En este tema consideraremos los conceptos de complemento algebraico y menor. La presentación del material se basa en los términos explicados en el tema "Matrices. Tipos de matrices. Términos básicos". También necesitaremos algunas fórmulas para calcular los determinantes. Dado que este tema contiene muchos términos relacionados con menores y complementos algebraicos, agregaré un breve resumen para facilitar la navegación por el material.

Menor $M_(ij)$ del elemento $a_(ij)$

$M_(ij)$ elemento$a_(ij)$ matrices $A_(n\times n)$ nombran el determinante de la matriz obtenida de la matriz $A$ eliminando la i-ésima fila y la j-ésima columna (es decir, la fila y la columna en la intersección del cual se ubica el elemento $a_(ij)$).

Por ejemplo, considere una matriz cuadrada de cuarto orden: $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 y 84 \\ 3 y 12 y -5 y 58 \end(array) \right)$. Encontremos el menor del elemento $a_(32)$, es decir encontremos $M_(32)$. Primero, escribamos el menor $M_(32)$ y luego calculemos su valor. Para componer $M_(32)$, eliminamos la tercera fila y la segunda columna de la matriz $A$ (es en la intersección de la tercera fila y la segunda columna donde se encuentra el elemento $a_(32)$ ). Obtendremos una nueva matriz, cuyo determinante es el menor requerido $M_(32)$:

Este menor es fácil de calcular utilizando la fórmula No. 2 del tema de cálculo:

$$ M_(32)=\izquierda| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Entonces, el menor del elemento $a_(32)$ es 579, es decir $M_(32)=579$.

A menudo, en lugar de la frase "elemento de matriz menor" en la literatura, se encuentra "elemento determinante menor". La esencia sigue siendo la misma: para obtener el menor del elemento $a_(ij)$, es necesario tachar la i-ésima fila y la j-ésima columna del determinante original. Los elementos restantes se escriben en un nuevo determinante, que es el menor del elemento $a_(ij)$. Por ejemplo, encontremos el menor del elemento $a_(12)$ del determinante $\left| \begin(array) (ccc) -1 y 3 y 2\\ 9 y 0 y -5 \\ 4 y -3 y 7 \end(array) \right|$. Para escribir el menor requerido $M_(12)$ necesitamos eliminar la primera fila y la segunda columna del determinante dado:

Para encontrar el valor de este menor, utilizamos la fórmula No. 1 del tema de cálculo de determinantes de segundo y tercer orden:

$$ M_(12)=\izquierda| \begin(array) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Entonces, el menor del elemento $a_(12)$ es 83, es decir $M_(12)=83$.

Complemento algebraico $A_(ij)$ del elemento $a_(ij)$

Sea una matriz cuadrada $A_(n\times n)$ (es decir, una matriz cuadrada de enésimo orden).

Complemento algebraico$A_(ij)$ elemento$a_(ij)$ de la matriz $A_(n\times n)$ se encuentra mediante la siguiente fórmula: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

donde $M_(ij)$ es el menor del elemento $a_(ij)$.

Encontremos el complemento algebraico del elemento $a_(32)$ de la matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, es decir encontremos $A_(32)$. Anteriormente encontramos el menor $M_(32)=579$, por lo que utilizamos el resultado obtenido:

Por lo general, al encontrar complementos algebraicos, el menor no se calcula por separado, y solo entonces el complemento en sí. Se omite la nota menor. Por ejemplo, encontremos $A_(12)$ si $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matriz) \right)$. Según la fórmula $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Sin embargo, para obtener $M_(12)$ es suficiente tachar la primera fila y la segunda columna de la matriz $A$, entonces, ¿por qué introducir una notación adicional para la menor? Escribamos inmediatamente la expresión para el complemento algebraico $A_(12)$:

Menor de orden k de la matriz $A_(m\times n)$

Si en los dos párrafos anteriores hablamos solo de matrices cuadradas, aquí también hablaremos de matrices rectangulares, en las que el número de filas no necesariamente es igual al número de columnas. Entonces, dejemos que se dé la matriz $A_(m\times n)$, es decir, una matriz que contiene m filas yn columnas.

orden k-ésima menor La matriz $A_(m\times n)$ es un determinante cuyos elementos están ubicados en la intersección de k filas y k columnas de la matriz $A$ (se supone que $k≤ m$ y $k≤ n$).

Por ejemplo, considere esta matriz:

$$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 y 0 y -3 y 9\\ 2 y 7 y 14 y 6 \\ 15 y -27 y 18 y 31\\ 0 y 1 y 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right) $$

Escribamos algo menor de tercer orden para ello. Para escribir un menor de tercer orden, necesitamos seleccionar tres filas y tres columnas cualesquiera de esta matriz. Por ejemplo, tome las filas No. 2, No. 4, No. 6 y las columnas No. 1, No. 2, No. 4. En la intersección de estas filas y columnas se ubicarán los elementos del menor requerido. En la figura, los elementos menores se muestran en azul:

$$ \left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 y 31\\ \boldblue(0) y \boldblue(1) y 19 y \boldblue(8)\\ 0 y -12 y 20 y 14\\ \boldblue(5) y \boldblue(3) y -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right);\; M=\left|\begin(array) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(array) \right|. $$

Los menores de primer orden se encuentran en la intersección de una fila y una columna, es decir Los menores de primer orden son iguales a los elementos de una matriz dada.

El k-ésimo orden menor de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se llama principal, si en la diagonal principal de un menor dado solo están los elementos de la diagonal principal de la matriz $A$.

Permítanme recordarles que los elementos de la diagonal principal son aquellos elementos de la matriz cuyos índices son iguales: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ y así sucesivamente. Por ejemplo, para la matriz $A$ considerada anteriormente, dichos elementos serán $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Están resaltados en verde en la figura:

$$\left(\begin(array) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18 ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( matriz)\derecha)$$

Por ejemplo, si en la matriz $A$ tachamos las filas y columnas numeradas 1 y 3, entonces en su intersección habrá elementos de un menor de segundo orden, en cuya diagonal principal solo habrá elementos diagonales. de la matriz $A$ (elementos $a_(11) =-1$ y $a_(33)=18$ de la matriz $A$). Por tanto, obtenemos un principal menor de segundo orden:

$$ M=\left|\begin(array) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(array) \right| $$

Naturalmente, podríamos tomar otras filas y columnas, por ejemplo, con los números 2 y 4, obteniendo así un menor principal diferente de segundo orden.

Deje que algún $M$ menor del orden k de la matriz $A_(m\times n)$ no sea igual a cero, es decir $M\neq 0$. En este caso, todos los menores cuyo orden sea superior a k son iguales a cero. Entonces el menor $M$ se llama básico, y las filas y columnas en las que se ubican los elementos del menor básico se denominan cuerdas base Y columnas base.

Por ejemplo, considere la siguiente matriz:

$$A=\left(\begin(array) (ccc) -1 y 0 y 3 y 0 y 0 \\ 2 y 0 y 4 y 1 y 0\\ 1 y 0 y -2 y -1 y 0\ \ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \end(array) \right) $$

Anotemos el menor de esta matriz, cuyos elementos se encuentran en la intersección de las filas No. 1, No. 2, No. 3 y las columnas No. 1, No. 3, No. 4. Obtenemos un menor de tercer orden (sus elementos están resaltados en violeta en la matriz $A$):

$$ \left(\begin(array) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0\\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ bien);\; M=\left|\begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|. $$

Encontremos el valor de este menor usando la fórmula No. 2 del tema de cálculo de determinantes de segundo y tercer orden:

$$ M=\izquierda| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Entonces, $M=11\neq 0$. Ahora intentemos componer cualquier menor cuyo orden sea superior a tres. Para hacer un menor de cuarto orden, tenemos que usar la cuarta fila, pero todos los elementos de esta fila son cero. Por lo tanto, cualquier menor de cuarto orden tendrá una fila cero, lo que significa que todos los menores de cuarto orden son iguales a cero. No podemos crear menores de quinto orden y superiores, ya que la matriz $A$ tiene solo 4 filas.

Hemos encontrado un menor de tercer orden que no es igual a cero. En este caso, todos los menores de órdenes superiores son iguales a cero, por tanto, el menor que consideramos es básico. Las filas de la matriz $A$ en las que se ubican los elementos de este menor (la primera, segunda y tercera) son las filas básicas, y las columnas primera, tercera y cuarta de la matriz $A$ son las columnas básicas.

Este ejemplo, por supuesto, es trivial, ya que su propósito es mostrar claramente la esencia del menor básico. En general, puede haber varios menores básicos, y normalmente el proceso de búsqueda de dicho menor es mucho más complejo y extenso.

Introduzcamos otro concepto: casi menor.

Deje que algún k-ésimo orden menor $M$ de la matriz $A_(m\times n)$ esté ubicado en la intersección de k filas y k columnas. Agreguemos otra fila y columna al conjunto de estas filas y columnas. El menor resultante de (k+1)ésimo orden se llama borde menor por menor $M$.

Por ejemplo, veamos la siguiente matriz:

$$A=\left(\begin(array) (ccccc) -1 y 2 y 0 y -2 y -14\\ 3 y -17 y -3 y 19 y 29\\ 5 y -6 y 8 y - 9 y 41\\ -5 y 11 y 19 y -20 y -98\\ 6 y 12 y 20 y 21 y 54\\ -7 y 10 y 14 y -36 y 79 \end(array) \right) $ $

Escribamos un menor de segundo orden, cuyos elementos están ubicados en la intersección de las filas No. 2 y No. 5, así como las columnas No. 2 y No. 4. Estos elementos están resaltados en rojo en la matriz:

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 y 8 y -9 y 41\\ -5 y 11 y 19 y -20 y -98\\ 6 y \boldred(12) y 20 y \boldred(21) y 54\\ -7 y 10 y 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M=\left|\begin(array) (ccc) -17 y 19 \\ 12 y 21 \end(array) \right|. $$

Agreguemos otra fila No. 1 al conjunto de filas en las que se encuentran los elementos del menor $M$, y la columna No. 5 al conjunto de columnas. Obtenemos un nuevo menor $M"$ (ya de tercer orden), cuyos elementos se ubican en la intersección de las filas No. 1, No. 2, No. 5 y las columnas No. 2, No. 4, No. 5. Los elementos del $M$ menor en la figura están resaltados en rojo, y los elementos que agregamos al $M$ menor son azules:

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M"=\left|\begin(array) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(array) \right|. $$

El menor $M"$ es el menor limítrofe del menor $M$. De manera similar, sumando la fila No. 4 al conjunto de filas en las que se encuentran los elementos del menor $M$, y la columna No. 3 al conjunto de columnas, obtenemos el menor $M""$ (menor de tercer orden):

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ negritaazul(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M""=\left|\begin(array) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(array) \right|. $$

El menor $M""$ también es un menor limítrofe para el menor $M$.

Menor de orden k de la matriz $A_(n\times n)$. Menor adicional. Complemento algebraico al menor de una matriz cuadrada.

Volvamos nuevamente a las matrices cuadradas. Introduzcamos el concepto de menor adicional.

Sea un cierto $M$ menor del orden k de la matriz $A_(n\times n)$. Un determinante de orden (n-k), cuyos elementos se obtienen de la matriz $A$ después de eliminar las filas y columnas que contienen el menor $M$, se llama menor, complementario al menor$M$.

Por ejemplo, considere una matriz cuadrada de quinto orden:

$$ A=\left(\begin(array)(ccccc) -1 y 2 y 0 y -2 y -14\\ 3 y -17 y -3 y 19 y 29\\ 5 y -6 y 8 y - 9 y 41\\ -5 y 11 y 16 y -20 y -98\\ -7 y 10 y 14 y -36 y 79 \end(array) \right) $$

Seleccionemos las filas No. 1 y No. 3, así como las columnas No. 2 y No. 5. En la intersección de estas filas y columnas habrá elementos del menor $M$ de segundo orden. Estos elementos están resaltados en verde en la matriz $A$:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array)\ bien);\; M=\left|\begin(array)(cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right|. $$

Ahora eliminemos de la matriz $A$ las filas No. 1 y No. 3 y las columnas No. 2 y No. 5, en cuya intersección hay elementos del menor $M$ (los elementos de las filas y columnas eliminadas se muestran en rojo en la siguiente figura). Los elementos restantes forman el menor $M"$:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ negrita(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(array) \right) ;\; M"=\left|\begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array)\right|. $$

El menor $M"$, cuyo orden es $5-2=3$, es el menor complementario del menor $M$.

Complemento algebraico a menor$M$ de una matriz cuadrada $A_(n\times n)$ se llama expresión $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, donde $\alpha$ es la suma de los números de fila y columna de la matriz $A$, sobre la cual se ubican los elementos del menor $M$, y $M"$ es el menor complementario del menor $M$.

La frase "complemento algebraico del menor $M$" a menudo se reemplaza por la frase "complemento algebraico del menor $M$".

Por ejemplo, considere la matriz $A$, para la cual encontramos el menor de segundo orden $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 y -14 \\ -6 y 41 \end(array) \right| $ y su menor adicional de tercer orden: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matriz) \right|$. Denotemos el complemento algebraico del menor $M$ como $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

El parámetro $\alpha$ es igual a la suma de los números de fila y columna en los que se encuentra el menor $M$. Este menor está ubicado en la intersección de las filas No. 1, No. 3 y las columnas No. 2, No. 5. Por lo tanto, $\alpha=1+3+2+5=11$. Entonces:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.

En principio, utilizando la fórmula número 2 del tema Cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, se pueden completar los cálculos obteniendo el valor $M^*$:

$$ M^*=-\izquierda| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$

menores de matriz

Sea dado un cuadrado matriz A, enésimo orden. Menor algún elemento a ij, determinante de la matriz el enésimo orden se llama determinante(n - 1)ésimo orden, obtenido del original tachando la fila y la columna en cuya intersección se encuentra el elemento seleccionado a ij. Denotado por Mij.

Veamos un ejemplo determinante de la matriz 3 - su orden:

Entonces según la definición menor, menor M 12, correspondiente al elemento a 12, será determinante:

Al mismo tiempo, con la ayuda menores puede facilitar la tarea de cálculo determinante de la matriz. Necesitamos difundirlo determinante de la matriz a lo largo de alguna línea y luego determinante será igual a la suma de todos los elementos de esta línea por sus menores. Descomposición determinante de la matriz 3 - su orden se verá así:

El signo delante del producto es (-1) n, donde n = i + j.

Sumas algebraicas:

Complemento algebraico elemento a ij se llama su menor, tomado con un signo "+" si la suma (i + j) es un número par, y con un signo "-" si esta suma es un número impar. Denotado por A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Entonces podemos reformular la propiedad mencionada anteriormente. Determinante de matriz igual a la suma del producto de los elementos de una determinada fila (fila o columna) matrices a su correspondiente sumas algebraicas. Ejemplo:

4. Matriz inversa y su cálculo.

Sea A cuadrado matriz enésimo orden.

Cuadrado matriz A se llama no degenerado si determinante de la matriz(Δ = det A) no es cero (Δ = det A ≠ 0). En caso contrario (Δ = 0) matriz A se llama degenerado.

Matriz, aliado a matriz Ah se llama matriz

Donde A ij - complemento algebraico elemento a ij dado matrices(se define de la misma manera que complemento algebraico elemento determinante de la matriz).

Matriz Se llama -1 matriz inversa A, si se cumple la condición: A × A -1 = A -1 × A = E, donde E es la unidad matriz mismo orden que matriz A. Matriz A -1 tiene las mismas dimensiones que matriz A.

matriz inversa

si hay cuadrados matrices X y A, satisfaciendo la condición: X × A = A × X = E, donde E es la unidad matriz del mismo orden, entonces matriz x se llama matriz inversa a la matriz A y se denota A -1. Cualquier no degenerado matriz Tiene matriz inversa y, además, solo uno, es decir, para tener un cuadrado matriz un tenido matriz inversa, es necesario y suficiente que determinante era diferente de cero.

por conseguir matriz inversa usa la fórmula:

Donde M ji es adicional menor elemento a ji matrices A.

5. Rango de matriz. Calcular el rango mediante transformaciones elementales.

Considere una matriz rectangular mхn. Seleccionemos algunas k filas y k columnas en esta matriz, 1 £ k £ min (m, n). A partir de los elementos ubicados en la intersección de las filas y columnas seleccionadas, componemos un determinante de k-ésimo orden. Todos estos determinantes se denominan matrices menores. Por ejemplo, para una matriz puedes componer menores de segundo orden. y menores de primer orden 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definición. El rango de una matriz es el orden más alto del menor distinto de cero de esta matriz. Denota el rango de la matriz r(A).

En el ejemplo dado, el rango de la matriz es dos, ya que, por ejemplo, menor

Es conveniente calcular el rango de una matriz mediante el método de transformaciones elementales. Las transformaciones elementales incluyen las siguientes:

1) reordenamiento de filas (columnas);

2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;

3) sumar a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.

Estas transformaciones no cambian el rango de la matriz, ya que se sabe que 1) cuando se reordenan las filas, el determinante cambia de signo y, si no era igual a cero, entonces ya no lo será; 2) al multiplicar una cadena de un determinante por un número distinto de cero, el determinante se multiplica por este número; 3) la tercera transformación elemental no cambia el determinante en absoluto. Así, realizando transformaciones elementales sobre una matriz, se puede obtener una matriz para la cual es fácil calcular su rango y, en consecuencia, el de la matriz original.

Definición. Una matriz obtenida a partir de una matriz mediante transformaciones elementales se llama equivalente y se denota A EN.

Teorema. El rango de la matriz no cambia durante las transformaciones de matrices elementales.

Utilizando transformaciones elementales, es posible reducir la matriz a la llamada forma escalonada, cuando no es difícil calcular su rango.

Matriz se llama paso a paso si tiene la forma:

Obviamente, el rango de la matriz escalonada es igual al número de filas distintas de cero. , porque hay un menor de orden distinto de cero:

.

Ejemplo. Determinar el rango de una matriz mediante transformaciones elementales.

El rango de la matriz es igual al número de filas distintas de cero, es decir .

Continuamos la conversación sobre acciones con matrices. Es decir, durante el estudio de esta conferencia aprenderá cómo encontrar la matriz inversa. Aprender. Incluso si las matemáticas son difíciles.

¿Qué es una matriz inversa? Aquí podemos hacer una analogía con los números inversos: consideremos, por ejemplo, el número optimista 5 y su número inverso. El producto de estos números es igual a uno: . ¡Todo es similar con las matrices! El producto de una matriz y su matriz inversa es igual a – matriz de identidad, que es el análogo matricial de la unidad numérica. Sin embargo, lo primero es lo primero: primero resolvamos una cuestión práctica importante: aprender a encontrar esta matriz tan inversa.

¿Qué necesitas saber y poder hacer para encontrar la matriz inversa? Debes poder decidir clasificados. Debes entender lo que es. matriz y poder realizar algunas acciones con ellos.

Hay dos métodos principales para encontrar la matriz inversa:
mediante el uso sumas algebraicas Y usando transformaciones elementales.

Hoy estudiaremos el primer método, más sencillo.

Empecemos por lo más terrible e incomprensible. Consideremos cuadrado matriz. La matriz inversa se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

Donde está el determinante de la matriz, es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

El concepto de matriz inversa existe sólo para matrices cuadradas., matrices “dos por dos”, “tres por tres”, etc.

Designaciones: Como ya habrás notado, la matriz inversa se denota con un superíndice

Comencemos con el caso más simple: una matriz de dos por dos. La mayoría de las veces, por supuesto, se requiere "tres por tres", pero, sin embargo, recomiendo encarecidamente estudiar una tarea más simple para comprender el principio general de la solución.

Ejemplo:

Encuentra la inversa de una matriz.

Vamos a decidir. Conviene desglosar punto por punto la secuencia de actuaciones.

1) Primero encontramos el determinante de la matriz..

Si su comprensión de esta acción no es buena, lea el material. ¿Cómo calcular el determinante?

¡Importante! Si el determinante de la matriz es igual a CERO– matriz inversa NO EXISTE.

En el ejemplo que estamos considerando, resultó que , lo que significa que todo está en orden.

2) Encuentra la matriz de menores..

Para solucionar nuestro problema no es necesario saber qué es un menor, sin embargo, es recomendable leer el artículo. Cómo calcular el determinante.

La matriz de menores tiene las mismas dimensiones que la matriz, es decir, en este caso.
Lo único que queda por hacer es encontrar cuatro números y ponerlos en lugar de las estrellas.

Volvamos a nuestra matriz.
Veamos primero el elemento superior izquierdo:

como encontrarlo menor?
Y esto se hace así: tacha MENTALMENTE la fila y columna en la que se encuentra este elemento:

El número restante es menor de este elemento, que escribimos en nuestra matriz de menores:

Considere el siguiente elemento de la matriz:

Tacha mentalmente la fila y columna en la que aparece este elemento:

Lo que queda es el menor de este elemento, que escribimos en nuestra matriz:

De manera similar, consideramos los elementos de la segunda fila y encontramos sus menores:


Listo.

Es sencillo. En la matriz de menores necesitas. CAMBIAR SIGNOS dos números:

¡Estos son los números que rodeé!

– matriz de sumas algebraicas de los elementos correspondientes de la matriz.

Y solo...

4) Encuentra la matriz transpuesta de sumas algebraicas..

– matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

5) Responder.

Recordemos nuestra fórmula.
¡Todo ha sido encontrado!

Entonces la matriz inversa es:

Es mejor dejar la respuesta como está. NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por 2, ya que el resultado son números fraccionarios. Este matiz se analiza con más detalle en el mismo artículo. Acciones con matrices.

¿Cómo comprobar la solución?

Necesitas realizar una multiplicación de matrices o

Examen:

Recibido ya mencionado matriz de identidad es una matriz con unos por diagonal principal y ceros en otros lugares.

Por tanto, la matriz inversa se encuentra correctamente.

Si realizas la acción, el resultado también será una matriz de identidad. Este es uno de los pocos casos en los que la multiplicación de matrices es conmutativa; se pueden encontrar más detalles en el artículo. Propiedades de las operaciones sobre matrices. Expresiones matriciales. También tenga en cuenta que durante la verificación, la constante (fracción) se adelanta y se procesa al final, después de la multiplicación de matrices. Esta es una técnica estándar.

Pasemos a un caso más común en la práctica: la matriz de tres por tres:

Ejemplo:

Encuentra la inversa de una matriz.

El algoritmo es exactamente el mismo que para el caso “dos por dos”.

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula: , donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

1) Encuentra el determinante de la matriz..

Aquí se revela el determinante. en la primera linea.

Además, no lo olvides, lo que significa que todo está bien. existe matriz inversa.

2) Encuentra la matriz de menores..

La matriz de menores tiene una dimensión de “tres por tres” , y necesitamos encontrar nueve números.

Examinaré más de cerca a un par de menores:

Considere el siguiente elemento de la matriz:

MENTALMENTE tacha la fila y columna en la que se encuentra este elemento:

Escribimos los cuatro números restantes en el determinante “dos por dos”.

Este determinante de dos por dos y es el menor de este elemento. Es necesario calcular:


Listo, el menor ha sido encontrado, lo escribimos en nuestra matriz de menores:

Como probablemente habrás adivinado, necesitas calcular nueve determinantes de dos por dos. El proceso, por supuesto, es tedioso, pero el caso no es el más grave, puede ser peor.

Bueno, para consolidar – encontrar otro menor en las fotos:

Intente calcular usted mismo los menores restantes.

Resultado final:
– matriz de menores de los elementos correspondientes de la matriz.

El hecho de que todos los menores hayan resultado negativos es pura casualidad.

3) Encuentra la matriz de sumas algebraicas..

En la matriz de menores es necesario CAMBIAR SIGNOS estrictamente para los siguientes elementos:

En este caso:

No consideramos encontrar la matriz inversa para una matriz de “cuatro por cuatro”, ya que solo un maestro sádico puede encomendar tal tarea (que el estudiante calcule un determinante de “cuatro por cuatro” y 16 determinantes de “tres por tres”). En mi práctica, solo hubo un caso de este tipo, y el cliente de la prueba pagó bastante caro por mi tormento =).

En varios libros de texto y manuales puede encontrar un enfoque ligeramente diferente para encontrar la matriz inversa, pero recomiendo utilizar el algoritmo de solución descrito anteriormente. ¿Por qué? Porque la probabilidad de confundirse en cálculos y signos es mucho menor.

Complemento algebraico- concepto de álgebra matricial; con relación al elemento aij de la matriz cuadrada A se forma multiplicando el menor del elemento aij por (1)i+j; se denota por Аij: Aij=(1)i+jMij, donde Mij es el menor del elemento aij de la matriz A=, es decir determinante... ... Diccionario económico y matemático.

complemento algebraico- El concepto de álgebra matricial; con relación al elemento aij de la matriz cuadrada A se forma multiplicando el menor del elemento aij por (1)i+j; se denota por Аij: Aij=(1)i+jMij, donde Mij es el menor del elemento aij de la matriz A=, es decir determinante matricial,... ... Guía del traductor técnico

Ver art. Determinante... Gran enciclopedia soviética

Para M menor, un número igual a donde M es menor de orden k, ubicado en filas con números y columnas con números de alguna matriz cuadrada A de orden n; determinante de una matriz de orden n k obtenida de la matriz A eliminando las filas y columnas de la menor M;... ... Enciclopedia Matemática

Wikcionario tiene una entrada para "adición" La adición puede significar... Wikipedia

La operación pone un subconjunto de un conjunto X dado en correspondencia con otro subconjunto de modo que si se conocen Mi N, entonces el conjunto X puede restaurarse de una manera u otra dependiendo de la estructura que tenga el conjunto X,... ... Enciclopedia Matemática

O un determinante, en matemáticas, una grabación de números en forma de tabla cuadrada, en correspondencia con la cual se coloca otro número (el valor del determinante). Muy a menudo, el concepto de determinante significa tanto el significado del determinante como la forma de su registro.… … Enciclopedia de Collier

Para conocer un teorema de la teoría de la probabilidad, consulte el artículo Teorema local de Moivre-Laplace. El teorema de Laplace es uno de los teoremas del álgebra lineal. El nombre del matemático francés Pierre Simon Laplace (1749 1827), a quien se le atribuye la formulación ... ... Wikipedia

- (Matriz laplaciana) una de las representaciones de un gráfico mediante una matriz. La matriz de Kirchhoff se utiliza para contar los árboles de expansión de un gráfico determinado (teorema del árbol de matrices) y también se utiliza en la teoría de gráficos espectrales. Contenido 1... ...Wikipedia

Una ecuación es una relación matemática que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Si una igualdad es verdadera para cualquier valor admisible de las incógnitas incluidas en ella, entonces se llama identidad; por ejemplo, una proporción de la forma... ... Enciclopedia de Collier

Libros

• Matemáticas discretas, A. V. Chashkin. 352 págs. El libro de texto consta de 17 capítulos sobre las secciones principales de las matemáticas discretas: análisis combinatorio, teoría de grafos, funciones booleanas, complejidad computacional y teoría de codificación. Contiene...

Sin transformación matricial, el determinante es fácil de calcular sólo para matrices de tamaño 2x2 y 3x3. Esto se hace según las fórmulas:

Para matriz

el determinante es igual a:

Para matriz

el determinante es igual a:

a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

Los cálculos para matrices de tamaño 4x4 y mayores son difíciles, por lo que es necesario transformarlos de acuerdo con las propiedades del determinante. Debemos esforzarnos por obtener una matriz en la que todos los valores excepto uno de cualquier columna o fila sean iguales a cero. Un ejemplo de tal matriz:

Para ello, el determinante es igual a:

A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))

tenga en cuenta que

a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)

Este es el cálculo del determinante de la matriz obtenido restando una fila y una columna, en cuya intersección está el único número distinto de cero de la fila/columna, según el cual descomponemos la matriz:

Y multiplicamos el valor resultante por el mismo número de la columna/fila “cero”, mientras que el número se puede multiplicar por -1 (todos los detalles a continuación).

Si reducimos la matriz a forma triangular, entonces su determinante se calcula como el producto de los dígitos a lo largo de la diagonal. Por ejemplo, para la matriz

El determinante es igual a:

Lo mismo se debe hacer con matrices de 5x5, 6x6 y otras de grandes dimensiones.

Las transformaciones matriciales deben realizarse de acuerdo con las propiedades del determinante. Pero antes de pasar a practicar el cálculo del determinante para matrices de 4x4, volvamos a las matrices de 3x3 y observemos más de cerca cómo se calcula el determinante para ellas.

Menor

El determinante de una matriz no es muy fácil de entender porque hay recursividad en su concepto: el determinante de una matriz consta de varios elementos, incluido el determinante de (otras) matrices.

Para evitar quedarnos estancados aquí, supongamos (temporalmente) ahora que el determinante de una matriz es

se calcula así:

Entendamos también las convenciones y conceptos como menor Y complemento algebraico.

La letra i denota el número ordinal de la línea y la letra j denota el número ordinal de la columna.

a ij significa el elemento de la matriz (dígito) en la intersección de la fila i y la columna j.

Imaginemos una matriz que se obtiene de la original eliminando la fila i y la columna j. El determinante de la nueva matriz, que se obtiene de la original eliminando la fila i y la columna j, se llama menor M ij del elemento a ij.

Ilustremos lo dicho. Supongamos que se le da una matriz

Luego, para determinar el menor M 11 del elemento a 11, necesitamos crear una nueva matriz, que se obtiene de la original eliminando la primera fila y la primera columna:

Y calcula su determinante: 2*1 – (-4)*0 = 2

Para determinar el menor M 22 del elemento a 22, necesitamos crear una nueva matriz, que se obtiene de la original eliminando la segunda fila y la segunda columna:

Y calcula su determinante: 1*1 -3*3 = -8

Complemento algebraico

El complemento algebraico A ij para un elemento a ij es el menor M ij de este elemento, tomado con el signo “+”, si la suma de los índices de fila y columna (i + j) en cuya intersección se encuentra este elemento es par, y con el signo “-” si la suma de los índices es impar.

De este modo,

Para la matriz del ejemplo anterior

Un 11 = (-1) (1+1) * (2*1 – (-4)*0) = 2

Un 22 = (-1) (2+2) * (1*1 -3*3) = -8

Calcular el determinante de matrices.

El determinante de orden n correspondiente a la matriz A es un número denotado por det A y calculado mediante la fórmula:

Todo lo que hay en esta fórmula ya nos resulta familiar, calculemos ahora el determinante de la matriz para

Cualquiera que sea el número de la fila i = 1,2,..., n o de la columna j = 1, 2,..., n, el determinante de enésimo orden es igual a la suma de los productos de los elementos de esta fila o de esta columna por sus complementos algebraicos, es decir

Aquellos. el determinante se puede calcular a partir de cualquier columna o fila.

Para verificar esto, calculemos el determinante de la matriz del último ejemplo usando la segunda columna.

Como puedes ver, el resultado es idéntico y para esta matriz el determinante siempre será -52, independientemente de desde qué fila o columna lo calculemos.

Propiedades del determinante matricial

1. Las filas y columnas del determinante son iguales, es decir, el valor del determinante no cambiará si sus filas y columnas se intercambian manteniendo su orden. Esta operación se llama transposición del determinante. De acuerdo con la propiedad formulada det A = det AT.
2. Cuando se intercambian dos filas (o dos columnas), el determinante conserva su valor absoluto, pero cambia de signo al contrario.
3. Un determinante con dos filas (o columnas) idénticas es igual a cero.
4. Multiplicar todos los elementos de una determinada fila (o alguna columna) de un determinante por un número λ equivale a multiplicar el determinante por un número λ.
5. Si todos los elementos de cualquier fila (o cualquier columna) de un determinante son iguales a cero, entonces el determinante en sí es igual a cero.
6. Si los elementos de dos filas (o dos columnas) de un determinante son proporcionales, entonces el determinante es igual a cero.
7. Si a los elementos de una determinada fila (o de alguna columna) del determinante le sumamos los elementos correspondientes de otra fila (otra columna), multiplicados por un factor arbitrario λ, entonces el valor del determinante no cambiará.
8. La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (cualquier columna) del determinante por los correspondientes complementos algebraicos de los elementos de cualquier otra fila (cualquier otra columna) es igual a cero.
9. Si todos los elementos de la i-ésima fila del determinante se presentan como la suma de dos términos a ij = b j + c j entonces el determinante es igual a la suma de dos determinantes cuyas filas, excepto la i-ésima, son iguales como en el determinante dado, la i-ésima fila en uno de los términos consta de elementos b j , y en el otro, de elementos c j . Una propiedad similar se cumple para las columnas del determinante.
10. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: det (A * B) = det A * det B.

Para calcular el determinante de cualquier orden, puede utilizar el método de reducción secuencial del orden del determinante. Para hacer esto, use la regla de descomponer el determinante en los elementos de una fila o columna. Otra forma de calcular los determinantes es utilizar transformaciones elementales con filas (o columnas), principalmente de acuerdo con las propiedades de los determinantes 4 y 7, para reducir el determinante a la forma bajo la diagonal principal del determinante (definida de la misma manera como para las matrices cuadradas) todos los elementos son iguales a cero. Entonces el determinante es igual al producto de los elementos ubicados en la diagonal principal.

Al calcular el determinante reduciendo sucesivamente el orden para reducir la cantidad de trabajo computacional, es recomendable utilizar la propiedad de 7 determinantes para lograr la puesta a cero de parte de los elementos de cualquier fila o columna del determinante, lo que reducirá el número de sumas algebraicas calculadas.

Reducir una matriz a forma triangular, transformar una matriz para facilitar el cálculo del determinante

Los métodos que se muestran a continuación no son prácticos para matrices de 3x3, pero sugiero observar la esencia de los métodos usando un ejemplo simple. Usemos la matriz para la cual ya hemos calculado el determinante; nos resultará más fácil verificar la exactitud de los cálculos:

Usando la séptima propiedad del determinante, resta de la segunda línea la tercera, multiplicada por 2:

de la tercera línea restamos los elementos correspondientes de la primera línea del determinante, multiplicados por 3:

Dado que los elementos del determinante ubicados debajo de su diagonal principal son iguales a 0, entonces determinar es igual al producto de los elementos ubicados en la diagonal principal:

1*2*(-26) = -52.

Como puede ver, la respuesta coincidió con las recibidas anteriormente.

Recordemos la fórmula del determinante de la matriz:

El determinante es la suma de los complementos algebraicos multiplicada por los términos de una de las filas o de una de las columnas.

Si, como resultado de las transformaciones, hacemos que una de las filas (o columnas) esté compuesta enteramente de ceros excepto una posición, entonces no necesitaremos contar todas las sumas algebraicas, ya que seguramente serán iguales a cero. . Al igual que el método anterior, éste es recomendable utilizarlo para matrices grandes.

Mostremos un ejemplo en la misma matriz:

Observamos que la segunda columna del determinante ya contiene un elemento cero. A los elementos de la segunda línea sumamos los elementos de la primera línea, multiplicados por -1. Obtenemos:

Calculemos el determinante de la segunda columna. Necesitamos calcular solo una suma algebraica, ya que el resto obviamente se reduce a cero:

Cálculo del determinante para matrices 4x4, 5x5 y dimensiones superiores.

Para evitar demasiados cálculos para matrices grandes, debes realizar las transformaciones descritas anteriormente. Pongamos un par de ejemplos.

Calcular matrices de decisión

Solución Usando la séptima propiedad del determinante, restamos el tercero de la segunda línea y de la cuarta línea los elementos correspondientes de la primera línea del determinante, multiplicados por 3, 4, 5, respectivamente. como sigue: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Obtenemos:

Realicemos las acciones.