ほぼすべての周期関数は、三角級数 (フーリエ級数) を使用して単純な調和関数に拡張できます。

f(バツ) = + (あ、んコス nx + bn罪 nx), (*)

係数が等しいと仮定して、この系列を単純な高調波の合計として書きましょう あ、ん= あん罪 じょん, bn= あんコス じょん。 我々が得る： あ、んコス じょん + bn罪 じょん = あん罪（ nx+ じょん）、 どこ

あん= 、tg じょん = . (**)

次に、単純高調波の形式の系列 (*) は次の形式になります。 f(バツ) = .

フーリエ級数は、無限数の正弦波の合計として周期関数を表しますが、周波数は特定の離散値を持ちます。

時々 n番目の高調波は次の形式で書かれます。 あ、んコス nx + bn罪 nx = あん cos( nx – じょん） 、 どこ あ、ん= あんコス じょん , bn= あん罪 じょん .

その中で あんそして じょん式 (**) によって決定されます。 すると、系列 (*) は次の形式になります。

f(バツ) = .

定義9。 周期関数表現演算 f(バツ) フーリエ級数と呼ばれます 高調波解析.

式 (*) は、別のより一般的な形式でも使用されます。

オッズ あ、ん, bnは次の式で決定されます。

大きさ C 0 は期間にわたる関数の平均値を表し、定数成分と呼ばれ、次の式で計算されます。

振動理論とスペクトル解析における関数の表現 f(t) フーリエ級数では次のように書かれます。

(***)

それらの。 周期関数は項の和で表され、各項は振幅のある正弦波振動です。 n付きそして初期段階 じょんつまり、周期関数のフーリエ級数は、一定数だけ互いに異なる周波数を持つ個々の高調波で構成されます。 さらに、各高調波は特定の振幅を持っています。 価値観 n付きそして じょん等式 (***) を満たすためには、適切に選択する必要があります。つまり、式 (**) [ n付き = あん].

フーリエ級数 (***) を次の形式に書き換えてみましょう。 どこ w 1 – メイン周波数。 これから次のように結論付けることができます: 複雑な周期関数 f(t) は一連の量によって決定されます n付きそして じょん .

定義10。 値のセット n付き、つまり振幅の周波数依存性は次のように呼ばれます。 関数の振幅スペクトルまたは 振幅スペクトル.

定義11.値のセット じょんと呼ばれます 位相スペクトル.

単に「スペクトル」と言う場合は、振幅スペクトルを意味します。その他の場合には、適切な留保が付けられます。 周期関数には、 離散スペクトル(つまり、個々の高調波として表すことができます)。

周期関数のスペクトルをグラフで表すことができます。 このために座標を選択します n付きそして w = 新しい 1. スペクトルは、この座標系で一連の離散点によって表されます。 それぞれの値 新しい 1 は 1 つの特定の値に対応します Nさんと。個々の点で構成されるグラフは不便です。 したがって、個々の高調波の振幅を適切な長さの垂直セグメントで表すのが通例です (図 2)。

米。 2.

この離散スペクトルは、線スペクトルと呼ばれることがよくあります。 それは高調波スペクトルです。 等間隔のスペクトル線で構成されます。 高調波周波数は単純な倍数です。 最初の高調波を含む個々の高調波が存在しない場合があります。 それらの振幅はゼロになる可能性がありますが、これはスペクトルの調和を侵害するものではありません。

離散スペクトルまたは線スペクトルは、周期関数と非周期関数の両方に属することができます。 最初のケースでは、スペクトルは必然的に高調波になります。

フーリエ級数展開は非周期関数の場合に一般化できます。 これを行うには、非周期関数を無限に増加する周期を持つ周期関数の限定ケースとして考慮し、T®∞ での極限まで通過を適用する必要があります。 1/ の代わりに T円周基本周波数を導入しましょう w 1 = 2p/ T。 この値は、隣接する高調波間の周波数間隔であり、その周波数は 2p に等しくなります。 n/T。 もし T® ∞、その後 w 1® だわそして2P n/T® w、 どこ w– 現在の周波数、継続的に変化、 だわ– その増分。 この場合、フーリエ級数はフーリエ積分に変換されます。これは、無限区間 (–∞;∞) の非周期関数を調和振動に展開したもので、その周波数は次のとおりです。 w 0 から ∞ まで連続的に変化します。

非周期関数には、連続または連続スペクトルがあります。 個々の点の代わりに、スペクトルは連続した曲線として表されます。 これは、級数からフーリエ積分への制限的な移行の結果として得られます。個々のスペクトル線間の間隔が無限に減少し、線が結合し、離散点の代わりに、スペクトルが連続した点のシーケンスとして描画されます。 連続する曲線。 機能 ある(w） そして b(w) 周波数に応じた振幅と初期位相の分布の法則を与える w.

前の章では、振動システムに関する別の視点を紹介しました。 弦にはさまざまな自然倍音が発生し、初期条件から得られる特定の振動は、適切な比率で構成された、同時に発振するいくつかの自然倍音の組み合わせと考えることができることを見てきました。 文字列の場合、自然倍音の周波数は ω 0、2ω 0、Зω 0、... であることがわかりました。 したがって、弦の最も一般的な動きは、基本周波数 ω 0 の正弦波振動、次に第 2 高調波 2ω 0、そして第 3 高調波 3ω 0 などで構成されます。基本高調波は、各周期 T 1 = 2π/ω の後に繰り返されます。 0、第 2 高調波 - 各周期後 T 2 =2π/2ω 0 ; それは繰り返される またそして毎回の期間の後に T 1 =2T 2 , つまり後 二彼らの生理期間。 生理後も全く同じように T 1 3次高調波も繰り返されます。 このセグメントには 3 つの期間が含まれています。 そしてまた、ピリオドの後に弦を弾く理由がわかりました T 1 動きの形を完全に繰り返します。 こうして音楽的なサウンドが生み出されるのです。

ここまで弦の動きについてお話してきました。 しかし 音、弦の動きによって引き起こされる空気の動きを表すこの音も、同じ倍音で構成されている必要がありますが、ここでは空気自体の倍音について話すことはできません。 さらに、特に弦が「響板」によって空気に「接続」されている場合、空気中のさまざまな倍音の相対的な強さは弦内とは大きく異なる可能性があります。 さまざまな高調波がさまざまな方法で空気に関係します。

楽音の場合、関数 f(t) は気圧を時間の関数として表します (たとえば、図 50.1、6 など)。その場合、次のことが期待できます。 f(t) は、特定の数の時間の単純な調和関数の合計として記述されます (cos ω と同様) t) 異なる高調波周波数ごとに。 発振周期が等しい場合 Tさんこの場合、基本角周波数は ω=2π/T となり、次の高調波は 2ω、3ω などとなります。

ここで少し複雑な問題が発生します。 各周波数の初期位相が必ずしも互いに等しいと期待する権利はありません。 したがって、cos (ωt + φ) のような関数を使用する必要がありますが、代わりに、次の場合に使用する方が簡単です。 それぞれ周波数はサインとコサインの両方です。 それを思い出してみましょう

そして φ は定数なので、 どれでも周波数 co の正弦波振動は、項の和として記述でき、その 1 つは sin ωt を含み、もう 1 つは cos ωt を含みます。

したがって、次のような結論に達します。 どれでも周期関数 f(t) ピリオド付き T数学的には次のように書くことができます

どこ ω=2π/T、A あ そして b - 振動全体に含まれる各振動成分の重みを示す数値定数 f(t). より一般性を高めるために、周波数ゼロの項 a 0 を式に追加しましたが、楽音では通常はゼロに等しいです。 これは単に平均音圧値の変化 (つまり、「ゼロ」レベルの変化) です。 この用語では、私たちの公式はどのような場合にも有効です。 式（５０．２）は、図１０に概略的に示される。 50.2。 調和関数の振幅 あn そして bn 特別なルールに従って選ばれます。 図では、それらは概略的にのみ示されており、縮尺通りではありません。 [シリーズ (50.2) は次のように呼ばれます。 フーリエ付近関数用 f(t).]

私たちはそう言いました どれでも周期関数はこの形式で記述できます。 少し修正して、物理学で遭遇するあらゆる音波や関数はそのような系列に拡張できることを強調する必要があります。 もちろん、数学者は、単純な調和関数で構成できないような関数を思いつくこともできます (たとえば、ある数量に対して逆方向に「ラップ」する関数など) t 2つの意味があります！)。 ただし、ここではそのような機能について心配する必要はありません。

知られているように、電力業界では、正弦波形式が電流と電圧の標準形式として採用されています。 ただし、実際の条件では、電流および電圧曲線の形状は正弦波とは多少異なる場合があります。 受信機におけるこれらの関数の曲線の形状の歪みは、追加のエネルギー損失と効率の低下につながります。 発電機の電圧曲線の正弦波形状は、製品としての電気エネルギーの品質を示す指標の 1 つです。

複雑な回路における電流および電圧曲線の形状の歪みには、次の理由が考えられます。

1）電気回路内の非線形要素の存在。そのパラメータは電流と電圧の瞬間値に依存します（たとえば、整流器、電気溶接ユニットなど）。

2）電気回路内にパラメトリック要素が存在し、そのパラメータは時間の経過とともに変化します。

3) 電気エネルギー源 (三相発電機) は、その設計上の特徴により、理想的な正弦波出力電圧を提供できません。

4) 上記の要因の組み合わせによる影響。

非線形回路とパラメトリック回路については、TOE コースの別の章で説明します。 この章では、非正弦曲線形状のエネルギー源にさらされたときの線形電気回路の動作を検証します。

ディリクレ条件を満たす時間の周期関数 f(t) は、調和フーリエ級数で表すことができることが数学の授業で知られています。

ここで、A0 は定数成分、Ak*sin(kωt+αk) は k 次高調波成分、または略して k 次高調波です。 最初の高調波は基本波と呼ばれ、その後のすべての高調波は高調波と呼ばれます。

個々の高調波 Ak の振幅は関数 f(t) をフーリエ級数に展開する方法には依存しませんが、同時に個々の高調波 αk の初期位相は時間基準 (座標の原点) の選択に依存します。 。

フーリエ級数の個々の高調波は、サイン成分とコサイン成分の合計として表すことができます。

その場合、フーリエ級数全体は次のようになります。

フーリエ級数の 2 つの形式の係数間の関係は次の形式になります。

k 番目の高調波とそのサインおよびコサイン成分が複素数に置き換えられると、フーリエ級数の係数間の関係は複素数形式で表すことができます。

時間の周期的な非正弦波関数が数式の形で解析的に与えられる (または表現できる) 場合、フーリエ級数の係数は数学のコースで知られている公式によって決定されます。

実際には、研究対象の非正弦関数 f(t) は、通常、グラフ図 (グラフ) (図 46.1) の形式、または次の間隔の点の座標テーブル (表形式) の形式で指定されます。 1 つの期間 (表 1)。 上記の方程式を使用してこのような関数の調和解析を実行するには、まずそれを数式に置き換える必要があります。 グラフまたは表で指定された関数を数式に置き換えることを関数近似と呼びます。

現在、非正弦波時間関数 f(t) の調和解析は通常、コンピューター上で実行されます。 最も単純なケースでは、区分的線形近似を使用して関数を数学的に表現します。 これを行うには、完全な 1 周期の間隔内の関数全体を M = 20 ～ 30 のセクションに分割し、個々のセクションができるだけ直線に近づくようにします (図 1)。 個々のセクションでは、関数は直線方程式 fm(t)=am+bm*t によって近似されます。ここで、近似係数 (am, bm) は、各セクションの端点の座標を通じて決定されます。たとえば、最初のセクションを取得します。

関数 T の周期は、多数の積分ステップ N、積分ステップ Δt=h=T/N、現在時刻 ti=hi に分割されます。ここで、i は積分ステップのシリアル番号です。 調和解析の公式の定積分は、次のような台形法または長方形法を使用してコンピュータで計算された対応する合計に置き換えられます。

高調波の振幅を十分な精度 (δ≤1%) で決定するには、積分ステップ数が少なくとも 100k である必要があります (k は高調波の数)。

技術的には、高調波アナライザと呼ばれる特殊なデバイスを使用して、非正弦波の電圧および電流から個々の高調波を分離します。

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非正弦波電流回路

これまで正弦波電流回路について研究してきましたが、電流の時間変化の法則は正弦波とは異なる場合があります。 この場合、非正弦波電流回路が発生します。 すべての非正弦波電流は 3 つのグループに分類されます。 生理がある T(図 6.1、a)、非周期的 (図 6.1、b)、および周期的に変化するエンベロープを持つほぼ周期的 (図 6.1、b) T o) およびパルス繰り返し周期 ( T i) (図 6.1、c)。 非正弦波電流を取得するには 3 つの方法があります。 a) 回路内で非正弦波 EMF が作用します。 b) 回路内に正弦波 EMF がありますが、回路の 1 つ以上の要素が非線形です。 c) 回路内では正弦波 EMF が動作しますが、回路の 1 つ以上の要素のパラメータは時間の経過とともに周期的に変化します。 実際には、方法 b) が最もよく使用されます。 非正弦波電流は、無線工学、オートメーション、テレメカニクス、コンピューター技術のデバイスで最も広く普及しており、さまざまな形状のパルスが頻繁に見られます。 非正弦波電流は電力業界でも見られます。 高調波成分に分解できる周期的な非正弦波の電圧と電流のみを考慮します。

周期的非正弦曲線の三角フーリエ級数への拡張

周期的な非正弦波電圧および電流で線形回路で発生する現象は、非正弦波曲線を三角フーリエ級数に拡張すると、最も簡単に計算および研究できます。 数学から、周期関数が知られています。 f(ωt)、ディリクレ条件を満たします。つまり、 任意の有限の時間間隔上に、第 1 種のみの不連続点が有限数あり、最大値と最小値が有限数ある場合は、三角フーリエ級数に拡張できます。

f(ωt)=A ああ +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
コスト+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

あ ああ +
.

ここ： あ ああ– 定数成分またはゼロ高調波。
- サイン成分の振幅 k次の高調波。
- コサイン振幅 k番目の高調波。 それらは次の式で求められます。

ここで、ベクトル図 (図 6.2) から次のように、

.

この式に含まれる項を高調波と呼びます。 ( k– 偶数）および奇数の高調波。 最初の高調波は基本波と呼ばれ、残りは高調波と呼ばれます。 フーリエ級数の後者の形式は、各高調波の含有率を知る必要がある場合に役立ちます。 非正弦波電流回路を計算する場合、同じ形式のフーリエ級数が使用されます。 理論的には、フーリエ級数には無限に多くの項が含まれていますが、通常はすぐに収束します。 収束級数は、任意の精度で特定の関数を表現できます。 実際には、数パーセントの計算精度を得るには、少数の高調波 (3 ～ 5) を使用するだけで十分です。

対称性のある曲線のフーリエ級数展開の特徴

1. 期間の平均値がゼロである曲線には、定数成分 (ゼロ高調波) が含まれません。 2
f(ωt)=-f(ωt+π)、この場合、横軸に関して対称であると言われます。 このタイプの対称性は、曲線の形状によって簡単に決定できます。横軸に沿って半周期シフトしてミラーリングし、同時に元の曲線とマージすると、次のようになります (図 6.3)。対称。 このような曲線をフーリエ級数に展開すると、条件を満たさないため、後者には定数成分とすべての偶数高調波が含まれません。 f(ωt)=-f(ωt+π)。

f(ωt)=sin(ωt+ψ) 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
。 関数が条件を満たす場合 f(ωt)=f(-ωt)、その場合、それは縦軸に関して対称（偶数）と呼ばれます。 このタイプの対称性は、曲線のタイプによって簡単に判断できます。縦軸の左側にある曲線がミラーリングされ、元の曲線と結合する場合、対称性があります (図 6.4)。 このような曲線をフーリエ級数に拡張すると、後者ではすべての高調波の正弦成分が欠落します ( = f(ωt)=f(-ωt)。したがって、そのような曲線については、

f(ωt)=A ○ +
コスト+
cos2ωt+
cos3ωt+···。

4
。 関数が条件を満たす場合 f(ωt)=-f(-ωt)、その場合、それは原点に対して対称 (奇数) と呼ばれます。 このタイプの対称性の存在は、曲線の形状によって簡単に判断できます。つまり、縦軸の左側にある曲線が縦軸に対して回転されている場合、 ポイント原点に戻り、元の曲線と結合すると、対称性が生じます (図 6.5)。 このような曲線をフーリエ級数に拡張すると、後者ではすべての高調波のコサイン成分が欠落します (
= 0) 条件を満たしていないため f(ωt)=-f(-ωt)。したがって、そのような曲線については、

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···。

の式に対称性がある場合、 そして 半周期にわたって積分することもできますが、結果は 2 倍になります。 式を使用する

曲線には同時にいくつかの種類の対称性があります。 この場合の高調波成分の質問を容易にするために、表に記入します。

対称性の種類	分析式
1.X軸	f(ωt)=-f(ωt+π)		奇数のみ
2. Y軸	f(ωt)=f(-ωt)
3. 起源	f(ωt)=-f(-ωt)
4. 横軸と縦軸	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			奇数
5. 横軸と原点	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		奇数

曲線をフーリエ級数に拡張するときは、まずその曲線に何らかの対称性があるかどうかを確認する必要があります。対称性があることで、どの高調波がフーリエ級数に含まれるかを事前に予測でき、不要な作業を実行する必要がなくなります。

曲線のフーリエ級数へのグラフィック解析的展開

非正弦曲線がグラフまたはテーブルで指定され、解析式がない場合、その高調波を決定するためにグラフ解析分解に頼ります。 これは、定積分を有限数の項の合計に置き換えることに基づいています。 この目的のために、関数の期間は f(ωt)割る n等分Δ ωt= 2π/ n(図6.6)。 次にゼロ高調波について

どこ： R– 現在のインデックス (セクション番号)、1 から 1 までの値を取得します。 n; f R (ωt) –関数値 f(ωt)で ωt=р・Δ ωt(図6.6参照) . サイン成分の振幅について k-次高調波

コサイン成分の振幅について k-次高調波

ここ 罪 p kωtそして コス p kωt- 価値観 シンクωtそして コスクωtで ωt=р・。 実際の計算では、通常は次の値が使用されます。 n=18 (Δ ωt= 20°）または n=24 (Δ ωt= 15)。 グラフ解析的に曲線をフーリエ級数に分解する場合、その曲線に何らかの対称性があるかどうかを調べることは解析的に行うことよりもさらに重要であり、対称性が存在すると計算量が大幅に削減されます。 したがって、次の式は、 そして 対称性がある場合、次のような形になります。

一般的なグラフに高調波をプロットする場合、横軸に沿った目盛りを考慮する必要があります。 k-次高調波 k最初のときよりも何倍も。

非正弦波量の最大値、平均値、実効値

周期的な非正弦波量は、その高調波成分に加えて、最大値、平均値、実効値によって特徴付けられます。 最大値 あ m は期間中の関数係数の最大値です (図 6.7)。 モジュロ平均値は次のように決定されます。

.

曲線が x 軸に関して対称で、半周期中に符号がまったく変わらない場合、平均絶対値は半周期の平均値に等しくなります。

,

さらに、この場合、時間カウントの開始は次のように選択する必要があります。 f( 0)= 0. 関数が期間全体にわたって符号を変更しない場合、その平均絶対値は定数成分と等しくなります。 非正弦波電流回路では、EMF、電圧、または電流の値は、次の式で決定される実効値として理解されます。

.

曲線がフーリエ級数に展開される場合、その実効値は次のように決定できます。

結果を説明しましょう。 異なる周波数の正弦波の積 ( kωそして iω) は調和関数であり、どの調和関数の期間にわたる積分もゼロです。 最初の合計の符号の下にある積分は、正弦波電流回路で決定され、その値がそこに表示されます。 したがって、

.

この式から、周期的な非正弦波量の実効値はその高調波の実効値のみに依存し、その初期位相には依存しないことがわかります。 ψ k。 例を挙げてみましょう。 させて あなた=120
罪(314 t+45˚)-50sin(3・314) t-75°) B。 その実際の意味

関数の解析式の積分に基づいて非正弦波量の絶対平均値と実効値を計算でき、曲線をフーリエ級数に拡張する必要がない場合があります。 電力業界では、曲線が主に x 軸に関して対称であるため、曲線の形状を特徴付けるために多数の係数が使用されます。 そのうちの 3 つが最も広く使用されています: クレストファクター k a、形状係数 k fと歪率 kそして。 それらは次のように定義されます。 k a = あメートル/ あ; /あ結婚した; kそして = あ 1 /A.正弦波の場合、これらは次の意味を持ちます。 k＝; k f =π あメートル / 2あ m≈1.11; 1.D 長方形の曲線 (図 6.8、a) の係数は次のとおりです。 k a = 1; k f =1; kそして =1.26/。 尖った（尖った）形状の曲線（図6.8、b）の場合、係数値は次のとおりです。 k> 値が高くなるほど、その形状はより山型になります。 k f >1.11 であり、曲線が尖っているほど、値は高くなります。 kそして<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. У歪み係数の実際的な応用例の 1 つを示します。 工業用電圧曲線は通常、理想的な正弦波とは異なります。 電力業界では、実質的に正弦曲線の概念が導入されています。 GOSTによれば、真の曲線の対応する縦軸とその最初の高調波の間の最大の差が基本高調波の振幅の5％を超えない場合、産業用ネットワークの電圧は実質的に正弦波であると見なされます（図6.9）。 異なるシステムの機器で非正弦波量を測定すると、異なる結果が得られます。 振幅電子電圧計は最大値を測定します。 磁気電気デバイスは、測定量の一定成分にのみ反応します。 整流器を備えた磁気電気デバイスは、平均係数値を測定します。 他のすべてのシステムの機器は実効値を測定します。

非正弦波電流回路の計算

回路内に非正弦波 EMF の発生源が 1 つ以上ある場合、その計算は 3 つの段階に分割されます。 1. EMF ソースの高調波成分への分解。 これを行う方法については上で説明しました。 2. EMF の各成分の作用から回路内の電流と電圧を個別に重ね合わせて計算する原理を適用します。 3. パラグラフ 2 で得られた解決策の共同検討 (要約)。 一般的な形式で成分を合計することは、ほとんどの場合困難ですが、必ずしも必要というわけではありません。なぜなら、高調波成分に基づいて、曲線の形状とそれを特徴付ける基本量の両方を判断できるからです。 について
メインステージはセカンドステージ。 非正弦波 EMF がフーリエ級数で表される場合、そのような発生源は、一定の EMF 発生源と異なる周波数の正弦波 EMF 発生源の直列接続と考えることができます (図 6.10)。 重ね合わせの原理を適用し、各 EMF の作用を個別に考慮することにより、回路のすべての分岐における電流の成分を決定することができます。 させて E o を作成します 私ああ、 e 1 - 私 1 , e 2 - 私 2など 次に実際の電流 私=私 o + 私 1 +私 2 +··· . したがって、非正弦波電流回路の計算は、一定の EMF に関する 1 つの問題と、正弦波 EMF に関する多くの問題を解決することになります。 これらの問題をそれぞれ解決するときは、周波数が異なると誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが同じではないことを考慮する必要があります。 誘導リアクタンスは周波数に正比例するため、 k次高調波 バツ Lk = kωL=kx L1、つまり のために k-次高調波が含まれています k最初のときよりも何倍も。 静電容量は周波数に反比例するため、 k次高調波 バツСk =1/ kωС=バツ C1/ k、つまり のために k-次高調波が含まれています k最初のときよりも数倍少ないです。 原則として、アクティブ抵抗は表面効果により周波数にも依存しますが、導体の断面積が小さく、周波数が低い場合、表面効果は事実上存在しないため、アクティブ抵抗はどの周波数に対しても同じであると仮定することができます。すべての高調波。 非正弦波電圧が静電容量に直接供給される場合、 k-次電流高調波

H 高調波数が高くなるほど、その高調波の静電容量抵抗は低くなります。 したがって、高次高調波の電圧振幅が 1 次高調波の振幅のほんの一部であっても、基本波電流と同等以上の電流が発生する可能性があります。 この点において、正弦波に近い電圧であっても、タンク内の電流は急激に非正弦波となる場合があります (図 6.11)。 この点、静電容量は高調波電流を強調すると言われています。 非正弦波電圧がインダクタンスに直接印加される場合、 k-次電流高調波

.

と
高調波次数が増加すると、誘導リアクタンスが増加します。 したがって、インダクタンスを流れる電流では、その端子の電圧よりも高調波の程度が低くなります。 電圧が急激に非正弦波であっても、インダクタンスの電流曲線は多くの場合正弦波に近づきます (図 6.12)。 したがって、インダクタンスによって電流曲線が正弦波に近づくと言われています。 電流の各高調波成分を計算する場合、複雑な方法を使用してベクトル図を作成することはできますが、ベクトルの幾何学的合計や、異なる高調波の電圧または電流の複素数の加算を実行することは受け入れられません。 実際、例えば第 1 高調波と第 3 高調波の電流を表すベクトルは、異なる速度で回転します (図 6.13)。 したがって、これらのベクトルの幾何学和は、次の場合にのみそれらの和の瞬時値を与えます。 ω t=0 であり、一般的な場合には意味がありません。

非正弦波電流電力

正弦波電流回路と同様に、受動 2 端子ネットワークによって消費される電力について説明します。 有効電力は、期間にわたる瞬時電力の平均値も意味します。

2 端子回路網の入力端の電圧と電流をフーリエ級数で表すとします。

値を代入してみましょう あなたそして 私式に入れる R

この結果は、異なる周波数の正弦波の積の期間にわたる積分がゼロに等しいという事実を考慮して得られ、同じ周波数の正弦波の積の期間にわたる積分は正弦波のセクションで決定されました。電流回路。 したがって、非正弦波電流の有効電力は、すべての高調波の有効電力の合計に等しくなります。 それは明らかです R k任意の既知の式を使用して決定することができる。 正弦波電流との類推により、非正弦波電流の場合、総電力の概念が電圧と電流の実効値の積として導入されます。 S=UI。 態度 Rに Sは力率と呼ばれ、従来の特定の角度の余弦に等しくなります。 θ 、つまり コス θ =追伸。 実際には、非正弦波の電圧と電流が同等の正弦波に置き換えられることがよくあります。 この場合、次の 2 つの条件を満たす必要があります。1) 等価正弦波の実効値は、置換される量の実効値と等しくなければなりません。 2) 電圧と電流の等価正弦波間の角度 θ そのようなものでなければなりません UIコス θ 有効電力に等しい R。 したがって、 θ は、電圧と電流の等価正弦波間の角度です。 通常、等価正弦波の実効値は、基本高調波の実効値に近くなります。 正弦波電流と同様に、非正弦波電流については無効電力の概念が導入され、すべての高調波の無効電力の合計として定義されます。

正弦波ではなく非正弦波電流の場合 S 2 ≠P 2 +Q 2. したがって、ここでは歪み電力の概念を導入します。 T、電圧曲線と電流曲線の形状の違いを特徴づけ、次のように定義されます。

三相システムの高調波

三相システムでは、通常、相 B と C の電圧曲線は、周期の 3 分の 1 のシフトで相 A の曲線を正確に再現します。 それで、もし あなた A= f(ωt)、 それ あなた B = f(ωt- 2π/ 3), あ あなた C = f(ωt+ 2π/ 3). 相電圧が非正弦波であり、フーリエ級数で展開されると仮定します。 それから検討してください k 3 相すべての - 次高調波。 させて あなたアク＝ U km sin( kωt+ψ k)、すると、 あなた Vk = U km sin( kωt+ψ k -k 2π/ 3) そして あなた Ck = U km sin( kωt+ψ k +k 2π/ 3)。 これらの式を異なる値で比較する k、高調波については 3 で割り切れることに注意してください ( k=3n, n– 0 から始まる自然数列） すべての相で、電圧はいつでも同じ値と方向を持ちます。 ゼロシーケンスシステムを形成します。 で k=3n+図１に示されるように、高調波は電圧システムを形成し、そのシーケンスは実際の電圧のシーケンスと一致する。 それらは直接シーケンスシステムを形成します。 で k=3n-図１に示すように、高調波は電圧システムを形成し、そのシーケンスは実際の電圧のシーケンスとは逆である。 それらは逆順序システムを形成します。 実際には、ほとんどの場合、定数成分とすべての偶数高調波の両方が存在しないため、今後は奇数高調波のみを考慮することに限定します。 この場合、逆シーケンスを形成する最も近い高調波は 5 番目になります。 電気モーターでは、それが最も大きな害をもたらすため、電気モーターに対して容赦ない戦いが繰り広げられます。 3 の倍数の高調波の存在によって引き起こされる三相システムの動作の特徴を考えてみましょう。 1 。 発電機または変圧器の巻線が三角形に接続されている場合 (図 6.14)、外部負荷がない場合でも、3 の倍数の高調波電流が後者の分岐を流れます。 実際、3 の倍数である高調波の起電力の代数和は ( E 3 , E 6 など)、三角形では 3 つの値があり、他の高調波とは対照的に、この合計は 0 になります。 3 次高調波に対する巻線の相抵抗が Z 3 の場合、三角回路の 3 次高調波電流は次のようになります。 私 3 =E 3 /Z 3. 同様に、6次高調波電流も 私 6 =E 6 /Z 6など 巻線に流れる電流の実効値は次のようになります。
。 発電機巻線の抵抗は小さいため、電流は大きな値に達する可能性があります。 したがって、相起電力に 3 で割り切れる高調波がある場合、発電機または変圧器の巻線は三角形に接続されません。 2 。 発電機または変圧器の巻線を開いた三角形に接続すると (図 6.155)、その端子には高調波の EMF の合計 (3 の倍数) に等しい電圧がかかります。 あなた BX =3 E 3m罪(3 ωt+ψ 3)+3E 6m罪(6 ωt+ψ 6)+3E 9m罪(9 ωt+ψ 9)+···. その実際の意味

.

オープンデルタは通常、発電機の巻線を通常のデルタに接続する前に使用され、後者が問題なく実装できるかどうかを確認します。 3. 線形電圧には、発電機または変圧器の巻線の接続図に関係なく、3 の倍数の高調波は含まれません。 三角形で接続すると、3 の倍数の高調波を含む相 EMF は、発電機相の内部抵抗での電圧降下によって補償されます。 実際、キルヒホッフの第 3 法則によると、たとえば、図 6.14 の回路の高調波は次のように書くことができます。 U AB3+ 私 3 Z 3 =E 3、どこから得たのか U AB3 =0。 3 の倍数の高調波についても同様です。 スター型に接続すると、線形電圧は対応する相 EMF の差に等しくなります。 3 の倍数の高調波の場合、これらの差が合成されると、位相 EMF はゼロ系列システムを形成するため、破壊されます。 したがって、相電圧にはすべての高調波の成分とその実効値が含まれる可能性があります。 線形電圧には 3 の倍数の高調波は存在しないため、その実効値は です。 この点に関して、3 の倍数の高調波が存在する場合、 U l/ U f<
。 4. 中性線のない回路では、3 で割り切れる高調波電流は閉じることができません。これは、高調波電流が零相システムを形成し、後者が存在する場合にのみ閉じることができるためです。 この場合、レシーバとソースのゼロ点の間では、対称負荷の場合でも、電圧は 3 の倍数の高調波の起電力の合計に等しくなります。これは、方程式から簡単に検証できます。これらの高調波の流れが存在しないという事実を考慮して、キルヒホッフの第 2 法則を計算します。 この電圧の瞬時値 あなた 0 1 0 =E 3m罪(3 ωt+ψ 3)+E 6m罪(6 ωt+ψ 6)+E 9m罪(9 ωt+ψ 9)+···. その実際の意味
. 5。 中性線を備えたスタースター回路(図6.16)では、相EMFに示された高調波が含まれている場合、対称負荷の場合でも、3で割り切れる高調波電流は後者に沿って閉じられます。 3 の倍数である高調波がゼロ系列システムを形成すると考えると、次のように書くことができます。

多くの場合、信号のスペクトルを取得 (計算) するタスクは次のようになります。 サンプリング周波数 Fd で、時間 T の間に入力に到着する連続信号をデジタル サンプル (N 個) に変換する ADC があります。 次に、サンプルの配列が、N/2 個の数値を生成する特定のプログラムに入力されます (プログラマーは、 インターネットから盗んだプログラムを作成し、それがフーリエ変換を実行することを保証します)。

プログラムが正しく動作するかどうかを確認するには、2 つの正弦波の合計 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) としてサンプルの配列を形成し、それをプログラムに組み込みます。 。 プログラムでは次のことが描かれました。

図1 信号時間関数のグラフ

図2 信号スペクトルグラフ

スペクトル グラフには、振幅 0.5 V の 5 Hz と振幅 1 V の 10 Hz の 2 本のスティック (高調波) があり、すべて元の信号の式と同じです。 すべて順調です、よくやったプログラマー! プログラムは正しく動作します。

これは、2 つの正弦波の混合からの実信号を ADC 入力に適用すると、2 つの高調波で構成される同様のスペクトルが得られることを意味します。

合計、私たちの 本物測定された信号、 5秒間続く、ADC によってデジタル化される、つまり、 離散カウントする、持っている 離散的非周期的範囲。

数学的な観点から見ると、この語句には誤りがいくつありますか?

当局は 5 秒は長すぎると判断し、信号を 0.5 秒で測定しましょうと決定しました。



図 3 測定期間 0.5 秒の関数 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) のグラフ

図4 関数スペクトル

何かがおかしいようです! 10 Hz の高調波は正常に描画されますが、5 Hz スティックの代わりに、いくつかの奇妙な高調波が表示されます。 何が起こっているのかを知るためにインターネットを調べます...

そうです、サンプルの末尾にゼロを追加する必要があると、スペクトルは通常どおり描画されると言われています。

図5 5秒までのゼロを追加

図6 受信スペクトル

まだ5秒の時と同じではありません。 私たちはその理論に対処しなければなりません。 に行きましょう ウィキペディア- 知識の源。

2. 連続関数とそのフーリエ級数表現

数学的には、持続時間が T 秒の信号は、間隔 (0, T) で指定された特定の関数 f(x) です (この場合の X は時間です)。 このような関数は常に、次の形式の調和関数 (サインまたはコサイン) の合計として表すことができます。

K - 三角関数番号（高調波成分番号、高調波番号）
T - 関数が定義されているセグメント (信号持続時間)
Ak は k 次高調波成分の振幅、
?k - k次高調波成分の初期位相

「関数を級数の合計として表す」とはどういう意味ですか? これは、各点でフーリエ級数の高調波成分の値を加算することで、この点での関数の値が得られることを意味します。

(より厳密には、関数 f(x) からの級数の二乗平均平方根偏差はゼロになる傾向がありますが、二乗平均平方根の収束にもかかわらず、関数のフーリエ級数は、一般的に言えば、次のようにする必要はありません。 https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series を参照してください。)

このシリーズは次のように書くこともできます。

(2),
ここで、 k 番目の複素振幅。

係数(1)と係数(3)の関係は次の式で表されます。

フーリエ級数のこれら 3 つの表現はすべて完全に等価であることに注意してください。 フーリエ級数を扱う場合、サインとコサインの代わりに虚数引数の指数を使用する、つまり複素形式でフーリエ変換を使用する方が便利な場合があります。 ただし、フーリエ級数が対応する振幅と位相の余弦の合計として表される式 (1) を使用すると便利です。 いずれにせよ、実際の信号をフーリエ変換すると複素高調波振幅が生じるというのは誤りです。 Wiki に正しく記載されているように、「フーリエ変換 (?) は、実数変数の 1 つの関数を、同じく実数変数である別の関数に関連付ける演算です。」

合計：
信号のスペクトル分析の数学的基礎はフーリエ変換です。

フーリエ変換を使用すると、セグメント (0, T) 上で定義された連続関数 f(x) (信号) を、特定の三角関数 (サインおよび/またはコサイン) の無限数 (無限級数) の合計として表すことができます。振幅と位相もセグメント (0, T) で考慮されます。 このような級数をフーリエ級数といいます。

さらにいくつかの点に注意してください。フーリエ変換を信号解析に正しく適用するには、その理解が必要です。 X 軸全体のフーリエ級数 (正弦波の合計) を考慮すると、セグメント (0, T) の外側では、フーリエ級数で表される関数が周期的に関数を繰り返すことがわかります。

たとえば、図 7 のグラフでは、元の関数はセグメント (-T\2, +T\2) で定義され、フーリエ級数は x 軸全体で定義された周期関数を表します。

これは、正弦波自体が周期関数であり、したがってそれらの合計が周期関数になるために起こります。

図7 フーリエ級数による非周期元関数の表現

したがって：

私たちの元の関数は連続的で非周期的であり、長さ T の特定のセグメントで定義されます。
この関数のスペクトルは離散的です。つまり、無限系列の調和成分、つまりフーリエ級数の形で表されます。
実際、フーリエ級数は、セグメント (0, T) 上の周期関数と一致する特定の周期関数を定義しますが、この周期性は私たちにとって重要ではありません。

高調波成分の周期は、元の関数 f(x) が定義されているセグメント (0, T) の値の倍数です。 言い換えれば、高調波周期は信号測定の継続時間の倍数です。 たとえば、フーリエ級数の第 1 高調波の周期は、関数 f(x) が定義される間隔 T に等しくなります。 フーリエ級数の第 2 高調波の周期は間隔 T/2 に等しくなります。 などです (図 8 を参照)。

図 8 フーリエ級数の高調波成分の周期 (周波数) (ここでは T = 2?)

したがって、高調波成分の周波数は１／Ｔの倍数となる。 つまり、高調波成分 Fk の周波数は Fk = k\T に等しくなります。ここで、k の範囲は 0 から 2 までです。たとえば、k = 0 F0 = 0。 k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (ゼロ周波数 - 一定成分)。

元の関数を T=1 秒間に記録された信号とする。 この場合、最初の高調波の周期は信号の持続時間 T1=T=1 秒と等しく、高調波の周波数は 1 Hz になります。 2 次高調波の周期は信号持続時間を 2 で割った値 (T2=T/2=0.5 秒) になり、周波数は 2 Hz になります。 3 次高調波の場合、T3=T/3 秒、周波数は 3 Hz です。 等々。

この場合の高調波間のステップは 1 Hz です。

したがって、持続時間 1 秒の信号は、1 Hz の周波数分解能で高調波成分に分解できます (スペクトルが得られます)。
分解能を 2 倍の 0.5 Hz に高めるには、測定時間を 2 倍 (最大 2 秒) 増やす必要があります。 10 秒間続く信号は、0.1 Hz の周波数分解能で高調波成分に分解できます (スペクトルを取得するため)。 周波数分解能を上げる他の方法はありません。

サンプルの配列にゼロを追加することで、信号の持続時間を人為的に長くする方法があります。 ただし、実際の周波数分解能は向上しません。

3. 離散信号と離散フーリエ変換

デジタル技術の発展に伴い、測定データ（信号）の保存方法も変化してきました。 以前は信号をテープ レコーダーに録音し、アナログ形式でテープに保存できましたが、現在では信号はデジタル化され、一連の数値 (サンプル) としてコンピューター メモリ内のファイルに保存されます。

信号を測定してデジタル化するための通常のスキームは次のとおりです。

図9 測定チャンネルの図

測定トランスデューサからの信号は、時間 T の間に ADC に到着します。時間 T の間に取得された信号サンプル (サンプリング) はコンピュータに送信され、メモリに保存されます。

図 10 デジタル化された信号 - 期間 T 中に受信された N 個のサンプル

信号デジタル化パラメータの要件は何ですか? 入力されたアナログ信号を離散コード (デジタル信号) に変換するデバイスは、アナログ デジタル コンバーター (ADC) と呼ばれます (Wiki)。

ADC の主なパラメータの 1 つは、最大サンプリング周波数 (またはサンプリング レート、英語のサンプル レート)、つまり時間連続信号をサンプリングするときのサンプリング レートです。 ヘルツ単位で測定されます。 ((ウィキ))

コテルニコフの定理によれば、連続信号のスペクトルが周波数 Fmax によって制限されている場合、時間間隔で取得した離散サンプルから完全かつ一意に再構成できます。 周波数はFd? 2*Fmax、Fd はサンプリング周波数です。 Fmax - 信号スペクトルの最大周波数。 言い換えれば、信号のデジタル化周波数 (ADC サンプリング周波数) は、測定する信号の最大周波数より少なくとも 2 倍高くなければなりません。

コテルニコフの定理で必要とされる周波数よりも低い周波数でサンプルを取得すると何が起こるでしょうか?

この場合、高周波信号がデジタル化後に実際には存在しない低周波信号に変化する「エイリアシング」効果 (ストロボ効果、モアレ効果としても知られています) が発生します。 図では、 5 赤い高周波正弦波は実際の信号です。 低周波数の青い正弦波は、サンプリング時間中に高周波信号の周期の半分以上が経過するために発生する架空の信号です。

米。 11. サンプリングレートが不十分な場合の偽の低周波信号の出現

エイリアシング効果を回避するために、特別なアンチエイリアシング フィルタが ADC の前に配置されます。ローパス フィルタ (LPF) は、ADC サンプリング周波数の半分以下の周波数を通過させ、それより高い周波数を遮断します。

離散サンプルから信号のスペクトルを計算するには、離散フーリエ変換 (DFT) が使用されます。 離散信号のスペクトルは「定義上」、サンプリング周波数 Fd の半分未満である周波数 Fmax によって制限されることにもう一度注意してください。 したがって、離散信号のスペクトルは、有限数の高調波の合計で表すことができます。これとは対照的に、連続信号のフーリエ級数のスペクトルは無制限です。 コテルニコフの定理によれば、高調波の最大周波数は少なくとも 2 つのサンプルを占めるようにする必要があるため、高調波の数は離散信号のサンプル数の半分に等しくなります。 つまり、サンプル内に N 個のサンプルがある場合、スペクトル内の高調波の数は N/2 になります。

ここで離散フーリエ変換 (DFT) について考えてみましょう。

フーリエ級数との比較

DFT の時間が本質的に離散的であり、高調波の数がサンプル数の半分である N/2 によって制限されることを除いて、それらは一致していることがわかります。

DFT 式は、無次元の整変数 k、s で記述されます。ここで、k は信号サンプルの数、s はスペクトル成分の数です。
値 s は、期間 T (信号測定期間) にわたる完全調和振動の数を示します。 離散フーリエ変換は、数値的手法を使用して高調波の振幅と位相を見つけるために使用されます。 "コンピューターで"

最初に得られた結果に戻ります。 上で述べたように、非周期関数 (信号) をフーリエ級数に拡張すると、結果として得られるフーリエ級数は実際には周期 T の周期関数に対応します (図 12)。

図 12 周期関数 f(x)、周期 T0、測定周期 T>T0

図１２から分かるように、関数ｆ（ｘ）は周期Ｔ０で周期的である。 ただし、測定サンプルの継続時間 T が関数 T0 の周期と一致しないため、フーリエ級数として得られる関数には点 T で不連続性があります。その結果、この関数のスペクトルには次のものが含まれます。多数の高周波高調波。 測定サンプル T の継続時間が関数 T0 の周期と一致する場合、関数 f(x) であるため、フーリエ変換後に得られるスペクトルには、第 1 高調波 (サンプリング継続時間に等しい周期を持つ正弦波) のみが含まれます。は正弦波です。

言い換えれば、DFT プログラムは、信号が「正弦波の一部」であることを「認識していません」が、一連の形式で周期関数を表現しようとします。これは、個々の信号の不一致により不連続性があります。正弦波。

その結果、スペクトルに高調波が現れ、この不連続部分を含む関数の形状が合計されます。

したがって、異なる周期を持ついくつかの正弦波の合計である信号の「正しい」スペクトルを取得するには、各正弦波の整数個の周期が信号測定周期に収まる必要があります。 実際には、この条件は十分に長い信号測定期間にわたって満たされます。

図 13 ギアボックスの運動学的誤差信号の関数とスペクトルの例

継続時間が短いと、画像の見た目が「悪く」なります。

図14 ローター振動信号の関数とスペクトルの例

実際には、どこが「実際のコンポーネント」で、どこがコンポーネントの非複数周期や信号サンプリングの継続時間、または信号形状の「ジャンプとブレーク」によって引き起こされる「アーティファクト」なのかを理解するのが難しい場合があります。 。 もちろん、「実際のコンポーネント」と「成果物」という言葉が引用符で囲まれているのには理由があります。 スペクトル グラフ上に多くの高調波が存在しても、信号が実際に高調波で「構成されている」ことを意味するわけではありません。 これは、数字 7 が数字 3 と数字 4 から「構成されている」と考えるのと同じです。数字 7 は、数字 3 と数字 4 の合計として表すことができます。これは正しいです。

したがって、私たちの信号...というか「私たちの信号」ではありませんが、私たちの信号（サンプリング）を繰り返すことによって構成される周期関数は、特定の振幅と位相を持つ高調波（正弦波）の合計として表すことができます。 しかし、実践にとって重要な多くの場合 (上の図を参照)、スペクトルで得られた高調波を、本質的に周期的で信号形状に大きく寄与する実際のプロセスと関連付けることは実際に可能です。

いくつかの結果

1. ADC によってデジタル化された T 秒の実際の測定信号、つまり離散サンプルのセット (N 個) で表される信号は、高調波のセット (N/個) で表される離散非周期スペクトルを持ちます。 2個）。

2. 信号は一連の実数値で表され、そのスペクトルは一連の実数値で表されます。 高調波周波数は正です。 数学者にとって、負の周波数を使用してスペクトルを複素形式で表現する方が便利であるという事実は、「これが正しい」「常にそうすべきである」ということを意味するものではありません。

3. 時間間隔 T にわたって測定された信号は、時間間隔 T にわたってのみ決定されます。信号の測定を開始する前に何が起こったのか、そしてその後何が起こるのかは科学では不明です。 そして私たちの場合、それは面白くありません。 時間制限された信号の DFT は、特定の条件下でその成分の振幅と周波数を計算できるという意味で、その「真の」スペクトルを提供します。

使用された材料とその他の有用な材料。