Skoraj vsako periodično funkcijo je mogoče razširiti v preproste harmonike z uporabo trigonometrične vrste (Fourierjeve vrste):

f(x) = + (a n cos nx + b n greh nx), (*)

Zapišimo to vrsto kot vsoto preprostih harmonikov ob predpostavki, da so koeficienti enaki a n= A n greh j n, b n= A n cos j n. Dobimo: a n cos j n + b n greh j n = A n greh( nx+ j n), Kje

A n= , tg j n = . (**)

Nato bo serija (*) v obliki enostavnih harmonikov dobila obliko f(x) = .

Fourierjev niz predstavlja periodično funkcijo kot vsoto neskončnega števila sinusoidov, vendar s frekvencami, ki imajo določeno diskretno vrednost.

včasih n Th harmonik je zapisan v obliki a n cos nx + b n greh nx = A n cos( nx – j n) , Kje a n= A n cos j n , b n= A n greh j n .

pri čemer A n in j n so določene s formulami (**). Nato bo serija (*) dobila obliko

f(x) = .

Opredelitev 9. Operacija predstavitve periodične funkcije f(x) Fourierjeva vrsta se imenuje harmonska analiza.

Izraz (*) se pojavlja tudi v drugi, pogostejši obliki:

kvote a n, b n se določijo po formulah:

velikost C 0 izraža povprečno vrednost funkcije v obdobju in se imenuje konstantna komponenta, ki se izračuna po formuli:

V teoriji vibracij in spektralni analizi predstavitev funkcije f(t) v Fourierjevem nizu zapišemo kot:

(***)

tiste. periodična funkcija je predstavljena z vsoto členov, od katerih je vsak sinusno nihanje z amplitudo Z n in začetno fazo j n, to je Fourierjeva vrsta periodične funkcije sestavljena iz posameznih harmonikov s frekvencami, ki se med seboj razlikujejo za konstantno število. Poleg tega ima vsak harmonik določeno amplitudo. Vrednote Z n in j n morajo biti pravilno izbrani, da je izpolnjena enakost (***), to pomeni, da so določeni s formulami (**) [ Z n = A n].

Prepišimo Fourierjev niz (***) v obliki Kje w 1 – glavna frekvenca. Iz tega lahko sklepamo: kompleksna periodična funkcija f(t) je določen z nizom količin Z n in j n .

Opredelitev 10. Niz vrednosti Z n, to je odvisnost amplitude od frekvence, se imenuje amplitudni spekter funkcije oz amplitudni spekter.

Opredelitev 11. Niz vrednosti j n je poklican fazni spekter.

Ko preprosto rečejo "spekter", mislijo na amplitudni spekter, v drugih primerih so narejeni ustrezni pridržki. Periodična funkcija ima diskretni spekter(to pomeni, da ga je mogoče predstaviti kot posamezne harmonike).

Spekter periodične funkcije lahko prikažemo grafično. Za to izberemo koordinate Z n in w = nw 1. Spekter bo v tem koordinatnem sistemu upodobljen z nizom diskretnih točk, ker vsako vrednost nw 1 ustreza eni določeni vrednosti Z n. Graf, sestavljen iz posameznih točk, je nepriročen. Zato je običajno, da amplitude posameznih harmonikov prikazujemo z navpičnimi segmenti ustrezne dolžine (slika 2).

riž. 2.

Ta diskretni spekter se pogosto imenuje črtasti spekter. Gre za harmonični spekter, tj. sestoji iz enakomerno razmaknjenih spektralnih črt; harmonične frekvence so preprosti večkratniki. Posamezni harmoniki, vključno s prvim, so lahko odsotni, tj. njihove amplitude so lahko enake nič, vendar to ne poruši harmonije spektra.

Diskretni ali črtasti spektri lahko pripadajo periodičnim in neperiodičnim funkcijam. V prvem primeru je spekter nujno harmoničen.

Razširitev v Fourierjev niz lahko posplošimo na primer neperiodične funkcije. Da bi to naredili, je treba uporabiti prehod do meje pri T®∞, pri čemer upoštevamo neperiodično funkcijo kot mejni primer periodične z neskončno naraščajočo periodo. Namesto 1/ T Predstavimo krožno osnovno frekvenco w 1 = 2p/ T. Ta vrednost je frekvenčni interval med sosednjimi harmoniki, katerih frekvence so enake 2p n/T. če T® ∞, torej w 1® dw in 2p n/T® w, Kje w– trenutna frekvenca, ki se nenehno spreminja, dw– njegov prirastek. V tem primeru se bo Fourierjev niz preoblikoval v Fourierjev integral, ki je raztezanje neperiodične funkcije v neskončnem intervalu (–∞;∞) v harmonična nihanja, katerih frekvence w nenehno spreminjanje od 0 do ∞:

Neperiodična funkcija ima zvezne ali zvezne spektre, tj. Namesto posameznih točk je spekter upodobljen kot zvezna krivulja. To dobimo kot rezultat mejnega prehoda od niza k Fourierjevemu integralu: intervali med posameznimi spektralnimi črtami se neomejeno zmanjšujejo, črte se zlivajo, namesto diskretnih točk pa je spekter predstavljen z zveznim zaporedjem točk, tj. zvezna krivulja. Funkcije a(w) In b(w) podajte zakon porazdelitve amplitud in začetnih faz glede na frekvenco w.

V prejšnjem poglavju smo se seznanili z drugim pogledom na nihajni sistem. Videli smo, da se v nizu pojavljajo različne naravne harmonike in da je mogoče katero koli posebno vibracijo, ki jo lahko dobimo iz začetnih pogojev, obravnavati kot kombinacijo več sočasno nihajočih naravnih harmonikov, sestavljenih v pravilnem razmerju. Za struno smo ugotovili, da imajo naravni harmoniki frekvence ω 0, 2ω 0, Зω 0, .... Zato je najbolj splošno gibanje strune sestavljeno iz sinusnih nihanj osnovne frekvence ω 0, nato drugega harmonika 2ω 0, nato tretjega harmonika 3ω 0 itd. Osnovni harmonik se ponovi po vsaki periodi T 1 = 2π/ω 0, drugi harmonik - po vsaki periodi T 2 =2π/2ω 0 ; se ponavlja tudi in po vsaki menstruaciji T 1 =2T 2 , torej po dva njihova obdobja. Na povsem enak način po menstruaciji T 1 Ponavlja se tudi tretji harmonik. Ta segment vsebuje tri svoja obdobja. In spet razumemo, zakaj ubrana struna po obdobju T 1 popolnoma ponovi obliko svojega gibanja. Tako nastane glasbeni zvok.

Do sedaj smo govorili o gibanju vrvice. Vendar zvok, ki predstavlja gibanje zraka, ki ga povzroča gibanje strune, mora prav tako sestavljati enaki harmoniki, čeprav tu ne moremo več govoriti o zraku lastnih harmonikih. Poleg tega je lahko relativna moč različnih harmonik v zraku zelo drugačna kot v struni, še posebej, če je struna "povezana" z zrakom s pomočjo "zvočne plošče". Različni harmoniki so povezani z zrakom na različne načine.

Če je za glasbeni ton funkcija f(t) predstavlja zračni tlak kot funkcijo časa (recimo, kot na sliki 50.1,6), potem lahko pričakujemo, da f(t) je zapisan kot vsota določenega števila preprostih harmoničnih funkcij časa (podobno kot cos ω t) za vsako od različnih harmonskih frekvenc. Če je nihajna doba enaka T, potem bo osnovna kotna frekvenca ω=2π/T, naslednji harmoniki pa bodo 2ω, 3ω itd.

Tu se pojavi rahel zaplet. Nimamo pravice pričakovati, da bodo za vsako frekvenco začetne faze med seboj nujno enake. Zato morate uporabiti funkcije, kot je cos (ωt + φ) – Namesto tega je lažja uporaba za vsak sinusne in kosinusne frekvence. Naj to spomnimo

in ker je φ konstanta, potem kaj sinusna nihanja s frekvenco co lahko zapišemo kot vsoto členov, od katerih eden vključuje sin ωt, drugi pa cos ωt.

Tako pridemo do zaključka, da kaj periodična funkcija f(t) z obdobjem T matematično lahko zapišemo kot

Kje ω=2π/T, A A in b - numerične konstante, ki kažejo težo, s katero je vsaka komponenta nihanja vključena v celotno nihanje f(t). Za večjo splošnost smo naši formuli dodali izraz z ničelno frekvenco a 0, čeprav je za glasbene tone običajno enak nič. To je preprosto premik v povprečni vrednosti zvočnega tlaka (tj. premik v "ničelni" ravni). S tem izrazom naša formula velja za vsak primer. Enačba (50.2) je shematično prikazana na sl. 50.2. Amplitude harmoničnih funkcij An in bn so izbrani po posebnem pravilu. Na sliki so prikazani le shematično in ne v merilu. [Serija (50.2) se imenuje blizu Fourierja za funkcije f(t).]

To smo rekli kaj V tej obliki lahko zapišemo periodično funkcijo. Treba je narediti majhen amandma in poudariti, da je mogoče vsako zvočno valovanje ali katerokoli funkcijo, ki jo srečamo v fiziki, razširiti v tak niz. Matematiki si seveda lahko izmislijo funkcijo, ki je ne morejo sestaviti iz enostavnih harmoničnih (na primer funkcijo, ki se "zavije" nazaj, tako da za nekatere količine t ima dva pomena!). Vendar nam tukaj ni treba skrbeti za takšne funkcije.

Kot je znano, je v elektroenergetiki sinusna oblika sprejeta kot standardna oblika za tokove in napetosti. Vendar pa se lahko v realnih pogojih oblike tokovnih in napetostnih krivulj v eni ali drugi meri razlikujejo od sinusnih. Izkrivljanja oblik krivulj teh funkcij na sprejemnikih vodijo do dodatnih izgub energije in zmanjšanja njihove učinkovitosti. Sinusna oblika krivulje napetosti generatorja je eden od pokazateljev kakovosti električne energije kot produkta.

Možni so naslednji razlogi za izkrivljanje oblike tokovnih in napetostnih krivulj v kompleksnem vezju:

1) prisotnost v električnem tokokrogu nelinearnih elementov, katerih parametri so odvisni od trenutnih vrednosti toka in napetosti (na primer usmerniki, električne varilne enote itd.);

2) prisotnost v električnem tokokrogu parametričnih elementov, katerih parametri se sčasoma spreminjajo;

3) vir električne energije (trifazni generator) zaradi svojih konstrukcijskih značilnosti ne more zagotoviti idealne sinusne izhodne napetosti;

4) vpliv v kombinaciji zgoraj naštetih dejavnikov.

Nelinearna in parametrična vezja so obravnavana v ločenih poglavjih predmeta TOE. To poglavje preučuje obnašanje linearnih električnih vezij, ko so izpostavljeni virom energije z nesinusno obliko krivulje.

Iz tečaja matematike je znano, da je vsako periodično funkcijo časa f(t), ki izpolnjuje Dirichletove pogoje, mogoče predstaviti s harmonično Fourierjevo vrsto:

Tu je A0 konstantna komponenta, Ak*sin(kωt+ αk) k-ta harmonična komponenta ali na kratko k-ta harmonika. Prvi harmonik se imenuje osnovni, vsi naslednji harmoniki pa višji.

Amplitude posameznih harmonikov Ak niso odvisne od načina razširitve funkcije f(t) v Fourierjev niz, hkrati pa so začetne faze posameznih harmonikov αk odvisne od izbire časovne reference (izvora koordinat) .

Posamezne harmonike Fourierovega niza lahko predstavimo kot vsoto sinusnih in kosinusnih komponent:

Potem bo celoten Fourierjev niz videti takole:

Razmerja med koeficienti obeh oblik Fourierove vrste imajo obliko:

Če k-ti harmonik ter njegove sinusne in kosinusne komponente nadomestimo s kompleksnimi števili, potem lahko razmerje med koeficienti Fourierjeve vrste predstavimo v kompleksni obliki:

Če je periodična nesinusna funkcija časa podana (ali jo je mogoče izraziti) analitično v obliki matematične enačbe, potem so koeficienti Fourierjeve vrste določeni s formulami, znanimi iz predmeta matematike:

V praksi je nesinusoidna funkcija f(t), ki se preučuje, običajno podana v obliki grafičnega diagrama (grafično) (slika 46.1) ali v obliki tabele koordinat točk (tabelarne) v intervalu eno obdobje (tabela 1). Za izvedbo harmonične analize takšne funkcije z uporabo zgornjih enačb jo je treba najprej nadomestiti z matematičnim izrazom. Zamenjava funkcije, podane grafično ali tabelarično, z matematično enačbo se imenuje aproksimacija funkcije.

Trenutno se harmonična analiza nesinusoidnih časovnih funkcij f(t) običajno izvaja na računalniku. V najpreprostejšem primeru se za matematično predstavitev funkcije uporabi delno linearni približek. Da bi to naredili, celotno funkcijo v intervalu ene polne periode razdelimo na M = 20-30 odsekov, tako da so posamezni odseki čim bližje ravnim črtam (slika 1). V posameznih odsekih je funkcija aproksimirana z enačbo premice fm(t)=am+bm*t, kjer so aproksimacijski koeficienti (am, bm) določeni za vsak odsek prek koordinat njegovih končnih točk, npr. 1. del dobimo:

Perioda funkcije T je razdeljena na veliko število korakov integracije N, korak integracije Δt=h=T/N, trenutni čas ti=hi, kjer je i zaporedna številka koraka integracije. Določene integrale v formulah harmonične analize nadomestimo z ustreznimi vsotami, izračunamo jih na računalniku po trapezni ali pravokotni metodi, npr.

Za določitev amplitud višjih harmonikov z zadostno natančnostjo (δ≤1%) mora biti število integracijskih korakov vsaj 100k, kjer je k harmonsko število.

V tehniki se za izolacijo posameznih harmonikov od nesinusnih napetosti in tokov uporabljajo posebne naprave, imenovane harmonični analizatorji.

Domov > Pravo

NESINUSNA TOKOVNA VEGA

Doslej smo preučevali tokokroge sinusnega toka, vendar se lahko zakon spreminjanja toka skozi čas razlikuje od sinusnega. V tem primeru pride do nesinusoidnih tokovnih tokokrogov. Vsi nesinusni tokovi so razdeljeni v tri skupine: periodične, tj. imeti menstruacijo T(slika 6.1, a), neperiodična (slika 6.1, b) in skoraj periodična, ki ima občasno spreminjajočo se ovojnico ( T o) in obdobje ponavljanja impulza ( T i) (slika 6.1, c). Obstajajo trije načini za pridobitev nesinusoidnih tokov: a) v vezju deluje nesinusoidni EMF; b) v vezju je sinusoidna EMF, vendar je eden ali več elementov vezja nelinearnih; c) v vezju deluje sinusni EMF, vendar se parametri enega ali več elementov vezja občasno spreminjajo s časom. V praksi se najpogosteje uporablja metoda b). Nesinusni tokovi so najbolj razširjeni v napravah radiotehnike, avtomatike, telemehanike in računalniške tehnike, kjer pogosto najdemo impulze najrazličnejših oblik. Nesinusne tokove najdemo tudi v elektroenergetiki. Upoštevali bomo samo periodične nesinusne napetosti in tokove, ki jih je mogoče razstaviti na harmonične komponente.

Razširitev periodičnih nesinusoidnih krivulj v trigonometrične Fourierove vrste

Pojave, ki se pojavljajo v linearnih tokokrogih s periodičnimi nesinusoidnimi napetostmi in tokovi, je mogoče najlažje izračunati in proučiti, če nesinusoidne krivulje razširimo v trigonometrično Fourierjevo vrsto. Iz matematike je znano, da je periodična funkcija f(ωt), ki izpolnjuje Dirichletove pogoje, tj. ki ima v katerem koli končnem časovnem intervalu končno število diskontinuitet samo prve vrste in končno število maksimumov in minimumov, lahko razširimo v trigonometrično Fourierjevo vrsto

f(ωt)=A o +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

A o +
.

Tukaj: A o– konstantna komponenta ali ničelni harmonik;
- amplituda sinusne komponente k th harmoniki;
- kosinusna amplituda k th harmoniki. Določeni so z naslednjimi formulami

Od kje, kot izhaja iz vektorskega diagrama (sl. 6.2), dobimo

.

Izrazi, vključeni v ta izraz, se imenujejo harmoniki. Obstajajo celo ( k– sodi) in lihi harmoniki. Prvi harmonik se imenuje osnovni, ostali pa višji. Slednja oblika Fourierove vrste je uporabna, ko morate poznati odstotek vsebnosti vsakega harmonika. Ista oblika Fourierove vrste se uporablja pri izračunu tokokrogov nesinusnega toka. Čeprav Fourierjev niz teoretično vsebuje neskončno veliko število členov, običajno hitro konvergira. in konvergentna serija lahko izrazi dano funkcijo s katero koli stopnjo natančnosti. V praksi je dovolj, da vzamemo majhno število harmonikov (3-5), da dobimo večodstotno natančnost izračuna.

Značilnosti Fourierovega razteza krivulj s simetrijo

1. Krivulje, katerih povprečna vrednost v obdobju je nič, ne vsebujejo konstantne komponente (ničelnega harmonika). 2
f(ωt)=-f(ωt+π), potem pravimo, da je simetričen glede na abscisno os. To vrsto simetrije je mogoče zlahka določiti z obliko krivulje: če jo premaknete za polovico obdobja vzdolž abscisne osi, jo zrcalite in se hkrati zlije z izvirno krivuljo (slika 6.3), potem obstaja simetrija. Ko tako krivuljo razširimo v Fourierjev niz, ta ne vsebuje konstantne komponente in vseh sodih harmonikov, saj ne izpolnjujejo pogoja f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Če funkcija izpolnjuje pogoj f(ωt)=f(-ωt), potem se imenuje simetrično glede na ordinatno os (sodo). To vrsto simetrije je enostavno določiti glede na vrsto krivulje: če je krivulja, ki leži levo od ordinatne osi, zrcaljena in se zlije z izvirno krivuljo, potem obstaja simetrija (slika 6.4). Ko takšno krivuljo razširimo v Fourierjev niz, slednji ne bo imel sinusnih komponent vseh harmonikov ( = f(ωt)=f(-ωt). Zato za take krivulje

f(ωt)=A O +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Če funkcija izpolnjuje pogoj f(ωt)=-f(-ωt), potem se imenuje simetričen glede na izvor (liho). Prisotnost te vrste simetrije je mogoče zlahka določiti z obliko krivulje: če je krivulja, ki leži levo od ordinatne osi, zasukana glede na točke izvoru in se združi z izvirno krivuljo, potem obstaja simetrija (slika 6.5). Ko takšno krivuljo razširimo v Fourierjev niz, slednji ne bo imel kosinusnih komponent vseh harmonikov (
= 0), ker ne izpolnjujejo pogoja f(ωt)=-f(-ωt). Zato za take krivulje

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

Če obstaja kakšna simetrija v formulah za in lahko vzamete integral čez polovico obdobja, vendar podvojite rezultat, tj. uporabljajte izraze

V krivuljah obstaja več vrst simetrije hkrati. Da bi olajšali vprašanje harmoničnih komponent v tem primeru, izpolnite tabelo

Vrsta simetrije	Analitično izražanje
1. X-os	f(ωt)=-f(ωt+π)		Samo lihe številke
2. Y-osi	f(ωt)=f(-ωt)
3. Izvori	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Abscisna in ordinatna os	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			Čuden
5. Abscisne osi in izhodišča	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		Čuden

Ko razširite krivuljo v Fourierjev niz, morate najprej ugotoviti, ali ima kakršno koli simetrijo, katere prisotnost vam omogoča, da vnaprej napoveste, kateri harmoniki bodo v Fourierjevem nizu, in ne opravljate nepotrebnega dela.

Grafično-analitična razširitev krivulj v Fourierjev niz

Kadar je nesinusoidna krivulja določena z grafom ali tabelo in nima analitičnega izraza, se za določitev njenih harmonikov zatečejo k grafoanalitični dekompoziciji. Temelji na zamenjavi določenega integrala z vsoto končnega števila členov. V ta namen obdobje funkcije f(ωt) razdeljen na n enaki deli Δ ωt= 2π/ n(slika 6.6). Potem za ničelni harmonik

Kje: R– trenutni indeks (številka razdelka), pri čemer vrednosti od 1 do n; f R (ωt) – vrednost funkcije f(ωt) pri ωt=р·Δ ωt(glej sliko 6.6) . Za amplitudo sinusne komponente k-th harmoniki

Za amplitudo kosinusne komponente k-th harmoniki

Tukaj greh str kωt in cos str kωt- vrednote umivalnikωt in coskωt pri ωt=р·. V praktičnih izračunih se običajno vzame n=18 (Δ ωt= 20˚) oz n=24 (Δ ωt= 15). Pri grafično-analitični razgradnji krivulj v Fourierjev niz je še bolj kot analitično pomembno ugotoviti, ali ima le-ta kakšno simetrijo, katere prisotnost bistveno zmanjša količino računskega dela. Torej, formule za in ob prisotnosti simetrije dobijo obliko

Pri risanju harmonikov na splošnem grafu je treba upoštevati, da je merilo vzdolž abscisne osi za k-th harmoniki v k krat več kot pri prvem.

Najvišje, povprečne in efektivne vrednosti nesinusnih količin

Za periodične nesinusne količine so poleg harmoničnih komponent značilne največje, povprečne in efektivne vrednosti. Največja vrednost A m je največja vrednost modula funkcije v obdobju (slika 6.7). Modulo povprečna vrednost se določi na naslednji način

.

Če je krivulja simetrična glede na os x in v polperiodi nikoli ne spremeni predznaka, potem je povprečna absolutna vrednost enaka povprečni vrednosti polperiode

,

Poleg tega je treba v tem primeru začetek štetja časa izbrati tako, da f( 0)= 0. Če funkcija v celotnem obdobju nikoli ne spremeni predznaka, potem je njena povprečna absolutna vrednost enaka konstantni komponenti. V nesinusoidnih tokovnih tokokrogih se vrednosti EMF, napetosti ali tokov razumejo kot njihove efektivne vrednosti, določene s formulo

.

Če krivuljo razširimo v Fourierjev niz, lahko njeno efektivno vrednost določimo na naslednji način

Razložimo rezultat. Produkt sinusoidov različnih frekvenc ( kω in iω) je harmonična funkcija in integral v periodi katere koli harmonične funkcije je nič. Integral, ki se nahaja pod znakom prve vsote, je bil določen v tokokrogih sinusnega toka in tam prikazana njegova vrednost. torej

.

Iz tega izraza sledi, da je efektivna vrednost periodičnih nesinusoidnih količin odvisna samo od efektivnih vrednosti njenih harmonikov in ni odvisna od njihovih začetnih faz ψ k. Dajmo primer. Pustiti u=120
greh (314 t+45˚)-50sin(3·314 t-75˚) B. Njegov dejanski pomen

Obstajajo primeri, ko je mogoče absolutno povprečje in efektivne vrednosti nesinusoidnih količin izračunati na podlagi integracije analitičnega izraza funkcije in takrat krivulje ni treba razširiti v Fourierjev niz. V elektroenergetiki, kjer so krivulje pretežno simetrične glede na os x, se za karakterizacijo njihove oblike uporabljajo številni koeficienti. Najpogosteje se uporabljajo trije: grebenski faktor k a, faktor oblike k f in faktor popačenja k in. Opredeljeni so takole: k a = A m/ A; /A Sre; k in = A 1 /A. Za sinusoido imajo naslednje pomene: k a =; k f = π A m / 2A m ≈1,11; 1. D Za pravokotno krivuljo (slika 6.8, a) so koeficienti naslednji: k a =1; k f =1; k in =1,26/. Za krivuljo s koničasto (konicasto) obliko (slika 6.8, b) so vrednosti koeficientov naslednje: k a > in čim višja, tem bolj konico ima obliko; k f >1,11 in bolj ko je krivulja koničasta, višja je; k in<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. УPrikazujemo eno od praktičnih uporab koeficienta popačenja. Krivulje industrijske napetosti se običajno razlikujejo od idealnega sinusnega vala. V elektroenergetiki se uvaja koncept praktično sinusne krivulje. V skladu z GOST se napetost industrijskih omrežij šteje za praktično sinusno, če največja razlika med ustreznimi ordinatami prave krivulje in njene prve harmonike ne presega 5% amplitude osnovne harmonike (slika 6.9). Merjenje nesinusnih veličin z instrumenti različnih sistemov daje različne rezultate. Amplitudni elektronski voltmetri merijo največje vrednosti. Magnetoelektrične naprave reagirajo samo na konstantno komponento izmerjenih veličin. Magnetoelektrične naprave z usmernikom merijo povprečno vrednost modula. Instrumenti vseh drugih sistemov merijo efektivne vrednosti.

Izračun tokokrogov nesinusnega toka

Če je v vezju eden ali več virov z nesinusoidnim EMF, je njegov izračun razdeljen na tri stopnje. 1. Razgradnja virov EMF na harmonične komponente. Kako to storiti, je opisano zgoraj. 2. Uporaba principa superpozicije in izračun tokov in napetosti v tokokrogu iz delovanja vsake komponente EMF posebej. 3. Skupna obravnava (povzemanje) dobljenih rešitev v 2. odst. Seštevanje komponent v splošni obliki je najpogosteje težko in ni vedno potrebno, saj je na podlagi harmoničnih komponent mogoče presojati tako obliko krivulje kot osnovne količine, ki jo označujejo. O
Glavna faza je druga. Če je nesinusoidni EMF predstavljen s Fourierjevo serijo, potem lahko tak vir štejemo za serijsko povezavo vira konstantnega EMF in virov sinusoidnega EMF z različnimi frekvencami (slika 6.10). Z uporabo principa superpozicije in upoštevanjem delovanja vsakega EMF posebej je mogoče določiti komponente tokov v vseh vejah vezja. Pustiti E o ustvarja jaz o, e 1 - jaz 1 , e 2 - jaz 2 itd. Potem dejanski tok jaz=jaz o + jaz 1 +jaz 2 +··· . Posledično se izračun nesinusoidnega tokovnega tokokroga zmanjša na rešitev enega problema s konstantnim EMF in številnih problemov s sinusoidnim EMF. Pri reševanju vsakega od teh problemov je treba upoštevati, da za različne frekvence induktivne in kapacitivne reaktanse niso enake. Induktivna reaktanca je neposredno sorazmerna s frekvenco, torej je k th harmoniki x Lk = kωL=kx L1, tj. Za k-th harmonik je v k krat več kot pri prvem. Kapacitivnost je obratno sorazmerna s frekvenco, torej je k th harmoniki xСk =1/ kωС=x C1/ k, tj. Za k-th harmonik je v k krat manj kot pri prvem. Aktivni upor je načeloma odvisen tudi od frekvence zaradi površinskega učinka, vendar pri majhnih prerezih prevodnikov in pri nizkih frekvencah površinskega učinka praktično ni in je sprejemljivo domnevati, da je aktivni upor enak za vse harmonike. Če se nesinusna napetost napaja neposredno na kapacitivnost, potem za k-th tokovnih harmonikov

H Višje kot je harmonsko število, manjša je kapacitivnost zanj. Torej, tudi če je amplituda napetosti harmonika visokega reda majhen del amplitude prvega harmonika, lahko še vedno povzroči tok, ki je primerljiv ali večji od osnovnega toka. V zvezi s tem se lahko tudi pri napetosti, ki je blizu sinusne, tok v rezervoarju izkaže za močno nesinusoidnega (slika 6.11). V zvezi s tem je rečeno, da kapacitivnost poudarja visoke harmonične tokove. Če se nesinusna napetost nanese neposredno na induktivnost, potem za k-th tokovnih harmonikov

.

Z
Ko se harmonični red poveča, se poveča induktivna reaktanca. Zato so v toku skozi induktivnost višji harmoniki zastopani v manjši meri kot v napetosti na njenih sponkah. Tudi pri močno nesinusni napetosti se krivulja toka v induktivnosti pogosto približa sinusoidu (slika 6.12). Zato pravijo, da induktivnost tokovno krivuljo približa sinusni. Pri izračunu vsake harmonične komponente toka lahko uporabite kompleksno metodo in sestavite vektorske diagrame, vendar je nesprejemljivo izvajati geometrijsko seštevanje vektorjev in dodajanje kompleksov napetosti ali tokov različnih harmonikov. Dejansko se vektorji, ki predstavljajo, recimo, tokove prvega in tretjega harmonika, vrtijo z različnimi hitrostmi (slika 6.13). Zato daje geometrijska vsota teh vektorjev trenutno vrednost njihove vsote šele, ko ω t=0 in v splošnem primeru ni smiselno.

Moč nesinusnega toka

Tako kot v tokokrogih s sinusnim tokom bomo govorili o moči, ki jo porabi pasivno dvopolno omrežje. Aktivna moč pomeni tudi povprečno vrednost trenutne moči v določenem obdobju.

Naj sta napetost in tok na vhodu dvopolnega omrežja predstavljena s Fourierjevimi vrstami

Zamenjajmo vrednosti u in jaz v formulo R

Rezultat je bil dobljen ob upoštevanju dejstva, da je integral po periodi produkta sinusoidov različnih frekvenc enak nič, integral po periodi produkta sinusoidov iste frekvence pa je bil določen v odseku sinusoidov. tokovna vezja. Tako je aktivna moč nesinusoidnega toka enaka vsoti aktivnih moči vseh harmonikov. To je jasno R k se lahko določi s katero koli znano formulo. Po analogiji s sinusnim tokom je za nesinusni tok uveden koncept skupne moči kot produkta efektivnih vrednosti napetosti in toka, tj. S=UI. Odnos R Za S se imenuje faktor moči in je enak kosinusu določenega običajnega kota θ , tj. cos θ =P/S. V praksi se zelo pogosto nesinusne napetosti in tokovi nadomestijo z enakovrednimi sinusoidami. V tem primeru morata biti izpolnjena dva pogoja: 1) efektivna vrednost ekvivalentne sinusoide mora biti enaka efektivni vrednosti količine, ki se nadomešča; 2) kot med ekvivalentnima sinusoidama napetosti in toka θ bi morala biti taka, da uporabniški vmesnik cos θ bi bila enaka delovni moči R. torej θ je kot med ekvivalentnima sinusoidama napetosti in toka. Običajno je efektivna vrednost ekvivalentnih sinusoidov blizu efektivne vrednosti osnovnih harmonikov. Po analogiji s sinusnim tokom je za nesinusni tok uveden koncept jalove moči, definiran kot vsota reaktivnih moči vseh harmonikov

Za nesinusni tok v nasprotju s sinusnim S 2 ≠p 2 +Q 2. Zato je tukaj uveden koncept moči popačenja T, ki označuje razliko v oblikah krivulj napetosti in toka in je definirana na naslednji način

Višji harmoniki v trifaznih sistemih

V trifaznih sistemih običajno napetostne krivulje v fazah B in C natančno reproducirajo krivuljo faze A s premikom tretjine obdobja. Torej če u A= f(ωt), To u B = f(ωt- 2π/ 3), A u C = f(ωt+ 2π/ 3). Predpostavimo, da so fazne napetosti nesinusne in so razširjene v Fourierjev niz. Potem razmislite k-th harmonika v vseh treh fazah. Pustiti u Ak = U km greh( kωt+ψ k), potem dobimo u Vk = U km greh( kωt+ψ k -k 2π/ 3) in u Ck = U km greh( kωt+ψ k +k 2π/ 3). Primerjava teh izrazov za različne vrednosti k, opazimo, da za harmonike, deljive s tri ( k=3n, n– naravni niz števil, ki se začne od 0) v vseh fazah imajo napetosti v vsakem trenutku enako vrednost in smer, tj. tvorijo sistem ničelnega zaporedja. pri k=3n+ 1 tvorijo harmoniki napetostni sistem, katerega zaporedje sovpada z zaporedjem dejanskih napetosti, tj. tvorijo sistem neposrednega zaporedja. pri k=3n- 1 tvorijo harmoniki napetostni sistem, katerega zaporedje je nasprotno zaporedju dejanskih napetosti, tj. tvorijo sistem obratnega zaporedja. V praksi najpogosteje manjkajo konstantna komponenta in vsi sodi harmoniki, zato se bomo v prihodnje omejili na upoštevanje le lihih harmonikov. Potem je najbližji harmonik, ki tvori obratno zaporedje, peti. Pri elektromotorjih povzroča največ škode, zato z njim bijejo neusmiljen boj. Razmislimo o značilnostih delovanja trifaznih sistemov, ki jih povzroča prisotnost harmonikov, ki so večkratniki treh. 1 . Ko so navitja generatorja ali transformatorja povezana v trikotnik (slika 6.14), harmonični tokovi, ki so večkratniki treh, tečejo skozi veje slednjega, tudi če ni zunanje obremenitve. Dejansko je algebraična vsota emf harmonikov, ki so večkratniki treh ( E 3 , E 6 itd.), ima v trikotniku trojno vrednost, v nasprotju z drugimi harmoniki, pri katerih je ta vsota enaka nič. Če je fazni upor navitja za tretji harmonik Z 3, potem bo tretji harmonski tok v trikotnem vezju jaz 3 =E 3 /Z 3. Podobno šesti harmonski tok jaz 6 =E 6 /Z 6 itd. Efektivna vrednost toka, ki teče skozi navitja, bo
. Ker je upor navitij generatorja majhen, lahko tok doseže velike vrednosti. Torej, če so v fazi EMF harmoniki, deljivi s tremi, navitja generatorja ali transformatorja niso povezana v trikotnik. 2 . Če navitja generatorja ali transformatorja povežete v odprt trikotnik (sl. 6.155), bo na njegovih sponkah napetost enaka vsoti EMF harmonikov, večkratnikov treh, tj. u BX =3 E 3m greh (3 ωt+ψ 3)+3E 6m greh (6 ωt+ψ 6)+3E 9m greh (9 ωt+ψ 9)+···. Njegov dejanski pomen

.

Odprti trikotnik se običajno uporablja pred priključitvijo navitij generatorja v navadni trikotnik, da se preveri možnost nemotene izvedbe slednjega. 3. Linearne napetosti, ne glede na povezovalni diagram navitij generatorja ali transformatorja, ne vsebujejo harmonikov, ki so večkratniki treh. Ko so povezani s trikotnikom, se fazni EMF, ki vsebujejo harmonike, ki so večkratniki treh, kompenzirajo s padcem napetosti na notranjem uporu faze generatorja. V skladu z drugim Kirchhoffovim zakonom za tretjega lahko na primer zapišemo harmonike za vezje na sliki 6.14 U AB3+ jaz 3 Z 3 =E 3, od koder pridemo U AB3 =0. Podobno za vse harmonike, ki so večkratniki treh. Pri vezavi v zvezdo so linearne napetosti enake razliki v ustreznih faznih EMF. Pri harmonikih, ki so večkratniki treh, ko so te razlike sestavljene, se fazni EMF uničijo, saj tvorijo sistem ničelnega zaporedja. Tako lahko fazne napetosti vsebujejo komponente vseh harmonikov in njihovo efektivno vrednost. V linearnih napetostih ni harmonikov, ki bi bili večkratniki treh, zato je njihova efektivna vrednost . V zvezi s tem, v prisotnosti harmonikov, ki so večkratniki treh, U l/ U f<
. 4. V tokokrogih brez nevtralne žice harmoničnih tokov, deljivih s tri, ni mogoče zapreti, saj tvorijo sistem ničelnega zaporedja in se lahko zaprejo le, če je slednji prisoten. V tem primeru se med ničelnimi točkami sprejemnika in vira, tudi v primeru simetrične obremenitve, pojavi napetost, enaka vsoti emf harmonikov, ki so večkratniki treh, kar je enostavno preveriti iz enačbe drugega Kirchhoffovega zakona, ob upoštevanju dejstva, da ni tokov teh harmonikov. Trenutna vrednost te napetosti u 0 1 0 =E 3m greh (3 ωt+ψ 3)+E 6m greh (6 ωt+ψ 6)+E 9m greh (9 ωt+ψ 9)+···. Njegov dejanski pomen
. 5. V vezju zvezda-zvezda z nevtralno žico (sl. 6.16) bo slednji zaprl harmonične tokove, ki so večkratniki treh, tudi v primeru simetrične obremenitve, če fazni EMF vsebujejo navedene harmonike. Glede na to, da harmoniki, ki so večkratniki treh, tvorijo sistem ničelnega zaporedja, lahko zapišemo

V mnogih primerih je naloga pridobivanja (izračunavanja) spektra signala videti takole. Obstaja ADC, ki s frekvenco vzorčenja Fd pretvarja zvezni signal, ki prihaja na njegov vhod v času T, v digitalne vzorce - N kosov. Nato se niz vzorcev vnese v določen program, ki proizvede N/2 nekaterih številskih vrednosti (programer, ki ukradel z interneta napisal program, zagotavlja, da izvaja Fourierjevo transformacijo).

Da bi preverili, ali program deluje pravilno, bomo oblikovali niz vzorcev kot vsoto dveh sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) in ga potisnili v program . Program je potegnil naslednje:

Slika 1 Graf funkcije časa signala

Slika 2 Graf spektra signala

Na spektralnem grafu sta dve palici (harmoniki) 5 Hz z amplitudo 0,5 V in 10 Hz z amplitudo 1 V, vse je enako kot v formuli izvirnega signala. Vse je v redu, bravo programer! Program deluje pravilno.

To pomeni, da če uporabimo pravi signal iz mešanice dveh sinusoidov na vhod ADC, bomo dobili podoben spekter, sestavljen iz dveh harmonikov.

Skupaj, naš resnično izmerjeni signal, ki traja 5 sekund, ki jih je ADC digitaliziral, torej predstavljen diskretnašteje, ima diskretno neperiodično obseg.

Z matematičnega vidika, koliko napak je v tej frazi?

Zdaj so se pristojni odločili, odločili smo, da je 5 sekund predolgo, izmerimo signal v 0,5 sekunde.



Slika 3 Graf funkcije sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) za obdobje merjenja 0,5 s

Slika 4 Funkcijski spekter

Nekaj ​​se ne zdi v redu! Harmonik 10 Hz je narisan normalno, vendar se namesto palice 5 Hz pojavi več čudnih harmonikov. Gledamo po internetu, kaj se dogaja ...

No, pravijo, da morate dodati ničle na konec vzorca in spekter bo narisan kot običajno.

Slika 5. Dodane ničle do 5 sekund

Slika 6 Prejeti spekter

Še vedno ni tako, kot je bilo pri 5 sekundah. Ukvarjati se bomo morali s teorijo. Pojdimo na Wikipedia- vir znanja.

2. Zvezna funkcija in njena predstavitev Fourierove vrste

Matematično je naš signal s trajanjem T sekund določena funkcija f(x), določena na intervalu (0, T) (X je v tem primeru čas). Takšno funkcijo lahko vedno predstavimo kot vsoto harmoničnih funkcij (sinus ali kosinus) v obliki:

K - število trigonometrične funkcije (število harmonske komponente, harmonično število)
T - segment, kjer je definirana funkcija (trajanje signala)
Ak je amplituda k-te harmonične komponente,
?k- začetna faza k-te harmonične komponente

Kaj pomeni "predstaviti funkcijo kot vsoto vrste"? To pomeni, da z dodajanjem vrednosti harmoničnih komponent Fourierjevega niza v vsaki točki dobimo vrednost naše funkcije na tej točki.

(Natančneje, povprečni kvadratni odklon serije od funkcije f(x) se bo nagibal k ničli, vendar kljub konvergenci povprečne kvadratne vrednosti Fourierjev niz funkcije na splošno ni potreben, da konvergirajo točkovno k njej. Glej https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

To serijo lahko zapišemo tudi kot:

(2),
kjer je k-ta kompleksna amplituda.

Razmerje med koeficientoma (1) in (3) je izraženo z naslednjima formulama:

Upoštevajte, da so vse te tri predstavitve Fourierove vrste popolnoma enakovredne. Včasih je pri delu s Fourierjevimi serijami bolj priročno uporabiti eksponente imaginarnega argumenta namesto sinusov in kosinusov, to je, uporabiti Fourierjevo transformacijo v kompleksni obliki. Toda za nas je priročno uporabiti formulo (1), kjer je Fourierjeva serija predstavljena kot vsota kosinusov z ustreznimi amplitudami in fazami. V vsakem primeru je napačno reči, da bo Fourierjeva transformacija realnega signala povzročila kompleksne harmonične amplitude. Kot pravilno pravi Wiki, je "Fourierjeva transformacija (?) operacija, ki eno funkcijo realne spremenljivke poveže z drugo funkcijo, prav tako realno spremenljivko."

Skupaj:
Matematična osnova za spektralno analizo signalov je Fourierjeva transformacija.

Fourierjeva transformacija vam omogoča, da predstavite zvezno funkcijo f(x) (signal), definirano na segmentu (0, T) kot vsoto neskončnega števila (neskončnega niza) trigonometričnih funkcij (sinus in/ali kosinus) z določeno amplitude in faze, upoštevane tudi na segmentu (0, T). Takšno vrsto imenujemo Fourierjeva vrsta.

Omenimo še nekaj točk, katerih razumevanje je potrebno za pravilno uporabo Fourierjeve transformacije pri analizi signalov. Če upoštevamo Fourierjevo vrsto (vsoto sinusoidov) na celotni osi X, lahko vidimo, da bo zunaj segmenta (0, T) funkcija, ki jo predstavlja Fourierjeva vrsta, periodično ponavljala našo funkcijo.

Na primer, v grafu na sliki 7 je prvotna funkcija definirana na segmentu (-T\2, +T\2), Fourierjeva vrsta pa predstavlja periodično funkcijo, definirano na celotni x-osi.

To se zgodi, ker so same sinusoide periodične funkcije, zato bo njihova vsota periodična funkcija.

Slika 7 Predstavitev neperiodične izvirne funkcije s Fourierjevim nizom

Tako:

Naša prvotna funkcija je zvezna, neperiodična, definirana na določenem segmentu dolžine T.
Spekter te funkcije je diskreten, to je, da je predstavljen v obliki neskončnega niza harmoničnih komponent - Fourierove serije.
Dejansko Fourierjeva vrsta določa določeno periodično funkcijo, ki sovpada z našo na segmentu (0, T), vendar za nas ta periodičnost ni pomembna.

Periode harmoničnih komponent so večkratniki vrednosti segmenta (0, T), na katerem je definirana izvirna funkcija f(x). Z drugimi besedami, harmonične periode so večkratniki trajanja merjenja signala. Na primer, perioda prvega harmonika Fourierovega niza je enaka intervalu T, na katerem je definirana funkcija f(x). Perioda drugega harmonika Fourierovega niza je enaka intervalu T/2. In tako naprej (glej sliko 8).

Slika 8 Obdobja (frekvence) harmoničnih komponent Fourierjevega niza (tukaj T = 2?)

V skladu s tem so frekvence harmoničnih komponent večkratniki 1/T. To pomeni, da so frekvence harmoničnih komponent Fk enake Fk = k\T, kjer se k giblje od 0 do?, na primer k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri ničelni frekvenci - konstantna komponenta).

Naj bo naša prvotna funkcija signal, posnet med T=1 s. Takrat bo perioda prvega harmonika enaka trajanju našega signala T1=T=1 s in frekvenca harmonika 1 Hz. Perioda drugega harmonika bo enaka trajanju signala, deljenemu z 2 (T2=T/2=0,5 s), frekvenca pa bo 2 Hz. Za tretji harmonik je T3=T/3 s in frekvenca 3 Hz. In tako naprej.

Korak med harmoniki je v tem primeru 1 Hz.

Tako lahko signal s trajanjem 1 sekunde razgradimo na harmonične komponente (pridobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 1 Hz.
Če želite povečati ločljivost za 2-krat na 0,5 Hz, morate podaljšati trajanje meritve za 2-krat - do 2 sekundi. Signal, ki traja 10 sekund, je mogoče razstaviti na harmonične komponente (da dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 0,1 Hz. Ni drugih načinov za povečanje frekvenčne ločljivosti.

Obstaja način, kako umetno povečati trajanje signala z dodajanjem ničel nizu vzorcev. Vendar ne poveča dejanske frekvenčne ločljivosti.

3. Diskretni signali in diskretna Fourierjeva transformacija

Z razvojem digitalne tehnologije so se spremenili tudi načini shranjevanja merilnih podatkov (signalov). Če je bilo prej mogoče signal posneti na magnetofon in ga shraniti na trak v analogni obliki, se zdaj signali digitalizirajo in shranijo v datoteke v pomnilniku računalnika kot niz številk (vzorci).

Običajna shema za merjenje in digitalizacijo signala je naslednja.

Sl.9 Diagram merilnega kanala

Signal iz merilnega pretvornika prispe v ADC v času T. Vzorci signala (vzorčenje), dobljeni v času T, se prenesejo v računalnik in shranijo v pomnilnik.

Slika 10 Digitaliziran signal - N vzorcev, prejetih v času T

Kakšne so zahteve za parametre digitalizacije signala? Naprava, ki pretvori vhodni analogni signal v diskretno kodo (digitalni signal), se imenuje analogno-digitalni pretvornik (ADC) (Wiki).

Eden glavnih parametrov ADC je največja frekvenca vzorčenja (ali hitrost vzorčenja, angleška stopnja vzorčenja) - hitrost vzorčenja časovno neprekinjenega signala pri njegovem vzorčenju. Meri se v hercih. ((Wiki))

V skladu s Kotelnikovim izrekom, če ima zvezni signal spekter, omejen s frekvenco Fmax, ga je mogoče popolnoma in edinstveno rekonstruirati iz njegovih diskretnih vzorcev, vzetih v časovnih intervalih, tj. s frekvenco Fd? 2*Fmax, kjer je Fd frekvenca vzorčenja; Fmax - največja frekvenca spektra signala. Z drugimi besedami, frekvenca digitalizacije signala (frekvenca vzorčenja ADC) mora biti vsaj 2-krat višja od maksimalne frekvence signala, ki ga želimo izmeriti.

Kaj se bo zgodilo, če vzamemo vzorce z nižjo frekvenco, kot zahteva Kotelnikov izrek?

V tem primeru nastopi učinek »aliasinga« (znan tudi kot stroboskopski učinek, moiré efekt), pri katerem se visokofrekvenčni signal po digitalizaciji spremeni v nizkofrekvenčni signal, ki dejansko ne obstaja. Na sl. 5 rdeči visokofrekvenčni sinusni val je pravi signal. Modri ​​sinusoid nižje frekvence je fiktivni signal, ki nastane zaradi dejstva, da v času vzorčenja preteče več kot polovica obdobja visokofrekvenčnega signala.

riž. 11. Pojav lažnega nizkofrekvenčnega signala pri nezadostno visoki frekvenci vzorčenja

Da bi se izognili učinku aliasinga, je pred ADC nameščen poseben anti-aliasing filter - nizkoprepustni filter (LPF), ki prepušča frekvence pod polovico frekvence vzorčenja ADC in odreže višje frekvence.

Za izračun spektra signala iz njegovih diskretnih vzorcev se uporablja diskretna Fourierjeva transformacija (DFT). Naj še enkrat opozorimo, da je spekter diskretnega signala "po definiciji" omejen s frekvenco Fmax, ki je manjša od polovice frekvence vzorčenja Fd. Zato lahko spekter diskretnega signala predstavimo z vsoto končnega števila harmonikov, v nasprotju z neskončno vsoto za Fourierjev niz zveznega signala, katerega spekter je lahko neomejen. Po Kotelnikovem izreku mora biti največja frekvenca harmonika takšna, da zajema vsaj dva vzorca, zato je število harmonikov enako polovici števila vzorcev diskretnega signala. To pomeni, da če je v vzorcu N vzorcev, bo število harmonikov v spektru enako N/2.

Oglejmo si zdaj diskretno Fourierjevo transformacijo (DFT).

Primerjava s Fourierjevimi vrstami

Vidimo, da sovpadata, le da je čas v DFT diskretne narave in je število harmonikov omejeno z N/2 - polovico števila vzorcev.

Formule DFT so zapisane v brezdimenzionalnih celoštevilskih spremenljivkah k, s, kjer so k števila vzorcev signala, s pa števila spektralnih komponent.
Vrednost s prikazuje število popolnih harmoničnih nihanj v obdobju T (trajanje merjenja signala). Diskretna Fourierjeva transformacija se uporablja za iskanje amplitud in faz harmonikov z uporabo numerične metode, tj. "na računalniku"

Če se vrnem k rezultatom, pridobljenim na začetku. Kot je navedeno zgoraj, pri razširitvi neperiodične funkcije (našega signala) v Fourierjevo vrsto nastala Fourierjeva vrsta dejansko ustreza periodični funkciji s periodo T (slika 12).

Slika 12 Periodična funkcija f(x) s periodo T0, z merilno periodo T>T0

Kot je razvidno iz slike 12, je funkcija f(x) periodična s periodo T0. Vendar pa zaradi dejstva, da trajanje merilnega vzorca T ne sovpada s periodo funkcije T0, ima funkcija, dobljena kot Fourierjeva vrsta, diskontinuiteto v točki T. Posledično bo spekter te funkcije vseboval veliko število visokofrekvenčnih harmonikov. Če bi trajanje merilnega vzorca T sovpadalo s periodo funkcije T0, bi spekter, dobljen po Fourierjevi transformaciji, vseboval samo prvi harmonik (sinusoid s periodo, enako trajanju vzorčenja), saj funkcija f(x) je sinusoida.

Z drugimi besedami, program DFT »ne ve«, da je naš signal »kos sinusoide«, ampak poskuša predstaviti periodično funkcijo v obliki niza, ki ima diskontinuiteto zaradi nekonsistentnosti posameznih delov sinusoide. sinusoid.

Posledično se v spektru pojavijo harmoniki, ki naj povzamejo obliko funkcije, vključno s to diskontinuiteto.

Tako je za pridobitev »pravilnega« spektra signala, ki je vsota več sinusoidov z različnimi obdobji, potrebno, da se celo število obdobij posamezne sinusoide prilega periodi merjenja signala. V praksi je ta pogoj lahko izpolnjen pri dovolj dolgem trajanju merjenja signala.

Slika 13 Primer delovanja in spektra signala kinematične napake menjalnika

S krajšim trajanjem bo slika videti "slabša":

Slika 14 Primer delovanja in spektra vibracijskega signala rotorja

V praksi je lahko težko razumeti, kje so "prave komponente" in kje so "artefakti", ki jih povzročajo ne-večkratne dobe komponent in trajanje vzorčenja signala ali "skoki in prelomi" v obliki signala. . Seveda sta besedi »prave komponente« in »artefakti« z razlogom postavljeni v narekovaje. Prisotnost številnih harmonikov na spektralnem grafu ne pomeni, da je naš signal dejansko "sestavljen" iz njih. To je enako, kot če bi mislili, da je število 7 "sestavljeno" iz števil 3 in 4. Število 7 lahko predstavimo kot vsoto števil 3 in 4 - to je pravilno.

Torej naš signal ... ali bolje rečeno niti ne "naš signal", ampak periodično funkcijo, ki jo sestavlja ponavljanje našega signala (vzorčenje), lahko predstavimo kot vsoto harmonikov (sinusov) z določenimi amplitudami in fazami. Toda v mnogih primerih, ki so pomembni za prakso (glej zgornje slike), je res mogoče harmonike, dobljene v spektru, povezati z realnimi procesi, ki so ciklične narave in pomembno prispevajo k obliki signala.

Nekaj ​​rezultatov

1. Realni izmerjeni signal s trajanjem T sekund, ki ga digitalizira ADC, to je predstavljen z nizom diskretnih vzorcev (N kosov), ima diskretni neperiodični spekter, ki ga predstavlja niz harmonikov (N/ 2 kosa).

2. Signal je predstavljen z nizom realnih vrednosti in njegov spekter je predstavljen z nizom realnih vrednosti. Harmonične frekvence so pozitivne. Dejstvo, da je za matematike bolj priročno predstaviti spekter v kompleksni obliki z uporabo negativnih frekvenc, ne pomeni, da je "to pravilno" in "to je treba vedno narediti."

3. Signal, merjen v časovnem intervalu T, je določen le v časovnem intervalu T. Kaj se je dogajalo, preden smo začeli meriti signal, in kaj se bo zgodilo po tem, znanosti ni znano. In v našem primeru to ni zanimivo. DFT časovno omejenega signala daje njegov "pravi" spekter, v smislu, da pod določenimi pogoji omogoča izračun amplitude in frekvence njegovih komponent.

Uporabljeni materiali in drugi uporabni materiali.