Лінійна незалежність. Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних стовпців матриць Лінійна комбінація стовпців

13.10.2021

Поняття лінійної залежності та лінійної незалежності визначаються для рядків та стовпців однаково. Тому властивості, пов'язані з цими поняттями, сформульовані для стовпців, очевидно, справедливі й у рядків.

1. Якщо систему стовпців входить нульовий стовпець, вона лінійно залежна.

2. Якщо в системі стовпців є два рівні стовпці, то вона лінійно залежна.

3. Якщо системі стовпців є два пропорційних стовпця , вона лінійно залежна.

4. Система зі стовпців лінійно залежна тоді й лише тоді, коли хоча б один із стовпців є лінійна комбінація інших.

5. Будь-які стовпці, що входять до лінійно незалежної системи, утворюють лінійно незалежну підсистему.

6. Система стовпців, що містить лінійно залежну підсистему, лінійно залежна.

7. Якщо система стовпців - лінійно незалежна, а після приєднання до неї стовпця - виявляється лінійно залежною, то стовпець можна розкласти по стовпцям, і до того єдиним чином, тобто. Коефіцієнти розкладання знаходяться однозначно.

Доведемо, наприклад, останню властивість. Так як система стовпців лінійно залежна, то є числа не всі рівні 0, що

У цій рівності. Справді, якщо , то

Отже, нетривіальна лінійна комбінація стовпців дорівнює нульовому стовпцю, що суперечить лінійної незалежності системи. Отже, і тоді, тобто. стовпець є лінійна комбінація стовпців. Залишилося показати єдиність такого уявлення. Припустимо неприємне. Нехай є два розкладання і , причому не всі коефіцієнти розкладів відповідно дорівнюють між собою (наприклад, ). Тоді з рівності

Отримуємо (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

послідовно, лінійна комбінація стовпців дорівнює нульовому стовпцю. Так як не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю (принаймні), то ця комбінація нетривіальна, що суперечить умові лінійної незалежності стовпців. Отримана суперечність підтверджує єдиність розкладання.

Приклад 3.2.Довести, що два ненульові стовпці і лінійно залежні і тоді, коли вони пропорційні, тобто. .

Рішення.Справді, якщо стовпці і лінійно залежні, то існують такі числа , які не рівні нулю одночасно, що . Причому в цій рівності. Справді, припустивши, що , отримаємо протиріччя, оскільки і стовпець - ненульовий. Отже, . Тому знайдеться число таке, що . Необхідність доведена.

Навпаки, якщо , то . Отримали нетривіальну лінійну комбінацію стовпців, що дорівнює нульовому стовпцю. Отже, стовпці лінійно залежні.

приклад 3.3.Розглянути всілякі системи, утворені зі стовпців

Дослідити кожну систему лінійну залежність.
Рішення. Розглянемо п'ять систем, що містять по одному стовпцю. Відповідно до п.1 зауважень 3.1: системи лінійно незалежні, а система, що складається з одного нульового стовпця, лінійно залежна.

Розглянемо системи, що містять по два стовпці:

- Кожна з чотирьох систем і лінійно залежна, оскільки містить нульовий стовпець (властивість 1);

– система лінійно залежна, оскільки стовпці пропорційні (властивість 3): ;

– кожна з п'яти систем та лінійно незалежна, оскільки стовпці непропорційні (див. затвердження прикладу 3.2).

Розглянемо системи, що містять три стовпці:

- Кожна з шести систем і лінійно залежна, оскільки містить нульовий стовпець (властивість 1);

- Системи лінійно залежні, оскільки містять лінійно залежну підсистему (властивість 6);

- Системи і лінійно залежні, так як останній стовпець лінійно виражається через інші (властивість 4): і відповідно.

Нарешті, системи з чотирьох або п'яти стовпців лінійно залежні (за якістю 6).

Ранг матриці

У цьому розділі розглянемо ще одну важливу числову характеристику матриці, пов'язану з тим, як її рядки (стовпці) залежать один від одного.

Визначення 14.10Нехай дана матриця розмірів і число , що не перевищує найменшого чисел і : . Виберемо довільно рядків матриці та стовпців (номери рядків можуть відрізнятися від номерів стовпців). Визначник матриці, що складається з елементів, що стоять на перетині вибраних рядків і стовпців, називається мінором порядку матриці .

Приклад 14.9Нехай .

Мінором першого порядку є будь-який елемент матриці. Так 2, , - Мінори першого порядку.

Мінори другого порядку:

1. візьмемо рядки 1, 2, стовпці 1, 2, отримаємо мінор ;

2. візьмемо рядки 1, 3, стовпці 2, 4, отримаємо мінор ;

3. візьмемо рядки 2, 3, стовпці 1, 4, отримаємо мінор

Мінори третього порядку:

рядки тут можна вибрати лише одним способом,

1. візьмемо стовпці 1, 3, 4, отримаємо мінор ;

2. візьмемо стовпці 1, 2, 3, отримаємо мінор .

Пропозиція 14.23 Якщо всі мінори матриці порядку дорівнюють нулю, то всі мінори порядку, якщо такі існують, теж дорівнюють нулю.

Доведення. Візьмемо довільний мінор порядку. Це визначник матриці порядку. Розкладемо його за першим рядком. Тоді в кожному доданку розкладання один з множників буде мінором порядку вихідної матриці. За умовою мінори порядку рівні нулю. Тому і мінор порядку дорівнюватиме нулю.

Визначення 14.11Рангом матриці називається найбільший із порядків мінорів матриці, відмінних від нуля. Ранг нульової матриці вважається рівним нулю.

Єдине, стандартне, позначення рангу матриці відсутнє. Дотримуючись підручника, ми позначатимемо його.

Приклад 14.10Матриця прикладу 14.9 має ранг 3, оскільки є мінор третього порядку, відмінний від нуля, а мінорів четвертого порядку немає.

Ранг матриці дорівнює 1, так як є ненульовий мінор першого порядку (елемент матриці), а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю.

Ранг невиродженої квадратної матриці порядку дорівнює , оскільки її визначник є мінором порядку і невиродженої матриці відмінний від нуля.

Пропозиція 14.24 При транспонуванні матриці її ранг не змінюється, тобто .

Доведення. Транспонований мінор вихідної матриці буде мінором транспонованої матриці , і навпаки, будь-який мінор є транспонованим мінором вихідної матриці . При транспонуванні визначник (мінор) не змінюється (пропозиція 14.6). Тому якщо всі мінори порядку у вихідній матриці дорівнюють нулю, то всі мінори того ж порядку теж рівні нулю. Якщо ж мінор порядку у вихідній матриці відмінний від нуля, то є мінор того ж порядку, відмінний від нуля. Отже, .

Визначення 14.12Нехай ранг матриці дорівнює. Тоді будь-який мінор порядку, відмінний від нуля, називається базовим мінором.

Приклад 14.11Нехай . Визначник матриці дорівнює нулю, тому що третій рядок дорівнює сумі перших двох. Мінор другого порядку, розташований у перших двох рядках та перших двох стовпцях, дорівнює . Отже, ранг матриці дорівнює двом, і розглянутий мінор базисним.

Базисним мінором є також мінор, розташований, скажімо, у першому та третьому рядках, першому та третьому стовпцях: . Базисним буде мінор у другому та третьому рядках, першому та третьому стовпцях: .

Мінор у першому та другому рядках, другому та третьому стовпцях дорівнює нулю і тому не буде базисним. Читач може самостійно перевірити, які ще мінори другого порядку будуть базовими, а які ні.

Оскільки стовпці (рядки) матриці можна складати, множити числа, утворювати лінійні комбінації, можна ввести визначення лінійної залежності і лінійної незалежності системи стовпців (рядків) матриці. Ці визначення аналогічні таким же визначенням 1014, 1015 для векторів.

Визначення 14.13Система стовпців (рядків) називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів, з яких хоча б один відмінний від нуля, що лінійна комбінація стовпців (рядків) з цими коефіцієнтами дорівнюватиме нулю.

Визначення 14.14Система стовпців (рядків) є лінійно незалежною, якщо з рівності нулю лінійної комбінації цих стовпців (рядків) слід, що це коефіцієнти цієї лінійної комбінації дорівнюють нулю.

Правильне також наступне речення, аналогічне пропозиції 10.6.

Пропозиція 14.25 Система стовпців (рядків) є лінійно залежною тоді і лише тоді, коли один із стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків) цієї системи.

Сформулюємо теорему, що називається теорема про базисний мінор.

Теорема 14.2 Будь-який стовпець матриці є лінійною комбінацією стовпців, що проходять через базовий мінор.

Доказ можна знайти у підручниках з лінійної алгебри, наприклад, у , .

Пропозиція 14.26 Ранг матриці дорівнює максимальному числу її стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення. Нехай ранг матриці дорівнює. Візьмемо стовпці, що проходять через базовий мінор. Припустимо, що ці стовпці утворюють лінійно залежну систему. Тоді один із стовпців є лінійною комбінацією інших. Тому в базисному мінорі один стовпець буде лінійною комбінацією інших стовпців. За пропозиціями 14.15 та 14.18 цей базисний мінор повинен дорівнювати нулю, що суперечить визначенню базисного мінору. Отже, припущення про те, що стовпці, що проходять через базовий мінор, лінійно залежні, не є вірним. Отже, максимальне число стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему, більше або рівне .

Припустимо, що шпальт утворюють лінійно незалежну систему. Складемо з них матрицю. Усі мінори матриці є мінорами матриці. Тому базовий мінор матриці має порядок не більше. По теоремі про базисний мінор, стовпець, що не проходить через базисний мінор матриці є лінійною комбінацією стовпців, що проходять через базисний мінор, тобто стовпці матриці утворюють лінійно залежну систему. Це суперечить вибору стовпців, що утворюють матрицю. Отже, максимальна кількість стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему, не може бути більшою. Значить, воно рівне, що й стверджувалося.

Пропозиція 14.27 Ранг матриці дорівнює максимальному числу її рядків, що утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення. На пропозицію 14.24 ранг матриці при транспонуванні не змінюється. Рядки матриці стають її стовпцями. Максимальна кількість нових стовпців транспонованої матриці, (колишніх рядків вихідної), що утворюють лінійно незалежну систему, дорівнює рангу матриці.

Пропозиція 14.28 Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то один з його стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Доведення. Нехай порядок матриці дорівнює. Визначник є єдиним мінором квадратної матриці, що має порядок. Оскільки він дорівнює нулю, то . Отже, система зі стовпців (рядків) є лінійно залежною, тобто один із стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших.

Результати пропозицій 14.15, 14.18 та 14.28 дають наступну теорему.

Теорема 14.3 Визначник матриці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли один з її стовпців (один з рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Знаходження рангу матриці за допомогою обчислення всіх її мінорів вимагає надто великої обчислювальної роботи. (Читач може перевірити, що у квадратній матриці четвертого порядку 36 мінорів другого порядку.) Тому знаходження рангу застосовується інший алгоритм. Для його опису знадобиться низка додаткових відомостей.

Визначення 14.15Назвемо елементарними перетвореннями матрицьнаступні дії над ними:

1) перестановка рядків чи стовпців;
2) множення рядка чи стовпця на число відмінне від нуля;
3) додавання до одного з рядків іншого рядка, помноженого на число або додавання до одного зі стовпців іншого стовпця, помноженого на число.

Пропозиція 14.29 При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється.

Доведення. Нехай ранг матриці дорівнює - матриця, що вийшла в результаті виконання елементарного перетворення.

Розглянемо перестановку рядків. Нехай - мінор матриці, тоді в матриці є мінор, який або збігається з, або відрізняється від нього перестановкою рядків. І навпаки, будь-якому мінору матриці можна зіставити мінор матриці або збігається з або відрізняється від нього порядком рядків. Тому з того, що в матриці всі мінори порядку рівні нулю, випливає, що в матриці теж всі мінори цього порядку дорівнюють нулю. І тому що в матриці є мінор порядку, відмінний від нуля, то і в матриці теж є мінор порядку, відмінний від нуля, тобто.

Розглянемо множення рядка на число відмінне від нуля. Мінор з матриці відповідає мінор з матриці або збігається з , або відрізняється від нього тільки одним рядком, яка виходить з рядка мінора множенням на число, відмінне від нуля. В останньому випадку. У всіх випадках або одночасно рівні нулю, або одночасно відмінні від нуля. Отже, .

де - якісь числа (деякі з цих чисел або навіть всі можуть дорівнювати нулю). Це означає наявність таких рівностей між елементами стовпців:

або , .

З (3.3.1) випливає, що

(3.3.2)

де – нульовий рядок.

Визначення. Рядки матриці А лінійно залежні, якщо існують такі числа, не всі рівні нулю одночасно, що

(3.3.3)

Якщо рівність (3.3.3) справедлива і тоді, коли , то рядки називаються лінійно незалежними. Співвідношення (3.3.2) показує, що якщо один із рядків лінійно виражається через інші, то рядки лінійно залежні.

Легко бачити і зворотне: якщо рядки лінійно залежні, то знайдеться рядок, який буде лінійною комбінацією інших рядків.

Нехай, наприклад, в (3.3.3) тоді .

Визначення. Нехай у матриці А виділено деякий мінор r -го порядку і нехай мінор ( r +1)-го порядку цієї ж матриці цілком містить у собі мінор. Будемо говорити, що в цьому випадку мінор облямовує мінор (або облямовує для ).

Тепер доведемо важливу лему.

Леммапро мінори, що облямовують. Якщо мінор порядку r матриці А= відмінний від нуля, а всі мінори, що його оздоблюють, рівні нулю, то будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією її рядків (стовпців), що становлять .

Доведення. Не порушуючи спільності міркувань, вважатимемо, що відмінний від нуля мінор r -го порядку стоїть у лівому верхньому кутку матриці А =:

Для перших k рядків матриці А твердження леми очевидно: досить у лінійну комбінацію включити цей рядок з коефіцієнтом, рівним одиниці, інші – з коефіцієнтами, рівними нулю.

Доведемо тепер, що інші рядки матриці А лінійно виражаються через перші k рядків. Для цього збудуємо мінор ( r +1)-го порядку шляхом додавання до мінору k-го рядка () та l-го стовпця ():

Отриманий мінор дорівнює нулю за всіх k та l . Якщо , він дорівнює нулю як містить два однакових стовпця. Якщо , то отриманий мінор є облямовуючим мінором для і, отже, дорівнює нулю за умовою леми.

Розкладемо мінор за елементами останньогоl-го стовпця:

(3.3.4)

де - алгебраїчні доповнення до елементів. Додаток алгебри є мінор матриці А, тому . Розділимо (3.3.4) на і виразимо через:

(3.3.5)

де , .

Вважаючи, отримаємо:

(3.3.6)

Вираз (3.3.6) означає, що k -я рядок матриці А лінійно виражається через перші r рядків.

Так як при транспонуванні матриці значення її мінорів не змінюються (через властивості визначників), все доведене справедливо і для стовпців. Теорему доведено.

Наслідок I . Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців). Дійсно, базисний мінор матриці відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю.

Наслідок II. Визначник n -го порядку тоді й лише тоді дорівнює нулю, що він містить лінійно залежні рядки (стовпці). Достатність лінійної залежності рядків (стовпців) для рівності визначника нулю доведено раніше як властивість визначників.

Доведемо потребу. Нехай задана квадратна матриця n -го порядку, єдиний мінор якої дорівнює нулю Звідси випливає, що ранг цієї матриці менший n , тобто. знайдеться хоча б один рядок, який є лінійною комбінацією базисних рядків цієї матриці.

Доведемо ще одну теорему про ранг матриці.

Теорема.Максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних стовпців і дорівнює рангу цієї матриці.

Доведення. Нехай ранг матриці А = дорівнює r. Тоді будь-які її k базисних рядків є лінійно незалежними, інакше базисний мінор дорівнював би нулю. З іншого боку, будь-які r +1 і більше рядків лінійно залежать. Припустивши неприємне, ми могли б знайти мінор порядку більш ніж r , відмінний від нуля за наслідком 2 попередньої леми. Останнє суперечить тому, що максимальний порядок мінорів, відмінних від нуля, дорівнює r . Все доведене для рядків є справедливим і для стовпців.

На закінчення викладемо ще один спосіб знаходження рангу матриці. Ранг матриці можна визначити, якщо знайти мінор максимального порядку, відмінний від нуля.

На перший погляд, це вимагає обчислення хоч і кінцевого, але, можливо, дуже великої кількості мінорів цієї матриці.

Наступна теорема дозволяє, проте, внести до цього значні спрощення.

Теорема.Якщо мінор матриці А відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю, то ранг матриці дорівнює r.

Доведення. Досить показати, що будь-яка підсистема рядків матриці при S > r буде в умовах теореми лінійно залежної (звідси випливатиме, що r – максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці або будь-які її мінори порядку більше ніж k дорівнюють нулю).

Припустимо неприємне. Нехай рядки лінійно незалежні. По лемі про мінори, що облямовують, кожна з них буде лінійно виражатися через рядки , в яких стоїть мінор і які, зважаючи на те, що відмінний від нуля, лінійно незалежні:

(3.3.7)

Розглянемо матрицю К з коефіцієнтів лінійних виразів (3.3.7):

Рядки цієї матриці позначимо через . Вони будуть лінійно залежні, оскільки ранг матриці До, тобто. максимальна кількість її лінійно незалежних рядків, що не перевищує r< S . Тому існують такі числа, не всі рівні нулю, що

Перейдемо до рівності компонент

(3.3.8)

Тепер розглянемо наступну лінійну комбінацію:

або

З (3.3.1) випливає, що

Нехай, наприклад, в (3.3.3) тоді .

Визначення. Нехай в матриці А виділений деякий мінор r-го порядку і нехай мінор (r+1)-го порядку цієї матриці повністю містить в собі мінор . Будемо говорити, що в цьому випадку мінор облямовує мінор (або облямовує для ).

Тепер доведемо важливу лему.

Леммапро обрамляючі мінори. Якщо мінор порядку r матриці А= відмінний від нуля, а всі мінори, що його оздоблюють, рівні нулю, то будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією її рядків (стовпців), що становлять .

Доведення. Не порушуючи спільності міркувань, вважатимемо, що відмінний від нуля мінор r-го порядку стоїть у лівому верхньому кутку матриці А= :

Доведемо тепер, що інші рядки матриці А лінійно виражаються через перші k рядків. Для цього побудуємо мінор (r+1)-го порядку шляхом додавання до мінору k-го рядка () та l-го стовпця ():

Отриманий мінор дорівнює нулю за всіх k і l. Якщо , він дорівнює нулю як містить два однакових стовпця. Якщо , то отриманий мінор є облямовуючим мінором для і, отже, дорівнює нулю за умовою леми.

Розкладемо мінор за елементами останнього l-го стовпця:

Вважаючи, отримаємо:

(3.3.6)

Вираз (3.3.6) означає, що k рядок матриці А лінійно виражається через перші r рядків.

Наслідок I. Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців). Дійсно, базисний мінор матриці відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю.

Наслідок ІІ. Визначник n-го порядку тоді й лише тоді дорівнює нулю, що він містить лінійно залежні рядки (стовпці). Достатність лінійної залежності рядків (стовпців) для рівності визначника нулю доведено раніше як властивість визначників.

Доведемо потребу. Нехай задана квадратна матриця n-го порядку, єдиний мінор якої дорівнює нулю. Звідси випливає, що ранг цієї матриці менший за n, тобто. знайдеться хоча б один рядок, який є лінійною комбінацією базисних рядків цієї матриці.

Доведемо ще одну теорему про ранг матриці.

Доведення. Нехай ранг матриці А = дорівнює r. Тоді будь-які її k базисних рядків є лінійно незалежними, інакше базисний мінор дорівнював би нулю. З іншого боку, будь-які r+1 та більше рядків лінійно залежні. Припустивши неприємне, ми могли б знайти мінор порядку більш ніж r, відмінний від нуля за наслідком 2 попередньої леми. Останнє суперечить з того що максимальний порядок мінорів, відмінних від нуля, дорівнює r. Все доведене для рядків є справедливим і для стовпців.

Наступна теорема дозволяє, проте, внести до цього значні спрощення.

Доведення. Достатньо показати, що будь-яка підсистема рядків матриці при S>r буде в умовах теореми лінійно залежною (звідси випливатиме, що r – максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці або будь-які її мінори порядку більше ніж k дорівнюють нулю).

Тепер розглянемо наступну лінійну комбінацію:

або

Використовуючи (3.3.7) та (3.3.8), отримуємо

що суперечить лінійній незалежності рядків.

Отже, наше припущення є невірним і, отже, будь-які S>r рядків в умовах теореми лінійно залежні. Теорему доведено.

Розглянемо правило обчислення рангу матриці - метод облямівних мінорів, заснований на даній теоремі.

При обчисленні рангу матриці слід переходити від мінорів менших порядків до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор r-го порядку, відмінний від нуля, то потрібно обчислити лише мінори (r+1)-го порядку, що облямовують мінор. Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r. Цей метод застосовується і в тому випадку, якщо ми не тільки обчислюємо ранг матриці, а й визначаємо, які стовпці (рядки) складають базовий мінор матриці.

приклад. Обчислити методом мінорів, що облямовують, ранг матриці.

Рішення. Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому кутку матриці А, відрізняється від нуля:

Однак усі мінори третього порядку, що його облямовують, дорівнюють нулю:

;	;
;	;
;	.

Отже, ранг матриці А дорівнює двом: .

Перший і другий рядки, перший і другий стовпці в даній матриці є базисними. Інші рядки та стовпці є їх лінійними комбінаціями. Насправді, для рядків справедливі такі рівності:

На закінчення відзначимо справедливість таких властивостей:

1) ранг добутку матриць не більший за ранг кожного з співмножників;

2) ранг добутку довільної матриці А справа або зліва на невироджену квадратну матрицю Q дорівнює рангу матриці А.

Багаточленні матриці

Визначення. Багаточленною матрицею або -матрицею називається прямокутна матриця, елементи якої є багаточленами від одного змінного з числовими коефіцієнтами.

Над -матрицями можна здійснювати елементарні перетворення. До них відносяться:

Перестановка двох рядків (стовпців);

Розмноження рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

Додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця), помноженого на будь-який багаточлен.

Дві -матриці і однакових розмірів називаються еквівалентними: якщо від матриці до можна перейти за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень.

приклад. Довести еквівалентність матриць

1. Поміняємо місцями в матриці перший та другий стовпці:

2. З другого рядка віднімемо перший, помножений на ():

3. Помножимо другий рядок на (–1) і зауважимо, що

4. Віднімемо з другого стовпця перший, помножений на , отримаємо

Безліч всіх -матриць даних розмірів розбивається на класи, що не перетинаються, еквівалентних матриць. Матриці, еквівалентні між собою, утворюють один клас, не еквівалентні – інший.

Кожен клас еквівалентних матриць характеризується канонічною, або нормальною, -матрицею даних розмірів.

Визначення. Канонічною, або нормальною, -матрицею розмірів називається -матриця, у якої на головній діагоналі стоять багаточлени , де р - менше чисел m і n ( ), причому не рівні нулю багаточлени мають старші коефіцієнти, рівні 1, і кожен наступний багаточлен ділитися на попередній. Усі елементи поза головною діагоналі дорівнюють 0.

З визначення слід, що й серед многочленів є багаточлени нульової ступеня, всі вони на початку головної діагоналі. Якщо є нулі, то вони стоять наприкінці головної діагоналі.

Матриця попереднього прикладу є канонічною. Матриця

також канонічна.

Кожен клас -матриць містить єдину канонічну -матрицю, тобто. кожна -матриця еквівалентна єдиній канонічній матриці, яка називається канонічною формою або нормальною формою цієї матриці.

Багаточлени, що стоять на головній діагоналі канонічної форми даної матриці, називаються інваріантними множниками даної матриці.

Один з методів обчислення інваріантних множників полягає у приведенні даної матриці до канонічної форми.

Так, для матриці попереднього прикладу інваріантними множниками є

Зі сказаного випливає, що наявність однієї і тієї ж сукупності інваріантних множників є необхідною і достатньою умовою еквівалентності -матриць.

Приведення-матриць до канонічного виду зводиться до визначення інваріантних множників

, ; ,

де r – ранг-матриці; - найбільший загальний дільник мінорів k-го порядку, взятий зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1.

приклад. Нехай дана -матриця

Рішення. Зрозуміло, максимальний спільний дільник першого ладу , тобто. .

Визначимо мінори другого порядку:

і т.д.

Вже цих даних достатньо у тому, щоб зробити висновок: , отже, .

Визначаємо

Отже, .

Таким чином, канонічною формою даної матриці є наступна -матриця:

Матричним багаточленом називається вираз виду

де – змінне; - Квадратні матриці порядку n з числовими елементами.

Якщо , то S називають ступенем матричного багаточлена, n – порядком матричного багаточлена.

Будь-яку квадратичну -матрицю можна як матричного многочлена. Справедливо, зрозуміло, і зворотне твердження, тобто. будь-який матричний многочлен можна у вигляді деякої квадратної -матриці.

Справедливість даних тверджень з усією очевидністю випливає із властивостей операцій над матрицями. Зупинимося на таких прикладах:

приклад. Уявити багаточленну матрицю

у вигляді матричного багаточлена можна наступним чином

приклад. Матричний багаточлен

можна подати у вигляді наступної багаточленної матриці (-матриці)

Ця взаємозамінність матричних багаточленів та багаточленних матриць відіграє істотну роль у математичному апараті методів факторного та компонентного аналізу.

Матричні багаточлени однакового порядку можна складати, віднімати та множити аналогічно звичайним многочленам з числовими коефіцієнтами. Слід пам'ятати, що множення матричних многочленів, взагалі кажучи, не комутативно, т.к. не комутативно множення матриць.

Два матричних многочлена називаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти, тобто. відповідні матриці при однакових ступенях змінного.

Сумою (різницею) двох матричних багаточленів і називається такий матричний багаточлен, у якого коефіцієнт при кожному ступені змінного дорівнює сумі (різниці) коефіцієнтів при тій же мірі в багаточленах і .

Щоб помножити матричний багаточлен на матричний багаточлен потрібно кожного члена матричного багаточлена помножити на кожен член матричного багаточлена, скласти отримані твори і навести подібні члени.

Ступінь матричного багаточлена – твори менше або дорівнює сумі ступенів співмножників.

Операції над матричними багаточленами можна здійснювати за допомогою операцій над відповідними матрицями.

Щоб скласти (відняти) матричні багаточлени, достатньо скласти (відняти) відповідні -матриці. Те саме стосується множення. -матриця добутку матричних багаточленів дорівнює добутку -матриць співмножників.

З іншого боку і можна записати у вигляді

де 0 – невироджена матриця.

При розподілі на існує однозначно певне праве приватне та правий залишок

де ступінь R 1 менший за ступінь , або (розподіл без залишку), а також ліве приватне і лівий залишок тоді і тільки тоді, коли, де порядку

Нехай

Стовпці матриці розмірності. Лінійною комбінацією стовпців матриціназивається матриця-стовпець, при цьому - деякі дійсні або комплексні числа, звані коефіцієнтами лінійної комбінації. Якщо в лінійній комбінації взяти всі коефіцієнти рівними нулю, то лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці-стовпцю.

Стовпці матриці називаються лінійно незалежними , якщо їхня лінійна комбінація дорівнює нулю лише коли всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю. Стовпці матриці називаються лінійно залежними якщо існує набір чисел , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Аналогічно можуть бути дані визначення лінійної залежності та лінійної незалежності рядків матриці. Надалі всі теореми формулюються для шпальт матриці.

Теорема 5

Якщо серед стовпців матриці є нульовий, то стовпці матриці лінійно залежать.

Доведення. Розглянемо лінійну комбінацію, в якій всі коефіцієнти дорівнюють нулю при всіх ненульових стовпцях та одиниці при нульовому стовпці. Вона дорівнює нулю, а серед коефіцієнтів лінійної комбінації є відмінний від нуля. Отже, стовпці матриці лінійно залежать.

Теорема 6

Якщо стовпців матриці лінійно залежні, то й усі стовпців матриці лінійно залежні.

Доведення. Будемо для певності вважати, що перші стовпці матриці лінійно залежні. Тоді за визначенням лінійної залежності існує набір чисел , серед яких хоча б одне від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Складемо лінійну комбінацію всіх стовпців матриці, включивши до неї інші стовпці з нульовими коефіцієнтами

Але. Отже, усі стовпці матриці лінійно залежні.

Слідство. Серед лінійно незалежних стовпців матриці будь-які лінійно незалежні. (Це твердження легко доводиться методом протилежного.)

Теорема 7

Для того, щоб стовпці матриці були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один стовпець матриці був лінійною комбінацією інших.

Доведення.

Необхідність.Нехай стовпці матриці лінійно залежні, тобто існує набір чисел , серед яких хоча б одне від нуля, а лінійна комбінація стовпців із цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Припустимо для визначеності, що . Тоді, тобто перший стовпець є лінійна комбінація інших.

Достатність. Нехай хоча б один стовпець матриці є лінійною комбінацією інших, наприклад, де деякі числа.

Тоді, тобто лінійна комбінація стовпців дорівнює нулю, а серед чисел лінійної комбінації хоча б один (при) відмінний від нуля.

Нехай ранг матриці дорівнює. Будь-який відмінний від нуля мінор-го порядку називається базисним . Рядки та стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними .

Нехай у матриці розмірів (m; n) обрані довільно k рядків і k стовпців (k ≤ min(m; n)). Елементи матриці, що стоять на перетині вибраних рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю порядку k, визначник якої називається мінором M kk порядку k або мінором k порядку матриці A.

Рангом матриці називається максимальний порядок r відмінних від нуля мінорів матриці A, а будь-який мінор порядку r, відмінний від нуля, - базисним мінором. Позначення: rang A = r. Якщо rang A = rang B та розміри матриць A та B збігаються, то матриці A та B називаються еквівалентними. Позначення: A ~ B.

Основними методами обчислення рангу матриці є метод обрамляють мінорів і метод.

Метод облямівних мінорів

Суть методу обрамляють мінорів полягає в наступному. Нехай у матриці вже знайдено мінор порядку k, відмінний від нуля. Тоді далі розглядаються лише ті мінори порядку k+1, які містять у собі (тобто облямовують) мінорk-го порядку, відмінний від нуля. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k, в іншому випадку серед мінорів (k+1)-го порядку, що облямовують, знайдеться відмінний від нуля і вся процедура повторюється.

Лінійна незалежність рядків (стовпців) матриці

Поняття рангу матриці тісно пов'язане з поняттям лінійної незалежності її рядків (стовпців).

Рядки матриці:

називають лінійно залежними, якщо знайдуться такі числа λ 1 , λ 2 , λ k , що справедлива рівність:

Рядки матриці A називаються лінійно незалежними, якщо вищенаведена рівність можлива лише у випадку, коли всі числа λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Аналогічним чином визначається лінійна залежність та незалежність стовпців матриці A.

Якщо якийсь рядок (a l) матриці A (де (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) може бути поданий у вигляді

Аналогічно визначається поняття лінійної комбінації стовпців. Справедлива наступна теорема про базисний мінор.

Базисні рядки та базисні стовпці лінійно незалежні. Будь-який рядок (або стовпець) матриці A є лінійною комбінацією базових рядків (стовпців), тобто рядків (стовпців), що перетинають базовий мінор. Таким чином, ранг матриці A: rang A = k дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) матриці A.

Тобто. Ранг матриці - це розмірність найбільшої квадратної матриці всередині тієї матриці, для якої потрібно визначити ранг, для якої визначник не дорівнює нулю. Якщо вихідна матриця не є квадратною, або якщо вона квадратна, але її визначник дорівнює нулю, то для квадратних матриць меншого порядку рядки та стовпці вибираються довільно.

Крім як через визначники, ранг матриці можна вважати за кількістю лінійно незалежних рядків або стовпців матриці. Він дорівнює кількості лінійно незалежних рядків чи стовпців залежно від цього, чого менше. Наприклад, якщо матриця має 3 лінійно незалежні рядки і 5 лінійно незалежних стовпців, то її ранг дорівнює трьом.

Приклади знаходження рангу матриці

Методом обрамляють мінорів знайти ранг матриці

Рішення. Мінор другого порядку

облямовує мінор M 2 також відмінний від нуля. Однак обидва мінори четвертого порядку, що облямовують M 3 .

рівні нулю. Тому ранг матриці A дорівнює 3 а базисним мінором є, наприклад, представлений вище мінор M 3 .

Метод елементарних перетворень полягає в тому, що елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу. Використовуючи ці перетворення, можна привести матрицю до виду, коли її елементи, крім a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)), дорівнюють нулю. Це очевидно означає, що rang A = r. Зауважимо, що й матриця n-го порядку має вигляд верхньої трикутної матриці, т. е. матриці, яка має всі елементи під головною діагоналлю дорівнюють нулю, її визначтеся дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі. Цю властивість можна використовувати при обчисленні рангу матриці методом елементарних перетворень: необхідно з їхньою допомогою привести матрицю до трикутної і тоді, виділивши відповідний визначник, знайдемо, що ранг матриці дорівнює числу елементів головної діагоналі, відмінних від нуля.

Методом елементарних перетворень знайти ранг матриці