حساب التكاملات باستخدام أمثلة طريقة التغيير المتغير. التكامل بتغيير الطريقة المتغيرة (طريقة الاستبدال)

13.10.2021

سنتعرف في هذا الدرس على إحدى أهم التقنيات وأكثرها شيوعًا المستخدمة عند حل التكاملات غير المحددة - طريقة التغيير المتغير. يتطلب الإتقان الناجح للمادة المعرفة الأولية ومهارات التكامل. إذا كان هناك شعور بوجود غلاية فارغة ممتلئة في حساب التفاضل والتكامل، فعليك أولاً أن تتعرف على المادة، حيث شرحت في شكل يسهل الوصول إليه ما هو التكامل وحللت بالتفصيل الأمثلة الأساسية للمبتدئين.

من الناحية الفنية، يتم تنفيذ طريقة تغيير متغير في تكامل غير محدد بطريقتين:

– إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية;
- في الواقع استبدال المتغير.

في الأساس، هذه هي نفس الشيء، ولكن تصميم الحل يبدو مختلفًا.

لنبدأ بحالة أبسط.

إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية

في الدرس تكامل غير محدد. أمثلة على الحلوللقد تعلمنا كيفية فتح التفاضل، وأذكركم بالمثال الذي قدمته:

وهذا يعني أن الكشف عن التفاضل يماثل تقريبًا العثور على مشتق.

مثال 1

إجراء فحص.

ننظر إلى جدول التكاملات ونجد صيغة مماثلة: . لكن المشكلة هي أنه تحت جيب الجيب ليس لدينا فقط الحرف "X"، بل تعبير معقد. ما يجب القيام به؟

نضع الدالة تحت العلامة التفاضلية:

من خلال فتح الترس التفاضلي، من السهل التحقق مما يلي:

في الواقع و هو تسجيل لنفس الشيء.

ولكن، مع ذلك، بقي السؤال، كيف توصلنا إلى فكرة أنه في الخطوة الأولى نحتاج إلى كتابة تكاملنا تمامًا مثل هذا: ؟ لماذا هذا وليس غير ذلك؟

معادلة (وجميع صيغ الجدول الأخرى) صالحة وقابلة للتطبيق ليس فقط للمتغير، ولكن أيضًا لأي تعبير معقد فقط كوسيطة دالة(- في مثالنا) والتعبير تحت العلامة التفاضلية كان نفس الشيء .

لذلك فإن التفكير العقلي عند الحل يجب أن يكون كالتالي: "أحتاج إلى حل التكامل. لقد بحثت في الجدول ووجدت صيغة مماثلة . لكن لدي حجة معقدة ولا يمكنني استخدام الصيغة على الفور. ومع ذلك، إذا تمكنت من الحصول عليها تحت العلامة التفاضلية، فسيكون كل شيء على ما يرام. إذا كتبت ذلك، ثم. ولكن في التكامل الأصلي لا يوجد عامل ثلاثة، لذلك، لكي لا تتغير الدالة التكاملية، أحتاج إلى ضربها بـ ". في سياق هذا التفكير العقلي تقريبًا، يولد الإدخال التالي:

الآن يمكنك استخدام الصيغة الجدولية :

مستعد

والفرق الوحيد هو أننا لا نملك حرف "X"، بل تعبير معقد.

دعونا تحقق. افتح جدول المشتقات وميز الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.

يرجى ملاحظة أننا أثناء التحقق استخدمنا القاعدة للتمييز بين دالة معقدة . في جوهرها، إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية و - هاتان قاعدتان عكسيتان.

مثال 2

دعونا نحلل وظيفة التكامل. لدينا هنا كسر، والمقام هو دالة خطية (مع "X" للقوة الأولى). ننظر إلى جدول التكاملات ونجد الشيء الأكثر تشابهًا: .

نضع الدالة تحت العلامة التفاضلية:

أولئك الذين يجدون صعوبة في معرفة الكسر الذي سيتم الضرب به على الفور يمكنهم الكشف بسرعة عن الفرق في المسودة: . نعم، اتضح أن هذا يعني أنه لكي لا يتغير شيء، أحتاج إلى ضرب التكامل بـ .
بعد ذلك نستخدم الصيغة الجدولية :

فحص:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد. إجراء فحص.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد. إجراء فحص.

هذا مثال عليك حله بنفسك. الجواب في نهاية الدرس .

مع بعض الخبرة في حل التكاملات، ستبدو هذه الأمثلة سهلة ونقر مثل المكسرات:

في نهاية هذا القسم، أود أيضًا أن أتناول الحالة "الحرة"، عندما يدخل متغير في دالة خطية بمعامل الوحدة، على سبيل المثال:

بالمعنى الدقيق للكلمة، يجب أن يبدو الحل كما يلي:

كما ترون، فإن إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية كان "غير مؤلم"، دون أي ضرب. لذلك، في الممارسة العملية، غالبا ما يتم إهمال مثل هذا الحل الطويل وكتابته على الفور . لكن كن مستعدًا، إذا لزم الأمر، لتشرح للمعلم كيفية حل المشكلة! لأنه في الواقع لا يوجد تكامل في الجدول.

طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة - طريقة تغيير المتغيرات في التكامل غير المحدد.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

كمثال، أخذت التكامل الذي نظرنا إليه في بداية الدرس. كما قلنا سابقًا، لحل التكامل، أحببنا الصيغة الجدولية ، وأود أن أقصر الأمر برمته عليها.

الفكرة وراء طريقة الاستبدال هي استبدل تعبيرًا معقدًا (أو بعض الوظائف) بحرف واحد.
وفي هذه الحالة يطلب:
الحرف البديل الثاني الأكثر شيوعًا هو الحرف .
من حيث المبدأ، يمكنك استخدام رسائل أخرى، لكننا سنظل ملتزمين بالتقاليد.

لذا:
ولكن عندما نستبدله، يتبقى لدينا! ربما خمن الكثيرون أنه إذا تم الانتقال إلى متغير جديد، فيجب التعبير عن كل شيء في التكامل الجديد من خلال الحرف، ولا يوجد مكان للتفاضل هناك على الإطلاق.
الاستنتاج المنطقي هو أنك تحتاج تتحول إلى بعض التعبير الذي يعتمد فقط على.

العمل على النحو التالي. بعد أن قمنا باختيار بديل، في هذا المثال، نحتاج إلى إيجاد التفاضل. مع الفوارق، أعتقد أن الجميع قد أقاموا صداقة بالفعل.

منذ ذلك الحين

بعد تفكيك التفاضل، أوصي بإعادة كتابة النتيجة النهائية بإيجاز قدر الإمكان:
الآن، وفقا لقواعد التناسب، نعبر عن ما نحتاج إليه:

مؤخراً:
هكذا:

وهذا هو بالفعل أكثر تكامل الجدول (جدول التكاملات، بالطبع، صالح أيضًا للمتغير).

أخيرًا، كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي. دعونا نتذكر ذلك.

مستعد.

يجب أن يبدو التصميم النهائي للمثال الذي تم النظر فيه كما يلي:

“

دعونا نستبدل:

“

ليس للأيقونة أي معنى رياضي، فهي تعني أننا قمنا بمقاطعة الحل للتفسيرات المتوسطة.

عند إعداد مثال في دفتر الملاحظات، من الأفضل تحديد الاستبدال العكسي بقلم رصاص بسيط.

انتباه!في الأمثلة التالية، لن يتم وصف عملية إيجاد التفاضل بالتفصيل.

والآن حان الوقت لتذكر الحل الأول:

ماهو الفرق؟ لا يوجد فرق جوهري. إنه في الواقع نفس الشيء. ولكن من وجهة نظر تصميم المهمة، فإن طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية أقصر بكثير.

استخراج أو تكوين السؤال. إذا كانت الطريقة الأولى أقصر فلماذا نستخدم طريقة الاستبدال؟ الحقيقة هي أنه بالنسبة لعدد من التكاملات، ليس من السهل "ملاءمة" الدالة مع علامة التفاضل.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد.

لنقم بإجراء بديل: (من الصعب التفكير في بديل آخر هنا)

كما ترون، نتيجة للاستبدال، تم تبسيط التكامل الأصلي بشكل كبير - تم تقليله إلى وظيفة طاقة عادية. هذا هو الغرض من الاستبدال - لتبسيط التكامل.

يمكن للأشخاص المتقدمين الكسالى حل هذا التكامل بسهولة عن طريق إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية:

شيء آخر هو أن مثل هذا الحل من الواضح أنه ليس لجميع الطلاب. بالإضافة إلى ذلك، في هذا المثال بالفعل، يتم استخدام طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية يزيد بشكل كبير من خطر الخلط في القرار.

مثال 7

أوجد التكامل غير المحدد. إجراء فحص.

مثال 8

أوجد التكامل غير المحدد.

إستبدال:
ويبقى أن نرى ما سيتحول إليه

حسنًا، لقد عبرنا عن ذلك، لكن ماذا نفعل ببقاء علامة "X" في البسط؟!
من وقت لآخر، عند حل التكاملات، نواجه الخدعة التالية: سوف نعبر من نفس الاستبدال!

مثال 9

أوجد التكامل غير المحدد.

هذا مثال عليك حله بنفسك. الجواب في نهاية الدرس .

مثال 10

أوجد التكامل غير المحدد.

من المؤكد أن بعض الأشخاص لاحظوا أنه في جدول البحث الخاص بي لا توجد قاعدة استبدال متغيرة. وقد تم ذلك عمدا. ومن شأن القاعدة أن تخلق ارتباكا في الشرح والفهم، إذ لم تظهر صراحة في الأمثلة المذكورة أعلاه.

حان الوقت الآن للحديث عن الفرضية الأساسية لاستخدام طريقة الاستبدال المتغير: يجب أن يحتوي التكامل على بعض الوظائف ومشتقتها:(قد لا تكون الوظائف موجودة في المنتج)

في هذا الصدد، عند العثور على التكاملات، غالبا ما يتعين عليك إلقاء نظرة على جدول المشتقات.

في المثال قيد النظر، نلاحظ أن درجة البسط أقل من درجة المقام بمقدار درجة واحدة. في جدول المشتقات، نجد الصيغة التي تقلل الدرجة بمقدار واحد فقط. وهذا يعني أنه إذا قمت بتعيينه كمقام، فستكون هناك احتمالات كبيرة بأن يتحول البسط إلى شيء جيد.

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة - طريقة تغيير المتغيرات في التكامل غير المحدد.

مثال 5

كمثال، لنأخذ التكامل الذي نظرنا إليه في بداية الدرس. كما قلنا سابقًا، لحل التكامل، أحببنا الصيغة الجدولية ,

وأود أن أقلل الأمر برمته لها.

الفكرة وراء طريقة الاستبدال هي استبدل تعبيرًا معقدًا (أو بعض الوظائف) بحرف واحد.

وفي هذه الحالة يطلب:

الحرف الثاني الأكثر شيوعًا الذي يجب استبداله هو الحرف ض. من حيث المبدأ، يمكنك استخدام رسائل أخرى، لكننا سنظل ملتزمين بالتقاليد.

ولكن عند الاستبدال يتبقى لنا dx! ربما خمن الكثيرون أنه إذا تم الانتقال إلى متغير جديد ر، ثم في التكامل الجديد يجب التعبير عن كل شيء من خلال الرسالة ر، والتفاضلية dxلا يوجد مكان على الإطلاق. الاستنتاج المنطقي هو ذلك dxبحاجة ل تتحول إلى بعض التعبير الذي يعتمد فقط علىر.

العمل على النحو التالي. بعد أن قمنا باختيار بديل، كما هو الحال في هذا المثال، نحتاج إلى إيجاد التفاضل dt.

الآن، وفقًا لقواعد التناسب، نعرب dx:

هكذا:

وهذا هو بالفعل أكثر تكامل الجدول

(جدول التكاملات، بالطبع، صالح أيضًا للمتغير ر).

أخيرًا، كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي. دعونا نتذكر ذلك.

يجب أن يبدو التصميم النهائي للمثال الذي تم النظر فيه كما يلي:

لنقم بالاستبدال: ، إذن

ليس للأيقونة أي معنى رياضي، فهي تعني أننا قمنا بمقاطعة الحل للتفسيرات المتوسطة.

عند إعداد مثال في دفتر الملاحظات، من الأفضل تحديد الاستبدال العكسي بقلم رصاص بسيط.

انتباه!في الأمثلة التالية، لن يتم وصف عملية إيجاد التفاضل لمتغير جديد بالتفصيل.

تذكر الحل الأول:

ماهو الفرق؟ لا يوجد فرق جوهري. إنه في الواقع نفس الشيء.

ولكن، من وجهة نظر تصميم المهمة، فإن طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية أقصر بكثير.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد.

دعونا نستبدل:

;

يمكن للأشخاص المتقدمين الكسالى حل هذا التكامل بسهولة عن طريق إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية:

مثال 7

أوجد التكامل غير المحدد

إجراء فحص.

مثال 8

أوجد التكامل غير المحدد.

حل:نقوم بعمل بديل : .

ويبقى أن نرى ما سيتحول إليه xdx؟ من وقت لآخر، عند حل التكاملات، تظهر الحيلة التالية: سسنعرب من نفس الاستبدال:

مثال 9

أوجد التكامل غير المحدد.

هذا مثال عليك حله بنفسك. الجواب في نهاية الدرس .

مثال 10

أوجد التكامل غير المحدد.

من المؤكد أن بعض الأشخاص لاحظوا أن جدول البحث لا يحتوي على قاعدة استبدال متغير. وقد تم ذلك عمدا. ومن شأن القاعدة أن تخلق ارتباكا في الشرح والفهم، إذ لم تظهر صراحة في الأمثلة المذكورة أعلاه.

حان الوقت الآن للحديث عن الفرضية الأساسية لاستخدام طريقة الاستبدال المتغير: يجب أن يحتوي التكامل على بعض الوظائف ومشتقاته. على سبيل المثال، مثل : .

Fوظائف قد لا تكون في العمل، ولكن في مجموعة مختلفة.

في هذا الصدد، عند العثور على التكاملات، غالبا ما يتعين عليك إلقاء نظرة على جدول المشتقات.

في المثال 10 قيد النظر، نلاحظ أن درجة البسط أقل من درجة المقام بمقدار درجة واحدة. في جدول المشتقات، نجد الصيغة التي تقلل الدرجة بمقدار واحد فقط. وهذا يعني أنه إذا قمنا بتعيين رالمقام، ثم هناك احتمالات كبيرة أن يكون البسط xdxسوف يتحول إلى شيء جيد:

إستبدال: .

بالمناسبة، ليس من الصعب إدراج الدالة تحت العلامة التفاضلية:

تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للكسور مثل هذه الخدعة لن تعمل بعد الآن (بتعبير أدق، سيكون من الضروري تطبيق ليس فقط تقنية الاستبدال).

يمكنك تعلم كيفية دمج بعض الكسور في الفصل. دمج الكسور المعقدة. فيما يلي بعض الأمثلة النموذجية لحل نفس الطريقة بنفسك.

مثال 11

أوجد التكامل غير المحدد

مثال 12

أوجد التكامل غير المحدد

الحلول في نهاية الدرس.

مثال 13

أوجد التكامل غير المحدد

نحن ننظر إلى جدول المشتقات ونجد جيب التمام لدينا: ، نظرًا لأنه في التكامل لدينا لدينا قوس جيب التمام وشيء مشابه لمشتقته.

قاعدة عامة:

خلف رنشير إلى الوظيفة نفسها(وليس مشتقاته).

في هذه الحالة: . يبقى معرفة ما سيتحول إليه الجزء المتبقي من التكامل

في هذا المثال، العثور على د ر دعنا نكتبها بالتفصيل، لأنها وظيفة معقدة:

أو باختصار:

باستخدام قاعدة التناسب، نعبر عن الباقي الذي نحتاجه: .

هكذا:

مثال 14

أوجد التكامل غير المحدد.

مثال لحل مستقل. الجواب قريب جدا.

لا بد أن القراء اليقظين قد لاحظوا أننا نظرنا في أمثلة قليلة للدوال المثلثية. وهذا ليس من قبيل الصدفة، لأنه تحت و تكاملات الدوال المثلثيةيتم توفير دروس منفصلة ل7.1.5، 7.1.6، 7.1.7. علاوة على ذلك، فيما يلي بعض الإرشادات المفيدة لاستبدال متغير، وهو أمر مهم بشكل خاص للدمى، الذين لا يفهمون دائمًا ولا يفهمون على الفور نوع الاستبدال الذي يجب إجراؤه في تكامل معين. كما يمكن العثور على بعض أنواع البدائل في المادة 7.2.

يمكن للطلاب الأكثر خبرة التعرف على بديل نموذجي في التكاملات مع وظائف غير عقلانية

مثال 12: الحل:

دعونا نستبدل:

مثال 14: الحل:

دعونا نستبدل:

نوع الدرس:تعلم مواد جديدة.

المهام التعليمية:

تعليم الطلاب استخدام طريقة التكامل بالتعويض؛
مواصلة تطوير المهارات في استخدام تكامل الوظائف؛
الاستمرار في تنمية الاهتمام بالرياضيات من خلال حل المشكلات؛
تنمية موقف واعي تجاه عملية التعلم، وغرس الشعور بالمسؤولية عن جودة المعرفة، وممارسة ضبط النفس في عملية حل وتصميم التمارين؛
ذكّر أن الاستخدام الواعي للخوارزميات فقط لحساب التكامل غير المحدد هو الذي سيسمح للطلاب بإتقان الموضوع قيد الدراسة نوعيًا.

توفير الفصول:

جدول صيغ التكامل الأساسية؛
بطاقات المهام للعمل الاختباري.

يجب على الطالب أن يعرف:خوارزمية لحساب التكامل غير المحدد باستخدام طريقة الاستبدال.

يجب أن يكون الطالب قادرا على:تطبيق المعرفة المكتسبة لحساب التكاملات غير المحددة.

الدافع للنشاط المعرفي للطلاب.

يذكر المعلم أنه بالإضافة إلى طريقة التكامل المباشر، هناك طرق أخرى لحساب التكاملات غير المحددة، إحداها هي طريقة الاستبدال. هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا لتكامل دالة معقدة، وتتكون من تحويل التكامل بالانتقال إلى متغير تكامل آخر.

تقدم الدرس

أنا. تنظيم الوقت.

ثانيا. التحقق من الواجبات المنزلية.

المسح الأمامي:

ثالثا. تكرار المعرفة الأساسية للطلاب.

1) كرر جدول صيغ التكامل الأساسية.

2) كرر ما هي طريقة التكامل المباشر.

التكامل المباشر هو طريقة للتكامل يتم فيها اختزال تكامل معين إلى تكامل واحد أو أكثر من تكاملات الجدول عن طريق تحويلات متماثلة للتكامل وتطبيق خصائص التكامل غير المحدد.

رابعا. تعلم مواد جديدة.

ليس من الممكن دائمًا حساب تكامل معين عن طريق التكامل المباشر، وأحيانًا يرتبط ذلك بصعوبات كبيرة. وفي هذه الحالات، يتم استخدام تقنيات أخرى. واحدة من أكثر التقنيات فعالية هي طريقة استبدال أو استبدال متغير التكامل. جوهر هذه الطريقة هو أنه من خلال إدخال متغير تكامل جديد، من الممكن اختزال تكامل معين إلى تكامل جديد، وهو أمر يسهل نسبيا أخذه مباشرة. إذا أصبح التكامل أبسط بعد تغيير المتغير، فقد تم تحقيق هدف الاستبدال. يعتمد التكامل بطريقة الاستبدال على الصيغة

دعونا نفكر في هذه الطريقة.

خوارزمية الحسابالتكامل غير المحدد بطريقة الاستبدال:

تحديد تكامل الجدول الذي سيتم اختزال هذا التكامل إليه (بعد تحويل التكامل أولاً، إذا لزم الأمر).
حدد أي جزء من التكامل الذي سيتم استبداله بمتغير جديد، واكتب هذا الاستبدال.
أوجد تفاضل جزأي السجل وعبر عن تفاضل المتغير القديم (أو تعبير يحتوي على هذا التفاضل) بدلالة تفاضل المتغير الجديد.
إجراء استبدال تحت التكامل.
أوجد التكامل الناتج.
ونتيجة لذلك، يتم إجراء استبدال عكسي، أي. انتقل إلى المتغير القديم. ومن المفيد التحقق من النتيجة عن طريق التمايز.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

أمثلة.أوجد التكاملات:

1) )4

دعونا نقدم الاستبدال:

وبتمييز هذه المساواة نجد:

الخامس. تطبيق المعرفة عند حل الأمثلة النموذجية.

السادس. التطبيق المستقل للمعرفة والمهارات والقدرات.

الخيار 1

أوجد التكاملات:

الخيار 2

أوجد التكاملات:

سابعا. تلخيص الدرس.

ثامنا. العمل في المنزل:

ج.ن. ياكوفليف، الجزء 1، §13.2، الفقرة 2، رقم 13.13 (1,4,5)، 13.15 (1,2,3)

2. الاستبدال المتغير (طريقة الاستبدال)

جوهر طريقة الاستبدال هو أنه نتيجة لإدخال متغير جديد، المعطى صعبيتم تقليل التكامل إلى جدول أو واحد تكون طريقة حسابه معروفة.

فليكن من الضروري حساب التكامل. هناك نوعان من قواعد الاستبدال:

القاعدة العامة لاختيار الوظيفة
غير موجود، ولكن هناك عدة أنواع من الوظائف المتكاملة التي توجد توصيات بشأنها لاختيار الوظيفة
.

يمكن تطبيق استبدال المتغيرات عدة مرات حتى يتم الحصول على النتيجة.

مثال 1. أوجد التكاملات:

أ)
; ب)
; الخامس)
;

ز)
; د)
; ه)
.

حل.

أ) من بين تكاملات الجدول لا توجد جذور بدرجات مختلفة، لذلك "أريد أن أتخلص"، أولاً، من
و
. للقيام بذلك سوف تحتاج إلى استبدال Xمثل هذا التعبير الذي يمكن من خلاله استخراج كلا الجذرين بسهولة:

ب) مثال نموذجي عندما تكون هناك رغبة في "التخلص" من الدالة الأسية
. ولكن في هذه الحالة، يكون الأمر أكثر ملاءمة لأخذ التعبير بأكمله في مقام الكسر كمتغير جديد:

;

ج) ملاحظة أن البسط يحتوي على المنتج
، والذي يعد جزءًا من تفاضل التعبير الجذري، استبدل هذا التعبير بأكمله بمتغير جديد:

;

د) هنا، كما في الحالة أ)، أريد التخلص من الراديكالي. لكن بما أنه، على عكس النقطة أ)، يوجد جذر واحد فقط، فسنستبدله بمتغير جديد:

ه) هنا يتم تسهيل اختيار الاستبدال من خلال حالتين: من ناحية، الرغبة البديهية للتخلص من اللوغاريتمات، من ناحية أخرى، وجود التعبير ، وهو تفاضل الدالة
. لكن كما في الأمثلة السابقة فمن الأفضل إدراج الثوابت المرافقة للوغاريتم في الاستبدال:

و) هنا، كما في المثال السابق، فإن الرغبة البديهية للتخلص من الأس المرهق في التكامل تتوافق مع الحقيقة المعروفة:
(الصيغة 8 من الجدول 3). لذلك لدينا:

استبدال المتغيرات لبعض فئات الوظائف

دعونا نلقي نظرة على بعض فئات الوظائف التي قد يوصى ببدائل معينة لها.

الجدول 4.وظائف عقلانية

نوع التكامل	طريقة التكامل
1.1.
1.2.
1.3.	اختيار مربع كامل:
1.4.	صيغة التكرار

وظائف متسامية:

1.5.
- الاستبدال ر = ه س ;

1.6.
- الاستبدال ر=log أ س.

مثال 2.العثور على تكاملات الوظائف العقلانية:

أ)
; ب)
;

الخامس)
; د)
.

حل.

أ) لا يلزم حساب هذا التكامل باستخدام تغيير المتغيرات؛ فمن الأسهل هنا استخدام الاستبدال تحت العلامة التفاضلية:

ب) وبالمثل، نستخدم التجميع تحت علامة التفاضل:

;

ج) أمامنا جزء لا يتجزأ من النوع 1.3 من الجدول 4، سنستخدم التوصيات المقابلة:

هـ) مشابه للمثال السابق:

مثال 3.البحث عن التكاملات

أ)
; ب)
.

حل.

ب) يحتوي التكامل على لوغاريتم، لذلك سوف نستخدم التوصية 1.6. فقط في هذه الحالة يكون من الملائم استبدال ليس مجرد وظيفة
، والتعبير الراديكالي بأكمله:

الجدول 6. الدوال المثلثية (ر

نوع التكامل	طريقة التكامل
3.1.	استبدال عالمي , , ,
3.1.1. ، لو	الاستبدال
3.1.2. ، لو	الاستبدال .
3.1.3. . ، لو (أي أن هناك فقط صلاحيات للوظائف )	الاستبدال
3.2.	لو - فردي، ثم انظر 3.1.1؛ لو - فردي، ثم انظر 3.1.2؛ لو - حتى، ثم انظر 3.1.3؛ لو - حتى، ثم استخدم الصيغ لتقليل الدرجة ,
3.3. , ,	استخدم الصيغ

مثال 4.أوجد التكاملات:

أ)
; ب)
; الخامس)
; د)
.

حل.

أ) هنا ندمج الدالة المثلثية. دعونا نطبق الاستبدال الشامل (الجدول 6، 3.1):

ب) هنا نطبق أيضًا الاستبدال الشامل:

لاحظ أنه في التكامل المدروس، كان لا بد من تطبيق تغيير المتغيرات مرتين.

ج) نحسب بالمثل:

هـ) لنفكر في طريقتين لحساب هذا التكامل.

كما ترون، لقد حصلنا على وظائف بدائية مختلفة. وهذا لا يعني أن إحدى التقنيات المستخدمة تعطي نتيجة خاطئة. والحقيقة هي أنه باستخدام المتطابقات المثلثية المعروفة التي تربط مماس نصف الزاوية مع الدوال المثلثية لزاوية كاملة، لدينا

وبالتالي، فإن المشتقات المضادة التي تم العثور عليها تتطابق مع بعضها البعض.

مثال 5.أوجد التكاملات:

أ)
; ب)
; الخامس)
; ز)
.

حل.

أ) في هذا التكامل يمكننا أيضًا تطبيق التعويض الشامل
، ولكن نظرًا لأن جيب التمام المتضمن في التكامل هو قوة زوجية، فمن الأكثر عقلانية استخدام توصيات الفقرة 3.1.3 من الجدول 6:

ب) أولاً، دعونا نختصر جميع الدوال المثلثية المضمنة في التكامل إلى وسيطة واحدة:

في التكامل الناتج، يمكننا تطبيق استبدال عالمي، لكننا نلاحظ أن التكامل لا يتغير عندما تتغير علامات الجيب وجيب التمام:

وبالتالي، فإن الدالة لها الخصائص المحددة في الفقرة 3.1.3 من الجدول 6، وبالتالي فإن الاستبدال الأكثر ملاءمة سيكون
. لدينا:

ج) إذا تم تغيير علامة جيب التمام في تكامل معين، فستتغير علامة الوظيفة بأكملها:

وهذا يعني أن التكامل له الخاصية الموصوفة في الفقرة 3.1.2. ولذلك فمن المنطقي استخدام الاستبدال
. لكن أولاً، كما في المثال السابق، نقوم بتحويل الدالة التكاملية:

د) إذا تم تغيير إشارة الجيب في تكامل معين، فستتغير إشارة الدالة بأكملها، مما يعني أن لدينا الحالة الموضحة في الفقرة 3.1.1 من الجدول 6، وبالتالي يجب تعيين المتغير الجديد كدالة
. ولكن بما أنه في التكامل لا يوجد أي وجود للوظيفة
ولا تفاضله، نقوم أولاً بتحويل:

مثال 6.أوجد التكاملات:

أ)
; ب)
;

الخامس)
ز)
.

حل.

أ) يشير هذا التكامل إلى تكاملات من النوع 3.2 في الجدول 6. وبما أن جيب الجيب هو قوة فردية، وفقًا للتوصيات، فمن الملائم استبدال الوظيفة
. لكن أولاً نقوم بتحويل وظيفة التكامل:

ب) هذا التكامل من نفس نوع التكامل السابق، ولكن هنا الوظائف
و
لها درجات زوجية، لذلك تحتاج إلى تطبيق الصيغ لتقليل الدرجة:
,
. نحن نحصل:

ج) تحويل الوظيفة:

د) وفقًا للتوصيات 3.1.3 في الجدول 6، في هذا التكامل يكون من المناسب إجراء الاستبدال
. نحن نحصل:

الجدول 5.وظائف غير عقلانية (ر- الوظيفة العقلانية لحججها)

نوع التكامل	طريقة التكامل
	الاستبدال ، أين ك – القاسم المشترك للكسور …, .
	الاستبدال ، أين ك– القاسم المشترك للكسور …,
2.3.	الاستبدال، , أين ك– القاسم المشترك للكسور الأسية …,
2.4.	الاستبدال .
2.5.	الاستبدال ,
2.6.	الاستبدال , .
2.7.	الاستبدال , .
2.8. (ذات الحدين التفاضلية)، لا يتكامل إلا في ثلاث حالات: أ) ر- عدد صحيح (استبدال X = ر ك، أين ك- القاسم المشترك للكسور تو ص); ب) - كامل (استبدال = ر ك، أين ك- مقام الكسر ر); الخامس) - كامل (استبدال = ر ك، أين ك- مقام الكسر ر).

مثال 7.أوجد التكاملات:

أ)
; ب)
; الخامس)
.

حل.

أ) يمكن تصنيف هذا التكامل على أنه تكاملات من النوع 2.1، لذلك دعونا نقوم بالتعويض المناسب. ولنتذكر أن الهدف من الاستبدال في هذه الحالة هو التخلص من اللاعقلانية. وهذا يعني أنه يجب استبدال التعبير الجذري بهذه القوة لمتغير جديد يتم من خلاله استخلاص جميع الجذور الموجودة تحت التكامل. وفي حالتنا فمن الواضح :

تحت التكامل نحصل على كسر عقلاني غير صحيح. يتضمن دمج هذه الكسور، أولاً وقبل كل شيء، عزل الجزء بأكمله. لذلك دعونا نقسم البسط على المقام:

ثم نحصل
، من هنا

احسب التكامل المعطى بالتكامل المباشر

لا ينجح الأمر دائمًا. واحدة من التقنيات الأكثر فعالية

هي طريقة لاستبدال أو استبدال متغير التكامل.

جوهر هذه الطريقة هو أنه من خلال إدخال متغير تكامل جديد، من الممكن تقليل التكامل المعطى

إلى تكامل جديد يؤخذ بالتكامل المباشر.

خذ بعين الاعتبار هذه الطريقة:

اسمحوا أن تكون وظيفة مستمرة

بحاجة إلى العثور على: (1)

دعونا نغير متغير التكامل:

حيث φ (t) هي دالة رتيبة لها مشتق مستمر

وهناك وظيفة معقدة f(φ(t)).

تطبيق على F (x) = F(φ (t)) صيغة التمايز المعقدة

الوظائف فنحصل على:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

لكن F'(x) = f (x) = f (φ (t))، إذن

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

وبالتالي، فإن الدالة F(φ (t)) هي مشتق عكسي للدالة

f (φ (t)) ∙ φ′ (t)، وبالتالي:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

بالنظر إلى أن F (φ (t)﴿ = F (x)، من (1) و (4) تتبع صيغة الاستبدال

المتغير في التكامل غير المحدد:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

رسميًا، يتم الحصول على الصيغة (5) عن طريق استبدال x بـ φ (t) و dx بـ φ′ (t)dt

وفيما يلي النتيجة التي تم الحصول عليها بعد التكامل وفقا للصيغة (5).

ارجع إلى المتغير x. وهذا ممكن دائمًا، لأنه حسب التفضيل

بالإضافة إلى ذلك، فإن الدالة x = φ (t) رتيبة.

عادةً ما يتطلب الاختيار الناجح للاستبدال جهودًا معروفة.

نيس. للتغلب عليها، من الضروري إتقان تقنية التمايز

الاستشهادات ولديهم معرفة جيدة بتكاملات الجدول.

ولكن لا يزال بإمكانك وضع عدد من القواعد العامة وبعض التقنيات

اندماج.

قواعد التكامل عن طريق الاستبدال:

1. تحديد تكامل الجدول الذي سيتم اختزال هذا التكامل إليه (بعد تحويل تعبير التكامل، إذا لزم الأمر).

2. تحديد أي جزء من الدالة التكاملية يحتاج إلى الاستبدال

متغير جديد، واكتب هذا الاستبدال.

3. أوجد التفاضل بين جزأي التسجيلة وعبّر عن التفاضل

طلب المتغير القديم (أو تعبير يحتوي على هذا الفرق.

إقليمي) من خلال تفاضل المتغير الجديد.

4. قم بإجراء استبدال تحت التكامل.

5. أوجد التكامل الناتج.

6. ونتيجة لذلك، يذهبون إلى المتغير القديم.

أمثلة على حل التكاملات باستخدام طريقة الاستبدال:

1. أوجد: ∫ x²(3+2x) dx

حل:

لنقم بالتعويض بـ 3+2x = t

لنجد التفاضل بين طرفي الاستبدال:

6x dx = dt، من أين

لذلك:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

بالتعويض عن t بالتعبير الخاص بها من الاستبدال نحصل على:

∫ س (3+2س) دكس = (3+2س) + ج

حل:

= = ∫ ه = ه + ج = ه + ج

حل:

مفهوم التكامل المحدد.

يُطلق على الفرق في قيم أي دالة مشتقة عكسية عندما تتغير الوسيطة من إلى التكامل المحدد لهذه الوظيفة في النطاق من a إلى b ويشار إليه:

يُطلق على a وb الحدين الأدنى والأعلى للتكامل.

لحساب التكامل المحدد تحتاج:

1. أوجد التكامل غير المحدد المقابل

2. عوّض في التعبير الناتج بدلاً من x، أولاً بالحد الأعلى للتكامل، ثم الحد الأدنى - أ.

3. اطرح الثانية من النتيجة الأولى للاستبدال.

باختصار، هذه القاعدة مكتوبة في شكل صيغ مثل هذا:

تسمى هذه الصيغة بصيغة نيوتن-لايبنتز.

الخصائص الأساسية للتكامل المحدد:

1. حيث K=const

3. إذاً

4. إذا كانت الدالة غير سالبة على المجال، حيث، إذن

عند استبدال متغير تكامل قديم بمتغير جديد في تكامل محدد، من الضروري استبدال حدود التكامل القديمة بحدود جديدة. يتم تحديد هذه الحدود الجديدة من خلال الاستبدال المحدد.

تطبيق التكامل المحدد.

مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع ويحدها منحنى والمحور السيني وخطين مستقيمين وتحسب بواسطة الصيغة:

حجم الجسم المتكون من الدوران حول المحور السيني لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده منحنى لا يغير إشارته ومحور س وخطين مستقيمين وتحسب بواسطة الصيغة:

باستخدام التكامل المحدد، يمكنك أيضًا حل عدد من المشكلات الفيزيائية.

على سبيل المثال:

إذا كانت سرعة جسم متحرك بشكل مستقيم دالة معروفة للزمن t، فإن المسار S الذي يقطعه هذا الجسم من الزمن t = t 1 إلى الزمن t = t 2 يتحدد بالصيغة:

إذا كانت القوة المتغيرة دالة معروفة للمسار S (يفترض أن اتجاه القوة لا يتغير)، فإن الشغل A الذي تؤديه هذه القوة على المسار من إلى يتحدد بالصيغة:

أمثلة:

1. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:

ص = ; ص = (س-2) 2 ; 0x.

حل:

أ) لنقم ببناء رسوم بيانية للوظائف: y = ; ص = (س-2) 2

ب) حدد الشكل الذي يجب حساب مساحته.

ج) تحديد حدود التكامل من خلال حل المعادلة: = (x-2) 2 ; س = 1 ;

د) احسب مساحة الشكل المعطى:

S = دس + 2 دس = 1 وحدة 2

2. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:

ص = س 2 ; س = ص 2 .

حل:

س 2 = ; س 4 = س ;

س (س 3 – 1) = 0

س 1 = 0 ; × 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = الوحدة 2

3. احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل محدد بخطوط حول المحور 0x: y = ; س = 1 .

حل:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 وحدة. 3

اختبار الواجب المنزلي في الرياضيات
خيارات للمهام.

الخيار 1

ص = (س + 1) 2 ; ص = 1 – س ; 0x

الخيار رقم 2

1. حل نظام المعادلات بثلاث طرق: