Leçon pratique sur les bases arithmétiques du fonctionnement d'un ordinateur. Fondements arithmétiques et logiques du fonctionnement informatique

24.11.2023

Il existe des systèmes de numérotation positionnels et non positionnels.

DANS non positionnel Dans ces systèmes, le poids d'un chiffre (c'est-à-dire sa contribution à la valeur d'un nombre) ne dépend pas de sa position dans la notation du nombre. Ainsi, dans le système numérique romain du nombre XXXII (trente-deux), le poids du nombre X dans n'importe quelle position est simplement dix.

DANS positionnel Dans les systèmes numériques, le poids de chaque chiffre varie en fonction de sa position (position) dans la séquence de chiffres représentant le nombre. Par exemple, dans le nombre 757,7, les sept premiers signifient 7 centaines, le deuxième - 7 unités et le troisième - 7 dixièmes d'unité.

La notation même du nombre 757.7 signifie une notation abrégée de l'expression

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.

Tout système de numérotation positionnelle est caractérisé par sa base.

N'importe quel nombre naturel peut être pris comme base du système - deux, trois, quatre, etc. Par conséquent, une infinité de systèmes positionnels sont possibles : binaire, ternaire, quaternaire, etc. Écrire des nombres dans chaque système numérique avec une base q signifie une expression abrégée

un n-1 q n-1 + un n-2 q n-2 + ... + un 1 q 1 + un 0 q 0 + un -1 q -1 + ... + un -m q -m ,

Où un je– les numéros du système de numérotation ; n Et m– le nombre de chiffres entiers et fractionnaires, respectivement.

Par exemple:

Comment les entiers sont-ils générés dans les systèmes de numérotation positionnelle ?

Dans chaque système numérique, les chiffres sont classés selon leur signification : 1 est supérieur à 0, 2 est supérieur à 1, etc.

Avancer le chiffre 1 signifie le remplacer par 2, avancer le chiffre 2 signifie le remplacer par 3, etc. Avancer le chiffre le plus élevé (par exemple, le chiffre 9 dans le système décimal) revient à le remplacer par 0. Dans binaire système utilisant seulement deux chiffres - 0 et 1, promouvoir 0 signifie le remplacer par 1, et promouvoir 1 signifie le remplacer par 0.

Les entiers dans n'importe quel système numérique sont générés à l'aide de la règle de comptage :

En appliquant cette règle, on écrit les dix premiers entiers

· en système binaire : 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 ;

· dans le système ternaire : 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 ;

· dans le système quintuple : 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14 ;

· système octal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Quels systèmes numériques les spécialistes utilisent-ils pour communiquer avec un ordinateur ?

En plus des décimales, les systèmes dont la base est puissance entière de 2, à savoir:

· binaire (les chiffres 0, 1 sont utilisés) ;

· octal (les chiffres 0, 1, ..., 7 sont utilisés) ;

· hexadécimal (pour les premiers nombres entiers de zéro à neuf, on utilise les chiffres 0, 1, ..., 9, et pour les nombres suivants - de dix à quinze - les caractères A, B, C, D, E, F sont utilisés comme chiffres) .

Il est utile de rappeler la notation dans ces systèmes numériques pour les deux premières dizaines d'entiers :

10ème	2ème	8ème	16ème

10ème	2ème	8ème	16ème
			UN
			B
			C
			D
			E
			F

De tous les systèmes numériques, le système numérique binaire est particulièrement simple et donc intéressant pour la mise en œuvre technique dans les ordinateurs.

Comment convertir un entier du système décimal vers tout autre système de numérotation positionnelle ?

Exemple : Convertissez le nombre 75 de décimal en binaire, octal et hexadécimal :

Réponse : 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Ajout

Les tableaux d'addition sont faciles à créer à l'aide de la règle de comptage.

Addition en hexadécimal

Lors de l'addition, les nombres sont additionnés par chiffres, et s'il y a un excédent, il est transféré vers la gauche.

Exemple 1. Additionnons les nombres 15 et 6 dans différents systèmes numériques.

Exemple 2. Additionnez les nombres 15, 7 et 3.

Hexadécimal : F 16 +7 16 +3 16

Réponse : 5+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16. Vérifiez : 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1*16 1 + 9 *16 0 = 16+9 = 25.

Exemple 3. Additionnez les nombres 141,5 et 59,75.

Réponse : 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Examen. Convertissons les montants résultants sous forme décimale :
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 -1 = 201,25
C9.4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25

Soustraction

Exemple 4. Soustrayez un des nombres 10 2, 10 8 et 10 16

Exemple 5. Soustrayez un des nombres 100 2, 100 8 et 100 16.

Exemple 6. Soustrayez le nombre 59,75 du nombre 201,25.

Réponse : 201,25 10 – 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D.8 16.

Examen. Convertissons les différences résultantes sous forme décimale :
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 –1 = 141,5;
215,4 8 = 2*8 2 + 1*8 1 + 5*8 0 + 4*8 –1 = 141,5;
8D.8 16 = 8*16 1 + D*16 0 + 8*16 –1 = 141,5.

Multiplication

Lors de la multiplication de nombres à plusieurs chiffres dans différents systèmes de numérotation positionnelle, vous pouvez utiliser l'algorithme habituel pour multiplier des nombres dans une colonne, mais les résultats de la multiplication et de l'addition de nombres à un chiffre doivent être empruntés aux tables de multiplication et d'addition correspondant au système dans question.

Multiplication dans le système binaire

Multiplication en système octal

En raison de l'extrême simplicité de la table de multiplication dans le système binaire, la multiplication se réduit uniquement aux déplacements du multiplicande et aux additions.

Exemple 7. Multipliez les nombres 5 et 6.

Réponse : 5*6 = 30 10 = 11110 2 = 36 8.

11110 2 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;
36 8 = 3 8 1 + 6 8 0 = 30.

Exemple 8. Multipliez les nombres 115 et 51.

Réponse : 115*51 = 5865 10 = 1011011101001 2 = 13351 8.

Examen. Convertissons les produits résultants sous forme décimale :
1011011101001 2 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;
13351 8 = 1*8 4 + 3*8 3 + 3*8 2 + 5*8 1 + 1*8 0 = 5865.

Division

La division dans n'importe quel système de numérotation positionnelle s'effectue selon les mêmes règles que la division par angle dans le système décimal. Dans le système binaire, la division est particulièrement simple, car le chiffre suivant du quotient ne peut être que zéro ou un.

Exemple 9. Divisez le nombre 30 par le nombre 6.

Réponse : 30 : 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8.

Exemple 10. Divisez le nombre 5865 par le nombre 115.

Octal : 13351 8:163 8

Réponse : 5865 : 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8.

110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6*8 1 + 3*8 0 = 51.

Exemple 11. Divisez le nombre 35 par le nombre 14.

Octal : 43 8 : 16 8

Réponse : 35 : 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8.

Examen. Convertissons les quotients résultants sous forme décimale :
10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;
2,4 8 = 2*8 0 + 4*8 -1 = 2,5.

Addition et soustraction

Lors de l'addition des codes réciproques des nombres A et B, il existe quatre cas principaux et deux cas particuliers :

1. A et B sont positifs. Lors de la sommation, tous les chiffres sont ajoutés, y compris le chiffre du signe. Puisque les chiffres de signe des termes positifs sont égaux à zéro, le chiffre de signe de la somme est également zéro. Par exemple:

Le résultat correct a été obtenu.

Le résultat correct a été obtenu dans le code inverse. Lors de la conversion en code direct, les bits de la partie numérique du résultat sont inversés : 1 0000111 = –7 10 .

L'ordinateur corrige le résultat incorrect initialement obtenu (6 au lieu de 7) en transférant un du chiffre du signe au chiffre le moins significatif de la somme.

Le résultat incorrect initialement obtenu (le code inverse du nombre –11 10 au lieu du code inverse du nombre –10 10) est corrigé par l'ordinateur en transférant l'unité du chiffre du signe au chiffre de poids faible de la somme.

Lors de la conversion du résultat en code direct, les bits de la partie numérique du nombre sont inversés : 1 0001010 = –10 10 .

Lors de l'ajout, une situation peut survenir lorsque les bits les plus significatifs du résultat de l'opération ne rentrent pas dans la zone mémoire qui lui est allouée. Cette situation est appelée débordement de la grille de bits du format numérique. Pour détecter les débordements et signaler une erreur survenue, des outils spéciaux sont utilisés dans l'ordinateur. Vous trouverez ci-dessous deux cas possibles de débordement.

5. A et B sont positifs, la somme de A+B est supérieure ou égale à 2 n–1, où n est le nombre de chiffres du format numérique (pour un format mono-octet n=8, 2 n– 1 = 27 = 128). Par exemple:

Les sept chiffres de la partie numérique du format numérique ne suffisent pas pour contenir une somme à huit chiffres (162 10 = 10100010 2), donc le bit le plus significatif de la somme se retrouve dans le bit de signe. Cela provoque une inadéquation entre le signe de la somme et les signes des termes, ce qui témoigne d'un débordement de la grille de bits.

Ici, le signe de la somme ne coïncide pas non plus avec les signes des termes, ce qui indique un débordement de la grille de bits.

Tous ces cas se produisent lors de l'ajout codes supplémentaires Nombres:

1. A et B sont positifs. Il n’y a ici aucune différence avec le cas 1, considéré pour le code inverse.

2. A est positif, B est négatif et est supérieur en valeur absolue à A. Par exemple :

Le résultat correct a été obtenu dans le code complément à deux. Lors de la conversion en code direct, les bits de la partie numérique du résultat sont inversés et un est ajouté au chiffre le moins significatif : 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10 .

3. A est positif, B est négatif et est inférieur en valeur absolue à A. Par exemple :

Le résultat correct a été obtenu. L'ordinateur supprime l'unité de report du bit de signe.

4. A et B sont négatifs. Par exemple:

Le résultat correct a été obtenu dans le code complément à deux. L'ordinateur supprime l'unité de retenue du bit de signe.

Les cas de débordement pour les codes complémentaires sont considérés par analogie avec les cas 5 et 6 pour les codes inverses.

Une comparaison des formes considérées de codage des entiers signés montre :

· l'ordinateur passe moins de temps à convertir un nombre négatif en code inverse qu'à le convertir en code supplémentaire, puisque cette dernière se compose de deux étapes : générer le code inverse et ajouter un à son chiffre le moins significatif ;

· le temps d'addition pour les codes supplémentaires de nombres est inférieur à celui pour leurs codes inverses, car dans un tel ajout il n'y a pas de transfert d'un du bit de signe au bit de poids faible du résultat.

Multiplication et division

Dans de nombreux ordinateurs, la multiplication est effectuée sous la forme d'une séquence d'additions et de décalages. Pour ce faire, l'ALU dispose d'un registre appelé additionneur accumulateur, qui contient le nombre zéro avant le début de l'opération. Pendant l'opération, le multiplicande et les résultats des additions intermédiaires y sont alternativement placés, et à la fin de l'opération, le résultat final est placé.

L'autre registre ALU impliqué dans cette opération contient d'abord le multiplicateur. Puis, au fur et à mesure des additions, le nombre qu’il contient diminue jusqu’à atteindre zéro.

À titre d'illustration, multiplions 110011 2 par 101101 2.

La division est une opération difficile pour un ordinateur. Il est généralement mis en œuvre en ajoutant à plusieurs reprises un code diviseur supplémentaire au dividende.

Addition et soustraction

Lors de l'ajout et de la soustraction, une opération préparatoire appelée alignement d'ordre est d'abord effectuée.

À la suite de l'alignement des ordres, les chiffres des nombres portant le même nom sont situés dans les chiffres correspondants des deux registres, après quoi les mantisses sont ajoutées ou soustraites.

Si nécessaire, le résultat obtenu est normalisé en déplaçant la mantisse du résultat vers la gauche. Après chaque décalage vers la gauche, l'ordre du résultat est réduit de un.

Exemple 1. Additionnez les nombres binaires normalisés 0,10111 2 –1 et 0,11011*2 10. La différence dans l'ordre des termes ici est de trois, donc avant l'addition, la mantisse du premier nombre est décalée de trois chiffres vers la droite :

Exemple 2. Soustrayez les nombres binaires normalisés 0,10101*2 10 et 0,11101*2 1. La différence entre les ordres du minuend et du soustrahend ici est égale à un, donc, avant la soustraction, la mantisse du deuxième nombre est décalée d'un chiffre vers la droite :

Le résultat n'a pas été normalisé, donc sa mantisse est décalée vers la gauche de deux chiffres avec une diminution correspondante dans l'ordre de deux unités : 0,1101*2 0 .

Multiplication

Exemple 3. Effectuer une multiplication de nombres binaires normalisés :

(0.11101*2 101)*(0.1001*2 11) = (0.11101*0.1001)* 2 (101+11) = 0.100000101*2 1000 .

Division

Exemple 4. Effectuer une division de nombres binaires normalisés :

0.1111*2 100: 0.101*2 11 = (0.1111: 0.101) * 2 (100–11) = 1.1*2 1 = 0.11 2 10 .

L'utilisation de nombres à virgule flottante complique considérablement la conception du dispositif arithmétique-logique.

Des exercices

4.1. À l’aide de la règle de comptage, écrivez les 20 premiers nombres entiers dans les systèmes numériques décimaux, binaires, ternaires, quintaux et octaux.
[ Répondre ]

4.2. Quels entiers suivent les nombres :

[ Répondre ]

4.4. Quel chiffre se termine par un nombre binaire pair ? Quel chiffre se termine par un nombre binaire impair ? Par quels chiffres un nombre pair ternaire peut-il se terminer ?
[ Répondre ]

4.5. Quel est le plus grand nombre décimal pouvant être écrit sur trois chiffres :

o a) dans le système binaire ;

o b) dans le système octal ;

o c) en hexadécimal ?

4.6. Dans quel système numérique 21 + 24 = 100 ?

Solution. Soit x la base souhaitée du système numérique. Alors 100 x = 1 x 2 + 0 x 1 + 0 x 0, 21 x = 2 x 1 + 1 x 0, 24 x = 2 x 1 + 4 x 0. Donc x 2 = 2x + 2x + 5 ou x 2 - 4x - 5 = 0. La racine positive de cette équation quadratique est x = 5.
Répondre. Les nombres sont écrits dans le système de numérotation quinaire.

4.7. Dans quel système numérique ce qui suit est-il vrai ?

o a) 20 + 25 = 100 ;

o b) 22 + 44 = 110 ?

4.8. Le nombre décimal 59 équivaut au nombre 214 dans un autre système numérique. Trouvez la base de ce système.
[ Répondre ]

4.9. Convertissez les nombres en décimaux, puis vérifiez les résultats en effectuant les conversions inverses :

[ Répondre ]

4.10. Convertissez les nombres décimaux en binaires, octaux et hexadécimaux, puis vérifiez les résultats en effectuant les conversions inverses :

a) 125 10 ; b) 229 10 ; c) 88 10 ; d) 37,25 10 ; e) 206,125 10.
[ Répondre ]

4.11. Convertissez les nombres binaires en octaux et hexadécimaux, puis vérifiez les résultats en effectuant les conversions inverses :

a) 1001111110111.0111 2 ;	d) 1011110011100.11 2 ;
b) 1110101011,1011101 2 ;	e) 10111,1111101111 2 ;
c) 10111001,101100111 2 ;	f) 1100010101,11001 2.

[ Répondre ]

4.12. Convertissez les nombres hexadécimaux en systèmes binaires et octaux :

a) 2СE 16 ; b) 9F40 16 ; c) ABCDE16 ; d) 1010.101 16 ; e) 1ABC,9D16.
[ Répondre ]

4.13. Notez les nombres entiers :

o a) de 101101 2 à 110000 2 dans le système binaire ;

o b) de 202 3 à 1000 3 dans le système ternaire ;

o c) de 14 8 à 20 8 dans le système octal ;

o d) de 28 16 à 30 16 en hexadécimal.

4.14. Pour les nombres décimaux 47 et 79, effectuez une chaîne de traductions d'un système numérique à un autre :

[ Répondre ]

4.15. Créez des tableaux pour ajouter des nombres à un chiffre dans les systèmes de numérotation ternaire et quinaire.
[ Répondre ]

4.16. Créez des tables de multiplication pour les nombres à un chiffre dans les systèmes numériques ternaires et quinaires.
[ Répondre ]

4.17. Additionnez les nombres puis vérifiez les résultats en effectuant les ajouts décimaux appropriés :

[ Répondre ]

4.18. Dans quels systèmes numériques les ajouts suivants sont-ils effectués ? Trouvez la base de chaque système :

[ Répondre ]

4.19. Trouvez les substitutions de chiffres décimaux au lieu de lettres qui rendent les résultats écrits corrects (différents nombres sont remplacés par des lettres différentes) :

[ Répondre ]

4.20. Soustraire:

[ Répondre ]

4.21. Multipliez les nombres, puis vérifiez les résultats en effectuant les multiplications décimales appropriées :

a) 101101 2 et 101 2 ;	e) 37 8 et 4 8 ;
b) 111101 2 et 11.01 2 ;	f) 16 8 et 7 8 ;
c) 1011.11 2 et 101.1 2 ;	g) 7,5 8 et 1,6 8 ;
d) 101 2 et 1111.001 2 ;	h) 6,25 8 et 7,12 8.

[ Répondre ]

4.22. Divisez 10010110 2 par 1010 2 et vérifiez le résultat en multipliant le diviseur par le quotient.
[ Répondre ]

4.23. Divisez 10011010100 2 par 1100 2, puis effectuez la division décimale et octale appropriée.
[ Répondre ]

4.24. Calculez les valeurs des expressions :

o a) 256 8 + 10110,1 2 * (60 8 + 12 10) - 1F 16 ;

o b) 1AD 16 - 100101100 2 : 1010 2 + 217 8 ;

o c) 1010 10 + (106 16 - 11011101 2) 12 8 ;

o d) 1011 2 * 1100 2 : 14 8 + (100000 2 - 40 8).

4.25. Classez les nombres suivants par ordre croissant :

o a) 74 8, 110010 2, 70 10, 38 16 ;

ob) 6E 16, 142 8, 1101001 2, 100 10 ;

o c) 777 8, 101111111 2, 2FF 16, 500 10 ;

o d) 100 10, 1100000 2, 60 16, 141 8.

4.26. Notez la série décroissante de nombres +3, +2, ..., -3 au format un octet :

o a) en code direct ;

o b) en code inversé ;

o c) en code supplémentaire.

4.27. Écrivez les nombres en code direct (format 1 octet) :

a) 31 ; b) -63 ; c) 65 ; d) -128.
[ Répondre ]

4.28. Écrivez les nombres en codes réciproques et complémentaires (format 1 octet) :

une) -9 ; b) -15 ; c) -127 ; d) -128.
[ Répondre ]

4.29. Trouvez des représentations décimales de nombres écrits en code complément à deux :

a) 1 1111000 ; b) 1 0011011; c) 1 1101001 ; d) 1 0000000.
[ Répondre ]

16h30. Trouvez des représentations décimales de nombres écrits en code inversé :

a) 1 1101000 ; b) 1 0011111; c) 1 0101011; d) 1 0000000.
[ Répondre ]

4.31. Effectuez la soustraction de nombres en ajoutant leurs codes réciproques (complémentaires) au format 1 octet. Indiquez dans quels cas le débordement de la grille de bits se produit :

a) 9 - 2 ;	d) -20 - 10 ;	g) -120 - 15 ;
b) 2 à 9 ;	e) 50 à 25 ;	h) -126 - 1 ;
c) -5 - 7 ;	f) 127-1 ;	je) -127 - 1.

[ Répondre ]

Cours 4. Fondements arithmétiques des ordinateurs

La logique en tant que science se développe depuis le 4ème siècle. avant JC e. à commencer par les œuvres d'Aristote. C'est lui qui a analysé la pensée humaine, sous des formes telles que le concept, le jugement et l'inférence.

Logiques– (du grec « logos », signifiant « mot » et « sens ») - la science des lois, des formes et des opérations de la pensée correcte. Sa tâche principale est de trouver et de systématiser les bonnes méthodes de raisonnement.

Riz. 1. Formes de base de la pensée abstraite

Concept- il s'agit d'une forme de pensée qui reflète les caractéristiques essentielles d'un objet distinct ou d'une classe d'objets homogènes. Chaque concept a un contenu et une portée. Par exemple, le concept « Mer Noire » reflète un seul objet, « Chat siamois » reflète la classe des chats siamois.

Déclaration (jugement)– une phrase qui peut être vraie (correcte) ou fausse. Par exemple, Abakan est la capitale de la Khakassie. Une affirmation est une proposition qui doit être prouvée ou réfutée. Le raisonnement est une chaîne d’énoncés ou d’énoncés liés les uns aux autres d’une certaine manière.

Inférence– une opération logique à la suite de laquelle un nouveau jugement est obtenu (dérivé) à partir d'un ou plusieurs jugements donnés. Les conclusions sont : Déductif (du général au spécifique)- Tous les élèves vont à l'école. Vasya est étudiante. Vasya va à l'école. Inductif (du particulier au général)– La banane et la pêche sont sucrées. Cela signifie que tous les fruits ont un goût sucré. Analogie – Nos vaches mangent de l’herbe et produisent du lait. Il y a des champs en Australie et les vaches mangent cette herbe. Les vaches australiennes produisent donc également du lait.

En algèbre logique, les instructions sont désignées par les noms de variables logiques (A, B, C). Vrai et faux sont des constantes logiques.

Expression booléenne- un enregistrement ou une déclaration orale qui, avec les constantes, comprend nécessairement des quantités variables (objets). En fonction des valeurs de ces variables, une expression logique peut prendre l'une des deux valeurs possibles : VRAI (1 logique) ou FAUX (0 logique).

Expression logique complexe– une expression logique composée d'une ou plusieurs expressions logiques simples (ou complexes) reliées à l'aide d'opérations logiques.

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Le système de nombres hexadécimaux est utilisé pour la représentation compacte (sur papier ou sur écran) des informations binaires stockées dans la mémoire de l'ordinateur.	\|

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Code binaire, caractéristiques d'encodage et de décodage des informations. Un système numérique est un ensemble de règles permettant d’écrire des nombres à l’aide d’un ensemble spécifique de symboles. Classification des systèmes numériques, spécificités de la conversion des nombres dans le système numérique positionnel.

présentation, ajouté le 07/06/2011

Le système numérique comme un ensemble de techniques et de règles pour désigner et nommer les nombres, ses variétés et ses critères de classification. Propriétés des systèmes positionnels homogènes avec un ensemble naturel de chiffres. Conversion de nombres d'un système à un autre.

Thème n°2. Fondements arithmétiques et logiques d'un ordinateur personnel

Plan

3.1. Systèmes numériques

3.3. Arithmétique binaire

4. Codage des informations

4.1. Encodage des informations numériques

4.3. Encodage des informations graphiques

5. Fondements logiques d'un ordinateur personnel

5.2. Lois logiques et règles de transformation

1. La quantité d'informations comme mesure de réduction de l'incertitude des connaissances

Le processus cognitif peut être représenté visuellement comme un cercle de connaissances en expansion. En dehors de ce cercle se trouve la zone de l’ignorance.

Si un message entraîne une diminution de l’incertitude de la connaissance, on dit qu’un tel message contient de l’information. Cela permet de quantifier les informations. Par exemple, avant de lancer une pièce de monnaie, il existe une incertitude de connaissance (deux événements également probables sont possibles - « face » ou « face » ; il est impossible de deviner comment la pièce va tomber). Après le lancer, la certitude est totale, puisque nous recevons un message visuel sur le résultat. Ce message réduit de moitié l'incertitude de la connaissance, puisque sur deux événements possibles, un s'est réalisé.

La mesure de l'incertitude de l'expérience dans laquelle des événements aléatoires se produisent, égale à l'incertitude moyenne de tous ses résultats possibles, est appelée entropie.

En fait, il existe assez souvent des situations où un plus grand nombre d'événements équiprobables peuvent se produire (lancer un dé - 6 événements). Plus le nombre initial d'événements probabilistes est grand, plus l'incertitude initiale de la connaissance est grande et plus le message sur les résultats de l'expérience contiendra une grande quantité d'informations. En d’autres termes, toutes choses étant égales par ailleurs, les expériences dont les résultats sont également probables ont la plus grande entropie.

Unité de quantité d'information– bit, la quantité d’informations qui réduit de moitié l’incertitude de la connaissance.

Dans l'expérience décrite consistant à lancer une pièce de monnaie, la quantité d'informations reçues est de 1 bit.

Il existe une formule qui relie le nombre d'événements possibles N et la quantité d'informations I.

N=2Je

Des mathématiques, on sait que la solution d'une telle équation a la forme :

je = log 2 N

Exemple : Il y a 32 boules dans le tambour de loterie. Quelle quantité d’informations le message concernant le premier numéro tiré contient-il ?

2 je =32

je = 5

Exemple : Vous vous êtes approché d'un feu de circulation alors que le feu était jaune. Après cela, le feu est passé au vert. Quelle quantité d’informations avez-vous reçue ?

N=2Je

N=2 (les couleurs rouge et verte peuvent s'allumer), donc I=1 bit.

Exemple : Vous vous êtes approché d'un feu de circulation alors que le feu était rouge. Après cela, le voyant jaune s'est allumé. Quelle quantité d’informations avez-vous reçue ?

La quantité d'information est 0, car si le feu tricolore fonctionne correctement, après la couleur rouge, le feu jaune doit s'allumer.

Il existe de nombreuses situations dans lesquelles des événements possibles ont des probabilités d'occurrence différentes. Une formule pour calculer la quantité d'informations pour des événements avec des probabilités différentes a été proposée par K. Shannon en 1948.

où I est la quantité d'informations ;

N – nombre d'événements possibles ;

p je – probabilités d'événements individuels.

2. Unités de mesure de l'information

Un bit est l'unité minimale de mesure de l'information ; il peut prendre les valeurs 0 ou 1.

Une combinaison de huit bits est appelée un octet.

En informatique, toute information, quelle que soit sa nature, est présentée sous forme binaire, les principales unités d'information sont donc les bits et les octets.

Pour mesurer de grandes quantités d'informations, des unités de mesure dérivées sont utilisées :

1 Ko = 1024 octets

1 Mo = 1 024 Ko

1 Go = 1024 Mo.

3. Bases arithmétiques d'un ordinateur personnel

3.1. Systèmes numériques

Notation– un ensemble de règles et de techniques pour écrire des nombres à l'aide d'un ensemble de caractères numériques (alphabet).

Il existe deux types de systèmes numériques :

Positionnel - la signification de chaque chiffre est déterminée par sa place (position) dans l'enregistrement numérique.

Non positionnel : la signification d'un chiffre dans un nombre ne dépend pas de sa place dans la notation du nombre.

Le nombre de chiffres utilisés dans un système numérique est appelé la base du système numérique. En décimal s.s. 10 chiffres de 0 à 9 sont utilisés, binaire s.s. en a 2, parce que utilise deux chiffres 0 et 1.

Dans les systèmes positionnels, les nombres peuvent être écrits sous forme développée, c'est-à-dire sous la forme d'une somme de produits des chiffres de ce nombre par la base du système numérique à un degré déterminé par le numéro de série du chiffre dans le nombre de droite à gauche, en partant de zéro.

5341 10 = 5*10 3 +3*10 2 +4*10 1 +1*10 0

3.2. Conversion de nombres d'un système numérique à un autre

1. Conversion de nombres d'un système numérique avec n'importe quelle base en décimal.

Pour convertir un nombre de s.s. avec n'importe quelle base décimale, vous devez présenter le nombre sous forme développée et calculer la somme.

10100101 2 =1*2 7 +0*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +0+2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =165 10

Pour convertir les nombres fractionnaires, le même algorithme est utilisé, en tenant compte du fait que la partie fractionnaire aura des puissances de base négatives.

101,101 2 =1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 =4+0+1+0,5+0,+0,125 =5,625 10

2. Pour convertir un entier décimal en s.s. pour quelque raison que ce soit, il faut diviser ce nombre par la base s.s., en se souvenant des restes. Lorsque le quotient devient inférieur au diviseur (base s.s.), la division s'arrête et ce quotient devient le chiffre le plus élevé du nombre souhaité. Ensuite, tous les soldes sont écrits dans l’ordre inverse.

Exemple : Convertissez le nombre 25 en système de nombres binaires.

25:2=12(reste 1)

12:2 = 6 (reste 0)

6:2=3(reste0)

3:2=1(reste1)

25 10 =11001 2

3. Pour convertir une fraction à partir d'un nombre décimal s.s. à l'autre, il vous faut :

1. Multipliez une fraction par la base du nouveau s.s.

2. Notez séparément la partie entière du nombre obtenu.

3. Si la partie fractionnaire du nombre obtenu n'est pas nulle ou si la précision de calcul requise n'a pas été atteinte, répétez les opérations 1 et 2 avec la partie fractionnaire.

4. Les parties entières résultantes des produits forment la fraction souhaitée dans l'ordre dans lequel elles ont été obtenues.

Exemple : Convertissez la fraction décimale 0,625 en binaire.

0,625*2=1,25 (partie entière – 1, partie fractionnaire – 0,25)

0,25*2=0,5 (partie entière – 0, partie fractionnaire – 0,5)

0,5*2=1 (partie entière – 1, partie fractionnaire – 0)

On compose une fraction binaire à partir d'entiers de haut en bas, en ayant d'abord écrit 0 dans la partie entière : 0,101.

Si la fraction décimale d'origine comporte à la fois une partie entière et une partie fractionnaire, elle doit alors être convertie séparément en une partie entière en divisant par la base du système numérique et en partie fractionnaire en multipliant par la base du nouveau système numérique. Écrivez-les ensuite séparés par des virgules.

25,625 10 =11001,101 2

4. Conversion de nombres binaires en octaux et hexadécimaux s.s.

Pour la traduction, des tables de correspondance sont utilisées.

Le nombre binaire doit être décomposé de droite à gauche en groupes de chiffres de trois pour convertir en octal et de quatre pour convertir en hexadécimal. Si nécessaire, vous pouvez ajouter des zéros non significatifs à gauche.

Comparez ensuite ces groupes dans des tableaux.

Correspondance des nombres binaires et octaux

2 s.s.
8 s.s.

Correspondance de nombres binaires et hexadécimaux

	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Exemple: Convertir le nombre binaire 101011111 2 dans les systèmes octal et hexadécimal :

101011111 2 = 101 011 1112 = 537 8

5 3 7

101011111 2 = 0001 0101 1112 = 15F 16

1 5F

5. Conversion de nombres octaux et hexadécimaux en binaires s.s.

La traduction s'effectue selon les tables de correspondance en sens inverse. Le nombre résultant est écrit sans espaces ni zéros non significatifs.

246 8 = 2 4 6 = 1100110 2

001 100 110

37D 16 = 3 7 D=1101111101 2

0011 0111 1101

3.3. Arithmétique binaire

1. L'ajout s'effectue selon les règles suivantes :

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10 (0 et un dans le chiffre le plus significatif)

Exemple:

2. La soustraction s'effectue selon les règles suivantes :

1 façon.

0-0=0

10-0=1

1-0=1

1-1=0

Exemple:

2. méthode.

Vous pouvez considérer la soustraction comme l’addition d’un nombre positif avec un nombre négatif. Dans les ordinateurs, les nombres négatifs sont représentés à l'aide du code complémentaire à deux, obtenu en remplaçant les uns par des zéros et vice versa, puis en ajoutant un au nombre de poids faible.

11 2 -111 2 =

On remplace 111 par 000, on en ajoute un, on obtient 001.

On ajoute 11+001=1100, le chiffre le plus significatif est le signe du nombre, on obtient 100.

4. Codage des informations

Lors de la présentation d'informations sous diverses formes ou de leur conversion d'une forme à une autre, les informations sont codées.

Le code est un système de symboles conventionnels pour présenter des informations.

Le codage est l'opération de conversion de caractères ou de groupes de caractères d'un code en caractères ou groupes de caractères d'un autre code.

En informatique, le codage binaire est utilisé. Ceci s'explique par la facilité de mise en œuvre de cette méthode de codage d'un point de vue technique : 1 – il y a un signal, 0 – il n'y a pas de signal.

4.1. Codage d'informations numériques.

Pour travailler avec les nombres, ils utilisent principalement deux formes pour les écrire : naturel (la notation habituelle pour les nombres) et exponentielle (pour écrire des nombres très grands ou très petits).

Le nombre A dans n'importe quel système numérique sous forme exponentielle s'écrit comme suit :

A = mqn

où m est la mantisse du nombre (doit avoir une forme normalisée, c'est-à-dire être une fraction propre avec un chiffre après la virgule autre que zéro) ;

q - base du système numérique ;

n - ordre des numéros

Par exemple, 1,3*10 16 =13000000000000000=1,3E16

1,3* 10 -16 =0,00000000000000013=1,3E-16

Dans les langages de programmation et les applications informatiques, lors de l'écriture de nombres sous forme exponentielle, la lettre E est écrite à la place de la base 10, un point est utilisé à la place d'une virgule et le signe de multiplication n'est pas utilisé.

1. Représentation entière

Dans un nombre entier, la virgule est fixée strictement à la fin et reste strictement fixe, ce format est donc appelé format à virgule fixe. Les nombres entiers sont stockés dans la mémoire de l'ordinateur sous leur forme naturelle. La plage de valeurs des entiers représentables dans la mémoire de l'ordinateur dépend de la taille des cellules mémoire utilisées pour les stocker. Une cellule de k bits peut stocker 2 k différent valeurs entières.

Exemple: Déterminez la plage de nombres stockés pour une cellule mémoire de 16 bits.

2 16 =65536

Si les nombres sont uniquement positifs, la plage va de 0 à 65535.

Si des nombres positifs et négatifs sont stockés, la plage va de -3276 à 32767.

Apprendre la représentation interne d’un entier positif N, stocké dans un mot machine de k bits, vous avez besoin de :

1. Convertissez le nombre N en système de nombres binaires.

2. Le résultat obtenu est complété à gauche par des zéros non significatifs à
k chiffres.

Exemple: Obtenez la représentation interne de l'entier 1607 dans une cellule de 2 octets.

N=1607 10 =110 0100 0111 2

Ajoutons des zéros insignifiants à gauche :

N=0000 0110 0100 0111

Pour écrire la représentation interne d'un entier négatif(-N) il vous faut :

1. Ayant reçu la représentation interne d'un entier positif (N)

Obtenez le code inverse de ce numéro en remplaçant 0 par 1 et 1 par 0
Ajoutez 1 au résultat

Exemple: Obtenez la représentation interne de l'entier positif -1607

N=0000 0110 0100 0111
Code retour : 1111 1001 1011 1000
Résultat de l'ajout de 1 : 1111 1001 1011 1001

2. Représenter des nombres sous forme exponentielle.

Les nombres écrits en notation scientifique sont des nombres à virgule flottante. La représentation interne d'un nombre réel se réduit à la représentation d'un couple d'entiers : la mantisse et l'exposant.

Tableau

Représentation interne d'un nombre réel

4.2. Encodage des informations textuelles

Pour coder les informations textuelles, des tables de codes de caractères sont utilisées, où chaque caractère (lettre, chiffre, etc.) se voit attribuer un code spécifique - un nombre décimal compris entre 0 et 255. Traditionnellement, 1 octet est requis pour coder un caractère. Partout dans le monde, la norme américaine a été adoptée comme norme - la table ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Ce tableau code uniquement les 128 premiers caractères (c'est-à-dire les caractères numérotés de 0 à 127). Les 128 codes restants sont utilisés pour coder les caractères de l’alphabet national, les pseudographies et les symboles scientifiques.

L’ensemble limité de 256 caractères ne répond plus aujourd’hui pleinement aux exigences croissantes de la communication internationale. Récemment, une nouvelle norme internationale UNICODE est apparue, qui alloue non pas un, mais deux octets pour chaque caractère, et peut donc être utilisée pour coder non pas 256, mais N=2. 16 =65536 caractères différents.

Exemple: Quel est le volume d'informations du texte PROGRAMMATION en codage 16 bits (UNICODE) et en codage 8 bits ?

Le nombre de caractères dans ce texte est de 16, donc lorsqu'il est codé en UNICODE, la quantité d'informations sera de 16*2=32 octets, et avec un codage sur 8 bits - de 16 octets.

4.3. Codage des informations graphiques.

Pendant le processus de codage, une image est discrétisée spatialement. L'image est divisée en petits fragments séparés (points) et chaque point se voit attribuer une valeur de couleur, c'est-à-dire code couleur.

La qualité du codage des images dépend de la taille des points et du nombre de couleurs.

Les informations graphiques sur l'écran du moniteur sont présentées sous la forme d'une image raster, formée d'un certain nombre de lignes, qui, à leur tour, contiennent un certain nombre de pixels (éléments d'image minimum).

Résolution d'écran- taille de la grille raster, représentée comme le produit de M (le nombre de points horizontaux) par N (le nombre de points verticaux).

Le nombre de couleurs reproduites sur l'écran d'affichage (N) et le nombre de bits alloués en mémoire vidéo pour chaque pixel (I) sont liés par la formule :

N=2Je

Dans le cas le plus simple, chaque point de l'écran (une image en noir et blanc sans niveaux de gris) peut avoir respectivement l'un des deux états (noir ou blanc), 1 bit est nécessaire pour stocker son état. (N=2 JE)

Les images couleur sont générées selon le code couleur binaire de chaque pixel stocké dans la mémoire vidéo.

Profondeur de couleur (profondeur de bits)- le nombre de bits nécessaires pour coder la couleur d'un point.

Page - une section de mémoire vidéo qui contient des informations sur une image d'écran. La mémoire vidéo peut accueillir plusieurs pages en même temps.

Tableau

Profondeur de couleur et nombre de couleurs affichées

Profondeur de couleur (I)	Nombre de couleurs affichées (N)
	2 4 =16
	2 8 =256
16 (haute couleur)	2 16 =65536
24 (vraie couleur)	2 24 =16777216

Exemple: L'écran de résolution 640X200 affiche uniquement des images en noir et blanc. Quelle quantité de mémoire faut-il pour stocker une image ?

La profondeur de bits d'une image en noir et blanc est de 1 et la mémoire vidéo doit contenir au moins une page. La quantité de mémoire vidéo est alors

640x200x1=28 000 bits=16 000 octets

Exemple: Quelle quantité de mémoire vidéo est nécessaire pour stocker quatre pages d'images, à condition que la résolution de l'écran soit de 640 x 480 et que les couleurs utilisées soient de 32 ?

N=2 Je= 32=2 5 , profondeur de couleur 5 bits

640*480*5*4 = 6144 000 bits = 750 Ko

4.4. Encodage des informations audio

La nature physique du son est constituée de vibrations dans une certaine plage de fréquences, transmises par une onde sonore dont l'amplitude et la fréquence changent continuellement. Plus l'amplitude du signal est grande, plus il est fort pour une personne ; plus la fréquence du signal est élevée, plus le ton est aigu. Pour qu’un ordinateur traite le son, le signal audio continu doit être converti en une séquence d’impulsions électriques (0 et 1 binaires).

Lors du processus de codage d'un phonogramme, un signal audio continu est échantillonné. Une onde sonore continue est divisée en petites sections temporaires distinctes et une certaine amplitude est définie pour chaque section.

La numérisation du son est effectuée par un dispositif spécial sur la carte son, un ADC (convertisseur analogique-numérique), et le processus inverse : le son codé est reproduit à l'aide d'un convertisseur numérique-analogique (DAC).

Chaque étape se voit attribuer un niveau de volume sonore et son code. Plus il y a d'étapes, plus les niveaux de volume seront attribués pendant le processus d'encodage et plus la signification de chaque niveau contiendra d'informations et plus la qualité du son sera élevée.

La qualité sonore dépend de deux caractéristiques :

Profondeur de codage audio (I) -le nombre de bits utilisés pour coder différents niveaux ou états de signal.

Les cartes son modernes offrent une profondeur d'encodage audio de 16 bits, et le nombre total de niveaux différents sera alors : N=2 6 =65536

Fréquence d'échantillonnage (M)- le nombre de mesures du niveau du signal sonore par unité de temps. Elle se mesure en hertz. Une mesure par seconde correspond à une fréquence de 1 Hz, 1000 mesures par seconde = 1 kHz. M peut prendre une valeur de 8 (diffusion radio) à 48 kHz (CD audio).

Pour trouver le volume d'informations sonores, vous devez utiliser la formule :

V=M*I*t

où M est la fréquence d'échantillonnage

I - profondeur de codage

t - temps de jeu

Exemple: L'audio est lu pendant 10 secondes à une fréquence d'échantillonnage de 22,05kHz et profondeur audio 8 bits. Déterminez la taille du fichier audio.

M = 22,05*1000 = 22050 Hz

1=8/8=1 octet

t= 10 secondes

V = 22050* 10* 1=220500 octets

2.5. Fondements logiques d'un ordinateur personnel

L'absence d'erreurs de raisonnement n'est possible que lorsque les lois de la logique sont strictement respectées. Logiques est la science des formes et des lois de la pensée humaine et, en particulier, des lois du raisonnement probant.

La logique formelle contient certains concepts de base, tels que : l'énoncé, la vérité de l'énoncé et la conclusion.

Déclaration - une phrase déclarative grammaticalement correcte dont on peut dire qu'elle est vraie ou fausse. Les déclarations sont désignées par des lettres de l'alphabet latin. On pense généralement qu'une déclaration peut prendre deux significations : VRAI ou FAUX, leurs équivalents anglais VRAI ou FAUX, utilisant souvent les chiffres binaires 1 (VRAI) ou 0 (FAUX).

Conclusion - un raisonnement selon les règles de la logique, au cours duquel un nouvel énoncé (conclusion) est obtenu à partir des énoncés initiaux (prémisses).

Les instructions simples contiennent une seule instruction, les instructions complexes contiennent plusieurs instructions. Les formules exprimant la dépendance du sens d'un énoncé complexe par rapport aux énoncés simples qu'il contient, une expression logique, sont considérées comme des variables logiques.

Table de véritémontre les valeurs qu'une expression logique a pour toutes les combinaisons possibles de valeurs de variables logiques.

5.1. Opérations logiques de base

La base du traitement informatique de l'information est l'algèbre de la logique, développée par le mathématicien anglais George Boole. En algèbre logique, les actions sont définies sur des énoncés dont la mise en œuvre conduit à la production de nouveaux énoncés.

1. Opération de négation (inversion).

La négation logique change le sens d'une déclaration en son contraire. Désigné"", "¬A", NON, lisez "pas A".

Tableau

Table de vérité pour l'opération d'inversion.

Les implémentations de circuits d'opérations logiques sont appelées portes logiques ou portes. Une porte NON (inverseur) a une entrée et une sortie, un un à l'entrée donne un zéro à la sortie et vice versa.

Riz. Circuit de porte logique PAS.

2. Opération de multiplication logique (conjonction).

L’énoncé résultant de la conjonction est vrai si et seulement si tous les énoncés originaux sont vrais. Noté I, "x", "∧", "&", ET.

Tableau 2.6. Table de vérité pour l'opération de conjonction.

		UNE∧B

A la sortie de la porte ETune unité n’est obtenue que si les deux entrées en reçoivent une.

Circuit de porte logique ET.

3. Opération d'addition logique (disjonction).

L’énoncé résultant de la disjonction est vrai si et seulement si au moins un des énoncés originaux est vrai. Désigné par OR, «+», «V», OR.

		UNE∧B

La sortie de l'élément logique OU est nulle uniquement lorsque des signaux zéro logique sont appliqués à toutes ses entrées ; dans tous les autres cas, un signal logique apparaît à la sortie ;

Circuit de porte logique OU.

Cette porte est également appelée porte OU de commutation car si ses deux entrées sont VRAIES, la sortie sera également VRAIE.

4. Opération d'implication.

Permet d'obtenir un énoncé complexe à partir de deux simples et de la construction grammaticale « si, alors… ».

Une instruction aussi complexe est appelée instruction conditionnelle. La partie de l'implication qui vient après le mot « si » est appeléebase, prémisse ou antécédent.La partie de l'implication qui vient après"que l'on appelle conséquence, conclusion ou conséquent.

Une implication est fausse si et seulement si la prémisse est vraie et la conclusion est fausse ; sinon l'implication est vraie ; Indiqué par les panneaux "→ », « ⊃ ».

Table de vérité pour l'opération de disjonction.

		A → B

5. Opération d’équivalence.

En utilisant les opérations d’équivalence peuvent être complexesune déclaration à deux implications. Une telle déclaration contient les mots « si et seulement si », « si et seulement si ». Une équivalence est vraie si les deux affirmations ont la même signification (toutes deux vraies ou toutes deux fausses).

Indiqué par les panneaux "↔ », « ≡ ».

		A↔B

6. Opération OU exclusif.

Le résultat n’est vrai que si A ou B (mais pas A et B) sont vrais. Sinon, cette opération est appelée négation d’équivalence. Noté XOR.

A la sortie de l'élément logique OU exclusif une unité logique n'est obtenue que lorsque l'un des signaux d'entrée est égal àun logique, et le reste - zéro logique.

Table de vérité pour l'opération d'équivalence.

		AXORBE

Circuit de porte logique OU exclusif.

7. Fonctionnement ET-NON.

↓ ».

La table de vérité pour l’opération OU n’est PAS.

		ANORB

A la sortie de l'élément logique OU - NON, un un logique n'est obtenu que lorsque des signaux zéro logique sont appliqués à toutes ses entrées ; dans les autres cas, la sortie est un zéro logique ;

Circuit de porte logique OU - NON.

8. Fonctionnement NAND.

Le résultat de cette opération sera VRAI uniquement lorsque l’une ou les deux instructions seront évaluées à FAUX. Il est désigné OU - NON, "⏐ ", NON.

À la sortie de l'élément logique OU – NON, un zéro logique est obtenu uniquement lorsque des signaux logiques sont appliqués à toutes ses entrées. Dans les autres cas, la sortie est logique ;

Le résultat de cette opération n’est vrai que si les deux affirmations sont simultanément fausses. Désigné OU - NON, NI, " JE".

Tableau 2.11. Table de vérité pour l'opération OU-NON.

		ANORB

Circuit de porte logique ET – NON.

5.2. Lois logiques et transformation en forme de dôme.

5.2.1. Lois de la logique algébrique

Loi de l'identité :toute déclaration est identique à elle-même.

UNE ≡ UNE

Le sujet de la discussion doit être strictement défini et ne doit pas changer avant la fin de la discussion. Un exemple de violation de cette loi pourrait être la substitution de concepts lorsque, par exemple, la programmation est interprétée comme le seul contenu de l'informatique.

Loi de non-contradiction :Une affirmation et sa négation ne peuvent pas être vraies en même temps.

UNE ∧ =0

Un exemple de déclaration contradictoire serait la déclaration « Il pleut, mais il fait sec dehors ».

Loi du tiers exclu :une affirmation peut être vraie ou fausse, il n’y a pas de troisième option.

UNE ∨ =1

Loi de la double négation :si la déclaration est niée FAUX, alors l'énoncé original est vrai, en d'autres termes, l'opération de négation appliquée deux fois donne l'énoncé original.

UNE = UNE

1. Règles de transformation.

Les lois de De Morgan.

2. Commutativité droitière.

Changer la place des termes ne change pas la somme.

Changer la place des facteurs ne change pas le produit.

Règles d'associativité.

(AUV)US=AU(VUS) (A&B)&C=A&(B&C)