Casi cualquier función periódica se puede ampliar a armónicos simples utilizando una serie trigonométrica (serie de Fourier):

F(X) = + (un porque nx + bn pecado nx), (*)

Escribamos esta serie como una suma de armónicos simples, suponiendo que los coeficientes son iguales un= Un pecado jn, bn= Un porque jn. Obtenemos: un porque jn + bn pecado jn = Un pecado( nx+ jn), Dónde

Un= , tg jn = . (**)

Entonces la serie (*) en forma de armónicos simples tomará la forma F(X) = .

La serie de Fourier representa una función periódica como suma de un número infinito de sinusoides, pero con frecuencias que tienen un determinado valor discreto.

A veces norte El armónico th se escribe en la forma un porque nx + bn pecado nx = Un porque( nx – jn) , Dónde un= Un porque jn , bn= Un pecado jn .

Donde Un Y jn están determinados por fórmulas (**). Entonces la serie (*) tomará la forma

F(X) = .

Definición 9. Operación de representación de función periódica. F(X) La serie de Fourier se llama análisis armónico.

La expresión (*) también aparece en otra forma más común:

Impares un, bn están determinados por las fórmulas:

magnitud C 0 expresa el valor promedio de la función durante el período y se denomina componente constante, que se calcula mediante la fórmula:

En la teoría de las vibraciones y el análisis espectral, la representación de la función. F(t) en la serie de Fourier se escribe como:

(***)

aquellos. una función periódica está representada por la suma de términos, cada uno de los cuales es una oscilación sinusoidal con una amplitud con norte y fase inicial jn, es decir, la serie de Fourier de una función periódica consta de armónicos individuales con frecuencias que difieren entre sí en un número constante. Además, cada armónico tiene una amplitud determinada. Valores con norte Y jn deben seleccionarse adecuadamente para que se cumpla la igualdad (***), es decir, están determinadas por las fórmulas (**) [ con norte = Un].

Reescribamos la serie de Fourier (***) en la forma Dónde w 1 – frecuencia principal. De esto podemos concluir: una función periódica compleja F(t) está determinada por un conjunto de cantidades con norte Y jn .

Definición 10. Conjunto de valores con norte, es decir, la dependencia de la amplitud de la frecuencia, se llama espectro de amplitud de la función o espectro de amplitud.

Definición 11. Conjunto de valores jn se llama espectro de fase.

Cuando dicen simplemente "espectro", se refieren al espectro de amplitud; en otros casos, se hacen las reservas correspondientes. La función periódica tiene espectro discreto(es decir, se puede representar como armónicos individuales).

El espectro de una función periódica se puede representar gráficamente. Para ello elegimos las coordenadas. con norte Y w = noroeste 1 . El espectro se representará en este sistema de coordenadas mediante un conjunto de puntos discretos, porque cada valor noroeste 1 corresponde a un valor específico con n. Un gráfico que consta de puntos individuales es inconveniente. Por lo tanto, se acostumbra representar las amplitudes de los armónicos individuales mediante segmentos verticales de la longitud adecuada (Fig. 2).

Arroz. 2.

Este espectro discreto a menudo se denomina espectro lineal. Es un espectro armónico, es decir consta de líneas espectrales equiespaciadas; Las frecuencias armónicas están en múltiplos simples. Los armónicos individuales, incluido el primero, pueden estar ausentes, es decir sus amplitudes pueden ser cero, pero esto no viola la armonía del espectro.

Los espectros discretos o lineales pueden pertenecer tanto a funciones periódicas como a funciones no periódicas. En el primer caso, el espectro es necesariamente armónico.

La expansión en serie de Fourier se puede generalizar al caso de una función no periódica. Para ello es necesario aplicar el pasaje al límite en T®∞, considerando una función no periódica como caso límite de una periódica con período infinitamente creciente. En lugar de 1/ t introduzcamos la frecuencia fundamental circular w 1 = 2p/ t. Este valor es el intervalo de frecuencia entre armónicos adyacentes, cuyas frecuencias son iguales a 2p norte/t. Si t® ∞, entonces w 1® dw y 2p norte/t® w, Dónde w– frecuencia actual, que cambia continuamente, dw– su incremento. En este caso, la serie de Fourier se transformará en la integral de Fourier, que es la expansión de una función no periódica en un intervalo infinito (–∞;∞) en vibraciones armónicas, cuyas frecuencias w cambia continuamente de 0 a ∞:

Una función no periódica tiene espectros continuos o continuos, es decir En lugar de puntos individuales, el espectro se representa como una curva continua. Esto se obtiene como resultado de la transición límite de la serie a la integral de Fourier: los intervalos entre líneas espectrales individuales se reducen infinitamente, las líneas se fusionan y, en lugar de puntos discretos, el espectro se representa mediante una secuencia continua de puntos, es decir. curva continua. Funciones a(w) Y b(w) dan la ley de distribución de amplitudes y fases iniciales dependiendo de la frecuencia w.

En el capítulo anterior nos presentaron otro punto de vista sobre un sistema oscilante. Hemos visto que en una cuerda surgen varios armónicos naturales y que cualquier vibración particular que pueda obtenerse a partir de las condiciones iniciales puede considerarse como una combinación de varios armónicos naturales que oscilan simultáneamente, compuestos en la proporción adecuada. Para una cuerda, encontramos que los armónicos naturales tienen frecuencias ω 0, 2ω 0, Зω 0, .... Por lo tanto, el movimiento más general de la cuerda consiste en oscilaciones sinusoidales de la frecuencia fundamental ω 0, luego el segundo armónico 2ω 0, luego el tercer armónico 3ω 0, etc. El armónico fundamental se repite después de cada período T 1 = 2π/ω 0, el segundo armónico - después de cada período T 2 =2π/2ω 0 ; se repite También y después de cada período t 1 =2T 2 , es decir, después dos sus periodos. Exactamente de la misma manera después de un período t 1 También se repite el tercer armónico. Este segmento contiene tres de sus períodos. Y nuevamente entendemos por qué la cuerda pulsada después de un período t 1 repite completamente la forma de su movimiento. Así se produce el sonido musical.

Hasta ahora hemos hablado del movimiento de la cuerda. Sin embargo sonido, que representa el movimiento del aire provocado por el movimiento de la cuerda, también debe estar formado por los mismos armónicos, aunque aquí ya no podemos hablar de los armónicos propios del aire. Además, la fuerza relativa de los distintos armónicos en el aire puede ser muy diferente que en la cuerda, especialmente si la cuerda está "conectada" al aire por medio de una "tabla armónica". Los diferentes armónicos se relacionan con el aire de diferentes maneras.

Si para un tono musical la función F(t) representa la presión del aire en función del tiempo (digamos, como en la Fig. 50.1,6), entonces podemos esperar que F(t) se escribe como la suma de un cierto número de funciones armónicas simples del tiempo (similar a cos ω t) para cada una de las diferentes frecuencias armónicas. Si el período de oscilación es igual a T, entonces la frecuencia angular fundamental será ω=2π/T, y los siguientes armónicos serán 2ω, 3ω, etc.

Aquí es donde surge una ligera complicación. No tenemos derecho a esperar que para cada frecuencia las fases iniciales sean necesariamente iguales entre sí. Por lo tanto, es necesario utilizar funciones como cos (ωt + φ); en su lugar, sin embargo, es más fácil de usar para cada frecuencias seno y coseno. Recordemos que

y como φ es una constante, entonces cualquier Las oscilaciones sinusoidales con frecuencia co se pueden escribir como una suma de términos, uno de los cuales incluye sin ωt y el otro incluye cos ωt.

Entonces llegamos a la conclusión de que cualquier función periódica F(t) con punto t matemáticamente se puede escribir como

Dónde ω=2π/T, A A Y b - constantes numéricas que indican el peso con el que cada componente de vibración se incluye en la vibración global F(t). Para mayor generalidad, agregamos un término con frecuencia cero a 0 a nuestra fórmula, aunque generalmente es igual a cero para los tonos musicales. Esto es simplemente un cambio en el valor promedio de la presión sonora (es decir, un cambio en el nivel "cero"). Con este término nuestra fórmula es válida para cualquier caso. La ecuación (50.2) se muestra esquemáticamente en la FIG. 50.2. Amplitudes de funciones armónicas. Anorte Y bnorte se seleccionan según una regla especial. En la figura se muestran sólo de forma esquemática y no a escala. [La serie (50.2) se llama al lado de Fourier para funciones F(t).]

Dijimos que cualquier Una función periódica se puede escribir de esta forma. Es necesario hacer una pequeña enmienda y enfatizar que cualquier onda sonora o cualquier función que encontremos en física se puede expandir a dicha serie. Los matemáticos, por supuesto, pueden idear una función tal que no pueda estar compuesta de armónicos simples (por ejemplo, una función que se “envuelva” hacia atrás, de modo que para algunas cantidades t ¡tiene dos significados!). Sin embargo, aquí no tenemos que preocuparnos por estas características.

Como es sabido, en la industria eléctrica la forma sinusoidal se adopta como forma estándar para corrientes y tensiones. Sin embargo, en condiciones reales, las formas de las curvas de corriente y tensión pueden diferir en un grado u otro de las sinusoidales. Las distorsiones en la forma de las curvas de estas funciones en los receptores provocan pérdidas de energía adicionales y una disminución de su eficiencia. La forma sinusoidal de la curva de tensión del generador es uno de los indicadores de la calidad de la energía eléctrica como producto.

Son posibles las siguientes razones para la distorsión de la forma de las curvas de corriente y voltaje en un circuito complejo:

1) la presencia en el circuito eléctrico de elementos no lineales, cuyos parámetros dependen de los valores instantáneos de corriente y voltaje (por ejemplo, rectificadores, unidades de soldadura eléctrica, etc.);

2) la presencia en el circuito eléctrico de elementos paramétricos, cuyos parámetros cambian con el tiempo;

3) la fuente de energía eléctrica (generador trifásico), debido a sus características de diseño, no puede proporcionar una tensión de salida sinusoidal ideal;

4) influencia en combinación de los factores enumerados anteriormente.

Los circuitos no lineales y paramétricos se analizan en capítulos separados del curso TOE. Este capítulo examina el comportamiento de circuitos eléctricos lineales cuando se exponen a fuentes de energía con una forma de curva no sinusoidal.

Se sabe por un curso de matemáticas que cualquier función periódica de tiempo f(t) que satisfaga las condiciones de Dirichlet puede representarse mediante una serie armónica de Fourier:

Aquí A0 es un componente constante, Ak*sin(kωt+ αk) es el k-ésimo componente armónico o el k-ésimo armónico para abreviar. El primer armónico se llama fundamental y todos los armónicos posteriores se llaman superiores.

Las amplitudes de los armónicos individuales Ak no dependen del método de expansión de la función f(t) en una serie de Fourier, mientras que al mismo tiempo las fases iniciales de los armónicos individuales αk dependen de la elección de la referencia temporal (origen de las coordenadas). .

Los armónicos individuales de la serie de Fourier se pueden representar como la suma de los componentes seno y coseno:

Entonces toda la serie de Fourier se verá así:

Las relaciones entre los coeficientes de las dos formas de la serie de Fourier tienen la forma:

Si el k-ésimo armónico y sus componentes seno y coseno se reemplazan por números complejos, entonces la relación entre los coeficientes de la serie de Fourier se puede representar en forma compleja:

Si una función periódica no sinusoidal del tiempo se da (o se puede expresar) analíticamente en forma de una ecuación matemática, entonces los coeficientes de la serie de Fourier se determinan mediante fórmulas conocidas en un curso de matemáticas:

En la práctica, la función no sinusoidal f(t) en estudio generalmente se especifica en forma de diagrama gráfico (gráficamente) (Fig. 46.1) o en forma de tabla de coordenadas de puntos (tabular) en el intervalo de un período (Tabla 1). Para realizar un análisis armónico de dicha función utilizando las ecuaciones anteriores, primero se debe reemplazar por una expresión matemática. Reemplazar una función especificada gráficamente o tabularmente con una ecuación matemática se llama aproximación de función.

Actualmente, el análisis armónico de funciones de tiempo no sinusoidales f(t) suele realizarse en una computadora. En el caso más simple, se utiliza una aproximación lineal por partes para representar matemáticamente una función. Para hacer esto, toda la función en el intervalo de un período completo se divide en M = 20-30 secciones para que las secciones individuales estén lo más cerca posible de líneas rectas (Fig. 1). En secciones individuales, la función se aproxima mediante la ecuación en línea recta fm(t)=am+bm*t, donde los coeficientes de aproximación (am, bm) se determinan para cada sección a través de las coordenadas de sus puntos finales, por ejemplo, para la 1ª sección obtenemos:

El período de la función T se divide en una gran cantidad de pasos de integración N, el paso de integración Δt=h=T/N, el tiempo actual ti=hi, donde i es el número de serie del paso de integración. Las integrales definidas en las fórmulas de análisis armónico se reemplazan por las sumas correspondientes; se calculan en una computadora mediante el método trapezoidal o rectangular, por ejemplo:

Para determinar las amplitudes de los armónicos superiores con suficiente precisión (δ≤1%), el número de pasos de integración debe ser al menos 100k, donde k es el número de armónicos.

En tecnología, se utilizan dispositivos especiales llamados analizadores de armónicos para aislar los armónicos individuales de tensiones y corrientes no sinusoidales.

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CIRCUITOS DE CORRIENTE NO SINUSOIDAL

Hasta ahora hemos estudiado circuitos de corriente sinusoidal, pero la ley de cambio de corriente a lo largo del tiempo puede diferir de la sinusoidal. En este caso se producen circuitos de corriente no sinusoidales. Todas las corrientes no sinusoidales se dividen en tres grupos: periódicas, es decir. tener un periodo t(Fig. 6.1, a), no periódica (Fig. 6.1, b) y casi periódica, con una envolvente que cambia periódicamente ( t o) y período de repetición del pulso ( t yo) (Figura 6.1, c). Hay tres formas de obtener corrientes no sinusoidales: a) en el circuito actúa una FEM no sinusoidal; b) hay una FEM sinusoidal en el circuito, pero uno o más elementos del circuito no son lineales; c) en el circuito opera un EMF sinusoidal, pero los parámetros de uno o más elementos del circuito cambian periódicamente con el tiempo. En la práctica, el método b) es el más utilizado. Las corrientes no sinusoidales están más extendidas en dispositivos de ingeniería de radio, automatización, telemecánica y tecnología informática, donde a menudo se encuentran pulsos de las más diversas formas. Las corrientes no sinusoidales también se encuentran en la industria eléctrica. Consideraremos únicamente voltajes y corrientes periódicas no sinusoidales que pueden descomponerse en componentes armónicos.

Expansión de curvas periódicas no sinusoidales en series trigonométricas de Fourier

Los fenómenos que ocurren en circuitos lineales con voltajes y corrientes periódicos no sinusoidales se pueden calcular y estudiar más fácilmente si las curvas no sinusoidales se expanden a una serie trigonométrica de Fourier. Se sabe por las matemáticas que la función periódica f(ωt), satisfaciendo las condiciones de Dirichlet, es decir tener en cualquier intervalo de tiempo finito un número finito de discontinuidades de sólo el primer tipo y un número finito de máximos y mínimos, se puede expandir a una serie trigonométrica de Fourier

f(ωt)=A oh +
sinωt+
sen2ωt+
sin3ωt+···+
costoωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

A oh +
.

Aquí: A oh– componente constante o armónico cero;
- amplitud del componente seno k th armónicos;
- amplitud del coseno kº armónicos. Están determinados por las siguientes fórmulas.

Desde donde, como se desprende del diagrama vectorial (Fig. 6.2), obtenemos

.

Los términos incluidos en esta expresión se denominan armónicos. Incluso hay ( k– pares) y armónicos impares. El primer armónico se llama fundamental y el resto se llama superior. La última forma de la serie de Fourier es útil cuando se necesita conocer el contenido porcentual de cada armónico. Se utiliza la misma forma de la serie de Fourier al calcular circuitos de corriente no sinusoidales. Aunque teóricamente la serie de Fourier contiene un número infinitamente grande de términos, normalmente converge rápidamente. y una serie convergente puede expresar una función dada con cualquier grado de precisión. En la práctica, basta con tomar una pequeña cantidad de armónicos (3-5) para obtener una precisión de cálculo de varios por ciento.

Características del desarrollo en serie de Fourier de curvas con simetría.

1. Las curvas cuyo valor medio en el período es cero no contienen componente constante (armónico cero). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), entonces se dice que es simétrico con respecto al eje de abscisas. Este tipo de simetría se puede determinar fácilmente por la forma de la curva: si la desplaza medio período a lo largo del eje de abscisas, la refleja y al mismo tiempo se fusiona con la curva original (Fig. 6.3), entonces hay simetría. Cuando dicha curva se expande a una serie de Fourier, esta última no contiene un componente constante ni todos los armónicos pares, ya que no satisfacen la condición f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
pecado(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Si la función satisface la condición f(ωt)=f(-ωt), entonces se llama simétrico con respecto al eje de ordenadas (par). Este tipo de simetría es fácil de determinar por el tipo de curva: si la curva que se encuentra a la izquierda del eje de ordenadas se refleja y se fusiona con la curva original, entonces hay simetría (figura 6.4). Cuando dicha curva se expande a una serie de Fourier, esta última carecerá de los componentes sinusoidales de todos los armónicos ( = f(ωt)=f(-ωt). Por lo tanto, para tales curvas

f(ωt)=A oh +
costoωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Si la función satisface la condición f(ωt)=-f(-ωt), entonces se llama simétrico con respecto al origen (impar). La presencia de este tipo de simetría se puede determinar fácilmente por la forma de la curva: si la curva que se encuentra a la izquierda del eje de ordenadas se gira con respecto a puntos origen y se fusiona con la curva original, entonces hay simetría (Fig. 6.5). Cuando dicha curva se expande a una serie de Fourier, esta última carecerá de los componentes coseno de todos los armónicos (
= 0) porque no cumplen la condición f(ωt)=-f(-ωt). Por lo tanto, para tales curvas

f(ωt)=
sinωt+
sen2ωt+
sin3ωt+···.

Si hay alguna simetría en las fórmulas para Y puedes tomar la integral durante medio período, pero duplicar el resultado, es decir usar expresiones

Existen varios tipos de simetría en las curvas al mismo tiempo. Para facilitar la cuestión de los componentes armónicos en este caso, complete la tabla

tipo de simetría	expresión analítica
1. eje X	f(ωt)=-f(ωt+π)		Sólo números impares
2. Ejes Y	f(ωt)=f(-ωt)
3. Orígenes	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Ejes de abscisas y ordenadas	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			Extraño
5. Ejes de abscisas y orígenes.	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		Extraño

Al expandir una curva a una serie de Fourier, primero debe averiguar si tiene algún tipo de simetría, cuya presencia le permita predecir de antemano qué armónicos estarán en la serie de Fourier y no realizar trabajos innecesarios.

Expansión gráfico-analítica de curvas en una serie de Fourier.

Cuando una curva no sinusoidal viene dada por una gráfica o tabla y no tiene expresión analítica, para determinar sus armónicos se recurre a la descomposición grafoanalítica. Se basa en sustituir una integral definida por la suma de un número finito de términos. A estos efectos, el período de la función f(ωt) dividido en norte partes iguales Δ ωt= 2π/ norte(Figura 6.6). Entonces para el armónico cero

Dónde: R– índice actual (número de sección), tomando valores del 1 al norte; F R (ωt) – valor de la función f(ωt) en ωt=р·Δ ωt(ver Fig.6.6) . Para la amplitud del componente seno. k-ésimos armónicos

Para la amplitud del componente coseno. k-ésimos armónicos

Aquí pecado pag kωt Y porque pag kωt- valores fregaderoωt Y coskωt en ωt=р·. En cálculos prácticos se suele tomar norte=18 (Δ ωt= 20˚) o norte=24 (Δ ωt= 15). Al descomponer gráficamente y analíticamente curvas en una serie de Fourier, es incluso más importante que analíticamente descubrir si tiene algún tipo de simetría, cuya presencia reduce significativamente la cantidad de trabajo computacional. Entonces, las fórmulas para Y en presencia de simetría toma la forma

Al trazar armónicos en un gráfico general, es necesario tener en cuenta que la escala a lo largo del eje de abscisas para k-ésimo armónico en k veces más que el primero.

Valores máximos, medios y efectivos de cantidades no sinusoidales.

Las cantidades periódicas no sinusoidales, además de sus componentes armónicos, se caracterizan por valores máximos, medios y efectivos. Valor máximo A m es el valor más grande del módulo de función durante el período (figura 6.7). El valor promedio del módulo se determina de la siguiente manera

.

Si la curva es simétrica con respecto al eje x y nunca cambia de signo durante el medio período, entonces el valor absoluto promedio es igual al valor promedio del medio período.

,

Además, en este caso, el inicio del cómputo del tiempo debe elegirse de modo que F( 0)= 0. Si una función nunca cambia de signo durante todo el período, entonces su valor absoluto promedio es igual al componente constante. En circuitos de corriente no sinusoidales, los valores de FEM, tensiones o corrientes se entienden como sus valores efectivos, determinados por la fórmula

.

Si la curva se expande en una serie de Fourier, entonces su valor efectivo se puede determinar de la siguiente manera

Expliquemos el resultado. Producto de sinusoides de diferentes frecuencias ( kω Y yoω) es una función armónica y la integral durante un período de cualquier función armónica es cero. La integral, ubicada bajo el signo de la primera suma, se determinó en circuitos de corriente sinusoidal y allí se mostró su valor. Por eso,

.

De esta expresión se deduce que el valor efectivo de cantidades periódicas no sinusoidales depende únicamente de los valores efectivos de sus armónicos y no depende de sus fases iniciales. ψ k. Pongamos un ejemplo. Dejar tu=120
pecado(314 t+45˚)-50sin(3·314 t-75˚) B. Su significado real

Hay casos en los que los valores promedio absoluto y efectivo de cantidades no sinusoidales se pueden calcular basándose en la integración de la expresión analítica de la función, y luego no es necesario expandir la curva en una serie de Fourier. En la industria de la energía eléctrica, donde las curvas son predominantemente simétricas con respecto al eje x, se utilizan varios coeficientes para caracterizar su forma. Tres de ellos son los más utilizados: factor de cresta k a, factor de forma k f y factor de distorsión k Y. Se definen así: k un = A metro/ A; /A Casarse; k y = A 1 /A. Para una sinusoide tienen los siguientes significados: k un =; k f = π A metro / 2A metro ≈1,11; 1.D Para una curva rectangular (Fig. 6.8, a), los coeficientes son los siguientes: k a =1; k f=1; k y =1,26/. Para una curva con forma puntiaguda (pico) (Fig. 6.8, b), los valores de los coeficientes son los siguientes: k a > y cuanto más alto, más en forma de pico es su forma; k f >1,11 y cuanto más puntiaguda es la curva, más alta es; k Y<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УMostramos una de las aplicaciones prácticas del coeficiente de distorsión. Las curvas de tensión industriales suelen diferir de una onda sinusoidal ideal. En la industria eléctrica se introduce el concepto de curva prácticamente sinusoidal. Según GOST, la tensión de las redes industriales se considera prácticamente sinusoidal si la mayor diferencia entre las ordenadas correspondientes de la curva verdadera y su primer armónico no supera el 5% de la amplitud del armónico fundamental (Fig. 6.9). Medir cantidades no sinusoidales con instrumentos de diferentes sistemas da resultados diferentes. Los voltímetros electrónicos de amplitud miden valores máximos. Los dispositivos magnetoeléctricos reaccionan sólo al componente constante de las cantidades medidas. Los dispositivos magnetoeléctricos con rectificador miden el valor del módulo promedio. Los instrumentos de todos los demás sistemas miden valores efectivos.

Cálculo de circuitos de corriente no sinusoidales.

Si en el circuito hay una o más fuentes con EMF no sinusoidal, entonces su cálculo se divide en tres etapas. 1. Descomposición de fuentes EMF en componentes armónicos. Cómo hacer esto se analiza anteriormente. 2. Aplicación del principio de superposición y cálculo de corrientes y tensiones en el circuito a partir de la acción de cada componente del EMF por separado. 3. Consideración conjunta (resumen) de las soluciones obtenidas en el apartado 2. Sumar los componentes en forma general suele ser difícil y no siempre necesario, ya que a partir de los componentes armónicos se puede juzgar tanto la forma de la curva como las cantidades básicas que la caracterizan. ACERCA DE
El escenario principal es el segundo. Si una FEM no sinusoidal está representada por una serie de Fourier, entonces dicha fuente puede considerarse como una conexión en serie de una fuente de FEM constante y fuentes de FEM sinusoidales con diferentes frecuencias (figura 6.10). Aplicando el principio de superposición y considerando la acción de cada EMF por separado, es posible determinar las componentes de las corrientes en todas las ramas del circuito. Dejar mi o crea I Oh, mi 1 - i 1 , mi 2 - i 2, etc Entonces la corriente real i=I o + i 1 +i 2 +··· . En consecuencia, el cálculo de un circuito de corriente no sinusoidal se reduce a resolver un problema con una FEM constante y varios problemas con una FEM sinusoidal. A la hora de resolver cada uno de estos problemas es necesario tener en cuenta que para diferentes frecuencias las reactancias inductiva y capacitiva no son iguales. La reactancia inductiva es directamente proporcional a la frecuencia, por lo que es k armónicos X Lc = kωL=kx L1, es decir Para k-ésimo armónico en el que se encuentra k veces más que el primero. La capacitancia es inversamente proporcional a la frecuencia, por lo que es k armónicos XСk =1/ kωС=X C1/ k, es decir. Para k-ésimo armónico en el que se encuentra k veces menos que el primero. La resistencia activa, en principio, también depende de la frecuencia debido al efecto de superficie, sin embargo, con secciones transversales pequeñas de conductores y a bajas frecuencias, el efecto de superficie está prácticamente ausente y es aceptable suponer que la resistencia activa es la misma para todos los armónicos. Si se suministra un voltaje no sinusoidal directamente a la capacitancia, entonces, para k-ésimos armónicos actuales

h Cuanto mayor sea el número de armónicos, menor será la resistencia de capacitancia. Por lo tanto, incluso si la amplitud de voltaje de un armónico de alto orden es una pequeña fracción de la amplitud del primer armónico, aún puede causar una corriente comparable o mayor que la corriente fundamental. En este sentido, incluso a una tensión cercana a la sinusoidal, la corriente en el tanque puede resultar marcadamente no sinusoidal (figura 6.11). En este sentido, se dice que la capacitancia enfatiza las corrientes armónicas elevadas. Si se aplica un voltaje no sinusoidal directamente a la inductancia, entonces para k-ésimos armónicos actuales

.

CON
A medida que aumenta el orden armónico, aumenta la reactancia inductiva. Por tanto, en la corriente que pasa por la inductancia los armónicos más altos están representados en menor medida que en la tensión en sus terminales. Incluso con una tensión marcadamente no sinusoidal, la curva de corriente en la inductancia a menudo se aproxima a una sinusoide (figura 6.12). Por tanto, dicen que la inductancia acerca la curva de corriente a una onda sinusoidal. Al calcular cada componente armónico de la corriente, se puede utilizar un método complejo y construir diagramas vectoriales, pero es inaceptable realizar sumas geométricas de vectores y sumas de complejos de voltajes o corrientes de diferentes armónicos. De hecho, los vectores que representan, digamos, las corrientes del primer y tercer armónico, giran a diferentes velocidades (figura 6.13). Por lo tanto, la suma geométrica de estos vectores da el valor instantáneo de su suma sólo cuando ω t=0 y en el caso general no tiene sentido.

Potencia de corriente no sinusoidal

Al igual que en los circuitos de corriente sinusoidal, hablaremos de las potencias consumidas por una red pasiva de dos terminales. La potencia activa también significa el valor medio de la potencia instantánea durante un período.

Deje que el voltaje y la corriente en la entrada de la red de dos terminales estén representados por la serie de Fourier

sustituyamos los valores tu Y i en la fórmula R

El resultado se obtuvo teniendo en cuenta que la integral durante el período del producto de sinusoides de diferentes frecuencias es igual a cero, y la integral durante el período del producto de sinusoides de la misma frecuencia se determinó en la sección de sinusoidales. circuitos actuales. Por tanto, la potencia activa de la corriente no sinusoidal es igual a la suma de las potencias activas de todos los armónicos. Está claro que R k se puede determinar utilizando cualquier fórmula conocida. Por analogía con la corriente sinusoidal, para la corriente no sinusoidal se introduce el concepto de potencia total como el producto de los valores efectivos de tensión y corriente, es decir S=IU. Actitud R A S se llama factor de potencia y es igual al coseno de un cierto ángulo convencional θ , es decir. porque θ =PD. En la práctica, muy a menudo las tensiones y corrientes no sinusoidales se sustituyen por sinusoides equivalentes. En este caso, se deben cumplir dos condiciones: 1) el valor efectivo de la sinusoide equivalente debe ser igual al valor efectivo de la cantidad que se reemplaza; 2) el ángulo entre las sinusoides equivalentes de voltaje y corriente θ debería ser tal que interfaz de usuario porque θ sería igual a la potencia activa R. Por eso, θ es el ángulo entre las sinusoides equivalentes de voltaje y corriente. Normalmente, el valor efectivo de las sinusoides equivalentes está cerca del valor efectivo de los armónicos fundamentales. Por analogía con la corriente sinusoidal, para la corriente no sinusoidal se introduce el concepto de potencia reactiva, definida como la suma de las potencias reactivas de todos los armónicos.

Para corriente no sinusoidal en contraposición a sinusoidal S 2 ≠PAG 2 +q 2. Por lo tanto, aquí se introduce el concepto de poder de distorsión. t, que caracteriza la diferencia en las formas de las curvas de voltaje y corriente y se define de la siguiente manera

Mayores armónicos en sistemas trifásicos.

En sistemas trifásicos, normalmente las curvas de tensión en las fases B y C reproducen exactamente la curva de la fase A con un desplazamiento de un tercio de período. Así que si tu A = f(ωt), Eso tu B = f(ωt- 2π/ 3), A tu C = f(ωt+ 2π/ 3). Supongamos que los voltajes de fase no son sinusoidales y se expanden en una serie de Fourier. Entonces considera k-ésimo armónico en las tres fases. Dejar tu ak = Ud. km sin( kωt+ψ k), entonces obtenemos tu Vk = Ud. km sin( kωt+ψ k -k 2π/ 3) y tu Cc = Ud. km sin( kωt+ψ k +k 2π/ 3). Comparando estas expresiones para diferentes valores k, observamos que para armónicos divisibles por tres ( k=3norte, norte– una serie natural de números, comenzando desde 0) en todas las fases las tensiones en cualquier momento tienen el mismo valor y dirección, es decir formar un sistema de secuencia cero. En k=3norte+ 1, los armónicos forman un sistema de tensión, cuya secuencia coincide con la secuencia de las tensiones reales, es decir Forman un sistema de secuencia directa. En k=3norte- 1, los armónicos forman un sistema de tensión cuya secuencia es opuesta a la secuencia de las tensiones reales, es decir Forman un sistema de secuencia inversa. En la práctica, la mayoría de las veces faltan tanto el componente constante como todos los armónicos pares, por lo que en el futuro nos limitaremos a considerar solo los armónicos impares. Entonces el armónico más cercano que forma la secuencia inversa es el quinto. En los motores eléctricos causa el mayor daño, por eso es con él con quien libran una lucha despiadada. Consideremos las características del funcionamiento de sistemas trifásicos provocadas por la presencia de armónicos múltiplos de tres. 1 . Cuando los devanados de un generador o transformador se conectan formando un triángulo (figura 6.14), a través de las ramas de este último fluyen corrientes armónicas múltiplos de tres, incluso en ausencia de una carga externa. De hecho, la suma algebraica de la fem de armónicos que son múltiplos de tres ( mi 3 , mi 6, etc.), en un triángulo tiene un valor triple, a diferencia de los demás armónicos, para los cuales esta suma es cero. Si la resistencia de fase del devanado para el tercer armónico z 3, entonces la corriente del tercer armónico en el circuito triangular será I 3 =mi 3 /z 3. De manera similar, la corriente del sexto armónico I 6 =mi 6 /z 6, etc El valor efectivo de la corriente que fluye a través de los devanados será
. Dado que la resistencia de los devanados del generador es pequeña, la corriente puede alcanzar valores grandes. Por lo tanto, si hay armónicos divisibles por tres en la fase EMF, los devanados del generador o transformador no están conectados en triángulo. 2 . Si conecta los devanados de un generador o transformador en un triángulo abierto (figura 6.155), en sus terminales habrá un voltaje igual a la suma de la FEM de los armónicos, múltiplos de tres, es decir. tu BX = 3 mi 3m pecado(3 ωt+ψ 3)+3mi 6m pecado(6 ωt+ψ 6)+3mi 9m pecado(9 ωt+ψ 9)+···. Su significado real

.

Por lo general, se utiliza un delta abierto antes de conectar los devanados del generador en un delta normal para comprobar la posibilidad de una implementación sin problemas de este último. 3. Las tensiones lineales, independientemente del esquema de conexión de los devanados del generador o del transformador, no contienen armónicos múltiplos de tres. Cuando se conectan mediante un triángulo, los EMF de fase que contienen armónicos múltiplos de tres se compensan mediante la caída de voltaje a través de la resistencia interna de la fase del generador. De hecho, según la segunda ley de Kirchhoff para la tercera, por ejemplo, los armónicos del circuito de la figura 6.14 se pueden escribir Ud. AB3+ I 3 z 3 =mi 3, de donde obtenemos Ud. AB3=0. Lo mismo ocurre con cualquiera de los armónicos que sean múltiplos de tres. Cuando se conectan en estrella, los voltajes lineales son iguales a la diferencia en los EMF de fase correspondientes. Para armónicos que son múltiplos de tres, cuando se componen estas diferencias, los EMF de fase se destruyen, ya que forman un sistema de secuencia cero. Por tanto, las tensiones de fase pueden contener componentes de todos los armónicos y su valor efectivo. En las tensiones lineales no existen armónicos que sean múltiplos de tres, por lo que su valor efectivo es . En este sentido, en presencia de armónicos múltiplos de tres, Ud. l/ Ud. F<
. 4. En circuitos sin hilo neutro, las corrientes armónicas divisibles por tres no pueden cerrarse, ya que forman un sistema de secuencia cero y sólo pueden cerrarse si este último está presente. En este caso, entre los puntos cero del receptor y la fuente, incluso en el caso de una carga simétrica, aparece una tensión igual a la suma de las fem de los armónicos múltiplos de tres, lo que es fácil de comprobar a partir de la ecuación de la segunda ley de Kirchhoff, teniendo en cuenta que no existen corrientes de estos armónicos. El valor instantáneo de este voltaje. tu 0 1 0 =mi 3m pecado(3 ωt+ψ 3)+mi 6m pecado(6 ωt+ψ 6)+mi 9m pecado(9 ωt+ψ 9)+···. Su significado real
. 5. En un circuito estrella-estrella con cable neutro (Fig. 6.16), este último cerrará corrientes armónicas múltiplos de tres, incluso en el caso de una carga simétrica, si los EMF de fase contienen los armónicos indicados. Considerando que los armónicos que son múltiplos de tres forman un sistema de secuencia cero, podemos escribir

En muchos casos, la tarea de obtener (calcular) el espectro de una señal se ve así. Existe un ADC que, con una frecuencia de muestreo Fd, convierte una señal continua que llega a su entrada durante el tiempo T en muestras digitales - N piezas. A continuación, la matriz de muestras se introduce en un determinado programa que produce N/2 de algunos valores numéricos (el programador que robado de internet escribió un programa, asegura que hace la transformada de Fourier).

Para comprobar si el programa funciona correctamente, formaremos una matriz de muestras como la suma de dos sinusoides sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) y la introduciremos en el programa. . El programa dibujó lo siguiente:

Fig.1 Gráfico de la función de tiempo de señal

Fig.2 Gráfico del espectro de señal

En el gráfico del espectro hay dos barras (armónicos) de 5 Hz con una amplitud de 0,5 V y 10 Hz con una amplitud de 1 V, todo es igual que en la fórmula de la señal original. ¡Todo está bien, programador bien hecho! El programa funciona correctamente.

Esto significa que si aplicamos una señal real procedente de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar formado por dos armónicos.

Total, nuestro real señal medida, dura 5 segundos, digitalizado por el ADC, es decir, representado discreto cuenta, tiene discreto no periódico rango.

Desde un punto de vista matemático, ¿cuántos errores hay en esta frase?

Ahora las autoridades han decidido, decidimos que 5 segundos es demasiado, midamos la señal en 0,5 segundos.



Fig.3 Gráfica de la función sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) para un período de medición de 0,5 segundos

Fig.4 Espectro de funciones

¡Algo no parece estar bien! El armónico de 10 Hz se dibuja normalmente, pero en lugar del stick de 5 Hz, aparecen varios armónicos extraños. Buscamos en Internet para ver qué está pasando...

Bueno, dicen que necesitas agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujará normalmente.

Fig.5 Ceros añadidos hasta 5 segundos

Fig.6 Espectro recibido

Todavía no es lo mismo que a los 5 segundos. Tendremos que lidiar con la teoría. Vamos a Wikipedia- fuente de conocimiento.

2. Función continua y su representación en series de Fourier

Matemáticamente, nuestra señal con una duración de T segundos es una determinada función f(x) especificada en el intervalo (0, T) (X en este caso es el tiempo). Una función así siempre se puede representar como una suma de funciones armónicas (seno o coseno) de la forma:

K - número de función trigonométrica (número de componente armónico, número armónico)
T - segmento donde se define la función (duración de la señal)
Ak es la amplitud del k-ésimo componente armónico,
?k- fase inicial del k-ésimo componente armónico

¿Qué significa “representar una función como la suma de una serie”? Esto quiere decir que sumando los valores de las componentes armónicas de la serie de Fourier en cada punto, obtenemos el valor de nuestra función en este punto.

(Más estrictamente, la desviación cuadrática media de la serie de la función f(x) tenderá a cero, pero a pesar de la convergencia cuadrática media, la serie de Fourier de una función, en términos generales, no es necesaria para converger puntualmente a él. Consulte https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Esta serie también se puede escribir como:

(2),
donde , k-ésima amplitud compleja.

La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes fórmulas:

Tenga en cuenta que estas tres representaciones de la serie de Fourier son completamente equivalentes. A veces, cuando se trabaja con series de Fourier, es más conveniente utilizar exponentes del argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, utilizar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero nos conviene utilizar la fórmula (1), donde la serie de Fourier se presenta como una suma de cosenos con sus correspondientes amplitudes y fases. En cualquier caso, es incorrecto decir que la transformada de Fourier de una señal real dará como resultado amplitudes armónicas complejas. Como dice correctamente Wiki, "La transformada de Fourier (?) es una operación que asocia una función de una variable real con otra función, también una variable real".

Total:
La base matemática para el análisis espectral de señales es la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier permite representar una función continua f(x) (señal), definida en el segmento (0, T) como la suma de un número infinito (serie infinita) de funciones trigonométricas (seno y/o coseno) con ciertas amplitudes y fases, también consideradas en el segmento (0, T). Esta serie se llama serie de Fourier.

Observemos algunos puntos más, cuya comprensión es necesaria para la correcta aplicación de la transformada de Fourier al análisis de señales. Si consideramos la serie de Fourier (la suma de las sinusoides) en todo el eje X, podemos ver que fuera del segmento (0, T) la función representada por la serie de Fourier repetirá periódicamente nuestra función.

Por ejemplo, en la gráfica de la Fig. 7, la función original está definida en el segmento (-T\2, +T\2), y la serie de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje x.

Esto sucede porque las sinusoides en sí mismas son funciones periódicas y, en consecuencia, su suma será una función periódica.

Fig.7 Representación de una función original no periódica mediante una serie de Fourier

De este modo:

Nuestra función original es continua, no periódica, definida en un determinado segmento de longitud T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se presenta como una serie infinita de componentes armónicos: la serie de Fourier.
De hecho, la serie de Fourier define una determinada función periódica que coincide con la nuestra en el segmento (0, T), pero para nosotros esta periodicidad no es significativa.

Los períodos de las componentes armónicas son múltiplos del valor del segmento (0, T) en el que se define la función original f(x). En otras palabras, los períodos armónicos son múltiplos de la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el período del primer armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T en el que se define la función f(x). El período del segundo armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T/2. Y así sucesivamente (ver Fig. 8).

Fig.8 Períodos (frecuencias) de los componentes armónicos de la serie de Fourier (aquí T = 2?)

En consecuencia, las frecuencias de los componentes armónicos son múltiplos de 1/T. Es decir, las frecuencias de las componentes armónicas Fk son iguales a Fk = k\T, donde k va de 0 a ?, por ejemplo k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (a frecuencia cero - componente constante).

Sea nuestra función original una señal registrada durante T = 1 seg. Entonces el período del primer armónico será igual a la duración de nuestra señal T1=T=1 seg y la frecuencia del armónico será de 1 Hz. El período del segundo armónico será igual a la duración de la señal dividida por 2 (T2=T/2=0,5 seg) y la frecuencia será de 2 Hz. Para el tercer armónico T3=T/3 seg y la frecuencia es 3 Hz. Etcétera.

El paso entre armónicos en este caso es de 1 Hz.

Así, una señal que dura 1 segundo se puede descomponer en componentes armónicos (obteniendo un espectro) con una resolución de frecuencia de 1 Hz.
Para aumentar la resolución 2 veces a 0,5 Hz, debe aumentar la duración de la medición 2 veces, hasta 2 segundos. Una señal que dura 10 segundos se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resolución de frecuencia.

Hay una manera de aumentar artificialmente la duración de una señal agregando ceros a la matriz de muestras. Pero no aumenta la resolución de frecuencia real.

3. Señales discretas y transformada discreta de Fourier.

Con el desarrollo de la tecnología digital, los métodos de almacenamiento de datos de medición (señales) también han cambiado. Si antes una señal podía grabarse en una grabadora y almacenarse en cinta en forma analógica, ahora las señales se digitalizan y almacenan en archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de números (muestras).

El esquema habitual para medir y digitalizar una señal es el siguiente.

Fig.9 Diagrama del canal de medición.

La señal del transductor de medición llega al ADC durante un período de tiempo T. Las muestras de señal (muestreo) obtenidas durante el tiempo T se transmiten a la computadora y se almacenan en la memoria.

Fig. 10 Señal digitalizada - N muestras recibidas durante el tiempo T

¿Cuáles son los requisitos para los parámetros de digitalización de señales? Un dispositivo que convierte una señal analógica de entrada en un código discreto (señal digital) se llama convertidor analógico a digital (ADC) (Wiki).

Uno de los principales parámetros del ADC es la frecuencia máxima de muestreo (o frecuencia de muestreo, frecuencia de muestreo en inglés): la frecuencia de muestreo de una señal continua en el tiempo al muestrearla. Se mide en hercios. ((Wiki))

Según el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, entonces puede reconstruirse completa y exclusivamente a partir de muestras discretas tomadas en intervalos de tiempo, es decir, con frecuencia Fd? 2*Fmax, donde Fd es la frecuencia de muestreo; Fmax: frecuencia máxima del espectro de la señal. Es decir, la frecuencia de digitalización de la señal (frecuencia de muestreo ADC) debe ser al menos 2 veces mayor que la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.

¿Qué pasará si tomamos muestras con una frecuencia menor que la requerida por el teorema de Kotelnikov?

En este caso, se produce el efecto “aliasing” (también conocido como efecto estroboscópico, efecto muaré), en el que una señal de alta frecuencia, después de la digitalización, se convierte en una señal de baja frecuencia, que en realidad no existe. En la Fig. 5 ondas sinusoidales rojas de alta frecuencia son una señal real. Una sinusoide azul de menor frecuencia es una señal ficticia que surge debido al hecho de que durante el tiempo de muestreo tiene tiempo de pasar más de la mitad del período de la señal de alta frecuencia.

Arroz. 11. La aparición de una señal falsa de baja frecuencia con una frecuencia de muestreo insuficientemente alta

Para evitar el efecto de aliasing, se coloca un filtro anti-aliasing especial frente al ADC: un filtro de paso bajo (LPF), que deja pasar frecuencias por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y corta las frecuencias más altas.

Para calcular el espectro de una señal a partir de sus muestras discretas se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT). Observemos una vez más que el espectro de una señal discreta "por definición" está limitado por la frecuencia Fmax, que es menos de la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por tanto, el espectro de una señal discreta se puede representar mediante la suma de un número finito de armónicos, a diferencia de la suma infinita de la serie de Fourier de una señal continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. Según el teorema de Kotelnikov, la frecuencia máxima de un armónico debe ser tal que represente al menos dos muestras, por lo tanto, el número de armónicos es igual a la mitad del número de muestras de una señal discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, entonces el número de armónicos en el espectro será igual a N/2.

Consideremos ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).

Comparando con series de Fourier

Vemos que coinciden, excepto que el tiempo en la DFT es de naturaleza discreta y el número de armónicos está limitado por N/2, la mitad del número de muestras.

Las fórmulas DFT están escritas en variables enteras adimensionales k, s, donde k son los números de muestras de señales, s son los números de componentes espectrales.
El valor s muestra el número de oscilaciones armónicas completas durante el período T (duración de la medición de la señal). La transformada discreta de Fourier se utiliza para encontrar las amplitudes y fases de los armónicos mediante un método numérico, es decir, "en la computadora"

Volviendo a los resultados obtenidos al principio. Como se mencionó anteriormente, al expandir una función no periódica (nuestra señal) a una serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una función periódica con período T (Fig. 12).

Fig. 12 Función periódica f(x) con período T0, con período de medición T>T0

Como se puede observar en la Fig. 12, la función f(x) es periódica con período T0. Sin embargo, debido a que la duración de la muestra de medición T no coincide con el período de la función T0, la función obtenida como una serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta función contendrá una gran cantidad de armónicos de alta frecuencia. Si la duración de la muestra de medición T coincidiera con el período de la función T0, entonces el espectro obtenido después de la transformada de Fourier contendría solo el primer armónico (sinusoide con un período igual a la duración del muestreo), ya que la función f(x) es una sinusoide.

En otras palabras, el programa DFT "no sabe" que nuestra señal es una "parte de una sinusoide", pero intenta representar una función periódica en forma de una serie, que tiene una discontinuidad debido a la inconsistencia de las partes individuales de una sinusoide.

Como resultado, aparecen armónicos en el espectro, que deberían resumir la forma de la función, incluida esta discontinuidad.

Así, para obtener el espectro “correcto” de una señal, que es la suma de varias sinusoides con diferentes períodos, es necesario que en el período de medición de la señal quepa un número entero de períodos de cada sinusoide. En la práctica, esta condición se puede cumplir durante una duración suficientemente larga de medición de la señal.

Fig. 13 Ejemplo de función y espectro de la señal de error cinemático del cambio

Con una duración más corta, la imagen se verá “peor”:

Fig. 14 Ejemplo de función y espectro de una señal de vibración del rotor

En la práctica, puede resultar difícil entender dónde están los “componentes reales” y dónde están los “artefactos” causados ​​por los períodos no múltiples de los componentes y la duración del muestreo de la señal o los “saltos y roturas” en la forma de la señal. . Por supuesto, las palabras “componentes reales” y “artefactos” están entre comillas por una razón. La presencia de muchos armónicos en el gráfico del espectro no significa que nuestra señal realmente “consista” de ellos. Esto es lo mismo que pensar que el número 7 “consta” de los números 3 y 4. El número 7 se puede representar como la suma de los números 3 y 4; esto es correcto.

Entonces nuestra señal... o más bien ni siquiera “nuestra señal”, sino una función periódica compuesta por la repetición de nuestra señal (muestreo) se puede representar como una suma de armónicos (ondas sinusoidales) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos que son importantes para la práctica (ver las figuras anteriores), es posible asociar los armónicos obtenidos en el espectro con procesos reales que son de naturaleza cíclica y contribuyen significativamente a la forma de la señal.

Algunos resultados

1. Una señal real medida con una duración de T segundos, digitalizada por un ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no periódico, representado por un conjunto de armónicos (N/ 2 piezas).

2. La señal está representada por un conjunto de valores reales y su espectro está representado por un conjunto de valores reales. Las frecuencias armónicas son positivas. El hecho de que a los matemáticos les resulte más conveniente representar el espectro en forma compleja utilizando frecuencias negativas no significa que “esto sea correcto” y “siempre deba hacerse”.

3. Una señal medida durante un intervalo de tiempo T se determina solo durante un intervalo de tiempo T. La ciencia desconoce lo que sucedió antes de que comenzáramos a medir la señal y lo que sucederá después de eso. Y en nuestro caso, no es interesante. La DFT de una señal de tiempo limitado proporciona su espectro “verdadero”, en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y la frecuencia de sus componentes.

Materiales utilizados y otros materiales útiles.