القيم الذاتية للمشغل الخطي المحدد بواسطة المصفوفة. المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للعامل الخطي

30.04.2019

يسمى المتجه X ≠ 0 eigenvectorعامل خطي مع المصفوفة A، إذا كان هناك رقم  مثل AX = X.

وفي هذه الحالة يتم استدعاء الرقم  القيمة الذاتيةالمشغل (المصفوفة A) المطابق للناقل x.

بمعنى آخر، المتجه الذاتي هو متجه يتحول، تحت تأثير عامل خطي، إلى متجه خطي متداخل، أي. فقط اضرب في عدد ما. في المقابل، تكون المتجهات غير الصحيحة أكثر تعقيدًا في التحويل.

دعنا نكتب تعريف المتجه الذاتي في شكل نظام من المعادلات:

دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يمكن كتابة النظام الأخير في شكل مصفوفة على النحو التالي:

(أ - E)X = O

النظام الناتج دائمًا لديه حل صفري X = O. تسمى هذه الأنظمة التي تكون فيها جميع الحدود الحرة تساوي الصفر متجانس. إذا كانت مصفوفة هذا النظام مربعة ومحددها لا يساوي الصفر، فعند استخدام صيغ كرامر سنحصل دائمًا على حل فريد – صفر. يمكن إثبات أن النظام له حلول غير صفرية إذا وفقط إذا كان محدد هذه المصفوفة يساوي الصفر، أي.

|أ - هـ| = = 0

وتسمى هذه المعادلة مع مجهول معادلة مميزة(كثير الحدود مميزة) المصفوفة أ (المشغل الخطي).

يمكن إثبات أن كثير الحدود المميز للعامل الخطي لا يعتمد على اختيار الأساس.

على سبيل المثال، دعونا نجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للعامل الخطي المحدد بواسطة المصفوفة A = .

للقيام بذلك، دعونا ننشئ معادلة مميزة |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; د = 4 + 140 = 144؛ القيم الذاتية  1 = (2 - 12)/2 = -5؛  2 = (2 + 12)/2 = 7.

للعثور على المتجهات الذاتية، نقوم بحل نظامين من المعادلات

(أ + 5هـ)X = O

(أ - 7هـ)X = O

بالنسبة للأول منهم، تأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

حيث x 2 = ج، x 1 + (2/3) ج = 0؛ × 1 = -(2/3)ث، أي X (1) = (-(2/3)ق؛ق).

بالنسبة للثانية، تأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

من حيث x 2 = ج 1، x 1 - (2/3) ج 1 = 0؛ × 1 = (2/3) ق 1، أي. س (2) = ((2/3)ق 1؛ ق 1).

وبالتالي، فإن المتجهات الذاتية لهذا العامل الخطي هي جميعها متجهات من الشكل (-(2/3)с; с) ذات قيمة ذاتية (-5) وجميع المتجهات من الشكل ((2/3)с 1 ; с 1) مع القيمة الذاتية 7 .

يمكن إثبات أن مصفوفة العامل A في الأساس المكون من ناقلاته الذاتية هي قطرية ولها الشكل:

حيث  i هي القيم الذاتية لهذه المصفوفة.

والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت المصفوفة A قطرية في بعض الأساس، فإن جميع متجهات هذا الأساس ستكون متجهات ذاتية لهذه المصفوفة.

يمكن أيضًا إثبات أنه إذا كان لدى المشغل الخطي قيم ذاتية مميزة زوجية n، فإن المتجهات الذاتية المقابلة تكون مستقلة خطيًا، وتكون مصفوفة هذا العامل في الأساس المقابل لها شكل قطري.

Letbe تحويل خطي لمساحة خطية ذات أبعاد n V. متجه \boldsymbol(s) غير صفري للمساحة الخطية V يستوفي الشرط

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)،

مُسَمًّى المتجه الذاتي للتحول الخطي\mathcal(أ) . يسمى الرقم \lambda في المساواة (9.5). القيمة الذاتية للتحول\mathcal(أ) . يقال أن المتجه الذاتي يتوافق مع (ينتمي إلى) القيمة الذاتية \lambda . إذا كان الفضاء V حقيقيًا (معقدًا)، فإن القيمة الذاتية \lambda هي عدد حقيقي (معقد).

تسمى مجموعة جميع القيم الذاتية للتحول الخطي بها نطاق.

دعونا نشرح المعنى الهندسي للمتجهات الذاتية. المتجه غير الصفري s هو متجه ذاتي للتحويل \mathcal(A) إذا كانت صورته \mathcal(A) (\boldsymbol(s))على علاقة خطية مع الصورة العكسية لـ \boldsymbol(s) . بعبارة أخرى، إذا كان \boldsymbol(s) متجهًا ذاتيًا، فإن التحويل \mathcal(A) له مساحة فرعية ثابتة أحادية البعد.والبيان المعاكس صحيح أيضا.

في الواقع، دع المتجهات الذاتية \boldsymbol(s) تتوافق مع بعض القيم الذاتية \lambda . أي متجه \boldsymbol(v) من \اسم المشغل(لين)(\boldsymbol(s))يشبه \boldsymbol(v)=\alpha \boldsymbol(s)، حيث \alpha هو أي رقم من الحقل المحدد. دعونا نجد صورة هذا المتجه

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\in \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)).

لذلك، \mathcal(A)(\boldsymbol(v))\in \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s))لأي ناقل \boldsymbol(v)\in \operatorname(Lin)(\boldsymbol(s))، أي. مساحة فرعية \اسم المشغل(لين)(\boldsymbol(s))ثابت تحت التحويل \mathcal(A) . البعد الجزئي \اسم المشغل(لين) (\boldsymbol(s))يساوي واحدًا، إذًا \boldsymbol(s)\ne \oldsymbol(o)أ-بريوري.

يمكن إثبات العبارة العكسية بالاستدلال بترتيب عكسي.

العلاقة بين المتجهات الذاتية للتحول الخطي (المشغل) ومصفوفته

في السابق، تم النظر في المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفة. تذكر أن المتجهات الذاتية لمصفوفة مربعة A من الرتبة n هي عمود عددي غير صفري s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\end(pmatrix)^T، حالة مرضية (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

يُطلق على الرقم \lambda في (9.6) القيمة الذاتية للمصفوفة A. وكان يعتقد أن القيمة الذاتية \lambda والأرقام s_i~(i=1,\ldots,n)تنتمي إلى مجال الأعداد المركبة.

ترتبط هذه المفاهيم بالمتجهات الذاتية والقيم الذاتية للتحول الخطي.

النظرية 9.3 حول المتجهات الذاتية للتحول الخطي ومصفوفته. يترك \mathcal(A)\colon V\إلى Vهو تحويل خطي لمساحة خطية ذات أبعاد n V مع الأساس. ثم القيمة الذاتية \lambda وعمود (أعمدة) الإحداثيات للمتجه الذاتي \boldsymbol(s) للتحويل \mathcal(A) هي القيمة الذاتية والمتجه الذاتي للمصفوفة A لهذا التحويل المحدد فيما يتعلق بالأساس \boldsymbol(e)_1,\ldots, \oldsymbol(e)_n، أي.

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s,أين \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

العبارة العكسية صحيحة بشروط إضافية: إذا العمود s=\begin(pmatrix) s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^Tوالرقم \lambda هما المتجهات الذاتية والقيمة الذاتية للمصفوفة A والأرقام s_1,\ldots,s_n,\lambdaتنتمي إلى نفس حقل الرقم الذي تم تعريف الفضاء الخطي V، ثم المتجه \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+ \ldots+s_n \boldsymbol(e)_nوالرقم \lambda هما المتجه الذاتي والقيمة الذاتية للتحويل الخطي \mathcal(A)\colon V\إلى Vمع المصفوفة A في الأساس \boldsymbol(e)_1,\ldots,\oldsymbol(e)_n.

في الواقع، الشرط (9.5) في الصورة الإحداثية له الشكل (9.6)، والذي يتطابق مع تعريف (7.13) للمتجه الذاتي للمصفوفة. على العكس من ذلك، المساواة (9.6) تعني المساواة (9.5) بشرط أن تكون المتجهات و \lambda\cdot \oldsymbol(s)محددة، أي أعداد s_1,\ldots,s_n,\lambdaتنتمي إلى نفس حقل الرقم الذي يتم تعريف المساحة الخطية عليه.

تذكر أن العثور على القيم الذاتية للمصفوفة يؤدي إلى حل معادلتها المميزة \دلتا_أ(\لامدا)=0، أين \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)هي متعددة الحدود المميزة للمصفوفة A. بالنسبة للتحويل الخطي، نقدم مفاهيم مماثلة.

كثير الحدود المميزة للتحول الخطي \mathcal(A)\colon V\إلى Vالفضاء الخطي ذو الأبعاد n هو متعدد الحدود المميز للمصفوفة A لهذا التحويل، الموجود فيما يتعلق بأي أساس للفضاء V.

المعادلة تسمى المعادلة المميزة للتحول الخطي.

تحويل \mathcal(A)-\lambda\mathcal(E)تسمى خاصية التحول الخطي \mathcal(A)\colon V\إلى V.

ملاحظات 9.4

1. لا يعتمد كثير الحدود المميز للتحول الخطي على الأساس الذي توجد به مصفوفة التحويل.

في الواقع، المصفوفات \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))و \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))التحويل الخطي \mathcal(A) في القواعد (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n)و (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldots,\boldsymbol(f)_n)هي، وفقا ل (9.4)، مماثلة: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S، حيث S هي مصفوفة الانتقال من الأساس (\boldsymbol(e)) إلى الأساس (\boldsymbol(f)). وكما هو موضح سابقًا، فإن كثيرات الحدود المميزة لهذه المصفوفات تتطابق (انظر الخاصية 3). ولذلك، بالنسبة لكثيرة الحدود المميزة للتحويل \mathcal(A) يمكننا استخدام الترميز \دلتا_(\mathcal(A))(\لامدا)، دون تحديد مصفوفة هذا التحويل.

2. من النظرية 9.3 يترتب على ذلك أن أي جذر معقد (حقيقي، عقلاني) للمعادلة المميزة هو قيمة ذاتية للتحول الخطي \mathcal(A)\colon V\إلى Vالمساحة الخطية V محددة في مجال الأرقام المعقدة (الحقيقية والعقلانية).

3. من النظرية 9.3 يترتب على ذلك أن أي تحويل خطي لمساحة خطية معقدة له فضاء فرعي ثابت أحادي البعد، لأن هذا التحويل له قيمة ذاتية (انظر النقطة 2)، وبالتالي ناقلات ذاتية. مثل هذا الفضاء الجزئي هو، على سبيل المثال، المدى الخطي لأي متجه ذاتي. قد لا يحتوي تحويل الفضاء الخطي الحقيقي على مساحات فرعية ثابتة أحادية البعد إذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة معقدة (ولكنها ليست حقيقية).

النظرية 9.4 على الفضاءات الجزئية الثابتة للعامل الخطي في الفضاء الحقيقي. كل تحويل خطي لفضاء خطي حقيقي له فضاء فرعي ثابت أحادي البعد أو ثنائي الأبعاد.

في الواقع، دعونا نؤلف مصفوفة تحويل خطية أ \mathcal(A)\colon V\إلى Vالفضاء الخطي الحقيقي ذو الأبعاد n V على أساس تعسفي \boldsymbol(e)_1,\ldots,\oldsymbol(e)_n. عناصر هذه المصفوفة هي أعداد حقيقية. لذلك، كثير الحدود مميزة \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E)هو متعدد الحدود من الدرجة n مع المعاملات الحقيقية. وفقًا للنتيجة الطبيعية 3 و4 من النظرية الأساسية للجبر، يمكن أن يكون لمثل هذا كثير الحدود جذور حقيقية وأزواج من الجذور المترافقة المعقدة.

إذا كان \lambda=\lambda_1 جذرًا حقيقيًا للمعادلة المميزة، فإن المتجه الذاتي المقابل s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^Tالمصفوفة A حقيقية أيضًا. لذلك فهو يحدد المتجه الذاتي \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_nالتحول الخطي (انظر النظرية 9.3). في هذه الحالة، يوجد فضاء فرعي أحادي البعد ثابت تحت ‎\mathcal(A) \اسم المشغل(لين)(\boldsymbol(s))(انظر المعنى الهندسي للمتجهات الذاتية).

لو \lambda=\alpha\pm\beta iهو زوج من الجذور المترافقة المعقدة (\beta\ne0)، ثم يحتوي المتجه الذاتي s\ne o للمصفوفة A أيضًا على عناصر معقدة: s=\begin(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end(pmatrix)^T. يمكن تمثيله كـ s=x+yi ، حيث x,\,y عبارة عن أعمدة حقيقية. المساواة (9.6) سيكون لها النموذج بعد ذلك

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

وبعزل الأجزاء الحقيقية والتخيلية نحصل على النظام

\beta(cases)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end(cases)

دعونا نوضح أن العمودين (x) و(y) مستقلان خطيًا. دعونا ننظر في حالتين. إذا كانت x=o، فمن المعادلة الأولى (9.7) يتبع ذلك y=o، حيث \beta\ne0. ثم s=o، وهو ما يتعارض مع الشرط s\ne o. لنفترض أن x\ne o والعمودين x وy متناسبان، أي. يوجد عدد حقيقي \gamma بحيث y=\gamma x . ثم من النظام (9.7) نحصل عليه \begin(cases)Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \النهاية(الحالات)وبإضافة المعادلة الأولى مضروبة في (-\جاما) إلى المعادلة الثانية نحصل على المساواة [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o. بما أن x\ne o ، فإن التعبير بين قوسين مربعين يساوي صفر، أي. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0. منذ \beta\ne0 ، ثم \gamma^2=-1 . لا يمكن أن يحدث هذا لأن \gamma عدد حقيقي. حصلنا على التناقض. وبالتالي، فإن العمودين x وy مستقلان خطيًا.

النظر في الفضاء الجزئي حيث \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+ y_n \boldsymbol(y)_n. هذا الفضاء الجزئي ثنائي الأبعاد، لأن المتجهات \boldsymbol(x)،\oldsymbol(y)مستقلة خطيًا (كما هو موضح أعلاه، تكون أعمدة إحداثيات x وy الخاصة بها مستقلة خطيًا). ومن (9.7) يتبع ذلك \begin(cases)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ بيتا \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\end(الحالات)أولئك. صورة أي ناقل ينتمي إلى \اسم المشغل(لين)(\boldsymbol(x)،\oldsymbol(y))، ينتمي أيضًا \اسم المشغل(لين)(\boldsymbol(x)،\oldsymbol(y)). لذلك، \اسم المشغل(لين)(\boldsymbol(x)،\oldsymbol(y))هو فضاء فرعي ثنائي الأبعاد ثابت تحت التحويل \mathcal(A) ، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

إيجاد المتجهات الذاتية وقيم العامل الخطي (التحويل)

للعثور على المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للتحول الخطي \mathcal(A)\colon V\إلى Vالفضاء الخطي الحقيقي V، يجب تنفيذ الخطوات التالية.

1. اختر أساسًا تعسفيًا \boldsymbol(e)_1,\ldots,\oldsymbol(e)_nالفضاء الخطي V والعثور على مصفوفة التحويل A \mathcal(A) على هذا الأساس.

2. قم بتكوين كثير الحدود المميز للتحويل \mathcal(A)\colon\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. ابحث عن جميع الجذور الحقيقية المختلفة \lambda_1,\ldots,\lambda_kمعادلة مميزة \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. ينبغي التخلص من الجذور المعقدة (ولكنها غير الحقيقية) للمعادلة المميزة (انظر الفقرة 2 من الملاحظات 9.4).

4. بالنسبة إلى الجذر \lambda=\lambda_1، ابحث عن النظام الأساسي \varphi_1، \varphi_2،\ldots،\varphi_(n-r)حلول لنظام متجانس من المعادلات (A-\lambda_1E)x=o ، حيث r=\اسم المشغل(rg)(A-\lambda_1E). للقيام بذلك، يمكنك استخدام إما خوارزمية لحل نظام متجانس، أو إحدى الطرق للعثور على المصفوفة الأساسية.

5. اكتب المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا للتحويل \mathcal(A) المطابق للقيمة الذاتية \lambda_1:

\begin(matrix) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \boldsymbol(e)_1+ \ldots+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \النهاية(مصفوفة)

للعثور على مجموعة جميع المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية \lambda_1، قم بتكوين مجموعات خطية غير صفرية

\boldsymbol(s)= C_1 \boldsymbol(s)_1+C_2 \boldsymbol(s)_2+\ldots+ C_(n-r)\boldsymbol(s)_(n-r),

أين C_1، C_2،\ldots، C_(n-r)- ثوابت اعتباطية لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

كرر الخطوات 4، 5 للقيم الذاتية المتبقية \lambda_2,\ldots,\lambda_kالتحويل الخطي \mathcal(A) .

للعثور على المتجهات الذاتية للتحول الخطي لمساحة خطية معقدة، تحتاج إلى تحديد جميع جذور المعادلة المميزة في الخطوة 3، ودون التخلص من الجذور المعقدة، قم بتنفيذ الخطوتين 4 و5 لها.

أمثلة على المتجهات الذاتية للعوامل الخطية (التحويلات)

1. بدون تحويل \mathcal(O)\colon V\إلى Vأي متجه غير صفري هو متجه ذاتي يقابل قيمة ذاتية صفرية \lambda=0 ، نظرًا لأن \mathcal(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

2. لتحويل الهوية \mathcal(E)\colon V\إلى Vأي ناقل غير الصفر \oldsymbol(s)\في Vهي القيمة الذاتية المقابلة للهوية الذاتية \lambda=1 ، منذ ذلك الحين \mathcal(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

3. للتناظر المركزي \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o))\colon V\to Vأي ناقل غير الصفر \oldsymbol(s)\في V \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

4. من أجل التجانس \mathcal(H)_(\lambda)\colon V\إلى Vأي ناقل غير الصفر \oldsymbol(s)\في Vهي القيمة الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية \lambda (معامل التجانس)، حيث أن \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s)))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

5. للتحول \mathcal(R)_(\varphi)\colon V_2\to V_2المستوى (at ) لا يوجد متجهات ذاتية، لأنه عند التدوير بزاوية ليست من مضاعفات \pi، فإن صورة كل متجه غير صفري تكون غير خطية مع الصورة المعكوسة. نحن هنا نعتبر دوران المستوى الحقيقي، أي. الفضاء المتجه ثنائي الأبعاد على مجال الأعداد الحقيقية.

6. لمشغل التمايز \mathcal(D)\colon P_n(\mathbb(R))\إلى P_n(\mathbb(R))أي كثيرة حدود غير صفرية من الدرجة صفر (ليست صفرًا متطابقًا) هي متجه ذاتي يتوافق مع القيمة الذاتية الصفرية \lambda=0 ، نظرًا لأن \mathcal(D)(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text(const). أي كثيرة الحدود بدرجة غير الصفر ليست متجهًا ذاتيًا، لأن كثيرة الحدود لا تتناسب مع مشتقتها: \mathcal(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x)لأن درجاتهم مختلفة.

7. النظر في المشغل \Pi_(L_1)\colon V\إلى Vإسقاط على الفضاء الجزئي L_1 بالتوازي مع الفضاء الفرعي L_2. هنا V=L_1\oplus L_2، \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+ \boldsymbol(v)_2)=\boldsymbol(v)_1ل \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1، وأي متجه غير صفري هو متجه ذاتي يتوافق مع القيمة الذاتية \lambda=0 ، نظرًا لأن \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \lambda(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)ممكن سواء في أو في .

8. النظر في المشغل \mathcal(Z)_(L_1)\colon V\to Vانعكاسات على الفضاء الجزئي L_1 موازية للفضاء الفرعي L_2. هنا V=L_1\oplus L_2 \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2، ل \boldsymbol(v)=\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2, \boldsymbol(v)_1\in L_1,~ \oldsymbol(v)_2\in L_2. بالنسبة لهذا العامل، أي متجه غير صفري \boldsymbol(v)_1\in L_1هي القيمة الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية \lambda=1 منذ ذلك الحين \mathcal(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1وأي ناقل غير صفري \boldsymbol(v)_2\in L_2هي القيمة الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية \lambda=-1 ، منذ ذلك الحين \mathcal(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. النواقل الأخرى ليست نواقل ذاتية، لأن المساواة \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v )_2)ممكن سواء مع \boldsymbol(v)_1=\oldsymbol(o)، او عند \boldsymbol(v)_2= \boldsymbol(o).

9. في الفضاء V_3 من متجهات نصف القطر للفضاء، المرسومة من نقطة ثابتة O، فكر في الدوران بزاوية \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z)، حول المحور \ell المحدد بواسطة ناقل نصف القطر \vec(\ell) . أي متجه غير صفري على خط مستقيم مع المتجه \vec(\ell) هو قيمة ذاتية تقابل القيمة الذاتية \lambda=1 . هذا التحول ليس له أي متجهات ذاتية أخرى.

مثال 9.1.ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمشغل التمايز \mathcal(D)\colon T_1\إلى T_1، تحويل فضاء كثيرات الحدود المثلثية (التكرار \omega=1):

أ) مع المعاملات الحقيقية T_1=T_1(\mathbb(R))= \operatorname(Lin) (\sin(t),\cos(t));

ب) مع معاملات معقدة T_1=T_1(\mathbb(C))= \operatorname(Lin) (\sin(t),\cos(t)).

حل. 1. دعونا نختار أساسًا قياسيًا e_1(t)=\sin(t),~ e_2(t)=\cos(t)وعلى هذا الأساس نقوم بتكوين المصفوفة D للعامل \mathcal(D):

D=\begin(pmatrix)0&-1\\ 1&0 \end(pmatrix)\!.

2. دعونا نؤلف متعدد الحدود المميز للتحويل \mathcal(D)\colon\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \lambda^2+ 1..

3. المعادلة المميزة \lambda^2+1=0 لها جذور مترافقة معقدة \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i. لا توجد جذور حقيقية، وبالتالي فإن التحويل \mathcal(D) للمساحة الحقيقية T_1(\mathbb(R)) (الحالة (a)) لا يحتوي على قيم ذاتية، وبالتالي لا توجد متجهات ذاتية. يحتوي التحويل \mathcal(D) للمساحة المعقدة T_1(\mathbb(C)) (الحالة (b)) على قيم ذاتية معقدة \lambda_1,\,\lambda_2.

4(1). بالنسبة للجذر \lambda_1=i نجد النظام الأساسي \varphi_1 لحلول نظام المعادلات المتجانس (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i\end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

لنقم بتحويل مصفوفة النظام إلى شكل تدريجي عن طريق ضرب المعادلة الأولى في (i) وطرحها من المعادلة الثانية:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\ \0&0\end(pmatrix)\!.

نعبر عن المتغير الأساسي x_1 بدلالة المتغير الحر: x_1=ix_2. بافتراض x_2=1، نحصل على x_1=i، أي \varphi=\begin(pmatrix)i&1 \end(pmatrix)^T.

5(1). نكتب المتجه الذاتي المطابق للقيمة الذاتية \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). مجموعة جميع المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية \lambda_1=i تشكل دوال غير صفرية تتناسب مع s_1(t) .

4(2). بالنسبة للجذر \lambda_2=-i نجد بالمثل النظام الأساسي (الذي يتكون من متجه واحد) \varphi_2=\begin(pmatrix)-i&1 \end(pmatrix)^Tحلول لنظام متجانس من المعادلات (D-\lambda_2E)x=o:

\begin(pmatrix)i&-1\\ 1&i \end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

5(2). نكتب المتجه الذاتي المطابق للقيمة الذاتية \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). مجموعة جميع المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية \lambda_2=-i تشكل دوال غير صفرية متناسبة مع s_2(t) .

أنظر أيضا خصائص المتجهات الذاتية للعوامل الخطية (التحويلات) تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!

مع المصفوفة A، إذا كان هناك رقم l بحيث يكون AX = lX.

في هذه الحالة، يتم استدعاء الرقم l القيمة الذاتيةالمشغل (المصفوفة A) المطابق للمتجه X.

دعنا نكتب تعريف المتجه الذاتي في شكل نظام من المعادلات:

دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يمكن كتابة النظام الأخير في شكل مصفوفة على النحو التالي:

(أ - جنيه)X = O

النظام الناتج دائمًا لديه حل صفري X = O. تسمى هذه الأنظمة التي تكون فيها جميع الحدود الحرة مساوية للصفر متجانس. إذا كانت مصفوفة هذا النظام مربعة ومحددها لا يساوي الصفر، فعند استخدام صيغ كرامر سنحصل دائمًا على حل فريد - صفر. يمكن إثبات أن النظام له حلول غير صفرية إذا وفقط إذا كان محدد هذه المصفوفة يساوي الصفر، أي.

|أ - جنيه| = = 0

تسمى هذه المعادلة ذات l غير المعروف معادلة مميزة (كثير الحدود مميزة) المصفوفة أ (المشغل الخطي).

يمكن إثبات أن كثير الحدود المميز للعامل الخطي لا يعتمد على اختيار الأساس.

على سبيل المثال، دعونا نجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للعامل الخطي المحدد بواسطة المصفوفة A = .

للقيام بذلك، دعونا ننشئ معادلة مميزة |A - lE| = = (1 - ل) 2 - 36 = 1 - 2ل + ل 2 - 36 = ل 2 - 2ل - 35 = 0؛ د = 4 + 140 = 144؛ القيم الذاتية ل 1 = (2 - 12)/2 = -5؛ ل 2 = (2 + 12)/2 = 7.

للعثور على المتجهات الذاتية، نقوم بحل نظامين من المعادلات

(أ + 5هـ)X = O

(أ - 7هـ)X = O

بالنسبة للأول منهم، تأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

حيث x 2 = ج، x 1 + (2/3) ج = 0؛ × 1 = -(2/3)ث، أي X (1) = (-(2/3)ق؛ق).

بالنسبة للثانية، تأخذ المصفوفة الموسعة الشكل

من حيث x 2 = ج 1، x 1 - (2/3) ج 1 = 0؛ × 1 = (2/3) ق 1، أي. س (2) = ((2/3)ق 1؛ ق 1).

يمكن إثبات أن مصفوفة العامل A في الأساس المكون من ناقلاته الذاتية هي قطرية ولها الشكل:

حيث l i هي القيم الذاتية لهذه المصفوفة.

يمكن أيضًا إثبات أنه إذا كان لدى العامل الخطي قيم ذاتية مميزة زوجية n، فإن المتجهات الذاتية المقابلة تكون مستقلة خطيًا، وتكون مصفوفة هذا العامل في الأساس المقابل لها شكل قطري.

ولنوضح ذلك بالمثال السابق. لنأخذ القيم العشوائية غير الصفرية c وc 1، ولكن بحيث يكون المتجهان X (1) وX (2) مستقلين خطيًا، أي سوف تشكل الأساس. على سبيل المثال، لنفترض أن c = c 1 = 3، ثم X (1) = (-2؛ 3)، X (2) = (2؛ 3).

دعونا نتحقق من الاستقلال الخطي لهذه المتجهات:

12 ≠ 0. في هذا الأساس الجديد، ستأخذ المصفوفة A الشكل A * = .

للتحقق من ذلك، دعونا نستخدم الصيغة A * = C -1 AC. أولا، دعونا نجد C -1.

ج -1 = ;

الأشكال التربيعية

الشكل التربيعييُطلق على f(x 1, x 2, x n) من المتغيرات n مجموعًا، كل حد منها إما مربع أحد المتغيرات، أو حاصل ضرب متغيرين مختلفين، مأخوذًا بمعامل معين: f(x 1) ، × 2، × ن) = (ايج = جي).

تسمى المصفوفة A المكونة من هذه المعاملات مصفوفةشكل تربيعي. إنه دائما متماثلالمصفوفة (أي مصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي، a ij = a ji).

في تدوين المصفوفة، الصيغة التربيعية هي f(X) = X T AX، حيث

بالفعل

على سبيل المثال، لنكتب الصورة التربيعية على صورة المصفوفة.

للقيام بذلك، نجد مصفوفة على الصورة التربيعية. عناصرها القطرية تساوي معاملات المتغيرات التربيعية، والعناصر المتبقية تساوي أنصاف المعاملات المقابلة لها في الصورة التربيعية. لهذا

دع عمود المصفوفة للمتغيرات X يتم الحصول عليه عن طريق تحويل خطي غير منحط لعمود المصفوفة Y، أي. X = CY، حيث C هي مصفوفة غير مفردة من الرتبة n. ثم الصيغة التربيعية f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (CT AC)Y.

وهكذا، مع التحول الخطي غير المنحل C، تأخذ مصفوفة الشكل التربيعي الشكل: A * = C T AC.

على سبيل المثال، لنوجد الصيغة التربيعية f(y 1, y 2) الناتجة من الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 بالتحويل الخطي.

يسمى الشكل التربيعي العنوان الأساسي(لقد عرض الكنسي) ، إذا كانت جميع معاملاتها a j = 0 لـ i ≠ j، أي.
f(x 1, x 2, x n) = أ 11 x 1 2 + أ 22 x 2 2 + أ ن x n 2 = .

مصفوفتها قطرية.

نظرية(لم يتم تقديم الدليل هنا). يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل خطي غير منحط.

على سبيل المثال، دعونا نختصر الصيغة التربيعية إلى الصيغة القانونية
و(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

للقيام بذلك، حدد أولاً مربعًا كاملاً يحتوي على المتغير x 1:

و(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5×22-×2×3.

الآن نختار مربعًا كاملاً بالمتغير x 2:

و(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)× 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

ثم التحويل الخطي غير المنحط y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 و y 3 = x 3 يجلب هذا الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني f(y 1, y 2) , ص 3) = 2ص 1 2 - 5ص 2 2 + (1/20)ص 3 2 .

لاحظ أن الشكل القانوني للشكل التربيعي يتم تحديده بشكل غامض (يمكن اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني بطرق مختلفة). ومع ذلك، فإن الأشكال القانونية التي تم الحصول عليها بطرق مختلفة لها عدد من الخصائص المشتركة. على وجه الخصوص، لا يعتمد عدد المصطلحات ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا النموذج (على سبيل المثال، في المثال الذي تم النظر فيه سيكون هناك دائمًا معاملان سلبيان ومعامل إيجابي واحد). تسمى هذه الخاصية قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.

دعونا نتحقق من ذلك عن طريق جلب نفس الصورة التربيعية إلى الصورة القانونية بطريقة مختلفة. لنبدأ التحويل بالمتغير x 2:

و(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(× 2 2 +
+ 2* × 2 ((1/6) × 3 - (2/3) × 1) + ((1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2) + 3 ((1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(س 2 + (1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2 + 3 ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 = و (ص 1 , ص 2 , ص 3) = -3ص 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2، حيث y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3، y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و ص 3 = س 1 . يوجد هنا معامل سلبي -3 عند y 1 ومعاملان موجبان 3 و2 عند y 2 وy 3 (وباستخدام طريقة أخرى حصلنا على معامل سلبي (-5) عند y 2 ومعاملين موجبين: 2 عند y 1 و 1/20 عند ص 3).

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن رتبة المصفوفة ذات الشكل التربيعي تسمى رتبة الشكل التربيعي، يساوي عدد المعاملات غير الصفرية للشكل القانوني ولا يتغير في ظل التحولات الخطية.

تسمى الصيغة التربيعية f(X). بشكل ايجابي (سلبي) تأكيد، إذا كانت جميع قيم المتغيرات التي لا تساوي الصفر في وقت واحد، فهي موجبة، أي. f(X) > 0 (سلبي، أي
و(س)< 0).

على سبيل المثال، الصيغة التربيعية f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 هي موجبة ومحددة، لأن هو مجموع المربعات، والصيغة التربيعية f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 سالبة بالتأكيد، لأن يمثل أنه يمكن تمثيله كـ f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

في معظم المواقف العملية، يكون تحديد العلامة المحددة للشكل التربيعي أكثر صعوبة إلى حد ما، لذلك نستخدم إحدى النظريات التالية (سنقوم بصياغتها بدون دليل).

نظرية. يكون الشكل التربيعي موجبًا (سلبيًا) محددًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية لمصفوفته موجبة (سلبية).

نظرية(معيار سيلفستر). تكون الصورة التربيعية موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة من هذه الصورة موجبة.

الرئيسية (الزاوية) الثانويةتسمى مصفوفة الرتبة k A من الرتبة n محدد المصفوفة، وتتكون من الصفوف والأعمدة الأولى من المصفوفة A ().

لاحظ أنه بالنسبة للأشكال التربيعية المحددة السالبة، فإن علامات الفروع الرئيسية تتناوب، ويجب أن تكون العلامات الثانوية من الدرجة الأولى سالبة.

على سبيل المثال، دعونا نتفحص الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 لمعرفة دقة الإشارة.

= (2 - ل)*
*(3 - ل) - 4 = (6 - 2ل - 3ل + ل 2) - 4 = ل 2 - 5ل + 2 = 0؛ د = 25 - 8 = 17؛
. ولذلك، فإن الصورة التربيعية إيجابية محددة.

الطريقة الثانية. فرعي رئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A D 1 = a 11 = 2 > 0. فرعي رئيسي من الدرجة الثانية D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. لذلك، وفقًا لمعيار سيلفستر، فإن الصيغة التربيعية هي إيجابية محددة.

سنفحص صيغة تربيعية أخرى لتحديد الإشارة، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (-2 - ل)*
*(-3 - ل) - 4 = (6 + 2ل + 3ل + ل 2) - 4 = ل 2 + 5ل + 2 = 0؛ د = 25 - 8 = 17؛
. ولذلك، فإن الصورة التربيعية هي سلبية محددة.

الطريقة الثانية. القاصر الرئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. وبالتالي، وفقًا لمعيار سيلفستر، تكون الصيغة التربيعية سالبة محددة (تتناوب علامات الثانوية الرئيسية بدءًا من الطرح).

وكمثال آخر، سنفحص الصيغة التربيعية المحددة بالإشارة f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (2 - ل)*
*(-3 - ل) - 4 = (-6 - 2ل + 3ل + ل 2) - 4 = ل 2 + ل - 10 = 0; د = 1 + 40 = 41؛
.

أحد هذه الأرقام سلبي والآخر إيجابي. علامات القيم الذاتية مختلفة. وبالتالي، فإن الصورة التربيعية لا يمكن أن تكون محددة سلبا أو إيجابا، أي. هذا الشكل التربيعي ليس محدد الإشارة (يمكن أن يأخذ قيم أي علامة).

الطريقة الثانية. فرعي رئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A D 1 = a 11 = 2 > 0. فرعي رئيسي من الدرجة الثانية D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

المصفوفات القطرية لها أبسط بنية. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان من الممكن إيجاد أساس يكون فيه لمصفوفة العامل الخطي شكل قطري. مثل هذا الأساس موجود.
دعونا نعطي مساحة خطية R n وعامل خطي A يعمل فيها؛ في هذه الحالة، المشغل A يأخذ R n إلى نفسه، أي A:R n → R n .

تعريف. يسمى المتجه غير الصفري بالمتجه الذاتي للعامل A إذا كان العامل A يترجم إلى متجه خطي متداخل، أي. يُطلق على الرقم lect القيمة الذاتية أو القيمة الذاتية للمشغل A، وهو ما يتوافق مع المتجه الذاتي.
دعونا نلاحظ بعض خصائص القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
1. أي مجموعة خطية من المتجهات الذاتية المشغل A المطابق لنفس القيمة الذاتية π هو ناقل ذاتي له نفس القيمة الذاتية.
2. المتجهات الذاتية المشغل A ذو القيم الذاتية المختلفة الزوجية π 1 , π 2 , ..., π m مستقلة خطيا.
3. إذا كانت القيم الذاتية 1 = 2 = 1 م = 5، فإن القيمة الذاتية 5 لا تتوافق مع أكثر من م من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا.

لذا، إذا كان هناك n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا ، المقابلة لقيم ذاتية مختلفة 1، 2، ...، 5 n، فهي مستقلة خطيًا، لذلك يمكن اعتبارها أساسًا للمساحة R n. دعونا نجد شكل مصفوفة العامل الخطي A على أساس ناقلاته الذاتية، والتي سنتعامل معها مع العامل A على أساس المتجهات: ثم .
وبالتالي، فإن مصفوفة العامل الخطي A في أساس ناقلاته الذاتية لها شكل قطري، وتكون القيم الذاتية للعامل A على طول القطر.
هل هناك أساس آخر تكون فيه المصفوفة ذات شكل قطري؟ الجواب على هذا السؤال يتم تقديمه من خلال النظرية التالية.

نظرية. مصفوفة العامل الخطي A في الأساس (i = 1..n) لها شكل قطري إذا وفقط إذا كانت جميع متجهات الأساس هي متجهات ذاتية للعامل A.

قاعدة إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

دع المتجه يعطى

، حيث x 1، x 2، …، x n هي إحداثيات المتجه بالنسبة للأساس

وهو المتجه الذاتي للعامل الخطي A المطابق للقيمة الذاتية π، أي. يمكن كتابة هذه العلاقة على شكل مصفوفة

. (*)

يمكن اعتبار المعادلة (*) بمثابة معادلة لإيجاد، أي أننا مهتمون بالحلول غير التافهة، حيث لا يمكن أن يكون المتجه الذاتي صفرًا. من المعروف أن الحلول غير البديهية لنظام متجانس من المعادلات الخطية موجودة إذا وفقط إذا كانت det(A - lectE) = 0. وبالتالي، لكي تكون lect قيمة ذاتية للعامل A فمن الضروري والكافي أن يكون det(A - lectE) ) = 0.
إذا كتبت المعادلة (*) بالتفصيل بالشكل الإحداثي، نحصل على نظام من المعادلات الخطية المتجانسة:

(1)
أين - مصفوفة المشغل الخطية.

النظام (1) له حل غير صفري إذا كان محدده D يساوي الصفر

لقد حصلنا على معادلة لإيجاد القيم الذاتية.
تسمى هذه المعادلة بالمعادلة المميزة، ويسمى جانبها الأيسر متعدد الحدود المميز للمصفوفة (المشغل) A. إذا لم يكن لمتعدد الحدود المميز جذور حقيقية، فإن المصفوفة A ليس لها متجهات ذاتية ولا يمكن اختزالها إلى شكل قطري.
لتكن lect 1, lect 2, …, lect n هي الجذور الحقيقية للمعادلة المميزة، ومن الممكن أن يكون هناك مضاعفات بينها. باستبدال هذه القيم بدورها في النظام (1)، نجد المتجهات الذاتية.

مثال 12. العامل الخطي A يعمل في R 3 وفقًا للقانون، حيث x 1, x 2, .., x n هي إحداثيات المتجه في الأساس , , . ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لهذا العامل.
حل. نحن نبني مصفوفة هذا العامل:
.
نقوم بإنشاء نظام لتحديد إحداثيات المتجهات الذاتية:

نؤلف معادلة مميزة ونحلها:

.
 1,2 = -1،  3 = 3.
بالتعويض بـ lect = -1 في النظام نحصل على:
أو
لأن ، ثم هناك متغيران تابعان ومتغير حر واحد.
دع x 1 يكون مجهولًا حرًا، إذن نحل هذا النظام بأي طريقة ونجد الحل العام لهذا النظام: النظام الأساسي للحلول يتكون من حل واحد، حيث أن n - r = 3 - 2 = 1.
مجموعة المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية lect = -1 لها الشكل: حيث x 1 هو أي رقم غير الصفر. لنختار متجهًا واحدًا من هذه المجموعة، على سبيل المثال، نضع x 1 = 1: .
بالاستدلال بالمثل، نجد المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية 3 = 3: .
في الفضاء R 3، يتكون الأساس من ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا، لكننا تلقينا فقط اثنين من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، والتي لا يمكن تكوين الأساس في R 3 منها. وبالتالي، لا يمكننا تقليل المصفوفة A للعامل الخطي إلى الشكل القطري.

مثال 13. نظرا للمصفوفة .
1. إثبات أن الناقل هو متجه ذاتي للمصفوفة A. أوجد القيمة الذاتية المقابلة لهذا المتجه الذاتي.
2. أوجد أساسًا تكون فيه المصفوفة A ذات شكل قطري.
حل.
1. إذا، فهو متجه ذاتي

.
المتجه (1، 8، -1) هو متجه ذاتي. القيمة الذاتية π = -1.
المصفوفة لها شكل قطري في أساس يتكون من ناقلات ذاتية. واحد منهم مشهور. دعونا نجد الباقي.
نحن نبحث عن المتجهات الذاتية من النظام:

المعادلة المميزة: ;
(3 + )[-2(2-)(2+)+3] = 0؛ (3+)( 2 - 1) = 0
lect 1 = -3، lect 2 = 1، lect 3 = -1.
لنجد المتجه الذاتي المطابق للقيمة الذاتية π = -3:

رتبة مصفوفة هذا النظام هي اثنان وتساوي عدد المجهولين، لذلك هذا النظام لديه حل صفر فقط x 1 = x 3 = 0. x 2 هنا يمكن أن يكون أي شيء آخر غير الصفر، على سبيل المثال، x 2 = 1. وبالتالي، فإن المتجه (0،1،0) هو ناقل ذاتي يقابل α = -3. دعونا تحقق:
.
إذا كان 1 = 1، نحصل على النظام
رتبة المصفوفة اثنان. نحذف المعادلة الأخيرة.
دع x 3 يكون مجهولًا مجانيًا. إذن x 1 = -3x 3، 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3، x 2 = -9x 3.
بافتراض أن x 3 = 1، لدينا (-3,-9,1) - متجه ذاتي يتوافق مع القيمة الذاتية 1 = 1. تحقق مما يلي:

.
نظرًا لأن القيم الذاتية حقيقية ومتميزة، فإن المتجهات المقابلة لها تكون مستقلة خطيًا، لذا يمكن أخذها كأساس في R 3 . وهكذا في الأساس , , المصفوفة A لها الشكل:
.
لا يمكن اختزال كل مصفوفة للمشغل الخطي A:R n → R n إلى شكل قطري، لأنه بالنسبة لبعض العوامل الخطية قد يكون هناك أقل من n من المتجهات الذاتية المستقلة الخطية. ومع ذلك، إذا كانت المصفوفة متماثلة، فإن جذر المعادلة المميزة للتعددية m يتوافق مع المتجهات المستقلة خطيًا تمامًا.

تعريف. المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة مربعة تكون فيها العناصر المتماثلة حول القطر الرئيسي متساوية، أي فيها.
ملحوظات. 1. جميع القيم الذاتية للمصفوفة المتماثلة حقيقية.
2. إن المتجهات الذاتية للمصفوفة المتماثلة المقابلة للقيم الذاتية المختلفة الزوجية تكون متعامدة.
وكأحد التطبيقات العديدة للجهاز المدروس، فإننا نعتبر مشكلة تحديد نوع منحنى الدرجة الثانية.

1. مفهوم العامل الخطي

يترك رو سالفضاءات الخطية التي لها البعد نو معلى التوالى. المشغل أو العامل أيتصرف من رالخامس سيسمى تعيين النموذج الذي يربط كل عنصر سفضاء ربعض العناصر ذفضاء س. لهذا التعيين سوف نستخدم الترميز ص= أ(خ)أو ص= أس.

التعريف 1. المشغل أيتصرف من رالخامس سيسمى خطي إذا كان لأي عناصر س 1 و س 2 مسافات روأي λ من حقل رقم كالعلاقات راضية

أ(س 1 +س 2)=أس 1 +أس 2 .
أ(×)=λ أس.

إذا الفضاء سيتزامن مع الفضاء ر، ثم عامل خطي يعمل من رالخامس ريسمى التحول الخطي للفضاء ر.

دعونا نعطي مساحتين متجهتين ن-قياس رو م-قياس س، ودع القواعد تحدد في هذه الفراغات على التوالي. السماح لإعطاء الخرائط

دعونا الآن نبين العكس، أي. ذلك لأي عامل خطي أ، يمثل الفضاء رالخامس سوالقواعد التعسفية وفي رو سوفقا لذلك، هناك مثل هذه المصفوفة أمع عناصر من حقل رقمي كأن التعيين الخطي (1) المحدد بواسطة هذه المصفوفة يعبر عن إحداثيات المتجه المعين ذمن خلال إحداثيات المتجه الأصلي س.

يترك س- عنصر تعسفي في ر. ثم

أين آي جي- إحداثيات المتجه الناتج في الأساس.

ثم استخدام المشغل أإلى العنصر سومع الأخذ في الاعتبار (3) و(4)، لدينا

فتأخذ المساواة (5) الشكل التالي:

ثم يمكن كتابة التعبير (6) في شكل مصفوفة:

أين س∈ريعني أن سينتمي إلى الفضاء ر.

تتم الإشارة إلى مجموع العوامل الخطية على النحو التالي ج=أ+ب. من السهل التحقق من أن مجموع العوامل الخطية هو أيضًا عامل خطي.

دعونا نطبق المشغل جإلى ناقلات الأساس هي، ثم:

3. ضرب العوامل الخطية

دعونا نعطي ثلاث مسافات خطية ر, سو ت. دع المشغل الخطي بيعرض رالخامس س، والمشغل الخطي أيعرض سالخامس ت.

التعريف 3. منتج المشغلين أو بيسمى المشغل ج، والتي تنطبق عليها المساواة التالية لأي سمن ر:

Cx=أ(بكس), س∈ ر.

(12)

تتم الإشارة إلى منتج العوامل الخطية ج = أب. من السهل التحقق من أن منتج العوامل الخطية هو أيضًا عامل خطي.

لذلك المشغل جيعرض الفضاء رالخامس ت. دعونا نختار في المساحات ر، سو تالقواعد والإشارة إليها أ، بو جمصفوفات المشغل أ,بو جالمقابلة لهذه الأسس. ثم تعيينات العوامل الخطية أ, ب, ج

مع الأخذ بعين الاعتبار تعسف x، نحصل على

لذلك المشغل جيعرض الفضاء رالخامس س. دعونا نختار في المساحات ر و سالقواعد والإشارة إليها أمصفوفة المشغل أالمساواة المتجهات المقابلة لهذه القواعد

يمكن كتابتها في شكل مصفوفات المساواة

أين س، ص، ض- المتجهات س, ذ, ض- مقدمة في شكل أعمدة إحداثية. ثم

ونظرا للتعسف X، نحن نحصل

لذلك، المنتج للمشغل جالرقم π يتوافق مع منتج المصفوفة ألكل رقم λ .

5. عامل التشغيل فارغ

يُطلق على العامل الذي يقوم بتعيين جميع عناصر الفضاء R إلى العنصر الصفري في الفضاء S مشغل فارغويشار إليه ب يا. يمكن كتابة إجراء العامل الفارغ على النحو التالي: