Independencia lineal. Propiedades de columnas matriciales linealmente dependientes y linealmente independientes Combinación lineal de columnas

13.10.2021

Los conceptos de dependencia lineal e independencia lineal se definen igualmente para filas y columnas. Por lo tanto, las propiedades asociadas con estos conceptos formulados para las columnas son, por supuesto, también válidas para las filas.

1. Si un sistema de columnas incluye una columna cero, entonces es linealmente dependiente.

2. Si un sistema de columnas tiene dos columnas iguales, entonces es linealmente dependiente.

3. Si un sistema de columnas tiene dos columnas proporcionales, entonces es linealmente dependiente.

4. Un sistema de columnas es linealmente dependiente si y sólo si al menos una de las columnas es una combinación lineal de las demás.

5. Cualquier columna incluida en un sistema linealmente independiente forma un subsistema linealmente independiente.

6. Un sistema de columnas que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.

7. Si un sistema de columnas es linealmente independiente y, después de agregarle una columna, resulta ser linealmente dependiente, entonces la columna se puede descomponer en columnas y, además, de una manera única, es decir, los coeficientes de expansión se pueden encontrar de forma única.

Demostremos, por ejemplo, la última propiedad. Como el sistema de columnas es linealmente dependiente, hay números que no todos son iguales a 0, lo que

En esta igualdad. De hecho, si, entonces

Esto significa que una combinación lineal no trivial de columnas es igual a una columna cero, lo que contradice la independencia lineal del sistema. Por lo tanto, y luego, es decir. una columna es una combinación lineal de columnas. Queda por mostrar la singularidad de tal representación. Supongamos lo contrario. Sean dos expansiones y , y no todos los coeficientes de las expansiones son respectivamente iguales entre sí (por ejemplo, ). Entonces de la igualdad

Obtenemos (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

secuencialmente, la combinación lineal de columnas es igual a la columna cero. Dado que no todos sus coeficientes son iguales a cero (al menos), esta combinación no es trivial, lo que contradice la condición de independencia lineal de las columnas. La contradicción resultante confirma la unicidad de la expansión.

Ejemplo 3.2. Demuestre que dos columnas distintas de cero y son linealmente dependientes si y solo si son proporcionales, es decir .

Solución. De hecho, si las columnas son linealmente dependientes, entonces hay números que no son iguales a cero al mismo tiempo, de modo que . Y en esta igualdad. De hecho, suponiendo que , obtenemos una contradicción, ya que la columna también es distinta de cero. Medio, . Por tanto, existe un número tal que . La necesidad ha sido probada.

Por el contrario, si, entonces. Obtuvimos una combinación lineal no trivial de columnas igual a la columna cero. Esto significa que las columnas son linealmente dependientes.

Ejemplo 3.3. Considere todo tipo de sistemas formados a partir de columnas.

Examine cada sistema para determinar su dependencia lineal.
Solución. Consideremos cinco sistemas que contienen una columna cada uno. Según el párrafo 1 de las Observaciones 3.1: los sistemas son linealmente independientes y un sistema que consta de una columna cero es linealmente dependiente.

Consideremos sistemas que contienen dos columnas:

– cada uno de los cuatro sistemas es linealmente dependiente, ya que contiene una columna cero (propiedad 1);

– el sistema es linealmente dependiente, ya que las columnas son proporcionales (propiedad 3): ;

– cada uno de los cinco sistemas es linealmente independiente, ya que las columnas son desproporcionadas (ver el enunciado del Ejemplo 3.2).

Considere sistemas que contienen tres columnas:

– cada uno de los seis sistemas es linealmente dependiente, ya que contiene una columna cero (propiedad 1);

– los sistemas son linealmente dependientes, ya que contienen un subsistema linealmente dependiente (propiedad 6);

– sistemas y son linealmente dependientes, ya que la última columna se expresa linealmente a través del resto (propiedad 4): y, respectivamente.

Finalmente, los sistemas de cuatro o cinco columnas son linealmente dependientes (según la propiedad 6).

rango de matriz

En esta sección, consideraremos otra característica numérica importante de una matriz, relacionada con el grado en que sus filas (columnas) dependen unas de otras.

Definición 14.10 Sea una matriz de tamaños y un número que no exceda al más pequeño de los números y se le dé: . Elijamos aleatoriamente las filas y columnas de la matriz (los números de fila pueden diferir de los números de columna). El determinante de una matriz compuesta por elementos en la intersección de filas y columnas seleccionadas se llama orden de matriz menor.

Ejemplo 14.9 Dejar .

Un menor de primer orden es cualquier elemento de la matriz. Entonces 2, , son menores de primer orden.

Menores de segundo orden:

1. tomamos las filas 1, 2, las columnas 1, 2, obtenemos un menor ;

2. tomamos las filas 1, 3, las columnas 2, 4, obtenemos menor ;

3. tomamos las filas 2, 3, columnas 1, 4, obtenemos menor

Menores de tercer orden:

Las filas aquí solo se pueden seleccionar de una manera,

1. toma las columnas 1, 3, 4, obtenemos menor ;

2. toma las columnas 1, 2, 3, obtenemos menor .

Proposición 14.23 Si todos los menores de una matriz de orden son iguales a cero, entonces todos los menores de orden, si existen, también son iguales a cero.

Prueba. Tomemos un menor de orden arbitrario. Este es el determinante de la matriz de orden. Analicémoslo en la primera línea. Entonces en cada término de la expansión uno de los factores será menor del orden de la matriz original. Por condición, los menores de orden son iguales a cero. Por tanto, el menor del orden será igual a cero.

Definición 14.11 El rango de una matriz es el orden mayor de las matrices menores distinto de cero. El rango de una matriz cero se considera cero.

No existe una designación única y estándar para el rango de la matriz. Siguiendo el libro de texto, lo denotaremos.

Ejemplo 14.10 La matriz del ejemplo 14.9 tiene rango 3 porque hay un menor de tercer orden distinto de cero, pero no hay menores de cuarto orden.

rango de matriz es igual a 1, ya que hay un menor de primer orden distinto de cero (elemento de matriz) y todos los menores de segundo orden son iguales a cero.

El rango de una matriz cuadrada de orden no singular es igual a , ya que su determinante es menor del orden y es distinto de cero para una matriz no singular.

Proposición 14.24 Cuando se transpone una matriz, su rango no cambia, es decir .

Prueba. Un menor transpuesto de la matriz original será menor de la matriz transpuesta, y viceversa, cualquier menor es un menor transpuesto de la matriz original. Al transponer, el determinante (menor) no cambia (Proposición 14.6). Por lo tanto, si todos los menores de un orden en la matriz original son iguales a cero, entonces todos los menores del mismo orden también son iguales a cero. Si el menor de orden en la matriz original es distinto de cero, entonces b es un menor del mismo orden, distinto de cero. Por eso, .

Definición 14.12 Sea el rango de la matriz. Entonces, cualquier menor de orden distinto de cero se llama base menor.

Ejemplo 14.11 Dejar . El determinante de la matriz es cero, ya que la tercera fila es igual a la suma de las dos primeras. El menor de segundo orden, ubicado en las dos primeras filas y las dos primeras columnas, es igual a . En consecuencia, el rango de la matriz es dos y el menor considerado es básico.

Un menor básico también es un menor ubicado, digamos, en la primera y tercera fila, primera y tercera columna: . El menor será básico en la segunda y tercera fila, primera y tercera columna: .

El menor en la primera y segunda fila y en la segunda y tercera columna es cero y por lo tanto no será una base. El lector podrá comprobar de forma independiente qué otros menores de segundo orden serán básicos y cuáles no.

Dado que las columnas (filas) de una matriz se pueden sumar, multiplicar por números y formar combinaciones lineales, es posible introducir definiciones de dependencia lineal e independencia lineal de un sistema de columnas (filas) de una matriz. Estas definiciones son similares a las mismas definiciones 10.14, 10.15 para vectores.

Definición 14.13 Un sistema de columnas (filas) se denomina linealmente dependiente si existe tal conjunto de coeficientes, al menos uno de los cuales es diferente de cero, que una combinación lineal de columnas (filas) con estos coeficientes será igual a cero.

Definición 14.14 Un sistema de columnas (filas) es linealmente independiente si la igualdad a cero de una combinación lineal de estas columnas (filas) implica que todos los coeficientes de esta combinación lineal son iguales a cero.

La siguiente proposición, similar a la Proposición 10.6, también es cierta.

Oración 14.25 Un sistema de columnas (filas) es linealmente dependiente si y sólo si una de las columnas (una de las filas) es una combinación lineal de otras columnas (filas) de este sistema.

Formulemos un teorema llamado teorema menor de base.

Teorema 14.2 Cualquier columna de matriz es una combinación lineal de las columnas que pasan por la base menor.

La demostración se puede encontrar en libros de texto de álgebra lineal, por ejemplo, en.

Proposición 14.26 El rango de una matriz es igual al número máximo de sus columnas formando un sistema linealmente independiente.

Prueba. Sea el rango de la matriz. Tomemos las columnas que pasan por la base menor. Supongamos que estas columnas forman un sistema linealmente dependiente. Entonces una de las columnas es una combinación lineal de las demás. Por lo tanto, en una base menor, una columna será una combinación lineal de las otras columnas. Según las Proposiciones 14.15 y 14.18, esta base menor debe ser igual a cero, lo que contradice la definición de base menor. Por lo tanto, la suposición de que las columnas que pasan por la base menor son linealmente dependientes no es cierta. Entonces, el número máximo de columnas que forman un sistema linealmente independiente es mayor o igual a.

Supongamos que las columnas forman un sistema linealmente independiente. Hagamos una matriz con ellos. Todos los menores matriciales son menores matriciales. Por tanto, la base menor de la matriz tiene un orden no mayor que . Según el teorema de la base menor, una columna que no pasa por la base menor de una matriz es una combinación lineal de las columnas que pasan por la base menor, es decir, las columnas de la matriz forman un sistema linealmente dependiente. Esto es contrario a la elección de las columnas que forman la matriz. En consecuencia, el número máximo de columnas que forman un sistema linealmente independiente no puede ser mayor que . Esto quiere decir que es igual a lo dicho.

Proposición 14.27 El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas formando un sistema linealmente independiente.

Prueba. Según la Proposición 14.24, el rango de la matriz no cambia durante la transposición. Las filas de la matriz se convierten en sus columnas. El número máximo de nuevas columnas de la matriz transpuesta (antiguas filas de la original) que forman un sistema linealmente independiente es igual al rango de la matriz.

Proposición 14.28 Si el determinante de una matriz es cero, entonces una de sus columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las columnas (filas) restantes.

Prueba. Sea el orden de la matriz igual a . El determinante es el único menor de una matriz cuadrada que tiene orden. Como es igual a cero, entonces. En consecuencia, un sistema de columnas (filas) es linealmente dependiente, es decir, una de las columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las demás.

Los resultados de las Proposiciones 14.15, 14.18 y 14.28 dan el siguiente teorema.

Teorema 14.3 El determinante de una matriz es igual a cero si y sólo si una de sus columnas (una de las filas) es una combinación lineal de las restantes columnas (filas).

Encontrar el rango de una matriz calculando todos sus menores requiere demasiado trabajo computacional. (El lector puede comprobar que hay 36 menores de segundo orden en una matriz cuadrada de cuarto orden). Por lo tanto, se utiliza un algoritmo diferente para encontrar el rango. Para describirlo, se requerirá una serie de información adicional.

Definición 14.15 Llamemos a las siguientes acciones sobre ellas transformaciones elementales de matrices:

1) reordenamiento de filas o columnas;
2) multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero;
3) agregar a una de las filas otra fila multiplicada por un número o agregar a una de las columnas otra columna multiplicada por un número.

Proposición 14.29 Durante las transformaciones elementales, el rango de la matriz no cambia.

Prueba. Sea el rango de la matriz igual a , - la matriz resultante de realizar una transformación elemental.

Consideremos la permutación de cadenas. Sea un menor de la matriz, entonces la matriz tiene un menor que coincide o difiere de ella al reorganizar las filas. Por el contrario, cualquier matriz menor puede asociarse con una matriz menor que coincida o difiera de ella en el orden de las filas. Por tanto, del hecho de que todos los menores de un orden en una matriz son iguales a cero, se deduce que en la matriz todos los menores de este orden también son iguales a cero. Y como la matriz tiene un menor de orden, distinto de cero, entonces la matriz también tiene un menor de orden, distinto de cero, es decir.

Considere multiplicar una cadena por un número distinto de cero. Un menor de una matriz corresponde a un menor de una matriz que coincide o difiere de ella en una sola fila, que se obtiene de la fila menor multiplicando por un número distinto de cero. En este último caso. En todos los casos, y son simultáneamente iguales a cero o al mismo tiempo diferentes de cero. Por eso, .

dónde están algunos números (algunos de estos números o incluso todos pueden ser iguales a cero). Esto significa que existen las siguientes igualdades entre los elementos de las columnas:

o , .

De (3.3.1) se deduce que

(3.3.2)

¿Dónde está la cadena cero?

Definición. Las filas de la matriz A son linealmente dependientes si hay números que no son todos iguales a cero al mismo tiempo, de modo que

(3.3.3)

Si la igualdad (3.3.3) es verdadera si y solo si , entonces las filas se llaman linealmente independientes. La relación (3.3.2) muestra que si una de las filas se expresa linealmente en términos de las demás, entonces las filas son linealmente dependientes.

Es fácil ver lo contrario: si las cadenas son linealmente dependientes, entonces hay una cadena que será una combinación lineal de las cadenas restantes.

Sea, por ejemplo, en (3.3.3), entonces .

Definición. Dejemos que se seleccione un determinado menor en la matriz A. r º orden y dejar menor ( r El orden +1) de la misma matriz contiene por completo el menor. Diremos que en este caso el menor linda con el menor (o está lindando con ).

Ahora demostraremos un lema importante.

Lemasobre menores limítrofes. Si el menor es de orden r la matriz A = es distinta de cero, y todos los menores que la bordean son iguales a cero, entonces cualquier fila (columna) de la matriz A es una combinación lineal de sus filas (columnas) que la componen.

Prueba. Sin perder la generalidad del razonamiento, asumiremos que un menor distinto de cero r el orden ésimo está en la esquina superior izquierda de la matriz A =:

Para el primer k filas de la matriz A, el enunciado del lema es obvio: basta con incluir en una combinación lineal la misma fila con un coeficiente igual a uno, y el resto, con coeficientes iguales a cero.

Probemos ahora que las filas restantes de la matriz A se expresan linealmente en términos de la primera k líneas. Para hacer esto, construiremos un menor ( r +1)º orden añadiendo al menor k -ésima línea () y yoª columna():

El menor resultante es igual a cero para todos k y l . Si , entonces es igual a cero porque contiene dos columnas idénticas. Si , entonces el menor resultante es una arista menor para y, por lo tanto, es igual a cero según las condiciones del lema.

Descompongamos el menor según los elementos del último.yoª columna:

(3.3.4)

donde están los complementos algebraicos de los elementos. El complemento algebraico es menor de la matriz A, por tanto. Divida (3.3.4) entre y expréselo mediante:

(3.3.5)

Dónde , .

Suponiendo, obtenemos:

(3.3.6)

La expresión (3.3.6) significa que k La enésima fila de la matriz A se expresa linealmente mediante la primera r líneas.

Dado que cuando se transpone una matriz los valores de sus menores no cambian (debido a la propiedad de los determinantes), entonces todo lo demostrado también es válido para las columnas. El teorema ha sido demostrado.

Corolario I . Cualquier fila (columna) de una matriz es una combinación lineal de sus filas (columnas) básicas. De hecho, la base menor de la matriz es distinta de cero y todos los menores que la bordean son iguales a cero.

Corolario II. determinante sustantivo, masculino— de orden es igual a cero si y sólo si contiene filas (columnas) linealmente dependientes. La suficiencia de la dependencia lineal de las filas (columnas) para que el determinante sea igual a cero se demostró anteriormente como una propiedad de los determinantes.

Demostremos la necesidad. Sea una matriz cuadrada norte ésimo orden, el único menor del cual es cero. De ello se deduce que el rango de esta matriz es menor norte , es decir. hay al menos una fila que es una combinación lineal de las filas base de esta matriz.

Demostremos otro teorema sobre el rango de la matriz.

Teorema.El número máximo de filas linealmente independientes de una matriz es igual al número máximo de sus columnas linealmente independientes y es igual al rango de esta matriz.

Prueba. Sea el rango de la matriz A= igual a r. Entonces cualquiera de sus k las filas de la base son linealmente independientes; de lo contrario, la base menor sería cero. Por otra parte, cualquier r +1 o más filas son linealmente dependientes. Suponiendo lo contrario, podríamos encontrar un menor de orden mayor que r , diferente de cero por el Corolario 2 del lema anterior. Esto último contradice el hecho de que el orden máximo de menores distintos de cero es igual a r . Todo lo demostrado para las filas también es válido para las columnas.

En conclusión, describiremos otro método para encontrar el rango de una matriz. El rango de una matriz se puede determinar encontrando un menor de orden máximo que sea diferente de cero.

A primera vista, esto requiere el cálculo de un número finito, pero quizás muy grande, de menores de esta matriz.

El siguiente teorema permite, sin embargo, introducir importantes simplificaciones en esto.

Teorema.Si el menor de la matriz A es distinto de cero y todos los menores que lo bordean son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a r.

Prueba. Es suficiente mostrar que cualquier subsistema de filas de matrices con s>r será linealmente dependiente bajo las condiciones del teorema (de esto se deducirá que r es el número máximo de filas linealmente independientes de la matriz o cualquiera de sus menores de orden mayor que k son iguales a cero).

Supongamos lo contrario. Sean las filas linealmente independientes. Por el lema de los menores limítrofes, cada uno de ellos quedará expresado linealmente en términos de las rectas que contienen al menor y que, por ser distintas de cero, son linealmente independientes:

(3.3.7)

Considere la matriz K a partir de los coeficientes de expresiones lineales (3.3.7):

Las filas de esta matriz se denotarán por . Serán linealmente dependientes, ya que el rango de la matriz K, es decir el número máximo de sus líneas linealmente independientes no excede r< S . Por lo tanto, existen tales números, no todos iguales a cero, que

Pasemos a la igualdad de componentes.

(3.3.8)

Consideremos ahora la siguiente combinación lineal:

dónde están algunos números (algunos de estos números o incluso todos pueden ser iguales a cero). Esto significa que existen las siguientes igualdades entre los elementos de las columnas:

De (3.3.1) se deduce que

Es fácil ver lo contrario: si las cadenas son linealmente dependientes, entonces hay una cadena que será una combinación lineal de las cadenas restantes.

Sea, por ejemplo, en (3.3.3), entonces .

Definición. Dejemos que un cierto menor de orden r se identifique en la matriz A, y dejemos que el menor de orden (r+1) de la misma matriz contenga por completo el menor. Diremos que en este caso el menor linda con el menor (o está lindando con ).

Ahora probaremos un lema importante.

Lema sobre menores limítrofes. Si un menor de orden r de la matriz A= es distinto de cero, y todos los menores que lo bordean son iguales a cero, entonces cualquier fila (columna) de la matriz A es una combinación lineal de sus filas (columnas) que la componen.

Prueba. Sin perder la generalidad del razonamiento, asumiremos que un menor distinto de cero de r-ésimo orden está en la esquina superior izquierda de la matriz A =:

Para las primeras k filas de la matriz A, el enunciado del lema es obvio: basta con incluir en una combinación lineal la misma fila con un coeficiente igual a uno, y el resto, con coeficientes iguales a cero.

Demostremos ahora que las filas restantes de la matriz A se expresan linealmente a través de las primeras k filas. Para hacer esto, construimos un menor de orden (r+1) agregando la k-ésima línea () al menor y yoª columna():

El menor resultante es igual a cero para todo k y l. Si , entonces es igual a cero porque contiene dos columnas idénticas. Si , entonces el menor resultante es una arista menor para y, por lo tanto, es igual a cero según las condiciones del lema.

Descompongamos el menor según los elementos del último. yoª columna:

Suponiendo, obtenemos:

(3.3.6)

La expresión (3.3.6) significa que la k-ésima fila de la matriz A se expresa linealmente a través de las primeras r filas.

Corolario I. Cualquier fila (columna) de una matriz es una combinación lineal de sus filas (columnas) básicas. De hecho, la base menor de la matriz es distinta de cero y todos los menores que la bordean son iguales a cero.

Corolario II. Un determinante de enésimo orden es igual a cero si y sólo si contiene filas (columnas) linealmente dependientes. La suficiencia de la dependencia lineal de las filas (columnas) para que el determinante sea igual a cero se demostró anteriormente como una propiedad de los determinantes.

Demostremos la necesidad. Se nos da una matriz cuadrada de enésimo orden cuyo único menor es cero. De ello se deduce que el rango de esta matriz es menor que n, es decir hay al menos una fila que es una combinación lineal de las filas base de esta matriz.

Demostremos otro teorema sobre el rango de la matriz.

Teorema. El número máximo de filas linealmente independientes de una matriz es igual al número máximo de sus columnas linealmente independientes y es igual al rango de esta matriz.

Prueba. Sea el rango de la matriz A= igual a r. Entonces cualquiera de sus k filas de bases es linealmente independiente; de lo contrario, la base menor sería igual a cero. Por otro lado, cualquier r+1 o más filas son linealmente dependientes. Suponiendo lo contrario, podríamos encontrar un menor de orden mayor que r que sea distinto de cero según el Corolario 2 del lema anterior. Esto último contradice el hecho de que el orden máximo de menores distintos de cero es r. Todo lo demostrado para las filas también es válido para las columnas.

En conclusión, describiremos otro método para encontrar el rango de una matriz. El rango de una matriz se puede determinar encontrando un menor de orden máximo que sea diferente de cero.

A primera vista, esto requiere el cálculo de un número finito, pero quizás muy grande, de menores de esta matriz.

El siguiente teorema permite, sin embargo, introducir importantes simplificaciones en esto.

Teorema. Si el menor de la matriz A es distinto de cero y todos los menores que lo bordean son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a r.

Prueba. Es suficiente demostrar que cualquier subsistema de filas de matrices para S>r será linealmente dependiente bajo las condiciones del teorema (se deducirá que r es el número máximo de filas de matrices linealmente independientes o cualquiera de sus menores de orden mayor que k son iguales a cero).

Consideremos ahora la siguiente combinación lineal:

Usando (3.3.7) y (3.3.8), obtenemos

lo que contradice la independencia lineal de las filas.

En consecuencia, nuestra suposición es incorrecta y, por lo tanto, cualquier fila S>r bajo las condiciones del teorema es linealmente dependiente. El teorema ha sido demostrado.

Consideremos la regla para calcular el rango de una matriz: el método de menores limítrofes, basado en este teorema.

Al calcular el rango de una matriz, se debe pasar de menores de órdenes inferiores a menores de órdenes superiores. Si ya se ha encontrado un menor de orden r, diferente de cero, entonces es necesario calcular solo los menores de orden (r+1) que bordean el menor. Si son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a r. Este método también se utiliza si no solo calculamos el rango de la matriz, sino que también determinamos qué columnas (filas) forman la base menor de la matriz.

Ejemplo. Calcule el rango de la matriz utilizando el método de menores limítrofes

Solución. El menor de segundo orden, ubicado en la esquina superior izquierda de la matriz A, es distinto de cero:

Sin embargo, todos los menores de tercer orden que lo rodean son iguales a cero:

;	;
;	;
;	.

Por tanto, el rango de la matriz A es igual a dos: .

La primera y segunda fila, la primera y segunda columna de esta matriz son básicas. Las filas y columnas restantes son combinaciones lineales de ellas. De hecho, las siguientes igualdades se cumplen para las cadenas:

En conclusión, observamos la validez de las siguientes propiedades:

1) el rango del producto de matrices no es mayor que el rango de cada uno de los factores;

2) el rango del producto de una matriz arbitraria A a la derecha o a la izquierda por una matriz cuadrada no singular Q es igual al rango de la matriz A.

Matrices polinomiales

Definición. Una matriz polinómica o matriz es una matriz rectangular cuyos elementos son polinomios en una variable con coeficientes numéricos.

Se pueden realizar transformaciones elementales en matrices. Éstas incluyen:

Reorganizar dos filas (columnas);

Multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;

Sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por cualquier polinomio.

Se dice que dos matrices del mismo tamaño son equivalentes: , si se puede pasar de una matriz a utilizar un número finito de transformaciones elementales.

Ejemplo. Demostrar la equivalencia matricial

1. Intercambie la primera y segunda columnas de la matriz:

2. De la segunda línea, resta la primera, multiplicada por ():

3. Multiplique la segunda línea por (–1) y observe que

4. Restamos de la segunda columna la primera, multiplicada por , obtenemos

El conjunto de todas las matrices de tamaños dados se divide en clases disjuntas de matrices equivalentes. Las matrices que son equivalentes entre sí forman una clase y las que no son equivalentes forman otra.

Cada clase de matrices equivalentes se caracteriza por una matriz canónica o normal de dimensiones determinadas.

Definición. Una matriz de dimensiones canónica o normal es una matriz cuya diagonal principal contiene polinomios, donde p es el menor de los números m y n ( ), y los polinomios que no son iguales a cero tienen coeficientes principales iguales a 1, y cada polinomio posterior se divide por el anterior. Todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0.

De la definición se deduce que si entre los polinomios hay polinomios de grado cero, entonces están al comienzo de la diagonal principal. Si hay ceros, están al final de la diagonal principal.

La matriz del ejemplo anterior es canónica. Matriz

también canónico.

Cada clase de matrices contiene una matriz canónica única, es decir Cada matriz es equivalente a una matriz canónica única, que se denomina forma canónica o forma normal de esa matriz.

Los polinomios ubicados en la diagonal principal de la forma canónica de una matriz determinada se denominan factores invariantes de esta matriz.

Un método para calcular factores invariantes es reducir una matriz dada a su forma canónica.

Así, para la matriz del ejemplo anterior, los factores invariantes son

De lo anterior se deduce que la presencia del mismo conjunto de factores invariantes es una condición necesaria y suficiente para la equivalencia de matrices.

La reducción de matrices a forma canónica se reduce a determinar factores invariantes.

, ; ,

donde r es el rango de la matriz; - el máximo común divisor de los menores de k-ésimo orden, tomado con el coeficiente principal igual a 1.

Ejemplo. Sea dada -matriz

Solución. Obviamente, el máximo común divisor de primer orden, es decir .

Definamos menores de segundo orden:

etc.

Estos datos ya son suficientes para sacar una conclusión: por tanto, .

Definimos

Por eso, .

Así, la forma canónica de esta matriz es la siguiente -matriz:

Un polinomio matricial es una expresión de la forma

donde es variable; - matrices cuadradas de orden n con elementos numéricos.

Si , entonces S se llama grado del polinomio matricial, n es el orden del polinomio matricial.

Cualquier matriz cuadrática se puede representar como una matriz polinomio. Obviamente, la afirmación contraria también es cierta, es decir cualquier polinomio matricial se puede representar como una matriz cuadrada.

La validez de estas afirmaciones se desprende claramente de las propiedades de las operaciones con matrices. Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo. Representar una matriz polinómica

en forma de polinomio matricial de la siguiente manera

Ejemplo. Polinomio matricial

se puede representar como la siguiente matriz polinómica (-matriz)

Esta intercambiabilidad de polinomios matriciales y matrices polinomiales juega un papel importante en el aparato matemático de los métodos de análisis de factores y componentes.

Los polinomios matriciales del mismo orden se pueden sumar, restar y multiplicar de la misma manera que los polinomios ordinarios con coeficientes numéricos. Sin embargo, debe recordarse que la multiplicación de polinomios matriciales, en términos generales, no es conmutativa, ya que La multiplicación de matrices no es conmutativa.

Se dice que dos polinomios matriciales son iguales si sus coeficientes son iguales, es decir matrices correspondientes para las mismas potencias de la variable.

La suma (diferencia) de dos polinomios matriciales es un polinomio matricial cuyo coeficiente para cada grado de la variable es igual a la suma (diferencia) de los coeficientes para el mismo grado en los polinomios y.

Para multiplicar un polinomio matricial por un polinomio matricial, es necesario multiplicar cada término del polinomio matricial por cada término del polinomio matricial, sumar los productos resultantes y obtener términos similares.

El grado de un polinomio matricial es un producto menor o igual a la suma de los grados de los factores.

Las operaciones con polinomios matriciales se pueden realizar utilizando operaciones con las matrices correspondientes.

Para sumar (restar) polinomios matriciales, basta con sumar (restar) las matrices - correspondientes. Lo mismo se aplica a la multiplicación. -matriz del producto de polinomios matriciales es igual al producto de -matrices de factores.

Por otro lado, y se puede escribir en la forma

donde B 0 es una matriz no singular.

Al dividir por hay un único cociente correcto y un resto correcto

donde el grado de R 1 es menor que el grado , o (división sin resto), así como el cociente izquierdo y el resto izquierdo si y sólo si, donde de orden

Dejar

Columnas de la matriz de dimensiones. Combinación lineal de columnas matriciales. llamada matriz de columnas, con algunos números reales o complejos llamados coeficientes de combinación lineal. Si en una combinación lineal tomamos todos los coeficientes iguales a cero, entonces la combinación lineal es igual a la matriz de columna cero.

Las columnas de la matriz se llaman independiente linealmente , si su combinación lineal es igual a cero sólo cuando todos los coeficientes de la combinación lineal son iguales a cero. Las columnas de la matriz se llaman linealmente dependiente , si hay un conjunto de números entre los cuales al menos uno es distinto de cero, y la combinación lineal de columnas con estos coeficientes es igual a cero

De manera similar, se pueden dar las definiciones de dependencia lineal e independencia lineal de las filas de la matriz. A continuación, se formulan todos los teoremas para las columnas de la matriz.

Teorema 5

Si hay un cero entre las columnas de la matriz, entonces las columnas de la matriz son linealmente dependientes.

Prueba. Considere una combinación lineal en la que todos los coeficientes son iguales a cero para todas las columnas distintas de cero y uno para todas las columnas cero. Es igual a cero y entre los coeficientes de la combinación lineal hay un coeficiente distinto de cero. Por tanto, las columnas de la matriz son linealmente dependientes.

Teorema 6

Si columnas de matriz son linealmente dependientes, eso es todo las columnas de la matriz son linealmente dependientes.

Prueba. Para mayor precisión, asumiremos que las primeras columnas de la matriz linealmente dependiente. Entonces, según la definición de dependencia lineal, hay un conjunto de números entre los cuales al menos uno es distinto de cero, y la combinación lineal de columnas con estos coeficientes es igual a cero.

Hagamos una combinación lineal de todas las columnas de la matriz, incluidas las columnas restantes con coeficientes cero.

Pero . Por tanto, todas las columnas de la matriz son linealmente dependientes.

Consecuencia. Entre las columnas de matrices linealmente independientes, cualquiera es linealmente independiente. (Esta afirmación se puede probar fácilmente mediante contradicción).

Teorema 7

Para que las columnas de una matriz sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente que al menos una columna de la matriz sea una combinación lineal de las demás.

Prueba.

Necesidad. Sean las columnas de la matriz linealmente dependientes, es decir, hay un conjunto de números entre los cuales al menos uno es diferente de cero, y la combinación lineal de columnas con estos coeficientes es igual a cero.

Supongamos con certeza que . Entonces es decir, la primera columna es una combinación lineal del resto.

Adecuación. Sea al menos una columna de la matriz una combinación lineal de las demás, por ejemplo, donde están algunos números.

Entonces , es decir, la combinación lineal de columnas es igual a cero, y entre los números de la combinación lineal al menos uno (at ) es diferente de cero.

Sea el rango de la matriz. Cualquier menor distinto de cero de orden 1 se llama básico . Las filas y columnas en cuya intersección hay una base menor se denominan básico .

Sean k filas y k columnas (k ≤ min(m; n)) seleccionadas aleatoriamente en una matriz A de dimensiones (m; n). Los elementos de la matriz ubicados en la intersección de las filas y columnas seleccionadas forman una matriz cuadrada de orden k, cuyo determinante se llama menor M kk de orden k y o k-ésimo orden menor de la matriz A.

El rango de una matriz es el orden máximo de r menores distintos de cero de la matriz A, y cualquier menor de orden r que sea distinto de cero es un menor de base. Designación: sonó A = r. Si sonó A = sonó B y los tamaños de las matrices A y B son iguales, entonces las matrices A y B se llaman equivalentes. Designación: A ~ B.

Los principales métodos para calcular el rango de una matriz son el método de menores limítrofes y el método.

Método menor limítrofe

La esencia del método de los menores limítrofes es la siguiente. Supongamos que ya se ha encontrado en la matriz un menor de orden k, diferente de cero. Luego consideramos a continuación solo aquellos menores de orden k+1 que contienen (es decir, borde) un menor de orden k que es diferente de cero. Si todos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a k; de lo contrario, entre los menores limítrofes del orden (k+1) hay uno distinto de cero y se repite todo el procedimiento.

Independencia lineal de filas (columnas) de una matriz

El concepto de rango de matriz está estrechamente relacionado con el concepto de independencia lineal de sus filas (columnas).

Filas de matriz:

se llaman linealmente dependientes si hay números λ 1, λ 2, λ k tales que la igualdad es verdadera:

Las filas de la matriz A se llaman linealmente independientes si la igualdad anterior solo es posible en el caso de que todos los números λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

La dependencia lineal y la independencia de las columnas de la matriz A se determinan de forma similar.

Si cualquier fila (a l) de la matriz A (donde (a l)=(a l1, a l2,…, a ln)) se puede representar como

El concepto de combinación lineal de columnas se define de forma similar. El siguiente teorema sobre la base menor es válido.

Las filas y columnas de la base son linealmente independientes. Cualquier fila (o columna) de la matriz A es una combinación lineal de filas (columnas) de la base, es decir, filas (columnas) que intersecan la base menor. Por lo tanto, el rango de la matriz A: rang A = k es igual al número máximo de filas (columnas) linealmente independientes de la matriz A.

Aquellos. El rango de una matriz es la dimensión de la matriz cuadrada más grande dentro de la matriz para la cual es necesario determinar el rango, cuyo determinante no es igual a cero. Si la matriz original no es cuadrada, o si es cuadrada pero su determinante es cero, entonces para matrices cuadradas de orden inferior las filas y columnas se eligen arbitrariamente.

Además de los determinantes, el rango de una matriz se puede calcular mediante el número de filas o columnas linealmente independientes de la matriz. Es igual al número de filas o columnas linealmente independientes, lo que sea menor. Por ejemplo, si una matriz tiene 3 filas linealmente independientes y 5 columnas linealmente independientes, entonces su rango es tres.

Ejemplos de cómo encontrar el rango de una matriz.

Usando el método de menores limítrofes, encuentre el rango de la matriz.

Solución: menor de segundo orden

el menor limítrofe M 2 también es distinto de cero. Sin embargo, ambos menores son de cuarto orden, lindando con M 3 .

son iguales a cero. Por lo tanto, el rango de la matriz A es 3 y la base menor es, por ejemplo, la menor M 3 presentada anteriormente.

El método de las transformaciones elementales se basa en el hecho de que las transformaciones elementales de una matriz no cambian su rango. Usando estas transformaciones, puedes llevar la matriz a una forma donde todos sus elementos, excepto a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sean iguales a cero. Obviamente, esto significa que el rango A = r. Tenga en cuenta que si una matriz de enésimo orden tiene la forma de una matriz triangular superior, es decir, una matriz en la que todos los elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero, entonces su definición es igual al producto de los elementos en la diagonal principal. . Esta propiedad se puede utilizar al calcular el rango de una matriz usando el método de transformaciones elementales: es necesario usarlas para reducir la matriz a triangular y luego, seleccionando el determinante correspondiente, encontramos que el rango de la matriz es igual al número de elementos de la diagonal principal que son distintos de cero.

Usando el método de transformaciones elementales, encuentre el rango de la matriz.