Побудувати функцію

Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення функцій, що вводяться
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
• Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків за точками, використання констант
• Побудова одночасно кількох графіків функцій
• Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.

У науковому середовищі широко відомий жарт на цю тему "нелінійність" порівнюється з "не-слоном" - всі створіння, крім "слонів", є "не-слонами". Подібність полягає в тому, що більшість систем і явищ в навколишньому світі нелінійні, за малим винятком. Всупереч цьому, у школі нас вчать "лінійному" мисленню, що дуже погано, з точки зору нашої готовності до сприйняття всепроникаючої нелінійності Всесвіту, чи то її фізичні, біологічні, психологічні чи соціальні аспекти. Нелінійність концентрує в собі одну з основних складностей пізнання навколишнього світу оскільки слідства, в загальній своїй масі, не пропорційні до причин, дві причини, при взаємодії, не адитивні, тобто наслідки є більш складними, ніж проста суперпозиція, функціями причин. Тобто результат, що отримується в результаті присутності та впливу двох причин, що діють одночасно, не є сумою результатів, отриманих у присутності кожної з причин окремо, за відсутності іншої причини.  

Визначення 9. Її in на деякому проміжку X визначено функцію г-ф(лг) з безліччю значень Z і на множині Z визначено функцію у =/(z), то функцію у складної функцією від х (або суперпозицією функції), а змінна z - проміжної змінної складної функції.  

Контролінг можна як суперпозицію трьох класичних управлінських функцій - обліку, контролю та аналізу (ретроспективного) . Контролінг як інтегрована функція управління уможливлює як підготовку рішення, а й забезпечення контролю його виконання з допомогою відповідних управлінських інструментів.  

Як відомо /50/, будь-яку тимчасову функцію можна як суперпозицію (набір) простих гармонійних функцій з різним періодом, амплітудою і фазою. У випадку P(t) = f(t),  

Перехідна чи імпульсна характеристики визначаються експериментально. При їх використанні за методом суперпозиції здійснюється спочатку розкладання обраної моделі вхідного впливу на елементарні функції часу, а потім підсумовування відгуків на них. Останню операцію називають іноді згортанням, а інтеграли у виразах (24). них вибирається той, у якого найпростіше підінтегральна функція.  

Ця теорема зводить завдання умовний екстремум до суперпозиції завдань на безумовний екстремум. Справді, визначимо функцію R(g)  

Суперпозиція ((>(f(x))), де у(у) - неубутня опукла функція одного змінного, /(х) - опукла функція є опуклою функцією.  

Приклад 3.28. Повернемося до прикладу 3.27. На рис. 3.24 показаний у вигляді штрих-пунктирної кривої результат суперпозиції двох функцій приналежності, відповідних тим квантифікаторам, які є в цьому прикладі. За допомогою рівня відсічення зі значенням 0,7 отримані нечіткі інтервали на осі абсцис. Тепер ми можемо сказати, що диспетчер має очікувати зміни плану  

Інший спосіб визначення функції F, відмінний від способу суперпозиції, полягає в тому, що при застосуванні будь-якого квантифікатора до іншого квантифікатора відбувається певне монотонне перетворення вихідної функції приналежності, що зводиться до розтягування та зсуву максимуму функції в той чи інший бік.  

Приклад 3.29. На рис. 3.25 показано два результати, отримані за допомогою суперпозиції та зсуву з розтягуванням, для випадку, коли ХА та X відповідають квантифікатору часто. Різниця полягає, мабуть, у тому, що суперпозиція вичленює у функції власності часто ті значення, які часто зустрічаються. У разі зсуву і розтягування ми можемо інтерпретувати результат як поява нового квантифікатора зі значенням часто-часто, який можна за бажання апроксимувати, наприклад, значенням дуже часто.  

Покажіть, що суперпозиція строго зростаючої функції та функції корисності , що представляє деяке відношення переваги >, також є корисною функцією , що представляє це відношення переваги. Які з наведених нижче функцій можуть виступати в якості такого перетворення  

Перше із співвідношень (2) являє собою не що інше, як запис правила, згідно з яким кожної функції F(x), що належить сімейству монотонно незменшуваних абсолютно безперервних функцій, ставиться у відповідність одна і тільки одна безперервна функція w(j). Це правило лінійно, тобто. для нього вірний принцип суперпозиції  

Доведення. Якщо F відображається безперервно, функція М0 неперервна як суперпозиція безперервних функцій . Щоб довести другу частину затвердження, розглянемо функцію  

Складні функції (суперпозиції)  

Метод функціональних перетворень передбачає також використання евристичного підходу. Наприклад, використання логарифмічних перетворень як операторів В і С призводить до інформаційних критеріїв побудови моделей, що ідентифікуються, і використання потужного інструменту теорії інформації . Нехай оператор являє собою суперпозицію операторів множення на функцію,(.) і зсуву на функцію К0(), оператор С - оператор  

Тут буде загалом наведено результати вирішення низки варіаційних завдань (1)-(3). Вони вирішувалися методом послідовної лінеаризації (19-21) ще 1962-1963 рр., коли технологія методу лише починала складатися і проходила перевірку. Тому ми зупинимося лише на деяких деталях. Насамперед зауважимо, що функції С і С2 були задані досить складними виразами, що є суперпозицією допоміжних функцій, у тому числі і таблично заданих. Тому при вирішенні сполученої системи ф=-fx використанням функцій, заданих таблично. Зазвичай подібні таблиці містять невелику кількість значень для набору вузлів у сфері зміни незалежного аргументу, а між ними функція інтерполується лінійно, оскільки застосування більш точних методів інтерполяції не виправдане через неточність самих табличних значень (зазвичай таблицями задаються функціональні залежності експериментального характеру). Однак для наших цілей потрібні функції, що диференціюються / (х, і), тому слід віддати перевагу гладким методам заповнення таблично заданої функції (наприклад, за допомогою сплайнів).  

Нехай тепер (ТАК і (д - довільні функції, що відповідають якимсь значенням квантифікаторів частоти. На рис. 3.23 показані дві одногорбі криві, що відповідають цим функціям. Результат їх суперпозиції - двогорба крива, показана штриховою лінією. Який її сенс Якщо, наприклад, (ТАК є рідко, а (д - часто,  

Перевага такого способу визначення F у тому, що з монотонних перетвореннях вид функції власності змінюється не кардинально. Її унімодальність або монотонність зберігається, і перехід від нового виду функції (2.16) мають трапецієподібну форму, то й лінійна суперпозиція (2.15) є трапецієподібним нечітким числом (що легко доводиться при використанні сегментного правила обчислень). І можна звести операції з функціями приналежності до операцій зі своїми вершинами. Якщо позначити трапецієподібне число (2.16) як (аь а2, аз, а4), де а відповідають абсцис вершин трапеції, то виконується  

Ознайомимося з поняттям суперпозиції (чи накладання) функцій, що у тому, що замість аргументу цієї функції підставляється деяка функція від іншого аргументу. Наприклад, суперпозиція функцій дає функцію аналогічно виходять і функції

У загальному вигляді, припустимо, що функція визначена в деякій області а функція визначена в області причому значення її всі містяться в області Тоді змінна z, як кажуть, через посередництво у, і сама є функцією

За заданим спочатку знаходять відповідне йому (за правилом, що характеризується знаком значення у з, а потім встановлюють відповідне цьому значенню у (за правилом,

значення, що характеризується знаком, і вважають відповідним обраному х. Отримана функція від функції або складна функція і є результатом суперпозиції функцій

Припущення, що значення функції не виходять за межі тієї області, в якій визначена функція дуже істотно: якщо його опустити, то може вийти і безглуздість. Наприклад, вважаючи ми можемо розглядати лише такі значення х, котрим бо інакше вираз мало б сенсу.

Ми вважаємо корисним відразу підкреслити, що характеристика функції, як складної, пов'язана не з природою функціональної залежності z від х, а лише зі способом завдання цієї залежності. Наприклад, нехай для у в

Тут функція виявилася заданою у вигляді складної функції.

Тепер, коли повністю з'ясовано поняття суперпозиції функцій, ми можемо точно охарактеризувати найпростіший з тих класів функцій, які вивчаються в аналізі: це, перш за все, перелічені вище елементарні функції, а потім всі ті, які з них виходять за допомогою чотирьох арифметичних дій і суперпозицій , послідовно застосованих кінцеве число разів. Про них говорять, що вони виражаються через елементарні у кінцевому вигляді; іноді їх також називають елементарними.

Згодом, опанувавши складнішим аналітичним апаратом (нескінченні ряди, інтеграли), ми познайомимося й іншими функціями, також грають значної ролі у аналізі, але вже які виходять межі класу елементарних функций.

Нехай є дві функції:

: A→B та g: D→F

Нехай область визначення функції D функції g входить в область значень функції f (DB). Тоді можна визначити нову функцію – суперпозицію (композицію, складну функцію)функцій f та g: z= g( (x)).

приклади. f(x)=x 2 g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Визначення

Нехай і дві функції. Тоді їхньою композицією називається функція, визначена рівністю:

Властивості композиції

Композиція асоціативна:

Якщо F= id X- тотожне відображення на X, тобто

.

Якщо G= id Y- тотожне відображення на Y, тобто

.

Додаткові властивості

Рахункові та незліченні множини.

Дві кінцеві множини складаються з рівної кількості елементів, якщо між цими множинами можна встановити взаємно однозначну відповідність. Число елементів кінцевої множини – потужність множини.

Для нескінченної множини можна встановити взаємно однозначну відповідність між усім безліччю та її частиною.

Найпростішим із нескінченних множин є безліч N.

Визначення.Безліч А і В називаються еквівалентними(АВ), якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Якщо еквівалентні дві кінцеві множини, то вони складаються з одного і того ж числа елементів.

Якщо ж еквівалентні між собою множини А та В довільні, то кажуть, що А та В мають однакову потужність. (Потужність = еквівалентність).

Для кінцевих множин поняття потужності збігається з поняттям числа елементів множини.

Визначення.Безліч називається рахунковимякщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між ним і безліччю натуральних чисел. (Тобто лічильна множина – нескінченна, еквівалентна множині N).

(Тобто всі елементи лічильної множини можна занумерувати).

Властивості відношення рівнопотужності.

1) АА-рефлексивність.

2) АВ, то ВА – симетричність.

3) АВ і ВС, то АС – транзитивність.

приклади.

1) n→2n, 2,4,6,… - парні натуральні

2) n→2n-1, 1,3,5, ... - непарні натуральні.

Властивості рахункових множин.

1. Нескінченні підмножини лічильної множини лічильні.

Доведення. Т.к. А - рахунково, то А: х 1, х 2, - відобразили А в N.

ВА, В: →1,→2,… - поставили кожному елементу У відповідність натуральне число, тобто. відобразили В N. Отже В - рахунково. Ч.т.д.

2. Об'єднання кінцевої (лічильної) системи лічильних множин - лічильне.

Приклади.

1. Безліч цілих чисел Z – рахунково, т.к. безліч Z можна уявити як поєднання лічильних множин А і В, де А: 0,1,2,.. і В: -1,-2,-3,…

2. Безліч упорядкованихпар ((m,n): m,nZ) (тобто (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Безліч раціональних чисел – лічильна.

Q=. Можна встановити взаємно однозначну відповідність між безліччю нескоротних дробів Q і безліччю впорядкованих пар:

Т.о. множина Q рівносильна множині ((p,q))((m,n)).

Безліч ((m,n)) – безліч всіх упорядкованих пар – лічильна. Отже й безліч ((p,q)) – лічильно, отже, і Q – лічильно.

Визначення.Ірраціональним числом називається довільна нескінченна десяткова неперіодичнадріб, тобто.  0 , 1  2 …

Безліч усіх десяткових дробів утворюють безліч дійсних (дійсних) чисел.

Безліч ірраціональних чисел – незліченна.

Теорема 1. Безліч дійсних чисел із проміжку (0,1) – незліченна безліч.

Доведення. Допустимо неприємне, тобто. що всі числа інтервалу (0,1) можна занумерувати. Тоді, записуючи ці числа у вигляді нескінченних десяткових дробів, отримаємо послідовність:

х 1 =0, а 11 а 12 … a 1n …

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Розглянемо тепер речове число х = 0, b 1 b 2 … b n …, де b 1 - будь-яка цифра, відмінна від а 11, (0 і 9), b 2 - будь-яка цифра, відмінна від а 22, (0 і 9) ,…, b n - будь-яка цифра, відмінна від a nn (0 і 9).

Т.о. х(0,1), але хx i (i=1,…,n) т.к. в іншому випадку, b i = a ii . Прийшли до суперечності. Ч.т.д.

Теорема 2.Будь-який проміжок речової осі є безліччю.

Теорема 3.Безліч дійсних (речових) чисел - незліченна.

Про всяку множину, рівносильну безлічі речових чисел говорять, що вона потужності континууму(Лат. continuum - безперервне, суцільне).

приклад. Покажемо, що інтервал має потужність континууму.

Функція у=tg x: →R відображає інтервал на всю числову пряму (графік).

Однотактні (що не містять елементів пам'яті) дискретні логічні пристрої реалізують на виході певний набір функцій алгебри логіки `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), які в кожний момент часу залежать тільки від стану входів пристрою х n =(x 1 ,x 2 ,…, x n): `F m = `F m(`х n). Практично такі пристрої проектують та виготовляють з окремих неподільних елементів, що реалізують певний набір (систему) ( f) елементарних функцій алгебри шляхом приєднання виходів одних елементів до входів інших.

При проектуванні логічних механізмів актуальними є такі вопросы.

1. Задано систему елементарних функцій ( f). Які вихідні функції F iможна отримати, використовуючи функції з ( f}?

2. Задано безліч вихідних булевих функцій ( F) (зокрема, рівне всьому безлічі функцій логіки алгебри Р 2). Якою має бути вихідна система елементарних функцій ( f), що забезпечує можливість отримання на виході будь-якої з функцій множини ( F}?

Для обґрунтованої відповіді на ці питання використовують поняття суперпозиції, замкнутості та повноти систем функцій.

Визначення.Розглянемо безліч логічних зв'язок ( F), що відповідає деякій системі функцій ( f} . Суперпозицією над{f) називається будь-яка функція j, яку можна реалізувати формулою над ( F}.

Практично суперпозицію можна як результат підстановки функцій з ( f) як аргументи у функції з цього ж безлічі.

Приклад 1. Розглянемо систему функцій ( f} = {f 1 (х) =`х, f 2 (х,у)= х&у, f 3 (х,у)=хÚ у). Підставляючи у функцію f 3 (х,у) замість першого аргументу хфункцію f 1 (х), замість другого - f 2 (х,у), отримаємо суперпозицію h(х,у)=f 3 (f 1 (х), f 2 (х,у))=`хÚ х& у. Фізична реалізація підстановки дано на рис.1.18.

Визначення.Нехай М-деяка безліч функцій алгебри логіки( P 2). Безліч всіх суперпозицій над Мназивається замиканнямбезлічі Мі позначається [ М]. Отримання [ М]за вихідною множиною Мназивається операцією замикання. Безліч Мназивається функціонально замкнутим класом, якщо [ М] = М. Підмножина mÍ Mназивається функціонально повною системою в М, якщо [ m] = М.

Замикання [ М]являє собою все безліч функцій, які можна отримати з Мшляхом застосування операції суперпозиції, тобто. всіх можливих підстановок.

Зауваження. 1.Очевидно, будь-яка система функцій ( f) є функціонально повною у собі самій.

2 . Без обмеження спільності вважатимуться, що тотожна функція f(х)=х, що не змінює значень істинності змінних, спочатку входить до складу будь-якої системи функцій.

Приклад 2. Для розглянутих нижче систем функцій ( f) Виконати такі дії:

1) знайти замикання [ f],

2) з'ясувати, чи буде система ( f) замкнутим класом,

3) знайти функціонально повні системи в ( f}.

Рішення.

I. ( f}={0} . При підстановці функції ( fº 0) у себе отримуємо її ж, тобто. ніяких нових функцій не утворюється. Звідси випливає: [ f] = {f). Розглянута система є функціонально замкнутим класом. Функціонально повна система в ній одна і дорівнює всій ( f}.

ІІ. ( f} = {0,Ø } . Підстановка Ø (Ø х)дає тотожну функцію, яка формально не розширює вихідну систему. Однак при підстановці Ø (0) отримаємо тотожну одиницю - нову функцію, якої не було у вихідній системі: Ø (0) = 1 . Застосування всіх інших установок не призводить до появи нових функцій, наприклад: ØØ 0 = 0, 0(Ø х)=0.

Таким чином, застосування операції суперпозиції дозволило отримати ширше порівняно з вихідним безліч функцій [ f]=(0,Ø ,1). Звідси випливає суворе входження: ( f} Ì [ f]. Вихідна система ( f)не є функціонально замкнутим класом. Крім самої системи ( f) інших функціонально повних систем у ній немає, оскільки у разі її звуження з однієї функції f= 0 не можна шляхом підстановки отримати заперечення, та якщо з однієї функції заперечення не можна отримати тотожний нуль.

ІІІ. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).Замиканням даної системи є все безліч функцій логіки алгебри P 2 , так як формулу будь-якої з них можна представити у вигляді ДНФ або КНФ, у яких використовуються елементарні функції ( f) = (& ,Ú ,Ø). Цей факт є конструктивним доказом повноти розглянутої системи функцій P 2: [f]=P 2 .

Оскільки в P 2 міститься безліч інших функцій, відмінних від ( f) = (& ,Ú ,Ø ), то звідси випливає суворе входження: ( f}Ì[ f]. Розглянута система перестав бути функціонально замкнутим класом.

Крім самої системи функціонально повними у ній будуть підсистеми ( f) 1 = (& ,Ø ) та ( f) 2 = (Ú, Ø). Це випливає з того, що за допомогою правил де Моргана функцію логічного додавання можна виразити через (& ,Ø),а функцію логічного множення & - через (Ú, Ø):

(х & у) = Ø (` хÚ` у), (х Ú у) = Ø ( х &`у).

Інших функціонально повних підсистем ( f) Ні.

Перевірку повноти підсистеми функцій ( f) 1 Ì ( f) у всій системі ( f)можна виробляти шляхом відомості ( f) 1 до іншої, свідомо повної в ( f) системі.

Неповноту підсистеми ( f) 1 в ( f)можна перевірити, довівши суворе входження [ f 1 ] Ì [ f].

Визначення.Підмножина mÍ Mназивають функціональним базисом(базисом)системи М, якщо [ m] = М, а після виключення з неї будь-якої функції безліч решти не повно М .

Зауваження. Базисами системи функцій (f)є всі її функціонально повні підсистеми (f) 1 , які неможливо зменшити без втрати повноти (f).

Приклад 3. Для всіх систем, розглянутих у Прикладі 2, можна знайти базиси.

Рішення.У випадках 1 і 2 функціонально повними є лише самі системи і звузити їх неможливо. Отже, вони є і базисами.

У випадку 3 є дві функціонально повні ( f) підсистеми ( f) 1 = (&,Ø) та ( f) 2 =(Ú,Ø ), які неможливо скоротити без втрати повноти. Вони будуть базисами системи ( f} = {&,Ú,Ø}.

Визначення.Нехай система ( f) є замкнутим класом. Її підмножина ( f) 1 Ì ( f)називають передповним класом у{f), якщо ( f) 1 не повно в ( f} ([f 1 ] Ì [ f]), а для будь-якої функції jіз системи( f), що не входить до ( f) 1 (jÎ( f} \ {f) 1) справедливо: [ jÈ { f} 1 ] = [f], тобто. додаток jк ( f) 1 робить її повною в ( f} .

Завдання

1. Перевірити замкнутість множин функцій:

а) (Ø); б) (1, Ø); в) ((0111); (10)); г) ((11101110); (0110)); д) ((0001); (00000001);

2. Перевірити повноту систем функцій P 2:

а) (0,Ø); б) ((0101), (1010)); в) (?); г) ((0001), (1010)).

3. Знайти замикання системи функцій та її базис:

а) (0, 1, Ø); б) ((1000), (1010), (0101)); в) ((0001), (1110), (10)); г) ((1010), (0001), (0111)).

1.10.2 Функції, які зберігають константи. Класи Т 0 та Т 1

Визначення.Функція f(`х n) зберігає 0, якщо f(0,..., 0) = 0. Функція f(`х n) зберігає 1, якщо f(1, ... , 1) = 1.

Безліч функцій nзмінних, що зберігають 0 та 1, позначають, відповідно, Т 0 nі Т 1 n. Всі множини функцій алгебри логіки, що зберігають 0 і 1 , позначають Т 0 і Т 1 . Кожна з множин Т 0 та Т 1 є замкнутим передповним класом Р 2 .

З елементарних функцій Т 0 та Т 1 одночасно входять, наприклад, і Ú. Приналежність будь-якої функції до класів Т 0 , Т 1 можна перевірити за першим і останнім значенням її вектора значень у таблиці істинності або безпосередньою підстановкою нулів та одиниць у формулу при аналітичному завданні функції.

Визначення.Дублюючоюназивають таку підстановку, коли замість кількох незалежних змінних у функцію підставляють ту саму змінну. При цьому величини змінних у наборах, які раніше набували значення незалежно один від одного, завжди будуть однаковими.

ЗАВДАННЯ

1.Перевірити належність до класів Т 0 і Т 1функцій:

а) узагальненого складання, б) узагальненого множення, в) констант, г) хуÚ yzд) х® у® ху, е) хÅ у, ж) ( х 1 Å … Å х n) ® ( y 1 Å … Å y m) при n,mÎ N.

2. Довести замкнутість кожного із класів Т 0 і Т 1 .

3. Довести, що якщо f(`х n) Ï Т 0 то з неї шляхом дублюючої підстановки можна отримати константу 1 або заперечення.

4. Довести, що якщо f(`х n) Ï Т 1 , то з неї шляхом дублюючої підстановки можна отримати константу 0 або заперечення.

5. Довести передповноту кожного з класів Т 0 і Т 1 (наприклад, зведенням доповненої системи до ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Знайти потужність класів Т 0 nі Т 1 n.