Tema: “Função: conceito, métodos de atribuição, características principais. Função inversa

13.10.2021

Função de construção

Oferecemos a sua atenção um serviço de construção de gráficos de funções online, cujos direitos pertencem à empresa Desmos. Use a coluna da esquerda para inserir funções. Você pode inserir manualmente ou usando o teclado virtual na parte inferior da janela. Para ampliar a janela com o gráfico, você pode ocultar a coluna esquerda e o teclado virtual.

Benefícios dos gráficos online

Exibição visual das funções inseridas
Construindo gráficos muito complexos
Construção de gráficos especificados implicitamente (por exemplo, elipse x^2/9+y^2/16=1)
A capacidade de salvar gráficos e receber um link para eles, que fica disponível para todos na Internet
Controlando a escala e a cor da linha
Possibilidade de traçar gráficos por pontos, utilizando constantes
Traçando vários gráficos de funções simultaneamente
Plotando em coordenadas polares (use r e θ(\theta))

Conosco é fácil construir gráficos de complexidade variada online. A construção é feita instantaneamente. O serviço é solicitado para encontrar pontos de intersecção de funções, para representar gráficos para movê-los posteriormente para um documento do Word como ilustrações na resolução de problemas, para analisar as características comportamentais dos gráficos de funções. O navegador ideal para trabalhar com gráficos nesta página do site é o Google Chrome. A operação correta não é garantida ao usar outros navegadores.

Na comunidade científica, uma piada amplamente conhecida sobre este tema é que a “não linearidade” é comparada a um “não-elefante” - todas as criaturas que não sejam “elefantes” são “não-elefantes”. A semelhança reside no facto de a maioria dos sistemas e fenómenos no mundo que nos rodeia serem não lineares, com algumas excepções. Ao contrário disso, na escola aprendemos o pensamento "linear", o que é muito ruim em termos de nossa prontidão para perceber a não-linearidade generalizada do Universo, seja nos seus aspectos físicos, biológicos, psicológicos ou sociais. A não linearidade concentra em si uma das principais dificuldades de cognição do mundo circundante uma vez que os efeitos, na sua massa total, não são proporcionais às causas, duas causas, ao interagirem, não são aditivas, ou seja, os efeitos são mais complexos do que uma simples superposição, funções das causas. Ou seja, o resultado resultante da presença e influência de duas causas agindo simultaneamente não é a soma dos resultados obtidos na presença de cada uma das causas separadamente, na ausência da outra causa.

Definição 9. Se, em um determinado intervalo X, uma função z-φ(lz) com um conjunto de valores Z é definida e uma função y =/(z) é definida no conjunto Z, então a função y é uma função complexa de x (ou uma superposição da função) e a variável z - uma variável intermediária de uma função complexa.

A controladoria pode ser representada como uma superposição de três funções clássicas de gestão - contabilidade, controle e análise (retrospectiva). O controlo como função de gestão integrada permite não só preparar uma decisão, mas também garantir o controlo da sua implementação através de ferramentas de gestão adequadas.

Como se sabe /50/, qualquer função de tempo pode ser representada como uma superposição (conjunto) de funções harmônicas simples com diferentes períodos, amplitudes e fases. Em geral, P(t) = f(t),

As características transitórias ou de impulso são determinadas experimentalmente. Quando usados pelo método de superposição, o modelo selecionado de ação de entrada é primeiro decomposto em "funções de tempo" elementares e, em seguida, as respostas a elas são resumidas. A última operação às vezes é chamada de convolução, e as integrais nas expressões (24) ... (29) são integrais de convolução. Eles escolhem aquele cuja função integrando é mais simples.

Este teorema reduz o problema do extremo condicional a uma superposição de problemas de extremos incondicionais. Na verdade, vamos definir a função R (g)

Superposição ((>(f(x)), onde y(y) é uma função convexa não decrescente de uma variável, /(x) é uma função convexa, é uma função convexa.

Exemplo 3.28. Voltemos ao Exemplo 3.27. Na Fig. A Figura 3.24 mostra na forma de uma curva tracejada-pontilhada o resultado da superposição de duas funções de pertinência correspondentes aos quantificadores presentes neste exemplo. Usando um nível de corte de 0,7, intervalos difusos são obtidos no eixo x. Agora podemos dizer que o despachante deve esperar uma mudança no plano

Outra forma de definir a função F, diferente do método de superposição, é que quando qualquer quantificador é aplicado a outro quantificador, ocorre uma certa transformação monotônica da função de pertinência original, que se resume a esticar e deslocar o máximo da função em um direção ou outra.

Exemplo 3.29. Na Fig. A Figura 3.25 mostra dois resultados obtidos usando superposição e deslocamento de estiramento para o caso em que XA e X correspondem frequentemente ao quantificador. A diferença parece ser que a superposição isola na função de pertinência aqueles valores que ocorrem com frequência. No caso de deslocamento e alongamento, podemos interpretar o resultado como o aparecimento de um novo quantificador com o valor frequentemente-frequentemente, que pode, se desejado, ser aproximado, por exemplo, pelo valor muito frequentemente.

Mostre que a superposição de uma função estritamente crescente e uma função de utilidade que representa alguma relação de preferência > também é uma função de utilidade que representa essa relação de preferência. Qual das seguintes funções pode atuar como tal transformação?

A primeira das relações (2) nada mais é do que um registro da regra segundo a qual cada função F(x) pertencente à família das funções absolutamente contínuas monotonicamente não decrescentes está associada a uma e apenas uma função contínua w(j). Esta regra é linear, ou seja, o princípio da superposição é verdadeiro para ele

Prova. Se o mapeamento F for contínuo, a função M0 é contínua como uma superposição de funções contínuas. Para provar a segunda parte da afirmação, considere a função

Funções complexas (superposições)

O método de transformações funcionais também envolve o uso de uma abordagem heurística. Por exemplo, o uso de transformações logarítmicas como operadores B e C leva a critérios de informação para a construção de modelos identificáveis e ao uso de uma poderosa ferramenta de teoria da informação. Deixe o operador B representar uma superposição dos operadores de multiplicação pela função,(.) e deslocamento pela função K0(), o operador C é o operador

Aqui iremos delinear os resultados da resolução de uma série de problemas variacionais (1)-(3). Eles foram resolvidos pelo método de linearização sequencial (19-21) já em 1962-1963, quando a tecnologia do método estava apenas começando a tomar forma e sendo testada. Portanto, focaremos apenas em alguns detalhes. Em primeiro lugar, notamos que as funções C e C2 foram especificadas por expressões bastante complexas, que são uma superposição de funções auxiliares, inclusive aquelas especificadas em tabelas. Portanto, ao resolver o sistema conjugado φ = -fx usando funções especificadas em uma tabela. Normalmente, tais tabelas contêm um pequeno número de valores para um conjunto de nós no intervalo de mudanças no argumento independente, e entre eles a função é interpolada linearmente, uma vez que o uso de métodos de interpolação mais precisos não se justifica devido ao imprecisão dos próprios valores da tabela (via de regra, as dependências funcionais de natureza experimental são especificadas pelas tabelas). Entretanto, para nossos propósitos, precisamos de funções diferenciáveis /(x, u), então devemos preferir métodos suaves para completar uma função especificada por tabela (por exemplo, usando splines).

Sejam agora (DA e (q) funções arbitrárias correspondentes a alguns valores dos quantificadores de frequência. A Figura 3.23 mostra duas curvas de uma curva correspondentes a essas funções. O resultado de sua superposição é uma curva de duas curvas, mostrada por um linha tracejada. Qual é o seu significado Se, por exemplo, (SIM raramente existe, e (d - frequentemente,

A vantagem deste método de determinação de F é que durante as transformações monotônicas a forma da função de pertinência não muda drasticamente. Sua unimodalidade ou monotonicidade é preservada, e a transição de um novo tipo de função (2.16) tem formato trapezoidal, então a superposição linear (2.15) é um número difuso trapezoidal (o que é facilmente comprovado ao usar a regra de cálculo de segmento). E podemos reduzir operações com funções de pertinência a operações com seus vértices. Se denotarmos o número trapezoidal (2.16) como (ab a2, az, a4), onde a corresponde à abcissa dos vértices do trapézio, então

Vamos conhecer o conceito de superposição (ou imposição) de funções, que consiste em substituir uma função de outro argumento no lugar do argumento de uma determinada função. Por exemplo, uma superposição de funções dá uma função, e as funções são obtidas de forma semelhante

Em geral, suponha que uma função seja definida em um determinado domínio e a função seja definida em um domínio e seus valores estejam todos contidos no domínio Então a variável z, como dizem, por meio de y, é ela mesma uma função de.

Dado um determinado valor, eles primeiro encontram o valor y correspondente a ele (de acordo com a regra caracterizada por um sinal) e, em seguida, definem o valor y correspondente (de acordo com a regra

caracterizado por um sinal, seu valor é considerado correspondente ao x selecionado. A função resultante de uma função ou função complexa é o resultado de uma superposição de funções

A suposição de que os valores da função não ultrapassam os limites da região Y em que a função é definida é muito significativa: se for omitida, pode resultar em absurdo. Por exemplo, assumindo que só podemos considerar os valores de x para os quais, de outra forma, a expressão não faria sentido.

Consideramos útil enfatizar aqui que a caracterização de uma função como complexa não está relacionada com a natureza da dependência funcional de z em relação a x, mas apenas com a forma como essa dependência é especificada. Por exemplo, deixe para y em Então

Aqui a função acabou sendo especificada como uma função complexa.

Agora que o conceito de superposição de funções está totalmente compreendido, podemos caracterizar com precisão a mais simples das classes de funções que são estudadas na análise: estas são, em primeiro lugar, as funções elementares listadas acima e depois todas aquelas que são obtidas a partir delas usando quatro operações aritméticas e superposições, aplicadas sucessivamente um número finito de vezes. Diz-se que são expressos através do elementar em sua forma final; às vezes eles também são chamados de elementares.

Posteriormente, tendo dominado um aparato analítico mais complexo (séries infinitas, integrais), conheceremos outras funções que também desempenham um papel importante na análise, mas já vão além da classe das funções elementares.

Que haja 2 funções:

: A→B e g: D→F

Seja o domínio de definição D da função g incluído no domínio de valores da função f (DB). Então você pode definir uma nova função - superposição (composição, função complexa) funções f e g: z= g( (x)).

Exemplos. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Definição

Que haja duas funções. Então sua composição é a função definida pela igualdade:

Propriedades de composição

A composição é associativa:

Se F= identificação X- mapeamento idêntico para X, aquilo é

Se G= identificação S- mapeamento idêntico para S, aquilo é

Propriedades adicionais

Conjuntos contáveis e incontáveis.

Dois conjuntos finitos consistem em um número igual de elementos se uma correspondência biunívoca puder ser estabelecida entre esses conjuntos. O número de elementos de um conjunto finito é a cardinalidade do conjunto.

Para um conjunto infinito, pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre todo o conjunto e sua parte.

O mais simples dos conjuntos infinitos é o conjunto N.

Definição. Os conjuntos A e B são chamados equivalente(AB), se uma correspondência biunívoca puder ser estabelecida entre eles.

Se dois conjuntos finitos são equivalentes, então eles consistem no mesmo número de elementos.

Se os conjuntos A e B equivalentes entre si são arbitrários, então dizemos que A e B têm o mesmo poder. (potência = equivalência).

Para conjuntos finitos, o conceito de cardinalidade coincide com o conceito de número de elementos do conjunto.

Definição. O conjunto é chamado contável, se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre ele e o conjunto dos números naturais. (Ou seja, um conjunto contável é infinito, equivalente ao conjunto N).

(Ou seja, todos os elementos de um conjunto contável podem ser numerados).

Propriedades de relações iguais de poder.

1) AA - reflexividade.

2) AB, depois BA – simetria.

3) AB e BC, então AC é transitividade.

Exemplos.

1) n→2n, 2,4,6,… - mesmo naturais

2) n→2n-1, 1,3,5,… - naturais ímpares.

Propriedades de conjuntos contáveis.

1. Subconjuntos infinitos de um conjunto contável são contáveis.

Prova. Porque A é contável, então A: x 1, x 2,... - mapeou A para N.

ВА, В: →1,→2,… - atribuiu cada elemento B a um número natural, ou seja, mapeou B para N. Portanto B é contável. Etc.

2. A união de um sistema finito (contável) de conjuntos contáveis é contável.

Exemplos.

1. O conjunto de inteiros Z é contável, porque o conjunto Z pode ser representado como uma união dos conjuntos contáveis A e B, onde A: 0,1,2,.. e B: -1,-2,-3,...

2. Muitos encomendado pares ((m,n): m,nZ) (ou seja, (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . O conjunto dos números racionais é contável.

Q=. Pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto de frações irredutíveis Q e o conjunto de pares ordenados:

Que. o conjunto Q é equivalente ao conjunto ((p,q))((m,n)).

O conjunto ((m,n)) – o conjunto de todos os pares ordenados – é contável. Consequentemente, o conjunto ((p,q)) é contável e, portanto, Q é contável.

Definição. Um número irracional é um decimal infinito arbitrário não periódico fração, ou seja,  0 , 1  2 …

O conjunto de todas as frações decimais forma o conjunto números reais (reais).

O conjunto dos números irracionais é incontável.

Teorema 1. O conjunto dos números reais do intervalo (0,1) é um conjunto incontável.

Prova. Vamos supor o oposto, ou seja, que todos os números no intervalo (0,1) podem ser numerados. Então, escrevendo esses números na forma de frações decimais infinitas, obtemos a sequência:

x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22…a 2n…

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Consideremos agora o número real x=0,b 1 b 2 …b n…, onde b 1 é qualquer número diferente de a 11, (0 e 9), b 2 é qualquer número diferente de a 22, (0 e 9 ) ,…, b n - qualquer número diferente de a nn, (0 e 9).

Que. x(0,1), mas xx i (i=1,…,n) porque caso contrário, b i =a ii . Chegamos a uma contradição. Etc.

Teorema 2. Qualquer intervalo do eixo real é um conjunto incontável.

Teorema 3. O conjunto dos números reais é incontável.

Sobre qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos números reais diz-se que é potência contínua(Latim continuum – contínuo, contínuo).

Exemplo. Mostremos que o intervalo tem o poder de um contínuo.

A função y=tg x: →R exibe o intervalo em toda a reta numérica (gráfico).

Dispositivos lógicos discretos de ciclo único (sem elementos de memória) implementam na saída um determinado conjunto de funções de álgebra lógica `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), que em cada momento dependem apenas do estado das entradas do dispositivo `x n =(x 1 ,x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). Na prática, tais dispositivos são projetados e fabricados a partir de elementos indivisíveis separados que implementam um determinado conjunto (sistema) ( f) funções elementares da álgebra, conectando as saídas de alguns elementos às entradas de outros.

Ao projetar dispositivos lógicos, as seguintes questões são relevantes.

1. É dado um sistema de funções elementares ( f). Quais são as funções de saída F eu pode ser obtido usando funções de ( f}?

2. Um conjunto de funções booleanas de saída ( F) (em particular, igual a todo o conjunto de funções da álgebra da lógica R 2). Qual deve ser o sistema inicial de funções elementares ( f), proporcionando a possibilidade de obter na saída qualquer uma das funções do conjunto ( F}?

Para dar uma resposta razoável a essas questões, são utilizados os conceitos de superposição, fechamento e completude de sistemas de funções.

Definição. Vamos considerar um conjunto de conectivos lógicos ( F), correspondendo a algum sistema de funções ( f} . Superposição acabou{f) é qualquer função j que pode ser realizada por uma fórmula sobre ( F}.

Na prática, a superposição pode ser representada como o resultado da substituição de funções de ( f) como argumentos para uma função do mesmo conjunto.

Exemplo 1. Considere um sistema de funções ( f} = {f 1 (X) =`x,f 2 (x,y)= X&sim, f 3 (x,y)=XÚ e). Substituindo na função f 3 (x,y) em vez do primeiro argumento X função f 1 (X), em vez do segundo - f 2 (x,y), obtemos a superposição h(x,y)=f 3 (f 1 (X),f 2 (x,y))=`xÚ X& no. A implementação física da substituição é dada na Figura 1.18.

Definição. Deixar M-certo conjunto de funções de álgebra lógica ( P 2). O conjunto de todas as superposições sobre M chamado curto circuito conjuntos M e é denotado por [ M]. Recebendo [ M]pelo conjunto original M chamado operação de fechamento. Um monte de M chamado classe funcionalmente fechada, Se [ M] = M. Subconjunto euÍ M chamado sistema funcionalmente completo em M, Se [ eu] = M.

Fecho [ M] representa todo o conjunto de funções que podem ser obtidas de M aplicando a operação de superposição, ou seja, todas as substituições possíveis.

Notas. 1. Obviamente, qualquer sistema de funções ( f) é funcionalmente completo por si só.

2 . Sem perda de generalidade, podemos assumir que a função identidade f(X)=x, que não altera os valores verdade das variáveis, faz inicialmente parte de qualquer sistema de funções.

Exemplo 2. Para os sistemas de funções discutidos abaixo ( f) faça o seguinte:

1) encontre o fechamento [ f],

2) descobrir se o sistema ( f) aula fechada,

3) encontrar sistemas funcionalmente completos em ( f}.

Solução.

EU. ( f}={0} . Ao substituir a função ( fº 0) nós o recebemos em nós mesmos, ou seja, nenhuma nova função é criada. Isso implica: [ f] = {f). O sistema considerado é uma classe funcionalmente fechada. O sistema funcionalmente completo nele é único e igual ao todo ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Substituição Ø (Ø X) fornece uma função idêntica que não estende formalmente o sistema original. Porém, ao substituir Ø (0) obtemos uma unidade idêntica - uma nova função que não estava no sistema original: Ø (0)=1 . A aplicação de todas as outras substituições não leva ao aparecimento de novas funções, por exemplo: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.

Assim, a utilização da operação de superposição possibilitou a obtenção de um conjunto de funções mais amplo que o original [ f]=(0,Ø ,1). Isso implica uma entrada estrita: ( f} Ì [ f]. Sistema de origem ( f) não é uma classe funcionalmente fechada. Além do próprio sistema ( f) não contém outros sistemas funcionalmente completos, pois no caso de seu estreitamento de uma função f = 0 não pode ser negado por substituição e zero idêntico não pode ser obtido apenas pela função de negação.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).O fechamento deste sistema é todo o conjunto de funções da álgebra da lógica P 2, já que a fórmula de qualquer um deles pode ser representada como DNF ou CNF, que utiliza funções elementares ( f) = (& ,Ú ,Ø). Este fato é uma prova construtiva da completude do sistema de funções considerado em P 2: [f]=P 2 .

Desde em P 2 contém um número infinito de outras funções além de ( f) = (& ,Ú ,Ø ), então isso implica uma ocorrência estrita: ( f}Ì[ f]. O sistema considerado não é uma classe funcionalmente fechada.

Além do próprio sistema, os subsistemas serão funcionalmente completos ( f) 1 = (& ,Ø ) e ( f) 2 = (Ú ,Ø ). Isto decorre do fato de que, usando as regras de De Morgan, a função de adição lógica Ú pode ser expressa através de (& , Ø), e a função de multiplicação lógica & através de (Ú, Ø):

(X & no) = Ø (` XÚ` no), (X Ú no) = Ø ( X &`no).

Outros subsistemas funcionalmente completos em ( f) Não.

Verificando a integridade do subsistema de função ( f) 1M ( f)em todo o sistema ( f)pode ser produzido misturando ( f) 1 para outro, obviamente completo em ( f)sistema.

Incompletude do subsistema ( f) 1 em ( f)pode ser verificado provando a ocorrência estrita de [ f 1 ] M [ f].

Definição. Subconjunto euÍ M chamado base funcional(base)sistemas M, Se [ eu] = M, e depois de excluir qualquer função dela, o conjunto de funções restantes não está completo em M .

Comente. Bases do sistema de funções (f) são todos os seus subsistemas funcionalmente completos (f) 1, que não pode ser reduzido sem perda de completude em (f).

Exemplo 3. Para todos os sistemas considerados no Exemplo 2, encontre as bases.

Solução.Nos casos 1 e 2, apenas os próprios sistemas estão funcionalmente completos e é impossível restringi-los. Conseqüentemente, eles também são bases.

No caso 3, existem dois funcionalmente completos em ( f)subsistemas ( f) 1 = (&,Ø ) e ( f) 2 =(Ú,Ø ), que não pode ser reduzido sem perda de completude. Eles serão as bases do sistema ( f} = {&,Ú,Ø}.

Definição. Deixe o sistema ( f) é uma classe fechada. Seu subconjunto ( f) 1M ( f) são chamados classe júnior em{f), Se ( f) 1 não está completo em ( f} ([f 1 ] M [ f]), e para qualquer função j do sistema ( f), não incluído em ( f) 1 (jО( f} \ {f) 1) verdadeiro: [ jÈ { f} 1 ] = [f], ou seja adicionando jк ( f) 1 completa em ( f} .

Tarefas

1. Verifique o fechamento dos conjuntos de funções:

a) (Ø); b) (1,Ø); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); …).

2. Verifique a integridade dos sistemas funcionais em P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V); d) ((0001) , (1010) ).

3. Encontre o fechamento do sistema de funções e sua base:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 Funções que preservam constantes. Classes T 0 e T 1

Definição. Função f(`x n) economizar 0 se f(0,..., 0) = 0. Função f(`x n) economizar 1 se f(1, ... , 1) = 1.

Muitos recursos n variáveis que armazenam 0 e 1 são denotadas, respectivamente, T 0 n E T 1 n. Todos os conjuntos de funções de álgebra lógica que preservam 0 e 1 , denotar T 0 E T 1. Cada um dos conjuntos T 0 e T 1 é uma aula pré-completa fechada em R 2 .

Das funções elementares até T 0 e T 1 são incluídos simultaneamente, por exemplo, & e Ú. Pertencimento de qualquer função a classes T 0 , T 1 pode ser verificado pelo primeiro e último valor de seu vetor de valores na tabela verdade ou substituindo diretamente zeros e uns na fórmula ao especificar a função analiticamente.

Definição.Duplicadoé uma substituição em que a mesma variável é substituída em uma função em vez de várias variáveis independentes. Neste caso, os valores das variáveis em conjuntos que anteriormente assumiam valores independentemente uns dos outros serão sempre os mesmos.

TAREFAS

1. Verifique a participação na classe T 0 E T1 funções:

a) adição generalizada, b) multiplicação generalizada, c) constantes, d) xyÚ yz, d) X® no® xy, e) XÅ no, e)( X 1Å … Å X n) ® ( sim 1Å … Å sim m) em n,mÎ N.