مثال 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" العرض = "411" الارتفاع = "51 src = ">

مثال 3.أوجد المشتقات الجزئية للدالة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" العرض = "477" الارتفاع = "58 src = ">

مثال 4.أوجد المشتقات الجزئية للدالة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" العرض = "321" الارتفاع = "54 src = ">

5.2. التفاضلات من الدرجة الأولى لدالة ذات متغيرين

يتم تحديد التفاضلات الجزئية للدالة z = f(x, y) فيما يتعلق بالمتغيرات x وy، على التوالي، من خلال الصيغتين x(x;y) وf"y(x;y) الموجودتين عند النقطة ( x0;y0) وفي بعض جوارها ومستمرة عند هذه النقطة، فبالقياس مع دالة ذات متغير واحد، يتم إنشاء صيغة للزيادة الكاملة لدالة ذات متغيرين

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width = "364" height = "57 src = ">

حيث http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

بمعنى آخر، تكون الدالة z = f(x, y) قابلة للاشتقاق عند النقطة (x, y) إذا كانت زيادتها Δz مكافئة للدالة:

تعبير

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" العرض = "192" الارتفاع = "57 src = ">

مع الأخذ في الاعتبار أن Δx = dx، Δy = dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width = "57" height = "24 src = "> قابل للتمييز عند هذه النقطة، فهو مستمر عند هذه النقطة.

العبارة العكسية خاطئة، أي أن الاستمرارية ليست سوى شرط ضروري، ولكنها ليست شرطًا كافيًا لتمييز الوظيفة. دعونا نظهر ذلك.

مثالدعونا نجد المشتقات الجزئية للدالة http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

تفقد الصيغ الناتجة معناها عند النقطة http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width = "147" height = "33 src = "> لا يوجد لديه مشتقات جزئية عند هذه النقطة. في الحقيقة، . هذه الدالة لمتغير واحد، كما هو معروف، ليس لها مشتق عند النقطة http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> لا غير موجود عند هذه النقطة وبالمثل، لا يوجد مشتق جزئي. ، من الواضح أنه مستمر عند هذه النقطة.

ومن ثم، فقد أوضحنا أن الدالة المتصلة قد لا يكون لها مشتقات جزئية. يبقى إثبات العلاقة بين التمايز ووجود المشتقات الجزئية.

5.4. العلاقة بين التفاضلية ووجود المشتقات الجزئية.

النظرية 1.شرط ضروري للتمييز.

إذا كانت الدالة z = f(x, y) قابلة للاشتقاق عند النقطة M(x, y)، فإنها تحتوي على مشتقات جزئية بالنسبة لكل متغير وعند النقطة M.

النظرية العكسية غير صحيحة، أي أن وجود مشتقات جزئية ضروري، ولكنه ليس شرطًا كافيًا لاشتقاق الدالة.

النظرية 2.شرط كاف للتمييز. إذا كانت الدالة z = f(x, y) لها مشتقات جزئية متصلة عند النقطة، فهي قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة (ويتم التعبير عن تفاضلها الإجمالي عند هذه النقطة بالصيغة http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

مثال 2.احسب 3,021.97

3مهمة

احسب تقريبًا باستخدام التفاضل:

5.6. قواعد للتمييز بين الوظائف المعقدة والضمنية. مشتق كامل.

حالة 1.

ض=f(u, v); ش=φ(س، ص)، الخامس=ψ(س، ص)

الوظائف u و v هي وظائف مستمرة للوسيطات x، y.

وبالتالي، فإن الدالة z هي دالة معقدة للوسيطين x وy: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

لنفترض أن الوظائف f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) لها مشتقات جزئية متصلة فيما يتعلق بجميع وسيطاتها.

لنقم بتعيين المهمة لحساب http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

لنعطي الوسيطة x زيادة Δx، مع تثبيت قيمة الوسيطة y. ثم دوال لمتغيرين u= φ(x, y) و

v= φ(x, y) سوف تتلقى زيادات جزئية Δxu وΔxv. وبالتالي، فإن z=f(u, v) سوف تتلقى الزيادة الكاملة المحددة في الفقرة 5.2 (تفاضلات الدرجة الأولى لدالة مكونة من متغيرين):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" العرض = "293" الارتفاع = "43 src = ">

إذا xu→ 0، ثم Δxu → 0 و Δxv → 0 (بسبب استمرارية الدالتين u و v). وبالتمرير إلى الحد عند Δx← 0، نحصل على:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width = "147" height = "44 src = "> (*)

مثال

Z=ln(u2+v)، u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width = "81" height = "41 src = ">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width = "97" height = "44 src = ">.gif" width = "45" height = "44 src = ">.

ثم باستخدام الصيغة (*) نحصل على:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width = "219" height = "44 src = ">.

للحصول على النتيجة النهائية، في الصيغتين الأخيرتين، بدلاً من u وv، من الضروري استبدال еx+y² وx2+y، على التوالي.

الحالة 2.

الوظائف x و y هي وظائف مستمرة.

وبالتالي فإن الدالة z=f(x, y) تعتمد من خلال x وy على متغير مستقل واحد t، أي لنفترض أن x وy ليسا متغيرين مستقلين، بل دوال للمتغير المستقل t، ونحدد المشتق http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width = "235" height = "44 src = ">

دعونا نقسم طرفي هذه المساواة على Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width = "145" height = "44 src = "> (**)

الحالة 3.

لنفترض الآن أن دور المتغير المستقل t يلعبه المتغير x، أي أن الدالة z = f(x, y) تعتمد على المتغير المستقل x سواء بشكل مباشر أو من خلال المتغير y، وهو دالة مستمرة لـ x.

مع الأخذ في الاعتبار أن http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

مشتق x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

إيجاد المشتقات الجزئية

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" العرض = "72" الارتفاع = "48 src = ">.gif" العرض = "383" الارتفاع = "48 src = ">

يتم تطبيق القاعدة المثبتة للتمييز بين الدوال المعقدة للعثور على مشتقة دالة ضمنية.

مشتق من وظيفة محددة ضمنيا.

لنفترض أن المعادلة

يُعرّف y كدالة ضمنية لـ x لها مشتق

ص' = φ'(س)_

بتعويض y = φ(x) في المعادلة F(x, y) = 0، سيتعين علينا الحصول على الهوية 0 = 0، نظرًا لأن y = φ(x) هو حل لهذه المعادلة. ولذلك نرى أنه يمكن اعتبار الصفر الثابت دالة معقدة لـ x، والتي تعتمد على x بشكل مباشر ومن خلال y =φ(x).

يجب أن يكون المشتق بالنسبة لـ x لهذا الثابت صفرًا؛ وبتطبيق القاعدة (***) نحصل على

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" العرض = "64" الارتفاع = "41 src = ">

لذلك،

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> صحيح لكل من الوظيفة والوظيفة الأخرى.

5.7. الدرجة الأولى مجموع التفاضل. ثبات شكل التفاضل من الدرجة الأولى

دعنا نستبدل التعبيرات بـ http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> المعرفة بالمساواة (*) (انظر الحالة 1 في الجملة 5.6 "قواعد التفريق بين الوظائف المعقدة والضمنية. المشتق الإجمالي") في الصيغة التفاضلية الإجمالية.

Gif" العرض = "33" الارتفاع = "19 src = ">.gif" العرض = "33" الارتفاع = "19 src = ">.gif" العرض = "140" الارتفاع = "44 src = ">

ثم صيغة التفاضل الإجمالي من الدرجة الأولى لدالة ذات متغيرين لها الشكل

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" العرض = "139" الارتفاع = "41 src = ">

بمقارنة المساواة الأخيرة مع صيغة التفاضل الأول لدالة ذات متغيرين مستقلين، يمكننا القول أن التعبير عن التفاضل الكامل من الدرجة الأولى لدالة ذات عدة متغيرات له نفس الشكل الذي سيكون عليه إذا كان u و v كانت متغيرات مستقلة.

بمعنى آخر، شكل التفاضل الأول غير متغير، أي أنه لا يعتمد على ما إذا كان المتغيران u و v متغيرين مستقلين أو يعتمدان على متغيرات أخرى.

مثال

العثور على التفاضل الكامل من الدرجة الأولى لوظيفة معقدة

ض=u2v3، ش=x2 خطيئة ذ, v=x3·ey.

الحل باستخدام صيغة التفاضل الإجمالي من الدرجة الأولى، لدينا

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x الخطيئة ذ·dx+x2·cos ذ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

يمكن إعادة كتابة هذا التعبير بهذه الطريقة

dz=(2uv3 2x سيني+3u2v2 3x2 إي) dx+(2uv3x2 مريح+3u2v2x3 إي) dy=

تسمح لنا خاصية ثبات التفاضل بتوسيع قاعدة إيجاد تفاضل المجموع والحاصل والحاصل على حالة دالة مكونة من عدة متغيرات:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" العرض = "409" الارتفاع = "46 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width = "60" height = "41 src = ">. هذا

ستكون الدالة متجانسة من الدرجة الثالثة لجميع x و y و t الحقيقية. ستكون نفس الوظيفة أي كثيرة حدود متجانسة في x و y من الدرجة الثالثة، أي كثيرة الحدود في كل حد يساوي مجموع أسسها xn ثلاثة:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" العرض = "229" الارتفاع = "47 src = ">

هي دوال متجانسة للدرجات 1 و0 و(-1) على التوالي..jpg" width="36" height="15">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" العرض = "363" الارتفاع = "29 src = ">

بافتراض أن t=1 نجد

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" العرض = "95" الارتفاع = "22 src = ">

المشتقات الجزئية http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">)، بشكل عام

وبعبارة أخرى، فهي وظائف للمتغيرين x وy. لذلك، يمكن مرة أخرى العثور على مشتقات جزئية منها. وبالتالي، هناك أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية لدالة ذات متغيرين، حيث يمكن التمييز بين كل من الوظائف و فيما يتعلق بكل من x و y.

ويشار إلى المشتقات الجزئية الثانية على النحو التالي:

هو مشتق من الترتيب ن. هنا تم تمييز الدالة z أولاً مرات p بالنسبة إلى x، ثم n - p مرات بالنسبة إلى y.

بالنسبة لدالة أي عدد من المتغيرات، يتم تحديد المشتقات الجزئية ذات الرتب الأعلى بالمثل.

ص ر و م ه ص 1.حساب المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" العرض = "600" الارتفاع = "87 src = ">

مثال 2.حساب وhttp://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

مثال 3.احسب إذا

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" العرض = "129" الارتفاع = "36 src = ">

يتم تحديد x وf"y وf"xy وf"yx ومستمرة عند النقطة M(x,y) وفي بعض المناطق المجاورة لها، ثم عند هذه النقطة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width = "50 height=28" height = "28">.jpg" width = "523" height = "128 src = ">

لذلك،

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" العرض = "130" الارتفاع = "30 src = ">

حل.

المشتقات المختلطة متساوية.

5.10. التفاضلات ذات الرتب العليا للدالةنالمتغيرات.

مجموع التفاضل د شدوال عدة متغيرات هي بدورها دوال لنفس المتغيرات، ويمكننا تحديد التفاضل الكلي لهذه الدالة الأخيرة. وبالتالي، سوف نحصل على تفاضلية من الدرجة الثانية d2u للدالة الأصلية، والتي ستكون أيضًا دالة لنفس المتغيرات، وسيقودنا تفاضلها الكامل إلى تفاضلية من الدرجة الثالثة d3u للدالة الأصلية، وما إلى ذلك.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في حالة الدالة u=f(x, y) لمتغيرين x وy ونفترض أن المتغيرين x وy متغيران مستقلان. أ-بريوري

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" العرض = "463" الارتفاع = "186 src = ">

حساب d3u بنفس الطريقة تمامًا، نحصل عليه

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width = "347" height = "61 src = "> (*)-

علاوة على ذلك، يجب فهم هذه الصيغة على النحو التالي: يجب رفع المجموع الموجود بين قوسين إلى القوة n، باستخدام صيغة نيوتن ذات الحدين، وبعد ذلك الأسس y و http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width = "22" height = "21 src = ">.gif" width = "22" height = "27"> مع جيب تمام الاتجاه cos α، cos β (α + β = 90°). على المتجه، اعتبر النقطة M1(x + Δx; y + Δy). عند الانتقال من النقطة M إلى النقطة M1، فإن الدالة z = f(x; y) ستتلقى زيادة كاملة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> يميل إلى الصفر (انظر الشكل).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" العرض = "324" الارتفاع = "54 src = ">

حيث http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width = "76" height = "41 src = ">، وبالتالي نحصل على:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width = "24" height = "41 src = "> لـ Δs->0 يسمى المنتج

دالة الماء z = f(x; y) عند النقطة (x; y) في اتجاه المتجه ويشار إليها

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width = "227" height = "51 src = "> (*)

وبالتالي معرفة المشتقات الجزئية للدالة

z = f(x; y) يمكنك إيجاد مشتق هذه الدالة في أي اتجاه، وكل مشتق جزئي هو حالة خاصة من المشتق الاتجاهي.

مثالأوجد مشتقة الدالة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" العرض = "287" الارتفاع = "56 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width = "227" height = "59 src = ">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" العرض = "253 الارتفاع = 62" الارتفاع = "62">

وبالتالي، فإن الدالة z = f(x;y) تزداد في اتجاه معين.

5. 12 . الانحدار

تدرج الدالة z = f(x; y) هو متجه تكون إحداثياته ​​هي المشتقات الجزئية المقابلة لهذه الدالة

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" العرض = "205" الارتفاع = "56 src = ">

على سبيل المثال..jpg" width="89" height="33 src=">

عند النقطة م (3؛ 4).

حل.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" العرض = "213" الارتفاع = "56 src = ">

عند دراسة العديد من الأنماط في العلوم الطبيعية والاقتصاد، يواجه المرء وظائف لمتغيرين مستقلين (أو أكثر).

التعريف (للدالة ذات متغيرين).يترك X , ي و ز - الجموع. إذا كان كل زوجين (س, ذ) عناصر من مجموعات على التوالي X و ي بموجب بعض القوانين F يطابق عنصرًا واحدًا فقط ض من العديد ز ، ثم يقولون ذلك يتم إعطاء وظيفة من متغيرين ض = F(س, ذ) .

على العموم مجال دالة ذات متغيرين يمكن تمثيلها هندسيًا بمجموعة معينة من النقاط ( س; ذ) طائرة xOy .

التعريفات الأساسية المتعلقة بوظائف العديد من المتغيرات هي تعميم للمتغيرات المقابلة تعريفات دالة ذات متغير واحد .

مجموعة من دمُسَمًّى مجال الوظيفة ض، والمجموعة ه – معانيها كثيرة. المتغيرات سو ذفيما يتعلق بالوظيفة ضوتسمى حججها. عامل ضيسمى المتغير التابع .

القيم الخاصة للحجج

يتوافق مع القيمة الخاصة للوظيفة

مجال دالة متعددة المتغيرات

لو وظيفة عدة متغيرات (على سبيل المثال، متغيرين) تعطى بواسطة الصيغة ض = F(س, ذ) ، الذي - التي مجال تعريفه هي مجموعة كل هذه النقاط في المستوى x0y، والتي التعبير F(س, ذ) منطقي ويقبل القيم الحقيقية. القواعد العامة لمجال دالة ذات عدة متغيرات مستمدة من القواعد العامة لـ مجال تعريف دالة ذات متغير واحد. الفرق هو أنه بالنسبة لدالة ذات متغيرين، فإن مجال التعريف هو مجموعة معينة من النقاط على المستوى، وليس خطًا مستقيمًا، كما هو الحال بالنسبة لدالة ذات متغير واحد. بالنسبة لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات، فإن مجال التعريف هو مجموعة النقاط المقابلة في مساحة ثلاثية الأبعاد، وبالنسبة للدالة نالمتغيرات - مجموعة النقاط المقابلة للملخص ن-مساحة الأبعاد.

مجال دالة مكونة من متغيرين مع جذر نالدرجة العاشرة

في الحالة التي يتم فيها إعطاء دالة لمتغيرين بواسطة الصيغة و ن - عدد طبيعي :

لو نهو عدد زوجي، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة نقاط المستوى المقابلة لجميع قيم التعبير الجذري التي تكون أكبر من أو تساوي الصفر، أي

لو نإذا كان رقمًا فرديًا، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة أي قيم، أي المستوى بأكمله x0y .

مجال دالة القوة لمتغيرين مع الأس الصحيح

:

لو أ- موجب، فإن مجال تعريف الدالة هو المستوى بأكمله x0y ;

لو أ- سالب، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة القيم المختلفة عن الصفر: .

مجال دالة القوة لمتغيرين مع الأس الكسرى

في الحالة التي يتم فيها إعطاء الوظيفة بواسطة الصيغة :

إذا كانت موجبة، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة تلك النقاط في المستوى التي تأخذ فيها قيمًا أكبر من أو تساوي الصفر: ؛

إذا - كان سلبيا، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة تلك النقاط في المستوى الذي تأخذ فيه قيمًا أكبر من الصفر: .

مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية لمتغيرين

دالة لوغاريتمية لمتغيرين يتم تعريفه بشرط أن تكون حجته موجبة، أي أن مجال تعريفه هو مجموعة تلك النقاط في المستوى الذي يأخذ عنده قيمًا أكبر من الصفر: .

مجال تعريف الدوال المثلثية لمتغيرين

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال تعريف الوظيفة هو المستوى بأكمله x0y

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0yباستثناء أزواج الأرقام التي لها قيم.

مجال تعريف الدوال المثلثية العكسية لمتغيرين

مجال الوظيفة .

مجال الوظيفة - مجموعة النقاط على المستوى الذي .

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال تعريف الكسر كدالة لمتغيرين

إذا تم إعطاء دالة بواسطة الصيغة، فإن مجال تعريف الدالة هو جميع نقاط المستوى الذي فيه.

مجال دالة خطية ذات متغيرين

إذا كانت الدالة معطاة بصيغة النموذج ض = فأس + بواسطة + ج ، فإن مجال تعريف الدالة هو المستوى بأكمله x0y .

مثال 1.

حل. وفقا لقواعد مجال التعريف، فإننا نشكل متباينة مزدوجة

نحن نضرب عدم المساواة بأكملها ونحصل عليها

يحدد التعبير الناتج مجال تعريف هذه الوظيفة لمتغيرين.

مثال 2.أوجد مجال تعريف دالة ذات متغيرين.

وظائف العديد من المتغيرات. التمثيل الهندسي لدالة لمتغيرين. خطوط المستوى والأسطح. حدود واستمرارية وظائف عدة متغيرات وخصائصها. المشتقات الجزئية وخصائصها ومعناها الهندسي.

التعريف 1.1.عامل ض(مع منطقة التغيير ز) يسمى وظيفة اثنين من المتغيرات المستقلة س، صبوفرة م، إذا كان كل زوج ( س، ص) من العديد م ضمن ز.

التعريف 1.2.مجموعة من م، حيث يتم تحديد المتغيرات س، ص،مُسَمًّى مجال الوظيفة، وأنفسهم س، ص- ها الحجج.

التسميات: ض = و (س، ص)، ض = ض (س، ص).

تعليق. منذ بضعة أرقام ( س، ص) يمكن اعتبارها إحداثيات نقطة معينة على المستوى، سنستخدم لاحقًا مصطلح "نقطة" لزوج من الوسائط لدالة مكونة من متغيرين، بالإضافة إلى مجموعة مرتبة من الأرقام التي تمثل وسيطات لدالة من عدة متغيرات.

التعريف 1.3. .عامل ض(مع منطقة التغيير ز) يسمى وظيفة العديد من المتغيرات المستقلةبوفرة م، إذا كانت كل مجموعة من الأرقام من المجموعة موفقًا لبعض القواعد أو القوانين، يتم تعيين قيمة واحدة محددة ضمن ز.يتم تقديم مفاهيم الوسائط والمجال بنفس الطريقة المتبعة مع دالة مكونة من متغيرين.

التسميات: ض = و , ض = ض .

التمثيل الهندسي لدالة لمتغيرين.

النظر في الوظيفة ض = و (س، ص), (1.1)

محددة في بعض المناطق معلى متن الطائرة O xy. ثم مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثياتها ( س،ص،ض)حيث هو الرسم البياني لدالة من متغيرين. وبما أن المعادلة (1.1) تحدد سطحاً معيناً في فضاء ثلاثي الأبعاد، فستكون الصورة الهندسية للدالة قيد النظر.

ض = و (س، ص)

ومن الأمثلة على ذلك المعادلات المستوية التي تمت دراستها في الفصل الدراسي السابق

ض = الفأس + بواسطة + ج

وأسطح الدرجة الثانية:

ض = س² + ذ² (مكافئ الثورة)،

(مخروط) الخ

تعليق. بالنسبة لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر، سنستخدم مصطلح "السطح في". نالفضاء ذو ​​الأبعاد"، على الرغم من أنه من المستحيل تصوير مثل هذا السطح.

خطوط المستوى والأسطح.

بالنسبة لدالة ذات متغيرين تعطى بالمعادلة (1.1)، يمكننا أن نعتبر مجموعة من النقاط ( س، ص)يا طائرة xy، لأي منهم ضيأخذ نفس القيمة الثابتة، أي ض= ثابت. تشكل هذه النقاط خطًا على المستوى يسمى خط المستوى.

أوجد خطوط المستوى للسطح ض = 4 – س² - ذ². تبدو معادلاتهم س² + ذ² = 4 – ج(ج=const) – معادلات الدوائر متحدة المركز التي يكون مركزها عند نقطة الأصل وأنصاف أقطارها . على سبيل المثال، متى مع=0 نحصل على دائرة س² + ذ² = 4.

لوظيفة من ثلاثة متغيرات ش = ش (س، ص، ض)المعادلة ش(س، ص، ض) = جيحدد سطحا في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وهو ما يسمى مستوى السطح.

للوظيفة ش = 3س + 5ذ – 7ض-12 الأسطح المستوية ستكون عائلة من المستويات المتوازية المعطاة بالمعادلات 3 س + 5ذ – 7ض –12 + مع = 0.