Составить экономико-математическую модель и решить задачу с помощью надстройки «Поиск решения».

Решение:

Экономико-математическая модель:

Целевая функция:

целевая функция будет стремиться к минимуму так как мы стремимся минимизировать наши затраты по выполнению работ.

Ограничения:

x ij – равное 1 показывает, что i-го работника необходимо назначить на выполнение j-ой работы.

Экономико-математическая модель задачи составлена. Решим эту задачу с использованием надстройки Excel «Поиск решения».

На рисунке 1 представлен ход работы утилиты «Поиск решения».

Рисунок 1 – Ход работы утилиты Поиск решения

На рисунке 2 представлен результат решения задачи.

Рисунок 2 – Результат решения задачи

Вывод: из рисунка 2 следует, что для того, чтобы общая величина затрат была минимальной необходимо для выполнения работы А1 назначить работника В4, А2 – В3, А3 – В5, А4 – В1, А5 – В2, при этом суммарные затраты будут минимальны и составят 25 ед.

Задача 2 Транспортная задача

Исходная информация транспортной задачи представлена в таблице 2.

Таблица 2 – Исходные данные

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1
А2
А3
Потребности

Определить:

1. приближенный план, схему перевозок, а также его стоимость методом северо-западного угла;

2. приближенный план, схему перевозок, а также его стоимость методом минимального элемента;

3. оптимальный план, схему перевозок, а также его стоимость с помощью надстройки «Поиск решения».

Метод северо-западного угла

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 3 (120-117). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу 3.

Таблица 3 – Распределительная таблица

	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы
А1
А2
А3
Потребности

Первый опорный план начинается заполняться с верхнего левого угла (таблица 4).

Таблица 4 – Опорный план 1

	В1	В2	В3	В4	В5		Запасы
А1						u 1 =0
А2						u 2 =-2
А3						u 3 =-4
	v 1 =3	v 2 =6	v 3 =10	v 4 =5	v 5 =4
Потребности

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 3*30 + 6*10 + 4*17 + 8*23 + 6*7 + 1*30 + 0*3 = 474

u 1 + v 2 = 6; 0 + v 2 = 6; v 2 = 6

u 2 + v 2 = 4; 6 + u 2 = 4; u 2 = -2

u 2 + v 3 = 8; -2 + v 3 = 8; v 3 = 10

u 3 + v 3 = 6; 10 + u 3 = 6; u 3 = -4

u 3 + v 4 = 1; -4 + v 4 = 1; v 4 = 5

u 3 + v 5 = 0; -4 + v 5 = 0; v 5 = 4

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

(1;3): 0 + 10 > 5; ∆ 13 = 0 + 10 - 5 = 5

(1;4): 0 + 5 > 2; ∆ 14 = 0 + 5 - 2 = 3

(1;5): 0 + 4 > 0; ∆ 15 = 0 + 4 - 0 = 4

(2;5): -2 + 4 > 0; ∆ 25 = -2 + 4 - 0 = 2

max(5,3,4,2) = 5

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 5

Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-» (таблица 5).

Таблица 5 – Цикл 1

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
		-		+
А2						u 2 =-2
		+		-
А3						u 3 =-4
	v 1 =3	v 2 =6	v 3 =10	v 4 =5	v 5 =4

Цикл приведен в таблице (1,3 → 1,2 → 2,2 → 2,3).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план (таблица 6).

Таблица 6 – Опорный план 2

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
А2						u 2 =3
А3						u 3 =1
	v 1 =3	v 2 =1	v 3 =5	v 4 =0	v 5 =-1

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 3; 0 + v 1 = 3; v 1 = 3

u 2 + v 3 = 8; 5 + u 2 = 8; u 2 = 3

u 2 + v 2 = 4; 3 + v 2 = 4; v 2 = 1

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

(2;1): 3 + 3 > 3; ∆ 21 = 3 + 3 - 3 = 3

(2;5): 3 -1 > 0; ∆ 25 = 3 -1 - 0 = 2

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 3

Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-» (таблица 7).

Таблица 7 – Цикл 2

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
-				+
А2						u 2 =3
+				-
А3						u 3 =1
	v 1 =3	v 2 =1	v 3 =5	v 4 =0	v 5 =-1

Цикл приведен в таблице (2,1 → 2,3 → 1,3 → 1,1).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 13. Прибавляем 13 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 13 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план 3 (таблица 8).

Таблица 8 – Опорный план 3

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
А2						u 2 =0
А3						u 3 =1
	v 1 =3	v 2 =4	v 3 =5	v 4 =0	v 5 =-1

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 3; 0 + v 1 = 3; v 1 = 3

u 1 + v 3 = 5; 0 + v 3 = 5; v 3 = 5

u 3 + v 3 = 6; 5 + u 3 = 6; u 3 = 1

u 3 + v 4 = 1; 1 + v 4 = 1; v 4 = 0

u 3 + v 5 = 0; 1 + v 5 = 0; v 5 = -1

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

(3;2): 1 + 4 > 3; ∆ 32 = 1 + 4 - 3 = 2

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 3

Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-» (таблица 9).

Таблица 9 – Цикл 3

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
-				+
А2						u 2 =0
+		-
А3						u 3 =1
		+		-
	v 1 =3	v 2 =4	v 3 =5	v 4 =0	v 5 =-1

Цикл 3 приведен в таблице (3,2 → 3,3 → 1,3 → 1,1 → 2,1 → 2,2).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 7. Прибавляем 7 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 7 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план 4.

Таблица 10 – Опорный план 4

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
А2						u 2 =0
А3						u 3 =-1
	v 1 =3	v 2 =4	v 3 =5	v 4 =2	v 5 =1

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 3; 0 + v 1 = 3; v 1 = 3

u 2 + v 1 = 3; 3 + u 2 = 3; u 2 = 0

u 2 + v 2 = 4; 0 + v 2 = 4; v 2 = 4

u 3 + v 5 = 0; -1 + v 5 = 0; v 5 = 1

u 1 + v 3 = 5; 0 + v 3 = 5; v 3 = 5

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

(1;5): 0 + 1 > 0; ∆ 15 = 0 + 1 - 0 = 1

(2;5): 0 + 1 > 0; ∆ 25 = 0 + 1 - 0 = 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;5): 0

Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-» (таблица 11).

Таблица 11 – Цикл 4

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
-								+
А2						u 2 =0
+		-
А3						u 3 =-1
		+						-
	v 1 =3	v 2 =4	v 3 =5	v 4 =2	v 5 =1

Цикл 4 приведен в таблице (1,5 → 1,1 → 2,1 → 2,2 → 3,2 → 3,5).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 5) = 3. Прибавляем 3 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 3 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план 5 (таблица 12).

Таблица 12 – Опорный план 5

	В1	В2	В3	В4	В5
А1						u 1 =0
А2						u 2 =0
		-
А3						u 3 =-1
	v 1 =3	v 2 =4	v 3 =5	v 4 =2	v 5 =0

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 3; 0 + v 1 = 3; v 1 = 3

u 2 + v 1 = 3; 3 + u 2 = 3; u 2 = 0

u 2 + v 2 = 4; 0 + v 2 = 4; v 2 = 4

u 3 + v 2 = 3; 4 + u 3 = 3; u 3 = -1

u 3 + v 4 = 1; -1 + v 4 = 1; v 4 = 2

u 1 + v 3 = 5; 0 + v 3 = 5; v 3 = 5

u 1 + v 5 = 0; 0 + v 5 = 0; v 5 = 0

Опорный план 5 является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u i + v j ≤ c ij .

Минимальные затраты составят:

F(x) = 3*7 + 5*30 + 0*3 + 3*23 + 4*17 + 3*10 + 1*30 = 368

Схема перевозок:

из 1-го склада необходимо груз направить 1-му потребителю в количестве 7 ед., 3-му потребителю в количестве 30 ед.;

из 2-го склада необходимо груз направить 1-му потребителю – 23 ед., 2-му потребителю – 17ед.;

из 3-го склада необходимо груз направить второму потребителю – 10 ед., 4-му – 30 ед.

На 1-ом складе остался невостребованным груз в количестве 3 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x 15 =0.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26

Построение начального опорного плана.

Лекция №3.

Вопросы для самостоятельной подготовки (по учебнику).

1. Медиатор. Виды медиаторов. Свойства медиаторов.

2. Электрические и тормозные синапсы. Особенности передачи сигнала.

3. Пути фармакологической регуляции синаптической передачи возбуждения.

Решение КТЗ методом потенциалов .

Метод потенциалов является модификацией метода последовательного улучшения плана в ЗЛП. Решение задачи включает в себя следующие этапы:

1. Построение начального опорного плана.

2. Проверка опорного плана на оптимальность.

3. Переход в случае необходимости к лучшему опорному плану.

Сначала исходные данные записываются в распределительную таблицу, которая имеет следующий вид:

		v 1	…	v j	…	v n
	А i B j	B 1	…	B j	…	B n	a i
u 1	A 1	C 11		C 1j		C 1n	a 1
…	…					…	…
u i	A i	C i1		C ij		C in	a i
…	…					…	…
u m	A m	C m1		C mj		C mn	a m
	b j	b 1	…	b j	…	b n

Затем необходимо построить начальный опорный план.

Всего существует три метода отыскания начального ОП:

1) Метод северо-западного угла,

2) Метод минимального элемента,

3) Метод Фогеля.

Рассмотрим 2 первых метода.

Построение нач. ОП начинается с левой верхней клетки, которая заполняется элементом . Для этого между пунктами А 1 и В 1 назначается максимально возможный объем перевозки, определяемый как . При этом возможны три случая:

а) . При этом , а все остальные перевозки из пункта производства А 1 . Это означает, что из пункта А 1 вывозится вся произведенная продукция в пункт потребления В 1 , поэтому объем перевозок из А 1 другие пункты потребления равен 0 (нули в таблицу не записываются). Т.К. Из А 1 больше вывозить нечего, то первая строка таблицы вычеркивается, а потребность пункта В 1 уменьшается на величину , т.е. .

б) . При этом , а . Ресурс в А 1 уменьшается на величину , т.е. , а столбец В 1 вычеркивается, т.к. потребность пункта В 1 полностью удовлетворена.

в) . Тогда . В этом случае вычеркивается либо строка, либо столбец (но не оба сразу!). В этом случае опорный план будет являться вырожденным, и чтобы найти нулевые базисные переменные либо строка, либо столбец в таблице остаются. Если вычеркивается строка, то считаем, что в пункте потребления В 1 остается потребность, равная 0, которая в дальнейшем д.б. удовлетворена. Если же вычеркиваем столбец, то считаем, что в пункте производства А 1 остался запас, равный 0, который в дальнейшем д.б. вывезен.

В таблицу заносятся нулевые базисные переменные, но небазисные нули не заносятся, чтобы не спутать их с нулевыми базисными переменными.

Пусть теперь назначен, и один ряд таблицы (строка или столбец) вычеркнуты (закрыты). В оставшейся части таблицы вновь берем левую верхнюю клетку и в ней назначаем максимально возможный объем перевозки с учетом ранее назначенных. В результате закрывается еще один ряд. После назначения в (n+m-1) клетках объемов перевозок получится некоторый опорный план перевозок. В заполненных клетках будут записаны базисные переменные, а переменные в незаполненных клетках будут соответствовать небазисным, которые равны 0 и не записываются, чтобы не спутать с базисными нулями вырожденного опорного плана.

Этап I. Поиск первого опорного плана .

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

План начинается заполняться с верхнего левого угла.

Искомый элемент равен c 11 =7. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 25. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

x 11 = min(20,25) = 20.

Искомый элемент равен c 22 =7. Для этого элемента запасы равны 55, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.

x 22 = min(55,40) = 40.

Искомый элемент равен c 23 =0. Для этого элемента запасы равны 15, потребности 50. Поскольку минимальным является 15, то вычитаем его.

x 23 = min(15,50) = 15.

Искомый элемент равен c 33 =10. Для этого элемента запасы равны 45, потребности 35. Поскольку минимальным является 35, то вычитаем его.

x 33 = min(45,35) = 35.

Искомый элемент равен c 34 =2. Для этого элемента запасы равны 10, потребности 30. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

x 34 = min(10,30) = 10.

Искомый элемент равен c 44 =7. Для этого элемента запасы равны 70, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

x 44 = min(70,20) = 20.

Искомый элемент равен c 45 =8. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 45. Поскольку минимальным является 45, то вычитаем его.

x 45 = min(50,45) = 45.

Потребности

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 9, а должно быть m + n - 1 = 9. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 7*20 + 5*5 + 7*40 + 0*15 + 10*35 + 2*10 + 7*20 + 8*45 + 0*5 = 1315

Этап II. Улучшение опорного плана .

предварительные потенциалы

u 4 + v 4 = 7; -6 + u 4 = 7; u 4 = 13

u 4 + v 5 = 8; 13 + v 5 = 8; v 5 = -5

u 4 + v 6 = 0; 13 + v 6 = 0; v 6 = -13

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (1;2): 0 + 9 > 3; ? 12 = 0 + 9 - 3 = 6
• (3;1): 8 + 7 > 1; ? 31 = 8 + 7 - 1 = 14
• (3;2): 8 + 9 > 4; ? 32 = 8 + 9 - 4 = 13
• (4;1): 13 + 7 > 3; ? 41 = 13 + 7 - 3 = 17
• (4;2): 13 + 9 > 4; ? 42 = 13 + 9 - 4 = 18
• (4;3): 13 + 2 > 2; ? 43 = 13 + 2 - 2 = 13

max(6,14,13,17,18,13) = 18

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;2): 4

Для этого в перспективную клетку (4;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (4,2 > 4,4 > 3,4 > 3,3 > 2,3 > 2,2).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 4) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 7; 0 + v 1 = 7; v 1 = 7

u 2 + v 1 = 5; 7 + u 2 = 5; u 2 = -2

u 2 + v 2 = 7; -2 + v 2 = 7; v 2 = 9

u 2 + v 3 = 0; -2 + v 3 = 0; v 3 = 2

u 3 + v 3 = 10; 2 + u 3 = 10; u 3 = 8

u 3 + v 4 = 2; 8 + v 4 = 2; v 4 = -6

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (1;2): 0 + 9 > 3; ? 12 = 0 + 9 - 3 = 6
• (1;5): 0 + 13 > 6; ? 15 = 0 + 13 - 6 = 7
• (1;6): 0 + 5 > 0; ? 16 = 0 + 5 - 0 = 5
• (2;5): -2 + 13 > 3; ? 25 = -2 + 13 - 3 = 8
• (2;6): -2 + 5 > 0; ? 26 = -2 + 5 - 0 = 3
• (3;1): 8 + 7 > 1; ? 31 = 8 + 7 - 1 = 14
• (3;2): 8 + 9 > 4; ? 32 = 8 + 9 - 4 = 13
• (3;5): 8 + 13 > 6; ? 35 = 8 + 13 - 6 = 15
• (3;6): 8 + 5 > 0; ? 36 = 8 + 5 - 0 = 13

max(6,7,5,8,3,14,13,15,13) = 15

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;5): 6

Для этого в перспективную клетку (3;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (3,5 > 3,3 > 2,3 > 2,2 > 4,2 > 4,5).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 15. Прибавляем 15 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 15 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 7; 0 + v 1 = 7; v 1 = 7

u 2 + v 1 = 5; 7 + u 2 = 5; u 2 = -2

u 2 + v 2 = 7; -2 + v 2 = 7; v 2 = 9

u 4 + v 2 = 4; 9 + u 4 = 4; u 4 = -5

u 4 + v 5 = 8; -5 + v 5 = 8; v 5 = 13

u 3 + v 5 = 6; 13 + u 3 = 6; u 3 = -7

u 3 + v 4 = 2; -7 + v 4 = 2; v 4 = 9

u 4 + v 6 = 0; -5 + v 6 = 0; v 6 = 5

u 2 + v 3 = 0; -2 + v 3 = 0; v 3 = 2

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (1;2): 0 + 9 > 3; ? 12 = 0 + 9 - 3 = 6
• (1;4): 0 + 9 > 8; ? 14 = 0 + 9 - 8 = 1
• (1;5): 0 + 13 > 6; ? 15 = 0 + 13 - 6 = 7
• (1;6): 0 + 5 > 0; ? 16 = 0 + 5 - 0 = 5
• (2;4): -2 + 9 > 2; ? 24 = -2 + 9 - 2 = 5
• (2;5): -2 + 13 > 3; ? 25 = -2 + 13 - 3 = 8
• (2;6): -2 + 5 > 0; ? 26 = -2 + 5 - 0 = 3

max(6,1,7,5,5,8,3) = 8

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 3

Для этого в перспективную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (2,5 > 2,2 > 4,2 > 4,5).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 7; 0 + v 1 = 7; v 1 = 7

u 2 + v 1 = 5; 7 + u 2 = 5; u 2 = -2

u 2 + v 3 = 0; -2 + v 3 = 0; v 3 = 2

u 2 + v 5 = 3; -2 + v 5 = 3; v 5 = 5

u 3 + v 5 = 6; 5 + u 3 = 6; u 3 = 1

u 3 + v 4 = 2; 1 + v 4 = 2; v 4 = 1

u 4 + v 5 = 8; 5 + u 4 = 8; u 4 = 3

u 4 + v 2 = 4; 3 + v 2 = 4; v 2 = 1

u 4 + v 6 = 0; 3 + v 6 = 0; v 6 = -3

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (3;1): 1 + 7 > 1; ? 31 = 1 + 7 - 1 = 7
• (4;1): 3 + 7 > 3; ? 41 = 3 + 7 - 3 = 7
• (4;3): 3 + 2 > 2; ? 43 = 3 + 2 - 2 = 3

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 1

Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (3,1 > 3,5 > 2,5 > 2,1).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 7; 0 + v 1 = 7; v 1 = 7

u 3 + v 5 = 6; -6 + v 5 = 6; v 5 = 12

u 2 + v 5 = 3; 12 + u 2 = 3; u 2 = -9

u 2 + v 3 = 0; -9 + v 3 = 0; v 3 = 9

u 4 + v 5 = 8; 12 + u 4 = 8; u 4 = -4

u 4 + v 2 = 4; -4 + v 2 = 4; v 2 = 8

u 4 + v 6 = 0; -4 + v 6 = 0; v 6 = 4

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (1;2): 0 + 8 > 3; ? 12 = 0 + 8 - 3 = 5
• (1;3): 0 + 9 > 4; ? 13 = 0 + 9 - 4 = 5
• (1;5): 0 + 12 > 6; ? 15 = 0 + 12 - 6 = 6
• (1;6): 0 + 4 > 0; ? 16 = 0 + 4 - 0 = 4
• (4;3): -4 + 9 > 2; ? 43 = -4 + 9 - 2 = 3

max(5,5,6,4,3) = 6

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;5): 6

Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (1,5 > 1,1 > 3,1 > 3,5).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 5) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 1 = 7; 0 + v 1 = 7; v 1 = 7

u 3 + v 1 = 1; 7 + u 3 = 1; u 3 = -6

u 3 + v 4 = 2; -6 + v 4 = 2; v 4 = 8

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (2;4): -3 + 8 > 2; ? 24 = -3 + 8 - 2 = 3
• (4;1): 2 + 7 > 3; ? 41 = 2 + 7 - 3 = 6
• (4;3): 2 + 3 > 2; ? 43 = 2 + 3 - 2 = 3
• (4;4): 2 + 8 > 7; ? 44 = 2 + 8 - 7 = 3

max(3,6,3,3) = 6

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;1): 3

Для этого в перспективную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (4,1 > 4,5 > 1,5 > 1,1).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 5 = 6; 0 + v 5 = 6; v 5 = 6

u 2 + v 5 = 3; 6 + u 2 = 3; u 2 = -3

u 2 + v 3 = 0; -3 + v 3 = 0; v 3 = 3

u 4 + v 5 = 8; 6 + u 4 = 8; u 4 = 2

u 4 + v 1 = 3; 2 + v 1 = 3; v 1 = 1

u 3 + v 1 = 1; 1 + u 3 = 1; u 3 = 0

u 3 + v 4 = 2; 0 + v 4 = 2; v 4 = 2

u 4 + v 2 = 4; 2 + v 2 = 4; v 2 = 2

u 4 + v 6 = 0; 2 + v 6 = 0; v 6 = -2

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

(4;3): 2 + 3 > 2; ? 43 = 2 + 3 - 2 = 3

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;3): 2

Для этого в перспективную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (4,3 > 4,5 > 2,5 > 2,3).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 5) = 15. Прибавляем 15 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 15 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 5 = 6; 0 + v 5 = 6; v 5 = 6

u 2 + v 5 = 3; 6 + u 2 = 3; u 2 = -3

u 2 + v 3 = 0; -3 + v 3 = 0; v 3 = 3

u 4 + v 3 = 2; 3 + u 4 = 2; u 4 = -1

u 4 + v 1 = 3; -1 + v 1 = 3; v 1 = 4

u 3 + v 1 = 1; 4 + u 3 = 1; u 3 = -3

u 3 + v 4 = 2; -3 + v 4 = 2; v 4 = 5

u 4 + v 2 = 4; -1 + v 2 = 4; v 2 = 5

u 4 + v 6 = 0; -1 + v 6 = 0; v 6 = 1

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u i + v j > c ij

• (1;2): 0 + 5 > 3; ? 12 = 0 + 5 - 3 = 2
• (1;6): 0 + 1 > 0; ? 16 = 0 + 1 - 0 = 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 3

Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Потребности

Цикл приведен в таблице (1,2 > 1,5 > 2,5 > 2,3 > 4,3 > 4,2).

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 5) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х ij , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u i , v j . по занятым клеткам таблицы, в которых u i + v j = c ij , полагая, что u 1 = 0.

u 1 + v 2 = 3; 0 + v 2 = 3; v 2 = 3

u 4 + v 2 = 4; 3 + u 4 = 4; u 4 = 1

u 4 + v 1 = 3; 1 + v 1 = 3; v 1 = 2

u 3 + v 1 = 1; 2 + u 3 = 1; u 3 = -1

u 3 + v 4 = 2; -1 + v 4 = 2; v 4 = 3

u 4 + v 3 = 2; 1 + v 3 = 2; v 3 = 1

u 2 + v 3 = 0; 1 + u 2 = 0; u 2 = -1

u 2 + v 5 = 3; -1 + v 5 = 3; v 5 = 4

u 4 + v 6 = 0; 1 + v 6 = 0; v 6 = -1

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u i + v j ? c ij .

Минимальные затраты составят: F(x) = 3*20 + 0*15 + 3*45 + 1*15 + 2*30 + 3*10 + 4*20 + 2*35 + 0*5 = 450

Анализ оптимального плана .

Из 2-го склада необходимо груз направить в 3-й магазин (15), в 5-й магазин (45)

Из 3-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (15), в 4-й магазин (30)

Из 4-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (10), в 2-й магазин (20), в 3-й магазин (35)

На 4-ом складе остался невостребованным груз в количестве 5 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x 46 =0.

Метод состоит в последовательном переборе строк и столбцов транспортной таблицы, начиная с левого столбца и верхней строки, и выписывании максимально возможных отгрузок в соответствующие ячейки таблицы так, чтобы не были превышены заявленные в задаче возможности поставщика или потребности потребителя. На цены доставки в этом методе не обращают внимание, поскольку предполагается дальнейшая оптимизация отгрузок.

Нахождение оптимального плана транспортной задачи

Построенный одним из методов исходный опорный план можно довести до оптимального путем последовательного улучшения.

Существуют несколько таких методов: распределительный, метод потенциалов, венгерский метод и др. Рассмотрим метод потенциалов.

Метод потенциалов

Основой вычислительного процесса при улучшении опорного плана является определение критерия оптимальности:

где - расчетные затраты или косвенные тарифы, связанные с доставкойодной единицы груза из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения, определяемые для тех клеток опорного плана, ресурсы в которые не распределены (для незаполненных клеток); c ij - затраты (истинные тарифы), связанные с доставкой одной единицей груза из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения.

Т е о р е м а 4.1. Если для всех свободных клеток таблицы перевозок значение критерия оптимальности ≤0, то этот план перевозок является оптимальным.

Если для всех свободных клеток таблицы перевозок значение критерия оптимальности <0, то этот оптимальный план перевозок является единственным.

Если для некоторых свободных клеток значение критерия оптимальности = 0, то этот оптимальный план перевозок не является единственным.

Если имеются свободные клетки, для которых критерий оптимальности >0, то полученный план перевозок не является оптимальным.

Алгоритм метода потенциалов

Каждому поставщику A i ,где i = 1,2,...,т , ставится в соответствие некоторое число U i ,где i = 1, 2, ., т, которое называется потенциалом А-гопоставщика или i -й строки.

Каждому потребителю B j ,где j = 1,2,…,п , ставится в соответствие некоторое число V j ,которое называется потенциалом B j -го потребителя или j-го столбца.

Для каждой заполненной клетки, т.е. для каждой базисной переменной, строитсясоотношениеU i + V j = c ij Получают систему с числом уравнений, равным количеству базисных переменных (количеству заполненных клеток).Из этой системы определяют неизвестные потенциалы строк U i и столбцов V j .

Поскольку число неизвестных п+ т превышает на единицу число уравнений т+ п-1, одно из неизвестных можно положить равным произвольному числу, например, U 1 = 0 и найти значения остальных неизвестных. Значения потенциалов записываются в ту же матрицу планирования перевозок.

Для каждой незаполненной клетки, т. е. для каждой небазисной переменной, рассчитываются косвенные тарифы по формуле

Проверяют полученный план на оптимальность по критерию S j оптимальности опорного плана транспортной задачи. Если для каждой незаполненной клетки выполняется условие

То исходный план является оптимальным.

Если некоторое >0, то необходимо перейти к новому базисному планупутем перемещения перевозки в клетку, отвечающую условию max . Еслитаких клеток несколько, то выбирают любую из них.

Для перераспределения поставок строят цикл, соединяющий выбранную клетку с ней же самой и проходящий через заполненные клетки.

Цикл строится следующим образом. Вычеркиваются все строки и столбцы, содержащие ровно одну заполненную клетку. При этом считается, что выбранная клетка без поставки является заполненной. Все оставшиеся после вычеркивания клетки составляют цикл и лежат в его углах. Они соединяются ломаной линией.

Можно доказать, что для любой незаполненной клетки матрицы перевозок существует цикл и он является единственным.

В каждую клетку цикла, начиная с незаполненной, поочередно вписываем знаки «+» и «-». Так как у цикла четное количество вершин, то знаки будут чередоваться по кругу.

В клетках с отрицательными знаками выбирается минимальная величина поставки и обозначается А .В те вершины, которые имеют знак «+» прибавляется еще поставка А , а в вершинах со знаком «-» поставки уменьшают на величину А . При этом суммы поставок по строкам a i и по столбцам bjне изменятся.

В результате этого действия, называемого пересчетом поставок по циклу, клетка, для которой строился цикл, станет занятой, а в одной из бывших занятых окажется нулевая поставка и ее надо объявить свободной. Общее количество заполненных клеток не изменится, следовательно, новый полученный план перевозок является невырожденным.

Если в результате пересчета одновременно в нескольких ранее занятых клетках поставки примут нулевые значения, то свободной объявляется лишь одна из них. Остальные считаются условно занятыми с нулевыми поставками.

Значения переменных, включенных в цикл, после пересчета переносятся в новую таблицу. Все остальные переменные записываются в новую таблицу без изменений.

Полученный новый базисный план проверяется на оптимальность.

Такое улучшение плана можно проводить до тех пор, пока все критерии для незаполненных клеток окажутся <0. Затем вычисляется оптимальная стоимость перевозок.

Последовательное применение метода потенциалов обеспечивает монотонное убывание значений целевой функции Zтранспортной задачи (общей стоимости перевозок всего груза). Он позволяет за конечное число шагов найти минимум Z.

Алгоритм нахождения оптимального плана перевозок в транспортной задаче.

Оптимальный план перевозок находится по следующей схеме.

Строится исходный опорный план. Если он оказывается вырожденным, то вводятся условно занятые клетки с нулевыми поставками, дополняя число занятых клеток до m + n- 1.

Вычисляется значение целевой функции Z .

Строится система потенциалов, с помощью которой план проверяется на оптимальность. Если условие оптимальности выполнено, решение заканчивается, в противном случае - осуществляется переход к следующему шагу.

Выполняется пересчет поставок по циклу, загружается клетка, для которой не выполняется критерий оптимальности. Строится новый опорный план с числом занятых клеток, равным m + n -1.

Выполняется переход к пункту 3.

Следует иметь в виду, что при решении транспортной задачи возможны случаи вырождения, которые встречаются, если при построении плана перевозок число заполненных клеток окажется меньше, чем m + n- 1. В этом случае следует в свободные клетки ввести недостающее количество поставок, считая их нулевыми, но заполненными. Желательно вводить эти поставки в клетки с наименьшими тарифами. Однако если при выполнении дальнейших расчетов встречаются затруднения, например, происходит зацикливание, надо поменять заполненную нулем клетку.

Порядок выполнения работы

решить транспортную задачу в соответствии с предложенным вариантом с использованием ТП Excel ;

найти исходный опорный план методом северо-западного угла для вариантов с нечетным номером и методом наименьшей стоимости для вариантов с четным номером;

найти оптимальный план транспортной задачи методом потенциалов.

Пример выполнения работы

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у трех поставщиковА 1 , А 2 , A 3 в количестве а 1 , а 2 , а 3 тонн соответственно, необходимо доставить потребителям B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 в количестве b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 тонн.

Последовательность решения:

подготовить таблицы и заполнить их исходными данными: Стоимостиперевозки тонны продукта (D ), Ресурсы (а ) и Потребности (b );

с помощью функции СУММ найти суммы ресурсов (ячейка D 12) и потребностей (G 14);

подготовить таблицу оптимальных перевозок. Диапазон G 09:G 21 заполнить начальными значениями - нулями;

с помощью функции СУММ найти суммы перевозок по потребителям (C 22:G 22) и поставщиками (Н 19:Н 21);

в ячейку G 16 ввести выражение стоимости оптимального плана перевозок;

запустить инструментальное средство Поиск решения (меню Сервис/Поиск Решения) и ввести необходимые параметры: адрес целевой ячейки, изменяемые ячейки и ограничения (рис. 4.2).

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

название лабораторной работы;

цель лабораторной работы;

результат решения в ТП Excel;

исходный опорный план, найденный методом северо-западного угла или методом наименьшей стоимости;

последовательность шагов нахождения оптимального плана методомпотенциала.

Варианты 1-8.Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у трех поставщиков А 1 , А 2 , А 3 в количестве а 1 , а 2 , а 3 тонн соответственно, необходимо доставить потребителям В 1 , В 2 , В 3 , В 4 , В 5 в количестве b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 тонн. Стоимость C ij перевозки тонны груза от i- го поставщика j -му потребителю задана матрицей D . Составить план перевозок, имеющий минимальную стоимость и позволяющий вывести все грузы и полностью удовлетворить потребности.

Варианты 9-16.Пусть на предприятии имеется т видов станков, максимальное время работы которых соответственно равно а, где i = 1,2, ..., т часов. Каждый из станков может выполнять п видов операций. Суммарное время выполнения каждой операции соответственно b j , j = 1, 2, п. Известна производительность (C j)i -го станка при выполнении j -й операции. Определить, сколько времени и на какой операции нужно использовать
каждый из станков, чтобы разработать максимальное количество деталей.

Для решения этой задачи линейную функцию умножить на -1, т.е. считать в таблице все значения C j отрицательными.

Приведем сходные данные для вариантов

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t			bj

a t	bj

a t	bj

a t	bj

a t	bj

a t	bj

a t			bj

a t			bj

a t	bj

Контрольные вопросы

1. Как формулируется транспортная задача?

2. Каков общий вид матрицы планирования перевозок?

3. Что называется планом транспортной задачи?

4. Какие существуют способы отыскания исходного опорного плана?

5. Охарактеризуйте метод северо-западного угла.

6. Охарактеризуйте метод наименьшей стоимости.

7. Какие существуют способы улучшения исходного опорного плана для транспортной задачи?

РАБОТА №5. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Цель работы - знакомство с простейшей задачей нелинейного программирования (нахождение оптимального значения функции одной переменной) и одним из методов ее решения - методом золотого сечения. Приобретение навыков решения оптимальных задач встроенными средствами системы MathCAD .

Программное обеспечение: интегрированная математическая системаMathCAD .

Теоретическое введение

Разработаны численные методы решения задач минимизации нелинейной функции как при ограничениях, так и без ограничений. Задачи и методы целесообразно изучать по схеме от простого к сложному. Сначала излагаются методы минимизации функции одной переменной. Далее рассматриваются методы для решения задач без ограничений с целевой функцией нескольких переменных. Наиболее сложными являются задачи оптимизации с ограничениями.

Универсального метода, с помощью которого можно было бы успешно решать разнообразные задачи оптимизации с ограничениями, не существует. Поэтому для решения каждого конкретного класса задач используют «свои» численные методы.

Классический метод минимизации функций одной переменной.Рассмотрим задачу нахождения минимума функции f(x) на отрезке [a; b ]. Классический метод подробно излагается в курсе математического анализа. Основным недостатком классического метода является узкая область его применения.

Если значения целевой функции определены из наблюдений или в результате проведения экспериментов, то получить аналитическое выражение для производной трудно. Но даже если f" (х ) найдена, то отыскание корней уравнения f" (х )=0 может составить сложную вычислительную задачу. Поэтому разработаны методы минимизации, которые не требуют числового значения производных и в которых объем вычисления значений целевой функции является наименьшим.

Унимодальные функции. Выделим класс функций, обладающих важным свойством.

Функция f(x)называется унимодальнойна отрезке [a; b ],если онаимеет на этом отрезке единственнуюточку глобального минимума x min
и слева от этой точки является строгоубывающей, а справа - строго возрастающей.

Другими словами, функция f(x) унимодальная, если точка x min существует и является единственной. Нарис. 5.1 представлен пример графикаунимодальной функции.

Имеет место следующее свойство унимодальной функции. Рассмотрим
две произвольные точки x 1 , x 2 є[a; b ] и a<x 1 <x 2

Если f(x 1) x 2) , то x min <x 2 (рис. 5.2, а), если же f (x 1) >f(x 2), то тогда
x min >x i (рис. 8.2, б).

Метод золотого сечения. Будем искать точку глобального минимума унимодальной функции f(x) на отрезке так, чтобы количество вычислений значений f (x) для заданной точности было наименьшим.

Рассмотрим на исходном отрезке точку x 1 и вычислимf(x) .Зная значение f (x ) только в одной точке, невозможно сузить область поиска точки x min . Поэтому выбираем вторую точку x 2 так, чтобы a<x 1 <x 2 f (x 2).

Возможен один из двух случаев:

f (x 1) x 2), согласно свойству унимодальной функции область поиска сужается до [a ; x 2 ];

f (x 1) >f (x 2), тогда область поиска сужается до [x 1 ; b ].

Где же лучше всего на исходном отрезке брать точки х 1 и х 2 ?

Так как первоначально ничего неизвестно о положении точки x min , то оба указанных выше случая равно возможны. Отсюда ясно, что точки х 1 и х 2 должны быть расположены симметрично относительно середины отрезка [a ; b ].

Чтобы найти «золотую середину», рассмотрим для простотыотрезок (рис. 5.3).

Чтобы точкаВ была «выгодной» как на первом этапе, так и на следующем, она должна делить отрезок ADв таком же отношении, как и АС, т.е.АВ/AD = BC/AC. При этом в силу симметрии аналогичным свойствам будетобладать и точка С.

В терминах координаты х пропорция примет вид

Это уравнение имеет корень меньше 1 и равный .

О точке, которая расположена на расстоянии % длины от одногоиз концов отрезка, говорят, что она выполняет «золотое сечение» данного отрезка. Очевидно, каждый отрезок имеет две такие точки, расположенные симметрично относительно середины.

Итак, точки x 1 и х 2 должны осуществлять «золотое сечение» исходного отрезка [a ; b ].

Вычисляем координаты точек, осуществляющих «золотое сечение» исходного отрезка, , z 0 =a 0 +b 0 - y 0 и определяем значения f (y 0) иf (z 0).

Сравниваем значения f(y k - 1) и f(z k - 1), (к>1).

Если f(y k - 1) - 1 и вычисляем координату точки (слева от имеющейся) y k = a k + b k -z k и значениеf (y k).

Если f(y k - 1) >f(z k - 1), то полагаем a k =a k - 1 , b k =z k - 1 , z k =y k - 1 и вычисляем координату точки (справа от имеющейся) z k = a k + b k - y k и значение f(z k).

В любом из двух случаев вычисляется длина (k +1)-го отрезка: ∆ k - 1 =b k - y k или∆ k - 1 = z k -a k

Работа выполняется до тех пор, пока ∆ k - 1 0 - заданная точность вычислений.

Выбираем наименьшее из чисел f(y k) и f(z k)- приближенный минимум. А точка, которая ему соответствует, дает приближение к x min .

Порядок выполнения работы

Решить задачу оптимизации в системе MathCAD по алгоритму:

задать начальные условия задачи оптимизации;

построить график функции f (x );

оформить вычислительный блок Given с привлечением функции maximize или minimize ;

получить значения f (х ) опт и х опт.

Проанализировать полученный результат.

Обратите внимание! Для поиска значений переменных x 1 ,x 2 ,…,x n ,при которых функция f (x 1 ,x 2 ,...,x n) имеет максимальное или минимальное значение используются функцииmaximizef (x 1 , x 2 ,..., x n) и minimizef(x 1 , x 2 , ., x n). Обе эти функции реализованы достаточно универсальным алгоритмами оптимизации. Эти функции должны использоватьсяв составе вычислительного блока, открываемого директивой Given , и возвращают векторнеизвестных, при котором заданная функция имеет максимальное или минимальное значение. Внутри блока могут быть различные ограничительные условия в виде равенств илинеравенств. Число условий ограничено только памятью ПК. Перед блоком решения нужнозадать начальные значения искомых переменных.

Объективности ради надо заметить, что результаты решения сильно зависят от выбораначальных значений и далеко не всегда имеют погрешность, устраивающую пользователя.

Пример выполнения лабораторной работы

Из круглой заготовки изготавливается пожарное ведро по простой технологии: вырезается сектор, затем полученная таким образом выкройка сворачивается в конус, а шов сваривается.

Длина дуги выкройки становится длиной окружности в основании конуса ,

где R– радиус заготовки; – значение угла вырезки; r – радиус основания конуса.

Высота конуса h , радиус его основания rи радиус заготовки Rсвязаны теоремой Пифагора.

Пусть радиус заготовки равен одному метру: R = 1. Длина окружностиоснования конуса , высота конуса , объемконуса .

Математическая формулировка задачи имеет следующий вид (рис. 5.4).Требуется рассчитать значение угла вырезки а, при котором объем V () будет максимальным, угол задаетсяв радианной мере.

При решении задачи воспользуемся встроенной функциейинтегрированной математической системы MathCADmaximize (f ,var l, var2,...), возвращающей значения переменных varl, varl, ..., которыедоставляют функцииf максимальное значение.

Решение задачи с использованием панели программирования приведено на рис.5.5.

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

копию документа, созданного в MathCAD ;

поясняющие записи из теории по теме лабораторной работы.

Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1. f (x ) = 72x + 6х 2 - 8x 3 -x 4 наотрезке . Точку х*

Вариант 2. Вычислить максимальное значение функции f (x ) = 2х - x 2- e X на отрезке. Точку х* определить с точностью до 0,05.

Вариант 3. Вычислить максимальное значение функции f (х) = 2 sinx – tgx на отрезке. Точку х* определить с точностью до 0,05.

Вариант 4. f (х ) = 1 - 32х + 4х 2 + х 4 наотрезке . Точку х*

Вариант 5. Вычислить минимальное значение функции f (х ) = 1 + 4х + 2х 2 + х 4 на отрезке [-1; 0]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 6. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = 2 + 5х -

10х 2 + 5х 3 - x 5 на отрезке [-3; -2]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 7. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = 3 + 120х - 4х 2 - х 4 наотрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 8. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = х- 1х 2 + 2х 3 - 1х 7 наотрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 9. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = 5х + х 2 - 1х 4 на отрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 10. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = 1 + х- 2х 2 + 4х 4 наотрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 11. Вычислить минимальное значение функции f (х ) = 2х +х-
- 5x 3 + 2x 4 на отрезке [-1; 0,5]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 12. Вычислить минимальное значение функции f (х ) = 2х + (х + 1)4на отрезке [-3; -1]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 13. Вычислить минимальное значение функции f (х ) = 2х + х- 5х на отрезке [-1; -0,5]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 14. Вычислить максимальное значение функцииf (х ) = х- 2х + 5х на отрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 15. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = 1 - 6х - 3х 2 - х 6 наотрезке [-1; 0]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 16. Вычислить максимальное значение функции f (х) = 80х - 30х 2 - наотрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 17. Вычислить максимальное значение функции f (х ) = 1 + 2х + - наотрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 18. Вычислить минимальное значение функцииf (x ) = x 2 + x (lnx -1) наотрезке . Точку х* определить с точностью до 0,01.

Вариант 19. Вычислить максимальное значение функции f (x ) = x 3 - e x - 2x на отрезке [-2; 1]. Точку х* определить с точностью до 0,01.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит классический метод оптимизации функции одной переменной?

2. Какие функции называются унимодальными?

3. В чем состоит суть метода золотого сечения?

4. Какая точка выполняет золотое сечение отрезка ?

РАБОТА №6. ПЛАНИРОВАНИЕ РАБОЧЕЙ СИЛЫ

Число рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем их найма и увольнения. Поскольку как наем, так и увольнение рабочих связано с дополнительными затратами, необходимо определить, как должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.

Предположим, что проект будет выполняться в течение n недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i -й недели составит b i рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i -й недели иметь в точности b i рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей. Если x i -й недели, то возможны затраты двух видов:

C 1 (x i – b i) – затраты, связанные с необходимостью содержать избыток x i – b i рабочей силы

C 2 (x i – x i -1) – затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма x i – x i -1 рабочих.

Элементы модели динамического программирования определяются следующим образом.

Этап i представляется порядковым номером недели i , i = 1,2,..., n .

Вариантами решения на i -м этапе являются значения x i – количество работающих на протяжении i -й недели.

Состоянием на i -м этапе является x i -1 – количество работающих на протяжении (i – 1)-й недели (этапа).

Рекуррентное уравнение динамического программирования представляется в виде

,i = 1, 2, …, n ,

где f n +1(x n) º 0

Вычисления начинаются с этапа n при х n = b n и заканчиваются на этапе 1.

Пример 1 . Для реализации проекта строительный подрядчик определил минимальные потребности в рабочей силе на ближайшие пять недель следующим образом: 5, 7, 8, 4 и 6 рабочих соответственно. Содержание избытка рабочей силы обходится подрядчику в 300 долларов за одного рабочего в неделю, а наем рабочей силы на протяжении одной недели обходится в 400 долларов (независимо от количества принимаемых на работу человек) плюс 200 долларов за обучение одного нового рабочего в неделю.Необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта. Задачу решить методом динамического программирования.

Решение. Выражая затраты в сотнях долларов, имеем:

b 1 =5, b 2 =7, b 3 =8, b 4 =4, b 5 =6,

C 1 (x i -b i)=3(x i -b i), x i >b i , i =1, 2, 3, 4, 5,

C 2 (x i -x i -1)=4+2(x i -x i -1), x i >x i -1, i =1, 2, 3, 4, 5.

Решение задачи начинаем с последнего (5-го этапа). По условию на этом этапе должно работать 6 работников. На предыдущем этапе в штате могло быть 4 (необходимый минимум), 5 или 6 работников (с учетом численности на 5-ом этапе).

Этап 5. (b 5 =6)

На третьем этапе должно работать максимальное число (8) работников. Поэтому в таблице 6.2х 3 = 8.

Этап 3. (b 3 =8)

x 2	С 1 (х 3 -8)+С 2 (х 3 -х 2)+ f 4 (x 3)	Опт.решение
х 3 = 8	f 3 (x 2)	x 3 *
	3(0)+4+2(1)+6=12
	3(0)+0+6=6

На втором этапе в штате может быть 7 исполнителей (необходимый минимум) или 8 исполнителей (с учетом потребностей следующего этапа). Поэтому в таблице 6.3х 2 = 7, 8.

Этап 2. (b 2 =7)

x 1	С 1 (х 2 -7)+С 2 (х 2 -х 1)+ f 3 (x 2)	Опт.решение
х 2 = 7	х 2 = 8	f 2 (x 1)	x 2 *
	3(0)+4+2(2)+12=20	3(1)+4+2(3)+6=19
	3(0)+4+2(1)+12=18	3(1)+4+2(2)+6=17
	3(0)+0+12=12	3(1)+4+2(1)+6=15
	3(0)+0+12=12	3(1)+0+6=9

На первом этапе, соответствующем началу выполнения проекта, в штат может быть зачислено от 5 до 8 исполнителей.

Для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть с правильным балансом.

Теорема 38.2 Свойство системы ограничений транспортной задачи

Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен N=m+n-1 (m — поставщики, n-потребители)

Опорное решение транспортной задачи

Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Ввиду того, что ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен m+n — 1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат более m+n-1. Число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения равняется m+n-1, а для вырожденного опорного решения меньше m+n-1

Цикл

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (i 1 , j 1),(i 1 , j 2),(i 2 , j 2),...,(i k , j 1), в которой две и только две соседние клетки распложены в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.

Цикл изображают в виде таблицы транспортной задачи в виде замкнутой ломаной линии. В цикле любая клетка является угловой, в которой происходит поворот звена ломаной линии на 90 градусов. Простейшие циклы изображены на рисунке 38.1

Теорема 38.3

Допустимое решение транспортной задачи X=(x ij) является опорным тогда и только тогда, когда из занятых клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла.

Метод вычеркивания

Метод вычеркивания позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.

Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет m+n-1 отличных от нуля координат, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы-условий, соответствующие положительным координатам, а также базисным нулям, должны быть линейно независимыми. Для этого занятые решением клетки таблицы должны быть расположены так, чтобы нельзя было из них образовать цикл.

Строка или столбец таблицы с одной занятой клеткой не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или столбце. Следовательно, чтобы вычеркнуть сначало либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжать вычеркивание.

Если в результате вычеркивания все строки истолбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов-условий является линейно независимой, а решение является опорным.

Если же после вычеркивания останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов-условий является линейно зависимой, а решение не является опорным.

Примеры "вычеркнутого" (опорного) и "не вычеркнутого" (не опорного решений):

Логика вычеркивания :

1. Вычеркнуть все столбцы, в которых всего одна занятая клетка (5 0 0), (0 9 0)
2. Вычеркнуть все строки, в которых всего одна занятая клетка (0 15), (2 0)
3. Повторить цикл (7) (1)

Методы построения начального опорного решения

Метод северо-западного угла

Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла.
В данном методе запасы очередного по номеру поставщика используются для обеспечения запросов очередных по номеру потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла, поэтому и называется метод северо-западного угла.

Метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или один потребитель.

Пример 38.1

Составить опорное решение, используя метод северо-западного угла.

1. Распределяем запасы 1-го поставщика.
Если запасы первого поставщика больше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запроса первого потребителя и переходим ко второму потребителю. Если же запасы первого поставщика меньше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запасов первого поставщика, исключаем из рассмотрения первого поставщика и переходим ко второму поставщику.

Пример : так как его запасы a 1 =100 меньше запросов первого потребителя b 1 =100, то в клетку (1,1) записываем перевозку x 11 =100 и исключаем из рассмотрения поставщика.
Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b 1 = 150-100=50.

2. Распределяем запасы 2-го поставщика.
Так как его запасы a 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1-го потребителя b 1 =50, то в клетку (2,1) записываем перевозку x 21 =50 и исключаем из рассмотрения 1-го потребителя.
Определяем оставшиеся запасы 2-го поставщика a 2 = a 2 — b 1 = 250-50=200. Так как оставшиеся запасы 2-го поставщика равны запросам 2-го потребителя, то в клетку (2,2) записываем x 22 =200 и исключаем по своему усмотрению либо 2-го поставщика, либо 2-го потребителя. В нашем примере мы исключили 2-го поставщика.
Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы второго потребителя b 2 =b 2 -a 2 =200-200=0.

	150	200	100	100
100	100
250	50	200			250-50=200 200-200=0
200
	150-100-50=0

3. Распределяем запасы 3-го поставщика.
Важно! В предыдущем шаге у нас был выбор исключать поставщика или потребителя. Так как мы исключили поставщика, то запросы 2-го потребителя все же остались (хоть и равны нулю).
Мы должны записать оставшиеся запросы равные нулю в клетку (3,2)
Это связано с тем, что если в очередную клетку таблицы (i,j) требуется поставить перевозку, а поставщик с номером i или потребитель с номером j имеет нулевые запасы или запросы, то ставится в клетку перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого исключается из рассмотрения либо соответствующий поставщик, либо потребитель.
Таким образом, в таблицу заносятся только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежании ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 (базисный ноль при этом тоже считается занятой клеткой), и векторы-условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимые.

Так как в предыдущем шаге мы исключили из рассмотрения второго поставщика, то в клетку (3,2) записываем x 32 =0 и исключаем второго потребителя.

Запасы 3-го поставщика не изменились. В клекту (3,3) записываем x 33 =100 и исключаем третьего потребителя. В клетку (3,4) записываем x 34 =100. Ввиду того, что наша задача с правильным балансом, запасы всех поставащиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.

Опорное решение
	150	200	100	100
100	100
250	50	200
200		0	100	100

4. Проверяем правильность построения опорного решения.
Число занятых клеток должно быть равно N=m(поставщики)+m(потребители) — 1=3+4 — 1=6.
Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является "вычеркиваемым" (звездочкой отмечен базисный нуль).

Следовательно, векторы-условий, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение действительно является опорным.

Метод минимальной стоимости

Метод минимальной стоимости прост и позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C=(c ij).

Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости:

и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую , заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы груза использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.

Пример 38.2

Используя метод минимальной стоимости построить начальное опорное решение транспортной задачи.

1. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы было удобнее выбирать минимальные стоимости.

2. Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость C 11 =1, отмечаем ее кружочком. Данная стоимость имеет место при перевозке груза от 1-го поставщика 1-му потребителю. В соответствующую клетку записываем максимально возможный объем перевозки:
x 11 = min {a 1 ; b 1 } = min {60; 40} =40 т.е. минимум между запасами 1-го поставщика и запросами 1-го потребителя.

2.1. Запасы 1-го поставщика уменьшаем на 40.
2.2. Исключаем из рассмотрения 1-го потребителя, так как его запросы полностью удовлетворены. В матрице C вычеркиваем 1-ый столбец.

3. В оставшейся части матрицы C минимальной стоимостью является стоимость C 14 =2. Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1-го поставщика 4-му потребителю равна x 14 = min {a 1 "; b 4 } = min {20; 60} = 20 , где a 1 со штрихом это оставшиеся запасы первого поставщика.
3.1. Запасы 1-го поставщика исчерпаны, поэтому исключаем его из рассмотрения.
3.2. Запросы 4-го потребителя уменьшаем на 20.

4. В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость C 24 =C 32 =3. Заполняем одну из двух клеток таблицы (2,4) или (3,2). Пусть в клетку запишем x 24 = min {a 2 ; b 4 } = min {80; 40} =40 .
4.1. Запросы 4-го потребителя удовлетворены. Исключаем его из рассмотрения вычеркивая 4-й столбец в матрице C.
4.2. Уменьшаем запасы 2-го поставщика 80-40=40.

5. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C 32 =3. Запишем в клетку (3,2) таблицы перевозку x 32 = min {a 3 ; b 2 } = min {100; 60} =60 .
5.1. Исключим из рассмотрения 2-го потребителя. Из матрицы C исключаем 2-ой столбец.
5.2. Уменьшим запасы 3-го поставщика 100-60=40

6. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C 33 =6. Запишем в клетку (3,3) таблицы перевозку x 33 = min {a 3 "; b 3 } = min {40; 80} =40
6.1. Исключим из рассмотрения 3-го поставщика, а из матрицы C 3-ю строку.
6.2. Определяем оставшиеся запросы 3-го потребителя 80-40=40.

7. В матрице C остался единственный элемент C 23 =8. Записываем в клетку таблицы (2,3) перевозку X 23 =40.

8. Проверяем правильность построения опорного решения.
Число занятых клеток таблицы равно N=m+n — 1=3+4 -1.
Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X:

Вывод: Решение методом минимальной стоимости (таблица 38.3) является "вычеркиваемым" и, следовательно опорным.