En esta lección nos familiarizaremos con una de las técnicas más importantes y más comunes que se utiliza para resolver integrales indefinidas: el método de cambio de variable. El dominio exitoso del material requiere conocimientos iniciales y habilidades de integración. Si tiene la sensación de tener una tetera llena y vacía en el cálculo integral, primero debe familiarizarse con el material, donde le expliqué de forma accesible qué es una integral y analicé en detalle ejemplos básicos para principiantes.

Técnicamente, el método de cambiar una variable en una integral indefinida se implementa de dos maneras:

– Subsumir la función bajo el signo diferencial;
– Realmente reemplazando la variable..

Esencialmente, son lo mismo, pero el diseño de la solución parece diferente.

Comencemos con un caso más simple.

Subsumir una función bajo el signo diferencial

En la lección Integral indefinida. Ejemplos de soluciones Aprendimos a abrir el diferencial, les recuerdo el ejemplo que puse:

Es decir, revelar una diferencial es formalmente casi lo mismo que encontrar una derivada.

Ejemplo 1

Realizar verificación.

Miramos la tabla de integrales y encontramos una fórmula similar: . Pero el problema es que bajo el seno no sólo tenemos la letra “X”, sino una expresión compleja. ¿Qué hacer?

Llevamos la función bajo el signo diferencial:

Abriendo el diferencial es fácil comprobar que:

De hecho y es una grabación de lo mismo.

Pero, aún así, la pregunta permaneció, ¿cómo llegamos a la idea de que en el primer paso necesitamos escribir nuestra integral exactamente así: ? ¿Por qué es esto y no de otra manera?

Fórmula (y todas las demás fórmulas de tabla) son válidas y aplicables NO SÓLO para la variable, sino también para cualquier expresión compleja SÓLO COMO ARGUMENTO DE FUNCIÓN( – en nuestro ejemplo) Y LA EXPRESIÓN BAJO EL SIGNO DIFERENCIAL FUERON LO MISMO .

Por tanto, el razonamiento mental a la hora de resolver debería ser algo como esto: “Necesito resolver la integral. Miré en la tabla y encontré una fórmula similar. . Pero tengo un argumento complejo y no puedo utilizar la fórmula de inmediato. Sin embargo, si consigo ponerlo bajo el signo diferencial, todo irá bien. Si lo escribo, entonces. Pero en la integral original no hay factor tres, por lo tanto, para que la función integrando no cambie, necesito multiplicarla por ". En el curso de aproximadamente tal razonamiento mental, nace la siguiente entrada:

Ahora puedes usar la fórmula tabular. :

Listo

La única diferencia es que no tenemos la letra “X”, sino una expresión compleja.

Vamos a revisar. Abre la tabla de derivadas y diferencia la respuesta:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.

Tenga en cuenta que durante la verificación utilizamos la regla para diferenciar una función compleja. . En esencia, subsumir la función bajo el signo diferencial y - estas son dos reglas mutuamente inversas.

Ejemplo 2

Analicemos la función integrando. Aquí tenemos una fracción y el denominador es una función lineal (con “X” elevada a la primera). Miramos la tabla de integrales y encontramos lo más parecido: .

Llevamos la función bajo el signo diferencial:

Aquellos a quienes les resulta difícil determinar inmediatamente por qué fracción multiplicar pueden revelar rápidamente el diferencial en un borrador: . Sí, resulta que esto significa que para que nada cambie, necesito multiplicar la integral por.
A continuación usamos la fórmula tabular. :

Examen:


Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.

Ejemplo 3

Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.

Ejemplo 4

Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.

Con algo de experiencia en la resolución de integrales, estos ejemplos le parecerán fáciles y funcionarán como locos:

Al final de esta sección, también me gustaría detenerme en el caso “libre”, cuando en una función lineal una variable ingresa con un coeficiente unitario, por ejemplo:

Estrictamente hablando, la solución debería verse así:

Como puede ver, subsumir la función bajo el signo diferencial fue "indoloro", sin ninguna multiplicación. Por lo tanto, en la práctica, una solución tan larga a menudo se descuida y se anota inmediatamente que . ¡Pero prepárate, si es necesario, para explicarle al profesor cómo lo resolviste! Porque en realidad no hay ninguna integral en la tabla.

Método de cambio de variable en integral indefinida.

Pasemos a considerar el caso general: el método de cambiar variables en una integral indefinida.

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida.

Como ejemplo, tomé la integral que vimos al comienzo de la lección. Como ya hemos dicho, para resolver la integral nos gustó la fórmula tabular , y me gustaría reducirle todo el asunto a ella.

La idea detrás del método de reemplazo es reemplazar una expresión compleja (o alguna función) con una sola letra.
En este caso se ruega:
La segunda carta de reemplazo más popular es la carta.
En principio, puedes utilizar otras letras, pero seguiremos adheridos a las tradiciones.

Entonces:
Pero cuando lo reemplazamos, ¡nos queda! Probablemente, muchos adivinaron que si se hace una transición a una nueva variable, entonces en la nueva integral todo debería expresarse mediante la letra , y no hay lugar para un diferencial allí.
La conclusión lógica es que necesitas convertirse en alguna expresión que depende sólo de.

La acción es la siguiente. Después de haber seleccionado un reemplazo, en este ejemplo, necesitamos encontrar el diferencial. Con diferencias, creo que todos ya han establecido una amistad.

Desde entonces

Después de desmontar el diferencial, recomiendo reescribir el resultado final lo más brevemente posible:
Ahora, según las reglas de proporción, expresamos lo que necesitamos:

Eventualmente:
De este modo:

Y esta ya es la integral más tabla. (la tabla de integrales, por supuesto, también es válida para la variable).

Finalmente solo queda realizar la sustitución inversa. Recordemos eso.

Listo.

El diseño final del ejemplo considerado debería verse así:

“

Reemplacemos:

“

El icono no tiene ningún significado matemático; significa que hemos interrumpido la solución por explicaciones intermedias.

Al preparar un ejemplo en un cuaderno, es mejor marcar la sustitución inversa con un simple lápiz.

¡Atención! En los siguientes ejemplos, la búsqueda del diferencial no se describirá en detalle.

Y ahora toca recordar la primera solución:

¿Cuál es la diferencia? No hay ninguna diferencia fundamental. En realidad es lo mismo. Pero desde el punto de vista del diseño de la tarea, el método de subsumir una función bajo el signo diferencial es mucho más corto..

Surge la pregunta. Si el primer método es más corto, ¿por qué utilizar el método de reemplazo? El hecho es que para varias integrales no es tan fácil "ajustar" la función al signo del diferencial.

Ejemplo 6

Encuentra la integral indefinida.

Hagamos un reemplazo: (es difícil pensar en otro reemplazo aquí)

Como puede ver, como resultado del reemplazo, la integral original se simplificó significativamente: se redujo a una función de potencia ordinaria. Este es el propósito del reemplazo: simplificar la integral..

Las personas avanzadas y perezosas pueden resolver fácilmente esta integral subsumiendo la función bajo el signo diferencial:

Otra cosa es que esta solución, obviamente, no es para todos los estudiantes. Además, ya en este ejemplo, el uso del método de subsumir una función bajo el signo diferencial aumenta significativamente el riesgo de confundirse en una decisión.

Ejemplo 7

Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.

Ejemplo 8

Encuentra la integral indefinida.

Reemplazo:
Queda por ver en qué se convertirá.

Vale, lo hemos expresado, pero ¿qué hacer con la “X” que queda en el numerador?
De vez en cuando, al resolver integrales, nos encontramos con el siguiente truco: ¡expresaremos a partir de la misma sustitución!

Ejemplo 9

Encuentra la integral indefinida.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.

Ejemplo 10

Encuentra la integral indefinida.

Seguramente algunas personas notaron que en mi tabla de búsqueda no existe una regla de reemplazo de variables. Esto se hizo deliberadamente. La regla crearía confusión en la explicación y comprensión, ya que no aparece explícitamente en los ejemplos anteriores.

Ahora es el momento de hablar sobre la premisa básica del uso del método de sustitución de variables: el integrando debe contener alguna función y su derivada:(Es posible que las funciones no estén en el producto)

En este sentido, al encontrar integrales, a menudo hay que consultar la tabla de derivadas.

En el ejemplo considerado, notamos que el grado del numerador es uno menos que el grado del denominador. En la tabla de derivadas encontramos la fórmula, que simplemente reduce el grado en uno. Y eso significa que si lo designas como denominador, entonces hay muchas posibilidades de que el numerador se convierta en algo bueno.

Pasemos a considerar el caso general: el método de cambiar variables en una integral indefinida.

Ejemplo 5

Como ejemplo, tomemos la integral que vimos al comienzo de la lección. Como ya hemos dicho, para resolver la integral nos gustó la fórmula tabular ,

y me gustaría reducirle todo el asunto.

La idea detrás del método de reemplazo es reemplace una expresión compleja (o alguna función) con una sola letra.

En este caso se ruega:

La segunda letra más popular para reemplazar es la letra z. En principio, puedes utilizar otras letras, pero seguiremos adheridos a las tradiciones.

Pero a la hora de sustituir nos quedamos con dx! Probablemente muchos hayan adivinado que si se realiza una transición a una nueva variable t, entonces en la nueva integral todo debe expresarse mediante la letra t, y diferencial dx no hay ningún lugar en absoluto. La conclusión lógica es que dx Necesitar convertirse en alguna expresión que depende sólo det.

La acción es la siguiente. Después de haber seleccionado un reemplazo, en este ejemplo lo es, necesitamos encontrar el diferencial dt.

Ahora, de acuerdo con las reglas de proporción, expresamos dx:

.

De este modo:

.

Y esta ya es la integral más tabla.

(la tabla de integrales, por supuesto, también es válida para la variable t).

Finalmente solo queda realizar la sustitución inversa. Recordemos eso.

El diseño final del ejemplo considerado debería verse así:

Hagamos el reemplazo: , entonces

.

.

El icono no tiene ningún significado matemático; significa que hemos interrumpido la solución por explicaciones intermedias.

Al preparar un ejemplo en un cuaderno, es mejor marcar la sustitución inversa con un simple lápiz.

¡Atención! En los siguientes ejemplos, no se describirá en detalle cómo encontrar el diferencial de una nueva variable.

Recuerda la primera solución:

¿Cuál es la diferencia? No hay ninguna diferencia fundamental. En realidad es lo mismo.

Pero, desde el punto de vista del diseño de la tarea, el método de subsumir una función bajo el signo diferencial es mucho más corto.

Surge la pregunta. Si el primer método es más corto, ¿por qué utilizar el método de reemplazo? El hecho es que para varias integrales no es tan fácil "ajustar" la función al signo del diferencial.

Ejemplo 6

Encuentra la integral indefinida.

.

Reemplacemos:

;

.

Como puede ver, como resultado del reemplazo, la integral original se simplificó significativamente: se redujo a una función de potencia ordinaria. Este es el propósito del reemplazo: simplificar la integral..

Las personas avanzadas y perezosas pueden resolver fácilmente esta integral subsumiendo la función bajo el signo diferencial:

Otra cosa es que esta solución, obviamente, no es para todos los estudiantes. Además, ya en este ejemplo, el uso del método de subsumir una función bajo el signo diferencial aumenta significativamente el riesgo de confundirse en una decisión.

Ejemplo 7

Encuentra la integral indefinida

Realizar verificación.

Ejemplo 8

Encuentra la integral indefinida.

.

Solución: Hacemos un reemplazo: .

.

Queda por ver en qué se convertirá. xdx? De vez en cuando, al resolver integrales, surge el siguiente truco: X expresaremos del mismo reemplazo:

.

Ejemplo 9

Encuentra la integral indefinida.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.

Ejemplo 10

Encuentra la integral indefinida.

Seguramente algunas personas notaron que la tabla de búsqueda no tiene una regla de reemplazo de variables. Esto se hizo deliberadamente. La regla crearía confusión en la explicación y comprensión, ya que no aparece explícitamente en los ejemplos anteriores.

Ahora es el momento de hablar sobre la premisa básica del uso del método de sustitución de variables: el integrando debe contener alguna función y su derivada. Por ejemplo, como : .

F Las funciones pueden no estar en el trabajo, sino en una combinación diferente.

En este sentido, al encontrar integrales, a menudo hay que consultar la tabla de derivadas.

En el ejemplo 10 considerado, notamos que el grado del numerador es uno menos que el grado del denominador. En la tabla de derivadas encontramos la fórmula, que simplemente reduce el grado en uno. Y eso significa que si designamos como t denominador, entonces hay muchas posibilidades de que el numerador xdx se convertirá en algo bueno:

Reemplazo: .

Por cierto, no es tan difícil subsumir la función bajo el signo diferencial:

Cabe señalar que para fracciones como , este truco ya no funcionará (más precisamente, será necesario aplicar no solo la técnica de reemplazo).

Puedes aprender a integrar algunas fracciones en clase. Integrando fracciones complejas. Aquí hay un par de ejemplos más típicos para resolver el mismo método usted mismo.

Ejemplo 11

Encuentra la integral indefinida

Ejemplo 12

Encuentra la integral indefinida

Soluciones al final de la lección.

Ejemplo 13

Encuentra la integral indefinida

.

Miramos la tabla de derivadas y encontramos nuestro arco coseno: , ya que en nuestro integrando tenemos el arco coseno y algo parecido a su derivada.

Regla general:

Detrás t denotamos la función misma(y no su derivado).

En este caso: . Queda por descubrir en qué se convertirá la parte restante del integrando.

En este ejemplo, encontrar d t Anotémoslo detalladamente, ya que es una función compleja:

O, en resumen:

.

Usando la regla de proporción, expresamos el resto que necesitamos: .

De este modo:

Ejemplo 14

Encuentra la integral indefinida.

.

Un ejemplo de una solución independiente. La respuesta está muy cerca.

Los lectores atentos habrán notado que hemos considerado pocos ejemplos con funciones trigonométricas. Y esto no es casualidad, porque bajo y integrales de funciones trigonométricas Se proporcionan lecciones separadas para 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Además, a continuación se presentan algunas pautas útiles para reemplazar una variable, lo cual es especialmente importante para los tontos, que no siempre comprenden ni comprenden de inmediato qué tipo de reemplazo se debe realizar en una integral en particular. Asimismo, algunos tipos de sustituciones se pueden encontrar en el artículo 7.2.

Los estudiantes más experimentados pueden familiarizarse con un reemplazo típico. en integrales con funciones irracionales

Ejemplo 12: Solución:

Reemplacemos:

Ejemplo 14: Solución:

Reemplacemos:

Tipo de lección: aprendiendo nuevo material.

Tareas educativas:

• enseñar a los estudiantes a utilizar el método de integración por sustitución;
• continuar desarrollando habilidades en el uso de la integración de funciones;
• continuar desarrollando un interés en las matemáticas mediante la resolución de problemas;
• cultivar una actitud consciente hacia el proceso de aprendizaje, inculcar un sentido de responsabilidad por la calidad del conocimiento, ejercer el autocontrol sobre el proceso de resolución y diseño de ejercicios;
• Recuerde que solo el uso consciente de algoritmos para calcular la integral indefinida permitirá a los estudiantes dominar cualitativamente el tema en estudio.

Proporcionar clases:

• cuadro de fórmulas básicas de integración;
• Tarjetas de tareas para trabajos de prueba.

El estudiante debe saber: algoritmo para calcular la integral indefinida mediante el método de sustitución.

El estudiante debe ser capaz de: Aplicar los conocimientos adquiridos al cálculo de integrales indefinidas.

Motivación de la actividad cognitiva de los estudiantes.

El docente informa que además del método de integración directa, existen otros métodos para calcular integrales indefinidas, uno de los cuales es el método de sustitución. Este es el método más común para integrar una función compleja, consistente en transformar la integral pasando a otra variable de integración.

Progreso de la lección

I. Organizar el tiempo.

II. Revisando la tarea.

Encuesta frontal:

III. Repetición de los conocimientos básicos de los estudiantes.

1) Repetir la tabla de fórmulas básicas de integración.

2) Repetir cuál es el método de integración directa.

La integración directa es un método de integración en el que una integral dada se reduce a una o más integrales de tabla mediante transformaciones idénticas del integrando y la aplicación de las propiedades de la integral indefinida.

IV. Aprender material nuevo.

No siempre es posible calcular una integral dada mediante integración directa y, en ocasiones, esto conlleva grandes dificultades. En estos casos se utilizan otras técnicas. Una de las técnicas más efectivas es el método de sustitución o reemplazo de la variable de integración. La esencia de este método es que al introducir una nueva variable de integración es posible reducir una integral dada a una nueva integral, lo cual es relativamente fácil de tomar directamente. Si después de cambiar la variable la integral se vuelve más simple, entonces se ha logrado el objetivo de la sustitución. La integración por método de sustitución se basa en la fórmula

Consideremos este método.

Algoritmo de cálculointegral indefinida por método de sustitución:

1. Determine a qué integral de tabla se reduce esta integral (después de transformar primero el integrando, si es necesario).
2. Determine qué parte del integrando reemplazar con una nueva variable y anote este reemplazo.
3. Encuentre los diferenciales de ambas partes del registro y exprese el diferencial de la variable anterior (o una expresión que contenga este diferencial) en términos del diferencial de la nueva variable.
4. Haz una sustitución debajo de la integral.
5. Encuentra la integral resultante.
6. Como resultado, se realiza una sustitución inversa, es decir ir a la antigua variable. Es útil comprobar el resultado por diferenciación.

Veamos ejemplos.

Ejemplos. Encuentra las integrales:

1) )4

Introduzcamos la sustitución:

Derivando esta igualdad tenemos:

V. Aplicación de conocimientos en la resolución de ejemplos típicos.

VI. Aplicación independiente de conocimientos, habilidades y habilidades.

Opción 1

Encuentra las integrales:

opcion 2

Encuentra las integrales:

VII. Resumiendo la lección.

VIII. Tarea:

G.N. Yakovlev, parte 1, §13.2, párrafo 2, No. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

2. Reemplazo de variables (método de sustitución)

La esencia del método de sustitución es que, como resultado de introducir una nueva variable, la dada difícil la integral se reduce a una tabular o a una cuyo método de cálculo se conoce.

Sea necesario calcular la integral. Hay dos reglas de sustitución:

Regla general para seleccionar una función.
no existe, pero hay varios tipos de funciones integrandos para las cuales existen recomendaciones para seleccionar la función
.

La sustitución de variables se puede aplicar varias veces hasta obtener el resultado.

Ejemplo 1. Encuentra las integrales:

A)
; b)
; V)
;

GRAMO)
; d)
; mi)
.

Solución.

a) Entre las integrales de tabla no hay radicales de varios grados, por lo que “quiero deshacerme”, en primer lugar, de
Y
. Para hacer esto necesitarás reemplazar X tal expresión de la cual ambas raíces podrían extraerse fácilmente:

b) Un ejemplo típico cuando se desea “deshacerse” de la función exponencial
. Pero en este caso es más conveniente tomar como nueva variable la expresión completa en el denominador de la fracción:

;

c) Notar que el numerador contiene el producto
, que es parte del diferencial de la expresión radical, reemplace esta expresión completa con una nueva variable:

;

d) Aquí, como en el caso a), quiero deshacerme del radical. Pero como, a diferencia del punto a), sólo existe una raíz, la sustituiremos por una nueva variable:

e) Aquí, la elección del reemplazo se ve facilitada por dos circunstancias: por un lado, el deseo intuitivo de deshacerse de los logaritmos, por otro lado, la presencia de la expresión , que es el diferencial de la función
. Pero al igual que en los ejemplos anteriores, es mejor incluir las constantes que acompañan al logaritmo en el reemplazo:

f) Aquí, como en el ejemplo anterior, el deseo intuitivo de deshacerse del engorroso exponente en el integrando es consistente con el hecho bien conocido:
(fórmula 8 de la tabla 3). Por lo tanto tenemos:

.

Reemplazo de variables para algunas clases de funciones

Veamos algunas clases de funciones para las cuales se pueden recomendar ciertas sustituciones.

Tabla 4.Funciones racionales

Tipo de integral	Método de integración
1.1.
1.2.
1.3.	Seleccionando un cuadrado completo:
1.4.	Fórmula de recurrencia

Funciones trascendentales:

1.5.
– sustitución t = mi X ;

1.6.
– sustitución t= iniciar sesión a X.

Ejemplo 2. Encuentra integrales de funciones racionales:

A)
; b)
;

V)
; d)
.

Solución.

a) No es necesario calcular esta integral mediante un cambio de variables; aquí es más fácil utilizar la sustitución bajo el signo diferencial:

b) De manera similar, utilizamos subsumir bajo el signo diferencial:

;

c) Ante nosotros tenemos una integral del tipo 1.3 de la Tabla 4, utilizaremos las recomendaciones correspondientes:

e) Similar al ejemplo anterior:

Ejemplo 3. encontrar integrales

A)
; b)
.

Solución.

b) El integrando contiene un logaritmo, por lo que usaremos la recomendación 1.6. Solo que en este caso es más conveniente reemplazar no solo una función
, y toda la expresión radical:

.

Tabla 6. Funciones trigonométricas (R

Tipo de integral	Método de integración
3.1.	sustitución universal , , ,
3.1.1. , Si	Sustitución
3.1.2. , Si	Sustitución .
3.1.3. . , Si (es decir, sólo hay potencias pares de funciones )	Sustitución
3.2.	Si – impar, véase 3.1.1; Si – impar, véase 3.1.2; Si – incluso, entonces véase 3.1.3; Si – incluso, luego use fórmulas para reducir el grado ,
3.3. , ,	Usar fórmulas

Ejemplo 4. Encuentra las integrales:

A)
; b)
; V)
; d)
.

Solución.

a) Aquí integramos la función trigonométrica. Apliquemos una sustitución universal (Tabla 6, 3.1):

.

b) Aquí también aplicamos una sustitución universal:

.

Nótese que en la integral considerada el cambio de variables tuvo que aplicarse dos veces.

c) Calculamos de manera similar:

e) Consideremos dos métodos para calcular esta integral.

1)

.

Como puedes ver, hemos obtenido diferentes funciones primitivas. Esto no significa que una de las técnicas utilizadas dé un resultado incorrecto. El hecho es que usando las conocidas identidades trigonométricas que conectan la tangente de un medio ángulo con las funciones trigonométricas de un ángulo completo, tenemos

Por tanto, las antiderivadas encontradas coinciden entre sí.

Ejemplo 5. Encuentra las integrales:

A)
; b)
; V)
; GRAMO)
.

Solución.

a) En esta integral también podemos aplicar la sustitución universal
, pero dado que el coseno incluido en el integrando está elevado a una potencia par, es más racional utilizar las recomendaciones del párrafo 3.1.3 de la Tabla 6:

b) Primero, reduzcamos todas las funciones trigonométricas incluidas en el integrando a un argumento:

En la integral resultante, podemos aplicar una sustitución universal, pero observamos que el integrando no cambia de signo cuando cambian los signos del seno y el coseno:

En consecuencia, la función tiene las propiedades especificadas en el párrafo 3.1.3 de la Tabla 6, por lo que la sustitución más conveniente será
. Tenemos:

c) Si en un integrando dado se cambia el signo del coseno, entonces toda la función cambia de signo:

.

Esto significa que el integrando tiene la propiedad descrita en el párrafo 3.1.2. Por tanto, es racional utilizar la sustitución.
. Pero primero, como en el ejemplo anterior, transformamos la función integrando:

d) Si en un integrando dado se cambia el signo del seno, entonces toda la función cambiará de signo, lo que significa que tenemos el caso descrito en el párrafo 3.1.1 de la Tabla 6, por lo tanto la nueva variable debe designarse como función.
. Pero como en el integrando no hay presencia de la función
, ni su diferencial, primero transformamos:

Ejemplo 6. Encuentra las integrales:

A)
; b)
;

V)
GRAMO)
.

Solución.

a) Esta integral se refiere a integrales del tipo 3.2 de la Tabla 6. Dado que el seno es una potencia impar, según las recomendaciones conviene sustituir la función
. Pero primero transformamos la función integrando:

.

b) Esta integral es del mismo tipo que la anterior, pero aquí las funciones
Y
tienen grados pares, por lo que es necesario aplicar las fórmulas para reducir el grado:
,
. Obtenemos:

=

c) Transformar la función:

d) De acuerdo a las recomendaciones 3.1.3 de la Tabla 6, en esta integral es conveniente realizar el reemplazo
. Obtenemos:

Tabla 5.Funciones irracionales (R– función racional de sus argumentos)

Tipo de integral	Método de integración
	Sustitución , Dónde k – denominador común de fracciones …, .
	Sustitución , Dónde k–denominador común de fracciones …,
2.3.	Sustitución, , Dónde k– denominador común de fracciones exponentes …,
2.4.	Sustitución .
2.5.	Sustitución ,
2.6.	Sustitución , .
2.7.	Sustitución , .
2.8. (binomio diferencial), se integra sólo en tres casos: A) R– número entero (sustitución X = t k, Dónde k– denominador común de fracciones t Y PAG); b) – completo (reemplazo = t k, Dónde k– denominador de la fracción R); V) – completo (reemplazo = t k, Dónde k– denominador de la fracción R).

Ejemplo 7. Encuentra las integrales:

A)
; b)
; V)
.

Solución.

a) Esta integral se puede clasificar como integrales del tipo 2.1, así que hagamos la sustitución adecuada. Recordemos que el objetivo del reemplazo en este caso es deshacerse de la irracionalidad. Y esto significa que la expresión radical debe ser reemplazada por una potencia de una nueva variable de la cual se extraerían todas las raíces bajo la integral. En nuestro caso es obvio :

Bajo la integral obtenemos una fracción racional impropia. Integrar tales fracciones implica, en primer lugar, aislar la parte completa. Entonces dividimos el numerador por el denominador:

Entonces obtenemos
, de aquí

Calcular la integral dada por integración directa.

No siempre funciona. Una de las técnicas más efectivas.

es un método de sustitución o reemplazo de la variable de integración.

La esencia de este método es que al introducir una nueva variable de integración es posible reducir la integral dada a

a una nueva integral, que se toma por integración directa.

Considere este método:

Sea una función continua

necesito encontrar: (1)

Cambiemos la variable de integración:

donde φ (t) es una función monótona que tiene una derivada continua

y hay una función compleja f(φ(t)).

Aplicando a F (x) = F(φ (t)) la fórmula de diferenciación compleja

funciones, obtenemos:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Pero F′(x) = f (x) = f (φ (t)), entonces

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Por tanto, la función F(φ (t)) es una antiderivada de la función

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), por lo tanto:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Considerando que F (φ (t)﴿ = F (x), de (1) y (4) la fórmula de reemplazo sigue

variable en la integral indefinida:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Formalmente, la fórmula (5) se obtiene reemplazando x por φ (t) y dx por φ′ (t)dt.

El resultado obtenido después de la integración según la fórmula (5) es el siguiente

volver a la variable x. Esto siempre es posible, ya que preferentemente

Además, la función x = φ (t) es monótona.

Una elección exitosa de sustitución suele implicar esfuerzos bien conocidos.

ness. Para superarlos es necesario dominar la técnica de la diferenciación.

citas y tener un buen conocimiento de integrales de tablas.

Pero aún puedes establecer una serie de reglas generales y algunas técnicas.

integración.

Reglas de integración por sustitución:

1. Determine a qué integral de tabla se reduce esta integral (después de transformar la expresión del integrando, si es necesario).

2. Determine qué parte de la función integrando necesita ser reemplazada.

nueva variable y anote este reemplazo.

3. Encuentre los diferenciales de ambas partes del registro y exprese el diferencial.

dial de la variable antigua (o una expresión que contenga esta diferencia).

regional) a través del diferencial de la nueva variable.

4. Haz una sustitución debajo de la integral.

5. Encuentra la integral resultante.

6. Como resultado, van a la variable anterior.

Ejemplos de resolución de integrales mediante el método de sustitución:

1. Encuentra: ∫ x²(3+2x) dx

Solución:

hagamos la sustitución 3+2x = t

Encontremos el diferencial de ambos lados de la sustitución:

6x dx = dt, de donde

Por eso:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Reemplazando t con su expresión de la sustitución, obtenemos:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Solución:

= = ∫ mi = mi + C = mi + C

Solución:

Solución:

Solución:

El concepto de integral definida.

La diferencia de valores para cualquier función antiderivada cuando el argumento cambia de a se llama integral definida de esta función en el rango de aby se denota:

a y b se denominan límites superior e inferior de integración.

Para calcular la integral definida necesitas:

1. Encuentra la integral indefinida correspondiente.

2. Sustituya en la expresión resultante en lugar de x, primero el límite superior de integración en y luego el límite inferior - a.

3. Resta el segundo del primer resultado de la sustitución.

Brevemente, esta regla está escrita en forma de fórmulas como esta:

Esta fórmula se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Propiedades básicas de la integral definida:

1. , donde K=constante

3. Si, entonces

4. Si la función no es negativa en el intervalo , donde , entonces

Al reemplazar una variable de integración antigua por una nueva en una integral definida, es necesario reemplazar los límites de integración antiguos por otros nuevos. Estos nuevos límites están determinados por la sustitución seleccionada.

Aplicación de la integral definida.

El área de un trapezoide curvilíneo delimitada por una curva, el eje x y dos rectas. Y calculado por la fórmula:

El volumen de un cuerpo formado por la rotación alrededor del eje x de un trapecio curvilíneo delimitado por una curva que no cambia de signo por un eje x y dos rectas. Y calculado por la fórmula:

Usando una integral definida, también puedes resolver una serie de problemas físicos.

Por ejemplo:

Si la velocidad de un cuerpo que se mueve rectilíneamente es una función conocida del tiempo t, entonces el camino S recorrido por este cuerpo desde el momento t = t 1 hasta el momento t = t 2 está determinado por la fórmula:

Si la fuerza variable es una función conocida de la trayectoria S (se supone que la dirección de la fuerza no cambia), entonces el trabajo A realizado por esta fuerza en la trayectoria desde a está determinado por la fórmula:

Ejemplos:

1. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

y = ; y = (x-2) 2 ; 0x.

Solución:

a) Construyamos gráficas de funciones: y = ; y = (x-2) 2

b) Determinar la figura cuyo área se desea calcular.

c) Determinar los límites de integración resolviendo la ecuación: = (x-2) 2 ; x = 1;

d) Calcular el área de una figura dada:

S = dx + 2 dx = 1 unidad 2

2. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

Y = x2; x = y 2 .

Solución:

x2 = ; x4 = x;

x(x3 – 1) = 0

x1 = 0; x2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = unidad 2

3. Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al rotar una figura delimitada por líneas alrededor del eje 0x: y = ; x = 1 .

Solución:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 unidades. 3

Prueba de tarea en matemáticas
Opciones para tareas.

Opción 1

y = (x + 1) 2 ; y = 1 – x ; 0x

Opción número 2

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

y = 6 – x ; y = x 2 + 4

Opción #3.

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

y = - x 2 + 5 ; y = x + 3

Opción número 4.

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

y = x2; x = 3; Buey

Opción #5.

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

y = 3 + 2x – x 2 ; Buey

Opción número 6.

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas:

y = x + 6 ; y = 8 + 2x – x 2

Opción número 7

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

3. Calcula el volumen del cuerpo formado por la rotación alrededor de Ox de una figura delimitada por líneas:

y = sen x ; y = 0; x = 0; x = π

Opción número 8.

1. Resuelve el sistema de ecuaciones de tres formas:

2. Calcula las integrales cambiando la variable:

Bibliografía

1. D.T. escrito. Apuntes de conferencias sobre matemáticas superiores Partes 1, 2. M. IRIS PRESS, 2006.

2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Elementos de las matemáticas superiores. M. Academia, 2008

3. Vygodsky M.Ya. Manual de matemáticas superiores. M. Ciencias, 2001

4. Shipachev V.S. Matemáticas avanzadas. M. Escuela superior, 2005.

5. Shipachev V.S. Libro de problemas en matemáticas superiores. M. Escuela superior, 2005.