Працюючи з матрицями іноді потрібно їх транспонувати, тобто, кажучи простими словами, перевернути. Звичайно, можна перебити дані вручну, але Ексель пропонує кілька способів зробити це простіше та швидше. Давайте розберемо їх докладно.

Транспонування матриці – це процес зміни стовпців та рядків місцями. У Excel є дві можливості проведення транспонування: використовуючи функцію ТРАНСПта за допомогою інструменту спеціальної вставки. Розглянемо кожен із цих варіантів докладніше.

Спосіб 1: оператор ТРАНСП

Функція ТРАНСПвідноситься до категорії операторів «Посилання та масиви». Особливістю є те, що в неї, як і в інших функцій, що працюють з масивами, результатом видачі не є вміст комірки, а цілий масив даних. Синтаксис функції досить простий і виглядає так:

ТРАНСП(масив)

Тобто, єдиним аргументом цього оператора є посилання на масив, у нашому випадку матрицю, який слід перетворити.

Подивимося, як цю функцію можна застосувати на прикладі реальної матрицею.

1. Виділяємо незаповнений осередок на аркуші, що планується зробити крайнім верхнім лівим осередком перетвореної матриці. Далі тиснемо на значок "Вставити функцію", що розташований поблизу рядка формул.



2. Запуск Майстри функцій. Відкриваємо у ньому категорію «Посилання та масиви»або «Повний алфавітний список». Після того, як знайшли назву «ТРАНСП», Виробляємо його виділення і тиснемо на кнопку "OK".



3. Відбувається запуск вікна аргументів функції ТРАНСП. Єдиному аргументу даного оператора відповідає поле «Масив». До нього потрібно внести координати матриці, яку слід перевернути. Для цього встановлюємо курсор у полі та, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо весь діапазон матриці на аркуші. Після того, як адреса області відобразилася у вікні аргументів, клацаємо по кнопці "OK".



4. Але, як бачимо, у комірці, яка призначена для виведення результату, відображається некоректне значення у вигляді помилки «ЗНАЧ!». Це з особливостями роботи операторів масивів. Щоб виправити цю помилку, виділяємо діапазон осередків, у якому число рядків має дорівнювати кількості стовпців початкової матриці, а число стовпців – кількості рядків. Подібна відповідність дуже важлива для того, щоб результат відобразився коректно. При цьому, осередок, в якому міститься вираз «ЗНАЧ!»повинна бути верхнім лівим осередком виділеного масиву і саме з неї слід починати процедуру виділення, затиснувши ліву кнопку миші. Після того, як ви провели виділення, встановіть курсор у рядок формул відразу після виразу оператора ТРАНСП, що має відобразитися у ній. Після цього, щоб зробити обчислення, потрібно натиснути не кнопку Enter, як заведено у звичайних формулах, а набрати комбінацію Ctrl+Shift+Enter.



5. Після цих дій матриця відобразилася так, як нам треба, тобто у транспонованому вигляді. Але є ще одна проблема. Справа в тому, що тепер нова матриця є пов'язаний формулою масив, який не можна змінювати. При спробі змінити вміст матриці буде вискакувати помилка. Деяких користувачів такий стан речей цілком задовольняє, тому що вони не збираються робити зміни в масиві, а іншим потрібна матриця, з якою повноцінно можна працювати.

   Щоб вирішити цю проблему, виділяємо весь транспонований діапазон. Перемістившись у вкладку «Головна»клацаємо по піктограмі «Копіювати», яка розташована на стрічці у групі "Буфер обміну". Замість вказаної дії можна після виділення зробити набір стандартного сполучення клавіш для копіювання Ctrl+C.



6. Потім, не знімаючи виділення з транспонованого діапазону, клацніть по ньому правою кнопкою миші. У контекстному меню у групі "Параметри вставки"клацаємо по іконці «Значення», яка має вигляд піктограми із зображенням чисел.

   

   Після цього формула масиву ТРАНСПбуде видалена, а в осередках залишаться лише одні значення, з якими можна працювати так само, як і з вихідною матрицею.

Спосіб 2: транспонування матриці за допомогою спеціальної вставки

Крім того, матрицю можна транспонувати за допомогою одного елемента контекстного меню, що носить назву «Спеціальна вставка».

Після зазначених дій на аркуші залишиться лише перетворена матриця.

Цими двома способами, про які йшлося вище, можна транспонувати в Excel як матриці, а й повноцінні таблиці. Процедура буде практично ідентичною.

Отже, ми з'ясували, що в програмі Excel матрицю можна транспонувати, тобто перевернути, помінявши стовпці та рядки місцями, двома способами. Перший варіант передбачає використання функції ТРАНСП, а другий - інструменти спеціальної вставки. За великим рахунком, кінцевий результат, який виходить при використанні обох цих способів, нічим не відрізняється. Обидва методи працюють практично у будь-якій ситуації. Так що при виборі варіанта перетворення на перший план виходять особисті переваги конкретного користувача. Тобто, який з цих методів вам особисто зручніше, той і використовуйте.

Транспонування матриці через даний онлайн калькулятор не займе у вас багато часу, проте швидко дасть результат і допоможе краще розібратися в самому процесі.

Іноді в алгебраїчних обчисленнях виникає потреба змінити місцями рядки та стовпці матриці. Така операція називається транспонуванням матриці. Рядки по порядку стають стовпцями, а сама матриця – транспонованою. У цих обчисленнях є певні правила, і щоб у них розібратися і наочно ознайомитися з процесом, скористайтеся онлайн калькулятором. Він суттєво полегшить вам завдання та допоможе краще засвоїти теорію транспонування матриць. Значним плюсом даного калькулятора є демонстрація розгорнутого та детального рішення. Таким чином, його використання сприяє отриманню більш глибоких і усвідомлених уявлень про розрахунки алгебри. До того ж, за його допомогою завжди можна перевірити, наскільки успішно ви впоралися із завданням, здійснюючи транспонування матриць вручну.

Використовувати калькулятор дуже просто. Щоб знайти транспоновану матрицю онлайн, вкажіть розмір матриці натисканням на іконки «+» або «-» до отримання потрібних значень числа стовпців та рядків. Далі у поля вводяться необхідні цифри. Нижче розташована кнопка «Обчислити» - її натискання виводить на екран готове рішення з детальним розшифруванням алгоритму.

Щоб транспонувати матрицю, треба записати рядки матриці в стовпці.

Якщо , то транспонована матриця

Якщо то

Завдання 1.Знайти

1. Визначники квадратних матриць.

Для квадратних матриць вводиться число, яке називається визначником.

Для матриць другого порядку (розмірність) визначник задається формулою:

Наприклад, для матриці її визначник

приклад . Обчислити визначники матриць.

Для квадратних матриць третього порядку (розмірність) існує правило трикутника: на малюнку пунктирна лінія означає - помножити числа, через які проходить пунктирна лінія. Перші три числа треба скласти, наступні три числа треба віднімати.

приклад. Обчислити визначник.

Щоб дати загальне визначення визначника, треба запровадити поняття мінору та алгебраїчного доповнення.

Міноромелемента матриці називається визначник, отриманий викреслюванням - того рядка і того стовпця.

приклад.Знайдемо деякі мінори матриці А.

Алгебраїчним доповненнямелемента називається число.

Отже, якщо сума індексів і парна, то нічим не відрізняються. Якщо ж сума індексів і непарна, то й відрізняються лише знаком.

Для попереднього прикладу.

Визначником матриціназивається сума творів елементів деякого рядка

(Стовпця) на їх алгебраїчні доповнення. Розглянемо це визначення на матриці третього порядку.

Перший запис називається розкладанням визначника по першому рядку, другий - розкладання по другому стовпцю, останній – розкладання по третьому рядку. Усього таких розкладів можна записати шість разів.

приклад. Обчислити визначник за правилом трикутника і розклавши його по першому рядку, потім по третьому стовпцю, потім по другому рядку.

Розкладемо визначник по першому рядку:

Розкладемо визначник по третьому стовпцю:

Розкладемо визначник по другому рядку:

Зауважимо, що чим більше нулів, тим простіше обчислення. Наприклад, розкладаючи по першому стовпцю, отримаємо

Серед властивостей визначників є властивість, що дозволяє одержувати нулі, а саме:

Якщо до елементів рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на ненульове число, то визначник не зміниться.

Візьмемо цей же визначник і отримаємо нулі, наприклад, у першому рядку.

Визначники вищих порядків обчислюються так само.

Завдання 2.Обчислити визначник четвертого порядку:

1) розклавши по будь-якому рядку або будь-якому стовпцю

2) отримавши попередньо нулі

Отримаємо додатковий нуль, наприклад, у другому стовпці. Для цього елементи другого рядка помножимо на -1 і додамо до четвертого рядка:

1. Розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Покажемо розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Завдання 2.Розв'язати систему рівнянь.

Треба обчислити чотири визначники. Перший називається основним і складається з коефіцієнтів при невідомих:

Зауважимо, що якщо систему методом Крамера вирішити не можна.

Три інших визначника позначаються , , і виходять заміною відповідного стовпця на стовпець правих частин.

Знаходимо. Для цього перший стовпець переважно визначника міняємо на стовпець правих частин:

Знаходимо. Для цього другий стовпець в основному визначник міняємо на стовпець правих частин:

Знаходимо. Для цього третій стовпець переважно визначника міняємо на стовпець правих частин:

Рішення системи знаходимо за формулами Крамера: , ,

Таким чином рішення системи , ,

Зробимо перевірку, для цього знайдене рішення підставимо на всі рівняння системи.

1. Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом.

Якщо квадратної матриці визначник не дорівнює нулю, існує зворотна матриця , така що . Матриця називається одиничною і має вигляд

Зворотна матриця знаходиться за формулою:

приклад. Знайти зворотну матрицю до матриці

Спочатку обчислюємо визначник.

Знаходимо додатки алгебри:

Записуємо зворотну матрицю:

Щоб перевірити обчислення, треба переконатися, що .

Нехай дана система лінійних рівнянь:

Позначимо

Тоді система рівнянь може бути записана в матричній формі як , а звідси. Отримана формула називається матричним способом розв'язання системи.

Завдання 3.Вирішити систему матричним способом.

Потрібно виписати матрицю системи, знайти до неї зворотну і потім помножити на стовпець правих частин.

Зворотна матриця у нас вже знайдена в попередньому прикладі, отже, можна знаходити рішення:

1. Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри методом Гауса.

Метод Крамера і матричний метод застосовується тільки для квадратних систем (кілько рівнянь дорівнює числу невідомих), причому визначник повинен бути не дорівнює нулю. Якщо число рівнянь не дорівнює кількості невідомих, або визначник системи дорівнює нулю, застосовується метод Гаусса. Метод Гаус можна застосовувати для вирішення будь-яких систем.

І підставимо на перше рівняння:

Завдання 5.Розв'язати систему рівнянь методом Гаусса.

По отриманій матриці відновлюємо систему:

Знаходимо рішення:

Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.

Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу в онлайн режимі можна знайти алгебраїчні доповнення, транспоновану матрицю A T , союзну матрицю та зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

Див. також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходження транспонованої матриці A T .
2. Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
3. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

Наступний алгоритм знаходження зворотної матриціаналогічний попередньому крім деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця C .

1. Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – зворотної матриці не існує.
3. Визначення додатків алгебри.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C .
5. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Алгебраїчні доповнення. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2·4-5·3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1·5-(-2·2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Інший алгоритм знаходження зворотної матриці

Наведемо іншу схему знаходження зворотної матриці.

1. Знаходимо визначник даної квадратної матриці A.
2. Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці A .
3. Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
4. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.

Як бачимо, операція транспонування може застосовуватися як на початку над вихідною матрицею, так і в кінці над отриманими алгебраїчними доповненнями.

Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .