Independência linear. Propriedades de colunas de matriz linearmente dependentes e linearmente independentes Combinação linear de colunas

13.10.2021

Os conceitos de dependência linear e independência linear são definidos igualmente para linhas e colunas. Portanto, as propriedades associadas a estes conceitos formulados para colunas são, obviamente, também válidas para linhas.

1. Se um sistema de colunas inclui uma coluna zero, então ele é linearmente dependente.

2. Se um sistema de colunas tiver duas colunas iguais, então ele é linearmente dependente.

3. Se um sistema de colunas tiver duas colunas proporcionais, então ele é linearmente dependente.

4. Um sistema de colunas é linearmente dependente se e somente se pelo menos uma das colunas é uma combinação linear das outras.

5. Quaisquer colunas incluídas em um sistema linearmente independente formam um subsistema linearmente independente.

6. Um sistema de colunas contendo um subsistema linearmente dependente é linearmente dependente.

7. Se um sistema de colunas é linearmente independente e, após adicionar uma coluna a ele, ele se torna linearmente dependente, então a coluna pode ser expandida em colunas e, além disso, de uma forma única, ou seja, os coeficientes de expansão podem ser encontrados exclusivamente.

Provemos, por exemplo, a última propriedade. Como o sistema de colunas é linearmente dependente, existem números que não são todos iguais a 0, o que

Nesta igualdade. Na verdade, se , então

Isto significa que uma combinação linear não trivial de colunas é igual à coluna zero, o que contradiz a independência linear do sistema. Portanto, e então, ou seja, uma coluna é uma combinação linear de colunas. Resta mostrar a singularidade de tal representação. Vamos supor o contrário. Sejam duas expansões e, e nem todos os coeficientes das expansões sejam respectivamente iguais entre si (por exemplo,). Então da igualdade

Obtemos (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

sequencialmente, a combinação linear de colunas é igual à coluna zero. Como nem todos os seus coeficientes são iguais a zero (pelo menos), esta combinação não é trivial, o que contradiz a condição de independência linear das colunas. A contradição resultante confirma a singularidade da expansão.

Exemplo 3.2. Prove que duas colunas diferentes de zero e são linearmente dependentes se e somente se forem proporcionais, ou seja, .

Solução. Na verdade, se as colunas são linearmente dependentes, então existem números que não são iguais a zero ao mesmo tempo, tais que. E nesta igualdade. Na verdade, assumindo isso, obtemos uma contradição, uma vez que a coluna também é diferente de zero. Significa, . Portanto, existe um número tal que . A necessidade foi comprovada.

Por outro lado, se, então. Obtivemos uma combinação linear não trivial de colunas igual à coluna zero. Isso significa que as colunas são linearmente dependentes.

Exemplo 3.3. Considere todos os tipos de sistemas formados por colunas

Examine cada sistema quanto à dependência linear.
Solução. Vamos considerar cinco sistemas contendo uma coluna cada. De acordo com o parágrafo 1 da Observação 3.1: os sistemas são linearmente independentes e um sistema que consiste em uma coluna zero é linearmente dependente.

Vamos considerar sistemas contendo duas colunas:

– cada um dos quatro sistemas é linearmente dependente, pois contém uma coluna zero (propriedade 1);

– o sistema é linearmente dependente, pois as colunas são proporcionais (propriedade 3): ;

– cada um dos cinco sistemas é linearmente independente, uma vez que as colunas são desproporcionais (ver o enunciado do exemplo 3.2).

Considere sistemas contendo três colunas:

– cada um dos seis sistemas é linearmente dependente, pois contém uma coluna zero (propriedade 1);

– os sistemas são linearmente dependentes, pois contêm um subsistema linearmente dependente (propriedade 6);

– sistemas e são linearmente dependentes, uma vez que a última coluna é expressa linearmente através das demais (propriedade 4): e, respectivamente.

Finalmente, sistemas de quatro ou cinco colunas são linearmente dependentes (pela propriedade 6).

Classificação da matriz

Nesta seção consideraremos outra característica numérica importante de uma matriz, relacionada à extensão em que suas linhas (colunas) dependem umas das outras.

Definição 14.10 Seja uma matriz de tamanhos e um número que não exceda o menor dos números: . Vamos escolher aleatoriamente as linhas e colunas da matriz (os números das linhas podem ser diferentes dos números das colunas). O determinante de uma matriz composta por elementos na intersecção de linhas e colunas selecionadas é denominado ordem de matriz menor.

Exemplo 14.9 Deixar .

Um menor de primeira ordem é qualquer elemento da matriz. Então 2, , são menores de primeira ordem.

Menores de segunda ordem:

1. pegue as linhas 1, 2, colunas 1, 2, obtemos um menor ;

2. pegue as linhas 1, 3, colunas 2, 4, obtemos o menor ;

3. pegue as linhas 2, 3, colunas 1, 4, obtemos o menor

Menores de terceira ordem:

as linhas aqui só podem ser selecionadas de uma maneira,

1. pegue as colunas 1, 3, 4, obtemos menores ;

2. pegue as colunas 1, 2, 3, obtemos menores .

Proposição 14.23 Se todos os menores de uma matriz de ordem forem iguais a zero, então todos os menores de ordem, se existirem, também serão iguais a zero.

Prova. Tomemos um menor arbitrário de ordem. Este é o determinante da matriz de ordem. Vamos dividir ao longo da primeira linha. Então em cada termo da expansão um dos fatores será menor da ordem da matriz original. Por condição, os menores de ordem são iguais a zero. Portanto, o menor da ordem será igual a zero.

Definição 14.11 O posto de uma matriz é a maior das ordens dos menores da matriz que são diferentes de zero. A classificação de uma matriz zero é considerada zero.

Não existe uma designação única e padrão para a classificação da matriz. Seguindo o livro, iremos denotá-lo.

Exemplo 14.10 A matriz do Exemplo 14.9 tem classificação 3 porque existe um menor de terceira ordem diferente de zero, mas não existem menores de quarta ordem.

Classificação da matriz é igual a 1, pois existe um menor de primeira ordem diferente de zero (elemento da matriz) e todos os menores de segunda ordem são iguais a zero.

A classificação de uma matriz quadrada não singular de ordem é igual a, pois seu determinante é menor da ordem e é diferente de zero para uma matriz não singular.

Proposição 14.24 Quando uma matriz é transposta, sua classificação não muda, ou seja, .

Prova. Um menor transposto da matriz original será um menor da matriz transposta, e vice-versa, qualquer menor é um menor transposto da matriz original. Na transposição, o determinante (menor) não muda (Proposição 14.6). Portanto, se todos os menores de uma ordem na matriz original forem iguais a zero, então todos os menores da mesma ordem também serão iguais a zero. Se o menor de ordem na matriz original for diferente de zero, então b é um menor de mesma ordem, diferente de zero. Por isso, .

Definição 14.12 Seja a classificação da matriz . Então qualquer menor de ordem, diferente de zero, é chamado de base menor.

Exemplo 14.11 Deixar . O determinante da matriz é zero, pois a terceira linha é igual à soma das duas primeiras. O menor de segunda ordem, localizado nas duas primeiras linhas e nas duas primeiras colunas, é igual a . Conseqüentemente, o posto da matriz é dois, e o considerado menor é básico.

Um menor básico também é um menor localizado, digamos, na primeira e terceira linhas, primeira e terceira colunas: . O menor será básico na segunda e terceira linhas, primeira e terceira colunas: .

O menor na primeira e segunda linhas e na segunda e terceira colunas é zero e, portanto, não será uma base. O leitor pode verificar de forma independente quais outros menores de segunda ordem serão básicos e quais não.

Como as colunas (linhas) de uma matriz podem ser somadas, multiplicadas por números e formadas combinações lineares, é possível introduzir definições de dependência linear e independência linear de um sistema de colunas (linhas) de uma matriz. Estas definições são semelhantes às mesmas definições 10.14, 10.15 para vetores.

Definição 14.13 Um sistema de colunas (linhas) é chamado linearmente dependente se existe tal conjunto de coeficientes, pelo menos um dos quais é diferente de zero, que uma combinação linear de colunas (linhas) com esses coeficientes será igual a zero.

Definição 14.14 Um sistema de colunas (linhas) é linearmente independente se a igualdade a zero de uma combinação linear dessas colunas (linhas) implica que todos os coeficientes desta combinação linear são iguais a zero.

A seguinte proposição, semelhante à Proposição 10.6, também é verdadeira.

Sentença 14.25 Um sistema de colunas (linhas) é linearmente dependente se e somente se uma das colunas (uma das linhas) for uma combinação linear de outras colunas (linhas) deste sistema.

Vamos formular um teorema chamado teorema da base menor.

Teorema 14.2 Qualquer coluna da matriz é uma combinação linear das colunas que passam pela base menor.

A prova pode ser encontrada em livros didáticos de álgebra linear, por exemplo, em.

Proposição 14.26 A classificação de uma matriz é igual ao número máximo de suas colunas formando um sistema linearmente independente.

Prova. Deixe a classificação da matriz ser. Tomemos as colunas que passam pela base menor. Suponhamos que essas colunas formem um sistema linearmente dependente. Então uma das colunas é uma combinação linear das outras. Portanto, numa base menor, uma coluna será uma combinação linear das outras colunas. Pelas Proposições 14.15 e 14.18, esta base menor deve ser igual a zero, o que contraria a definição de base menor. Portanto, a suposição de que as colunas que passam pela base menor são linearmente dependentes não é verdadeira. Portanto, o número máximo de colunas que formam um sistema linearmente independente é maior ou igual a.

Suponhamos que as colunas formem um sistema linearmente independente. Vamos fazer uma matriz com eles. Todas as matrizes menores são matrizes menores. Portanto, a base menor da matriz tem ordem não superior a . De acordo com o teorema da base menor, uma coluna que não passa pela base menor de uma matriz é uma combinação linear das colunas que passam pela base menor, ou seja, as colunas da matriz formam um sistema linearmente dependente. Isto é contrário à escolha das colunas que formam a matriz. Consequentemente, o número máximo de colunas que formam um sistema linearmente independente não pode ser maior que . Isso significa que é igual ao que foi declarado.

Proposição 14.27 A classificação de uma matriz é igual ao número máximo de suas linhas formando um sistema linearmente independente.

Prova. De acordo com a Proposição 14.24, o posto da matriz não muda durante a transposição. As linhas da matriz tornam-se suas colunas. O número máximo de novas colunas da matriz transposta (antigas linhas da original) formando um sistema linearmente independente é igual ao posto da matriz.

Proposição 14.28 Se o determinante de uma matriz for zero, então uma de suas colunas (uma das linhas) é uma combinação linear das colunas (linhas) restantes.

Prova. Deixe a ordem da matriz ser igual a. O determinante é o único menor de uma matriz quadrada que possui ordem. Como é igual a zero, então . Consequentemente, um sistema de colunas (linhas) é linearmente dependente, ou seja, uma das colunas (uma das linhas) é uma combinação linear das demais.

Os resultados das Proposições 14.15, 14.18 e 14.28 fornecem o seguinte teorema.

Teorema 14.3 O determinante de uma matriz é igual a zero se e somente se uma de suas colunas (uma das linhas) for uma combinação linear das colunas (linhas) restantes.

Encontrar a classificação de uma matriz calculando todos os seus menores requer muito trabalho computacional. (O leitor pode verificar que existem 36 menores de segunda ordem numa matriz quadrada de quarta ordem.) Portanto, um algoritmo diferente é usado para encontrar a classificação. Para descrevê-lo, uma série de informações adicionais serão necessárias.

Definição 14.15 Vamos chamar as seguintes ações sobre eles de transformações elementares de matrizes:

1) reorganização de linhas ou colunas;
2) multiplicar uma linha ou coluna por um número diferente de zero;
3) adicionar a uma das linhas outra linha multiplicada por um número ou adicionar a uma das colunas outra coluna multiplicada por um número.

Proposição 14.29 Durante as transformações elementares, a classificação da matriz não muda.

Prova. Seja a classificação da matriz igual a , - a matriz resultante da realização de uma transformação elementar.

Vamos considerar a permutação de strings. Seja um menor da matriz, então a matriz tem um menor que coincide ou difere dela reorganizando as linhas. Por outro lado, qualquer matriz menor pode ser associada a uma matriz menor que coincide ou difere dela na ordem das linhas. Portanto, do fato de que todos os menores de uma ordem em uma matriz são iguais a zero, segue-se que na matriz todos os menores desta ordem também são iguais a zero. E como a matriz tem um menor de ordem , diferente de zero, então a matriz também tem um menor de ordem, diferente de zero, ou seja .

Considere multiplicar uma string por um número diferente de zero. Um menor de uma matriz corresponde a um menor de uma matriz que coincide ou difere dela em apenas uma linha, que é obtida da linha menor multiplicando-se por um número diferente de zero. No último caso. Em todos os casos, e são simultaneamente iguais a zero ou ao mesmo tempo diferentes de zero. Por isso, .

onde estão alguns números (alguns desses números ou mesmo todos eles podem ser iguais a zero). Isso significa que existem as seguintes igualdades entre os elementos das colunas:

ou , .

De (3.3.1) segue que

(3.3.2)

onde está a string zero.

Definição. As linhas da matriz A são linearmente dependentes se houver números que não sejam todos iguais a zero ao mesmo tempo, de modo que

(3.3.3)

Se a igualdade (3.3.3) for verdadeira se e somente se , então as linhas são chamadas linearmente independentes. A relação (3.3.2) mostra que se uma das linhas for expressa linearmente em termos das outras, então as linhas são linearmente dependentes.

É fácil ver o oposto: se as strings são linearmente dependentes, então existe uma string que será uma combinação linear das strings restantes.

Deixe, por exemplo, em (3.3.3), então .

Definição. Deixe um certo menor ser selecionado na matriz A R ª ordem e deixe menor ( R A +1)ª ordem da mesma matriz contém inteiramente o menor. Diremos que neste caso o menor faz fronteira com o menor (ou faz fronteira com).

Agora provaremos um lema importante.

Lemasobre menores fronteiriços. Se o menor for de ordem R matriz A = é diferente de zero, e todos os menores que fazem fronteira com ela são iguais a zero, então qualquer linha (coluna) da matriz A é uma combinação linear de suas linhas (colunas) que a compõem.

Prova. Sem perder a generalidade do raciocínio, assumiremos que um menor diferente de zero R a ésima ordem está no canto superior esquerdo da matriz A =:

Para o primeiro k linhas da matriz A, o enunciado do lema é óbvio: basta incluir em uma combinação linear a mesma linha com coeficiente igual a um, e o restante - com coeficientes iguais a zero.

Vamos agora provar que as linhas restantes da matriz A são expressas linearmente em termos da primeira k linhas. Para fazer isso, construiremos um menor ( R +1)ª ordem adicionando ao menor k -ésima linha () e eu a coluna():

O menor resultante é igual a zero para todos k e eu . Se, então é igual a zero por conter duas colunas idênticas. Se, então o menor resultante é uma aresta menor para e, portanto, é igual a zero pelas condições do lema.

Vamos expandir o menor de acordo com os elementos do últimoeuª coluna:

(3.3.4)

onde estão os complementos algébricos dos elementos. O complemento algébrico é menor da matriz A, portanto. Divida (3.3.4) por e expresse-o através de:

(3.3.5)

Onde , .

Supondo, obtemos:

(3.3.6)

A expressão (3.3.6) significa que k A quinta linha da matriz A é expressa linearmente através da primeira linhas r.

Como quando uma matriz é transposta os valores de seus menores não mudam (devido à propriedade dos determinantes), então tudo o que foi provado também é verdadeiro para as colunas. O teorema foi provado.

Corolário I . Qualquer linha (coluna) de uma matriz é uma combinação linear de suas linhas (colunas) básicas. Na verdade, a base menor da matriz é diferente de zero e todos os menores que fazem fronteira com ela são iguais a zero.

Corolário II. Determinante n de ordem é igual a zero se e somente se contiver linhas (colunas) linearmente dependentes. A suficiência da dependência linear das linhas (colunas) para que o determinante seja igual a zero foi comprovada anteriormente como uma propriedade dos determinantes.

Vamos provar a necessidade. Deixe uma matriz quadrada ser dada n ª ordem, cujo único menor é zero. Segue-se que a classificação desta matriz é menor n , ou seja existe pelo menos uma linha que é uma combinação linear das linhas base desta matriz.

Vamos provar outro teorema sobre o posto da matriz.

Teorema.O número máximo de linhas linearmente independentes de uma matriz é igual ao número máximo de suas colunas linearmente independentes e é igual à classificação desta matriz.

Prova. Deixe a classificação da matriz A= ser igual a R. Então qualquer um dos seus k as linhas da base são linearmente independentes, caso contrário a base menor seria zero. Por outro lado, qualquer R +1 ou mais linhas são linearmente dependentes. Supondo o contrário, poderíamos encontrar um menor de ordem maior que R , diferente de zero pelo Corolário 2 do lema anterior. Este último contradiz o fato de que a ordem máxima de menores diferentes de zero é igual a R . Tudo o que foi comprovado para linhas também é verdadeiro para colunas.

Concluindo, descreveremos outro método para encontrar a classificação de uma matriz. A classificação de uma matriz pode ser determinada encontrando um menor de ordem máxima diferente de zero.

À primeira vista, isto requer o cálculo de um número finito, mas talvez muito grande, de menores desta matriz.

O seguinte teorema permite, no entanto, introduzir simplificações significativas nisso.

Teorema.Se o menor da matriz A for diferente de zero e todos os menores que fazem fronteira com ele forem iguais a zero, então a classificação da matriz é igual a R.

Prova. Basta mostrar que qualquer subsistema de linhas de matrizes com S>r será linearmente dependente sob as condições do teorema (seguirá disso que r é o número máximo de linhas linearmente independentes da matriz ou qualquer um de seus menores de ordem maior que k são iguais a zero).

Vamos supor o contrário. Deixe as linhas serem linearmente independentes. Pelo lema dos menores limítrofes, cada um deles será expresso linearmente em termos das retas que contêm o menor e que, por serem diferentes de zero, são linearmente independentes:

(3.3.7)

Considere a matriz K dos coeficientes das expressões lineares (3.3.7):

As linhas desta matriz serão denotadas por . Eles serão linearmente dependentes, uma vez que a classificação da matriz K, ou seja, o número máximo de suas linhas linearmente independentes não excede R< S . Portanto, existem tais números, nem todos iguais a zero, que

Vamos passar para a igualdade dos componentes

(3.3.8)

Agora considere a seguinte combinação linear:

onde estão alguns números (alguns desses números ou mesmo todos eles podem ser iguais a zero). Isso significa que existem as seguintes igualdades entre os elementos das colunas:

De (3.3.1) segue que

É fácil ver o oposto: se as strings são linearmente dependentes, então existe uma string que será uma combinação linear das strings restantes.

Deixe, por exemplo, em (3.3.3), então .

Definição. Deixe um certo menor de ordem r ser identificado na matriz A, e deixe o (r + 1) menor de ordem da mesma matriz conter inteiramente o menor. Diremos que neste caso o menor faz fronteira com o menor (ou faz fronteira com).

Agora provaremos um lema importante.

Lema sobre menores fronteiriços. Se um menor de ordem r da matriz A= for diferente de zero, e todos os menores que o circundam forem iguais a zero, então qualquer linha (coluna) da matriz A é uma combinação linear de suas linhas (colunas) que a compõem.

Prova. Sem perder a generalidade do raciocínio, assumiremos que um menor diferente de zero de ordem r está no canto superior esquerdo da matriz A =:

Para as primeiras k linhas da matriz A, o enunciado do lema é óbvio: basta incluir em uma combinação linear a mesma linha com coeficiente igual a um, e o restante - com coeficientes iguais a zero.

Vamos agora provar que as linhas restantes da matriz A são expressas linearmente através das primeiras k linhas. Para fazer isso, construímos um menor de ordem (r+1) adicionando a k-ésima linha () ao menor e eu a coluna():

O menor resultante é igual a zero para todos k e l. Se, então é igual a zero por conter duas colunas idênticas. Se, então o menor resultante é uma aresta menor para e, portanto, é igual a zero pelas condições do lema.

Vamos expandir o menor de acordo com os elementos do último euª coluna:

Supondo, obtemos:

(3.3.6)

A expressão (3.3.6) significa que a k-ésima linha da matriz A é expressa linearmente através das primeiras r linhas.

Corolário I. Qualquer linha (coluna) de uma matriz é uma combinação linear de suas linhas (colunas) básicas. Na verdade, a base menor da matriz é diferente de zero e todos os menores que fazem fronteira com ela são iguais a zero.

Corolário II. Um determinante de enésima ordem é igual a zero se e somente se contiver linhas (colunas) linearmente dependentes. A suficiência da dependência linear das linhas (colunas) para que o determinante seja igual a zero foi comprovada anteriormente como uma propriedade dos determinantes.

Vamos provar a necessidade. Seja-nos dada uma matriz quadrada de enésima ordem cujo único menor é zero. Segue-se que a classificação desta matriz é menor que n, ou seja, existe pelo menos uma linha que é uma combinação linear das linhas base desta matriz.

Vamos provar outro teorema sobre o posto da matriz.

Teorema. O número máximo de linhas linearmente independentes de uma matriz é igual ao número máximo de suas colunas linearmente independentes e é igual à classificação desta matriz.

Prova. Deixe a classificação da matriz A= ser igual a r. Então qualquer uma de suas k linhas de base é linearmente independente, caso contrário a base menor seria igual a zero. Por outro lado, quaisquer r+1 ou mais linhas são linearmente dependentes. Supondo o contrário, poderíamos encontrar um menor de ordem maior que r que seja diferente de zero pelo Corolário 2 do lema anterior. Este último contradiz o fato de que a ordem máxima de menores diferentes de zero é r. Tudo o que foi comprovado para linhas também é verdadeiro para colunas.

Concluindo, descreveremos outro método para encontrar a classificação de uma matriz. A classificação de uma matriz pode ser determinada encontrando um menor de ordem máxima diferente de zero.

À primeira vista, isto requer o cálculo de um número finito, mas talvez muito grande, de menores desta matriz.

O seguinte teorema permite, no entanto, introduzir simplificações significativas nisso.

Teorema. Se o menor da matriz A for diferente de zero e todos os menores que fazem fronteira com ele forem iguais a zero, então a classificação da matriz é igual a r.

Prova. É suficiente mostrar que qualquer subsistema de linhas da matriz para S>r será linearmente dependente sob as condições do teorema (seguirá que r é o número máximo de linhas da matriz linearmente independentes ou qualquer um de seus menores de ordem maior que k são iguais a zero).

Agora considere a seguinte combinação linear:

Usando (3.3.7) e (3.3.8), obtemos

o que contradiz a independência linear das linhas.

Consequentemente, nossa suposição está incorreta e, portanto, quaisquer linhas S>r sob as condições do teorema são linearmente dependentes. O teorema foi provado.

Consideremos a regra para calcular a classificação de uma matriz - o método de fronteira de menores, com base neste teorema.

Ao calcular a classificação de uma matriz, deve-se passar dos menores de ordens inferiores para os menores de ordens superiores. Se já foi encontrado um menor de ordem r, diferente de zero, então é necessário calcular apenas os menores de (r+1) ordem que fazem fronteira com o menor. Se forem iguais a zero, então a classificação da matriz é igual a r. Este método também é usado se não apenas calcularmos a classificação da matriz, mas também determinarmos quais colunas (linhas) constituem a base menor da matriz.

Exemplo. Calcule a classificação da matriz usando o método dos menores limítrofes

Solução. O menor de segunda ordem, localizado no canto superior esquerdo da matriz A, é diferente de zero:

No entanto, todos os menores de terceira ordem que fazem fronteira com ela são iguais a zero:

;	;
;	;
;	.

Portanto, o posto da matriz A é igual a dois: .

A primeira e a segunda linhas, a primeira e a segunda colunas desta matriz são básicas. As linhas e colunas restantes são combinações lineares delas. Na verdade, as seguintes igualdades são válidas para strings:

Concluindo, notamos a validade das seguintes propriedades:

1) a classificação do produto das matrizes não é maior que a classificação de cada um dos fatores;

2) a classificação do produto de uma matriz arbitrária A à direita ou à esquerda por uma matriz quadrada não singular Q é igual à classificação da matriz A.

Matrizes polinomiais

Definição. Uma matriz polinomial ou matriz é uma matriz retangular cujos elementos são polinômios em uma variável com coeficientes numéricos.

Transformações elementares podem ser realizadas em matrizes. Esses incluem:

Reorganizando duas linhas (colunas);

Multiplicar uma linha (coluna) por um número diferente de zero;

Adicionando a uma linha (coluna) outra linha (coluna) multiplicada por qualquer polinômio.

Duas matrizes do mesmo tamanho são consideradas equivalentes: , se for possível passar da matriz para usar um número finito de transformações elementares.

Exemplo. Prove a equivalência de matrizes

1. Troque a primeira e a segunda colunas da matriz:

2. Da segunda linha, subtraia a primeira, multiplicada por ():

3. Multiplique a segunda linha por (–1) e observe que

4. Subtraia da segunda coluna a primeira, multiplicada por , obtemos

O conjunto de todas as matrizes de determinados tamanhos é dividido em classes disjuntas de matrizes equivalentes. Matrizes equivalentes entre si formam uma classe e aquelas que não são equivalentes formam outra.

Cada classe de matrizes equivalentes é caracterizada por uma matriz canônica ou normal de determinadas dimensões.

Definição. Uma matriz de dimensões canônica ou normal é uma matriz cuja diagonal principal contém polinômios, onde p é o menor dos números m e n ( ), e polinômios que não são iguais a zero têm coeficientes iniciais iguais a 1, e cada polinômio subsequente é dividido pelo anterior. Todos os elementos fora da diagonal principal são 0.

Da definição segue-se que se entre os polinômios existem polinômios de grau zero, então eles estão no início da diagonal principal. Se houver zeros, eles estarão no final da diagonal principal.

A matriz do exemplo anterior é canônica. Matriz

também canônico.

Cada classe de -matrizes contém uma -matriz canônica única, ou seja, Cada -matriz é equivalente a uma matriz canônica única, que é chamada de forma canônica ou forma normal dessa matriz.

Polinômios localizados na diagonal principal da forma canônica de uma determinada matriz são chamados de fatores invariantes desta matriz.

Um método para calcular fatores invariantes é reduzir uma determinada matriz à forma canônica.

Assim, para a matriz do exemplo anterior, os fatores invariantes são

Do exposto segue-se que a presença do mesmo conjunto de fatores invariantes é uma condição necessária e suficiente para a equivalência de -matrizes.

A redução de -matrizes à forma canônica é reduzida à determinação de fatores invariantes

, ; ,

onde r é a classificação da matriz; - o máximo divisor comum dos menores de ordem k, tomado com o coeficiente líder igual a 1.

Exemplo. Deixe dada -matriz

Solução. Obviamente, o máximo divisor comum de primeira ordem, ou seja, .

Vamos definir menores de segunda ordem:

etc.

Esses dados já são suficientes para tirar uma conclusão: portanto, .

Nós definimos

Por isso, .

Assim, a forma canônica desta matriz é a seguinte -matriz:

Um polinômio de matriz é uma expressão da forma

onde é variável; - matrizes quadradas de ordem n com elementos numéricos.

Se, então S é chamado de grau do polinômio da matriz, n é a ordem do polinômio da matriz.

Qualquer matriz quadrática pode ser representada como uma matriz polinomial. Obviamente, a afirmação oposta também é verdadeira, ou seja, qualquer matriz polinomial pode ser representada como uma matriz quadrada.

A validade destas afirmações decorre claramente das propriedades das operações com matrizes. Vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo. Representar uma matriz polinomial

na forma de um polinômio de matriz como segue

Exemplo. Polinômio matricial

pode ser representado como a seguinte matriz polinomial (-matriz)

Essa intercambialidade de matrizes polinomiais e matrizes polinomiais desempenha um papel significativo no aparato matemático dos métodos de análise de fatores e componentes.

Polinômios matriciais da mesma ordem podem ser adicionados, subtraídos e multiplicados da mesma maneira que polinômios comuns com coeficientes numéricos. Deve-se, entretanto, lembrar que a multiplicação de polinômios matriciais, em geral, não é comutativa, uma vez que A multiplicação de matrizes não é comutativa.

Dois polinômios de matriz são considerados iguais se seus coeficientes forem iguais, ou seja, matrizes correspondentes para as mesmas potências da variável.

A soma (diferença) de dois polinômios de matriz é um polinômio de matriz cujo coeficiente para cada grau da variável é igual à soma (diferença) dos coeficientes para o mesmo grau nos polinômios e.

Para multiplicar um polinômio de matriz por um polinômio de matriz, você precisa multiplicar cada termo do polinômio da matriz por cada termo do polinômio da matriz, somar os produtos resultantes e trazer termos semelhantes.

O grau de um polinômio de matriz é um produto menor ou igual à soma dos graus dos fatores.

As operações em polinômios de matrizes podem ser realizadas usando operações nas matrizes correspondentes.

Para somar (subtrair) polinômios de matrizes, basta somar (subtrair) as -matrizes correspondentes. O mesmo se aplica à multiplicação. -matriz do produto de polinômios matriciais é igual ao produto de -matrizes de fatores.

Por outro lado, e pode ser escrito na forma

onde B 0 é uma matriz não singular.

Ao dividir por, há um único quociente à direita e um resto à direita

onde o grau de R 1 é menor que o grau , ou (divisão sem resto), bem como o quociente esquerdo e o resto esquerdo se e somente se, onde de ordem

Deixar

Colunas da matriz de dimensão. Combinação linear de colunas de matriz chamada de matriz coluna, com alguns números reais ou complexos chamados coeficientes de combinação linear. Se em uma combinação linear considerarmos todos os coeficientes iguais a zero, então a combinação linear é igual à matriz coluna zero.

As colunas da matriz são chamadas Linearmente independente , se sua combinação linear for igual a zero somente quando todos os coeficientes da combinação linear forem iguais a zero. As colunas da matriz são chamadas linearmente dependente , se houver um conjunto de números entre os quais pelo menos um seja diferente de zero, e a combinação linear de colunas com esses coeficientes for igual a zero

Da mesma forma, as definições de dependência linear e independência linear das linhas da matriz podem ser fornecidas. A seguir, todos os teoremas são formulados para as colunas da matriz.

Teorema 5

Se houver zero entre as colunas da matriz, então as colunas da matriz são linearmente dependentes.

Prova. Considere uma combinação linear na qual todos os coeficientes são iguais a zero para todas as colunas diferentes de zero e um para todas as colunas zero. É igual a zero, e entre os coeficientes da combinação linear existe um coeficiente diferente de zero. Portanto, as colunas da matriz são linearmente dependentes.

Teorema 6

Se colunas de matriz são linearmente dependentes, isso é tudo colunas da matriz são linearmente dependentes.

Prova. Para maior definição, assumiremos que as primeiras colunas da matriz linearmente dependente. Então, pela definição de dependência linear, existe um conjunto de números entre os quais pelo menos um é diferente de zero, e a combinação linear de colunas com esses coeficientes é igual a zero

Vamos fazer uma combinação linear de todas as colunas da matriz, incluindo as colunas restantes com coeficientes zero

Mas . Portanto, todas as colunas da matriz são linearmente dependentes.

Consequência. Entre colunas de matriz linearmente independentes, qualquer uma é linearmente independente. (Esta afirmação pode ser facilmente provada por contradição.)

Teorema 7

Para que as colunas de uma matriz sejam linearmente dependentes, é necessário e suficiente que pelo menos uma coluna da matriz seja uma combinação linear das demais.

Prova.

Necessidade. Sejam as colunas da matriz linearmente dependentes, ou seja, existe um conjunto de números entre os quais pelo menos um é diferente de zero, e a combinação linear das colunas com esses coeficientes é igual a zero

Vamos assumir com certeza que. Então, isto é, a primeira coluna é uma combinação linear das demais.

Adequação. Seja pelo menos uma coluna da matriz uma combinação linear das outras, por exemplo, , onde estão alguns números.

Então , isto é, a combinação linear de colunas é igual a zero, e entre os números da combinação linear pelo menos um (at ) é diferente de zero.

Seja a classificação da matriz . Qualquer menor diferente de zero da ordem é chamado básico . Linhas e colunas em cuja intersecção existe uma base menor são chamadas básico .

Sejam k linhas e k colunas (k ≤ min(m; n)) selecionadas aleatoriamente em uma matriz A de dimensões (m; n). Os elementos da matriz localizados na intersecção das linhas e colunas selecionadas formam uma matriz quadrada de ordem k, cujo determinante é chamado de menor M kk de ordem k y ou k-ésima ordem menor da matriz A.

A classificação de uma matriz é a ordem máxima de r menores diferentes de zero da matriz A, e qualquer menor de ordem r que seja diferente de zero é uma base menor. Designação: tocou A = r. Se tocou A = tocou B e os tamanhos das matrizes A e B são iguais, então as matrizes A e B são chamadas equivalentes. Designação: A ~ B.

Os principais métodos para calcular a classificação de uma matriz são o método dos menores limítrofes e o método.

Método de fronteira com menores

A essência do método dos menores limítrofes é a seguinte. Deixe um menor de ordem k, diferente de zero, já ter sido encontrado na matriz. Então consideramos abaixo apenas aqueles menores de ordem k+1 que contêm (ou seja, fronteira) um menor de k-ésima ordem que é diferente de zero. Se todos eles forem iguais a zero, então a classificação da matriz é igual a k, caso contrário entre os menores limítrofes da (k+1)-ésima ordem há um diferente de zero e todo o procedimento é repetido.

Independência linear de linhas (colunas) de uma matriz

O conceito de classificação da matriz está intimamente relacionado ao conceito de independência linear de suas linhas (colunas).

Linhas da matriz:

são chamados linearmente dependentes se houver números λ 1, λ 2, λ k tais que a igualdade seja verdadeira:

As linhas da matriz A são chamadas linearmente independentes se a igualdade acima for possível apenas no caso em que todos os números λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

A dependência linear e a independência das colunas da matriz A são determinadas de forma semelhante.

Se qualquer linha (a l) da matriz A (onde (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) pode ser representada como

O conceito de combinação linear de colunas é definido de forma semelhante. O seguinte teorema sobre a base menor é válido.

As linhas e colunas de base são linearmente independentes. Qualquer linha (ou coluna) da matriz A é uma combinação linear de linhas (colunas) de base, ou seja, linhas (colunas) que cruzam a base menor. Assim, a classificação da matriz A: rang A = k é igual ao número máximo de linhas (colunas) linearmente independentes da matriz A.

Aqueles. A classificação de uma matriz é a dimensão da maior matriz quadrada dentro da matriz para a qual a classificação precisa ser determinada, para a qual o determinante não é igual a zero. Se a matriz original não for quadrada, ou se for quadrada mas seu determinante for zero, então para matrizes quadradas de ordem inferior as linhas e colunas são escolhidas arbitrariamente.

Além dos determinantes, a classificação de uma matriz pode ser calculada pelo número de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz. É igual ao número de linhas ou colunas linearmente independentes, o que for menor. Por exemplo, se uma matriz tiver 3 linhas linearmente independentes e 5 colunas linearmente independentes, então sua classificação será três.

Exemplos de como encontrar a classificação de uma matriz

Usando o método de fronteira com menores, encontre a classificação da matriz

Solução: menor de segunda ordem

o menor limítrofe M 2 também é diferente de zero. Contudo, ambos os menores são de quarta ordem, na fronteira com M 3 .

são iguais a zero. Portanto, o posto da matriz A é 3, e a base menor é, por exemplo, a menor M 3 apresentada acima.

O método das transformações elementares baseia-se no fato de que as transformações elementares de uma matriz não alteram sua classificação. Usando essas transformações, você pode trazer a matriz para uma forma onde todos os seus elementos, exceto 11, 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), são iguais a zero. Isto obviamente significa que a classificação A = r. Observe que se uma matriz de enésima ordem tem a forma de uma matriz triangular superior, ou seja, uma matriz em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero, então sua definição é igual ao produto dos elementos da diagonal principal . Esta propriedade pode ser utilizada no cálculo do posto de uma matriz pelo método das transformações elementares: é necessário utilizá-las para reduzir a matriz a uma triangular e então, selecionando o determinante correspondente, descobrimos que o posto da matriz é igual ao número de elementos da diagonal principal diferentes de zero.

Usando o método das transformações elementares, encontre a classificação da matriz