Ao trabalhar com matrizes, às vezes é necessário transpô-las, ou seja, em palavras simples, virá-las. Claro, você pode inserir os dados manualmente, mas o Excel oferece várias maneiras de fazer isso de forma mais fácil e rápida. Vamos examiná-los em detalhes.

A transposição de matrizes é o processo de troca de colunas e linhas. O Excel tem duas opções de transposição: usando a função TRANSSP e usando a ferramenta especial de inserção. Vejamos cada uma dessas opções com mais detalhes.

Método 1: operador TRANSPOSE

Função TRANSSP pertence à categoria de operadores "Links e matrizes". A peculiaridade é que, assim como outras funções que trabalham com arrays, o resultado de saída não é o conteúdo da célula, mas um array de dados inteiro. A sintaxe da função é bastante simples e fica assim:

TRANSP(matriz)

Ou seja, o único argumento deste operador é uma referência ao array, no nosso caso a matriz, que deve ser convertida.

Vamos ver como esta função pode ser aplicada usando um exemplo com uma matriz real.

1. Selecionamos uma célula vazia na planilha, que planejamos tornar a célula superior esquerda da matriz transformada. A seguir, clique no ícone "Inserir função", localizado próximo à barra de fórmulas.



2. Lançamento em andamento Assistentes de função. Abra a categoria nele "Links e matrizes" ou "Lista alfabética completa". Depois de encontrar o nome "TRANSPER", selecione-o e clique no botão "OK".



3. A janela de argumentos da função é aberta TRANSSP. O único argumento deste operador corresponde ao campo "Variedade". Você precisa inserir as coordenadas da matriz que precisa ser virada. Para isso, posicione o cursor no campo e, mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse, selecione todo o intervalo da matriz na planilha. Após o endereço da área ser exibido na janela de argumentos, clique no botão "OK".



4. Mas, como podemos ver, na célula que se destina a exibir o resultado, um valor incorreto é exibido na forma de um erro "#VALOR!". Isso se deve à forma como os operadores de array funcionam. Para corrigir este erro, selecione um intervalo de células em que o número de linhas deve ser igual ao número de colunas da matriz original e o número de colunas deve ser igual ao número de linhas. Essa correspondência é muito importante para que o resultado seja exibido corretamente. Neste caso, a célula que contém a expressão "#VALOR!" deve ser a célula superior esquerda do array selecionado e é a partir desta célula que o procedimento de seleção deve começar mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse. Depois de fazer a seleção, coloque o cursor na barra de fórmulas imediatamente após a expressão do operador TRANSSP, que deve aparecer nele. Depois disso, para realizar o cálculo, é necessário pressionar o botão Digitar, como é habitual nas fórmulas convencionais, e disque a combinação Ctrl+Shift+Enter.



5. Após essas ações, a matriz foi exibida conforme precisávamos, ou seja, na forma transposta. Mas há outro problema. O fato é que agora a nova matriz é um array vinculado por uma fórmula que não pode ser alterada. Ao tentar fazer qualquer alteração no conteúdo da matriz, um erro aparecerá. Alguns usuários estão bastante satisfeitos com este estado de coisas, pois não pretendem fazer alterações no array, mas outros precisam de uma matriz com a qual possam trabalhar plenamente.

   Para resolver este problema, selecionamos todo o intervalo transposto. Movendo para a guia "Lar" clique no ícone "Cópia de", que está localizado na faixa de opções do grupo "Prancheta". Em vez da ação especificada, após selecionar, você pode definir um atalho de teclado padrão para copiar Ctrl+C.



6. A seguir, sem remover a seleção do intervalo transposto, clique com o botão direito sobre ela. No menu de contexto do grupo "Inserir opções" clique no ícone "Valores", que se parece com um pictograma representando números.

   

   Depois disso, a fórmula de matriz TRANSSP será excluído e apenas um valor permanecerá nas células, que pode ser trabalhado da mesma forma que na matriz original.

Método 2: transposição de matriz usando colar especial

Além disso, a matriz pode ser transposta usando um item do menu de contexto chamado "Inserir especial".

Após essas etapas, apenas a matriz transformada permanecerá na planilha.

Com os mesmos dois métodos discutidos acima, você pode transpor não apenas matrizes, mas também tabelas completas para o Excel. O procedimento será quase idêntico.

Assim, descobrimos que no Excel a matriz pode ser transposta, ou seja, invertida trocando colunas e linhas, de duas maneiras. A primeira opção envolve usar a função TRANSSP e o segundo é Colar Ferramentas Especiais. Em geral, o resultado final obtido ao usar ambos os métodos não é diferente. Ambos os métodos funcionam em quase todas as situações. Portanto, ao escolher uma opção de conversão, as preferências pessoais de um determinado usuário vêm à tona. Ou seja, qual desses métodos é mais conveniente para você pessoalmente, use aquele.

Transpor uma matriz através desta calculadora online não levará muito tempo, mas dará resultados rapidamente e ajudará você a entender melhor o processo em si.

Às vezes, em cálculos algébricos, é necessário trocar as linhas e colunas de uma matriz. Esta operação é chamada de transposição de matrizes. As linhas em ordem tornam-se colunas e a própria matriz é transposta. Existem certas regras nesses cálculos e, para entendê-las e se familiarizar visualmente com o processo, use esta calculadora online. Isso tornará sua tarefa muito mais fácil e ajudará você a entender melhor a teoria da transposição de matrizes. Uma vantagem significativa desta calculadora é a demonstração de uma solução expandida e detalhada. Assim, a sua utilização promove uma compreensão mais profunda e informada dos cálculos algébricos. Além disso, com sua ajuda você sempre pode verificar o sucesso da tarefa, transpondo as matrizes manualmente.

A calculadora é muito fácil de usar. Para encontrar uma matriz transposta online, especifique o tamanho da matriz clicando nos ícones “+” ou “-” até obter o número desejado de colunas e linhas. Em seguida, insira os números necessários nos campos. Abaixo está o botão “Calcular” - clicar nele exibe uma solução pronta com uma explicação detalhada do algoritmo.

Para transpor uma matriz, você precisa escrever as linhas da matriz em colunas.

Se , então a matriz transposta

Se então

Exercício 1. Encontrar

1. Determinantes de matrizes quadradas.

Para matrizes quadradas, é introduzido um número chamado determinante.

Para matrizes de segunda ordem (dimensão) o determinante é dado pela fórmula:

Por exemplo, para uma matriz seu determinante é

Exemplo . Calcular determinantes de matrizes.

Para matrizes quadradas de terceira ordem (dimensão) existe uma regra do “triângulo”: na figura, a linha pontilhada significa multiplicar os números pelos quais a linha pontilhada passa. Os três primeiros números devem ser somados, os próximos três números devem ser subtraídos.

Exemplo. Calcule o determinante.

Para dar uma definição geral de determinante, é necessário introduzir o conceito de menor e de complemento algébrico.

Menor elemento da matriz é chamado de determinante obtido riscando - aquela linha e - aquela coluna.

Exemplo. Vamos encontrar alguns menores da matriz A.

Complemento algébrico elemento é chamado de número.

Isso significa que se a soma dos índices for par, eles não serão diferentes. Se a soma dos índices for ímpar, eles diferem apenas no sinal.

Para o exemplo anterior.

Determinante de matrizé a soma dos produtos dos elementos de uma determinada string

(coluna) aos seus complementos algébricos. Vamos considerar esta definição em uma matriz de terceira ordem.

A primeira entrada é chamada de expansão do determinante na primeira linha, a segunda é a expansão na segunda coluna e a última é a expansão na terceira linha. No total, tais expansões podem ser escritas seis vezes.

Exemplo. Calcule o determinante usando a regra do “triângulo” e expandindo-o ao longo da primeira linha, depois ao longo da terceira coluna e, a seguir, ao longo da segunda linha.

Vamos expandir o determinante ao longo da primeira linha:

Vamos expandir o determinante na terceira coluna:

Vamos expandir o determinante ao longo da segunda linha:

Observe que quanto mais zeros, mais simples serão os cálculos. Por exemplo, expandindo pela primeira coluna, obtemos

Dentre as propriedades dos determinantes existe uma propriedade que permite obter zeros, a saber:

Se você adicionar elementos de outra linha (coluna) aos elementos de uma determinada linha (coluna), multiplicados por um número diferente de zero, o determinante não mudará.

Vamos pegar o mesmo determinante e obter zeros, por exemplo, na primeira linha.

Os determinantes de ordens superiores são calculados da mesma maneira.

Tarefa 2. Calcule o determinante de quarta ordem:

1) espalhando por qualquer linha ou coluna

2) tendo recebido zeros anteriormente

Obtemos um zero adicional, por exemplo, na segunda coluna. Para fazer isso, multiplique os elementos da segunda linha por -1 e adicione-os à quarta linha:

1. Resolução de sistemas de equações algébricas lineares utilizando o método de Cramer.

Mostraremos a solução de um sistema de equações algébricas lineares utilizando o método de Cramer.

Tarefa 2. Resolva o sistema de equações.

Precisamos calcular quatro determinantes. O primeiro é chamado de principal e consiste em coeficientes para incógnitas:

Observe que se, o sistema não pode ser resolvido pelo método de Cramer.

Os três determinantes restantes são denotados por, e são obtidos substituindo a coluna correspondente por uma coluna de lados direitos.

Nós achamos. Para fazer isso, altere a primeira coluna do determinante principal para uma coluna do lado direito:

Nós achamos. Para fazer isso, altere a segunda coluna do determinante principal para uma coluna do lado direito:

Nós achamos. Para fazer isso, altere a terceira coluna do determinante principal para uma coluna do lado direito:

Encontramos a solução do sistema usando as fórmulas de Cramer: , ,

Assim, a solução do sistema é , ,

Vamos fazer uma verificação; para isso, substituiremos a solução encontrada em todas as equações do sistema.

1. Resolução de sistemas de equações algébricas lineares utilizando o método matricial.

Se uma matriz quadrada tem um determinante diferente de zero, existe uma matriz inversa tal que. A matriz é chamada de matriz identidade e tem a forma

A matriz inversa é encontrada pela fórmula:

Exemplo. Encontre o inverso de uma matriz

Primeiro calculamos o determinante.

Encontrando complementos algébricos:

Escrevemos a matriz inversa:

Para verificar os cálculos, você precisa ter certeza de que .

Seja dado um sistema de equações lineares:

Vamos denotar

Então o sistema de equações pode ser escrito em forma de matriz como e, portanto, A fórmula resultante é chamada de método matricial de resolução do sistema.

Tarefa 3. Resolva o sistema usando o método matricial.

Precisamos escrever a matriz do sistema, determinar a sua inversa e depois multiplicá-la pela coluna do lado direito.

Já encontramos a matriz inversa no exemplo anterior, o que significa que podemos encontrar uma solução:

1. Resolução de sistemas de equações algébricas lineares pelo método de Gauss.

O método de Cramer e o método matricial são utilizados apenas para sistemas quadráticos (o número de equações é igual ao número de incógnitas), e o determinante não deve ser igual a zero. Se o número de equações não for igual ao número de incógnitas, ou se o determinante do sistema for zero, utiliza-se o método gaussiano. O método gaussiano pode ser usado para resolver qualquer sistema.

E vamos substituí-lo na primeira equação:

Tarefa 5. Resolva um sistema de equações usando o método gaussiano.

Com base na matriz resultante, restauramos o sistema:

Encontramos uma solução:

A matriz A -1 é chamada de matriz inversa em relação à matriz A se A*A -1 = E, onde E é a matriz identidade de enésima ordem. Uma matriz inversa só pode existir para matrizes quadradas.

Objetivo do serviço. Usando este serviço online você pode encontrar adições algébricas, matriz transposta AT , matriz aliada e matriz inversa. A decisão é realizada diretamente no site (online) e é gratuita. Os resultados dos cálculos são apresentados em relatório em formato Word e Excel (ou seja, é possível verificar a solução). cm. exemplo de projeto.

Instruções. Para obter uma solução é necessário especificar a dimensão da matriz. A seguir, na nova caixa de diálogo, preencha a matriz A.

Veja também Matriz inversa usando o método Jordano-Gauss

Algoritmo para encontrar a matriz inversa

1. Encontrando a matriz transposta AT .
2. Definição de complementos algébricos. Substitua cada elemento da matriz pelo seu complemento algébrico.
3. Compilando uma matriz inversa a partir de adições algébricas: cada elemento da matriz resultante é dividido pelo determinante da matriz original. A matriz resultante é o inverso da matriz original.

Próximo algoritmo para encontrar a matriz inversa semelhante ao anterior exceto por alguns passos: primeiro calculam-se os complementos algébricos e depois determina-se a matriz aliada C.

1. Determine se a matriz é quadrada. Caso contrário, não existe matriz inversa para isso.
2. Cálculo do determinante de uma matriz A. Se não for igual a zero, continuamos a solução, caso contrário a matriz inversa não existe.
3. Definição de complementos algébricos.
4. Preenchendo a matriz de união (mútua, adjunta) C .
5. Compilando uma matriz inversa a partir de adições algébricas: cada elemento da matriz adjunta C é dividido pelo determinante da matriz original. A matriz resultante é o inverso da matriz original.
6. Eles fazem uma verificação: multiplicam as matrizes original e resultante. O resultado deve ser uma matriz identidade.

Exemplo nº 1. Vamos escrever a matriz na forma:

Adições algébricas. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

UMA -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Outro algoritmo para encontrar a matriz inversa

Apresentamos outro esquema para encontrar a matriz inversa.

1. Encontre o determinante de uma determinada matriz quadrada A.
2. Encontramos complementos algébricos para todos os elementos da matriz A.
3. Escrevemos adições algébricas de elementos de linha a colunas (transposição).
4. Dividimos cada elemento da matriz resultante pelo determinante da matriz A.

Como podemos ver, a operação de transposição pode ser aplicada tanto no início, na matriz original, quanto no final, nas adições algébricas resultantes.

Um caso especial: O inverso da matriz identidade E é a matriz identidade E.