Quase qualquer função periódica pode ser expandida em harmônicos simples usando uma série trigonométrica (série de Fourier):

f(x) = + (um porque nx + b n pecado nx), (*)

Vamos escrever esta série como uma soma de harmônicos simples, assumindo que os coeficientes são iguais um= Um pecado JN, b n= Um porque JN. Nós temos: um porque JN + b n pecado JN = Um pecado( nx+ JN), Onde

Um= , tg JN = . (**)

Então a série (*) na forma de harmônicos simples assumirá a forma f(x) = .

A série de Fourier representa uma função periódica como a soma de um número infinito de senóides, mas com frequências que possuem um determinado valor discreto.

Às vezes n O º harmônico é escrito na forma um porque nx + b n pecado nx = Um porque ( nx – JN) , Onde um= Um porque JN , b n= Um pecado JN .

Em que Um E JN são determinados por fórmulas (**). Então a série (*) assumirá a forma

f(x) = .

Definição 9. Operação de representação de função periódica f(x) A série de Fourier é chamada análise harmônica.

A expressão (*) também ocorre em outra forma mais comum:

Chances um, b n são determinados pelas fórmulas:

magnitude C 0 expressa o valor médio da função ao longo do período e é chamado de componente constante, que é calculado pela fórmula:

Na teoria das vibrações e análise espectral, a representação da função f(t) na série de Fourier é escrito como:

(***)

aqueles. uma função periódica é representada pela soma de termos, cada um dos quais é uma oscilação senoidal com amplitude Com n e fase inicial JN, ou seja, a série de Fourier de uma função periódica consiste em harmônicos individuais com frequências que diferem entre si por um número constante. Além disso, cada harmônico possui uma certa amplitude. Valores Com n E JN devem ser devidamente selecionados para que a igualdade (***) seja satisfeita, ou seja, são determinados pelas fórmulas (**) [ Com n = Um].

Vamos reescrever a série de Fourier (***) na forma Onde c 1 – frequência principal. Disto podemos concluir: uma função periódica complexa f(t) é determinado por um conjunto de quantidades Com n E JN .

Definição 10. Conjunto de valores Com n, isto é, a dependência da amplitude na frequência, é chamada espectro de amplitude da função ou espectro de amplitude.

Definição 11. Conjunto de valores JNé chamado espectro de fase.

Quando dizem simplesmente “espectro”, referem-se ao espectro de amplitude; em outros casos, são feitas as devidas reservas. A função periódica tem espectro discreto(isto é, pode ser representado como harmônicos individuais).

O espectro de uma função periódica pode ser representado graficamente. Para isso escolhemos as coordenadas Com n E c = agora 1. O espectro será representado neste sistema de coordenadas por um conjunto de pontos discretos, porque cada valor agora 1 corresponde a um valor específico Com n. Um gráfico que consiste em pontos individuais é inconveniente. Portanto, é costume representar as amplitudes dos harmônicos individuais em segmentos verticais de comprimento correspondente (Fig. 2).

Arroz. 2.

Este espectro discreto é frequentemente chamado de espectro de linha. É um espectro harmônico, ou seja, consiste em linhas espectrais igualmente espaçadas; as frequências harmônicas estão em múltiplos simples. Harmônicos individuais, incluindo o primeiro, podem estar ausentes, ou seja, suas amplitudes podem ser zero, mas isso não viola a harmonia do espectro.

Os espectros discretos ou lineares podem pertencer a funções periódicas e não periódicas. No primeiro caso, o espectro é necessariamente harmônico.

A expansão da série de Fourier pode ser generalizada para o caso de uma função não periódica. Para isso, é necessário aplicar a passagem ao limite em T®∞, considerando uma função não periódica como caso limite de uma periódica com período infinitamente crescente. Em vez de 1/ T vamos apresentar a frequência fundamental circular c 1 = 2p/ T. Este valor é o intervalo de frequência entre harmônicos adjacentes, cujas frequências são iguais a 2p n/T. Se T® ∞, então c 1® dw e 2p n/T® c, Onde c– frequência atual, mudando continuamente, dw– seu incremento. Neste caso, a série de Fourier se transformará na integral de Fourier, que é a expansão de uma função não periódica em um intervalo infinito (–∞;∞) em vibrações harmônicas, cujas frequências c mudar continuamente de 0 a ∞:

Uma função não periódica possui espectros contínuos ou contínuos, ou seja, Em vez de pontos individuais, o espectro é representado como uma curva contínua. Isso é obtido como resultado da transição limitante da série para a integral de Fourier: os intervalos entre as linhas espectrais individuais são reduzidos indefinidamente, as linhas se fundem e, em vez de pontos discretos, o espectro é representado por uma sequência contínua de pontos, ou seja, curva contínua. Funções a(c) E b(c) fornece a lei de distribuição de amplitudes e fases iniciais dependendo da frequência c.

No capítulo anterior, fomos apresentados a outro ponto de vista sobre um sistema oscilante. Vimos que vários harmónicos naturais surgem numa corda e que qualquer vibração particular que possa ser obtida a partir das condições iniciais pode ser considerada como uma combinação de vários harmónicos naturais oscilantes simultaneamente, compostos na proporção adequada. Para uma corda, descobrimos que os harmônicos naturais têm frequências ω 0, 2ω 0, Зω 0, .... Portanto, o movimento mais geral da corda consiste em oscilações senoidais da frequência fundamental ω 0, depois o segundo harmônico 2ω 0, depois o terceiro harmônico 3ω 0, etc. O harmônico fundamental é repetido após cada período T 1 = 2π/ω 0, o segundo harmônico - após cada período T 2 =2π/2ω 0 ; ele se repete Também e depois de cada período T 1 =2T 2 , ou seja, depois dois seus períodos. Exatamente da mesma maneira depois de um período T 1 A terceira harmônica também se repete. Este segmento contém três de seus períodos. E novamente entendemos por que a corda dedilhada após um período T 1 repete completamente a forma do seu movimento. É assim que o som musical é produzido.

Até agora falamos sobre o movimento da corda. No entanto som, que representa o movimento do ar provocado pelo movimento da corda, também deve ser constituído pelos mesmos harmônicos, embora aqui não possamos mais falar dos próprios harmônicos do ar. Além disso, a força relativa dos vários harmônicos no ar pode ser muito diferente da da corda, especialmente se a corda estiver "conectada" ao ar por meio de uma "caixa de ressonância". Diferentes harmônicos se relacionam com o ar de maneiras diferentes.

Se para um tom musical a função f(t) representa a pressão do ar em função do tempo (digamos, como na Fig. 50.1,6), então podemos esperar que f(t) é escrito como a soma de um certo número de funções harmônicas simples de tempo (semelhante a cos ω t) para cada uma das diferentes frequências harmônicas. Se o período de oscilação for igual a T, então a frequência angular fundamental será ω=2π/T, e os harmônicos seguintes serão 2ω, 3ω, etc.

É aqui que surge uma pequena complicação. Não temos o direito de esperar que para cada frequência as fases iniciais sejam necessariamente iguais entre si. Portanto, você precisa usar funções como cos (ωt + φ) - em vez disso, porém, é mais fácil de usar para cada frequências seno e cosseno. Lembremos que

e como φ é uma constante, então qualquer oscilações senoidais com frequência co podem ser escritas como uma soma de termos, um dos quais inclui sen ωt e o outro inclui cos ωt.

Então chegamos à conclusão de que qualquer função periódica f(t) com período T matematicamente pode ser escrito como

Onde ω=2π/T, A A E b - constantes numéricas que indicam o peso com que cada componente de vibração está incluído na vibração global f(t). Para maior generalidade, adicionamos um termo com frequência zero a 0 à nossa fórmula, embora geralmente seja igual a zero para tons musicais. Isto é simplesmente uma mudança no valor médio da pressão sonora (ou seja, uma mudança no nível “zero”). Com este termo nossa fórmula é válida para qualquer caso. A equação (50.2) é mostrada esquematicamente na FIG. 50.2. Amplitudes de funções harmônicas An E bn são selecionados de acordo com uma regra especial. Na figura eles são mostrados apenas esquematicamente e não em escala. [Série (50.2) é chamada ao lado de Fourier para funções f(t).]

Nós dissemos isso qualquer Uma função periódica pode ser escrita desta forma. É necessário fazer uma pequena alteração e enfatizar que qualquer onda sonora ou qualquer função que encontramos na física pode ser expandida em tal série. Os matemáticos, é claro, podem criar uma função tal que não possa ser composta por harmônicos simples (por exemplo, uma função que “enrola” ao contrário, de modo que para algumas quantidades t tem dois significados!). No entanto, não precisamos nos preocupar com esses recursos aqui.

Como se sabe, na indústria de energia elétrica a forma senoidal é adotada como forma padrão para correntes e tensões. No entanto, em condições reais, os formatos das curvas de corrente e tensão podem diferir em um grau ou outro das curvas senoidais. Distorções nas formas das curvas dessas funções nos receptores levam a perdas adicionais de energia e à diminuição de sua eficiência. O formato senoidal da curva de tensão do gerador é um dos indicadores da qualidade da energia elétrica como produto.

As seguintes razões para a distorção da forma das curvas de corrente e tensão em um circuito complexo são possíveis:

1) a presença no circuito elétrico de elementos não lineares, cujos parâmetros dependem dos valores instantâneos de corrente e tensão (por exemplo, retificadores, unidades de soldagem elétrica, etc.);

2) a presença no circuito elétrico de elementos paramétricos, cujos parâmetros mudam ao longo do tempo;

3) a fonte de energia elétrica (gerador trifásico), devido às suas características de projeto, não consegue fornecer uma tensão de saída senoidal ideal;

4) influência em combinação dos fatores listados acima.

Circuitos não lineares e paramétricos são discutidos em capítulos separados do curso TOE. Este capítulo examina o comportamento de circuitos elétricos lineares quando expostos a fontes de energia com formato de curva não senoidal.

É sabido em um curso de matemática que qualquer função periódica de tempo f(t) que satisfaça as condições de Dirichlet pode ser representada por uma série harmônica de Fourier:

Aqui A0 é um componente constante, Ak*sin(kωt+ αk) é o k-ésimo componente harmônico ou o k-ésimo harmônico, para abreviar. O primeiro harmônico é chamado de fundamental e todos os harmônicos subsequentes são chamados de superiores.

As amplitudes dos harmônicos individuais Ak não dependem do método de expansão da função f(t) em uma série de Fourier, enquanto ao mesmo tempo as fases iniciais dos harmônicos individuais αk dependem da escolha da referência de tempo (origem das coordenadas) .

Os harmônicos individuais da série de Fourier podem ser representados como a soma dos componentes seno e cosseno:

Então toda a série de Fourier ficará assim:

As relações entre os coeficientes das duas formas da série de Fourier têm a forma:

Se o k-ésimo harmônico e seus componentes seno e cosseno forem substituídos por números complexos, então a relação entre os coeficientes da série de Fourier pode ser representada de forma complexa:

Se uma função de tempo periódica não senoidal é dada (ou pode ser expressa) analiticamente na forma de uma equação matemática, então os coeficientes da série de Fourier são determinados por fórmulas conhecidas em um curso de matemática:

Na prática, a função não senoidal f(t) em estudo é geralmente especificada na forma de um diagrama gráfico (graficamente) (Fig. 46.1) ou na forma de uma tabela de coordenadas de pontos (tabular) no intervalo de um período (Tabela 1). Para realizar uma análise harmônica de tal função usando as equações acima, ela deve primeiro ser substituída por uma expressão matemática. Substituir uma função especificada graficamente ou tabularmente por uma equação matemática é chamado de aproximação de função.

Atualmente, a análise harmônica de funções de tempo não senoidais f(t) é geralmente realizada em um computador. No caso mais simples, uma aproximação linear por partes é usada para representar matematicamente uma função. Para fazer isso, toda a função no intervalo de um período completo é dividida em seções M = 20-30 para que as seções individuais fiquem o mais próximo possível das linhas retas (Fig. 1). Em seções individuais, a função é aproximada pela equação da reta fm(t)=am+bm*t, onde os coeficientes de aproximação (am, bm) são determinados para cada seção através das coordenadas de seus pontos finais, por exemplo, para a 1ª seção obtemos:

O período da função T é dividido em um grande número de etapas de integração N, a etapa de integração Δt=h=T/N, o tempo atual ti=hi, onde i é o número de série da etapa de integração. Integrais definidas nas fórmulas de análise harmônica são substituídas pelas somas correspondentes; são calculadas em um computador pelo método trapezoidal ou retangular, por exemplo:

Para determinar as amplitudes dos harmônicos superiores com precisão suficiente (δ≤1%), o número de etapas de integração deve ser de pelo menos 100k, onde k é o número do harmônico.

Em tecnologia, dispositivos especiais chamados analisadores de harmônicos são usados ​​para isolar harmônicos individuais de tensões e correntes não senoidais.

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CIRCUITOS DE CORRENTE NÃO SENUSOIDAIS

Até agora estudamos circuitos de corrente senoidal, mas a lei da mudança da corrente ao longo do tempo pode diferir da senoidal. Neste caso, ocorrem circuitos de corrente não senoidais. Todas as correntes não senoidais são divididas em três grupos: periódicas, ou seja, tendo um período T(Fig. 6.1, a), não periódico (Fig. 6.1, b) e quase periódico, possuindo um envelope que muda periodicamente ( T o) e período de repetição do pulso ( T e) (Fig. 6.1, c). Existem três maneiras de obter correntes não senoidais: a) um EMF não senoidal atua no circuito; b) existe um EMF senoidal no circuito, mas um ou mais elementos do circuito são não lineares; c) um EMF senoidal opera no circuito, mas os parâmetros de um ou mais elementos do circuito mudam periodicamente ao longo do tempo. Na prática, o método b) é o mais utilizado. As correntes não senoidais são mais difundidas em dispositivos de engenharia de rádio, automação, telemecânica e informática, onde são frequentemente encontrados pulsos das mais variadas formas. Correntes não senoidais também são encontradas na indústria de energia elétrica. Consideraremos apenas tensões e correntes periódicas não senoidais que podem ser decompostas em componentes harmônicos.

Expansão de curvas periódicas não senoidais em séries trigonométricas de Fourier

Fenômenos que ocorrem em circuitos lineares em tensões e correntes não senoidais periódicas podem ser mais facilmente calculados e estudados se as curvas não senoidais forem expandidas em uma série trigonométrica de Fourier. É conhecido pela matemática que a função periódica f(ωt), satisfazendo as condições de Dirichlet, ou seja, tendo em qualquer intervalo de tempo finito um número finito de descontinuidades apenas do primeiro tipo e um número finito de máximos e mínimos, pode ser expandido em uma série trigonométrica de Fourier

f(ωt)=UMA ó +
senωt+
sen2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

A ó +
.

Aqui: A ó– componente constante ou harmônico zero;
- amplitude do componente senoidal k os harmônicos;
- amplitude do cosseno k os harmônicos. Eles são determinados pelas seguintes fórmulas

Desde onde, como segue no diagrama vetorial (Fig. 6.2), obtemos

.

Os termos incluídos nesta expressão são chamados de harmônicos. Existem até ( k– pares) e harmônicos ímpares. O primeiro harmônico é chamado de fundamental e os demais são chamados de superiores. A última forma da série de Fourier é útil quando você precisa saber o conteúdo percentual de cada harmônico. A mesma forma da série de Fourier é usada no cálculo de circuitos de corrente não senoidal. Embora teoricamente a série de Fourier contenha um número infinitamente grande de termos, ela geralmente converge rapidamente. e uma série convergente pode expressar uma determinada função com qualquer grau de precisão. Na prática, basta considerar um pequeno número de harmônicos (3-5) para obter uma precisão de cálculo de vários por cento.

Características da expansão de curvas em série de Fourier com simetria

1. Curvas cujo valor médio no período é zero não contêm componente constante (harmônico zero). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), então diz-se que é simétrico em relação ao eixo das abcissas. Este tipo de simetria pode ser facilmente determinado pela forma da curva: se você deslocá-la meio período ao longo do eixo das abcissas, espelhá-la e ao mesmo tempo ela se fundir com a curva original (Fig. 6.3), então há simetria. Quando tal curva é expandida em uma série de Fourier, esta última não contém uma componente constante e todos os harmônicos pares, uma vez que não satisfazem a condição f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sen(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
pecado(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Se a função satisfaz a condição f(ωt)=f(-ωt), então é chamado de simétrico em relação ao eixo das ordenadas (par). Este tipo de simetria é fácil de determinar pelo tipo de curva: se a curva situada à esquerda do eixo das ordenadas é espelhada e se funde com a curva original, então há simetria (Fig. 6.4). Quando tal curva é expandida em uma série de Fourier, esta última não terá os componentes senoidais de todos os harmônicos ( = f(ωt)=f(-ωt). Portanto, para tais curvas

f(ωt)=UMA Ó +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Se a função satisfaz a condição f(ωt)=-f(-ωt), então é chamado de simétrico em relação à origem (ímpar). A presença deste tipo de simetria pode ser facilmente determinada pela forma da curva: se a curva situada à esquerda do eixo das ordenadas for girada em relação a pontos origem e se funde com a curva original, então há simetria (Fig. 6.5). Quando tal curva é expandida em uma série de Fourier, esta última não terá os componentes cosseno de todos os harmônicos (
= 0) porque eles não satisfazem a condição f(ωt)=-f(-ωt). Portanto, para tais curvas

f(ωt)=
senωt+
sen2ωt+
sin3ωt+···.

Se houver alguma simetria nas fórmulas para E você pode calcular a integral ao longo de meio período, mas dobrar o resultado, ou seja, usar expressões

Existem vários tipos de simetria nas curvas ao mesmo tempo. Para facilitar a questão dos componentes harmônicos neste caso, preencha a tabela

Tipo de simetria	Expressão analítica
1. Eixo X	f(ωt)=-f(ωt+π)		Somente numeração ímpar
2. Eixos Y	f(ωt)=f(-ωt)
3. Origens	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Abcissas e eixos ordenados	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			Chance
5. Eixos de abcissas e origens	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		Chance

Ao expandir uma curva em uma série de Fourier, você deve primeiro descobrir se ela possui algum tipo de simetria, cuja presença permite prever antecipadamente quais harmônicos estarão na série de Fourier e não realizar trabalhos desnecessários.

Expansão gráfico-analítica de curvas em uma série de Fourier

Quando uma curva não senoidal é dada por um gráfico ou tabela e não possui expressão analítica, para determinar seus harmônicos recorrem à decomposição grafoanalítica. Baseia-se na substituição de uma integral definida pela soma de um número finito de termos. Para tanto, o período da função f(ωt) dividido em n partes iguais Δ ωt = 2π/ n(Fig. 6.6). Então para o harmônico zero

Onde: R– índice atual (número da seção), assumindo valores de 1 a n; f R (ωt) – valor da função f(ωt) no ωt=р·Δ ωt(ver Fig.6.6) . Para a amplitude do componente senoidal k-ésimos harmônicos

Para a amplitude do componente cosseno k-ésimos harmônicos

Aqui pecado p kωt E porque p kωt- valores afundarωt E cosquete no ωt=р·. Em cálculos práticos geralmente é considerado n=18 (Δ ωt = 20˚) ou n=24 (Δ ωt = 15). Ao decompor graficamente e analiticamente as curvas em uma série de Fourier, é ainda mais importante do que analiticamente descobrir se ela possui algum tipo de simetria, cuja presença reduz significativamente a quantidade de trabalho computacional. Então, as fórmulas para E na presença de simetria assume a forma

Ao traçar harmônicos em um gráfico geral, é necessário levar em consideração que a escala ao longo do eixo das abcissas para k-ésimos harmônicos em k vezes mais do que no primeiro.

Valores máximos, médios e efetivos de grandezas não senoidais

As grandezas periódicas não senoidais, além de seus componentes harmônicos, são caracterizadas por valores máximos, médios e efetivos. Valor máximo A m é o maior valor do módulo de função durante o período (Fig. 6.7). O valor médio do módulo é determinado da seguinte forma

.

Se a curva for simétrica em relação ao eixo x e nunca mudar de sinal durante o meio período, então o valor absoluto médio é igual ao valor médio do meio período

,

Além disso, neste caso, o início da contagem do tempo deve ser escolhido de forma que f( 0)= 0. Se uma função nunca muda de sinal durante todo o período, então seu valor absoluto médio é igual ao componente constante. Em circuitos de corrente não senoidal, os valores de EMF, tensões ou correntes são entendidos como seus valores efetivos, determinados pela fórmula

.

Se a curva for expandida em uma série de Fourier, então seu valor efetivo pode ser determinado da seguinte forma

Deixe-nos explicar o resultado. Produto de senoides de diferentes frequências ( kω E euω) é uma função harmônica, e a integral durante um período de qualquer função harmônica é zero. A integral, localizada sob o sinal da primeira soma, foi determinada em circuitos de corrente senoidal e ali seu valor foi mostrado. Por isso,

.

Desta expressão segue-se que o valor efetivo das grandezas periódicas não senoidais depende apenas dos valores efetivos de seus harmônicos e não depende de suas fases iniciais ψ k. Vamos dar um exemplo. Deixar você=120
pecado (314 t+45˚)-50sin(3·314 t-75˚) B. Seu verdadeiro significado

Há casos em que os valores médios absolutos e efetivos de grandezas não senoidais podem ser calculados com base na integração da expressão analítica da função, e então não há necessidade de expandir a curva em uma série de Fourier. Na indústria de energia elétrica, onde as curvas são predominantemente simétricas em relação ao eixo x, vários coeficientes são usados ​​para caracterizar sua forma. Três deles são mais utilizados: fator de crista k a, fator de forma k f e fator de distorção k E. Eles são definidos assim: k uma = A m/ A; /A Qua; k e = A 1 /A. Para uma sinusóide eles têm os seguintes significados: k uma =; k f =π A eu / 2A m ≈1,11; 1.D Para uma curva retangular (Fig. 6.8, a), os coeficientes são os seguintes: k uma =1; k f =1; k e =1,26/. Para uma curva com formato pontiagudo (pico) (Fig. 6.8, b), os valores dos coeficientes são os seguintes: k a > e quanto mais alto, mais pontiagudo é seu formato; k f >1,11 e quanto mais pontiaguda a curva, mais alta ela é; k E<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УMostramos uma das aplicações práticas do coeficiente de distorção. As curvas de tensão industrial geralmente diferem de uma onda senoidal ideal. Na indústria de energia elétrica é introduzido o conceito de curva praticamente senoidal. Segundo GOST, a tensão das redes industriais é considerada praticamente sinusoidal se a maior diferença entre as ordenadas correspondentes da curva verdadeira e seu primeiro harmônico não exceder 5% da amplitude do harmônico fundamental (Fig. 6.9). Medir quantidades não senoidais com instrumentos de sistemas diferentes dá resultados diferentes. Voltímetros eletrônicos de amplitude medem valores máximos. Os dispositivos magnetoelétricos reagem apenas ao componente constante das grandezas medidas. Dispositivos magnetoelétricos com retificador medem o valor médio do módulo. Os instrumentos de todos os outros sistemas medem valores efetivos.

Cálculo de circuitos de corrente não senoidais

Se houver uma ou mais fontes com EMF não senoidal no circuito, seu cálculo será dividido em três etapas. 1. Decomposição de fontes EMF em componentes harmônicos. Como fazer isso é discutido acima. 2. Aplicação do princípio da superposição e cálculo de correntes e tensões no circuito a partir da ação de cada componente do CEM separadamente. 3. Consideração conjunta (resumo) das soluções obtidas no parágrafo 2. Somar os componentes de forma geral é muitas vezes difícil e nem sempre necessário, pois com base nos componentes harmônicos pode-se julgar tanto a forma da curva quanto as grandezas básicas que a caracterizam. SOBRE
O palco principal é o segundo. Se um EMF não senoidal for representado por uma série de Fourier, então tal fonte pode ser considerada como uma conexão em série de uma fonte de EMF constante e fontes de EMF senoidal com frequências diferentes (Fig. 6.10). Aplicando o princípio da superposição e considerando a ação de cada EMF separadamente, é possível determinar as componentes das correntes em todos os ramos do circuito. Deixar E o cria EU ah, e 1 - eu 1 , e 2 - eu 2, etc Então a corrente real eu=EUó + eu 1 +eu 2 +··· . Conseqüentemente, o cálculo de um circuito de corrente não senoidal se resume a resolver um problema com um EMF constante e uma série de problemas com um EMF senoidal. Ao resolver cada um destes problemas, é necessário levar em conta que para frequências diferentes as reatâncias indutivas e capacitivas não são iguais. A reatância indutiva é diretamente proporcional à frequência, portanto é k os harmônicos x Lk = kωL=kx L1, ou seja Para k-º harmônico em que está k vezes mais do que no primeiro. A capacitância é inversamente proporcional à frequência, então é k os harmônicos xСk =1/ kωС=x C1/ k, ou seja Para k-º harmônico em que está k vezes menos do que o primeiro. A resistência ativa, em princípio, também depende da frequência devido ao efeito de superfície, porém, com pequenas seções transversais de condutores e em baixas frequências, o efeito de superfície está praticamente ausente e é aceitável assumir que a resistência ativa é a mesma para todos os harmônicos. Se uma tensão não senoidal for fornecida diretamente à capacitância, então, para k-ésimos harmônicos de corrente

H Quanto maior o número harmônico, menor será a resistência da capacitância para ele. Portanto, mesmo que a amplitude da tensão de um harmônico de ordem superior seja uma pequena fração da amplitude do primeiro harmônico, ela ainda pode causar uma corrente comparável ou maior que a corrente fundamental. A este respeito, mesmo com uma tensão próxima de sinusoidal, a corrente no tanque pode revelar-se nitidamente não sinusoidal (Fig. 6.11). A este respeito, diz-se que a capacitância enfatiza correntes harmônicas elevadas. Se uma tensão não senoidal for aplicada diretamente à indutância, então, para k-ésimos harmônicos de corrente

.

COM
À medida que a ordem harmônica aumenta, a reatância indutiva aumenta. Portanto, na corrente que passa pela indutância, os harmônicos mais elevados são representados em menor proporção do que na tensão em seus terminais. Mesmo com uma tensão nitidamente não senoidal, a curva de corrente na indutância geralmente se aproxima de uma senóide (Fig. 6.12). Portanto, dizem que a indutância aproxima a curva da corrente de uma onda senoidal. Ao calcular cada componente harmônico da corrente, você pode usar um método complexo e construir diagramas vetoriais, mas é inaceitável realizar soma geométrica de vetores e adição de complexos de tensões ou correntes de diferentes harmônicos. Na verdade, os vetores que representam, digamos, as correntes do primeiro e terceiro harmônicos giram em velocidades diferentes (Fig. 6.13). Portanto, a soma geométrica desses vetores fornece o valor instantâneo de sua soma somente quando ω t=0 e no caso geral não faz sentido.

Potência de corrente não senoidal

Assim como nos circuitos de corrente senoidal, falaremos das potências consumidas por uma rede passiva de dois terminais. Potência ativa também significa o valor médio da potência instantânea durante um período.

Deixe a tensão e a corrente na entrada da rede de dois terminais serem representadas pela série de Fourier

Vamos substituir os valores você E eu na fórmula R

O resultado foi obtido levando em consideração o fato de que a integral ao longo do período do produto das senóides de diferentes frequências é igual a zero, e a integral ao longo do período do produto das senóides da mesma frequência foi determinada na seção da senoidal circuitos atuais. Assim, a potência ativa da corrente não senoidal é igual à soma das potências ativas de todos os harmônicos. Está claro que R k pode ser determinado usando quaisquer fórmulas conhecidas. Por analogia com a corrente senoidal, para a corrente não senoidal o conceito de potência total é introduzido como o produto dos valores efetivos de tensão e corrente, ou seja, S=IU. Atitude R Para Sé chamado de fator de potência e é igual ao cosseno de um determinado ângulo convencional θ , ou seja porque θ =P/S. Na prática, muitas vezes, tensões e correntes não senoidais são substituídas por senoides equivalentes. Neste caso, duas condições devem ser atendidas: 1) o valor efetivo da senóide equivalente deve ser igual ao valor efetivo da grandeza a ser substituída; 2) o ângulo entre as senoides equivalentes de tensão e corrente θ deveria ser tal que IU porque θ seria igual à potência ativa R. Por isso, θ é o ângulo entre as senoides equivalentes de tensão e corrente. Normalmente, o valor efetivo das senoides equivalentes está próximo do valor efetivo dos harmônicos fundamentais. Por analogia com a corrente senoidal, para a corrente não senoidal é introduzido o conceito de potência reativa, definida como a soma das potências reativas de todos os harmônicos

Para corrente não senoidal em oposição à senoidal S 2 ≠P 2 +P 2. Portanto, o conceito de poder de distorção é introduzido aqui T, que caracteriza a diferença nas formas das curvas de tensão e corrente e é definida a seguir

Harmônicos mais altos em sistemas trifásicos

Em sistemas trifásicos, geralmente as curvas de tensão nas fases B e C reproduzem exatamente a curva da fase A com um deslocamento de um terço de período. Então se você UMA = f(ωt), Que você B = f(ωt- 2π/ 3), A você C = f(ωt+ 2π/ 3). Suponhamos que as tensões de fase sejam não senoidais e expandidas em uma série de Fourier. Então considere k-ésimo harmônico em todas as três fases. Deixar você Ak = você km pecado( kωt+ψ k), então obtemos você Vk = você km pecado( kωt+ψ k -k 2π/ 3) e você Ck = você km pecado( kωt+ψ k +k 2π/ 3). Comparando essas expressões para valores diferentes k, notamos que para harmônicos divisíveis por três ( k=3n, n– uma série natural de números, começando em 0) em todas as fases as tensões em qualquer momento têm o mesmo valor e direção, ou seja, formar um sistema de sequência zero. No k=3n+ 1, os harmônicos formam um sistema de tensão, cuja sequência coincide com a sequência de tensões reais, ou seja, eles formam um sistema de sequência direta. No k=3n- 1, os harmônicos formam um sistema de tensão, cuja sequência é oposta à sequência das tensões reais, ou seja, eles formam um sistema de sequência reversa. Na prática, na maioria das vezes, tanto o componente constante quanto todos os harmônicos pares estão ausentes; portanto, no futuro nos limitaremos a considerar apenas os harmônicos ímpares. Então o harmônico mais próximo que forma a sequência inversa é o quinto. Nos motores elétricos causa os maiores danos, por isso é com ele que travam uma luta impiedosa. Consideremos as características de funcionamento de sistemas trifásicos causadas pela presença de harmônicos múltiplos de três. 1 . Quando os enrolamentos de um gerador ou transformador são conectados em um triângulo (Fig. 6.14), correntes harmônicas múltiplas de três fluem pelos ramos deste último, mesmo na ausência de carga externa. Na verdade, a soma algébrica da fem de harmônicos que são múltiplos de três ( E 3 , E 6, etc.), em um triângulo tem valor triplo, ao contrário dos demais harmônicos, para os quais essa soma é zero. Se a resistência de fase do enrolamento para o terceiro harmônico Z 3, então a corrente do terceiro harmônico no circuito triangular será EU 3 =E 3 /Z 3. Da mesma forma, a corrente do sexto harmônico EU 6 =E 6 /Z 6, etc O valor efetivo da corrente que flui através dos enrolamentos será
. Como a resistência dos enrolamentos do gerador é pequena, a corrente pode atingir valores grandes. Portanto, se houver harmônicos divisíveis por três na fase EMF, os enrolamentos do gerador ou transformador não serão conectados em triângulo. 2 . Se você conectar os enrolamentos de um gerador ou transformador em um triângulo aberto (Fig. 6.155), então em seus terminais haverá uma tensão igual à soma dos EMF dos harmônicos, múltiplos de três, ou seja, você BX=3 E 3m pecado(3 ωt+ψ 3)+3E 6m pecado(6 ωt+ψ 6)+3E 9m pecado(9 ωt+ψ 9)+···. Seu verdadeiro significado

.

Um delta aberto é geralmente usado antes de conectar os enrolamentos do gerador em um delta regular para verificar a possibilidade de implementação deste último sem problemas. 3. As tensões lineares, independente do diagrama de ligação dos enrolamentos do gerador ou do transformador, não contêm harmônicos múltiplos de três. Quando conectados por um triângulo, os EMFs de fase contendo harmônicos múltiplos de três são compensados ​​pela queda de tensão na resistência interna da fase do gerador. Na verdade, de acordo com a segunda lei de Kirchhoff para a terceira, por exemplo, os harmônicos para o circuito da Fig. 6.14 podem ser escritos você AB3+ EU 3 Z 3 =E 3, de onde obtemos você AB3 =0. O mesmo acontece com qualquer um dos harmônicos múltiplos de três. Quando conectado em estrela, as tensões lineares são iguais à diferença nos EMFs de fase correspondentes. Para harmônicos múltiplos de três, quando essas diferenças são compostas, os EMFs de fase são destruídos, pois formam um sistema de sequência zero. Assim, as tensões de fase podem conter componentes de todos os harmônicos e seu valor efetivo. Em tensões lineares, não existem harmônicos múltiplos de três, portanto seu valor efetivo é . A este respeito, na presença de harmônicos múltiplos de três, você eu/ você f<
. 4. Em circuitos sem fio neutro, as correntes harmônicas divisíveis por três não podem ser fechadas, pois formam um sistema de seqüência zero e só podem fechar se este estiver presente. Neste caso, entre os pontos zero do receptor e da fonte, mesmo no caso de uma carga simétrica, aparece uma tensão igual à soma da fem dos harmônicos múltiplos de três, o que é fácil de verificar pela equação da segunda lei de Kirchhoff, levando em consideração o fato de que não existem correntes desses harmônicos. O valor instantâneo desta tensão você 0 1 0 =E 3m pecado(3 ωt+ψ 3)+E 6m pecado(6 ωt+ψ 6)+E 9m pecado(9 ωt+ψ 9)+···. Seu verdadeiro significado
. 5. Em um circuito estrela-estrela com fio neutro (Fig. 6.16), este último fechará correntes harmônicas múltiplas de três, mesmo no caso de carga simétrica, se os EMFs de fase contiverem os harmônicos indicados. Considerando que harmônicos múltiplos de três formam um sistema de sequência zero, podemos escrever

Em muitos casos, a tarefa de obter (calcular) o espectro de um sinal é assim. Existe um ADC que, com frequência de amostragem Fd, converte um sinal contínuo que chega à sua entrada no tempo T em amostras digitais - N peças. Em seguida, o array de amostras é alimentado em um determinado programa que produz N/2 de alguns valores numéricos (o programador que roubou da internet escreveu um programa, garante que faz a transformada de Fourier).

Para verificar se o programa funciona corretamente, formaremos um array de amostras como a soma de duas senoides sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) e colocaremos no programa . O programa desenhou o seguinte:

Fig.1 Gráfico da função tempo do sinal

Fig.2 Gráfico do espectro do sinal

No gráfico do espectro existem dois bastões (harmônicos) 5 Hz com amplitude de 0,5 V e 10 Hz com amplitude de 1 V, tudo igual à fórmula do sinal original. Está tudo bem, muito bem programador! O programa funciona corretamente.

Isso significa que se aplicarmos um sinal real de uma mistura de duas senoides à entrada do ADC, obteremos um espectro semelhante composto por dois harmônicos.

Total, nosso real sinal medido, com duração de 5 segundos, digitalizado pelo ADC, ou seja, representado discreto conta, tem discreto não periódico faixa.

Do ponto de vista matemático, quantos erros existem nesta frase?

Agora que as autoridades decidiram, decidimos que 5 segundos é muito tempo, vamos medir o sinal em 0,5 segundos.



Fig.3 Gráfico da função sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) para um período de medição de 0,5 seg.

Fig.4 Espectro de funções

Algo não parece certo! O harmônico de 10 Hz é desenhado normalmente, mas em vez do stick de 5 Hz, aparecem vários harmônicos estranhos. Procuramos na Internet para ver o que está acontecendo...

Bem, eles dizem que você precisa adicionar zeros ao final da amostra e o espectro será desenhado normalmente.

Fig.5 Adicionados zeros até 5 segundos

Fig.6 Espectro recebido

Ainda não é o mesmo que era aos 5 segundos. Teremos que lidar com a teoria. Vamos para Wikipédia- fonte de conhecimento.

2. Função contínua e sua representação em série de Fourier

Matematicamente, nosso sinal com duração de T segundos é uma certa função f(x) especificada no intervalo (0, T) (X neste caso é o tempo). Tal função sempre pode ser representada como uma soma de funções harmônicas (seno ou cosseno) da forma:

K - número da função trigonométrica (número do componente harmônico, número harmônico)
T - segmento onde a função é definida (duração do sinal)
Ak é a amplitude do k-ésimo componente harmônico,
?k- fase inicial do k-ésimo componente harmônico

O que significa “representar uma função como a soma de uma série”? Isso significa que somando os valores das componentes harmônicas da série de Fourier em cada ponto, obtemos o valor da nossa função neste ponto.

(Mais estritamente, o desvio da raiz quadrada média da série da função f(x) tenderá a zero, mas apesar da convergência da raiz quadrada média, a série de Fourier de uma função, em geral, não é necessária para convergem pontualmente para ele. Consulte https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Esta série também pode ser escrita como:

(2),
onde , k-ésima amplitude complexa.

A relação entre os coeficientes (1) e (3) é expressa pelas seguintes fórmulas:

Observe que todas essas três representações da série de Fourier são completamente equivalentes. Às vezes, ao trabalhar com séries de Fourier, é mais conveniente usar expoentes do argumento imaginário em vez de senos e cossenos, ou seja, usar a transformada de Fourier na forma complexa. Mas é conveniente usarmos a fórmula (1), onde a série de Fourier é apresentada como uma soma de cossenos com as amplitudes e fases correspondentes. Em qualquer caso, é incorreto dizer que a transformada de Fourier de um sinal real resultará em amplitudes harmônicas complexas. Como diz corretamente o Wiki, “A transformada de Fourier (?) é uma operação que associa uma função de uma variável real a outra função, também uma variável real”.

Total:
A base matemática para a análise espectral de sinais é a transformada de Fourier.

A transformada de Fourier permite representar uma função contínua f(x) (sinal), definida no segmento (0, T) como a soma de um número infinito (série infinita) de funções trigonométricas (seno e/ou cosseno) com certos amplitudes e fases, também consideradas no segmento (0, T). Tal série é chamada de série de Fourier.

Observemos mais alguns pontos, cuja compreensão é necessária para a correta aplicação da transformada de Fourier na análise de sinais. Se considerarmos a série de Fourier (a soma das senoides) em todo o eixo X, podemos ver que fora do segmento (0, T) a função representada pela série de Fourier repetirá periodicamente a nossa função.

Por exemplo, no gráfico da Fig. 7, a função original é definida no segmento (-T\2, +T\2), e a série de Fourier representa uma função periódica definida em todo o eixo x.

Isso acontece porque as próprias sinusóides são funções periódicas e, portanto, sua soma será uma função periódica.

Fig.7 Representação de uma função original não periódica por uma série de Fourier

Por isso:

Nossa função original é contínua, não periódica, definida em um determinado segmento de comprimento T.
O espectro desta função é discreto, ou seja, apresenta-se na forma de uma série infinita de componentes harmônicos - a série de Fourier.
Na verdade, a série de Fourier define uma certa função periódica que coincide com a nossa no segmento (0, T), mas para nós essa periodicidade não é significativa.

Os períodos dos componentes harmônicos são múltiplos do valor do segmento (0, T) no qual a função original f(x) é definida. Em outras palavras, os períodos harmônicos são múltiplos da duração da medição do sinal. Por exemplo, o período do primeiro harmônico da série de Fourier é igual ao intervalo T no qual a função f(x) é definida. O período do segundo harmônico da série de Fourier é igual ao intervalo T/2. E assim por diante (ver Fig. 8).

Fig.8 Períodos (frequências) dos componentes harmônicos da série de Fourier (aqui T = 2?)

Conseqüentemente, as frequências dos componentes harmônicos são múltiplos de 1/T. Ou seja, as frequências dos componentes harmônicos Fk são iguais a Fk = k\T, onde k varia de 0 a?, por exemplo k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (em frequência zero - componente constante).

Seja nossa função original um sinal gravado durante T = 1 segundo. Então o período do primeiro harmônico será igual à duração do nosso sinal T1=T=1 seg e a frequência harmônica será de 1 Hz. O período do segundo harmônico será igual à duração do sinal dividida por 2 (T2=T/2=0,5 seg) e a frequência será de 2 Hz. Para o terceiro harmônico T3=T/3 seg e a frequência é 3 Hz. E assim por diante.

O passo entre os harmônicos neste caso é de 1 Hz.

Assim, um sinal com duração de 1 segundo pode ser decomposto em componentes harmônicos (obtendo um espectro) com resolução de frequência de 1 Hz.
Para aumentar a resolução em 2 vezes para 0,5 Hz, é necessário aumentar a duração da medição em 2 vezes - até 2 segundos. Um sinal com duração de 10 segundos pode ser decomposto em componentes harmônicos (para obter um espectro) com resolução de frequência de 0,1 Hz. Não há outras maneiras de aumentar a resolução de frequência.

Existe uma maneira de aumentar artificialmente a duração de um sinal adicionando zeros ao conjunto de amostras. Mas isso não aumenta a resolução de frequência real.

3. Sinais discretos e transformada discreta de Fourier

Com o desenvolvimento da tecnologia digital, os métodos de armazenamento de dados de medição (sinais) também mudaram. Se antes um sinal podia ser gravado em um gravador e armazenado em fita em formato analógico, agora os sinais são digitalizados e armazenados em arquivos na memória do computador como um conjunto de números (amostras).

O esquema usual para medir e digitalizar um sinal é o seguinte.

Fig.9 Diagrama do canal de medição

O sinal do transdutor de medição chega ao ADC durante um período de tempo T. As amostras de sinal (amostragem) obtidas durante o tempo T são transmitidas ao computador e armazenadas na memória.

Fig. 10 Sinal digitalizado - N amostras recebidas durante o tempo T

Quais são os requisitos para parâmetros de digitalização de sinal? Um dispositivo que converte um sinal analógico de entrada em um código discreto (sinal digital) é chamado de conversor analógico-digital (ADC) (Wiki).

Um dos principais parâmetros do ADC é a frequência máxima de amostragem (ou taxa de amostragem, taxa de amostragem em inglês) - a taxa de amostragem de um sinal contínuo no tempo ao amostra-lo. É medido em hertz. ((Wiki))

De acordo com o teorema de Kotelnikov, se um sinal contínuo tem um espectro limitado pela frequência Fmax, então ele pode ser reconstruído completa e exclusivamente a partir de suas amostras discretas obtidas em intervalos de tempo, ou seja, com frequência Fd? 2*Fmax, onde Fd é a frequência de amostragem; Fmax - frequência máxima do espectro do sinal. Em outras palavras, a frequência de digitalização do sinal (frequência de amostragem ADC) deve ser pelo menos 2 vezes maior que a frequência máxima do sinal que queremos medir.

O que acontecerá se colhermos amostras com uma frequência inferior à exigida pelo teorema de Kotelnikov?

Nesse caso, ocorre o efeito “aliasing” (também conhecido como efeito estroboscópico, efeito moiré), em que um sinal de alta frequência, após a digitalização, se transforma em um sinal de baixa frequência, que na verdade não existe. Na Fig. 5 onda senoidal vermelha de alta frequência é um sinal real. Uma senóide azul de frequência mais baixa é um sinal fictício que surge devido ao fato de que durante o tempo de amostragem mais da metade do período do sinal de alta frequência tem tempo de passar.

Arroz. 11. O aparecimento de um sinal falso de baixa frequência com uma taxa de amostragem insuficientemente alta

Para evitar o efeito de aliasing, um filtro anti-aliasing especial é colocado na frente do ADC - um filtro passa-baixa (LPF), que passa frequências abaixo da metade da frequência de amostragem do ADC e corta frequências mais altas.

Para calcular o espectro de um sinal a partir de suas amostras discretas, é utilizada a transformada discreta de Fourier (DFT). Notemos mais uma vez que o espectro de um sinal discreto “por definição” é limitado pela frequência Fmax, que é menos da metade da frequência de amostragem Fd. Portanto, o espectro de um sinal discreto pode ser representado pela soma de um número finito de harmônicos, em contraste com a soma infinita da série de Fourier de um sinal contínuo, cujo espectro pode ser ilimitado. De acordo com o teorema de Kotelnikov, a frequência máxima de um harmônico deve ser tal que corresponda a pelo menos duas amostras, portanto o número de harmônicos é igual à metade do número de amostras de um sinal discreto. Ou seja, se houver N amostras na amostra, então o número de harmônicos no espectro será igual a N/2.

Consideremos agora a transformada discreta de Fourier (DFT).

Comparando com a série de Fourier

Vemos que eles coincidem, exceto que o tempo na DFT é de natureza discreta e o número de harmônicos é limitado por N/2 - metade do número de amostras.

As fórmulas DFT são escritas em variáveis ​​​​inteiras adimensionais k, s, onde k são os números de amostras de sinal, s são os números de componentes espectrais.
O valor s mostra o número de oscilações harmônicas completas durante o período T (duração da medição do sinal). A transformada discreta de Fourier é usada para encontrar as amplitudes e fases dos harmônicos usando um método numérico, ou seja, "no computador"

Voltando aos resultados obtidos no início. Como mencionado acima, ao expandir uma função não periódica (nosso sinal) em uma série de Fourier, a série de Fourier resultante corresponde na verdade a uma função periódica com período T (Fig. 12).

Fig. 12 Função periódica f(x) com período T0, com período de medição T>T0

Como pode ser visto na Figura 12, a função f(x) é periódica com período T0. Porém, devido ao fato da duração da amostra de medição T não coincidir com o período da função T0, a função obtida como uma série de Fourier apresenta uma descontinuidade no ponto T. Como resultado, o espectro desta função conterá um grande número de harmônicos de alta frequência. Se a duração da amostra de medição T coincidisse com o período da função T0, então o espectro obtido após a transformada de Fourier conteria apenas o primeiro harmônico (senoidal com período igual à duração da amostragem), uma vez que a função f(x) é uma sinusóide.

Em outras palavras, o programa DFT “não sabe” que nosso sinal é um “pedaço de senóide”, mas tenta representar uma função periódica na forma de uma série, que apresenta uma descontinuidade devido à inconsistência de pedaços individuais de uma sinusóide.

Como resultado, aparecem harmônicos no espectro, que deveriam resumir a forma da função, incluindo essa descontinuidade.

Assim, para se obter o espectro “correto” de um sinal, que é a soma de diversas senóides com períodos diferentes, é necessário que um número inteiro de períodos de cada senóide caiba no período de medição do sinal. Na prática, esta condição pode ser satisfeita durante uma duração de medição de sinal suficientemente longa.

Fig. 13 Exemplo de função e espectro do sinal de erro cinemático da caixa de velocidades

Com uma duração menor, a imagem ficará “pior”:

Fig. 14 Exemplo de função e espectro de um sinal de vibração do rotor

Na prática, pode ser difícil entender onde estão os “componentes reais” e onde estão os “artefatos” causados ​​pelos períodos não múltiplos dos componentes e pela duração da amostragem do sinal ou “saltos e quebras” na forma do sinal . É claro que as palavras “componentes reais” e “artefatos” são colocadas entre aspas por uma razão. A presença de muitos harmônicos no gráfico do espectro não significa que nosso sinal realmente “consiste” neles. É o mesmo que pensar que o número 7 “consiste” nos números 3 e 4. O número 7 pode ser representado como a soma dos números 3 e 4 – isso está correto.

Então o nosso sinal... ou melhor, nem mesmo o “nosso sinal”, mas uma função periódica composta pela repetição do nosso sinal (amostragem) pode ser representada como uma soma de harmônicos (ondas senoidais) com determinadas amplitudes e fases. Mas em muitos casos importantes para a prática (ver figuras acima), é de fato possível associar os harmônicos obtidos no espectro a processos reais de natureza cíclica e que contribuem significativamente para a forma do sinal.

Alguns resultados

1. Um sinal real medido com duração de T segundos, digitalizado por um ADC, ou seja, representado por um conjunto de amostras discretas (N peças), possui um espectro discreto não periódico, representado por um conjunto de harmônicos (N/ 2 pedaços).

2. O sinal é representado por um conjunto de valores reais e seu espectro é representado por um conjunto de valores reais. As frequências harmônicas são positivas. O fato de ser mais conveniente para os matemáticos representar o espectro de forma complexa usando frequências negativas não significa que “isso esteja correto” e “isso deva sempre ser feito”.

3. Um sinal medido durante um intervalo de tempo T é determinado apenas durante um intervalo de tempo T. O que aconteceu antes de começarmos a medir o sinal, e o que acontecerá depois disso, é desconhecido para a ciência. E no nosso caso, não é interessante. A DFT de um sinal limitado no tempo dá o seu espectro “verdadeiro”, no sentido de que, sob certas condições, permite calcular a amplitude e a frequência das suas componentes.

Materiais utilizados e outros materiais úteis.