Вопросы:

1. Понятие хеш-функции.

2. Использование блочных алгоритмов шифрования для формирования хеш-функции.

3. Обзор алгоритмов формирования хеш-функций.

1. Понятие хеш-функции

Хеш-функцией (hash function) называется математическая или иная функция, которая для строки произвольной длины вычисляет некоторое целое значение или некоторую другую строку фиксированной длины. Математически это можно записать так:

h = H(M) ,

где М – исходное сообщение, называемое иногда прообразом , а h – результат, называемый значением хеш-функции (а также хеш-кодом или дайджестом сообщения (от англ. message digest )).

Смысл хеш-функции состоит в определении характерного признака прообраза – значения хеш-функции. Это значение обычно имеет определенный фиксированный размер, например, 64 или 128 бит. Хеш-код может быть в дальнейшем проанализирован для решения какой-либо задачи. Так, например, хеширование может применяться для сравнения данных: если у двух массивов данных хеш-коды разные, массивы гарантированно различаются; если одинаковые - массивы, скорее всего, одинаковы. В общем случае однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет из-за того, что количество значений хеш-функций всегда меньше, чем вариантов входных данных. Следовательно, существует множество входных сообщений, дающих одинаковые хеш-коды (такие ситуации называются коллизиями ). Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.

Хеш-функции широко применяются в современной криптографии.

Простейшая хеш- функция может быть составлена с использованием операции "сумма по модулю 2" следующим образом: получаем входную строку, складываем все байты по модулю 2 и байт-результат возвращаем в качестве значения хеш-фукнции. Длина значения хеш-функции составит в этом случае 8 бит независимо от размера входного сообщения.

Например, пусть исходное сообщение, переведенное в цифровой вид, было следующим (в шестнадцатеричном формате):

2 B 1 4 A 9 5 F E 4

Переведем сообщение в двоичный вид, запишем байты друг под другом и сложим биты в каждом столбике по модулю 2:

0010 1011

0001 0100

1010 1001

0101 1111

1110 0100

——————-

0010 1101

Результат: 0010 1101 или 2 D и будет значением хеш-функции.

Однако такую хеш-функцию нельзя использовать для криптографических целей, например для формирования электронной подписи, так как достаточно легко изменить содержание подписанного сообщения, не меняя значения контрольной суммы.

Поэтому рассмотренная хеш- функция не годится для криптографических применений. В криптографии хеш- функция считается хорошей, если трудно создать два прообраза с одинаковым значением хеш-функции, а также, если у выхода функции нет явной зависимости от входа.

Сформулируем основные требования, предъявляемые к криптографическим хеш-функциям:

· хеш-функция должна быть применима к сообщению любого размера;

· вычисление значения функции должно выполняться достаточно быстро;

· при известном значении хеш-функции должно быть трудно (практически невозможно) найти подходящий прообраз М ;

· при известном сообщении М должно быть трудно найти другое сообщение М’ с таким же значением хеш-функции, как у исходного сообщения;

· должно быть трудно найти какую-либо пару случайных различных сообщений с одинаковым значением хеш-функции.

Создать хеш-функцию, которая удовлетворяет всем перечисленным требованиям – задача непростая. Необходимо также помнить, что на вход функции поступают данные произвольного размера, а хеш-результат не должен получаться одинаковым для данных разного размера.

В настоящее время на практике в качестве хеш-функций применяются функции, обрабатывающие входное сообщение блок за блоком и вычисляющие хеш- значение h i для каждого блока M i входного сообщения по зависимостям вида

h i = H(M i ,h i-1),

где h i-1 – результат, полученный при вычислении хеш-функции для предыдущего блока входных данных.

В результате выход хеш-функции h n является функцией от всех n блоков входного сообщения.

2. Использование блочных алгоритмов шифрования для формирования хеш-функции.

В качестве хеш-функции можно использовать блочный алгоритм симметричного шифрования. Если используемый блочный алгоритм криптографически стоек, то и хеш- функция на его основе будет надежной.

Простейшим способом использования блочного алгоритма для получения хеш-кода является шифрование сообщения в режиме CBC (Cipher Block Chaining – Режим сцепления блоков шифротекста ). В этом случае сообщение представляется в виде последовательности блоков, длина которых равна длине блока алгоритма шифрования. При необходимости последний блок дополняется справа нулями, чтобы получился блок нужной длины. Хеш-значением будет последний зашифрованный блок текста. При условии использования надежного блочного алгоритма шифрования полученное хеш- значение будет обладать следующими свойствами:

· практически невозможно без знания ключа шифрования вычисление хеш-значения для заданного открытого массива информации;

· практически невозможен без знания ключа шифрования подбор открытых данных под заданное значение хеш-функции.

Сформированное таким образом хеш- значение обычно называют имитовставкой или аутентификатором и используется для проверки целостности сообщения. Таким образом, имитовставка – это контрольная комбинация, зависящая от открытых данных и секретной ключевой информации. Целью использования имитовставки является обнаружение всех случайных или преднамеренных изменений в массиве информации. Значение, полученное хеш-функцией при обработке входного сообщения, присоединяется к сообщению в тот момент, когда известно, что сообщение корректно. Получатель проверяет целостность сообщения путем вычисления имитовставки полученного сообщения и сравнения его с полученным хеш-кодом, который должен быть передан безопасным способом. Одним из таких безопасных способов может быть шифрование имитовставки закрытым ключом отправителя, т.е. создание подписи. Возможно также шифрование полученного хеш-кода алгоритмом симметричного шифрования, если отправитель и получатель имеют общий ключ симметричного шифрования.

Указанный процесс получения и использования имитовставки описан в отечественном стандарте ГОСТ 28147-89. Стандарт предлагает использовать младшие 32 бита блока, полученного на выходе операции шифрования всего сообщения в режиме сцепления блоков шифра для контроля целостности передаваемого сообщения. Таким же образом для формирования имитовставки можно использовать любой блочный алгоритм симметричного шифрования.

Другим возможным способом применения блочного шифра для выработки хеш-кода является следующий. Исходное сообщение обрабатывается последовательно блоками. Последний блок при необходимости дополняется нулями, иногда в последний блок приписывают длину сообщения в виде двоичного числа. На каждом этапе шифруем хеш- значение, полученное на предыдущем этапе, взяв в качестве ключа текущий блок сообщения. Последнее полученное зашифрованное значение будет окончательным хеш-результатом.

Таким образом, если обычную схему шифрования сообщения М с помощью блочного шифра f на ключе К мы записывали как E= f(M,K) , то схему получения хеш-кода h по описанному выше алгоритму можно представить как

h i = f ( h i -1 , M )

В качестве начального хеш-кода h 0 берут некоторую константу. Шифрование производится в режиме простой замены. При использовании указанного способа размер блока совпадает с длиной ключа и размером хеш-значения будет длина блока.

Возможен также другой способ использования блочного шифра в режиме простой замены: элементы сообщения шифруются хеш-значениями, полученными на предыдущем этапе:

h i = f ( M , h i -1 ,)

На самом деле возможны еще несколько схем использования блочного шифра для формирования хеш-функции. Пусть М i – блок исходного сообщения, h i – значение хеш-функции на i -том этапе, f – блочный алгоритм шифрования, используемый в режиме простой замены, – операция сложения по модулю 2. Тогда возможны, например, следующие схемы формирования хеш-функции:

Во всех этих схемах длина формируемого хеш-значения равна длине блока при шифровании. Все эти, а также некоторые другие схемы использования блочного алгоритма шифрования для вычисления хеш-значений могут применяться на практике.

Основным недостатком хеш-функций, спроектированных на основе блочных алгоритмов, является относительно низкая скорость работы. Необходимую криптостойкость можно обеспечить и за меньшее количество операций над входными данными. Существуют более быстрые алгоритмы хеширования (наиболее распространенные из них – MD5, SHA-1, SHA-2 и ГОСТ Р 34.11-94).

3. Обзор алгоритмов формирования хеш-функций.

В настоящее время предложены и практически используются различные специальные алгоритмы для вычисления хеш-функции. Наиболее известными алгоритмами являются MD5, SHA-1, SHA-2 и другие версии SHA, а также отечественный алгоритм, изложенный в ГОСТ Р 34.11-94.

Алгоритм MD5 появился в начале 90-х годов ХХ века в результате усовершенствования алгоритма формирования хеш-функции MD4. Символы в названии " MD" означают Message Digest – краткое изложение сообщения. Автор алгоритмов MD4 и MD5 – Р. Ривест (R.Rivest). В результате использования MD5 для произвольного сообщения формируется 128-битное хеш- значение. Входные данные обрабатываются блоками по 512 бит. В алгоритме используются элементарные логические операции ( инверсия, конъюнкция, сложение по модулю 2, циклические сдвиги и др.), а также обыкновенное арифметическое сложение. Комплексное повторение этих элементарных функций алгоритма обеспечивает то, что результат после обработки хорошо перемешан. Поэтому маловероятно, чтобы два сообщения, выбранные случайно, имели одинаковый хеш-код. Алгоритм MD5 имеет следующее свойство: каждый бит полученного хеш-значения является функцией от каждого бита входа. Считается, что MD5 является наиболее сильной хеш-функцией для 128-битного хеш-значения.

Алгоритм SHA ( Secure Hash Algorithm – Безопасный хеш- алгоритм) был разработан национальным институтом стандартов и технологии ( NIST) США и опубликован в качестве американского федерального информационного стандарта в 1993 году. SHA-1, как и MD5, основан на алгоритме MD4. SHA-1 формирует 160-битное хеш- значение на основе обработки исходного сообщения блоками по 512 бит. В алгоритме SHA-1 также используются простые логические и арифметические операции. Наиболее важным отличием SHA-1 от MD5 является то, что хеш-код SHA-1 на 32 бита длиннее, чем хеш-код MD5. Если предположить, что оба алгоритма одинаковы по сложности для криптоанализа, то SHA-1 является более стойким алгоритмом. Используя атаку методом грубой силы (лобовую атаку), труднее создать произвольное сообщение, имеющее данный хеш-код, а также труднее создать два сообщения, имеющие одинаковый хеш-код.

В 2001 году национальный институт стандартов и технологии США принял в качестве стандарта три хеш-функции с большей длиной хеш-кода, чем у SHA-1. Часто эти хеш-функции называют SHA-2 или SHA-256, SHA-384 и SHA-512 (в названии указывается длина создаваемого алгоритмами хеш-кода). Эти алгоритмы отличаются не только длиной создаваемого хеш-кода, но и используемыми внутренними функциями и длиной обрабатываемого блока (у SHA-256 длина блока – 512, а у SHA-384 и SHA-512 длина блока – 1024 бита). Постепенные усовершенствования алгоритма SHA ведут к увеличению его криптостойкости. Несмотря на отличия рассматриваемых алгоритмов друг от друга, все они являются дальнейшим развитием SHA-1 и MD4 и имеют похожую структуру.

В России принят ГОСТ Р34.11-94, который является отечественным стандартом для хеш-функций. Его структура довольно сильно отличается от структуры алгоритмов SHA-1,2 или MD5, в основе которых лежит алгоритм MD4. Длина хеш-кода, создаваемого алгоритмом ГОСТ Р 34.11-94, равна 256 битам. Алгоритм последовательно обрабатывает исходное сообщение блоками по 256 бит справа налево. Параметром алгоритма является стартовый вектор хеширования – произвольное фиксированное значение длиной также 256 бит. В алгоритме ГОСТ Р 34.11-94 используются операции перестановки, сдвига, арифметического сложения, сложения по модулю 2. В качестве вспомогательной функции в ГОСТ 34.11-94 используется алгоритм по ГОСТ 28147-89 в режиме простой замены.

4. Требования к хэш-функциям

Хэш-функцией называется односторонняя функция, предназначенная для получения дайджеста или "отпечатков пальцев" файла, сообщения или некоторого блока данных.

Хэш-код создается функцией Н :

h = H (M)

Где М является сообщением произвольной длины и h является хэш-кодом фиксированной длины.

Рассмотрим требования, которым должна соответствовать хэш-функция для того, чтобы она могла использоваться в качестве аутентификатора сообщения. Рассмотрим очень простой пример хэш-функции. Затем проанализируем несколько подходов к построению хэш-функции.

Хэш-функция Н , которая используется для аутентификации сообщений, должна обладать следующими свойствами:

1. Хэш-функция Н должна применяться к блоку данных любой длины.

2. Хэш-функция Н создает выход фиксированной длины.

3. Н (М) относительно легко (за полиномиальное время) вычисляется для любого значения М .

4. Для любого данного значения хэш-кода h вычислительно невозможно найти M такое, что Н (M) = h .

5. Для любого данного х вычислительно невозможно найти , что

H (y) = H (x).

6. Вычислительно невозможно найти произвольную пару (х , y ) такую, что H (y) = H (x) .

Первые три свойства требуют, чтобы хэш-функция создавала хэш-код для любого сообщения.

Четвертое свойство определяет требование односторонности хэш-функции: легко создать хэш-код по данному сообщению, но невозможно восстановить сообщение по данному хэш-коду. Это свойство важно, если аутентификация с использованием хэш-функции включает секретное значение. Само секретное значение может не посылаться, тем не менее, если хэш-функция не является односторонней, противник может легко раскрыть секретное значение следующим образом. При перехвате передачи атакующий получает сообщение М и хэш-код С = Н (SAB || M) . Если атакующий может инвертировать хэш-функцию, то, следовательно, он может получить SAB || M = H-1 (C) . Так как атакующий теперь знает и М и SAB || M , получить SAB совсем просто.

Пятое свойство гарантирует, что невозможно найти другое сообщение, чье значение хэш-функции совпадало бы со значением хэш-функции данного сообщения. Это предотвращает подделку аутентификатора при использовании зашифрованного хэш-кода. В данном случае противник может читать сообщение и, следовательно, создать его хэш-код. Но так как противник не владеет секретным ключом, он не имеет возможности изменить сообщение так, чтобы получатель этого не обнаружил. Если данное свойство не выполняется, атакующий имеет возможность выполнить следующую последовательность действий: перехватить сообщение и его зашифрованный хэш-код, вычислить хэш-код сообщения, создать альтернативное сообщение с тем же самым хэш-кодом, заменить исходное сообщение на поддельное. Поскольку хэш-коды этих сообщений совпадают, получатель не обнаружит подмены.

Хэш-функция, которая удовлетворяет первым пяти свойствам, называется простой или слабой хэш-функцией. Если кроме того выполняется шестое свойство, то такая функция называется сильной хэш-функцией. Шестое свойство защищает против класса атак, известных как атака " день рождения ".

5. Простые хэш-функции

Все хэш-функции выполняются следующим образом. Входное значение (сообщение, файл и т.п.) рассматривается как последовательность n -битных блоков. Входное значение обрабатывается последовательно блок за блоком, и создается m -битное значение хэш-кода.

Одним из простейших примеров хэш-функции является побитовый XOR каждого блока:

С i - i -ый бит хэш-кода, 1 <= i <= n .

k – число n -битных блоков входа.

b ij – i -ый бит в j -ом блоке.

Затем все сообщение шифруется, включая хэш-код, в режиме СВС для создания зашифрованных блоков Y1, Y2, …, YN+1. По определению СВС имеем: Но XN+1 является хэш-кодом: Так как слагаемые в предыдущем равенстве могут вычисляться в любом порядке, следовательно, хэш-код не будет изменен, если зашифрованные блоки будут переставлены. Первоначальный стандарт, предложенный NIST, использовал простой XOR, который применялся к 64-битным блокам сообщения, затем все сообщение шифровалось, используя режим СВС. "Парадокс дня рождения" Прежде чем рассматривать более сложные хэш-функции, необходимо проанализировать одну конкретную атаку на простые хэш-функции. Так называемый " парадокс дня рождения " состоит в следующем. Предположим, количество выходных значений хэш-функции Н равно n . Каким должно быть число k , чтобы для конкретного значения X и значений Y1, , Yk вероятность того, что хотя бы для одного Yi выполнялось равенство H (X) = H (Y) была бы больше 0,5. Для одного Y вероятность того, что H (X) = H (Y) , равна 1/n . Соответственно, вероятность того, что , равна 1 – 1/n . Если создать k значений, то вероятность того, что ни для одного из них не будет совпадений, равна произведению вероятностей, соответствующих одному значению, т.е. (1 – 1/n)k . Следовательно, вероятность, по крайней мере, одного совпадения равна 1 - (1 - 1/n)k Таким образом, мы выяснили, что для m -битового хэш-кода достаточно выбрать 2m-1 сообщений, чтобы вероятность совпадения хэш-кодов была больше 0,5. Теперь рассмотрим следующую задачу: обозначим P (n, k) вероятность того, что в множестве из k элементов, каждый из которых может принимать n значений, есть хотя бы два с одинаковыми значениями. Чему должно быть равно k , чтобы P (n, k) была бы больше 0,5 ? Число различных способов выбора элементов таким образом, чтобы при этом не было дублей, равно n(n-1) ... (n-k+1)=n!/(n-k)! Всего возможных способов выбора элементов равно n k Вероятность того, что дублей нет, равна n!/(n-k)!n k Вероятность того, что есть дубли, соответственно равна 1 - n!/(n-k)!nk P (n, k) = 1 - n! / ((n-k)! x nk) = 1 - (n x (n-1) x ... x (n-k-1)) / nk = 1 - [ (n-1)/n x (n-2)/n x ... x (n-k+1)/n] = 1 - [(1- 1/n) x (1 - 2/n) x ... x (1 - (k-1)/n)] Если хэш-код имеет длину m бит, т.е. принимает 2m значений, то Подобный результат называется "парадоксом дня рождения", потому что в соответствии с приведенными выше рассуждениями для того, чтобы вероятность совпадения дней рождения у двух человек была больше 0,5, в группе должно быть всего 23 человека. Этот результат кажется удивительным, возможно, потому, что для каждого отдельного человека в группе вероятность того, что с его днем рождения совпадет день рождения кого-то другого в группе, достаточно мала. Вернемся к рассмотрению свойств хэш-функций. Предположим, что используется 64-битный хэш-код. Можно считать, что это вполне достаточная и, следовательно, безопасная длина для хэш-кода. Например, если зашифрованный хэш-код С передается с соответствующим незашифрованным сообщением М , то противнику необходимо будет найти М’ такое, что Н (М") = Н (М) , для того, чтобы подменить сообщение и обмануть получателя. В среднем противник должен перебрать 263 сообщений для того, чтобы найти такое, у которого хэш-код равен перехваченному сообщению. Тем не менее, возможны различного рода атаки, основанные на "парадоксе дня рождения". Возможна следующая стратегия: 1. Противник создает 2 m/2 вариантов сообщения, каждое из которых имеет некоторый определенный смысл. Противник подготавливает такое же количество сообщений, каждое из которых является поддельным и предназначено для замены настоящего сообщения. 2. Два набора сообщений сравниваются в поисках пары сообщений, имеющих одинаковый хэш-код. Вероятность успеха в соответствии с "парадоксом дня рождения" больше, чем 0,5. Если соответствующая пара не найдена, то создаются дополнительные исходные и поддельные сообщения до тех пор, пока не будет найдена пара. 3. Атакующий предлагает отправителю исходный вариант сообщения для подписи. Эта подпись может быть затем присоединена к поддельному варианту для передачи получателю. Так как оба варианта имеют один и тот же хэш-код, будет создана одинаковая подпись. Противник будет уверен в успехе, даже не зная ключа шифрования. Таким образом, если используется 64-битный хэш-код, то необходимая сложность вычислений составляет порядка 232. В заключение отметим, что длина хэш-кода должна быть достаточно большой. Длина, равная 64 битам, в настоящее время не считается безопасной. Предпочтительнее, чтобы длина составляла порядка 100 битов. Использование цепочки зашифрованных блоков Существуют различные хэш-функции, основанные на создании цепочки зашифрованных блоков, но без использования секретного ключа. Одна из таких хэш-функций была предложена Рабином. Сообщение М разбивается на блоки фиксированной длины М1, М2, . . . , МN и используется алгоритм симметричного шифрования, например DES, для вычисления хэш-кода G следующим образом: Н 0 - начальное значение Н i = E Mi G = H N Это аналогично использованию шифрования в режиме СВС, но в данном случае секретного ключа нет. Как и в случае любой простой хэш-функции, этот алгоритм подвержен "атаке дня рождения", и если шифрующим алгоритмом является DES и создается только 64-битный хэш-код, то система считается достаточно уязвимой. Могут осуществляться другие атаки типа "дня рождения", которые возможны даже в том случае, если противник имеет доступ только к одному сообщению и соответствующему ему зашифрованному хэш-коду и не может получить несколько пар сообщений и зашифрованных хэш-кодов. Возможен следующий сценарий: предположим, что противник перехватил сообщение с аутентификатором в виде зашифрованного хэш-кода, и известно, что незашифрованный хэш-код имеет длину m битов. Далее противник должен выполнить следующие действия: · Используя описанный выше алгоритм, вычислить незашифрованный хэш-код G . · Создать поддельное сообщение в виде Q1, Q2, . . . , QN-2 . · Вычислить Н i = E Qi для 1 <= i <= N-2 . · Создать 2 m/2 случайных блоков Х и для каждого такого блока Х вычислить Е Х . Создать дополнительно 2 m/2 cлучайных блока Y и для каждого блока Y вычислить D Y [G] , где D – дешифрующая функция, соответствующая Е . Основываясь на "парадоксе дня рождения" можно сказать, что с высокой степенью вероятности эта последовательность будет содержать блоки Х и Y такие, что Е Х = D Y [Y] . · Создать сообщение Q1, Q2, . . . , QN-2, X, Y . Это сообщение имеет хэш-код G и, следовательно, может быть использовано вместе с зашифрованным аутентификатором. Эта форма атаки известна как атака "встреча посередине". В различных исследованиях предлагаются более тонкие методы для усиления подхода, основанного на цепочке блоков. Например, Девис и Прайс описали следующий вариант: Возможен другой вариант: Однако обе эти схемы также имеют уязвимости при различных атаках. В более общем случае, можно показать, что некоторая форма "атаки дня рождения" имеет успех при любом хэш-алгоритме, включающем использование цепочки шифрованных блоков без применения секретного ключа. Дальнейшие исследования были направлены на поиск других подходов к созданию функций хэширования. Хэш-функция MD5 Рассмотрим алгоритм получения дайджеста сообщения MD5 (RFC 1321), разработанный Роном Ривестом из MIT. Логика выполнения MD5 Алгоритм получает на входе сообщение произвольной длины и создает в качестве выхода дайджест сообщения длиной 128 бит. Алгоритм состоит из следующих шагов: Рис. 8.1. Логика выполнения MD5 Шаг 1: добавление недостающих битов Сообщение дополняется таким образом, чтобы его длина стала равна 448 по модулю 512 (). Это означает, что длина добавленного сообщения на 64 бита меньше, чем число, кратное 512. Добавление производится всегда, даже если сообщение имеет нужную длину. Например, если длина сообщения 448 битов, оно дополняется 512 битами до 960 битов. Таким образом, число добавляемых битов находится в диапазоне от 1 до 512. Добавление состоит из единицы, за которой следует необходимое количество нулей. Шаг 2: добавление длины 64-битное представление длины исходного (до добавления) сообщения в битах присоединяется к результату первого шага. Если первоначальная длина больше, чем 2 64 , то используются только последние 64 бита. Таким образом, поле содержит длину исходного сообщения по модулю 2 64 . В результате первых двух шагов создается сообщение, длина которого кратна 512 битам. Это расширенное сообщение представляется как последовательность 512-битных блоков Y 0 , Y 1 , . . ., Y L-1 , при этом общая длина расширенного сообщения равна L * 512 битам. Таким образом, длина полученного расширенного сообщения кратна шестнадцати 32-битным словам. Рис. 8.2. Структура расширенного сообщения Шаг 3: инициализация MD-буфера Используется 128-битный буфер для хранения промежуточных и окончательных результатов хэш-функции. Буфер может быть представлен как четыре 32-битных регистра (A, B, C, D). Эти регистры инициализируются следующими шестнадцатеричными числами: А = 01234567 В = 89ABCDEF C = FEDCBA98 D = 76543210 Шаг 4: обработка последовательности 512-битных (16-словных) блоков Основой алгоритма является модуль, состоящий из четырех циклических обработок, обозначенный как HMD5. Четыре цикла имеют похожую структуру, но каждый цикл использует свою элементарную логическую функцию, обозначаемую f F , f G , f H и f I соответственно. Рис. 8.3. Обработка очередного 512-битного блока Каждый цикл принимает в качестве входа текущий 512-битный блок Y q , обрабатывающийся в данный момент, и 128-битное значение буфера ABCD, которое является промежуточным значением дайджеста, и изменяет содержимое этого буфера. Каждый цикл также использует четвертую часть 64-элементной таблицы T, построенной на основе функции sin. i-ый элемент T, обозначаемый T[i], имеет значение, равное целой части от 2 32 * abs (sin (i)), i задано в радианах. Так как abs (sin (i)) является числом между 0 и 1, каждый элемент Т является целым, которое может быть представлено 32 битами. Таблица обеспечивает "случайный" набор 32-битных значений, которые должны ликвидировать любую регулярность во входных данных. Для получения MD q+1 выход четырех циклов складывается по модулю 2 32 с MD q . Сложение выполняется независимо для каждого из четырех слов в буфере.

CLS s – циклический сдвиг влево на s битов 32-битного аргумента.

X [k] – M – k-ое 32-битное слово в q-ом 512 блоке сообщения.

T [i] – i-ое 32-битное слово в матрице Т.

+ – сложение по модулю 2 32 .

На каждом из четырех циклов алгоритма используется одна из четырех элементарных логических функций. Каждая элементарная функция получает три 32-битных слова на входе и на выходе создает одно 32-битное слово. Каждая функция является множеством побитовых логических операций, т.е. n-ый бит выхода является функцией от n-ого бита трех входов. Элементарные функции следующие:

Массив из 32-битных слов X содержит значение текущего 512-битного входного блока, который обрабатывается в настоящий момент. Каждый цикл выполняется 16 раз, а так как каждый блок входного сообщения обрабатывается в четырех циклах, то каждый блок входного сообщения обрабатывается по схеме, показанной на Рис. 4 , 64 раза. Если представить входной 512-битный блок в виде шестнадцати 32-битных слов, то каждое входное 32-битное слово используется четыре раза, по одному разу в каждом цикле, и каждый элемент таблицы Т, состоящей из 64 32-битных слов, используется только один раз. После каждого шага цикла происходит циклический сдвиг влево четырех слов A, B, C и D. На каждом шаге изменяется только одно из четырех слов буфера ABCD. Следовательно, каждое слово буфера изменяется 16 раз, и затем 17-ый раз в конце для получения окончательного выхода данного блока.

дайджест.

2. Скорость: программная реализация алгоритма должна выполняться достаточно быстро. В частности, алгоритм должен быть достаточно быстрым на 32-битной архитектуре. Поэтому алгоритм основан на простом множестве элементарных операций над 32-битными словами.

3. Простота и компактность: алгоритм должен быть простым в описании и простым в программировании, без больших программ или подстановочных таблиц. Эти характеристики не только имеют очевидные программные преимущества, но и желательны с точки зрения безопасности, потому что для анализа возможных слабых мест лучше иметь простой алгоритм.

4. Желательна little- endian архитектура: некоторые архитектуры процессоров (такие как линия Intel 80xxx) хранят левые байты слова в позиции младших адресов байта (little- endian). Другие (такие как SUN Sparcstation) хранят правые байты слова в позиции младших адресов байта (big MD4 дополнительная константа в первом цикле не применяется. Аналогичная дополнительная константа используется для каждого из шагов во втором цикле. Другая дополнительная константа используется для каждого из шагов в третьем цикле. В хэш-кода является функцией от каждого бита входа. Комплексное повторение элементарных функций f F , f G , f H и f I обеспечивает то, что результат хорошо перемешан; то есть маловероятно, чтобы два сообщения, выбранные случайно, даже если они имеют явно похожие закономерности, имели одинаковый дайджеста, которые создают одно и то же выходное значение. Это означает, что выполнение MD5 над единственным блоком из 512 бит приведет к одинаковому выходу для двух различных входных значений в буфере ABCD. Пока способа расширения данного подхода для успешной атаки на MD5 не существует.

И т. п.). Выбор той или иной хеш-функции определяется спецификой решаемой задачи. Простейшими примерами хеш-функций могут служить контрольная сумма или CRC .

В общем случае однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет. Поэтому существует множество массивов данных, дающих одинаковые хеш-коды - так называемые коллизии . Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке «качества» хеш-функций.

Контрольные суммы

Несложные, крайне быстрые и легко реализуемые аппаратно алгоритмы, используемые для защиты от непреднамеренных искажений, в том числе ошибок аппаратуры.

По скорости вычисления в десятки и сотни раз быстрее, чем криптографические хеш-функции, и значительно проще в аппаратной реализации.

Платой за столь высокую скорость является отсутствие криптостойкости - легкая возможность подогнать сообщение под заранее известную сумму. Также обычно разрядность контрольных сумм (типичное число: 32 бита) ниже, чем криптографических хешей (типичные числа: 128, 160 и 256 бит), что означает возможность возникновения непреднамеренных коллизий.

Простейшим случаем такого алгоритма является деление сообщения на 32- или 16- битные слова и их суммирование, что применяется, например, в TCP/IP .

Как правило, к такому алгоритму предъявляются требования отслеживания типичных аппаратных ошибок, таких, как несколько подряд идущих ошибочных бит до заданной длины. Семейство алгоритмов т. н. «циклический избыточных кодов » удовлетворяет этим требованиям. К ним относится, например, CRC32 , применяемый в аппаратуре ZIP.

Криптографические хеш-функции

Среди множества существующих хеш-функций принято выделять криптографически стойкие , применяемые в криптографии . Криптостойкая хеш-функция прежде всего должна обладать стойкостью к коллизиям двух типов:

Применение хеширования

Хеш-функции также используются в некоторых структурах данных - хеш-таблицаx и декартовых деревьях . Требования к хеш-функции в этом случае другие:

• хорошая перемешиваемость данных
• быстрый алгоритм вычисления

Сверка данных

В общем случае это применение можно описать, как проверка некоторой информации на идентичность оригиналу, без использования оригинала. Для сверки используется хеш-значение проверяемой информации. Различают два основных направления этого применения:

Проверка на наличие ошибок

Например, контрольная сумма может быть передана по каналу связи вместе с основным текстом. На приёмном конце, контрольная сумма может быть рассчитана заново и её можно сравнить с переданным значением. Если будет обнаружено расхождение, то это значит, что при передаче возникли искажения и можно запросить повтор.

Бытовым аналогом хеширования в данном случае может служить приём, когда при переездах в памяти держат количество мест багажа. Тогда для проверки не нужно вспоминать про каждый чемодан, а достаточно их посчитать. Совпадение будет означать, что ни один чемодан не потерян. То есть, количество мест багажа является его хеш-кодом.

Проверка парольной фразы

В большинстве случаев парольные фразы не хранятся на целевых объектах, хранятся лишь их хеш-значения. Хранить парольные фразы нецелесообразно, так как в случае несанкционированного доступа к файлу с фразами злоумышленник узнает все парольные фразы и сразу сможет ими воспользоваться, а при хранении хеш-значений он узнает лишь хеш-значения, которые не обратимы в исходные данные, в данном случае в парольную фразу. В ходе процедуры аутентификации вычисляется хеш-значение введённой парольной фразы, и сравнивается с сохранённым.

Примером в данном случае могут служить ОС GNU/Linux и Microsoft Windows XP . В них хранятся лишь хеш-значения парольных фраз из учётных записей пользователей.

Ускорение поиска данных

Например, при записи текстовых полей в базе данных может рассчитываться их хеш код и данные могут помещаться в раздел, соответствующий этому хеш-коду. Тогда при поиске данных надо будет сначала вычислить хеш-код текста и сразу станет известно, в каком разделе их надо искать, то есть, искать надо будет не по всей базе, а только по одному её разделу (это сильно ускоряет поиск).

Бытовым аналогом хеширования в данном случае может служить помещение слов в словаре по алфавиту. Первая буква слова является его хеш-кодом, и при поиске мы просматриваем не весь словарь, а только нужную букву.

Список алгоритмов

• SHA-2 (SHA-224, SHA-256, SHA-384, SHA-512)
• RIPEMD-160
• RIPEMD-320
• Snefru
• Tiger (Whirlpool
• IP Internet Checksum (RFC 1071)

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Хэшан Мохэянь
• Хэш код

Смотреть что такое "Хэш-функция" в других словарях:

Хэш-функция - функция, осуществляющая хэширование массива данных посредством отображения значений из (очень) большого множества значений в (существенно) меньшее множество значений. По английски: Hash function См. также: Криптографические алгоритмы Финансовый… … Финансовый словарь

криптографическая хэш-функция - Функция, преобразующая текст произвольной длины в текст фиксированной (в большинстве случаев меньшей) длины. Основное применение хэш функции нашли в схеме цифровой подписи. Так как хэш функция вычисляется быстрее цифровой подписи, то вместо… …

Односторонняя хэш-функция - хэш функция, являющаяся вычислительно необратимой функцией. По английски: One way hash function См. также: Криптографические алгоритмы Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

TIGER - хэш-функция - TIGER хэш функция, разработанная Росом Андерсоном и Эли Бихамом в 1996 году. Хэш функция TIGER является новой быстрой хэш функцией, которая призвана быть очень быстрой на современных компьютерах, в частности, на 64 разрядных компьютерах. TIGER… … Википедия

односторонняя хэш-функция - Для односторонней функции вычислительно невозможно найти два разных аргумента, для которых ее значения совпадают. [] Тематики защита информации EN one way hash function … Справочник технического переводчика

Tiger (хэш-функция) - Tiger хеш функция, разработанная Росом Андерсоном и Эли Бихамом в 1995 году. Tiger был предназначен для особенно быстрого выполнения на 64 разрядных компьютерах. Tiger не имеет патентных ограничений, может использоваться свободно как с… … Википедия

функция хэширования - хэшфункция 1. Функция, которая управляет процессом занесения данных в хэш таблицу, определяя (адреса свободных ячеек. 2. Функция, представляющая собой отображение фрагмента открытого сообщения в шифрованную строку фиксированной длины. В… … Справочник технического переводчика

Хэш-таблица - В программировании хеш таблица это структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления … Википедия

Хэш код - Хеширование (иногда хэширование, англ. hashing) преобразование входного массива данных произвольной длины в выходную битовую строку фиксированной длины. Такие преобразования также называются хеш функциями или функциями свёртки, а их результаты… … Википедия

Коллизия хэш-функции - Коллизией хеш функции H называется два различных входных блока данных x и y таких, что H(x) = H(y). Коллизии существуют для большинства хеш функций, но для «хороших» хеш функций частота их возникновения близка к теоретическому минимуму. В… … Википедия

Нередко при скачивании торрентов или непосредственно самих файлов в описании стоит что-то наподобие «ad33e486d0578a892b8vbd8b19e28754» (например, в ex.ua), нередко с припиской «md5». Это хеш-код - результат, который выдает хэш-функция после обработки входящих данных. В переводе с английского хэш обозначает путаницу, марихуану, травку или блюдо из мелко нарезанного мяса и овощей. очень и очень сложно, можно сказать, что практически невозможно. Тогда возникает вопрос: «Зачем вообще нужны все эти они выдают непонятную абракадабру, которая еще и не поддается расшифровке?». Об этом и пойдет речь в данной статье.

Что такое хэш-функция и как она действует?

Данная функция предназначена для преобразования входящих данных сколь угодно большого размера в результат фиксированной длины. Сам процесс такого преобразования называется хешированием, а результат - хэшем или хэш-кодом. Порой еще используют слова «отпечаток» или «дайджест сообщения», но на практике они встречаются намного реже. Существует масса различных алгоритмов того, как можно превратить любой массив данных в некую последовательность символов определенной длины. Наибольшее распространение получил алгоритм под названием md5, который был разработан еще в 1991 году. Несмотря на то, что на сегодняшний день md5 является несколько устаревшим и к использованию не рекомендуется, он до сих пор все еще в ходу и часто вместо слова «хеш-код», на сайтах просто пишут md5 и указывают сам код.

Зачем нужна хеш-функция?

Зная результат, практически невозможно определить исходные данные, но одни и те же входящие данные дают одинаковый итог. Поэтому хэш-функция (ее еще называют функция свертки) часто используется для хранения очень важной информации, такой как пароль, логин, номер удостоверения и другая персональная информация. Вместо сравнивания сведений, вводимых пользователем, с теми, которые хранятся в базе данных, происходит сопоставление их хешей. Это дает гарантию, что при случайной утечке информации никто не сможет воспользоваться важными данными для своих целей. Путем сравнения хеш-кода также удобно проверять правильность загрузки файлов с интернета, особенно если во время скачивания происходили перебои связи.

Хэш-функции: какими они бываю т

В зависимости от своего предназначения хэш-функция может быть одного из трех типов:

1. Функция для проверки целостности информации

Когда происходит по сети, происходит расчет хэша пакета, и этот результат также передается вместе с файлом. При приеме снова вычисляется хэш-код и сравнивается с полученным по сети значением. Если код не совпадает, то это говорит об ошибках, и испорченный пакет снова будет передан. У такой функции быстрая скорость расчета, но малое количество хэш значений и плохая стабильность. Пример такого типа: CRC32, у которой всего лишь 232 отличающихся между собой значения.

2. Криптографическая функция

Используется для защиты от (НД). Они позволяют проверить, не произошло ли искажение данных в результате НД во время передачи файлов по сети. Истинный хэш в этом случае общедоступен, а хэш полученного файла можно вычислить с помощью множества разных программ. У таких функций долгий и стабильный срок работы, а поиск коллизий (возможных совпадений результата от разных исходных данных) очень осложнен. Именно такие функции используют для хранения в БД паролей (SH1, SH2, MD5) и прочей ценной информации.

3. Функция, предназначенная для создания эффективной структуры данных

Ее целью является компактная и довольно упорядоченная организация сведений в специальной структуре, которая носит название хэш-таблицы. Такая таблица позволяет добавлять новую информацию, удалять сведения и выполнять поиск нужных данных с очень высокой скоростью.

12 мая 2010 в 01:28

Хэш-алгоритмы

• Информационная безопасность

Как я полагаю, многим известно о том, что с 2007 года Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) проводит конкурс на разработку хэш-алгоритма для замены SHA-1, и семейства алгоритмов SHA-2. Однако данная тема, почему-то обделена вниманием на сайте. Собственно это и привело меня к вам. Предлагаю вашему вниманию цикл статей, посвященных хэш-алгоритмам. В этом цикле мы вместе изучим основы хэш-функций, рассмотрим самые именитые хэш-алгоритмы, окунемся в атмосферу конкурса SHA-3 и рассмотрим алгоритмы, претендующие на победу в нем, обязательно их потестируем. Так же по возможности будут рассмотрены российские стандарты хеширования.

О себе

Студент кафедры информационной безопасности.

О хэшировании

В настоящее время практически ни одно приложение криптографии не обходится без использования хэширования.
Хэш-функции – это функции, предназначенные для «сжатия» произвольного сообщения или набора данных, записанных, как правило, в двоичном алфавите, в некоторую битовую комбинацию фиксированной длины, называемую сверткой. Хэш-функции имеют разнообразные применения при проведении статистических экспериментов, при тестировании логических устройств, при построении алгоритмов быстрого поиска и проверки целостности записей в базах данных. Основным требованием к хэш-функциям является равномерность распределения их значений при случайном выборе значений аргумента.
Криптографической хеш-функцией называется всякая хеш-функция, являющаяся криптостойкой, то есть удовлетворяющая ряду требований специфичных для криптографических приложений. В криптографии хэш-функции применяются для решения следующих задач:
- построения систем контроля целостности данных при их передаче или хранении,
- аутентификация источника данных.

Хэш-функцией называется всякая функция h:X -> Y , легко вычислимая и такая, что для любого сообщения M значение h(M) = H (свертка) имеет фиксированную битовую длину. X - множество всех сообщений, Y - множество двоичных векторов фиксированной длины.

Как правило хэш-функции строят на основе так называемых одношаговых сжимающих функций y = f(x 1 , x 2) двух переменных, где x 1 , x 2 и y - двоичные векторы длины m , n и n соответственно, причем n - длина свертки, а m - длина блока сообщения.
Для получения значения h(M) сообщение сначала разбивается на блоки длины m (при этом, если длина сообщения не кратна m то последний блок неким специальным образом дополняется до полного), а затем к полученным блокам M 1 , M 2 ,.., M N применяют следующую последовательную процедуру вычисления свертки:

H o = v,
H i = f(M i ,H i-1), i = 1,.., N,
h(M) = H N

Здесь v - некоторая константа, часто ее называют инициализирующим вектором. Она выбирается
из различных соображений и может представлять собой секретную константу или набор случайных данных (выборку даты и времени, например).
При таком подходе свойства хэш-функции полностью определяются свойствами одношаговой сжимающей функции.

Выделяют два важных вида криптографических хэш-функций - ключевые и бесключевые. Ключевые хэш-функции называют кодами аутентификации сообщений. Они дают возможность без дополнительных средств гарантировать как правильность источника данных, так и целостность данных в системах с доверяющими друг другу пользователями.
Бесключевые хэш-функции называются кодами обнаружения ошибок. Они дают возможность с помощью дополнительных средств (шифрования, например) гарантировать целостность данных. Эти хэш-функции могут применяться в системах как с доверяющими, так и не доверяющими друг другу пользователями.

О статистических свойствах и требованиях

Как я уже говорил основным требованием к хэш-функциям является равномерность распределения их значений при случайном выборе значений аргумента. Для криптографических хеш-функций также важно, чтобы при малейшем изменении аргумента значение функции сильно изменялось. Это называется лавинным эффектом.

К ключевым функциям хэширования предъявляются следующие требования:
- невозможность фабрикации,
- невозможность модификации.

Первое требование означает высокую сложность подбора сообщения с правильным значением свертки. Второе - высокую сложность подбора для заданного сообщения с известным значением свертки другого сообщения с правильным значением свертки.

К бесключевым функциям предъявляют требования:
- однонаправленность,
- устойчивость к коллизиям,
- устойчивость к нахождению второго прообраза.

Под однонаправленностью понимают высокую сложность нахождения сообщения по заданному значению свертки. Следует заметить что на данный момент нет используемых хэш-функций с доказанной однонаправленностью.
Под устойчивостью к коллизиям понимают сложность нахождения пары сообщений с одинаковыми значениями свертки. Обычно именно нахождение способа построения коллизий криптоаналитиками служит первым сигналом устаревания алгоритма и необходимости его скорой замены.
Под устойчивостью к нахождению второго прообраза понимают сложность нахождения второго сообщения с тем же значением свертки для заданного сообщения с известным значением свертки.

Это была теоретическая часть, которая пригодится нам в дальнейшем…

О популярных хэш-алгоритмах

Алгоритмы CRC16/32 - контрольная сумма (не криптографическое преобразование).

Алгоритмы MD2/4/5/6 . Являются творением Рона Райвеста, одного из авторов алгоритма RSA.
Алгоритм MD5 имел некогда большую популярность, но первые предпосылки взлома появились еще в конце девяностых, и сейчас его популярность стремительно падает.
Алгоритм MD6 - очень интересный с конструктивной точки зрения алгоритм. Он выдвигался на конкурс SHA-3, но, к сожалению, авторы не успели довести его до кондиции, и в списке кандидатов, прошедших во второй раунд этот алгоритм отсутствует.

Алгоритмы линейки SHA Широко распространенные сейчас алгоритмы. Идет активный переход от SHA-1 к стандартам версии SHA-2. SHA-2 - собирательное название алгоритмов SHA224, SHA256, SHA384 и SHA512. SHA224 и SHA384 являются по сути аналогами SHA256 и SHA512 соответственно, только после расчета свертки часть информации в ней отбрасывается. Использовать их стоит лишь для обеспечения совместимости с оборудованием старых моделей.

Российский стандарт - ГОСТ 34.11-94 .

В следующей статье

Обзор алгоритмов MD (MD4, MD5, MD6).

Литература

А. П. Алферов, Основы криптографии.

Брюс Шнайер, Прикладная криптография.

При обмене электронными документами по сети связи существенно снижаются затраты на обработку и хранение документов, убыстряется их поиск. Но при этом возникает проблема аутентификации автора документа и самого документа, т.е. установления подлинности автора и отсутствия изменений в полученном документе. В обычной (бумажной) информатике эти проблемы решаются за счет того, что информация в документе и рукописная подпись автора жестко связаны с физическим носителем (бумагой). В электронных документах на машинных носителях такой связи нет.

Целью аутентификации электронных документов является их защита от возможных видов злоумышленных действий, к которым относятся:

• активный перехват - нарушитель, подключившийся к сети, перехватывает документы (файлы) и изменяет их;
• маскарад - абонент С посылает документ абоненту В от имени абонента А;
• ренегатство - абонент А заявляет, что не посылал сообщения абоненту В, хотя на самом деле послал;
• подмена - абонент В изменяет или формирует новый документ и заявляет, что получил его от абонента А;
• повтор - абонент С повторяет ранее переданный документ, который абонент А посылал абоненту В.

Эти виды злоумышленных действий могут нанести существенный ущерб банковским и коммерческим структурам, государственным предприятиям и организациям, а также частным лицам, применяющим в своей деятельности компьютерные информационные технологии.

При обработке документов в электронной форме совершенно непригодны традиционные способы установления подлинности по рукописной подписи и оттиску печати на бумажном документе. Принципиально новым решением является электронная цифровая подпись (ЭЦП ).

Электронная цифровая подпись используется для аутентификации текстов, передаваемых по телекоммуникационным каналам. Функционально она аналогична обычной рукописной подписи и обладает ее основными достоинствами:

• удостоверяет, что подписанный текст исходит от лица, поставившего подпись;
• не дает самому этому лицу возможности отказаться от обязательств, связанных с подписанным текстом;
• гарантирует целостность подписанного текста.

Цифровая подпись представляет собой относительно небольшое количество дополнительной цифровой информации, передаваемой вместе с подписываемым текстом.

Система ЭЦП включает две процедуры: 1) процедуру постановки подписи; 2) процедуру проверки подписи. В процедуре постановки подписи используется секретный ключ отправителя сообщения, в процедуре проверки подписи - открытый ключ отправителя.

При формировании ЭЦП отправитель прежде всего вычисляет хэш-функцию h(М) подписываемого текста М. Вычисленное значение хэш-функции h(М) представляет собой один короткий блок информации m , характеризующий весь текст М в целом. Затем число m шифруется секретным ключом отправителя. Получаемая при этом пара чисел представляет собой ЭЦП для данного текста М.

При проверке ЭЦП получатель сообщения снова вычисляет хэш-функцию m = h(М) принятого по каналу текста М, после чего при помощи открытого ключа отправителя проверяет, соответствует ли полученная подпись вычисленному значению m хэш-функции.

Принципиальным моментом в системе ЭЦП является невозможность подделки ЭЦП пользователя без знания его секретного ключа подписывания.

В качестве подписываемого документа может быть использован любой файл. Подписанный файл создается из неподписанного путем добавления в него одной или более электронных подписей.

Каждая подпись содержит следующую информацию:

• дату подписи;
• срок окончания действия ключа данной подписи;
• информацию о лице, подписавшем файл (Ф.И.0., должность, краткое наименование фирмы);
• идентификатор подписавшего (имя открытого ключа);
• собственно цифровую подпись.

2. Однонаправленные хэш-функции

Хэш-функция (англ. hash - мелко измельчать и перемешивать) предназначена для сжатия подписываемого документа до нескольких десятков или сотен бит. Хэш-функция h(·) принимает в качестве аргумента сообщение (документ) М произвольной длины и возвращает хэш-значение h(М)=Н фиксированной длины. Обычно хэшированная информация является сжатым двоичным представлением основного сообщения произвольной длины. Следует отметить, что значение хэш-функции h(М) сложным образом зависит от документа М и не позволяет восстановить сам документ М.

Хэш-функция должна удовлетворять целому ряду условий:

1. хэш-функция должна быть чувствительна к всевозможным изменениям в тексте М, таким как вставки, выбросы, перестановки и т.п.;
2. хэш-функция должна обладать свойством необратимости, то есть задача подбора документа М" , который обладал бы требуемым значением хэш-функции, должна быть вычислительно неразрешима;
3. вероятность того, что значения хэш-функций двух различных документов (вне зависимости от их длин) совпадут, должна быть ничтожно мала.

Большинство хэш-функций строится на основе однонаправленной функции f(·) , которая образует выходное значение длиной n при задании двух входных значений длиной n . Этими входами являются блок исходного текста М, и хэш-значение Н i-1 предыдущего блока текста (рис.1).

Рис.1. Построение однонаправленной хэш-функции

Н i = f(М i , Н i-1) .

Хэш-значение, вычисляемое при вводе последнего блока текста, становится хэш-значением всего сообщения М.

В результате однонаправленная хэш-функция всегда формирует выход фиксированной длины n (независимо от длины входного текста).

Основы построения хэш-функций

Общепринятым принципом построения хэш-функций является итеративная последовательная схема . По этой методики ядром алгоритма является преобразование k бит в n бит. Величина n - разрядность результата хэш-функции, а k - произвольное число, большее n . Базовое преобразование должно обладать всеми свойствами хэш-функции т.е. необратимостью и невозможностью инвариантного изменения входных данных.

Хэширование производится с помощью промежуточной вспомогательной переменной разрядностью в n бит. В качестве ее начального значения выбирается произвольное известное всем сторонам значение, например, 0.

Входные данные разбиваются на блоки по (k-n) бит. На каждой итерации хэширования со значением промежуточной величины, полученной на предыдущей итерации, объединяется очередная (k-n) -битная порция входных данных, и над получившимся k -битным блоком производится базовое преобразование. В результате весь входной текст оказывается "перемешанным" с начальным значением вспомогательной величины. Из-за характера преобразования базовую функцию часто называют сжимающей . Значение вспомогательной величины после финальной итерации поступает на выход хэш-функции (рис.2). Иногда над получившимся значением производят дополнительные преобразования. Но в том случае, если сжимающая функция спроектирована с достаточной степенью стойкости, эти преобразования излишни.

При проектировании хэш-функции по итеративной схеме возникают два взаимосвязанных вопроса: как поступать с данными, не кратными числу (k-n) , и как добавлять в хэш-сумму длину документа, если это требуется. Есть два варианта решения этих вопросов. В первом варианте в начало документа перед хэшированием добавляется поле фиксированной длины (например, 32 бита), в котором в двоичном виде записывается исходная длина текста. Затем объединенный блок данных дополняется нулями до ближайшего кратного (k-n) бит размера. Во втором варианте документ дополняется справа одним битом "1", а затем до кратного (k-n) бит размера битами "0". В этом варианте необходимость в поле длины отпадает - никакие два разных документа после выравнивания по границе порций не станут одинаковыми.

Кроме более популярных однопроходных алгоритмов хэширования существуют и многопроходные алгоритмы. В этом случае входной блок данных на этапе расширения неоднократно повторяется, а уже затем дополняется до ближайшей границы порции.

Рис.2. Итерактивная хэш-функция

Однонаправленные хэш-функции на основе симметричных блочных алгоритмов

Однонаправленную хэш-функцию можно построить, используя симметричный блочный алгоритм. Наиболее очевидный подход состоит в том, чтобы шифровать сообщение М посредством блочного алгоритма в режиме СВС или СFВ с помощью фиксированного ключа и некоторого вектора инициализации IV. Последний блок шифртекста можно рассматривать в качестве хэш-значения сообщения М. При таком подходе не всегда возможно построить безопасную однонаправленную хэш-функцию, но всегда можно получить код аутентификации сообщения МАС (Message Authentication Code).

Более безопасный вариант хэш-функции можно получить, используя блок сообщения в качестве ключа, предыдущее хэш-значение - в качестве входа, а текущее хэш-значение - в качестве выхода. Реальные хэш-функции проектируются еще более сложными. Длина блока обычно определяется длиной ключа, а длина хэш-значения совпадает с длиной блока.

Поскольку большинство блочных алгоритмов являются 64-битовыми, некоторые схемы хэширования проектируют так, чтобы хэш-значение имело длину, равную двойной длине блока.

Если принять, что получаемая хэш-функция корректна, безопасность схемы хэширования базируется на безопасности лежащего в ее основе блочного алгоритма. Схема хэширования, у которой длина хэш-значения равна длине блока, показана на рис.3. Ее работа описывается выражениями:

Н 0 = I н, Н i = Е A (В) Å С, где Å - сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ); I н - некоторое случайное начальное значение; А, В, С могут принимать значения М i , Н i-1 , (М i Å Н i-1) или быть константами.

Рис.3. Обобщенная схема формирования хэш-функции

Сообщение М разбивается на блоки М i принятой длины, которые обрабатываются поочередно.

Три различные переменные А, В, С могут принимать одно из четырех возможных значений, поэтому в принципе можно получить 64 варианта общей схемы этого типа. Из них 52 варианта являются либо тривиально слабыми, либо небезопасными. Остальные 12 схем безопасного хэширования, у которых длина хэш-значения равна длине блока перечислены в табл.1.

Таблица 1

Номер схемы Функция хэширования 1 Н i = Е H i-1 (М i) Å М i 2 Н i = Е H i-1 (М i Å Н i-1) Å М i Å Н i-1 3 Н i = E H i-1 (М i) Å М i Å Н i-1 4 Н i = Е H i-1 (М i Å Н i-1) Å М i 5 Н i = Е M i (Н i-1) Å Н i-1 6 Н i = Е M i (М i Å Н i-1) Å М i Å Н i-1 7 Н i = Е M i (Н i-1) Å М i Å Н i-1 8 Н i = E M i (М i Å Н i-1) Å Н i-1 9 Н i = Е M i Å H i-1 (М i) Å М i 10 Н i = Е M i Å H i-1 (Н i-1) Å Н i-1 11 Н i = Е M i Å H i-1 (M i) Å Н i-1 12 Н i = Е M i Å H i-1 (Н i-1) Å М i

Первые четыре схемы хэширования, являющиеся безопасными при всех атаках, приведены на рис.4.

Рис.4. Четыре схемы безопасного хэширования

Недостатком хэш-функций, спроектированных на основе блочных алгоритмов, является несколько заниженная скорость работы. Дело в том, что ту же самую стойкость относительно двух основных требований к хэш-функции можно обеспечить за гораздо меньшее количество операций над входными данными. Но для этого алгоритм необходимо изначально проектировать специально, исходя из тандема требований (стойкость, скорость). Далее рассмотрены три самостоятельных алгоритма криптостойкого хэширования, получивших наибольшее распространение на сегодняшний день.

Алгоритм MD5

Алгоритм MD5 (Message Digest №5) разработан Роналдом Риверсом. MD5 использует 4 многократно повторяющиеся преобразования над тремя 32-битными величинами U, V и W:

F(U,V,W)=(U AND V) OR ((NOT U) AND W) g(U,V,W)=(U AND W) OR (V AND (NOT W)) h(U,V,W)=U XOR V XOR W k(U,V,W)=V XOR (U OR (NOT W)).

В алгоритме используются следующие константы:

• начальные константы промежуточных величин - H=67452301 16 , H=EFCDAB89 16 , H=98BADCFE 16 , H=10325476 16 ;
• константы сложения в раундах - y[j]=HIGHEST_32_BITS(ABS(SIN(j+1))) j=0...63 , где функция HIGHEST_32_BITS(X) отделяет 32 самых старших бита из двоичной записи дробного числа X , а операнд SIN(j+1) считается взятым в радианах;
• массив порядка выбора ячеек в раундах - z = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 6, 11, 0, 5, 10, 15, 4, 9, 14, 3, 8, 13, 2, 7, 12, 5, 8, 11, 4, 1, 4, 7, 10, 13, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 0, 7, 14, 5, 12, 3, 10, 1, 8, 15, 6, 13, 4, 11, 2, 9);
• массив величины битовых циклических сдвигов влево - s = (7, 12, 17, 22, 7, 12, 17, 22, 7, 12, 17, 22, 7, 12, 17, 22, 5, 9, 14, 20, 5, 9, 14, 20, 5, 9, 14, 20, 5, 9, 14, 20, 4, 11, 16, 23, 4, 11, 16, 23, 4, 11, 16, 23, 4, 11, 16, 23, 6, 10, 15, 21, 6, 10, 15, 21, 6, 10, 15, 21, 6, 10, 15, 21).

На первоначальном этапе входной блок данных дополняется одним битом "1". Затем к нему добавляется такое количество битов "0", чтобы остаток от деления блока на 512 составлял 448. Наконец, к блоку добавляется 64-битная величина, хранящая первоначальную длину документа. Получившийся входной поток имеет длину кратную 512 битам.

Каждый 512-битный блок, представленный в виде 16 32-битных значений X...X , проходит через сжимающую функцию, которая перемешивает его со вспомогательным блоком (H,H,H,H) :

(A,B,C,D) = (H,H,H,H) цикл по j от 0 до 15 T = (A + f(B,C,D) + x] + y[j]) ROL s[j] (A,B,C,D) = (D,B+T,B,C) конец_цикла цикл по j от 16 до 31 T = (A + g(B,C,D) + x] + y[j]) ROL s[j] (A,B,C,D) = (D,B+T,B,C) конец_цикла цикл по j от 32 до 47 T = (A + h(B,C,D) + x] + y[j]) ROL s[j] (A,B,C,D) = (D,B+T,B,C) конец_цикла цикл по j от 48 до 63 T = (A + k(B,C,D) + x] + y[j]) ROL s[j] (A,B,C,D) = (D,B+T,B,C) конец_цикла (H,H,H,H) = (H+A,H+B,H+C,H+D)

После того, как все 512-битные блоки прошли через процедуру перемешивания, временные переменные H,H,H,H , а 128-битное значение подается на выход хэш-функции.

Алгоритм MD5, основанный на предыдущей разработке Роналда Риверса MD4, был призван дать еще больший запас прочности к криптоатакам. MD5 очень похож на MD4. Отличие состоит в простейших изменениях в алгоритмах наложения и в том, что в MD4 48 проходов основного преобразования, а в MD5 - 64. Несмотря на большую популярность, MD4 "медленно, но верно" был взломан. Сначала появились публикации об атаках на упрощенный алгоритм. Затем было заявлено о возможности найти два входных блока сжимающей функции MD4, которые порождают одинаковый выход. Наконец, в 1995 году было показано, что найти коллизию, т.е. "хэш-двойник" к произвольному документу, можно менее чем за минуту, а добиться "осмысленности" фальшивого документа (т.е. наличия в нем только ASCII-символов с определенными "разумными" законами расположения) - всего лишь за несколько дней.

Алгоритм безопасного хэширования SНА

Алгоритм безопасного хэширования SНА (Secure Hash Algorithm ) разработан НИСТ и АНБ США в рамках стандарта безопасного хэширования SHS (Secure Hash Standard) в 1992 г. Алгоритм хэширования SНА предназначен для использования совместно с алгоритмом цифровой подписи DSА.

При вводе сообщения М произвольной длины менее 2 64 бит алгоритм SНА вырабатывает 160-битовое выходное сообщение, называемое дайджестом сообщения МD (Message Digest). Затем этот дайджест сообщения используется в качестве входа алгоритма DSА, который вычисляет цифровую подпись сообщения М. Формирование цифровой подписи для дайджеста сообщения, а не для самого сообщения повышает эффективность процесса подписания, поскольку дайджест сообщения обычно намного короче самого сообщения.

Такой же дайджест сообщения должен вычисляться пользователем, проверяющим полученную подпись, при этом в качестве входа в алгоритм SНА используется полученное сообщение М.

Алгоритм хэширования SНА назван безопасным, потому что он спроектирован таким образом, чтобы было вычислительно невозможно восстановить сообщение, соответствующее данному дайджесту, а также найти два различных сообщения, которые дадут одинаковый дайджест. Любое изменение сообщения при передаче с очень большой вероятностью вызовет изменение дайджеста, и принятая цифровая подпись не пройдет проверку.

Рассмотрим подробнее работу алгоритма хэширования SНА. Прежде всего исходное сообщение М дополняют так, чтобы оно стало кратным 512 битам. Дополнительная набивка сообщения выполняется следующим образом: сначала добавляется единица, затем следуют столько нулей, сколько необходимо для получения сообщения, которое на 64 бита короче, чем кратное 512, и наконец добавляют 64-битовое представление длины исходного сообщения.

Инициализируется пять 32-битовых переменных в виде:

А = 0х67452301 В = 0хЕFСDАВ89 С = 0х98ВАDСFЕ D = 0x10325476 Е = 0хС3D2Е1F0

Затем начинается главный цикл алгоритма. В нем обрабатывается по 512 бит сообщения поочередно для всех 512-битовых блоков, имеющихся в сообщении. Первые пять переменных А, В, С, D, Е копируются в другие переменные a, b, с, d, е:

А = А, b = В, с = С, d = D, е = Е

Главный цикл содержит четыре цикла по 20 операций каждый. Каждая операция реализует нелинейную функцию от трех из пяти переменных а, b, с, d, е, а затем производит сдвиг и сложение.

Алгоритм SНА имеет следующий набор нелинейных функций:

F t (Х, Y, Z) = (X Ù Y) Ú ((Ø X) Ù Z) для t = 0...19, f t (Х, Y, Z) =Х Å Y Å Z для t = 20...39, f t (Х, Y, Z) = (X Ù Y) Ú (X Ù Z) Ú (Y Ù Z) для t = 40...59, f t (Х, Y, Z) = Х Å Y Å Z для t = 60...79, где t - номер операции.

В алгоритме используются также четыре константы:

К t = 0х5А827999 для t = 0...19, К t = 0х6ЕD9ЕВА1 для t = 20...39, К t = 0х8F1ВВСDС для t = 40...59, К t = 0хСА62С1D6 для t = 60...79.

Блок сообщения преобразуется из шестнадцати 32-битовых слов (М 0 ...М 15) в восемьдесят 32-битовых слов (W 0 ...W 79) с помощью следующего алгоритма:

W t = М t для t = 0...15, W t = (W t-3 Å W t-8 Å W t-14 Å W t-16) <<< 1 для t = 16...79,
где t - номер операции, W t - t -й субблок расширенного сообщения, <<< S - циклический сдвиг влево на S бит.

С учетом введенных обозначений главный цикл из восьмидесяти операций можно описать так:

Цикл по t от 0 до 79 ТЕМР = (а <<< 5) + f t (b, c, d) + е + W t + К t е = d d = с с = (b <<< 30) b = а а = ТЕМР конец_цикла

Схема выполнения одной операции показана на рис.5.

Рис.5. Схема выполнения одной операции алгоритма SHA

После окончания главного цикла значения а, b, с, d, е складываются с А, В, С, D, Е соответственно, и алгоритм приступает к обработке следующего 512-битового блока данных. Окончательный выход формируется в виде конкатенации значений А, В, С, D, Е.

Отличия SHA от MD5 состоят в следующем:

• SНА выдает 160-битовое хэш-значение, поэтому он более устойчив к атакам полного перебора и атакам "дня рождения", чем MD5, формирующий 128-битовые хэш-значения.
• Сжимающая функция SHA состоит из 80 шагов, а не из 64 как в MD5.
• Расширение входных данных производится не простым их повторение в другом порядке, а рекуррентной формулой.
• Усложнен процесс перемешивания

Отечественный стандарт хэш-функции

Российский стандарт ГОСТ Р 34.11-94 определяет алгоритм и процедуру вычисления хэш-функции для любых последовательностей двоичных символов, применяемых в криптографических методах обработки и защиты информации. Этот стандарт базируется на блочном алгоритме шифрования ГОСТ 28147-89, хотя в принципе можно было бы использовать и другои блочный алгоритм шифрования с 64-битовым блоком и 256-битовым ключом.

Данная хэш-функция формирует 256-битовое хэш-значение.

Функция сжатия Н i = f(М i , Н i-1) (оба операнда М i и Н i-1 являются 256-битовыми величинами) определяется следующим образом:

1. Генерируются 4 ключа шифрования К j , j = 1...4 , путем линейного смешивания М i , Н i-1 и некоторых констант С j .
2. Каждый ключ К j используют для шифрования 64-битовых подслов h j слова Н i-1 в режиме простой замены:
   S i = E Kj (h j) . Результирующая последовательность S 4 , S 3 , S 2 , S 1 длиной 256 бит запоминается во временной переменной S .
3. Значение Н i является сложной, хотя и линейной функцией смешивания S, М i , Н i-1 .

При вычислении окончательного хэш-значения сообщения М учитываются значения трех связанных между собой переменных:

Н n - хэш-значение последнего блока сообщения;
Z - значение контрольной суммы, получаемой при сложении по модулю 2 всех блоков сообщения;
L - длина сообщения.

Эти три переменные и дополненный последний блок М " сообщения объединяются в окончательное хэш-значение следующим образом:

Н = f (Z Å М", f (L, f(М", Н n))).

Данная хэш-функция определена стандартом ГОСТ Р 34.11-94 для использования совместно с российским стандартом электронной цифровой подписи.

3. Алгоритмы электронной цифровой подписи

Технология применения системы ЭЦП предполагает наличие сети абонентов, посылающих друг другу подписанные электронные документы. Для каждого абонента генерируется пара ключей: секретный и открытый. Секретный ключ хранится абонентом в тайне и используется им для формирования ЭЦП. Открытый ключ известен всем другим пользователям и предназначен для проверки ЭЦП получателем подписанного электронного документа. Иначе говоря, открытый ключ является необходимым инструментом, позволяющим проверить подлинность электронного документа и автора подписи. Открытый ключ не позволяет вычислить секретный ключ.

Для генерации пары ключей (секретного и открытого) в алгоритмах ЭЦП, как и в асимметричных системах шифрования, используются разные математические схемы, основанные на применении однонаправленных функции. Эти схемы разделяются на две группы. В основе такого разделения лежат известные сложные вычислительные задачи:

• задача факторизации (разложения на множители) больших целых чисел;
• задача дискретного логарифмирования.

Алгоритм цифровой подписи RSА

Первой и наиболее известной во всем мире конкретной системой ЭЦП стала система RSА , математическая схема которой была разработана в 1977 г. в Массачуссетском технологическом институте США.

Сначала необходимо вычислить пару ключей (секретный ключ и открытый ключ). Для этого отправитель (автор) электронных документов вычисляет два больших простых числа Р и Q, затем находит их произведение

N = Р * Q и значение функции j (N) = (Р-1)(Q-1).
Далее отправитель вычисляет число Е из условий: Е £ j (N), НОД (Е, j (N)) = 1
и число D из условий: D < N, Е*D º 1 (mod j (N)).

Пара чисел (Е, N) является открытым ключом. Эту пару чисел автор передает партнерам по переписке для проверки его цифровых подписей. Число D сохраняется автором как секретный ключ для подписывания.

Обобщенная схема формирования и проверки цифровой подписи RSА показана на рис.6.

Рис.6. Обобщённая схема цифровой подписи RSA

Допустим, что отправитель хочет подписать сообщение М перед его отправкой. Сначала сообщение М (блок информации, файл, таблица) сжимают с помощью хэш-функции h(·) в целое число m:

M = h(М).

Затем вычисляют цифровую подпись S под электронным документом М, используя хэш-значение m и секретный ключ D:

S = m D (mod N).

Пара (М,S) передается партнеру-получателю как электронный документ М, подписанный цифровой подписью S , причем подпись S сформирована обладателем секретного ключа D .

После приема пары (М,S) получатель вычисляет хэш-значение сообидения М двумя разными способами. Прежде всего он восстанавливает хэш-значение m" , применяя криптографическое преобразование подписи S с использованием открытого ключа Е:

M" = S E (mod N).

Кроме того, он находит результат хэширования принятого сообщения М с помощью такой же хэш-функции h(·) :

M = h(М).

Если соблюдается равенство вычисленных значений, т.е.

S E (mod N) = h (М),
то получатель признает пару (М,S) подлинной. Доказано, что только обладатель секретного ключа D может сформировать цифровую подпись S по документу М, а определить секретное число D по открытому числу Е не легче, чем разложить модуль N на множители.

Кроме того, можно строго математически доказать, что результат проверки цифровой подписи S будет положительным только в том случае, если при вычислении S был использован секретный ключ D , соответствующий открытому ключу Е. Поэтому открытый ключ Е иногда называют "идентификатором" подписавшего.

Недостатки алгоритма цифровой подписи RSА.

1. При вычислении модуля N , ключей Е и D для системы цифровой подписи RSА необходимо проверять большое количество дополнительных условий, что сделать практически трудно. Невыполнение любого из этих условий делает возможным фальсификацию цифровой подписи со стороны того, кто обнаружит такое невыполнение. При подписании важных документов нельзя допускать такую возможность даже теоретически.
2. Для обеспечения криптостойкости цифровой подписи RSА по отношению к попыткам фальсификации на уровне, например, национального стандарта США на шифрование информации (алгоритм DES), т.е. 10 18 , необходимо использовать при вычислениях N , D и Е целые числа не менее 2 512 (или около 10 154) каждое, что требует больших вычислительных затрат, превышающих на 20...30% вычислительные затраты других алгоритмов цифровой подписи при сохранении того же уровня криптостойкости.
3. Цифровая подпись RSА уязвима к так называемой мультипликативной атаке. Иначе говоря, алгоритм цифровой подписи RSА позволяет злоумышленнику без знания секретного кпюча D сформировать подписи под теми документами, у которых результат хэширования можно вычислить как произведение результатов хэширования уже подписанных документов.

Пример. Допустим, что злоумышленник может сконструировать три сообщения М 1 , М 2 , М 3 , у которых хэш-значения

M 1 = h (М 1), m 2 = h (М 2), m 3 = h (М 3) ,

M 3 = m 1 * m 2 (mod N) .

Допустим также, что для двух сообщений М 1 и М 2 получены законные подписи

S 1 = m 1 D (mod N) S 2 = m 2 D (mod N) .

Тогда злоумышленник может легко вычислить подпись S 3 для документа М 3 , даже не зная секретного ключа D:

S 3 = S 1 * S 2 (mod N).

Действительно,

S 1 * S 2 (mod N) = m 1 D * m 2 D (mod N) = (m 1 m 2) D (mod N) = m 3 D (mod N) = S 3 .

Более надежный и удобный для реализации на персональных компьютерах алгоритм цифровой подписи был разработан в 1984 г. американцем арабского происхождения Тахером Эль Гамалем. В 1991 г. НИСТ США обосновал перед комиссией Конгресса США выбор алгоритма в качестве основы для национального стандарта.

Алгоритм цифровой подписи Эль Гамаля (ЕGSА)

Название ЕGSА происходит от слов Е_ Gаmа_ Signaturе Аlgorithm (алгоритм цифровой подписи Эль Гамаля). Идея ЕGSА основана на том, что для обоснования практической невозможности фальсификации цифровой подписи может быть использована более сложная вычислительная задача, чем разложение на множители большого целого числа,- задача дискретного логарифмирования. Кроме того, Эль Гамалю удалось избежать явной слабости алгоритма цифровой подписи RSА, связанной с возможностью подделки цифровой подписи под некоторыми сообщениями без определения секретного ключа.

Рассмотрим подробнее алгоритм цифровой подписи Эль-Гамаля . Для того чтобы генерировать пару ключей (открытый ключ - секретный ключ), сначала выбирают некоторое большое простое целое число Р и большое целое число G , причем G < Р. Отправитель и получатель подписанного документа используют при вычислениях одинаковые большие целые числа Р (~10 308 или ~2 1024) и G (~10 154 или ~2 512), которые не являются секретными.

Отправитель выбирает случайное целое число X, 1 < Х £ (Р-1) , и вычисляет

Y =G X mod Р.

Число Y является открытым ключом, используемым для проверки подписи отправителя. Число Y открыто передается всем потенциальным получателям документов.

Число Х является секретным ключом отправителя для подписывания документов и должно храниться в секрете.

Для того чтобы подписать сообщение М, сначала отправитель хэширует его с помощью хэш-функции h(·) в целое число m:

M = h(М), 1 < m < (Р-1) , и генерирует случайное целое число К, 1 < К < (Р-1) , такое, что К и (Р-1) являются взаимно простыми. Затем отправитель вычисляет целое число а: а = G K mod Р и, применяя расширенный алгоритм Евклида, вычисляет с помощью секретного ключа Х целое число b из уравнения m = Х * а + К * b (mod (Р-1)) .

Пара чисел (а,b) образует цифровую подпись S:

S=(а,b) , проставляемую под документом М.

Тройка чисел (М,а,b) передается получателю, в то время как пара чисел (Х,К) держится в секрете.

После приема подписанного сообщения (М,а,b) получатель должен проверить, соответствует ли подпись S=(а,b) сообщению М. Для этого получатель сначала вычисляет по принятому сообщению М число

M = h(М) , т.е. хэширует принятое сообщение М.

Затем получатель вычисляет значение

А = Y a a b (mod Р) и признает сообщение М подлинным, только если А = G m (mod Р) .

Иначе говоря, получатель проверяет справедливость соотношения

Y a a b (mod Р) = G m (mod Р) .

Можно строго математически доказать, что последнее равенство будет выполняться тогда, и только тогда, когда подпись S=(а,b) под документом М получена с помощью именно того секретного ключа X , из которого был получен открытый ключ Y . Таким образом, можно надежно удостовериться, что отправителем сообщения М был обладатель именно данного секретного ключа X , не раскрывая при этом сам ключ, и что отправитель подписал именно этот конкретный документ М.

Следует отметить, что выполнение каждой подписи по методу Эль Гамаля требует нового значения К, причем это значение должно выбираться случайным образом. Если нарушитель раскроет когда-либо значение К, повторно используемое отправителем, то он сможет раскрыть секретный ключ Х отправителя.

Пример. Выберем: числа Р = 11, G = 2 и секретный ключ Х = 8 . Вычисляем значение открытого ключа:

Y = G X mod Р = 2 8 mod 11 = 3 .

Предположим, что исходное сообщение М характеризуется хэш-значением m = 5 .

Для того чтобы вычислить цифровую подпись для сообщения М, имеющего хэш-значение m = 5 , сначала выберем случайное целое число К = 9 . Убедимся, что числа К и (Р-1) являются взаимно простыми. Действительно, НОД (9,10) = 1 . Далее вычисляем элементы а и b подписи:

А = G K mod Р = 2 9 mod 11 = 6 , элемент b определяем, используя расширенный алгоритм Евклида: m = Х * а + К * b (mod(Р-1)).

При m = 5, а = 6, Х = 8, К = 9, Р = 11 получаем

5 = 8 * 6 + 9 * b (mod 10) или 9 * b = -43 (mod 10) .

Решение: b = 3 . Цифровая подпись представляет собой пару: а = 6, b = 3 . Далее отправитель передает подписанное сообщение. Приняв подписанное сообщение и открытый ключ Y = 3 , получатель вычисляет хэш-значение для сообщения М: m = 5 , а затем вычисляет два числа:

Y a a b (mod Р) = 3 6 * 6 3 (mod 11) = 10 (mod 11); G m (mod Р) = 2 5 (mod 11) = 10 (mod 11).

Так как эти два целых числа равны, принятое получателем сообщение признается подлинным.

Следует отметить, что схема Эль Гамаля является характерным примером подхода, который допускает пересылку сообщения М в открытой форме вместе с присоединенным аутентификатором (а,b) . В таких случаях процедура установления подлинности принятого сообщения состоит в проверке соответствия аутентификатора сообщению.

Схема цифровой подписи Эль Гамаля имеет ряд преимуществ по сравнению со схемой цифровой подписи RSА:

1. При заданном уровне стойкости алгоритма цифровой подписи целые числа, участвующие в вычислениях, имеют запись на 25% короче, что уменьшает сложность вычислений почти в два раза и позволяет заметно сократить объем используемой памяти.
2. При выборе модуля Р достаточно проверить, что это число является простым и что у числа (Р-1) имеется большой простой множитель (т.е. всего два достаточно просто проверяемых условия).
3. Процедура формирования подписи по схеме Эль Гамаля не позволяет вычислять цифровые подписи под новыми сообщениями без знания секретного ключа (как в RSА).

Однако алгоритм цифровой подписи Эль Гамаля имеет и некоторые недостатки по сравнению со схемой подписи RSА. В частности, длина цифровой подписи получается в 1,5 раза больше, что, в свою очередь, увеличивает время ее вычисления.

Алгоритм цифровой подписи DSА

Алгоритм цифровой подписи DSА (Digital Signature Algorithm ) предложен в 1991 г. в НИСТ США для использования в стандарте цифровой подписи DSS (Digital Signature Standard). Алгоритм DSА является развитием алгоритмов цифровой подписи Эль Гамаля и К.Шнорра.

Отправитель и получатель электронного документа используют при вычислении большие целые числа: G и Р - простые числа, L бит каждое (512 £ L £ 1024); q - простое число длиной 160 бит (делитель числа (Р-1)). Числа G, Р, q являются открытыми и могут быть общими для всех пользователей сети.

Отправитель выбирает случайное целое число X, 1 < Х < q . Число Х является секретным ключом отправителя для формирования электронной цифровой подписи.

Затем отправитель вычисляет значение

Y = G X mod Р.

Число Y является открытым ключом для проверки подписи отправителя и передается всем получателям документов.

Этот алгоритм также предусматривает использование односторонней функции хэширования h(·) . В стандарте DSS определен алгоритм безопасного хэширования SНА (Secure Hash Algorithm).

Для того чтобы подписать документ М, отправитель хэширует его в целое хэш-значение m:

M = h(М), 1

Пара чисел (r,s) образует цифровую подпись

S = (r,s) под документом М.

Таким образом, подписанное сообщение представляет собой тройку чисел (М,r,s) .

Получатель подписанного сообщения (М,r,s) проверяет выполнение условий

0 < r < q, 0 < s < q и отвергает подпись, если хотя бы одно из этих условий не выполнено. Затем получатель вычисляет значение w = (1/s) mod q , хэш-значение m = h(М) и числа u 1 = (m * w) mod q , u 2 = (r * w) mod q .

V = ((G u 1 * Y u 2) mod Р) mod q и проверяет выполнение условия v = r .

Если условие v = r выполняется, тогда подпись S=(r,s) под документом М признается получателем подлинной.

Можно строго математически доказать, что последнее равенство будет выполняться тогда, и только тогда, когда подпись S=(r,s) под документом М получена с помощью именно того секретного ключа X , из которого был получен открытый ключ Y . Таким образом, можно надежно удостовериться, что отправитель сообщения владеет именно данным секретным ключом Х (не раскрывая при этом значения ключа X) и что отправитель подписал именно данный документ М.

По сравнению с алгоритмом цифровой подписи Эль Гамаля алгоритм DSА имеет следующие основные преимущества:

1. При любом допустимом уровне стойкости, т.е. при любой паре чисел G и Р (от 512 до 1024 бит), числа q, X, r, s имеют длину по 160 бит, сокращая длину подписи до 320 бит.
2. Большинство операций с числами К, r, s, Х при вычислении подписи производится по модулю числа q длиной 160 бит, что сокращает время вычисления подписи.
3. При проверке подписи большинство операций с числами u 1 , u 2 , v, w также производится по модулю числа q длиной 160 бит, что сокращает объем памяти и время вычисления.

Недостатком алгоритма DSА является то, что при подписывании и при проверке подписи приходится выполнять сложные операции деления по модулю q:

S = ((m + rX)/K) (mod q), w = (1/s) (mod q) ,

что не позволяет получать максимальное быстродействие.

Следует отметить, что реальное исполнение алгоритма DSА может быть ускорено с помощью выполнения предварительных вычислений. Заметим, что значение r не зависит от сообщения М и его хэш-значения m . Можно заранее создать строку случайных значений К и затем для каждого из этих значений вычислить значения r . Можно также заранее вычислить обратные значения К -1 для каждого из значений К. Затем, при поступлении сообщения М, можно вычислить значение s для данных значений r и К -1 . Эти предварительные вычисления значительно ускоряют работу алгоритма DSА.

Отечественный стандарт цифровой подписи

Отечественный стандарт цифровой подписи обозначается как ГОСТ Р 34.10-94. Алгоритм цифровой подписи, определяемый этим стандартом, концептуально близок к алгоритму DSА. В нем используются следующие параметры:

Р - большое простое число длиной от 509 до 512 бит либо от 1020 до 1024 бит;
q - простой сомножитель числа (р-1) , имеющий длину 254...256 бит;
а - любое число, меньшее (р-1) , причем такое, что а q mod p = 1 ;
х - некоторое число, меньшее q ;
у = а x mod р.

Кроме того, этот алгоритм использует однонаправленную хэш-функцию Н(х) . Стандарт ГОСТ Р 34.11-94 определяет хэш-функцию, основанную на использовании стандартного симметричного алгоритма ГОСТ 28147-89.

Первые три параметра р, q, а являются открытыми и могут быть общими для всех пользователей сети. Число х является секретным ключом. Число у является открытым ключом. Чтобы подписать некоторое сообщение m , а затем проверить подпись, выполняются следующие шаги.

1. Пользователь А генерирует случайное число k , причем k
2. Пользователь А вычисляет значения r = (а k mod p) mod p , s = (х * r + k (Н(m))) mod p . Если Н(m) mod q = 0 , то значение Н(m) mod q принимают равным единице. Если r=0 , то выбирают другое значение k и начинают снова.
   Цифровая подпись представляет собой два числа: r mod 2 256 и s mod 2 256 . Пользователь А отправляет эти числа пользователю В.
3. Пользователь В проверяет полученную подпись, вычисляя v = Н(m) q-2 mod q , z 1 = (s * v) mod q , z 2 = ((q-r) * v) mod q , u = ((а z 1 * у z 2) mod р) mod p . Если u = r , то подпись считается верной.

Различие между этим алгоритмом и алгоритмом DSА заключается в том, что в DSА

S = (k -1 (х * r + (Н(m)))) mod q ,

что приводит к другому уравнению верификации.

Следует также отметить, что в отечественном стандарте ЭЦП параметр q имеет длину 256 бит. Западных криптографов вполне устраивает q длиной примерно 160 бит. Различие в значениях параметра q является отражением стремления разработчиков отечественного стандарта к получению более безопасной подписи.

Этот стандарт вступил в действие c начала 1995 г.

Литература

1. Романец Ю.В., Тимофеев П.А., Шаньгин В.Ф. Защита информации в компьютерных системах и сетях. Под ред. В.Ф. Шаньгина. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 2001. - 376 с.: ил.
2. Конеев И.Р., Беляев А.В. Информационная безопасность предприятия. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.