Función de construcción

Ofrecemos a su atención un servicio de construcción de gráficos de funciones en línea, cuyos derechos pertenecen a la empresa. desmos. Utilice la columna de la izquierda para ingresar funciones. Puedes ingresar manualmente o usando el teclado virtual en la parte inferior de la ventana. Para ampliar la ventana con el gráfico, puede ocultar tanto la columna de la izquierda como el teclado virtual.

Beneficios de los gráficos en línea

• Visualización visual de las funciones introducidas.
• Construyendo gráficos muy complejos.
• Construcción de gráficos especificados implícitamente (por ejemplo, elipse x^2/9+y^2/16=1)
• La capacidad de guardar gráficos y recibir un enlace a ellos, que estará disponible para todos en Internet.
• Controlar la escala y el color de la línea
• Posibilidad de trazar gráficas por puntos, utilizando constantes.
• Trazar varios gráficos de funciones simultáneamente
• Trazar en coordenadas polares (use r y θ(\theta))

Con nosotros es fácil crear gráficos de diversa complejidad en línea. La construcción se realiza al instante. El servicio tiene una gran demanda para encontrar puntos de intersección de funciones, representar gráficos para luego trasladarlos a un documento de Word como ilustraciones al resolver problemas y analizar las características de comportamiento de los gráficos de funciones. El navegador óptimo para trabajar con gráficos en esta página web es Google Chrome. No se garantiza el correcto funcionamiento al utilizar otros navegadores.

En la comunidad científica, un chiste muy conocido sobre este tema es que la "no linealidad" se compara con un "no elefante": todas las criaturas que no sean "elefantes" son "no elefantes". La similitud radica en el hecho de que la mayoría de los sistemas y fenómenos del mundo que nos rodea son no lineales, con algunas excepciones. Por el contrario, en la escuela nos enseñan a pensar "lineal", lo cual es muy malo en términos de nuestra disposición a percibir la omnipresente no linealidad del Universo, ya sean sus aspectos físicos, biológicos, psicológicos o sociales. La no linealidad concentra en sí misma una de las principales dificultades de conocimiento del mundo circundante, ya que los efectos, en su masa total, no son proporcionales a las causas, dos causas, al interactuar, no son aditivas, es decir, los efectos son más complejos que una superposición simple, funciones de las causas. Es decir, el resultado resultante de la presencia e influencia de dos causas que actúan simultáneamente no es la suma de los resultados obtenidos en presencia de cada una de las causas por separado, en ausencia de la otra causa.  

Definición 9. Si, en un cierto intervalo X, se define una función z-φ(lz) con un conjunto de valores Z y se define una función y =/(z) en el conjunto Z, entonces la función y es una función compleja de x (o una superposición de la función), y la variable z - una variable intermedia de una función compleja.  

El control se puede representar como una superposición de tres funciones de gestión clásicas: contabilidad, control y análisis (retrospectiva). El control como función de gestión integrada permite no solo preparar una decisión, sino también asegurar el control sobre su implementación utilizando las herramientas de gestión adecuadas.  

Como se sabe /50/, cualquier función de tiempo se puede representar como una superposición (conjunto) de funciones armónicas simples con diferentes períodos, amplitudes y fases. En general, P(t) = f(t),  

Las características transitorias o de impulso se determinan experimentalmente. Cuando se utilizan mediante el método de superposición, el modelo seleccionado de acción de entrada primero se descompone en funciones de tiempo elementales y luego se resumen las respuestas a ellas. Esta última operación a veces se denomina convolución, y las integrales en expresiones (24) ... (29) son integrales de convolución. De Se elige aquella cuya función integrando es más simple.  

Este teorema reduce el problema extremo condicional a una superposición de problemas extremos incondicionales. De hecho, definamos la función R (g)  

La superposición ((>(f(x)), donde y(y) es una función convexa no decreciente de una variable, /(x) es una función convexa, es una función convexa.  

Ejemplo 3.28. Volvamos al ejemplo 3.27. En la Fig. La Figura 3.24 muestra en forma de curva de puntos y trazos el resultado de la superposición de dos funciones de pertenencia correspondientes a los cuantificadores que están presentes en este ejemplo. Utilizando un nivel de corte de 0,7, se obtienen intervalos difusos en el eje x. Ahora podemos decir que el despachador debería esperar un cambio de plan.  

Otra forma de definir la función F, diferente del método de superposición, es que cuando se aplica cualquier cuantificador a otro cuantificador, se produce una cierta transformación monótona de la función de pertenencia original, que se reduce a estirar y desplazar el máximo de la función en uno. dirección u otra.  

Ejemplo 3.29. En la Fig. La Figura 3.25 muestra dos resultados obtenidos usando superposición y desplazamiento de estiramiento para el caso en el que XA y X corresponden con frecuencia al cuantificador. La diferencia parece ser que la superposición aísla en la función de pertenencia aquellos valores que ocurren con frecuencia. En el caso de desplazamiento y estiramiento, podemos interpretar el resultado como la aparición de un nuevo cuantificador con el valor a menudo, que, si se desea, puede aproximarse, por ejemplo, al valor muy a menudo.  

Demuestre que la superposición de una función estrictamente creciente y una función de utilidad que representa alguna relación de preferencia es también una función de utilidad que representa esa relación de preferencia. ¿Cuál de las siguientes funciones puede actuar como tal transformación?  

La primera de las relaciones (2) no es más que un registro de la regla según la cual cada función F(x) perteneciente a la familia de funciones monótonamente no decrecientes absolutamente continuas está asociada con una y sólo una función continua w(j). Esta regla es lineal, es decir el principio de superposición es cierto para él  

Prueba. Si la aplicación F es continua, la función M0 es continua como superposición de funciones continuas. Para probar la segunda parte del enunciado, considere la función  

Funciones complejas (superposiciones)  

El método de transformaciones funcionales también implica el uso de un enfoque heurístico. Por ejemplo, el uso de transformaciones logarítmicas como operadores B y C conduce a criterios de información para construir modelos identificables y al uso de una poderosa herramienta de la teoría de la información. Sea el operador B una superposición de los operadores de multiplicación por la función,(.) y desplazamiento por la función K0(), el operador C es el operador  

Aquí describiremos los resultados de la resolución de una serie de problemas variacionales (1)-(3). Fueron resueltos mediante el método de linealización secuencial (19-21) allá por 1962-1963, cuando la tecnología del método apenas comenzaba a tomar forma y se estaba probando. Por tanto, nos centraremos sólo en algunos detalles. En primer lugar, observamos que las funciones C y C2 se especificaron mediante expresiones bastante complejas, que son una superposición de funciones auxiliares, incluidas las especificadas en tablas. Por tanto, al resolver el sistema conjugado φ = -fx utilizando funciones especificadas en una tabla. Normalmente, estas tablas contienen una pequeña cantidad de valores para un conjunto de nodos en el rango de cambios en el argumento independiente, y entre ellos la función se interpola linealmente, ya que el uso de métodos de interpolación más precisos no está justificado debido a la inexactitud de los valores de la tabla en sí (como regla general, las dependencias funcionales de naturaleza experimental se especifican mediante tablas). Sin embargo, para nuestros propósitos necesitamos funciones diferenciables /(x, u), por lo que deberíamos preferir métodos fluidos para completar una función especificada en una tabla (por ejemplo, usando splines).  

Sean ahora (DA y (q) funciones arbitrarias correspondientes a algunos valores de los cuantificadores de frecuencia. La figura 3.23 muestra dos curvas de una joroba correspondientes a estas funciones. El resultado de su superposición es una curva de dos jorobas, mostrada por una línea discontinua ¿Cuál es su significado? Si, ​​por ejemplo, (SÍ, rara vez hay, y (d - a menudo,  

La ventaja de este método para determinar F es que durante transformaciones monótonas la forma de la función de pertenencia no cambia dramáticamente. Se conserva su unimodalidad o monotonicidad, y la transición de un nuevo tipo de función (2.16) tiene forma trapezoidal, luego la superposición lineal (2.15) es un número difuso trapezoidal (lo cual se prueba fácilmente cuando se utiliza la regla de cálculo de segmentos). Y podemos reducir operaciones con funciones de membresía a operaciones con sus vértices. Si denotamos el número trapezoidal (2.16) como (ab a2, az, a4), donde a corresponden a las abscisas de los vértices del trapezoide, entonces  

Conozcamos el concepto de superposición (o imposición) de funciones, que consiste en sustituir una función por otro argumento en lugar del argumento de una función determinada. Por ejemplo, una superposición de funciones da una función y las funciones se obtienen de manera similar.

En general, supongamos que una función está definida en un determinado dominio y la función está definida en un dominio y todos sus valores están contenidos en el dominio. Entonces la variable z, como se suele decir, a través de y, es en sí misma una función de.

Dado un valor dado, primero encuentran el valor y correspondiente (de acuerdo con la regla caracterizada por un signo) y luego establecen el valor correspondiente y (de acuerdo con la regla

caracterizado por un signo, su valor se considera correspondiente a la x seleccionada. La función resultante de una función o de una función compleja es el resultado de una superposición de funciones.

La suposición de que los valores de la función no van más allá de los límites de la región Y en la que se define la función es muy significativa: si se omite, puede resultar absurdo. Por ejemplo, suponiendo que sólo podemos considerar aquellos valores de x para los que de otro modo la expresión no tendría sentido.

Consideramos útil enfatizar aquí que la caracterización de una función como compleja no está relacionada con la naturaleza de la dependencia funcional de z con respecto a x, sino sólo con la forma en que se especifica esta dependencia. Por ejemplo, sea for y in for Then

Aquí la función resultó estar especificada como una función compleja.

Ahora que se comprende completamente el concepto de superposición de funciones, podemos caracterizar con precisión las clases de funciones más simples que se estudian en el análisis: estas son, en primer lugar, las funciones elementales enumeradas anteriormente y luego todas las que se obtienen a partir de ellas. utilizando cuatro operaciones aritméticas y superposiciones, aplicadas sucesivamente un número finito de veces. Se dice que se expresan a través de lo elemental en su forma final; a veces también se les llama elementales.

Posteriormente, habiendo dominado un aparato analítico más complejo (series infinitas, integrales), nos familiarizaremos con otras funciones que también juegan un papel importante en el análisis, pero que ya van más allá de la clase de funciones elementales.

Sean 2 funciones:

: A→B y g: D→F

Dejemos que el dominio de definición D de la función g se incluya en el dominio de valores de la función f (DB). Entonces puedes definir una nueva función: superposición (composición, función compleja) funciones f y g: z= gramo( (X)).

Ejemplos. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Definición

Que haya dos funciones. Entonces su composición es la función definida por la igualdad:

Propiedades de composición

La composición es asociativa:

Si F= identificación X- mapeo idéntico a X, eso es

.

Si GRAMO= identificación Y- mapeo idéntico a Y, eso es

.

Propiedades adicionales

Conjuntos contables e incontables.

Dos conjuntos finitos constan de un número igual de elementos si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre estos conjuntos. El número de elementos de un conjunto finito es la cardinalidad del conjunto.

Para un conjunto infinito, se puede establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto completo y su parte.

El más simple de los conjuntos infinitos es el conjunto N.

Definición. Los conjuntos A y B se llaman equivalente(AB), si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre ellos.

Si dos conjuntos finitos son equivalentes, entonces constan del mismo número de elementos.

Si los conjuntos A y B que son equivalentes entre sí son arbitrarios, entonces se dice que A y B tienen los mismos fuerza. (potencia = equivalencia).

Para conjuntos finitos, el concepto de cardinalidad coincide con el concepto de número de elementos del conjunto.

Definición. El conjunto se llama contable, si es posible establecer una correspondencia uno a uno entre éste y el conjunto de números naturales. (Es decir, un conjunto contable es infinito, equivalente al conjunto N).

(Es decir, todos los elementos de un conjunto contable pueden estar numerados).

Propiedades de las relaciones de poder iguales.

1) AA - reflexividad.

2) AB, luego BA – simetría.

3) AB y BC, entonces AC es transitividad.

Ejemplos.

1) n→2n, 2,4,6,… - incluso naturales

2) n→2n-1, 1,3,5,… - naturales impares.

Propiedades de conjuntos contables.

1. Son contables infinitos subconjuntos de un conjunto contable.

Prueba. Porque A es contable, entonces A: x 1, x 2,... - asignado A a N.

ВА, В: →1,→2,… - asignó cada elemento B a un número natural, es decir asignó B a N. Por lo tanto, B es contable. Etc.

2. La unión de un sistema finito (contable) de conjuntos contables es contable.

Ejemplos.

1. El conjunto de números enteros Z es contable, porque El conjunto Z se puede representar como una unión de los conjuntos contables A y B, donde A: 0,1,2,.. y B: -1,-2,-3,...

2. muchos ordenado pares ((m,n): m,nZ) (es decir, (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . El conjunto de los números racionales es contable.

P=. Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de fracciones irreducibles Q y el conjunto de pares ordenados:

Eso. el conjunto Q es equivalente al conjunto ((p,q))((m,n)).

El conjunto ((m,n)) – el conjunto de todos los pares ordenados – es contable. En consecuencia, el conjunto ((p,q)) es contable y, por tanto, Q es contable.

Definición. Un número irracional es un decimal infinito arbitrario. no PERIODICO fracción, es decir  0 , 1  2 …

El conjunto de todas las fracciones decimales forman el conjunto. números reales (reales).

El conjunto de los números irracionales es incontable.

Teorema 1. El conjunto de los números reales del intervalo (0,1) es un conjunto incontable.

Prueba. Supongamos lo contrario, es decir. que todos los números en el intervalo (0,1) se pueden numerar. Luego, escribiendo estos números en forma de infinitas fracciones decimales, obtenemos la secuencia:

x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n = 0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Consideremos ahora el número real x=0,b 1 b 2 …b n…, donde b 1 es cualquier número diferente de a 11, (0 y 9), b 2 es cualquier número diferente de a 22, (0 y 9 ) ,…, b n - cualquier número diferente de a nn, (0 y 9).

Eso. x(0,1), pero xx i (i=1,…,n) porque en caso contrario, b i =a ii . Hemos llegado a una contradicción. Etc.

Teorema 2. Cualquier intervalo del eje real es un conjunto incontable.

Teorema 3. El conjunto de los números reales es incontable.

De cualquier conjunto equivalente al conjunto de números reales se dice que es poder continuo(Latín continuo – continuo, continuo).

Ejemplo. Demostremos que el intervalo tiene la potencia de un continuo.

La función y=tg x: →R muestra el intervalo en toda la recta numérica (gráfica).

Los dispositivos lógicos discretos de ciclo único (que no contienen elementos de memoria) implementan en la salida un cierto conjunto de funciones de álgebra lógica `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), que en cada momento del tiempo dependen únicamente del estado de las entradas del dispositivo `x norte =(X 1 ,X 2 ,…,x norte): `F metro = `F metro(`x n). En la práctica, dichos dispositivos están diseñados y fabricados a partir de elementos indivisibles separados que implementan un determinado conjunto (sistema) ( F) funciones elementales de álgebra conectando las salidas de algunos elementos con las entradas de otros.

Al diseñar dispositivos lógicos, las siguientes preguntas son relevantes.

1. Se da un sistema de funciones elementales ( F). ¿Cuáles son las funciones de salida? F yo se puede obtener usando funciones de ( F}?

2. Un conjunto de funciones booleanas de salida ( F) (en particular, igual a todo el conjunto de funciones del álgebra de la lógica R 2). ¿Cuál debería ser el sistema inicial de funciones elementales ( F), brindando la posibilidad de obtener en la salida cualquiera de las funciones del conjunto ( F}?

Para dar una respuesta razonable a estas preguntas, se utilizan los conceptos de superposición, cierre y completitud de sistemas de funciones.

Definición. Consideremos un conjunto de conectivos lógicos ( F), correspondiente a algún sistema de funciones ( F} . Superposición sobre{F) es cualquier función j que se puede realizar mediante una fórmula sobre ( F}.

En la práctica, la superposición se puede representar como el resultado de sustituir funciones de ( F) como argumentos para una función del mismo conjunto.

Ejemplo 1. Considere un sistema de funciones ( F} = {F 1 (X) =`x,f 2 (x, y)= X&y, f 3 (x, y)=XÚ y). Sustituyendo en la función F 3 (x, y) en lugar del primer argumento X función F 1 (X), en lugar del segundo - F 2 (x, y), obtenemos la superposición h(x, y)=F 3 (F 1 (X),F 2 (x, y))=`xÚ X& en. La implementación física de la sustitución se muestra en la figura 1.18.

Definición. Dejar METRO-cierto conjunto de funciones de álgebra lógica( PAG 2). El conjunto de todas las superposiciones sobre METRO llamado cortocircuito conjuntos METRO y se denota por [ METRO]. Recibiendo [ METRO]por el conjunto original METRO llamado operación de cierre. Un montón de METRO llamado clase funcionalmente cerrada, Si [ METRO] = METRO. Subconjunto metroÍ METRO llamado sistema funcionalmente completo en M, Si [ metro] = METRO.

Cierre [ METRO] representa el conjunto completo de funciones que se pueden obtener de METRO aplicando la operación de superposición, es decir todas las sustituciones posibles.

Notas. 1. Obviamente, cualquier sistema de funciones ( F) es funcionalmente completo en sí mismo.

2 . Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que la función de identidad F(X)=x, que no cambia los valores de verdad de las variables, inicialmente forma parte de cualquier sistema de funciones.

Ejemplo 2. Para los sistemas de funciones que se analizan a continuación ( F) Haz lo siguiente:

1) encuentra el cierre [ F],

2) averiguar si el sistema ( F) clase cerrada,

3) encontrar sistemas funcionalmente completos en ( F}.

Solución.

I. ( F}={0} . Al sustituir la función ( fº 0) lo recibimos en nosotros mismos, es decir. no se crean nuevas funciones. Esto implica: [ F] = {F). El sistema considerado es una clase funcionalmente cerrada. El sistema funcionalmente completo en él es uno e igual al todo ( F}.

II. ( F} = {0,Ø } . Sustitución Ø (Ø X)da una función idéntica que no amplía formalmente el sistema original. Sin embargo, al sustituir Ø (0) obtenemos una unidad idéntica, una nueva función que no estaba en el sistema original: Ø (0)=1 . La aplicación de todas las demás sustituciones no da lugar a la aparición de nuevas funciones, por ejemplo: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.

Así, el uso de la operación de superposición permitió obtener un conjunto de funciones más amplio que el original [ F]=(0,Ø ,1). Esto implica una entrada estricta: ( F} Ì [ F]. Sistema fuente ( F) no es una clase funcionalmente cerrada. Además del sistema en sí ( F) no contiene otros sistemas funcionalmente completos, ya que en el caso de su reducción de una función f= El 0 no se puede negar mediante sustitución y el cero idéntico no se puede obtener únicamente con la función de negación.

III. ( F) = (& ,Ú ,Ø ).La clausura de este sistema es el conjunto completo de funciones del álgebra de la lógica PAG 2, ya que la fórmula de cualquiera de ellos se puede representar como DNF o CNF, que utiliza funciones elementales ( F) = (& ,Ú ,Ø). Este hecho es una prueba constructiva de la integridad del sistema de funciones considerado en PAG 2: [F]=P 2 .

Desde en PAG 2 contiene un número infinito de otras funciones además de ( F) = (& ,Ú ,Ø ), entonces esto implica una ocurrencia estricta: ( F}Ì[ F]. El sistema considerado no es una clase funcionalmente cerrada.

Además del sistema en sí, los subsistemas estarán funcionalmente completos ( F) 1 = (& ,Ø ) y ( F) 2 = (Ú ,Ø ). Esto se desprende del hecho de que, utilizando las reglas de De Morgan, la función de suma lógica Ú se puede expresar mediante (& , Ø) y la función de multiplicación lógica & mediante (Ú, Ø):

(X & en) = Ø (` XÚ` en), (X Ú en) = Ø ( X &`en).

Otros subsistemas funcionalmente completos en ( F) No.

Comprobación de la integridad del subsistema de funciones ( F) 1 М ( F)en todo el sistema ( F)se puede producir mezclando ( F) 1 a otro, obviamente completo en ( F)sistema.

Incompletitud del subsistema ( F) 1 en ( F) puede verificarse demostrando la estricta ocurrencia de [ F 1 ] М [ F].

Definición. Subconjunto metroÍ METRO llamado base funcional(base)sistemas m, Si [ metro] = METRO, y después de excluir cualquier función del mismo, el conjunto de las restantes no está completo en METRO .

Comentario. Bases del sistema de funciones. (F) son todos sus subsistemas funcionalmente completos (F) 1, que no se puede reducir sin pérdida de integridad en (F).

Ejemplo 3. Para todos los sistemas considerados en el Ejemplo 2, encuentre las bases.

Solución.En los casos 1 y 2, sólo los propios sistemas están funcionalmente completos y es imposible delimitarlos. En consecuencia, también son bases.

En el caso 3 hay dos funcionalmente completos en ( F)subsistemas ( F) 1 = (&,Ø ) y ( F) 2 =(Ú,Ø ), que no se puede reducir sin pérdida de integridad. Serán las bases del sistema ( F} = {&,Ú,Ø}.

Definición. Deja que el sistema ( F) es una clase cerrada. Su subconjunto ( F) 1 М ( F) son llamados clase junior en{F), Si ( F) 1 no está completo en ( F} ([F 1 ] М [ F]), y para cualquier función j del sistema( F), no incluido en ( F) 1 (jО( F} \ {F) 1) verdadero: [ jÈ { F} 1 ] = [F], es decir. añadiendo jк ( F) 1 lo completa en ( F} .

Tareas

1. Verifique el cierre de conjuntos de funciones:

a) (Ø); b) (1, Ø); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); …).

2. Verifique la integridad de los sistemas de funciones en PAG 2:

a) (0,Ø); b) ((0101), (1010)); V); d) ((0001), (1010)).

3. Encuentre el cierre del sistema de funciones y su base:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000), (1010), (0101)); c) ((0001), (1110), (10)); d) ((1010), (0001), (0111)).

1.10.2 Funciones que conservan constantes. Clases T 0 y T 1

Definición. Función F(`xn) ahorra 0 si F(0,..., 0) = 0. Función F(`x n) ahorra 1 si F(1, ... , 1) = 1.

Muchas características norte las variables que almacenan 0 y 1 se denotan, respectivamente, t 0 norte Y t 1 norte. Todos los conjuntos de funciones de álgebra lógica que conservan 0 y 1. , denotar t 0 Y t 1 . Cada uno de los conjuntos t 0 y t 1 es una clase precompleta cerrada en R 2 .

De funciones elementales a t 0 y t 1 se incluyen simultáneamente, por ejemplo, & y Ú. Pertenencia de cualquier función a clases. t 0 , t 1 se puede comprobar mediante el primer y último valor de su vector de valores en la tabla de verdad o sustituyendo directamente ceros y unos en la fórmula al especificar la función analíticamente.

Definición.Duplicar Es una sustitución en la que se sustituye la misma variable en una función en lugar de varias variables independientes. En este caso, los valores de las variables en conjuntos que anteriormente tomaban valores de forma independiente entre sí siempre serán los mismos.

TAREAS

1.Verifique la membresía de la clase t 0 Y T 1 funciones:

a) suma generalizada, b) multiplicación generalizada, c) constantes, d) xyÚ yz, d) X® en® xy, mi) XÅ en, y)( X 1 Å … Å X norte) ® ( y 1 Å … Å y metro) en Nuevo MéjicoÎ NORTE.

2. Demostrar el carácter cerrado de cada una de las clases. t 0 Y t 1 .

3. Demuestre que si F(`x n) Ï t 0, luego, a partir de él, al duplicar la sustitución, se puede obtener la constante 1 o la negación.

4. Demuestre que si F(`x n) Ï t 1 , luego, a partir de él, al duplicar la sustitución, se puede obtener la constante 0 o la negación.

5. Demostrar la precompletitud de cada una de las clases. t 0 Y t 1 (por ejemplo, reduciendo el sistema aumentado a ( F} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Encuentra el poder de las clases. t 0 norte Y t 1 norte.