Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.

Функция

При решении различных задач обычно приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами.

Определение

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение или вообще или в данном процессе: в последнем случае она называется параметром.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Понятие функции

При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции).

Определение

Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский).

Обозначение y=f(x) (1)

x – независимая переменная или аргумент;

y – зависимая переменная (функция);

f – характеристика функции.

Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось.

Каждому значению радиуса соответствует значение площади круга. Площадь – функция от радиуса, определенная в бесконечном интервале

2. Функция (2). Функция определена при

Для наглядного представления поведения функции строят график функции.

Определение

Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY , координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

Например, график функции (2) – полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Простейшие функциональные зависимости

Рассмотрим несколько простейших функциональных зависимостей

1. Прямая функциональная зависимость

Определение

Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в том же соотношении.

y=kx , где k – коэффициент пропорциональности.

График функции

1. Линейная зависимость

Определение

Две переменные величины связаны линейной зависимостью, если , где - некоторые постоянные величины.

График функции

1. Обратная пропорциональная зависимость

Определение

Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в обратном отношении.

1. Квадратичная зависимость

Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид , где k – некоторая постоянная величина. График функции – парабола.

1. Синусоидальная зависимость.

При изучении периодических явлений важную роль играет синусоидальная зависимость

- функция называется гармоникой.

A – амплитуда;

Частота;

Начальная фаза.

Функция периодическая с периодом . Значения функции в точках x и x+T , отличающихся на период, одинаковы.

Функцию можно привести к виду , где . Отсюда получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой A периодом T, сдвинутая по оси ОХ на величину

T

Способы задания функции

Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ задания функции

Если функция выражена при помощи формулы, то она задана аналитически.

Например

Если функция y=f(x) задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента x , чтобы получить соответствующее значение функции.

Пример . Выполняется три действия над значением аргумента.

1. Табличный способ задания функции

Этот способ устанавливает соответствие между переменными с помощью таблицы. Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы.

Можно ли от табличного задания функции перейти к аналитическому выражению?

Заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно. Это, так называемое интерполирование функции. Поэтому, в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и при том не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула называется интерполяционной.

1. Графический способ задания функции

Аналитический и табличный способы не дают наглядного представления о функции.

Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x) , когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика.

Понятие неявной функции

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Функция y от аргумента x называется неявной, если она задана уравнением

F(x,y)=0 (1) неразрешенным относительно зависимой переменной.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y=f(x) (1). Задавая значения аргумента х, получаем значения функции y.

Можно, считая y аргументом, а х – функцией, задавать значения y и получать значения x . В таком случае уравнение (1) будет определять x , как неявную функцию от y . Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции y .

Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x, получаем явное выражение обратной функции

(2), где функция для всех допустимых значений y удовлетворяет условию

Понятие функциональной зависимости

Пусть R - ϶ᴛᴏ отношение. С одной стороны, оно имеет конкретное (постоянное) значение в данный момент времени. С другой стороны, это переменная, которая в каждый момент времени может принять неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ новое значение.

Понятие ФЗ можно применить и к первому, и ко второму случаю. При этом мы будем рассматривать только второй случай, т.к. он больше соответствует реальности.

Определœение функциональной зависимости. Пусть R – переменная отношения. X и Y – произвольные подмножества множества атрибутов R . Тогда Y функционально зависит от X , что в символическом виде записывается как X → Y (читается как ʼʼX функционально определяет Y ʼʼ) тогда и только тогда, когда для любого допустимого значения R каждое значение X связано точно с одним значением Y .

Здесь X называют детерминантом ФЗ, а Y – зависимой частью ФЗ.

Пример : Пусть R - ϶ᴛᴏ отношение Students . X – код студента͵ а Y – множество всœех атрибутов студента. Тогда X → Y , т.к. X представляет собой первичный ключ, который уникально идентифицирует запись в таблице Students .

Такое утверждение будет верно и для более общего случая: если X - ϶ᴛᴏ потенциальный ключ, то множество всœех атрибутов R всœегда функционально зависит от X .

При этом следует иметь в виду, что если в R имеется ФЗ, левая часть которой не включает потенциальный ключ, то R обладает избыточностью , что затрудняет обеспечение целостности данных и занимает лишние ресурсы системы.

В случае если ни один атрибут не должна быть опущен из левой части, то такая функциональная зависимость принято называть неприводимой (точнее, неприводимой слева ).

Пример :

{StudentID , FirstName , LastName , MiddleName } → {BirthDate } – приводимая ФЗ.

{StudentID } → {BirthDate } – неприводимая ФЗ.

Множество функциональных зависимостей принято называть неприводимым тогда и только тогда, когда оно обладает всœеми тремя перечисленными ниже свойствами:

1. Зависимая часть каждой функциональной зависимости содержит только один атрибут.

2. Детерминант каждой функциональной зависимости является неприводимым.

3. Ни одна функциональная зависимость из множества не должна быть удалена без потери информации о связях.

Рассмотрение множества неприводимых ФЗ важно для нормализации отношений.

Выделяют два вида ФЗ:

1. Тривиальные ФЗ - ϶ᴛᴏ ФЗ, в которых правая часть (Y ) является подмножеством левой части (X ). С практической точки зрения они не представляют значительного интереса, однако с точки зрения формальной теории зависимостей крайне важно учитывать их наличие.

2. Нетривиальные ФЗ . Οʜᴎ действительно являются ограничениями целостности данных, в связи с этим в дальнейшем мы будем рассматривать именно нетривиальные ФЗ.

Для определœения того в какой нормальной форме находится отношение, требуется найти всœе ФЗ. Существуют три правила Армстронга (шведский математик), позволяющие из начального множества ФЗ вывести возможные ФЗ.

Пусть A , B , C - ϶ᴛᴏ подмножества множества атрибутов отношения R , AB – объединœение этих подмножеств.

1. Правило рефлексивности . В случае если множество B является подмножеством множества А , то А → В . (По сути, это определœение тривиальной зависимости.)

2. Правило дополнения . В случае если А → B , то АС → ВС .

3. Правило транзитивности . В случае если А → B и B→C , то А → С .

Каждое из этих правил должна быть доказано на базе определœения ФЗ.

При этом в целях упрощения получения всœех ФЗ можно вывести еще несколько дополнительных правил (пусть D - ϶ᴛᴏ еще одно произвольное подмножество множества атрибутов R ):

4. Правило самоопределœения . А → А .

5. Правило декомпозиции . В случае если А → ВС , то А → B и A → C .

6. Правило объединœения . В случае если А → В и А → С , то А → ВС .

7. Правило композиции . В случае если А → B и С → D , то АС → BD .

8. Теорема всœеобщего объединœения . В случае если А→ B и C → D , то А(С – В) → BD .

Название теоремы указывает на то, что некоторые из перечисленных выше правил бывают выведены как частные случаи этой теоремы.

При этом следует иметь в виду, что эти правила не обеспечивают чёткого алгоритма получения всœех ФЗ. Более того, такого алгоритма не существует. Единственный путь - ϶ᴛᴏ перебор всœех вариантов.

Понятие функциональной зависимости - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Понятие функциональной зависимости" 2017, 2018.

Метод нормальных форм

Преподаватель

ФИО	Долж	Оклад	Стаж	Надб	Каф	Предм	Группа	ВидЗан
Иванов И.М.	преп					СУБД		Лабор
Иванов И.М.	Преп					Информ		Лабор
Петров М.И.	Ст.преп					СУБД		Лекция
Петров М.И.	Ст.преп					Графика		Лабор
Сидоров Н.Г.	Преп					Информ		Лекция
Сидоров Н.Г.	Преп					Графика		Лекция
Егоров В.В.	Преп					ПЭВМ		Лекция

Рис. 6.4. Исходное отношение ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

Неявная избыточность проявляется в одинаковых окладах у всех преподавателей и в одинаковых надбавках к окладу за одинаковый стаж. Если оклад изменится с 500 руб. до 510руб., то это значение надо изменить у всех преподавателей. Если при этом будет пропущен Сидоров, то база станет противоречивой. Это пример аномалии редактирования отношения с неявной избыточностью.

Исключение избыточности состоит в нормализации отношений.

Метод нормальных форм является классическим методом проектирования реляционных баз данных. Он основан на фундаментальном понятии зависимости между атрибутами отношений.

Атрибут В функционально зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует в точности одно значение В. Математически функциональная зависимость В от А обозначается записью А ® В. Это означает, что во всех кортежах с одинаковым значением атрибута а АТРИБУТ в БУДЕТ ИМЕТЬ ТАКЖЕ ОДНО И ТО ЖЕ ЗНАЧЕНИЕ. Атрибуты А и В могут быть составными – состоять из двух и более атрибутов. В отношении Преподаватель Функциональные зависимости следующие: ФИО ® Каф, ФИО ® Долж, Долж ® Оклад и др.

Функциональная взаимозависимость. Если существует функциональная зависимость вида А ® В и В ® А, то между А и В имеется взаимно однозначное соответствие, или функциональная взаимозависимость. Математически взаимозависимость обозначается как А « В или В « А.

Пример. Атрибут N (серия и номер паспорта) находится в функциональной взаимозависимости с атрибутом ФИО (фамилия, имя и отчество), если предполагается, что ситуация наличия в отношении полного совпадения фамилий, имен и отчеств у двух людей исключена.

Частичной функциональной зависимостью называется зависимость неключевого атрибута от части составного ключа. В отношении Преподаватель ключ является составным и состоит из атрибутов ФИО, Предмет и Группа. Все неключевые атрибуты функционально зависят от ключа с различной степенью зависимости. Например, атрибут Должность находится в функциональной зависимости от атрибута ФИО, являющегося частью ключа, т.е. находится в частичной зависимости от ключа.

Полная функциональная зависимость – зависимость неключевого атрибута от всего составного ключа. Например, атрибут ВидЗан находится в полной функциональной зависимости от составного ключа.

Атрибут С зависит от атрибута А транзитивно (существует транзитивная зависимость ), если для атрибутов А, В, С выполняются условия А ® В и В ® С, но обратная зависимость отсутствует. В примере транзитивной зависимостью связаны атрибуты:

ФИО ® Долж ® Оклад

В отношении R атрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами из R. Многозначные зависимости могут быть «один ко многим» (1:М), «многие к одному» (М:1) или «многие ко многим» (М:М), Обозначаемые соответственно: А Þ В, А Ü В и А Û В.

В рассматриваемом примере имеется многозначная зависимость М:М между атрибутами ФИО Û Предмет (один преподаватель может вести несколько предметов и один предмет могут вести несколько преподавателей).

Поскольку зависимость между атрибутами является причиной аномалий, то стараются такие отношения разделить на несколько отношений. В результате образуется совокупность связанных отношений (таблиц) со связями вида 1:1, 1:М, М:1 и М:М. Связи между таблицами отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Взаимно независимые атрибуты. Два или более атрибутов называются взаимно независимыми, если ни один из этих атрибутов не является функционально зависимым от других атрибутов. Математически отсутствие зависимости атрибута А от атрибута В обозначается как А Ø® В. Если имеет место А Ø® В и В Ø® А, то взаимная независимость обозначается А Ø= В.

Выявление зависимостей между атрибутами. Выявление зависимостей между атрибутами необходимо для выполнения проектирования базы данных методом нормальных форм.

Пример. Пусть задано отношение R со схемой R(А1, А2, А3) вида:

А1	А2	А3

Априори известно, сто существуют функциональные зависимости:

А1®А2 и А2®А3.

Из анализа видно, что в отношении существуют еще зависимости:

А1®А3, А1А2®А3, А1А2А3®А1А2, А1А2®А2А3 и т.п..

В отношении отсутствует функциональная зависимость атрибута А1 от атрибута А2 и от атрибута А3, т.е.

А2 Ø® А1, А3 Ø® А1.

Отсутствие зависимости А1 от А2 объясняется тем, что одному и тому же значению атрибута А2 (21) соответствуют разные значения атрибута А1 (12 и 17).

Все существующие функциональные зависимости в отношении составляют полное множество функциональных зависимостей , которое обозначим F + . Полное множество функциональных зависимостей может быть выведено на основе 8 аксиом вывода: рефлективности, пополнения, транзитивности, расширения, продолжения, псевдотранзитивности, объединения и декомпозиции.

В отношении Преподаватель можно вывести следующие функциональные зависимости:

ФИО ® Оклад

ФИО ® Долж

ФИО ® Стаж

ФИО ® Надб

ФИО ® Каф

Стаж ® Надб

Долж ® Оклад

Оклад ® Долж

ФИО. Предм. Группа ® Оклад

Рис. 6.5. Зависимости между атрибутами.

Предполагается, что один преподаватель в одной группе может проводить один вид занятий (лекции или лабораторные работы). ФИО – уникальны. Имеется зависимость ФИО ® Стаж, а обратное утверждение не верно, т.к. одинаковый стаж имеют несколько преподавателей. Относительно других зависимостей рассуждения аналогичны. Между должностью и окладом устанавливается взаимно однозначная зависимость.

Один преподаватель в одной группе по разным предметам может проводить разные виды занятий. Определение ВидаЗанятий связано с указанием ФИО, Предмета и Группы. Действительно, Петров М.И. в 256-й группе читает лекции и проводит лабораторные занятия, но лекции читает по СУБД, а лабораторные работы по Графике.

Зависимости между атрибутами ФИО, Предмет и Группа не выведены, т.к. они образуют составной ключ и не учитываются в процессе нормализации отношения (таблицы).

Нормальные формы. Процесс проектирования баз данных с использованием нормальных форм является итерационным и состоит в последовательном переводе отношений из первой нормальной формы в нормальные формы более высокого порядка. Каждая следующая форма ограничивает определенный тип функциональных зависимостей, устраняет соответствующие аномалии при выполнении операций над отношениями базы данных и сохраняет свойства предыдущих форм.

Выделяют следующую последовательность нормальных форм:

° Первая нормальная форма (1НФ);

° Вторая нормальная форма (2НФ);

° Третья нормальная форма (3НФ);

° Усиленная третья нормальная форма, или нормальная форма Бойса-Кодда (БКНФ);

° Четвертая нормальная форма (4НФ);

° Пятая нормальная форма (5НФ).

Первая нормальная форма Отношение находится в 1НФ, если все его атрибуты являются простыми (имеют единственное значение). Исходное отношение строится таким образом, чтобы оно было в 1НФ.

Перевод отношения в следующую нормальную форму осуществляется методом «декомпозиции без потерь», т.е. запросы (выборка данных по условию) к исходному отношению и к отношениям, полученным в результате декомпозиции, должны дать одинаковый результат.

Основной операцией метода декомпозиции является операция проекции.

Пример. Пусть в отношении R(A,B,C,D,E,…) имеется функциональная зависимость С ® D. Декомпозиция отношения R на два новых отношения R1(A, B,C,E,…) и R2(C,D) устранит функциональную зависимость атрибутов и переведет отношение R в следующую нормальную форму. Отношение R2 является проекцией отношения R на атрибуты C и D.

Исходное отношение Преподаватель имеет составной ключ ФИО, Предм, Группа и находится в 1НФ. Атрибуты Стаж, Надб, Каф, Долж, Оклад находятся в функциональной зависимости от части составного ключа – атрибута ФИО . Эта частичная зависимость приводит к явной и неявной избыточности данных, что создает проблемы их редактирования. Часть избыточности устраняется при переводе отношения во 2НФ.

Вторая нормальная форма. Отношение находится во 2НФ, если оно находится в 1НФ и каждый неключевой атрибут функционально полно зависит от первичного ключа (составного).

Для устранения частичной зависимости необходимо использовать операцию проекции, разложив исходное отношение не несколько отношений следующим образом:

° Построить проекцию без атрибутов, находящихся в частичной зависимости от первичного ключа;

° Построить проекции на части составного первичного ключа и атрибуты, зависящие от этих частей.

Переведем отношение Преподаватель во 2НФ. В результате получим два отношения R1 и R2.

R1

ФИО	Предм	Группа	ВидЗан
Иванов И.М.	СУБД		Лабор
Иванов И.М.	Информ		Лабор
Петров М.И.	СУБД		Лекция
Петров М.И.	Графика		Лабор
Сидоров Н.Г.	Информ		Лекция
Сидоров Н.Г.	Графика		Лекция
Егоров В.В.	ПЭВМ		Лекция

Рис. 6.6. Отношения базы данных ПРЕПОДАВАТЕЛЬ во 2 НФ

В отношении R1 первичный ключ составной ФИО, Предм, Группа , в отношении R2 ключ – ФИО. В результате исключена явная избыточность данных о преподавателях. В R2 по-прежнему имеет место неявное дублирование данных.

Для дальнейшего совершенствования переведем отношения в 3НФ.

Зависимости между атрибутами

Атрибут В функционально зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует только одно значение В.

Обознач-ся:А В

2. Если существует функциональная зависимость вида А В и В А, то между А и В имеется взаимосвязанное соответствие или функциональная взаимозависимость

Обозн: А В

Частичная функциональная зависимость это зависимость неключевого атрибута от части составного ключа.

Полная функциональная зависимость

Когда неключевой атрибут полностью зависит от составного ключа.

Пр: Кафедра(ФИО, должен, оклад, стаж, д_стаж, кафедра, предмет, группа, вид занятий)

ФИО кафедра

ФИО должность

Атрибут С зависит от А транзитивно если для атрибутов А,В,С выполняется условие А В и В С, но нет обратной зависимости А С

Пример. ФИО должность оклад

В отношении rатрибут В многозначно зависит от атрибута А, если каждому значению А соответствует множество значений В, не связанных с другими атрибутами изr.

Обозн. А В, А В, А В ФИО предмет

Замечание: В общем случае между двумя атрибутами одного отношения могут существовать функциональные и многозначные зависимости (1:1, 1:M,M:M) т.к. зависимость между атрибутами является причиной аномалий, то необходимо разбить отношение с зависимостями атрибутов на несколько отношений. В результате получается совокупность связанных отношений, связи между которыми отражают зависимости между атрибутами различных отношений.

Два или более атрибутов называются взаимонезависимыми, если не один из этих атрибутов не зависит функционально от других атрибутов (Обозн. А¬
В).

Выявление зависимостей между атрибутами

Выявление зависимостей между атрибутами необходимо для выполнения проектирования БД методом нормальных форм.

Основной способ определения функциональной зависимости- это внимательный анализ семантики атрибутов .

A1 A3

Кроме того, А2 ¬ А1, А3 ¬ А1

Перечисляя все существующие функциональные зависимости в отношении rполучим полное множество функциональных зависимостей, которые обозначаютсяF + .

Зная некоторые функциональные зависимости, с помощью аксиом вывода можно получить полное множество F + для какого-либо отношения.

Для отношения “кафедра”:

ФИО оклад

ФИО должность

ФИО стаж

ФИО кафедра

ФИО д_стаж

Стаж д_стаж

Должность оклад

Оклад должность

ФИО.Преподаватель.Группа Вид занятий

Нормализация отношений

В реляционной БД каждое отношение должно быть нормализовано. Нормальная форма – это ограничение на схему БД, которое позволяет избежать аномалий при добавлении, удалении и изменении данных.

Отношение считается нормализованным (1НФ), если каждое значение любого атрибута в каждом картеже является неделимым (атомарным) элементом. Такими атомарными значениями являются простые типы данных.

2НФ В основном используются три нормальных формы.

Для всех нормальных форм соблюдается правило вложенности

Преимущества нормализации :

Лучшая организация БД, что облегчает работу пользователям и администраторам БД.

Сокращается избыточность информации, что ведет за собой упрощение структуры и рациональное использование дискового пространства.

Минимизируется дублируемая информация.

Нормализация с разбиением БД на более мелкие таблицы дает большую гибкость при изменении структур данных.

Большая безопасность БД.

После нормализации БД организация защиты информации, содержащейся в ней, значительно упрощается.

Недостатки :

Снижение производительности при выполнении запросов в БД.

Определения:

Отношение находится в 1НФ, если все элементы соответствующих доменов являются атомарными для каждого атрибута в исходном отношении. Исходное отношение строится таким образом чтобы оно находилось в 1НФ.

Значение является не атомарным, если оно используется приложением по частям.

Перевод отношения в следующую нормальную форму осуществляется методом декомпозиции без потерь.

Такая декомпозиция должна обеспечивать то что запросы к исходному отношению и к отношениям, получаемым в результате декомпозиции, дадут одинаковый результат.

Основной операцией в методе является операция проекции.

r (A,B,C,D,E) C D

r1(A,B,C,E) r2(C,D)π CD (r)

Частичная зависимость от ключа неключевых атрибутов приводит к следующему:

1. В отношении имеется явное и не явное избыточное дублирование данных, например, повторение о стаже, должности и окладе преподавателя, проводящих занятия в нескольких группах и/или по разным предметам. Повторение данных об окладах для одной и той же должности или данные о надбавке за стаж.

Следствием избыточного дублирования является проблема редактирования данных. Часть избыточности устраняется при переходе в 2НФ.

Отношение находится в 2НФ, если:

Отношение находится в 1НФ.

Каждый неключевой атрибут функционально полностью зависит от первичного ключа.

Для устранения частичной зависимости и перевода отношения в 2НФ необходимо:

Построить проекцию без атрибутов, находящихся в частичной функциональной зависимости от первичного ключа.

Построить проекцию на части составного первичного ключа и атрибута, зависящие от этих частей.

В результате получим два отношения r1,r2, находящихся во 2НФ:

			Вид занятий
Иванов И.М			Практика
Иванов И.М			Практика
Петров М.И
Петров М.И			Практика
Сидоров Н.Г
Сидоров Н.Г
Егоров В.В

Переход ко 2НФ позволяет исключить явную избыточность данных в отношении r2, тем не менее, дублирование данных сохраняется и поэтому необходимо преобразоватьr2 в 3НФ.

Опр.1: Отношение находится в 3НФ, если:

Удовлетворяются все требования 2НФ.

Если каждый неключевой атрибут не транзитивно зависит от первичного ключа.

Опр.2: Отношение находится в 3НФ в том случае, если все неключевые атрибуты взаимно независимы и полностью зависят от первичного ключа.

ФИО оклад должность

ФИО стаж Д_стаж

ФИО должность оклад

Транзитивные зависимости также порождают избыточное порождение данных.

Чтобы устранить транзитивные зависимости, необходимо использовать проекцию на атрибуты, являющиеся причиной данных транзитивных зависимостей.

В результате получим:

	Д_стаж

На практике, в большинстве случаев приведение к 3НФ является достаточным, и дальнейшую нормализацию не проводят.

Если в отношении имеется зависимость атрибутов составного ключа от неключевых атрибутов, то необходимо перейти к усиленной 3НФ, она называется НФБК.

Опр. Отношение находится в НФБК, если оно находится в 3НФ, и в нем отсутствуют зависимости ключей (атрибутов составного ключа) от неключевых атрибутов.

Аннотация: В данной лекции вводится понятие функциональной зависимости. Это понятие является основой математической теории реляционных баз данных.

Информация, данные, информационные системы

Понятие функциональной зависимости в данных

Оставим пока в стороне ответ на вопрос, почему проекты реляционных баз данных бывают плохими, т.е. зачем нужно проектировать реляционную базу данных. Попытаемся сначала ответить на вопросы "В чем заключается проектирование реляционных баз данных ? и "Что лежит в основе процедур ?"

Как известно, основной единицей представления данных в реляционной модели является отношение, которое математически задается списком имен атрибутов, иначе - схемой отношения . На стадии логического проектирования реляционной базы данных проектировщик определяет и выстраивает схемы отношений в рамках некоторой предметной области, а именно - представляет сущности, группирует их атрибуты, выявляет основные связи между сущностями. Так, в самом общем смысле проектирование реляционной базы данных заключается в обоснованном выборе конкретных схем отношений из множества различных альтернативных вариантов схем.

На практике построение логической модели базы данных, независимо от используемой модели данных, выполняется с учетом двух основных требований: исключить избыточность и максимально повысить надежность данных. Эти требования вытекают из требования коллективного использования данных группой пользователей. Формальных средств описания данных, необходимых для проверки правильности заполнения конструкций моделей, явно недостаточно. Выбор сущностей, атрибутов и фиксация взаимосвязей между сущностями зависит от семантики предметной области и выполняется системным аналитиком субъективно в соответствии с его личным пониманием специфики прикладной задачи. Разные люди определяют и представляют данные по-разному.

Поэтому любое априорное знание об ограничениях предметной области, накладываемых на взаимосвязи между данными и значения данных, и знания об их свойствах и взаимоотношениях между ними может сыграть определенную роль в соблюдении указанных выше требований. Формализация таких априорных знаний о свойствах данных предметной области базы данных нашла свое отражение в концепции функциональной зависимости данных, т.е. ограничений на возможные взаимосвязи между данными, которые могут быть текущими значениями схемы отношений .

Кортежи отношений могут представлять экземпляры сущности предметной области или фиксировать их взаимосвязь. Но даже если эти кортежи определены правильно, т.е. отвечают схеме отношения и выбраны из допустимых доменов, не всякий из них может быть текущим значением некоторого отношения. Например, возраст человека редко бывает более 120 лет, или один и тот же пилот не может одновременно выполнять два различных рейса. Такие ограничения семантики домена практически не влияют на выбор той или иной схемы отношений . Они представляют собой ограничения на типы данных.

Априорные ограничения предметной области на взаимосвязь значений отдельных атрибутов оказывают наибольшее влияние на процесс проектирования схем реляционных баз данных . Соответствие по значению определенных атрибутов различных отношений базы данных, т.е. зависимость их значений друг от друга, определяет показатели надежности и корректности сохраняемых данных при их коллективном и согласованном использовании.

Вспомним определение функции как соответствия множества аргументов определенным значениям из множества определения функции и способы задания функций: формула, график и перечисление (таблица). Нетрудно понять, что функциональную зависимость (ФЗ) можно определить на довольно широком классе объектов. Определение функции не накладывает никаких ограничений на множество аргументов и множество значений функции, кроме их существования и наличия соответствия между их элементами. Поскольку ФЗ можно задать таблично, а таблица есть форма представления отношения, то становится очевидной связь между ФЗ и отношением. Отношение может задавать ФЗ. Это утверждение является первой (1) конструктивной идеей, которая положена в основу теории проектирования реляционных баз данных .

Определение 1. Пусть r (A 1 , A 2 , ..., A n) - схема отношения R , a X и Y - подмножества r . Говорят, что Х функционально определяет Y , если каждому значению атрибутов кортежа отношения из Х соответствует не более одного значения атрибутов того же кортежа отношения из Y . Такая ФЗ обозначается как .

Как видно из определения, функциональная зависимость инвариантна к изменению состояний базы данных во времени.

Пример. Понятие функциональной зависимости Продемонстрируем понятие функциональной зависимости на примере графика полетов аэропорта. ГРАФИК_ПОЛЕТОВ (Пилот, Рейс, Дата_вылета, Время_вылета)

Иванов	100	8.07	10:20
Иванов	102	9.07	13:30
Исаев	90	7.07	6:00
Исаев	100	11.07	10:20
Исаев	103	10.07	19:30
Петров	100	12.07	10:20
Петров	102	11.07	13:30
Фролов	90	8.07	6:00
Фролов	90	12.07	6:00
Фролов	104	14.07	13:30

Известно, что:

• каждому рейсу соответствует определенное время вылета;
• для каждого пилота, даты и времени вылета возможен только один рейс;
• на определенный день и рейс назначается определенный пилот.

Следовательно:

• "Время_вылета" функционально зависим от "Рейс" : "Рейс" -> "Время_{} вылета" ;
• "Рейс" функционально зависим от {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"} : {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"} -> "Рейс" ;
• "Пилот" функционально зависим от {"Рейс", "Дата_вылета"} : {"Рейс", "Дата_вылета"} -> "Пилот" .

Важной задачей при выявлении функциональных зависимостей на атрибутах отношения, которое по определению является множеством, является выяснение, какой из атрибутов выступает как аргумент, а какой - как значение ФЗ. Наиболее подходящими кандидатами в аргументы ФЗ являются возможные ключи , так как кортежи представляют экземпляры сущности , которые идентифицируются значениями атрибутов своего ключа. Нестрого говоря, функциональная зависимость имеет место на отношении, когда значения кортежа на одном множестве атрибутов однозначным образом определяют значения кортежа на другом множестве атрибутов. Это рабочее определение ФЗ не содержит в себе тех формальных элементов, которые позволяют ответить на вопрос "А как проверить наличие ФЗ между атрибутами отношения?" Необходимый для этого формализм дает нам использование реляционных операций . Для получения формального (строгого) определения наличия ФЗ в отношении обратимся к реляционным операциям .

Определение 2. Пусть имеется отношение R со схемой r , X и Y - два подмножества R . ФЗ имеет место на R , если множество имеет не более одного кортежа для каждого значения х . Такая ФЗ называется также F -зависимостью.

Как видно из определения, формальная проверка наличия ФЗ в отношении R состоит в выборе ( селекции ) отношения по значениям возможного ключа и установлении наличия однозначности между его значением и значениями других атрибутов.

Алгоритм, который проверяет, удовлетворяет ли отношение R ФЗ , состоит в сортировке отношения по значениям возможного ключа и установления факта однозначности между его значением и значениями других атрибутов. Этот алгоритм полезен, но он носит вспомогательный характер.

Ясно, что если семантика предметной области базы данных сложна, то проверить кортежи на принадлежность к ФЗ достаточно сложно. Сложно вообще установить наличие самой функциональной зависимости , отвечающей природе рассматриваемых данных. С помощью такого формального метода можно выявить ФЗ, которые не являются реальными и носят случайный характер. Проектировщику реляционных баз данных следует знать о таком методе проверки наличия ФЗ, но при проектировании новой базы данных его применение малоэффективно. Он может быть полезен при реинжиниринге существующей базы данных.

Функциональные зависимости фактически представляют собой утверждения обо всех отношениях предметной области. Эти отношения могут являться значениями схемы r и, в сущности, не могут быть получены формальными методами. Единственный способ установления функциональных зависимостей для схемы отношения r - это исследование семантики атрибутов сущностей предметной области . Являясь высказываниями о сущностях предметной области , они не могут быть доказаны. Это обстоятельство по существу порождает неединственность представления предметной области отношениями реляционной БД.

Здесь уместно высказать гипотезу о том, почему бывают хорошие и плохие проекты баз данных. Во-первых, в силу субъективности подходов к анализу предметной области аналитики могут упустить важные ФЗ. Это может привести к тому, что, работая на множестве заведомо неэквивалентных схем, проектировщик создаст неудовлетворительный проект базы данных. Во-вторых, неединственность представления предметной области отношениями приводит к проблеме выбора из множества альтернатив. При этом схема базы данных, выбранная из набора эквивалентных схем, является правильной, но может организовывать данные для пользователя непривычным образом. В-третьих, можно определить ("накроить") схемы баз данных таким образом, что в результате операций с ФЗ будут потеряны и ФЗ, и сами данные.