Transformada de Fourier em eletrônica de potência. Série de Fourier Harmônico zero na expansão da série de Fourier

21.03.2022

Começaremos com um diagrama simples para cobrir os conceitos básicos que usaremos posteriormente para diagramas mais complexos. Na Fig. 7.1 mostra a tensão de entrada V BX.p = 1 V é uma onda senoidal com frequência f=1 kHz e um valor máximo de 1 V (valor rms Vin=√2). Para fornecer uma tensão de saída que seja uma função não linear da tensão de entrada, uma fonte de tensão controlada por tensão E (VCS) é usada como amplificador. Neste exemplo, a dependência da tensão de saída na tensão de entrada é exibida pela função

f(x) = 1 + X + X².

Arroz. 7.1. Circuito com conexão não linear entre tensões de entrada e saída

Esta relação funcional é exibida no comando E usando coeficientes polinomiais. Visão geral do polinômio:

f(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Para chegar à dependência do nosso exemplo, usamos os três últimos números do comando de entrada E. Queremos fazer uma análise harmônica para ver quais harmônicos estão presentes na tensão de saída, mas primeiro vamos tentar determinar o que devemos esperar.

Antes de prosseguir para a expansão das dependências temporais em série de Fourier, é necessário realizar uma análise para processos transitórios (o programa de análise transitória no PSpice).

Portanto, é necessário utilizar os comandos .TRAN e .FOUR. Normalmente, a análise transitória é realizada para um período completo da frequência fundamental. Neste exemplo f=1kHz; por isso, T=1/f=1ms. A análise harmônica reflete os componentes de frequência até o nono harmônico. Para a maioria dos propósitos, isso deve ser mais que suficiente. Se forem apresentados harmônicos mais elevados, eles não terão muita significância devido ao acúmulo de erros de arredondamento nos resultados.

Para fornecer uma descrição mais detalhada da tensão de entrada V BX, use o formulário pecado para descrever a fonte. Parâmetros sin( A, b,Com,...) significar: A- componente constante, b- valor máximo, Com- frequência, d- atraso, e- coeficiente de atenuação e f- Estágio.

Quando o comando .FOUR é incluído no arquivo de entrada, uma análise harmônica é realizada, fornecendo uma expansão em série de Fourier dos resultados da análise transitória. Os parâmetros deste comando incluem a frequência fundamental e as variáveis para as quais será obtida a decomposição. Neste exemplo, tais variáveis serão funções periódicas das tensões de entrada V(1) e de saída V(2). Arquivo de entrada:

Vin 1 0 pecado(0 1 1000); argumentos para deslocamento, máximo e frequência

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimos 3 valores para k0, k1, k2

Realize a análise e obtenha gráficos de V(1) e (V)2. Certifique-se de que V(1) seja uma cópia exata da tensão de entrada VH. A tensão de saída deve apresentar uma componente DC e uma onda complexa com no máximo 3 V. A partir de um estudo teórico da série de Fourier, pode-se concluir que este gráfico se assemelha a uma onda periódica composta pelos harmônicos fundamental e segundo. É aconselhável imprimir uma cópia deste gráfico para referência futura. Na Fig. A Figura 7.2 mostra esses gráficos.

Arroz. 7.2. Gráficos de tensão v 1 e v 2 para o circuito da Fig. 7.1

Considere também o arquivo de saída deste circuito (Figura 7.3), que mostra os seguintes valores para as tensões dos nós: V(1) = 0 V e V(2) = 1 V. Isso significa que embora o sinal de entrada não tenha offset, a saída da tensão tem um offset V(2)=1 V.

Na Fig. 7.3 na tabela de componentes da série de Fourier para V(1), nem todos os componentes possuem valores reais. Assim, o valor da componente constante deveria teoricamente ser igual a zero, mas a análise dá um valor muito pequeno de 3,5E-10, que não é exatamente igual a zero devido ao acúmulo de erros de arredondamento.

Análise de Fourier; Decomposição de Polinômio

Vin 1 0 pecado(0 1 1000); os argumentos são deslocamento, pico e frequência

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; os últimos 3 1s são para k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

FREQUÊNCIA HARMÔNICA FOURIER FASE NORMALIZADA NORMALIZADA

NÃO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (DEG) FASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL = 4,999939E+01 POR CENTO

Arroz. 7.3. O arquivo de saída com os resultados da análise do circuito da Fig. 7.1

O primeiro harmônico é o harmônico fundamental em f=1 kHz. A amplitude do primeiro harmônico da série de Fourier e sua fase são mostradas como 2,4E-7 (também quase zero). Se assumirmos que este componente é expresso pela fórmula

b n pecado( nx),

então isso significa que b 1 =1, n=1, onde o índice 1 corresponde à frequência fundamental. Outros harmônicos podem ser ignorados porque suas amplitudes são muitas ordens de grandeza menores que o harmônico fundamental. É o harmônico fundamental que é refletido no gráfico V(1) no Probe, obtido a partir dos dados da Fig. 7.3.

Outra tabela de componentes de Fourier na Fig. 7.3 aplica-se a V(2). Ao observar os vários harmônicos, observe que há um componente CC de 1,5 V. Por que 1,5 V? Componente k 0 =1 V fornece apenas parte deste valor, os 0,5 V restantes estão associados ao segundo harmônico. A teoria mostra que com distorção harmônica no segundo harmônico da tensão de saída, além do próprio segundo harmônico com amplitude b 2, um componente constante associado à distorção no segundo harmônico aparece com o valor b 0 =b 2. A amplitude da frequência fundamental na expansão é igual a b 1 =1 V, amplitude do segundo harmônico b 2 =0,5 V, seu ângulo de fase é -90°. Harmônicos mais altos são muito menores em magnitude e podem ser ignorados.

Como um exercício de síntese harmônica, você pode representar graficamente os harmônicos individuais e somá-los para prever o resultado que obterá na Sonda para V(2). Lembre-se de levar em consideração o componente DC e as amplitudes e fases correspondentes para os harmônicos fundamental e segundo. Depois de desenhar o balanço resultante, você sem dúvida ficará satisfeito em saber que o PSpice pode fazer o trabalho tedioso para você.

Adição de harmônicos e decomposição em componentes harmônicos

Vamos criar um novo arquivo de entrada correspondente à Fig. 7.4, no qual o diagrama da Fig. 7.1 foram adicionadas mais duas fontes de corrente independentes.

Usamos apenas duas fontes para que você possa obter os harmônicos fundamentais e segundos no mesmo gráfico com a tensão de saída. Fontes adicionais alimentam um resistor de 1 ohm conectado em paralelo. Tal mudança no esquema original não é necessária, apenas acabou sendo conveniente para um determinado conjunto de parâmetros. O novo arquivo de entrada é uma extensão do arquivo anterior e tem a seguinte aparência:

Análise de Fourier; Decomposição de Polinômio

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentos - deslocamento, amplitude e frequência

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimas 3 entradas para k0, k1, k2

i2 0 3 pecado(0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Arroz. 7.4. Circuito para análise de adição harmônica e expansão em série de Fourier

Antes de realizar a análise, consideraremos detalhadamente as descrições de eu 1 e eu 2. Para síntese harmônica, são utilizados os resultados da expansão em série de Fourier do problema anterior. Certifique-se de compreender o significado de todos os parâmetros; em seguida, execute a análise no Probe, produzindo gráficos de I(i1), I(i2) e I(r). Embora representem correntes, são numericamente iguais às tensões, pois passam por uma resistência de 1 ohm. Na Fig. 7.5 apresenta os resultados. Agora podemos estabelecer que o primeiro gráfico representa o harmônico fundamental, o segundo - o segundo harmônico, e o terceiro - o resultado da soma deles em um resistor R. Claro, é possível obter um gráfico de V(3) em vez de I(r). Neste caso, o eixo S será marcado em unidades de tensão, não de corrente. Certifique-se de que a soma das duas primeiras curvas produza a terceira curva em diferentes momentos. Para tornar o gráfico mais compacto, utilizamos um deslocamento de 1 V para a fundamental e 0,5 V para a segunda harmônica. Na verdade, o fundamental tem deslocamento zero.

Arroz. 7.5. Os harmônicos fundamentais e segundos e o resultado de sua adição

Distorção de segundo harmônico em amplificadores

Quando a faixa operacional de um amplificador se estende além da porção linear da resposta, isso resulta em alguma distorção. Uma primeira aproximação à curva do produto real é conseguida incluindo uma segunda harmónica no modelo, mostrando que a função de transição relativa eu c E eu sou(corrente de coletor e de base) é algum tipo de parábola. Tipicamente a distorção é muito menor do que aquela assumida em nosso primeiro exemplo introdutório, mostrado na Fig. 7.1. Um polinômio mais preciso é dado pela fórmula

f(x) = 0,1 + x + 0,2x².

Basta simplesmente transformar o arquivo de entrada original para refletir esta situação. Comando de entrada para fonte dependente E assumirá a forma:

E 2 0 poli(1) 1,0 0,1 1 0,2; últimos três valores para k0, k1, k2

e todo o arquivo de entrada será:

Realize a análise e obtenha gráficos V(1) e V(2) no Probe. Você verá que ambas as ondas parecem ondas senoidais reais. Para uma comparação mais precisa, remova o gráfico V(2) e obtenha o gráfico V(2)–0,1. Isso aproximará as duas curvas. Ao comparar ondas, lembre-se de que V(1) é simplesmente uma onda senoidal e V(2) é uma combinação dos harmônicos fundamental e secundário. Neste exemplo, o segundo harmônico é significativamente menor em amplitude do que no anterior. Você pode imprimir os resultados do estudo mostrado na Fig. 7.6.

Arroz. 7.6. Os harmônicos fundamentais e segundos e o resultado de sua adição

Após sair do Probe, observe o arquivo de saída deste caso. A tensão de entrada V(1) é exatamente a mesma do exemplo anterior, mas V(2) é obviamente diferente. Observe que o componente DC da tensão de saída é 0,2 V e o segundo harmônico em f=2 kHz tem uma amplitude de 0,1 V e um ângulo de fase de -90°. Outros harmônicos são muito menores e podem ser desprezados. Por fim, determine a distorção harmônica total, que está muito próxima de 10%, como esperado. A distorção de segundo harmônico é definida como b 1 /b 2 onde b 1 e b 2 - coeficientes para o segundo harmônico e fundamental, respectivamente. Esses dados são mostrados na Fig. 7.7.

Análise de Fourier; Distorção de segundo harmônico, amplificador de potência

TENSÃO DO NÓ TENSÃO DO NÓ TENSÃO DO NÓ TENSÃO DO NÓ

COMPONENTES DE FOURIER DA RESPOSTA TRANSITÓRIA V(1)

FREQUÊNCIA HARMÔNICA FOURIER FASE NORMALIZADA NORMALIZADA

NÃO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (DEG) FASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL = 2,208405E-06 POR CENTO

COMPONENTES DE FOURIER DA RESPOSTA TRANSITÓRIA V(2)

FREQUÊNCIA HARMÔNICA FOURIER FASE NORMALIZADA NORMALIZADA

NÃO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (DEG) FASE (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL = 9,999880E+00 POR CENTO

Arroz. 7.7. Resultados da análise de distorção para segundo harmônico em amplificadores

Distorção de intermodulação

Usamos um diagrama simples (Fig. 7.8) para mostrar como duas ondas senoidais são combinadas em um dispositivo não linear usando frequências bastante próximas uma da outra, ou seja, f 1 =1 kHz e f 2 =1,5kHz. A mistura não linear ocorre na fonte dependente do tipo e VCVS (INUN). O polinômio que descreve o relacionamento contém mais termos do que no exemplo anterior:

f(x) = 1 + x + X² + x³.

Arroz. 7.8. Circuito para demonstrar distorção de intermodulação

As correntes, resumindo, criam em R = Tensão V(1) de 1 Ohm, numericamente igual à corrente em R. Assim, a tensão de entrada V(1) pode ser considerada como a tensão em um misturador não linear. Como as ondas senoidais possuem frequências diferentes, sua soma representa uma oscilação periódica complexa com frequência diferente da frequência dos componentes originais (frequência de batimento). Arquivo de entrada:

Execute a simulação e obtenha a Sonda V(1). Selecione Gráfico, Configurações do eixo X..., Definido pelo usuário e defina o intervalo de 0 a 10 ms para obter uma tensão de entrada em estado estacionário. Este gráfico é mostrado na Fig. 7.9. Para confirmar que é realmente a soma dos componentes harmônicos nas frequências de 1 e 1,5 kHz, selecionamos Trace, Fourier, passando do domínio do tempo para o domínio da frequência. Agora vamos mudar os limites ao longo do eixo X, definindo a faixa de frequência de 4 a 12 kHz. Certifique-se de que as configurações do eixo correspondam às frequências desejadas e às amplitudes esperadas. Na verdade, quando f=1 kHz a tensão é 0,991 V, e em f=1,5 kHz é 0,979 V. Não se esqueça que há algum erro de acumulação nesta síntese. Na Fig. A Figura 7.10 mostra a resposta amplitude-frequência correspondente.

Arroz. 7.9. Tensão de saída com distorção de intermodulação

Arroz. 7.10. Composição espectral da tensão de entrada

Em seguida, selecione Trace, End Fourier para retornar ao domínio do tempo, remova o gráfico V(1) e obtenha um gráfico de tensão de saída do misturador V(2). Lembre-se de que o mixer é um INUN com uma relação polinomial especificada pela função f(X). A dependência do tempo é um gráfico semelhante ao gráfico V(1), mas após uma inspeção mais detalhada você descobrirá que os formatos de tensão são significativamente diferentes. Algumas pistas podem ser obtidas a partir da composição harmônica desta vibração complexa, por isso será necessário passar novamente para o domínio da frequência, selecionando a faixa ao longo do eixo X de 0 a 5 kHz. Recomendamos imprimir o espectro de frequência para um estudo mais aprofundado. A análise teórica dos componentes de modulação de frequência permite prever e verificar os resultados da análise no PSpice. Observe que existe um componente DC de 2 V junto com componentes significativos na faixa de 0,5 a 4,5 kHz (veja a Fig. 7.11 para o espectro de frequência).

Arroz. 7.11. Composição espectral da tensão de saída

Adição harmônica

O caso mais simples para análise teórica é o caso de uma influência harmônica em um circuito composto por componentes lineares como resistores, capacitores e indutores, e, como você sabe, a resposta é uma oscilação harmônica na mesma frequência do sinal de entrada. As diversas quedas de tensão em um circuito também representam oscilações harmônicas de mesma frequência, diferindo apenas em amplitude e fase. Vamos usar um diagrama simples para ilustrar algumas dessas propriedades. Na Fig. A Figura 7.12 mostra três fontes de tensão alimentando um circuito contendo resistores. R = 1 ohm e R 1 =R 2 =0,001Ohm. Os dois últimos resistores são necessários para tornar as fontes de tensão não ideais. Usando este diagrama podemos mostrar a adição de ondas senoidais no Probe. Arquivo de entrada:

Adição de ondas senoidais da mesma frequência

*A ordem dos parâmetros em uma expressão complexa para harmônicos

*componentes: offset, amplitude, frequência, atraso, atenuação, fase

v2 2 0 sen(0 1 1kHz 0 0 45); fase=45 graus

v3 3 0 sen(0 1 1kHz 0 0 90); fase=90 graus

Arroz. 7.12. Circuito para adicionar sinais harmônicos de mesma frequência

Execute a simulação e obtenha gráficos de v(1), v(2) e v=v(1)+v(2) no Probe. Os gráficos resultantes mostram a tensão v 2 com um atraso máximo de aproximadamente 45° em relação ao máximo v 1, e a tensão total v 1 +v 2 com um máximo localizado entre seus valores máximos. Certifique-se de que o máximo v 1 =1 V é alcançado em 251 µs (90°), máximo v 2 =1 V - a 131 µs (47,16°) e máximo v 1 +v 2 =1,8381 V - em um momento de 171 μs (61,56°). Remova esses gráficos e obtenha dependências de tempo para outras combinações de tensão, como v(1), v(3) e v(1)+v(3). Com base na sua capacidade de adicionar vetores de tensão, tente prever o valor de amplitude para a soma das tensões antes de produzir os gráficos de sonda mostrados na Figura 1. 7.13.

Arroz. 7.13. O resultado da adição de sinais harmônicos da mesma frequência

Adição de harmônicos fundamentais e segundos

No arquivo de entrada correspondente ao diagrama da Fig. 7.12, você pode variar facilmente os parâmetros e a composição das fontes de alimentação. Vamos deletar v 3 e dobre a frequência da tensão v 2 para que se torne a segunda frequência harmônica para v 1. É claro que a oscilação resultante se tornará imediatamente não-senoidal. Na verdade, sua forma dependerá da proporção dos ângulos de fase v 1 e v 2. No exemplo em consideração, deixe ambos os harmônicos atingirem seu máximo simultaneamente. Arquivo de entrada para este caso:

Adicionando Ondas Azuis; Pico Fundamental e 2º Harmônico Juntos

Execute a simulação e obtenha gráficos v(1), v(2) e v=v(1)+v(2) no Probe. Porque o v 1 e v 2 atingem um máximo ao mesmo tempo, o máximo da oscilação resultante é 2 V, mas quando a fundamental atinge um máximo negativo, o segundo harmônico retorna a um máximo positivo e sua soma vai para zero. É claro que a flutuação total ( v 1 +v 2) não sinusoidal. Esses gráficos são mostrados na Fig. 7.14.

Arroz. 7.14. O resultado da adição do primeiro e segundo harmônicos

Modulação de amplitude

Um gráfico interessante de oscilação modulada em amplitude pode ser produzido no PSpice usando a função de multiplicação de oscilações harmônicas com frequências significativamente diferentes. Na Fig. A Figura 7.15 mostra um diagrama simulando tal dispositivo. A primeira fonte harmônica é v 1 com frequência de 1 kHz. A segunda fonte v 2 tem uma frequência de 20 kHz. A multiplicação é realizada na fonte dependente e, que é VCVS. Os resistores são necessários para evitar potenciais flutuantes. Arquivo de entrada:

e 3 0 poli (2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Arroz. 7h15. Multiplicador para modulação de onda senoidal

As últimas cinco entradas no comando de entrada da fonte polinomial: 0 0 0 0 1. Lembre-se de que estes são os valores dos coeficientes em termos k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 e k 4 v 1 v 2. Todos os valores são 0, exceto k 4 que é igual a 1.

Execute a simulação e obtenha gráficos de v(1) e v(3) no Probe. A componente harmônica com frequência de 20 kHz não é deliberadamente plotada no gráfico geral, para não complicar a compreensão dos processos. A oscilação resultante v(3) tem a forma clássica de uma oscilação modulada em amplitude. Neste exemplo, ambos os harmônicos de entrada v 1 e v 2 têm amplitude de 1 V. Os gráficos são mostrados na Fig. 7.16.

Arroz. 7.16. O resultado do estudo de sinais modulados em amplitude

Sem sair do Probe, adicione um gráfico da outra tensão de entrada v(2) para que todas as tensões sejam exibidas: v(1), v(2) e v(3). Este gráfico contém agora, juntamente com as outras duas ondas, a onda portadora, dando uma imagem completa. Obtenha uma impressão para estudo adicional, exclua o gráfico v(2) e selecione Trace, Fourier. Instale ao longo do eixo X limites de faixa de 0 a 30 kHz. O domínio da frequência agora exibe componentes em 1,19 e 21 kHz. Os últimos componentes representam as frequências laterais superiores e inferiores resultantes de tal modulação. Determine a amplitude de cada uma dessas ondas. Lembre-se da identidade trigonométrica,

(pecado a)(pecado b) = 0.5,

o que explica as amplitudes de 0,5 V para frequências de banda lateral. Consulte a Fig. 7.17, que mostra o espectro de frequências. (Os marcadores foram removidos para fornecer uma imagem mais clara.) Realize análises com diferentes amplitudes relativas para tensão de modulação v 1 para ver que efeito isso tem na profundidade da modulação T. Por exemplo, quando v 1 tem uma amplitude de 0,8, qual é a profundidade da modulação e como se parece a oscilação resultante?

Arroz. 7.17. Espectro de frequência de oscilação modulada em amplitude

Visão geral dos novos comandos PSpice usados neste capítulo

.QUATRO <частота>*<выходные переменные>

Por exemplo, registre

mostra que a expansão em série de Fourier é realizada. A decomposição só pode ser realizada após a obtenção da dependência temporal para o estado estacionário obtido a partir da análise do processo transitório. Este comando deve estar presente no arquivo de entrada:

TRANS <шаг><момент окончания>

Tarefas

A análise harmônica fornece o componente constante do harmônico fundamental e todos os harmônicos até o nono inclusive. Suas amplitudes e fases são mostradas com valores reais e relativos. No exemplo anterior, foram analisados V(1) e V(2) e seus componentes. Normalmente, o comando usado para realizar a análise harmônica é .SONDA: no entanto, os comandos também podem ser usados .IMPRIMIR ou .TRAMA.

7.1. Na Fig. 7.18 o polinômio para E tem a forma

f(x) = X + X².

Arroz. 7.18

Usando v eu, pico=1V, f=1 kHz e V = 1 Comparar v 0 segundos eu. Preveja o conteúdo harmônico aproximado da tensão de saída; em seguida, execute uma análise no PSpice que mostrará o conteúdo harmônico das tensões de entrada e saída. No comando .FOUR, use as tensões V(2, 1) e V(3). Examine o arquivo de saída e determine o conteúdo harmônico de V(3).

7.2. No Problema 7.1, use Trace, Fourier para obter o conteúdo harmônico de V(3). Exibindo V(2,1) e V(3), definidos ao longo do eixo X limites de 0 a 5 kHz.

7.3. Execute a análise para o problema 7.1 em

f(x) = 2 + 0,1x².

Preveja o conteúdo harmônico aproximado da tensão de saída; em seguida, obtenha gráficos de V(2,1) e V(3) para verificar a precisão de suas previsões.

7.4. Na Fig. A Figura 7.4 mostra a fonte polinomial E. Foi dada como

f(X) = 1 + X + X².

Substitua o polinômio por

f(X) = X + X²,

e realizar síntese e decomposição alterando eu 1 e eu 2 de modo que a corrente I(r) siga a forma da tensão V(2).

7.5. Na seção “Distorção de segundo harmônico em amplificadores” deste capítulo, substitua o polinômio pelo seguinte:

f(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

e realizar a análise no PSpice conforme sugerido no texto. Obtenha um gráfico de V(1) e (V)2–0,05 para comparar os componentes CA das tensões de entrada e saída. Preveja o componente DC da tensão de saída, amplitude e fase do segundo harmônico e distorção harmônica total. Teste suas previsões em relação aos resultados da Sonda e ao arquivo de saída.

7.6. Na seção Distorção de Intermodulação, combinamos duas ondas senoidais de frequências diferentes. Realize análises em frequências f 1 =2 kHz e f 2 = 2,5 kHz, deixando a expressão para f(X) sem alteração. Modifique o comando .TRAN para atender às suas necessidades. Execute as operações na mesma ordem do exemplo do texto para testar suas previsões sobre o conteúdo harmônico da tensão de saída.

7.7. Na seção “Adição de harmônicos” na Fig. A Figura 7.12 mostra ramificações paralelas com três fontes de tensão. A adição de harmônicos foi mais matemática do que física. Mude o circuito para que todas as fontes de tensão fiquem em série e execute a análise novamente. Você obteve os mesmos resultados?

7.8. Realize uma análise para adicionar as seguintes tensões harmônicas da mesma frequência f=1kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 =1∠45°V e v 23 =1,5∠90° V.

Em que:

a) Encontre o valor máximo ( v 1 +v 2), bem como o momento e o ângulo de fase em que o máximo é alcançado.

b) Repita a etapa a) para ( v 1 +v 3).

Ao usar o modo cursor e vários gráficos na mesma tela, use a tecla [ Ctrl] e as setas ← e → para selecionar em qual gráfico o cursor deve se mover.

7.9. Para ilustrar o efeito da adição de harmônicos com frequências semelhantes, realize a análise como no Problema 7.8 para o seguinte conjunto de parâmetros: v 1 =1∠0° V, f 1 =1kHz, v 1 =1∠0° V, f 2 =1,2kHz, v 1 =1∠0° V e f 3 =1,4kHz:

a) Obtenha os gráficos v 1 , v 2 e ( v 1 +v 2). Encontre o valor máximo ( v 1 +v 2).

b) Obtenha os gráficos v 1 , v 3 e ( v 1 +v 3). Encontre o valor máximo ( v 1 +v 3).

7.10. Resolva o problema da seção sobre modulação de amplitude colocando v 1 =1 V a 1 kHz, e alterando v 1 para que a profundidade de modulação seja 0,5. Execute a análise no PSpice para mostrar seus resultados.

A transformada de Fourier é o meio mais amplamente utilizado para transformar uma função arbitrária do tempo em um conjunto de seus componentes de frequência no plano dos números complexos. Esta transformação pode ser aplicada a funções aperiódicas para determinar seus espectros, caso em que o operador complexo s pode ser substituído por /co:

A integração numérica no plano complexo pode ser usada para determinar as frequências mais interessantes.

Para se familiarizar com o comportamento básico dessas integrais, consideremos vários exemplos. Na Fig. A Figura 14.6 (esquerda) mostra um pulso de área unitária no domínio do tempo e sua composição espectral; no centro - um pulso da mesma área, mas com amplitude maior, e à direita - a amplitude do pulso é infinita, mas sua área ainda é igual à unidade. A imagem da direita é especialmente interessante porque o espectro de um pulso de largura zero contém todas as frequências com amplitudes iguais.

Arroz. 14.6. Espectros de pulsos da mesma largura, na mesma direção

Em 1822, o matemático francês J. BJ Fourier mostrou em seu trabalho sobre condutividade térmica que qualquer função periódica pode ser decomposta em componentes iniciais, incluindo uma frequência de repetição e um conjunto de harmônicos desta frequência, cada um dos harmônicos tendo sua própria amplitude e fase em relação à frequência de repetição. As fórmulas básicas usadas na transformada de Fourier são:

onde A() representa a componente de corrente contínua, e A p e B p são os harmônicos da frequência fundamental da ordem e, que estão respectivamente em fase e antifase com ela. A função /(*) é, portanto, a soma desses harmônicos e Lo-

Nos casos em que f(x) é simétrico em relação a mc/2, ou seja, f(x) na região de l a 2l = -f(x) na região de 0 a l, e não há componente de corrente contínua, as fórmulas da transformada de Fourier são simplificadas para:

onde n = 1, 3,5, 7…

Todos os harmônicos são senoides, apenas alguns deles estão em fase e alguns estão fora de fase com a frequência fundamental. A maioria das formas de onda encontradas na eletrônica de potência podem ser resolvidas em harmônicos dessa maneira.

Se a transformada de Fourier for aplicada a pulsos retangulares com duração de 120°, então os harmônicos serão um conjunto de ordem k = bi ± 1, onde n é um dos inteiros. A amplitude de cada harmônico h em relação ao primeiro está relacionada ao seu número pela relação h = l//e. Neste caso, o primeiro harmônico terá amplitude 1,1 vezes maior que a amplitude do sinal retangular.

A transformada de Fourier produz um valor de amplitude para cada harmônico, mas como são todos senoidais, o valor RMS é obtido simplesmente dividindo a amplitude correspondente pela raiz de 2. O valor RMS de um sinal complexo é a raiz quadrada da soma de os quadrados dos valores RMS de cada harmônico, incluindo o primeiro.

Ao trabalhar com funções de pulso repetitivo, é útil considerar o ciclo de trabalho. Se os pulsos repetidos na Fig. 14.7 têm um valor quadrático médio de X para o tempo A, então o valor quadrático médio para o tempo B será igual a X(A/B) 1 ‘ 2. Assim, o valor rms dos pulsos repetidos é proporcional à raiz quadrada do valor do ciclo de trabalho. Aplicando este princípio a pulsos retangulares com duração de 120° (ciclo de trabalho 2/3) com amplitude unitária, obtemos um valor rms de (2/3) 1/2 = 0,8165.

Arroz. 14.7. Determinando o valor da raiz quadrada média (RMS) para repetição

impulsos

É interessante verificar este resultado somando os harmônicos correspondentes à referida sequência de pulsos retangulares. Na tabela. 14.2 mostra os resultados deste somatório. Como você pode ver, tudo combina.

Tabela 14.2. Resultados da soma dos harmônicos correspondentes

sinal periódico com ciclo de trabalho de 2/3 e amplitude unitária

Número harmônico

Amplitude harmônica

Valor RMS total

Para fins de comparação, qualquer conjunto de harmônicos pode ser agrupado e o nível geral de distorção harmônica correspondente pode ser determinado. O valor quadrático médio do sinal é determinado pela fórmula

onde h\ é a amplitude do primeiro harmônico (fundamental), e h„ é a amplitude dos harmônicos de ordem n > 1.

Os componentes responsáveis pela distorção podem ser escritos separadamente como

onde n > 1. Então

onde Fundo é a primeira harmônica e o fator de distorção não linear (THD) será igual a D/Fundo.

em uma escala logarítmica, a inclinação das seções correspondentes deste gráfico é -2 e -1. Para sistemas com valores típicos de reatância, a mudança na inclinação ocorre aproximadamente nas frequências do 11º ao 35º harmônico da frequência da rede, e com. um aumento na reatância ou corrente no sistema, a frequência da mudança na inclinação diminui. O resultado prático de tudo isso é que os harmônicos mais elevados são menos importantes do que você imagina.

Embora o aumento da reatância ajude a reduzir harmônicos de ordem superior, isso geralmente não é viável. É mais preferível reduzir os componentes harmônicos na corrente consumida aumentando o número de pulsos durante a retificação ou conversão de tensão, conseguida por uma mudança de fase. Em relação aos transformadores, este tópico foi abordado no Cap. 7. Se um conversor tiristor ou retificador for alimentado pelos enrolamentos de um transformador conectado em estrela e delta, e as saídas do conversor ou retificador forem conectadas em série ou paralelo, então a retificação de 12 pulsos é obtida. Os números harmônicos no conjunto são agora k = \2n ± 1 em vez de k = 6 e + 1, onde n é um dos inteiros. Em vez de harmônicos de 5ª e 7ª ordem, aparecem agora harmônicos de 11ª e 13ª ordens, cuja amplitude é significativamente menor. É perfeitamente possível usar ainda mais pulsações e, por exemplo, grandes fontes de alimentação para plantas eletroquímicas usam sistemas de 48 pulsos. Como grandes retificadores e conversores usam conjuntos de diodos ou tiristores conectados em paralelo, o custo adicional dos enrolamentos de mudança de fase no transformador determina em grande parte o seu preço. Na Fig. A Figura 14.8 mostra as vantagens de um circuito de 12 pulsos em relação a um circuito de 6 pulsos. Os harmônicos de 11ª e 13ª ordem em um circuito de 12 pulsos têm um valor de amplitude típico de aproximadamente 10% do primeiro harmônico. Em circuitos com grande número de ondulações, os harmônicos são da ordem k = pn + 1, onde p é o número de ondulações.

Por interesse, notamos que pares de conjuntos harmônicos que são simplesmente deslocados um em relação ao outro em 30° não se cancelam em um circuito de 6 pulsos. Estas correntes harmônicas fluem de volta através do transformador; assim, é necessária uma mudança de fase adicional para permitir a sua destruição mútua.

Nem todos os harmônicos estão em fase com o primeiro. Por exemplo, em um padrão harmônico trifásico correspondente a uma sequência de onda quadrada de 120°, as fases dos harmônicos mudam de acordo com a sequência -5º, +7º, -11º, +13º, etc. Quando desequilibrado em um circuito trifásico, podem aparecer componentes monofásicos, o que acarreta triplicação dos harmônicos com mudança de fase zero.

Arroz. 14.8. Espectros de conversores de 6 e 12 pulsações

Os transformadores de isolamento são frequentemente vistos como uma panacéia para problemas harmônicos. Esses transformadores adicionam alguma reatância ao sistema e, assim, ajudam a reduzir o nível de harmônicos mais elevados, porém, além de suprimir correntes de seqüência zero e desacoplamento eletrostático, são de pouca utilidade.

transformada de Fourieré o meio mais amplamente utilizado de transformar uma função arbitrária do tempo em um conjunto de seus componentes de frequência no plano dos números complexos. Esta transformação pode ser aplicada a funções aperiódicas para determinar seus espectros, caso em que o operador complexo é pode ser substituído por uso:

A integração numérica no plano complexo pode ser usada para determinar as frequências mais interessantes.

Arroz. 14.6.

Em 1822, o matemático francês JBJ Fourier(JBJ Fourier) mostrou em seu trabalho sobre condutividade térmica que qualquer função periódica pode ser decomposta em componentes iniciais, incluindo a frequência de repetição e um conjunto de harmônicos desta frequência, cada um dos harmônicos tendo sua própria amplitude e fase em relação à frequência de repetição . As fórmulas básicas usadas na transformada de Fourier são as seguintes:

Onde eu 0 representa o componente DC, e A" E EM"- harmônicos da frequência fundamental da ordem P, estando respectivamente em fase e antifase com ele. Função f(x), portanto, é a soma desses harmônicos e /1 0.

Nos casos em que /(.r) é simétrico em relação a i/2, ou seja, /(x) na região de i a 2n = -/(x) na região de 0 a i, e não há componente de corrente contínua , As reformas das fórmulas de Fourier são simplificadas para:

Onde P - 1,3,5, 7....

Se a transformada de Fourier for aplicada a pulsos retangulares com duração de 120°, então os harmônicos serão da ordem k = 6p± 1, onde P- um dos inteiros. Amplitude de cada harmônico h em relação ao primeiro está relacionado ao seu número pela relação h = /k. Neste caso, o primeiro harmônico terá amplitude 1,1 vezes maior que a amplitude do sinal retangular.

Ao trabalhar com funções de pulso repetitivo, é útil considerar o ciclo de trabalho. Se os pulsos repetidos na Fig. 14,7 tem um valor quadrático médio X durante A, então o valor da raiz quadrada média ao longo do tempo EM será igual X(C/L) ( 2. Assim, o valor rms dos pulsos repetidos é proporcional à raiz quadrada do valor do ciclo de trabalho. Aplicando este princípio a pulsos retangulares com duração de 120° (ciclo de trabalho 2/3) com amplitude unitária, obtemos um valor rms de (2/3) 12 = 0,8165.

Arroz. 14.7.

impulsos

Tabela 14.2. Resultados da soma dos harmônicos correspondentes

sinal periódico com ciclo de trabalho de 2/3 e amplitude unitária

Onde h- amplitude do primeiro harmônico (fundamental), uma h„- amplitude dos harmônicos da ordem P > 1.

Os componentes responsáveis pela distorção podem ser escritos separadamente como

Onde p> 1. Então

Onde Fundo - o primeiro harmônico, e fator de distorção harmônica(THD) será igual D/Fundo.

Embora a análise do trem de ondas quadradas seja interessante, ela raramente é usada no mundo real. Os efeitos de comutação e outros processos tornam os pulsos retangulares mais parecidos com pulsos trapezoidais ou, no caso de conversores, com uma borda principal descrita por 1 - cos(0) e uma borda descendente descrita por cos(0), onde 0 Aumento e queda crescentes vezes os pulsos retangulares são “suavizados” por um conjunto de harmônicos correspondentes, de modo que a amplitude dos harmônicos de alta ordem diminui proporcionalmente a (1/Ar) em vez de (1 /Para) em frequências mais baixas. Ao traçar a dependência dessas amplitudes em relação à frequência em papel com escala logarítmica dupla, a inclinação das seções correspondentes deste gráfico é -2 e - 1. Para sistemas com valores típicos de reatância, a mudança na inclinação ocorre aproximadamente em frequências do 11º ao 35º harmônico da frequência da rede elétrica, e À medida que a reatância ou corrente no sistema aumenta, a frequência da mudança de inclinação diminui. O resultado prático de tudo isso é que os harmônicos mais elevados são menos importantes do que você imagina.

Embora o aumento reatância ajuda a reduzir harmônicos de ordem superior, o que geralmente não é viável. Mais preferível para redução de componentes harmônicos na corrente consumidaé um aumento no número de pulsos durante a retificação ou conversão de tensão, obtido por uma mudança de fase. Em relação aos transformadores, este tópico foi abordado no Cap. 7. Se um conversor tiristor ou retificador for alimentado pelos enrolamentos de um transformador conectado por uma estrela e um delta, e as saídas do conversor ou retificador forem conectadas em série ou paralelo, então uma retificação de 12 anulações é obtida. Os números de harmônicos no conjunto são agora obtidos k = 12P± 1 em troca k = 6w ± 1, onde P- um dos inteiros. Em vez de harmônicos de 5ª e 7ª ordem, aparecem agora harmônicos de 11ª e 13ª ordens, cuja amplitude é significativamente menor. É perfeitamente possível usar ainda mais pulsações e, por exemplo, grandes fontes de alimentação para plantas eletroquímicas usam sistemas de 48 pulsos. Como grandes retificadores e conversores usam conjuntos de diodos ou tiristores conectados em paralelo, o custo adicional dos enrolamentos de mudança de fase no transformador determina em grande parte o seu preço. Na Fig. A Figura 14.8 mostra as vantagens de um circuito de 12 pulsos em relação a um circuito de 6 pulsos. Os harmônicos de 11ª e 13ª ordem em um circuito de 12 anulações têm um valor de amplitude típico igual a aproximadamente 10% do primeiro harmônico. Em circuitos com grande número de ondulações, os harmônicos são da ordem k = rpm± 1, onde R- número de pulsações.

Por interesse, notamos que pares de conjuntos harmônicos que são simplesmente deslocados um em relação ao outro em 30° não se cancelam em um circuito de 6 ondulação. Estas correntes harmônicas fluem de volta através do transformador; assim, é necessária uma mudança de fase adicional para permitir a sua destruição mútua.

Nem todos os harmônicos estão em fase com o primeiro. Por exemplo, em um conjunto trifásico de harmônicos correspondente a uma sequência de pulsos quadrados de 120°, as fases dos harmônicos mudam de acordo com a sequência -5º, +7º, -11º, +13º, etc. circuito trifásico Podem surgir componentes monofásicos, o que acarreta triplicação de harmônicos com mudança de fase zero.

Arroz. 14.8.

Transformadores de isolamento muitas vezes visto como uma panacéia para problemas harmônicos. Esses transformadores adicionam alguma reatância ao sistema e, assim, ajudam a reduzir o nível de harmônicos mais elevados, porém, além de suprimir correntes de seqüência zero e desacoplamento eletrostático, são de pouca utilidade.

Quase qualquer função periódica pode ser expandida em harmônicos simples usando uma série trigonométrica (série de Fourier):

f(x) = + (um porque nx + b n pecado nx), (*)

Vamos escrever esta série como uma soma de harmônicos simples, assumindo que os coeficientes são iguais um= Um pecado JN, b n= Um porque JN. Nós temos: um porque JN + b n pecado JN = Um pecado( nx+ JN), Onde

Um= , tg JN = . (**)

Então a série (*) na forma de harmônicos simples assumirá a forma f(x) = .

A série de Fourier representa uma função periódica como a soma de um número infinito de senóides, mas com frequências que possuem um determinado valor discreto.

Às vezes n O º harmônico é escrito na forma um porque nx + b n pecado nx = Um porque ( nx – JN) , Onde um= Um porque JN , b n= Um pecado JN .

Em que Um E JN são determinados por fórmulas (**). Então a série (*) assumirá a forma

f(x) = .

Definição 9. Operação de representação de função periódica f(x) A série de Fourier é chamada análise harmônica.

A expressão (*) também ocorre em outra forma mais comum:

Chances um, b n são determinados pelas fórmulas:

magnitude C 0 expressa o valor médio da função ao longo do período e é chamado de componente constante, que é calculado pela fórmula:

Na teoria das vibrações e análise espectral, a representação da função f(t) na série de Fourier é escrito como:

(***)

aqueles. uma função periódica é representada pela soma de termos, cada um dos quais é uma oscilação senoidal com amplitude Com n e fase inicial JN, ou seja, a série de Fourier de uma função periódica consiste em harmônicos individuais com frequências que diferem entre si por um número constante. Além disso, cada harmônico possui uma certa amplitude. Valores Com n E JN devem ser devidamente selecionados para que a igualdade (***) seja satisfeita, ou seja, são determinados pelas fórmulas (**) [ Com n = Um].

Vamos reescrever a série de Fourier (***) na forma Onde c 1 – frequência principal. Disto podemos concluir: uma função periódica complexa f(t) é determinado por um conjunto de quantidades Com n E JN .

Definição 10. Conjunto de valores Com n, isto é, a dependência da amplitude na frequência, é chamada espectro de amplitude da função ou espectro de amplitude.

Definição 11. Conjunto de valores JNé chamado espectro de fase.

Quando dizem simplesmente “espectro”, referem-se ao espectro de amplitude; em outros casos, são feitas as reservas apropriadas. A função periódica tem espectro discreto(isto é, pode ser representado como harmônicos individuais).

O espectro de uma função periódica pode ser representado graficamente. Para isso escolhemos as coordenadas Com n E c = agora 1. O espectro será representado neste sistema de coordenadas por um conjunto de pontos discretos, porque cada valor agora 1 corresponde a um valor específico Com n. Um gráfico que consiste em pontos individuais é inconveniente. Portanto, é costume representar as amplitudes dos harmônicos individuais em segmentos verticais de comprimento correspondente (Fig. 2).

Arroz. 2.

Este espectro discreto é frequentemente chamado de espectro de linha. É um espectro harmônico, ou seja, consiste em linhas espectrais igualmente espaçadas; as frequências harmônicas estão em múltiplos simples. Harmônicos individuais, incluindo o primeiro, podem estar ausentes, ou seja, suas amplitudes podem ser zero, mas isso não viola a harmonia do espectro.

Espectros discretos ou lineares podem pertencer a funções periódicas e não periódicas. No primeiro caso, o espectro é necessariamente harmônico.

A expansão da série de Fourier pode ser generalizada para o caso de uma função não periódica. Para isso, é necessário aplicar a passagem ao limite em T®∞, considerando uma função não periódica como caso limite de uma periódica com período infinitamente crescente. Em vez de 1/ T vamos apresentar a frequência fundamental circular c 1 = 2p/ T. Este valor é o intervalo de frequência entre harmônicos adjacentes, cujas frequências são iguais a 2p n/T. Se T® ∞, então c 1® dw e 2p n/T® c, Onde c– frequência atual, mudando continuamente, dw– seu incremento. Neste caso, a série de Fourier se transformará na integral de Fourier, que é a expansão de uma função não periódica em um intervalo infinito (–∞;∞) em vibrações harmônicas, cujas frequências c mudar continuamente de 0 a ∞:

Uma função não periódica possui espectros contínuos ou contínuos, ou seja, Em vez de pontos individuais, o espectro é representado como uma curva contínua. Isso é obtido como resultado da transição limitante da série para a integral de Fourier: os intervalos entre as linhas espectrais individuais são reduzidos indefinidamente, as linhas se fundem e, em vez de pontos discretos, o espectro é representado por uma sequência contínua de pontos, ou seja, curva contínua. Funções a(c) E b(c) fornece a lei de distribuição de amplitudes e fases iniciais dependendo da frequência c.

Expansão de funções periódicas não sinusoidais

Definições gerais

Parte 1. Teoria dos circuitos lineares (continuação)

ENGENHARIA ELÉTRICA

BASE TEÓRICA

Livro didático para estudantes de especialidades de engenharia de energia elétrica

T. Circuitos elétricos de corrente periódica não senoidal

Como se sabe, na indústria de energia elétrica a forma senoidal é adotada como forma padrão para correntes e tensões. No entanto, em condições reais, os formatos das curvas de corrente e tensão podem diferir em um grau ou outro das curvas senoidais. Distorções nas formas das curvas dessas funções nos receptores levam a perdas adicionais de energia e à diminuição de sua eficiência. O formato senoidal da curva de tensão do gerador é um dos indicadores da qualidade da energia elétrica como produto.

As seguintes razões para a distorção da forma das curvas de corrente e tensão em um circuito complexo são possíveis:

1) a presença no circuito elétrico de elementos não lineares, cujos parâmetros dependem dos valores instantâneos de corrente e tensão [ R, L, C=f(você, eu)], (por exemplo, retificadores, unidades de soldagem elétrica, etc.);

2) a presença no circuito elétrico de elementos paramétricos, cujos parâmetros mudam ao longo do tempo [ R, L, C=f(t)];

3) a fonte de energia elétrica (gerador trifásico), devido às suas características de projeto, não consegue fornecer uma tensão de saída senoidal ideal;

4) influência em combinação dos fatores listados acima.

Circuitos não lineares e paramétricos são discutidos em capítulos separados do curso TOE. Este capítulo examina o comportamento de circuitos elétricos lineares quando expostos a fontes de energia com formato de curva não senoidal.

De um curso de matemática sabemos que qualquer função periódica do tempo f(t), satisfazendo as condições de Dirichlet, pode ser representado por uma série harmônica de Fourier:

Aqui A 0 – componente constante, - k-i componente harmônico ou abreviado k-Eu sou uma gaita. O primeiro harmônico é chamado de fundamental e todos os harmônicos subsequentes são chamados de superiores.

Amplitudes de harmônicos individuais E para não depende da forma como a função é expandida f(t) na série de Fourier, ao mesmo tempo, as fases iniciais dos harmônicos individuais dependem da escolha da referência de tempo (origem).

Os harmônicos individuais da série de Fourier podem ser representados como a soma dos componentes seno e cosseno:

Então toda a série de Fourier ficará assim:

As relações entre os coeficientes das duas formas da série de Fourier têm a forma:

Se k O décimo harmônico e seus componentes seno e cosseno são substituídos por números complexos, então a relação entre os coeficientes da série de Fourier pode ser representada de forma complexa:

Se uma função de tempo periódica não senoidal é dada (ou pode ser expressa) analiticamente na forma de uma equação matemática, então os coeficientes da série de Fourier são determinados por fórmulas conhecidas em um curso de matemática:

Na prática, a função não sinusoidal em estudo f(t) geralmente é dado na forma de um diagrama gráfico (graficamente) (Fig. 118) ou na forma de uma tabela de coordenadas de pontos (tabular) no intervalo de um período (Tabela 1). Para realizar uma análise harmônica de tal função usando as equações acima, ela deve primeiro ser substituída por uma expressão matemática. Substituir uma função especificada graficamente ou tabularmente por uma equação matemática é chamado de aproximação de função.