يمكن توسيع أي دالة دورية تقريبًا إلى توافقيات بسيطة باستخدام سلسلة مثلثية (سلسلة فورييه):

F(س) = + (نكوس nx + ب نخطيئة nx), (*)

دعونا نكتب هذه المتسلسلة كمجموع التوافقيات البسيطة، بافتراض أن المعاملات متساوية ن= نخطيئة ي ن, ب ن= نكوس ي ن. نحن نحصل: نكوس ي ن + ب نخطيئة ي ن = نالخطيئة( nx+ ي ن)، أين

ن= ، تيراغرام ي ن = . (**)

ثم تأخذ المتسلسلة (*) على شكل توافقيات بسيطة الشكل F(س) = .

تمثل متسلسلة فورييه دالة دورية كمجموع عدد لا نهائي من الجيوب الأنفية، ولكن بترددات لها قيمة منفصلة معينة.

أحيانا نالتوافقي العاشر مكتوب بالشكل نكوس nx + ب نخطيئة nx = نكوس( nx – ي ن) ، أين ن= نكوس ي ن , ب ن= نخطيئة ي ن .

حيث نو ي نيتم تحديدها بواسطة الصيغ (**). ثم ستأخذ السلسلة (*) الشكل

F(س) = .

التعريف 9. عملية تمثيل الوظيفة الدورية F(س) تسمى سلسلة فورييه التحليل التوافقي.

يظهر التعبير (*) أيضًا في شكل آخر أكثر شيوعًا:

احتمال ن, ب نيتم تحديدها بواسطة الصيغ:

ضخامة ج 0 يعبر عن متوسط ​​قيمة الدالة خلال الفترة ويسمى المكون الثابت، والذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

في نظرية الاهتزازات والتحليل الطيفي تمثيل الدالة F(ر) في متسلسلة فورييه يتم كتابتها على النحو التالي:

(***)

أولئك. يتم تمثيل الدالة الدورية بمجموع الحدود، كل منها عبارة عن تذبذب جيبي بسعة مع نوالمرحلة الأولية ي نأي أن سلسلة فورييه للدالة الدورية تتكون من توافقيات فردية ذات ترددات تختلف عن بعضها البعض بعدد ثابت. علاوة على ذلك، فإن كل توافقي له سعة معينة. قيم مع نو ي نيجب تحديدها بشكل صحيح من أجل تحقيق المساواة (***)، أي يتم تحديدها بواسطة الصيغ (**) [ مع ن = ن].

دعونا نعيد كتابة متسلسلة فورييه (***) بالشكل أين ث 1 – التردد الرئيسي . من هذا يمكننا أن نستنتج: دالة دورية معقدة F(ر) يتم تحديدها من خلال مجموعة من الكميات مع نو ي ن .

التعريف 10. مجموعة قيم مع ن، أي اعتماد السعة على التردد طيف السعة للوظيفةأو طيف السعة.

التعريف 11.مجموعة قيم ي نيسمى طيف الطور.

عندما يقولون ببساطة "الطيف"، فإنهم يقصدون طيف السعة، وفي حالات أخرى، يتم إبداء التحفظات المناسبة. الوظيفة الدورية لديها طيف منفصل(أي أنه يمكن تمثيلها كتوافقيات فردية).

يمكن تصوير طيف الوظيفة الدورية بيانياً. لهذا نختار الإحداثيات مع نو ث = شمال غرب 1 . سيتم تصوير الطيف في نظام الإحداثيات هذا من خلال مجموعة من النقاط المنفصلة، ​​لأن كل قيمة شمال غرب 1 يتوافق مع قيمة واحدة محددة مع ن.الرسم البياني الذي يتكون من نقاط فردية غير مريح. لذلك، من المعتاد تصوير اتساع التوافقيات الفردية بواسطة مقاطع رأسية ذات طول مناسب (الشكل 2).

أرز. 2.

غالبًا ما يسمى هذا الطيف المنفصل بالطيف الخطي. وهو طيف توافقي، أي. يتكون من خطوط طيفية متباعدة بشكل متساو؛ الترددات التوافقية تكون في مضاعفات بسيطة. قد تكون التوافقيات الفردية، بما في ذلك الأولى، غائبة، أي. وقد تكون سعاتها صفرًا، لكن هذا لا ينتهك تناغم الطيف.

يمكن أن ينتمي الأطياف المنفصلة أو الخطية إلى كل من الوظائف الدورية وغير الدورية. في الحالة الأولى، يكون الطيف توافقيًا بالضرورة.

يمكن تعميم توسعة سلسلة فورييه على حالة الدالة غير الدورية. للقيام بذلك، من الضروري تطبيق المقطع على الحد عند T®∞، مع الأخذ في الاعتبار أن الدالة غير الدورية هي حالة محدودة لدالة دورية ذات فترة متزايدة بلا حدود. بدلاً من 1/ تدعونا نقدم التردد الأساسي الدائري ث 1 = 2ع/ ت. هذه القيمة هي الفاصل الترددي بين التوافقيات المتجاورة، وتردداتها تساوي 2p ن/ت. لو ت® ∞ إذن ث 1® dwو2 ص ن/ت® ث، أين ث- التردد الحالي، المتغير باستمرار، dw- زيادتها. في هذه الحالة، ستتحول متسلسلة فورييه إلى تكامل فورييه، وهو تمدد دالة غير دورية في فترة لا نهائية (–∞;∞) إلى اهتزازات توافقية تردداتها ثالتغيير بشكل مستمر من 0 إلى ∞:

دالة غير دورية لها أطياف مستمرة أو مستمرة، أي. بدلاً من النقاط الفردية، يتم تصوير الطيف على أنه منحنى مستمر. يتم الحصول على هذا نتيجة للانتقال المحدود من السلسلة إلى تكامل فورييه: يتم تقليل الفواصل الزمنية بين الخطوط الطيفية الفردية إلى أجل غير مسمى، وتندمج الخطوط، وبدلاً من النقاط المنفصلة، ​​يتم تمثيل الطيف بتسلسل مستمر من النقاط، أي. منحنى مستمر. المهام أ(ث) و ب(ث) إعطاء قانون توزيع السعات والمراحل الأولية حسب التردد ث.

في الفصل السابق تعرفنا على وجهة نظر أخرى حول النظام المتذبذب. لقد رأينا أن التوافقيات الطبيعية المختلفة تنشأ في الوتر، وأن أي اهتزاز معين يمكن الحصول عليه من الظروف الأولية يمكن اعتباره مزيجًا من عدة توافقيات طبيعية متذبذبة في وقت واحد، ومؤلفة بنسب مناسبة. بالنسبة للوتر، وجدنا أن التوافقيات الطبيعية لها ترددات ω 0، 2ω 0، Зω 0، .... لذلك، فإن الحركة الأكثر عمومية للوتر تتكون من اهتزازات جيبية للتردد الأساسي ω 0، ثم التوافقي الثاني 2ω 0، ثم التوافقي الثالث 3ω 0، إلخ. ويتكرر التوافقي الأساسي بعد كل فترة T 1 = 2π/ω 0 التوافقي الثاني - بعد كل فترة T 2 =2π/2ω 0 ; يكرر نفسه أيضًاوبعد كل فترة ت 1 =2T 2 , أي بعد اثنينفتراتهم. بنفس الطريقة تماماً بعد فترة ت 1 التوافقي الثالث يتكرر أيضًا. يحتوي هذا الجزء على ثلاث من فتراته. ومرة أخرى نفهم لماذا تم قطع الخيط بعد فترة ت 1 يكرر تماما شكل حركته. هذه هي الطريقة التي يتم بها إنتاج الصوت الموسيقي.

تحدثنا حتى الآن عن حركة الخيط. لكن صوت،والتي تمثل حركة الهواء الناتجة عن حركة الوتر، يجب أن تتكون أيضًا من نفس التوافقيات، رغم أننا هنا لم يعد بإمكاننا الحديث عن التوافقيات الخاصة بالهواء. بالإضافة إلى ذلك، فإن القوة النسبية للتوافقيات المختلفة في الهواء قد تكون مختلفة تمامًا عنها في الوتر، خاصة إذا كان الوتر "متصلًا" بالهواء عن طريق "لوحة السبر". ترتبط التوافقيات المختلفة بالهواء بطرق مختلفة.

إذا كانت الوظيفة نغمة موسيقية F(ر) يمثل ضغط الهواء كدالة للوقت (على سبيل المثال، كما في الشكل 50.1،6)، فيمكننا أن نتوقع ذلك F(ر) يتم كتابته كمجموع عدد معين من الدوال التوافقية البسيطة للزمن (على غرار cos ω ر) لكل من الترددات التوافقية المختلفة. إذا كانت فترة التذبذب تساوي تي،عندها سيكون التردد الزاوي الرئيسي ω=2π/T، وستكون التوافقيات التالية 2ω، 3ω، إلخ.

هذا هو المكان الذي تنشأ فيه مضاعفات طفيفة. ليس لدينا الحق في أن نتوقع أن تكون المراحل الأولية لكل تردد متساوية بالضرورة مع بعضها البعض. لذلك، تحتاج إلى استخدام وظائف مثل cos (ωt + φ) - بدلاً من ذلك، من الأسهل استخدامها لـ كلالترددات على حد سواء جيب التمام وجيب التمام. دعونا نتذكر ذلك

وبما أن φ ثابت، إذن أييمكن كتابة التذبذبات الجيبية ذات التردد co كمجموع من المصطلحات، يتضمن أحدها sin ωt، والآخر يتضمن cos ωt.

لذلك نصل إلى نتيجة مفادها أيوظيفة دورية F(ر) مع الفترة ترياضيا يمكن كتابتها كما

أين ω=2π/T، أ أ و ب - ثوابت عددية تشير إلى الوزن الذي يدخل به كل مكون اهتزاز في الاهتزاز الكلي F(ر). لمزيد من العمومية، أضفنا مصطلحًا بتردد صفر a 0 إلى صيغتنا، على الرغم من أنه عادةً ما يساوي صفرًا للنغمات الموسيقية. وهذا ببساطة هو تحول في متوسط ​​قيمة ضغط الصوت (أي تحول في المستوى "الصفر"). مع هذا المصطلح، صيغتنا صالحة لأي حالة. تظهر المعادلة (50.2) بشكل تخطيطي في الشكل. 50.2. اتساع الوظائف التوافقية أن و بن يتم اختيارهم وفقا لقاعدة خاصة. في الشكل يتم عرضها بشكل تخطيطي فقط وليس على نطاق واسع. [تسمى السلسلة (50.2). بالقرب من فورييهللوظائف F(ر).]

قلنا ذلك أييمكن كتابة دالة دورية بهذا الشكل. من الضروري إجراء تعديل بسيط والتأكيد على أن أي موجة صوتية أو أي وظيفة نواجهها في الفيزياء يمكن توسيعها إلى مثل هذه السلسلة. يستطيع علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، أن يتوصلوا إلى دالة بحيث لا يمكن أن تتكون من دوال توافقية بسيطة (على سبيل المثال، دالة "تلتف" للخلف، بحيث بالنسبة لبعض الكميات ر وله معنيان!). ومع ذلك، لا داعي للقلق بشأن هذه الميزات هنا.

كما هو معروف، في صناعة الطاقة الكهربائية يتم اعتماد الشكل الجيبي كشكل قياسي للتيارات والفولتية. ومع ذلك، في الظروف الحقيقية، قد تختلف أشكال منحنيات التيار والجهد بدرجة أو بأخرى عن المنحنيات الجيبية. تؤدي التشوهات في أشكال منحنيات هذه الوظائف عند أجهزة الاستقبال إلى فقد طاقة إضافية وانخفاض في كفاءتها. يعد الشكل الجيبي لمنحنى جهد المولد أحد مؤشرات جودة الطاقة الكهربائية كمنتج.

الأسباب التالية لتشويه شكل منحنيات التيار والجهد في دائرة معقدة ممكنة:

1) وجود عناصر غير خطية في الدائرة الكهربائية، والتي تعتمد معلماتها على القيم اللحظية للتيار والجهد (على سبيل المثال، المقومات، ووحدات اللحام الكهربائي، وما إلى ذلك)؛

2) وجود عناصر حدودية في الدائرة الكهربائية تتغير معلماتها بمرور الوقت ؛

3) لا يمكن لمصدر الطاقة الكهربائية (مولد ثلاثي الطور) ، نظرًا لميزات تصميمه ، توفير جهد خرج جيبي مثالي ؛

4) التأثير مع مجموعة من العوامل المذكورة أعلاه.

تتم مناقشة الدوائر غير الخطية والبارامترية في فصول منفصلة من دورة TOE. يتناول هذا الفصل سلوك الدوائر الكهربائية الخطية عند تعريضها لمصادر طاقة ذات شكل منحني غير جيبي.

من المعروف من مقرر الرياضيات أن أي دالة دورية للزمن f(t) تحقق شروط ديريشليت يمكن تمثيلها بمتسلسلة فورييه التوافقية:

هنا A0 مكون ثابت، Ak*sin(kωt+ αk) هو المكون التوافقي k أو التوافقي k للاختصار. التوافقي الأول يسمى أساسي، وجميع التوافقيات اللاحقة تسمى أعلى.

سعة التوافقيات الفردية Ak لا تعتمد على طريقة توسيع الدالة f(t) إلى سلسلة فورييه، بينما في نفس الوقت تعتمد المراحل الأولية للتوافقيات الفردية αk على اختيار المرجع الزمني (أصل الإحداثيات) .

يمكن تمثيل التوافقيات الفردية لسلسلة فورييه كمجموع مكونات الجيب وجيب التمام:

عندها ستبدو سلسلة فورييه بأكملها كما يلي:

العلاقات بين معاملات شكلي متسلسلة فورييه لها الشكل التالي:

إذا تم استبدال kth التوافقي ومكوناته الجيبية وجيب التمام بأرقام مركبة، فيمكن تمثيل العلاقة بين معاملات سلسلة فورييه في شكل معقد:

إذا تم إعطاء (أو يمكن التعبير عن) دالة زمنية دورية غير جيبية بشكل تحليلي في شكل معادلة رياضية، فسيتم تحديد معاملات متسلسلة فورييه بواسطة صيغ معروفة من دورة الرياضيات:

من الناحية العملية، عادة ما يتم تحديد الدالة غير الجيبية f(t) قيد الدراسة في شكل مخطط بياني (بيانيا) (الشكل 46.1) أو في شكل جدول إحداثيات النقاط (جدولي) في الفاصل الزمني فترة واحدة (الجدول 1). لإجراء تحليل توافقي لهذه الدالة باستخدام المعادلات المذكورة أعلاه، يجب أولاً استبدالها بتعبير رياضي. يُسمى استبدال دالة محددة بيانيًا أو جدوليًا بمعادلة رياضية بتقريب الدالة.

حاليًا، عادةً ما يتم إجراء التحليل التوافقي لوظائف الزمن غير الجيبية f(t) على الكمبيوتر. في أبسط الحالات، يتم استخدام التقريب الخطي المتعدد التعريف لتمثيل دالة رياضيًا. للقيام بذلك، يتم تقسيم الدالة بأكملها في فترة زمنية كاملة إلى أقسام M = 20-30 بحيث تكون الأقسام الفردية أقرب ما يمكن إلى الخطوط المستقيمة (الشكل 1). في الأقسام الفردية يتم تقريب الدالة بواسطة معادلة الخط المستقيم fm(t)=am+bm*t، حيث يتم تحديد معاملات التقريب (am, bm) لكل قسم من خلال إحداثيات نقاط نهايته، على سبيل المثال، ل القسم الأول نحصل عليه:

تنقسم فترة الدالة T إلى عدد كبير من خطوات التكامل N، وخطوة التكامل Δt=h=T/N، والوقت الحالي ti=hi، حيث i هو الرقم التسلسلي لخطوة التكامل. يتم استبدال التكاملات المحددة في صيغ التحليل التوافقي بالمجاميع المقابلة لها، ويتم حسابها على الكمبيوتر باستخدام الطريقة شبه المنحرفة أو المستطيلة، على سبيل المثال:

لتحديد اتساع التوافقيات الأعلى بدقة كافية (δ≥1%)، يجب أن يكون عدد خطوات التكامل 100k على الأقل، حيث k هو الرقم التوافقي.

في التكنولوجيا، يتم استخدام أجهزة خاصة تسمى المحللات التوافقية لعزل التوافقيات الفردية عن الفولتية والتيارات غير الجيبية.

الصفحة الرئيسية > القانون

الدوائر الحالية غير الجيبية

لقد قمنا حتى الآن بدراسة دوائر التيار الجيبية، لكن قانون تغيير التيار مع مرور الوقت قد يختلف عن الدوائر الجيبية. في هذه الحالة، تحدث دوائر التيار غير الجيبية. تنقسم جميع التيارات غير الجيبية إلى ثلاث مجموعات: دورية، أي. وجود فترة ت(الشكل 6.1، أ)، غير دوري (الشكل 6.1، ب) ودوري تقريبًا، له غلاف متغير بشكل دوري ( تس) وفترة تكرار النبض ( تط) (الشكل 6.1، ج). هناك ثلاث طرق للحصول على تيارات غير جيبية: أ) يعمل المجال الكهرومغناطيسي غير الجيبي في الدائرة؛ ب) يوجد مجال EMF جيبي في الدائرة، لكن عنصرًا واحدًا أو أكثر من عناصر الدائرة غير خطي؛ ج) يعمل المجال الكهرومغناطيسي الجيبي في الدائرة، لكن معلمات عنصر واحد أو أكثر من عناصر الدائرة تتغير بشكل دوري بمرور الوقت. في الممارسة العملية، يتم استخدام الطريقة ب) في أغلب الأحيان. تنتشر التيارات غير الجيبية على نطاق واسع في أجهزة الهندسة الراديوية والأتمتة والميكانيكا عن بعد وتكنولوجيا الكمبيوتر، حيث توجد غالبًا نبضات ذات أشكال متنوعة. توجد أيضًا تيارات غير جيبية في صناعة الطاقة الكهربائية. سننظر فقط في الفولتية والتيارات الدورية غير الجيبية التي يمكن تحليلها إلى مكونات توافقية.

توسيع المنحنيات الدورية غير الجيبية إلى سلسلة فورييه المثلثية

يمكن بسهولة حساب ودراسة الظواهر التي تحدث في دوائر خطية عند جهود وتيارات دورية غير جيبية إذا تم توسيع المنحنيات غير الجيبية إلى سلسلة فورييه مثلثية. ومن المعروف من الرياضيات أن الدالة الدورية و (ωt)، تلبية شروط ديريشليت، أي. وجود في أي فترة زمنية محدودة عدد محدود من الانقطاعات من النوع الأول فقط وعدد محدود من الحد الأقصى والحد الأدنى، يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه المثلثية

و(ωt)=أ س +
خطيئة+
الخطيئة2ωt+
الخطيئة3ωt+···+
التكلفة+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

أ س +
.

هنا: أ س- مكون ثابت أو توافقي صفر؛
- سعة مكون الجيب كالتوافقيات.
- سعة جيب التمام كالتوافقيات. يتم تحديدها من خلال الصيغ التالية

منذ ذلك الحين، على النحو التالي من مخطط المتجه (الشكل 6.2)، نحصل عليه

.

تسمى المصطلحات المدرجة في هذا التعبير بالتوافقيات. هناك حتى ( ك- حتى) والتوافقيات الفردية. التوافقي الأول يسمى أساسي، والباقي يسمى أعلى. يكون الشكل الأخير من سلسلة فورييه مفيدًا عندما تحتاج إلى معرفة النسبة المئوية لمحتوى كل توافقي. يتم استخدام نفس شكل سلسلة فورييه عند حساب دوائر التيار غير الجيبية. على الرغم من أن متسلسلة فورييه تحتوي من الناحية النظرية على عدد لا نهائي من المصطلحات، إلا أنها عادة ما تتقارب بسرعة. ويمكن للمتسلسلة المتقاربة التعبير عن دالة معينة بأي درجة من الدقة. في الممارسة العملية، يكفي أن تأخذ عددًا صغيرًا من التوافقيات (3-5) للحصول على دقة حسابية تصل إلى عدة بالمائة.

ملامح توسيع سلسلة فورييه للمنحنيات مع التماثل

1. المنحنيات التي يكون متوسط ​​قيمتها خلال الفترة صفر لا تحتوي على مكون ثابت (توافقي صفر). 2
و(ωt)=-f(ωt+π)، فيقال أنها متناظرة حول محور الإحداثي السيني. يمكن تحديد هذا النوع من التماثل بسهولة من خلال شكل المنحنى: إذا قمت بإزاحته بمقدار نصف فترة على طول محور الإحداثي المحوري، وقم بعكسه وفي نفس الوقت يندمج مع المنحنى الأصلي (الشكل 6.3)، إذن هناك تناظر. عندما يتم توسيع هذا المنحنى إلى متسلسلة فورييه، فإن الأخيرة لا تحتوي على مكون ثابت وحتى جميع التوافقيات، لأنها لا تستوفي الشرط و(ωt)=-f(ωt+π).

و(ωt)=الخطيئة(ωt+ψ 1 )+خطيئة(3ωt+ψ 3 )+
الخطيئة (5ωt +ψ 5 )+···.

3
. إذا كانت الوظيفة تستوفي الشرط و(ωt)=و(-ωt)، ثم يطلق عليه متناظرة حول المحور الإحداثي (زوجي). من السهل تحديد هذا النوع من التماثل حسب نوع المنحنى: إذا كان المنحنى الواقع على يسار المحور الإحداثي معكوسًا واندمج مع المنحنى الأصلي، فسيكون هناك تناظر (الشكل 6.4). عندما يتم توسيع هذا المنحنى إلى متسلسلة فورييه، فإن الأخيرة سوف تفتقر إلى مكونات الجيب لجميع التوافقيات ( = و(ωt)=f(-ωt).لذلك، لمثل هذه المنحنيات

و(ωt)=أ يا +
التكلفة+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. إذا كانت الوظيفة تستوفي الشرط و(ωt)=-و(-ωt)، فيسمى متناظراً عن الأصل (فردياً). يمكن تحديد وجود هذا النوع من التماثل بسهولة من خلال شكل المنحنى: إذا كان المنحنى الواقع على يسار المحور الإحداثي يدور بالنسبة إلى نقاطالأصل ويندمج مع المنحنى الأصلي، ثم يكون هناك تناظر (الشكل 6.5). عندما يتم توسيع هذا المنحنى إلى سلسلة فورييه، فإن الأخيرة سوف تفتقر إلى مكونات جيب التمام لجميع التوافقيات (
= 0) لعدم استيفاء الشرط و(ωt)=-f(-ωt).لذلك، لمثل هذه المنحنيات

و(ωt)=
خطيئة+
الخطيئة2ωt+
الخطيئة3ωt+···.

إذا كان هناك أي تماثل في الصيغ ل و يمكنك أن تأخذ التكامل على مدى نصف فترة، ولكن مضاعفة النتيجة، أي. استخدام التعبيرات

هناك عدة أنواع من التماثل في المنحنيات في نفس الوقت. لتسهيل مسألة المكونات التوافقية في هذه الحالة، املأ الجدول

نوع التماثل	التعبير التحليلي
1. المحور السيني	و(ωt)=-f(ωt+π)		أرقام فردية فقط
2. المحاور ص	و(ωt)=و(-ωt)
3. الأصول	و(ωt)=-و(-ωt)
4. الإحداثي المحوري والمحاور الإحداثية	و(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			غريب
5. محاور وأصول الإحداثي السيني	و(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		غريب

عند توسيع المنحنى إلى سلسلة فورييه، يجب عليك أولاً معرفة ما إذا كان لديه أي نوع من التناظر، والذي يسمح لك وجوده بالتنبؤ مسبقًا بالتوافقيات التي ستكون في سلسلة فورييه وعدم القيام بعمل غير ضروري.

التوسع التحليلي البياني للمنحنيات في سلسلة فورييه

عندما يتم إعطاء منحنى غير جيبي بواسطة رسم بياني أو جدول ولا يحتوي على تعبير تحليلي، لتحديد توافقياته، فإنهم يلجأون إلى التحلل التحليلي الرسم البياني. يعتمد على استبدال التكامل المحدد بمجموع عدد محدود من الحدود. ولهذا الغرض مدة الوظيفة و (ωt)انقسمت إلى نأجزاء متساوية Δ ωt= 2π/ ن(الشكل 6.6). ثم للصفر التوافقي

أين: ر– الفهرس الحالي (رقم القسم) مع أخذ القيم من 1 إلى ن; F ر (ωt) –قيمة الوظيفة و (ωt)في ωt=ص·Δ ωt(انظر الشكل 6.6) . لسعة مكون الجيب ك-التوافقيات

لسعة مكون جيب التمام ك-التوافقيات

هنا خطيئة ص kωtو كوس ص kωt- قيم بالوعةو coskωtفي ωt=ص·. في الحسابات العملية عادة ما يتم أخذها ن= 18 (Δ ωt= 20˚) أو ن= 24 (Δ ωt= 15). عند تحليل المنحنيات بيانياً وتحليلياً إلى متسلسلة فورييه، يكون من المهم أكثر من التحليلي معرفة ما إذا كانت تحتوي على أي نوع من التماثل، والذي يقلل وجوده بشكل كبير من حجم العمل الحسابي. لذلك، الصيغ ل و في وجود التماثل تأخذ الشكل

عند رسم التوافقيات على رسم بياني عام، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أن المقياس على طول محور الإحداثي المحوري لـ ك-التوافقيات في كمرات أكثر من الأولى.

القيم القصوى والمتوسطة والفعالة للكميات غير الجيبية

وتتميز الكميات الدورية غير الجيبية بالإضافة إلى مكوناتها التوافقية بالقيم العظمى والمتوسطة والفعالة. القيمة القصوى أ m هي أكبر قيمة لمعامل الوظيفة خلال الفترة (الشكل 6.7). يتم تحديد قيمة متوسط ​​modulo على النحو التالي

.

إذا كان المنحنى متماثلًا حول المحور السيني ولم يتغير الإشارة مطلقًا خلال نصف الدورة، فإن متوسط ​​القيمة المطلقة يساوي متوسط ​​القيمة لنصف الفترة

,

علاوة على ذلك، في هذه الحالة، يجب اختيار بداية العد الزمني بحيث F( 0)= 0. إذا لم تتغير الدالة الإشارة مطلقًا خلال الفترة بأكملها، فإن متوسط ​​قيمتها المطلقة يساوي المكون الثابت. في دوائر التيار غير الجيبية، تُفهم قيم المجالات الكهرومغناطيسية أو الفولتية أو التيارات على أنها قيمها الفعالة، والتي تحددها الصيغة

.

إذا تم توسيع المنحنى إلى سلسلة فورييه، فيمكن تحديد قيمته الفعالة على النحو التالي

دعونا نشرح النتيجة. نتاج الجيوب الأنفية ذات الترددات المختلفة ( كωو أناω) هي دالة توافقية، والتكامل خلال فترة أي دالة توافقية هو صفر. تم تحديد التكامل الموجود تحت علامة المجموع الأول في دوائر التيار الجيبية وتم عرض قيمته هناك. لذلك،

.

يستنتج من هذا التعبير أن القيمة الفعالة للكميات الدورية غير الجيبية تعتمد فقط على القيم الفعالة لتوافقياتها ولا تعتمد على أطوارها الأولية ψ ك. دعونا نعطي مثالا. يترك ش=120
الخطيئة (314 ر+45˚)-50خطيئة(3·314 ر-75˚) ب. معناها الحقيقي

هناك حالات يمكن فيها حساب المتوسط ​​المطلق والقيم الفعالة للكميات غير الجيبية بناءً على تكامل التعبير التحليلي للدالة، ومن ثم لا تكون هناك حاجة لتوسيع المنحنى إلى متسلسلة فورييه. في صناعة الطاقة الكهربائية، حيث تكون المنحنيات متناظرة في الغالب حول المحور السيني، يتم استخدام عدد من المعاملات لوصف شكلها. ثلاثة منها هي الأكثر استخدامًا على نطاق واسع: عامل القمة كأ، عامل الشكل ك f وعامل التشويه كو. يتم تعريفها على النحو التالي: كأ = أم/ أ; /أتزوج؛ كو = أ 1 /أ.بالنسبة للجيوب الأنفية فإن لها المعاني التالية: كأ =؛ كو = π أم / 2أم ≈1.11؛ 1. د بالنسبة لمنحنى مستطيل (الشكل 6.8، أ) تكون المعاملات كما يلي: كأ = 1؛ كو =1؛ كو=1.26/. بالنسبة لمنحنى ذو شكل مدبب (ذروة) (الشكل 6.8، ب)، تكون قيم المعامل كما يلي: كأ> وكلما كان أعلى، كان شكله أكثر شكلاً للقمة؛ ك f >1.11 وكلما كان المنحنى أكثر وضوحا، كلما كان أعلى؛ كو<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. Уنعرض أحد التطبيقات العملية لمعامل التشوه. عادة ما تختلف منحنيات الجهد الصناعي عن الموجة الجيبية المثالية. في صناعة الطاقة الكهربائية، تم تقديم مفهوم المنحنى الجيبي عمليًا. وفقًا لـ GOST ، يعتبر جهد الشبكات الصناعية جيبيًا عمليًا إذا كان الفرق الأكبر بين الإحداثيات المقابلة للمنحنى الحقيقي والتوافقي الأول لا يتجاوز 5٪ من سعة التوافقي الأساسي (الشكل 6.9). قياس الكميات غير الجيبية بأدوات من أنظمة مختلفة يعطي نتائج مختلفة. تقيس الفولتميترات الإلكترونية ذات السعة القيم القصوى. تتفاعل الأجهزة الكهرومغناطيسية فقط مع المكون الثابت للكميات المقاسة. الأجهزة الكهرومغناطيسية ذات المقوم تقيس متوسط ​​القيمة المطلقة. أدوات جميع الأنظمة الأخرى تقيس القيم الفعالة.

حساب الدوائر الحالية غير الجيبية

إذا كان هناك مصدر واحد أو أكثر مع المجالات الكهرومغناطيسية غير الجيبية في الدائرة، فسيتم تقسيم حسابها إلى ثلاث مراحل. 1. تحلل مصادر المجالات الكهرومغناطيسية إلى مكونات توافقية. كيفية القيام بذلك تمت مناقشته أعلاه. 2. تطبيق مبدأ التراكب وحساب التيارات والفولتية في الدائرة من عمل كل مكون من مكونات المجال الكهرومغناطيسي على حدة. 3. النظر المشترك (التلخيص) للحلول التي تم الحصول عليها في الفقرة 2. غالبًا ما يكون جمع المكونات بشكل عام أمرًا صعبًا وليس ضروريًا دائمًا، لأنه على أساس المكونات التوافقية يمكن الحكم على شكل المنحنى والكميات الأساسية التي تميزه. عن
المرحلة الرئيسية هي الثانية. إذا تم تمثيل المجال الكهرومغناطيسي غير الجيبي بسلسلة فورييه، فيمكن اعتبار هذا المصدر بمثابة اتصال متسلسل لمصدر المجال الكهرومغناطيسي الثابت ومصادر المجال الكهرومغناطيسي الجيبية بترددات مختلفة (الشكل 6.10). ومن خلال تطبيق مبدأ التراكب ودراسة عمل كل مجال من المجالات الكهرومغناطيسية على حدة، من الممكن تحديد مكونات التيارات في جميع فروع الدائرة. يترك هيا يخلق أنايا، ه 1 - أنا 1 , ه 2 - أنا 2، الخ. ثم التيار الفعلي أنا=أناس + أنا 1 +أنا 2 +··· . وبالتالي، فإن حساب دائرة التيار غير الجيبية يتلخص في حل مشكلة واحدة مع المجال الكهرومغناطيسي الثابت وعدد من المشاكل مع المجال الكهرومغناطيسي الجيبي. عند حل كل من هذه المشاكل، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه بالنسبة للترددات المختلفة، فإن المفاعلات الحثية والسعوية ليست هي نفسها. المفاعلة الحثية تتناسب طرديا مع التردد، هكذا هي الحال كالتوافقيات سلاك = kωL=kx L1، أي. ل ك-التوافقي هو فيه كمرات أكثر من الأولى. السعة تتناسب عكسيا مع التردد، هكذا هي الحال كالتوافقيات سك =1/ ك=سج1/ ك، أي. ل ك-التوافقي هو فيه كمرات أقل من الأولى. تعتمد المقاومة النشطة، من حيث المبدأ، أيضًا على التردد بسبب تأثير السطح، ومع ذلك، مع المقاطع العرضية الصغيرة للموصلات وفي الترددات المنخفضة، يكون تأثير السطح غائبًا عمليًا ومن المقبول افتراض أن المقاومة النشطة هي نفسها بالنسبة جميع التوافقيات. إذا تم توفير جهد غير جيبي مباشرة إلى السعة، فمن أجل ك-ال التوافقيات الحالية

ح كلما زاد الرقم التوافقي، انخفضت مقاومة السعة له. لذلك، حتى لو كان سعة جهد التوافقي عالي الرتبة يمثل جزءًا صغيرًا من سعة التوافقي الأول، فإنه لا يزال من الممكن أن يسبب تيارًا مشابهًا للتيار الأساسي أو أكبر منه. في هذا الصدد، حتى عند الجهد القريب من الجيبية، قد يكون التيار في الخزان غير جيبي بشكل حاد (الشكل 6.11). في هذا الصدد، يقال أن السعة تؤكد على التيارات التوافقية العالية. إذا تم تطبيق الجهد غير الجيبية مباشرة على الحث، ثم ل ك-ال التوافقيات الحالية

.

مع
كلما زاد الترتيب التوافقي، زادت المفاعلة الحثية. ولذلك، في التيار من خلال الحث، يتم تمثيل التوافقيات الأعلى بدرجة أقل مما كانت عليه في الجهد عند أطرافها. حتى مع وجود جهد غير جيبي حاد، فإن المنحنى الحالي في الحث غالبًا ما يقترب من الجيبية (الشكل 6.12). ولذلك، يقولون أن الحث يجعل منحنى التيار أقرب إلى موجة جيبية. عند حساب كل مكون توافقي للتيار، يمكنك استخدام طريقة معقدة وإنشاء مخططات متجهة، ولكن من غير المقبول إجراء جمع هندسي للمتجهات وإضافة مجمعات من الفولتية أو التيارات ذات التوافقيات المختلفة. في الواقع، فإن المتجهات التي تمثل، على سبيل المثال، تيارات التوافقيات الأولى والثالثة، تدور بسرعات مختلفة (الشكل 6.13). ولذلك، فإن المجموع الهندسي لهذه المتجهات يعطي القيمة اللحظية لمجموعها فقط عندما ω ر=0 وفي الحالة العامة لا معنى له.

الطاقة الحالية غير الجيبية

كما هو الحال في دوائر التيار الجيبية، سنتحدث عن الطاقة التي تستهلكها شبكة سلبية ذات طرفين. تعني الطاقة النشطة أيضًا متوسط ​​قيمة الطاقة اللحظية خلال فترة ما.

دع الجهد والتيار عند مدخل الشبكة ذات المطرافين يتم تمثيلهما بواسطة سلسلة فورييه

دعونا نستبدل القيم شو أنافي الصيغة ر

تم الحصول على النتيجة مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن التكامل خلال فترة منتج الجيوب الأنفية ذات الترددات المختلفة يساوي الصفر، وتم تحديد التكامل خلال فترة منتج الجيوب الأنفية من نفس التردد في قسم الجيوب الأنفية الدوائر الحالية. وبالتالي، فإن القوة النشطة للتيار غير الجيبي تساوي مجموع القوى الفعالة لجميع التوافقيات. انه واضح ر كيمكن تحديدها باستخدام أي صيغ معروفة. قياسا على التيار الجيبي، بالنسبة للتيار غير الجيبي، يتم تقديم مفهوم الطاقة الإجمالية كمنتج للقيم الفعالة للجهد والتيار، أي. S=UI. سلوك رل سيسمى عامل القدرة ويساوي جيب تمام بعض الزوايا التقليدية θ ، أي. كوس θ =ملاحظة. في الممارسة العملية، في كثير من الأحيان يتم استبدال الفولتية والتيارات غير الجيبية بجيوب جيبية مكافئة. وفي هذه الحالة، يجب استيفاء شرطين: 1) يجب أن تكون القيمة الفعالة للمعادل الجيبي مساوية للقيمة الفعالة للكمية التي يتم استبدالها؛ 2) الزاوية بين الجيوب المكافئة للجهد والتيار θ ينبغي أن يكون الأمر كذلك واجهة المستخدمكوس θ سيكون مساويا للقوة النشطة ر. لذلك، θ هي الزاوية بين الجيوب المكافئة للجهد والتيار. عادة، القيمة الفعالة للجيوب الأنفية المكافئة تكون قريبة من القيمة الفعالة للتوافقيات الأساسية. قياسًا على التيار الجيبي، بالنسبة للتيار غير الجيبي، يتم تقديم مفهوم القدرة التفاعلية، والتي تُعرف بأنها مجموع القوى التفاعلية لجميع التوافقيات

للتيار غير الجيبي مقابل التيار الجيبي س 2 ≠ص 2 +س 2. ولذلك، تم تقديم مفهوم قوة التشويه هنا توالذي يميز الفرق في أشكال منحنيات الجهد والتيار ويتم تعريفه على النحو التالي

التوافقيات العليا في الأنظمة ثلاثية الطور

في الأنظمة ثلاثية الطور، عادةً ما تعيد منحنيات الجهد في المرحلتين B وC إنتاج منحنى الطور A بإزاحة ثلث الدورة. حتى إذا شأ= و (ωt)، الذي - التي شب = و (ωt- 2π/ 3), أ شج = و(ωt+ 2π/ 3). لنفترض أن جهود الطور غير جيبية ويتم توسيعها إلى سلسلة فورييه. ثم فكر ك-التوافقي في جميع المراحل الثلاث. يترك شأك = شكم خطيئة( كωt+ψ ك)، ثم نحصل شفك = شكم خطيئة( كωt+ψ ك -ك 2π/ 3) و شالمسيخ = شكم خطيئة( كωt+ψ ك +ك 2π/ 3). مقارنة هذه التعبيرات لقيم مختلفة ك، نلاحظ أنه بالنسبة للتوافقيات تقبل القسمة على ثلاثة ( ك=3ن, ن- سلسلة طبيعية من الأرقام تبدأ من 0) في جميع الأطوار، تكون الجهود في أي وقت لها نفس القيمة والاتجاه، أي. تشكيل نظام التسلسل الصفري. في ك=3ن+ 1، تشكل التوافقيات نظام جهد، يتزامن تسلسله مع تسلسل الفولتية الفعلية، أي. أنها تشكل نظام التسلسل المباشر. في ك=3ن- 1، تشكل التوافقيات نظام جهد، تسلسله معاكس لتسلسل الفولتية الفعلية، أي. أنها تشكل نظام التسلسل العكسي. من الناحية العملية، غالبًا ما يكون المكون الثابت وجميع التوافقيات غائبة، لذلك في المستقبل سنقتصر على النظر في التوافقيات الفردية فقط. إذن فإن أقرب توافقي يشكل التسلسل العكسي هو الخامس. في المحركات الكهربائية يسبب أكبر ضرر، لذلك يخوضون معه معركة لا ترحم. دعونا ننظر في ميزات تشغيل أنظمة ثلاثية الطور الناتجة عن وجود التوافقيات التي هي مضاعفات الثلاثة. 1 . عندما يتم توصيل ملفات المولد أو المحول في مثلث (الشكل 6.14)، تتدفق التيارات التوافقية التي تكون مضاعفات الثلاثة عبر فروع الأخير، حتى في حالة عدم وجود حمل خارجي. في الواقع، المجموع الجبري للقوى الدافعة الكهربية للتوافقيات التي هي مضاعفات الثلاثة ( ه 3 , ه 6، الخ)، في مثلث له قيمة ثلاثية، على عكس التوافقيات الأخرى، التي يكون مجموعها صفرًا. إذا كانت مقاومة الطور للملف التوافقي الثالث ز 3، فسيكون التيار التوافقي الثالث في الدائرة المثلثية أنا 3 =ه 3 /ز 3. وبالمثل، التيار التوافقي السادس أنا 6 =ه 6 /ز 6، الخ. ستكون القيمة الفعالة للتيار المتدفق عبر اللفات
. وبما أن مقاومة ملفات المولد صغيرة، فإن التيار يمكن أن يصل إلى قيم كبيرة. لذلك، إذا كانت هناك توافقيات قابلة للقسمة على ثلاثة في الطور EMF، فإن ملفات المولد أو المحول غير متصلة في مثلث. 2 . إذا قمت بتوصيل ملفات مولد أو محول في مثلث مفتوح (الشكل 6.155)، فسيكون هناك جهد عند أطرافه يساوي مجموع المجال الكهرومغناطيسي للتوافقيات، مضاعفات الثلاثة، أي. شبكس = 3 ه 3 م خطيئة(3 ωt+ψ 3)+3هخطيئة 6 م(6 ωt+ψ 6)+3هخطيئة 9 م (9 ωt+ψ 9)+···. معناها الحقيقي

.

عادةً ما يتم استخدام دلتا مفتوحة قبل توصيل ملفات المولد بالدلتا العادية للتحقق من إمكانية تنفيذ الأخير بدون مشاكل. 3. الفولتية الخطية، بغض النظر عن مخطط اتصال ملفات المولد أو المحولات، لا تحتوي على توافقيات مضاعفات الثلاثة. عند الاتصال بواسطة مثلث، يتم تعويض المجالات الكهرومغناطيسية الطورية التي تحتوي على توافقيات من مضاعفات العدد ثلاثة عن طريق انخفاض الجهد عبر المقاومة الداخلية لطور المولد. في الواقع، وفقًا لقانون كيرشوف الثاني للثالث، على سبيل المثال، يمكن كتابة توافقيات الدائرة في الشكل 6.14 ش AB3+ أنا 3 ز 3 =ه 3، من أين وصلنا ش AB3 = 0. وبالمثل بالنسبة لأي من التوافقيات التي تكون من مضاعفات العدد ثلاثة. عند توصيلها في نجم، تكون الفولتية الخطية مساوية للفرق في المجالات الكهرومغناطيسية الطورية المقابلة. بالنسبة للتوافقيات التي تكون مضاعفات الثلاثة، عندما تتكون هذه الاختلافات، يتم تدمير المجالات الكهرومغناطيسية الطورية، لأنها تشكل نظام تسلسل صفري. وبالتالي، قد تحتوي جهود الطور على مكونات جميع التوافقيات وقيمتها الفعالة. في الجهود الخطية، لا توجد توافقيات من مضاعفات العدد ثلاثة، لذا فإن قيمتها الفعالة هي . وفي هذا الصدد، في ظل وجود التوافقيات التي هي مضاعفات الثلاثة، شل/ ش F<
. 4. في الدوائر التي لا تحتوي على سلك محايد، لا يمكن إغلاق التيارات التوافقية القابلة للقسمة على ثلاثة، لأنها تشكل نظام تسلسل صفري ولا يمكن إغلاقها إلا في حالة وجود الأخير. في هذه الحالة، بين نقطتي الصفر للمستقبل والمصدر، حتى في حالة الحمل المتماثل، يظهر جهد يساوي مجموع القوى الدافعة الكهربية للتوافقيات التي هي مضاعفات الثلاثة، وهو أمر يسهل التحقق منه من المعادلة لقانون كيرشوف الثاني، مع الأخذ في الاعتبار عدم وجود تيارات لهذه التوافقيات. القيمة اللحظية لهذا الجهد ش 0 1 0 =ه 3 م خطيئة(3 ωt+ψ 3)+هخطيئة 6 م(6 ωt+ψ 6)+هخطيئة 9 م (9 ωt+ψ 9)+···. معناها الحقيقي
. 5. في دائرة نجمية بسلك محايد (الشكل 6.16)، سيتم إغلاق التيارات التوافقية القابلة للقسمة على ثلاثة على طول الأخير، حتى في حالة الحمل المتماثل، إذا كانت المجالات الكهرومغناطيسية الطورية تحتوي على التوافقيات المشار إليها. بما أن التوافقيات التي تقبل القسمة على ثلاثة تشكل نظامًا صفريًا، فيمكننا الكتابة

في كثير من الحالات، تبدو مهمة الحصول على (حساب) طيف الإشارة هكذا. يوجد ADC يقوم، بتردد أخذ العينات Fd، بتحويل الإشارة المستمرة التي تصل إلى مدخلاته خلال الوقت T إلى عينات رقمية - قطع N. بعد ذلك، يتم تغذية مجموعة العينات في برنامج معين ينتج N/2 من بعض القيم العددية (المبرمج الذي سرق من الإنترنتكتب برنامجًا، ويؤكد أنه يقوم بتحويل فورييه).

للتحقق مما إذا كان البرنامج يعمل بشكل صحيح، سنقوم بتكوين مجموعة من العينات كمجموع اثنين من الجيوب الأنفية sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) وإدخالها في البرنامج . وقد رسم البرنامج ما يلي:

الشكل 1 رسم بياني لوظيفة وقت الإشارة

الشكل 2 الرسم البياني لطيف الإشارة

يوجد على الرسم البياني للطيف عصاان (توافقيات) 5 هرتز بسعة 0.5 فولت و10 هرتز بسعة 1 فولت، كل شيء هو نفسه كما في صيغة الإشارة الأصلية. كل شيء على ما يرام، أحسنت مبرمج! البرنامج يعمل بشكل صحيح.

هذا يعني أننا إذا طبقنا إشارة حقيقية من خليط من اثنين من الجيوب الأنفية إلى دخل ADC، فسنحصل على طيف مماثل يتكون من توافقيتين.

المجموع لدينا حقيقيإشارة مقاسة, تدوم 5 ثواني، تم رقمنتها بواسطة ADC، أي ممثلة منفصلةالتهم، وقد منفصلة غير دوريةيتراوح.

من وجهة نظر رياضية، ما عدد الأخطاء الموجودة في هذه العبارة؟

الآن قررت السلطات، قررنا أن 5 ثوانٍ طويلة جدًا، فلنقيس الإشارة في 0.5 ثانية.



الشكل 3 رسم بياني للدالة sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) لفترة قياس قدرها 0.5 ثانية

الشكل 4: الطيف الوظيفي

شيء ما لا يبدو صحيحا! يتم رسم التوافقي 10 هرتز بشكل طبيعي، ولكن بدلاً من عصا 5 هرتز، تظهر عدة توافقيات غريبة. نحن ننظر إلى الإنترنت لنرى ما يحدث ...

حسنًا، يقولون أنك بحاجة إلى إضافة أصفار إلى نهاية العينة وسيتم رسم الطيف كالمعتاد.

الشكل 5: تمت إضافة الأصفار حتى 5 ثوانٍ

الشكل 6: الطيف المستلم

لا يزال ليس هو نفسه كما كان في 5 ثواني. سيتعين علينا التعامل مع النظرية. لنذهب إلى ويكيبيديا- مصدر المعرفة.

2. الدالة المستمرة وتمثيلها بمتسلسلة فورييه

رياضيًا، إشارتنا التي تبلغ مدتها T ثانية هي دالة معينة f(x) محددة على الفاصل الزمني (0، T) (X في هذه الحالة هو الوقت). يمكن دائمًا تمثيل مثل هذه الوظيفة كمجموع من الدوال التوافقية (جيب الجيب أو جيب التمام) بالشكل:

K - رقم الوظيفة المثلثية (رقم المكون التوافقي، الرقم التوافقي)
T - المقطع الذي يتم فيه تعريف الوظيفة (مدة الإشارة)
Ak هي سعة المكون التوافقي k،
?k- المرحلة الأولية للمكون التوافقي k-th

ماذا يعني "تمثيل دالة كمجموع سلسلة"؟ وهذا يعني أنه بجمع قيم المكونات التوافقية لمتسلسلة فورييه عند كل نقطة، نحصل على قيمة الدالة عند هذه النقطة.

(بشكل أكثر صرامة، فإن انحراف الجذر المتوسط ​​للسلسلة عن الدالة f(x) سوف يميل إلى الصفر، ولكن على الرغم من تقارب الجذر المتوسط ​​للتربيع، فإن سلسلة فورييه للدالة، بشكل عام، ليست مطلوبة تتلاقى بشكل نقطي معها راجع https://ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

يمكن أيضًا كتابة هذه السلسلة على النحو التالي:

(2),
حيث السعة المعقدة k-th.

يتم التعبير عن العلاقة بين المعاملين (1) و (3) بالصيغ التالية:

لاحظ أن جميع هذه التمثيلات الثلاثة لسلسلة فورييه متكافئة تمامًا. في بعض الأحيان، عند العمل مع متسلسلة فورييه، يكون من الملائم أكثر استخدام أسس الوسيطة التخيلية بدلاً من جيب التمام وجيب التمام، أي استخدام تحويل فورييه في شكل معقد. ولكن من الملائم لنا استخدام الصيغة (1)، حيث يتم تقديم سلسلة فورييه كمجموع جيب التمام مع السعات والأطوار المقابلة. على أية حال، من غير الصحيح القول بأن تحويل فورييه للإشارة الحقيقية سيؤدي إلى اتساع توافقي معقد. كما يقول Wiki بشكل صحيح، "تحويل فورييه (؟) هو عملية تربط دالة لمتغير حقيقي مع دالة أخرى، وهي أيضًا متغير حقيقي."

المجموع:
الأساس الرياضي للتحليل الطيفي للإشارات هو تحويل فورييه.

يتيح لك تحويل فورييه تمثيل دالة مستمرة f(x) (إشارة)، محددة على المقطع (0، T) كمجموع عدد لا نهائي (سلسلة لا نهائية) من الدوال المثلثية (جيب و/أو جيب التمام) مع بعض السعات والمراحل، تعتبر أيضًا في الجزء (0، T). تسمى هذه السلسلة بسلسلة فورييه.

دعونا نلاحظ بعض النقاط الأخرى، التي يلزم فهمها للتطبيق الصحيح لتحويل فورييه لتحليل الإشارة. إذا نظرنا إلى متسلسلة فورييه (مجموع الجيوب الأنفية) على المحور السيني بأكمله، يمكننا أن نرى أنه خارج القطعة (0، T) فإن الدالة التي تمثلها متسلسلة فورييه سوف تكرر وظيفتنا بشكل دوري.

على سبيل المثال، في الرسم البياني للشكل 7، يتم تعريف الدالة الأصلية على المقطع (-T\2، +T\2)، وتمثل سلسلة فورييه دالة دورية محددة على المحور السيني بأكمله.

يحدث هذا لأن الجيوب الأنفية نفسها هي دوال دورية، وبالتالي فإن مجموعها سيكون دالة دورية.

الشكل 7: تمثيل دالة أصلية غير دورية بواسطة سلسلة فورييه

هكذا:

دالتنا الأصلية هي دالة مستمرة وغير دورية ومحددة على جزء معين من الطول T.
طيف هذه الوظيفة منفصل، أي أنه يتم تقديمه في شكل سلسلة لا حصر لها من المكونات التوافقية - سلسلة فورييه.
في الواقع، تحدد متسلسلة فورييه دالة دورية معينة تتزامن مع دالتنا على القطعة (0، T)، لكن هذه الدورية ليست مهمة بالنسبة لنا.

فترات المكونات التوافقية هي مضاعفات قيمة المقطع (0، T) الذي تم تعريف الدالة الأصلية f(x) عليه. بمعنى آخر، الفترات التوافقية هي مضاعفات مدة قياس الإشارة. على سبيل المثال، فترة التوافقي الأول من سلسلة فورييه تساوي الفترة T التي يتم تعريف الدالة f(x) عليها. فترة التوافقي الثاني من سلسلة فورييه تساوي الفترة T/2. وهكذا (انظر الشكل 8).

الشكل 8: فترات (ترددات) المكونات التوافقية لسلسلة فورييه (هنا T = 2؟)

وبناء على ذلك، فإن ترددات المكونات التوافقية هي مضاعفات 1/T. أي أن ترددات المكونات التوافقية Fk تساوي Fk = k\T، حيث تتراوح k من 0 إلى ?، على سبيل المثال k = 0 F0 = 0؛ ك=1 F1=1\T; ك=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (عند تردد صفر - مكون ثابت).

دع وظيفتنا الأصلية تكون إشارة مسجلة خلال T = 1 ثانية. إذن فإن فترة التوافقي الأول ستكون مساوية لمدة إشارتنا T1=T=1 ثانية وسيكون التردد التوافقي 1 هرتز. ستكون فترة التوافقي الثاني مساوية لمدة الإشارة مقسومة على 2 (T2=T/2=0.5 ثانية) وسيكون التردد 2 هرتز. للمدروج الثالث T3=T/3 sec والتردد 3 هرتز. وما إلى ذلك وهلم جرا.

الخطوة بين التوافقيات في هذه الحالة هي 1 هرتز.

وبالتالي، يمكن تقسيم الإشارة التي تدوم ثانية واحدة إلى مكونات توافقية (الحصول على طيف) بدقة تردد قدرها 1 هرتز.
لزيادة الدقة مرتين إلى 0.5 هرتز، تحتاج إلى زيادة مدة القياس مرتين - حتى ثانيتين. يمكن تقسيم الإشارة التي تدوم 10 ثوانٍ إلى مكونات توافقية (للحصول على طيف) بدقة تردد تبلغ 0.1 هرتز. لا توجد طرق أخرى لزيادة دقة التردد.

هناك طريقة لزيادة مدة الإشارة بشكل مصطنع عن طريق إضافة أصفار إلى مجموعة العينات. لكنه لا يزيد من دقة التردد الفعلية.

3. الإشارات المنفصلة وتحويل فورييه المنفصل

ومع تطور التكنولوجيا الرقمية، تغيرت أيضًا طرق تخزين بيانات القياس (الإشارات). إذا كان من الممكن في السابق تسجيل الإشارة على جهاز تسجيل وتخزينها على الشريط في شكل تناظري، فقد تم الآن ترقيم الإشارات وتخزينها في ملفات في ذاكرة الكمبيوتر كمجموعة من الأرقام (العينات).

المخطط المعتاد لقياس الإشارة ورقمنتها هو كما يلي.

الشكل 9 رسم تخطيطي لقناة القياس

تصل الإشارة من محول القياس إلى ADC خلال فترة زمنية T. ويتم إرسال عينات الإشارة (أخذ العينات) التي تم الحصول عليها خلال الفترة T إلى الكمبيوتر وتخزينها في الذاكرة.

الشكل 10: الإشارة الرقمية - عدد N من العينات المستلمة خلال الوقت T

ما هي متطلبات معلمات رقمنة الإشارة؟ يُطلق على الجهاز الذي يحول الإشارة التناظرية المدخلة إلى رمز منفصل (إشارة رقمية) اسم المحول التناظري إلى الرقمي (ADC) (Wiki).

إحدى المعلمات الرئيسية لـ ADC هي الحد الأقصى لتردد أخذ العينات (أو معدل أخذ العينات، معدل أخذ العينات باللغة الإنجليزية) - معدل أخذ العينات للإشارة المستمرة بمرور الوقت عند أخذ عينات منها. يتم قياسه بالهرتز. ((ويكي))

وفقًا لنظرية كوتيلنيكوف، إذا كانت الإشارة المستمرة لها طيف محدود بالتردد Fmax، فيمكن إعادة بنائها بشكل كامل وفريد ​​من عيناتها المنفصلة المأخوذة على فترات زمنية، أي. مع التردد فد؟ 2*Fmax، حيث Fd هو تردد أخذ العينات؛ Fmax - الحد الأقصى لتردد طيف الإشارة. بمعنى آخر، يجب أن يكون تردد رقمنة الإشارة (تردد أخذ عينات ADC) أعلى مرتين على الأقل من الحد الأقصى لتردد الإشارة التي نريد قياسها.

ماذا سيحدث إذا أخذنا عينات ذات تردد أقل مما تتطلبه نظرية كوتيلنيكوف؟

في هذه الحالة، يحدث تأثير "التعرج" (المعروف أيضًا باسم التأثير الاصطرابي، تأثير تموج في النسيج)، حيث تتحول الإشارة عالية التردد، بعد الرقمنة، إلى إشارة منخفضة التردد، وهي في الواقع غير موجودة. في التين. 5 موجة جيبية حمراء عالية التردد هي إشارة حقيقية. الجيوب الأنفية الزرقاء ذات التردد المنخفض هي إشارة وهمية تنشأ بسبب حقيقة أنه خلال فترة أخذ العينات، يكون هناك وقت لتمرير أكثر من نصف فترة الإشارة عالية التردد.

أرز. 11. ظهور إشارة زائفة منخفضة التردد بمعدل أخذ عينات مرتفع بشكل غير كافٍ

لتجنب تأثير التعرج، يتم وضع مرشح خاص مضاد للتعرجات أمام ADC - مرشح تمرير منخفض (LPF)، الذي يمرر الترددات أقل من نصف تردد أخذ عينات ADC، ويقطع الترددات الأعلى.

من أجل حساب طيف الإشارة من عيناتها المنفصلة، ​​يتم استخدام تحويل فورييه المنفصل (DFT). دعونا نلاحظ مرة أخرى أن طيف الإشارة المنفصلة "بحكم التعريف" محدود بالتردد Fmax، وهو أقل من نصف تردد أخذ العينات Fd. لذلك، يمكن تمثيل طيف الإشارة المنفصلة بمجموع عدد محدود من التوافقيات، على عكس المجموع اللانهائي لسلسلة فورييه للإشارة المستمرة، والتي يمكن أن يكون طيفها غير محدود. وفقًا لنظرية كوتيلنيكوف، يجب أن يكون الحد الأقصى لتردد التوافقي بحيث يمثل عينتين على الأقل، وبالتالي فإن عدد التوافقيات يساوي نصف عدد عينات الإشارة المنفصلة. أي أنه إذا كانت هناك عينات N في العينة، فإن عدد التوافقيات في الطيف سيكون مساوياً لـ N/2.

دعونا الآن نفكر في تحويل فورييه المنفصل (DFT).

مقارنة مع سلسلة فورييه

نحن نرى أنهما متطابقان، باستثناء أن الوقت في DFT منفصل بطبيعته وعدد التوافقيات محدود بـ N/2 - نصف عدد العينات.

تتم كتابة صيغ DFT في متغيرات عددية بدون أبعاد k، s، حيث k هي أعداد عينات الإشارة، s هي أعداد المكونات الطيفية.
توضح القيمة s عدد التذبذبات التوافقية الكاملة خلال الفترة T (مدة قياس الإشارة). يتم استخدام تحويل فورييه المنفصل للعثور على سعة وأطوار التوافقيات باستخدام طريقة عددية، أي. "على الحاسوب"

العودة إلى النتائج التي تم الحصول عليها في البداية. كما ذكر أعلاه، عند توسيع دالة غير دورية (إشارتنا) إلى سلسلة فورييه، فإن سلسلة فورييه الناتجة تتوافق فعليًا مع دالة دورية ذات الفترة T (الشكل 12).

الشكل 12 الدالة الدورية f(x) مع الفترة T0، مع فترة القياس T>T0

وكما يتبين في الشكل 12، تكون الدالة f(x) دورية خلال الفترة T0. ومع ذلك، نظرًا لأن مدة عينة القياس T لا تتزامن مع فترة الدالة T0، فإن الدالة التي تم الحصول عليها كسلسلة فورييه لها انقطاع عند النقطة T. ونتيجة لذلك، سيحتوي طيف هذه الدالة على عدد كبير من التوافقيات عالية التردد. إذا تزامنت مدة عينة القياس T مع فترة الدالة T0، فإن الطيف الذي تم الحصول عليه بعد تحويل فورييه سيحتوي فقط على التوافقي الأول (الجيبي مع فترة تساوي مدة أخذ العينات)، لأن الدالة f(x) هو الجيوب الأنفية.

وبعبارة أخرى، فإن برنامج DFT "لا يعرف" أن إشارتنا هي "قطعة من الجيوب الأنفية"، ولكنه يحاول تمثيل دالة دورية في شكل سلسلة، والتي لها انقطاع بسبب عدم تناسق القطع الفردية من الجيوب الأنفية.

ونتيجة لذلك، تظهر التوافقيات في الطيف، والتي ينبغي أن تلخص شكل الدالة، بما في ذلك هذا الانقطاع.

وبالتالي، من أجل الحصول على الطيف "الصحيح" للإشارة، وهو مجموع عدة جيوب جيبية ذات فترات مختلفة، من الضروري أن يتناسب عدد صحيح من فترات كل جيب جيبي مع فترة قياس الإشارة. ومن الناحية العملية، يمكن استيفاء هذا الشرط لفترة طويلة بما فيه الكفاية لقياس الإشارة.

الشكل 13: مثال على وظيفة وطيف إشارة الخطأ الحركي لعلبة التروس

مع مدة أقصر، ستبدو الصورة "أسوأ":

الشكل 14: مثال على وظيفة وطيف إشارة اهتزاز العضو الدوار

من الناحية العملية، قد يكون من الصعب فهم أين هي "المكونات الحقيقية" وأين هي "المصنوعات" الناتجة عن الفترات غير المتعددة للمكونات ومدة أخذ عينات الإشارة أو "القفزات والفواصل" في شكل الإشارة . بالطبع، تم وضع الكلمتين "المكونات الحقيقية" و"التحف" بين علامتي اقتباس لسبب ما. إن وجود العديد من التوافقيات على الرسم البياني الطيفي لا يعني أن إشارتنا "تتكون" منها بالفعل. هذا هو نفس الاعتقاد بأن الرقم 7 "يتكون" من الرقمين 3 و 4. يمكن تمثيل الرقم 7 كمجموع الرقمين 3 و 4 - وهذا صحيح.

لذا فإن إشارتنا... أو بالأحرى ليست "إشارتنا"، بل يمكن تمثيل دالة دورية مكونة من تكرار إشارتنا (أخذ العينات) كمجموع التوافقيات (موجات جيبية) بسعات وأطوار معينة. ولكن في العديد من الحالات المهمة للممارسة (انظر الأشكال أعلاه)، فمن الممكن بالفعل ربط التوافقيات التي تم الحصول عليها في الطيف بعمليات حقيقية ذات طبيعة دورية وتساهم بشكل كبير في شكل الإشارة.

بعض النتائج

1. إشارة حقيقية مُقاسة مدتها T ثانية، مُرقمنة بواسطة ADC، أي مُمثلة بمجموعة من العينات المنفصلة (N قطع)، لها طيف غير دوري منفصل، مُمثل بمجموعة من التوافقيات (N/ 2 قطعة).

2. يتم تمثيل الإشارة بمجموعة من القيم الحقيقية وطيفها يمثل بمجموعة من القيم الحقيقية. الترددات التوافقية إيجابية. حقيقة أنه من الأفضل لعلماء الرياضيات تمثيل الطيف في شكل معقد باستخدام الترددات السلبية لا تعني أن "هذا صحيح" و"يجب القيام بذلك دائمًا".

3. الإشارة المقاسة خلال فترة زمنية T يتم تحديدها فقط خلال فترة زمنية T. ما حدث قبل أن نبدأ في قياس الإشارة، وما سيحدث بعد ذلك، غير معروف للعلم. وفي حالتنا، هذا ليس مثيرا للاهتمام. يعطي DFT لإشارة محدودة الوقت طيفها "الحقيقي"، بمعنى أنه يسمح، في ظل ظروف معينة، بحساب سعة وتردد مكوناتها.

المواد المستخدمة والمواد المفيدة الأخرى.