محدد المصفوفة المتماثلة من الرتبة n. محدد الترتيب n

للحصول على تعريف أكثر دقة وتعقيدًا وللحديث عن محددات الترتيب الأكبر من الثلث، ستحتاج إلى تذكر شيء آخر. نحن مهتمون بمصطلح الاستبدال، وليس بتعريفه بقدر اهتمامنا بطريقة حسابه.

للاستبدال، يتم قبول الإدخال التالي:
، أي. أزواج من الأرقام مكتوبة في عمود، بحيث تكون الأرقام العليا متسلسلة (بشكل عام، يمكن تبديل الأعمدة).

يمكن أن تكون البدائل زوجية أو فردية. من أجل معرفة ما إذا كان الاستبدال زوجيًا أم فرديًا، عليك الانتباه إلى السطر الثاني، أو بشكل أكثر دقة، إلى ترتيب الأرقام الموجودة فيه. من الضروري حساب عدد أزواج الأرقام في السطر الثاني بحيث يكون الرقم الموجود على اليسار أكبر من الرقم الموجود على اليمين (). إذا كان عدد هذه الأزواج فرديا، فإن الاستبدال يسمى فرديا، وبالتالي، إذا كان عدد هذه الأزواج زوجيا، فإن الاستبدال يسمى زوجي.

مثال:
1)


4 على يسار 3، على يسار 1، على يسار 2 - هذه بالفعل ثلاثة أزواج "خاطئة".
الرقم 3 يقع على يسار 1 و 2 – زوجان آخران.
مجموع 5 أزواج، أي. هذا بديل غريب.
2)

لاحظ أن الأرقام في السطر الأول غير مرتبة. دعونا نعيد ترتيب الأعمدة.

دعونا نلقي نظرة على الأرقام في الصف الثاني.
3 على يسار 2 و 1 - زوجان،
2 على يسار 1 - زوج واحد،
5 على يسار 4 و 1 - زوجان،
4 على يسار 1 - زوج واحد.
إجمالي 6 أزواج – حتى الاستبدال.

التعريف 2(لطلاب التخصصات الرياضية، الكشف عن جوهر المفهوم المحدد):

محدد الترتيب n المطابق للمصفوفة
,
هو مجموع جبري للمصطلحات يتكون على النحو التالي: الحدود هي جميع المنتجات الممكنة لعناصر المصفوفة، مأخوذة من كل صف ومن كل عمود، ويؤخذ الحد بعلامة زائد إذا كانت دلائله تشكل تعويضا زوجيا، وبعلامة ناقص التوقيع في الحالة المعاكسة.
تعليق:دعونا نشرح هذا التعريف باستخدام مثال محدد من الدرجة الثالثة، والذي تكون صيغة الحساب له معروفة بالفعل.
.
1) "المجموع الجبري للمصطلحات" - . ونعم، في الواقع، هناك ستة حدود هنا.
2) "المصطلحات هي جميع المنتجات الممكنة لعناصر المصفوفة، مأخوذة من كل صف ومن كل عمود" - خذ على سبيل المثال المصطلح . وعامله الأول مأخوذ من السطر الثاني، والثاني من الأول، والثالث من الثالث. الأمر نفسه بالنسبة للأعمدة - العامل الأول من العمود الأول، والثاني من الثالث، والأخير من الثاني.
3) "ويؤخذ المصطلح بعلامة زائد إذا كانت مؤشراته عبارة عن استبدال زوجي، وبعلامة ناقص في الحالة المقابلة" - خذ على سبيل المثال المصطلحين (بعلامة زائد) و (بعلامة ناقص) ).

لنرتب التباديل بحيث يحتوي السطر الأول على أرقام صفوف العوامل، بينما يحتوي السطر الثاني على أرقام الأعمدة.
بالنسبة للمصطلح: (العمود الأول هو مؤشر العامل الأول، الخ)
بالنسبة للمصطلح : .
دعونا نحدد التكافؤ بين هذه التباديل:
أ) - عناصر السطر الأول مرتبة. السطر الثاني يحتوي على الأزواج خارج الترتيب:
2 على يسار 1 - زوج واحد،
3 على يسار 1 - زوج واحد.
مجموع زوجين، أي. عدد الأزواج زوجي، مما يعني أن التقليب زوجي، مما يعني أنه يجب تضمين المصطلح في المجموع بعلامة الجمع (كما هو بالفعل).
ب) - عناصر السطر الأول مرتبة. السطر الثاني يحتوي على الأزواج خارج الترتيب:
2 على يسار 1 - زوج واحد.
في المجمل، عدد أزواج الأرقام الموضوعة بحيث يكون الرقم الأكبر على يسار الرقم الأصغر هو 1، أي. فردي، مما يعني أن التقليب يسمى فرديًا، ويجب تضمين المصطلح المقابل في المجموع بعلامة الطرح (نعم، هذا صحيح).
مثال(“مجموعة المسائل في الجبر” تحرير A.I. Kostrikin، رقم 1001):

تعرف على أي من المنتجات التالية متضمنة في التعبير الموسع لمحددات الطلبات المقابلة وبأي علامات.
أ)
دعنا ننتبه إلى الجزء "واحد من كل صف وكل عمود" من التعريف. تختلف جميع المؤشرات الأولى للعوامل من 1 إلى 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6). جميع المؤشرات الثانية للعوامل تختلف من 1 إلى 6 (3، 2، 1، 4، 5، 6).
الخلاصة - تم تضمين هذا المنتج في التعبير الموسع لمحدد الترتيب السادس.

3 على يسار 2، 1 - زوجان،
2 على يسار 1 - زوج واحد،
6 على يسار 5، 4 - زوجان،
5 على يسار 4 - زوج واحد.
مجموع 6 أزواج، أي. التقليب زوجي ويتم تضمين المصطلح في التدوين الموسع للمحدد بعلامة الجمع.

ب)
تختلف جميع المؤشرات الأولى للعوامل من 1 إلى 5(3، 1، 5، 4، 2). تختلف جميع المؤشرات الثانية للعوامل من 1 إلى 5 (1، 3، 2، 5، 4).
الخلاصة - تم تضمين هذا المنتج في التعبير الموسع لمحدد الترتيب الخامس.
لنحدد إشارة هذا الحد، وللقيام بذلك، سنجري تبديلًا لمؤشرات العوامل:

دعونا نعيد ترتيب الأعمدة بحيث تكون الأرقام الموجودة في السطر الأول مرتبة من الأصغر إلى الأكبر.

3 على يسار 1، 2 – زوجين.
4 على يسار 1، 2 - زوجان،
5 على يسار 2 – زوج واحد.
مجموع 5 أزواج، أي. التقليب فردي ويتم تضمين المصطلح في التدوين الموسع للمحدد بعلامة الطرح.
الخامس) — انتبه إلى العاملين الأول والسادس: و . كلاهما مأخوذ من العمود الرابع، مما يعني أنه لا يمكن تضمين هذا المنتج في التعبير الموسع لمحدد الترتيب السابع.

واستنادًا إلى مفاهيم المحددات من الدرجة الثانية والثالثة، يمكننا بالمثل تقديم مفهوم المحددات الترتيبية ن. يتم حساب محددات الترتيب الأعلى من الثلث، كقاعدة عامة، باستخدام خصائص المحددات التي تمت صياغتها في الفقرة 1.3، والتي تكون صالحة لمحددات أي ترتيب.

وباستخدام خاصية المحددات رقم 9 0 نقدم تعريف المحدد الرابع:

مثال 2.احسب باستخدام التوسع المناسب.

وبالمثل، تم تقديم مفهوم المحدد للخامس والسادس وما إلى ذلك. طلب. إذن محدد الترتيب n :

.

جميع خصائص المحددات من الرتبة الثانية والثالثة، التي تمت مناقشتها سابقًا، صالحة أيضًا لمحددات الرتبة n.

دعونا نفكر في الطرق الرئيسية لحساب المحددات ن- الترتيب.

تعليق:قبل تطبيق هذه الطريقة، من المفيد، باستخدام الخصائص الأساسية للمحددات، تحويل جميع عناصر صف أو عمود معين إلى الصفر باستثناء عنصر واحد. (طريقة فعالة لخفض الطلب)

طريقة الاختزال إلى الشكل الثلاثي يتكون من مثل هذا التحول للمحدد عندما تصبح جميع عناصره الواقعة على جانب واحد من القطر الرئيسي مساوية للصفر. في هذه الحالة، المحدد يساوي منتج عناصر قطره الرئيسي.

مثال 3.حساب عن طريق الاختزال إلى الشكل الثلاثي.

مثال 4.احسب باستخدام طريقة تخفيض الطلب الفعالة

.

الحل: وفقًا لخاصية المحددات 40، سنخرج العامل 10 من الصف الأول، ثم نضرب الصف الثاني بالتتابع في 2، في 2، في 1 ونضيفه مع الأول والثالث والرابع. الصفوف على التوالي (الخاصية 8 0).

.

يمكن توسيع المحدد الناتج إلى عناصر العمود الأول. سيتم اختزاله إلى محدد من الدرجة الثالثة، والذي يتم حسابه باستخدام قاعدة ساروس (المثلث).

مثال 5.احسب المحدد عن طريق تحويله إلى الشكل الثلاثي.

.

مثال 3.حساب باستخدام علاقات التكرار.

.

.

المحاضرة 4. المصفوفة العكسية. رتبة المصفوفة.

1. مفهوم المصفوفة العكسية

التعريف 1. مربع تسمى المصفوفة A من الرتبة n غير منحط،إذا كان محددا | أ| ≠ 0. في حالة متى | أ| = 0، تسمى المصفوفة A منحط.

فقط بالنسبة للمصفوفات المربعة غير المفردة A تم تقديم مفهوم المصفوفة العكسية A -1.

التعريف 2 . تسمى المصفوفة A -1 يعكسبالنسبة للمصفوفة المربعة غير المفردة A، إذا كانت A -1 A = AA -1 = E، حيث E هي مصفوفة الوحدة المرتبة ن.

التعريف 3 . مصفوفة مُسَمًّى المرفقةعناصره هي مكملات جبرية مصفوفة منقولة
.

خوارزمية لحساب المصفوفة العكسية باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة.

، أين
.

نتحقق من صحة الحساب A -1 A = AA -1 = E. (E هي مصفوفة الهوية)

المصفوفات A و A -1 متبادل. لو | أ| = 0، إذن المصفوفة العكسية غير موجودة.

مثال 1.تم إعطاء المصفوفة A وتأكد من أنها غير مفردة وابحث عن المصفوفة العكسية
.

حل:
. وبالتالي فإن المصفوفة غير مفردة.

دعونا نجد المصفوفة العكسية. دعونا نؤلف مكملات جبرية لعناصر المصفوفة أ.

نحن نحصل

.

النظر في مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية

تعريف. محدد المصفوفة المربعة من الدرجة الثانية هو الرقم الذي يساوي أ 11 أ 22 - أ 12 أ 21ويشار إليها بالرمز، أي

ويسمى محدد المصفوفة أيضًا المحدد. تدوين محدد المصفوفة أ: |أ|, Δ, ديت أ, ديت (آي).

الآن فكر في مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة

عند حساب محدد الدرجة الثالثة، من المفيد معرفة قاعدة المثلث: مع وجود علامة زائد تكون منتجات ثلاثة توائم من الأرقام الموجودة على القطر الرئيسي للمصفوفة، وفي رؤوس المثلثات ذات القاعدة الموازية لهذا القطر وقمة في الزاوية المقابلة للمصفوفة. مع علامة الطرح يوجد ثلاثة توائم من القطر الثاني ومن المثلثات المبنية بالنسبة لهذا القطر. ويوضح الرسم البياني التالي هذه القاعدة. في الرسم التخطيطي، يتم تمييز العناصر التي تأتي منتجاتها بعلامة زائد باللون الأزرق (على اليسار)، وباللون الأحمر (على اليمين) - بعلامة ناقص.

الآن دعونا نعطي تعريفا.

تعريف. محدد المصفوفة المربعة من الدرجة الثالثة هو الرقم

تعريف. القاصر في أي عنصر من عناصر المحدد هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من عنصر معين عن طريق شطب الصف والعمود الذي ينتمي إليه العنصر المحدد. العنصر الصغير ايكدعونا نشير ميك.

تعريف. العنصر الصغير 21المحدد من الدرجة الثالثة للمصفوفة هو المحدد من الدرجة الثانية

تعريف ايكويسمى المحدد صغره، مأخوذا بالعلامة (-1)ط+ك.

المكمل الجبري للعنصر ايكدعونا نشير آيك. أ-بريوري

قاعدة تحديد علامة المكمل الجبري (باستخدام محدد الدرجة الثالثة كمثال):

مثال. إضافة جبرية لعنصر 21يكون

نظرية التحلل. المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر أي صف (عمود) بمكملاتها الجبرية.

خصائص المحددات

• لن يتغير المحدد إذا قمت باستبدال كافة صفوفه بالأعمدة المقابلة.
• عند إعادة ترتيب عمودين (صفوف)، يتم تسجيل التغييرات المحددة.
• المحدد ذو العمودين المتطابقين (الصفوف) يساوي الصفر.
• يمكن أخذ العامل المشترك بين عناصر عمود (صف) معين خارج علامة المحدد.
• المحدد ذو عمودين (صفوف) متناسبين يساوي صفرًا.
• يكون المحدد صفرًا إذا كانت جميع عناصر عمود (صف) ما تساوي صفرًا.
• لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة العناصر المقابلة لعمود (صف) آخر إلى عناصر عمود (صف) معين، بعد ضربها مسبقًا بنفس العامل.

تعليق. إذا كانت جميع عناصر عمود (صف) معين في أحد المحددات مساوية لمجموع فترتين، فإن هذا المحدد يساوي مجموع اثنين من المحددات المقابلة.

على سبيل المثال،

المحددات ن- الترتيب

النظر في مصفوفة مربعة ن- الترتيب

مفهوم محدد هذه المصفوفة أو المحدد نيتم تقديم الترتيب الاستقرائي، مع الأخذ في الاعتبار أن مفهوم محدد النظام قد تم تقديمه بالفعل ن-1المقابلة للمصفوفة المربعة (ن-1)- الترتيب.

تعريف عنصر المصفوفة الصغير ومكمله الجبري صالح للمحددات من أي ترتيب.

تعريف. محدد النظام ن، المقابلة للمصفوفة أ ن-الترتيب يسمى رقم يساوي (م 1 ك- عنصر ثانوي 1 كيلو) ويشار إليه بأحد الرموز

لذلك، بحكم التعريف

تعبر هذه الصيغة عن قاعدة بناء محدد النظام نبعناصر الصف الأول من المصفوفة المقابلة لها وبالمكملات الجبرية لهذه العناصر التي هي محددات الترتيب ن-1، مأخوذة بالعلامات المناسبة.

بالنسبة لمحدد أي ترتيب، تكون جميع الخصائص والنظريات التي تم الحصول عليها وإثباتها لمحدد من الدرجة الثالثة صحيحة.

دعونا صياغة النظرية الرئيسية:

نظرية [نظرية الاستبدال]. مهما كان رقم السطر أنا (ط = 1،2،…،ن)، للمحدد نصيغة الترتيب صالحة

يسمى توسيع هذا المحدد في أناالخط العاشر.

بما أن الخاصية 1 للمحددات صحيحة، فيمكننا أيضًا توسيع المحدد على طول العمود:

أمثلة

دعونا نحسب المحدد التالي:

اطرح السطر الثاني من الأول والثالث. ثم نضيف الأول إلى الأثلاث ونخرج العامل المشترك من الأثلاث:

والآن نضيف إلى السطر الثاني الثالث مضروبًا في 7، وإلى السطر الرابع نضيف الثالث مضروبًا في 2. ثم نخرج العامل المشترك من السطر الرابع:

دعونا نوسع المحدد في العمود الثاني (العلامات تشير إلى القيمة (-1)ط+يفي القاصر). لاحظ أنه يوجد عنصر واحد فقط غير الصفر في العمود، وبالتالي، سيبقى محدد واحد فقط من الدرجة الثالثة في الموسع. وأخيرًا، حصلنا على الإجابة باستخدام صيغة المحدد من الدرجة الثالثة.

دعونا نعطي بعض الأمثلة الإضافية لمحددات الرتب المختلفة.

يترك أ =مصفوفة مربعة عشوائية من الرتبة n مع عناصر حقيقية (أو معقدة).

التعريف 7. محدد المصفوفة A (المحدد الترتيب ن) المجموع الجبري n يسمى! الحدود، كل منها هو نتاج عناصر المصفوفة n، مأخوذة من كل صف ومن كل عمود. في هذه الحالة، يتم أخذ المنتج بعلامة "+" إذا كان الاستبدال من مؤشرات العناصر المضمنة فيه زوجيًا، وبعلامة "-" بخلاف ذلك.

التسمية المحددة: | أ| = .

على سبيل المثال، لـ n = 6 المنتج А21a13a62a34a46a55هو عضو في المحدد لأنه يحتوي بالضبط على عنصر واحد من كل صف ومن كل عمود. سيكون الاستبدال مكونًا من مؤشراتها . لديها 4 انقلابات في السطر العلوي و 2 انقلابات في السطر السفلي. إجمالي عدد الانقلابات هو 6، أي أن الاستبدال زوجي. وبالتالي، يتم تضمين هذا المنتج في مفك المحدد بعلامة "+".

عمل А21a13a62a34a46a15ليس عضوا في المحدد لأنه يحتوي على عنصرين من الصف الأول.

خصائص المحددات.

10. أثناء النقل، لا يتغير المحدد (تذكر أن نقل المصفوفة والمحدد يعني تغيير الصفوف والأعمدة).

في الواقع، إذا كان (-1)k حدًا للمحدد، فإن كل a1، a2، ... ، an متميزون وk هو عدد الانقلابات في التقليب (a1، a2، ...، an). عند النقل، تصبح أرقام الصفوف أرقام أعمدة والعكس صحيح. وبالتالي، في المنتج، ستكون جميع العوامل من أعمدة وصفوف مختلفة، أي سيتم تضمين هذا المنتج في المحدد المنقول. سيتم تحديد علامتها من خلال عدد الانقلابات في الاستبدال . لكن من الواضح أن هذا الرقم يساوي k، لذا، (-1)k سيكون حدًا في المحدد المنقول. بما أننا أخذنا أي حد لمحدد معين، وكان عدد الحدود في المحددات المعطاة والمحولة هو نفسه، فإن المساواة بينهما تتبع ذلك. ويترتب على الخاصية المثبتة أن كل ما سيثبت لصفوف المحدد سيكون صحيحا أيضا لأعمدته.

20. إذا كانت جميع عناصر الصف (أو العمود) للمحدد تساوي الصفر، فإن المحدد يساوي الصفر.

يأتي هذا من حقيقة أنه سيتم تضمين عنصر واحد من الصف (أو العمود) المحدد في كل حد من المحدد.

30. إذا كان لجميع عناصر أي خط من المحدد عامل مشترك فيمكن إخراجه من إشارة المحدد.

في الواقع، إذا كانت جميع عناصر الصف k لها عامل مشترك l، فيمكن كتابتها بالصيغة . أي حد من المحدد سيكون له الشكل (-1). . وبالتالي، يمكن اشتقاق العامل l من جميع شروط المحدد.

40. إذا تم تبديل سطرين من المحدد، فإن المحدد سيتغير الإشارة.

في الواقع، إذا كان (-1)k أي عضو في محدد معين، فسيتم تبديل أرقام الصفوف p و q في المحدد الجديد، لكن أرقام الأعمدة ستبقى كما هي. وبالتالي، في المحدد الجديد سيظهر نفس الناتج في الشكل (-1). نظرًا لحدوث تبديل واحد في أرقام الصفوف، ولكن أرقام الأعمدة لم تتغير، فإن k وs لهما تكافؤات متقابلة. إذن، جميع حدود محدد معين قد تغيرت إشارتها، وبالتالي فإن المحدد نفسه قد تغير إشارته.

50. إذا كان خطان من المحدد متناسبين، فإن المحدد يساوي صفر.

في الواقع، دع جميع عناصر الصف k تكون مساوية للعناصر المقابلة للصف p مضروبة في l، أي | أ| = = = 0.

60. إذا كانت جميع عناصر الصف k في المحدد هي مجموع حدين، فإن المحدد يساوي مجموع محددين حيث تكون جميع الصفوف، باستثناء k-th، هي نفسها في المحدد المعطى. في مكان عناصر الصف k لأحدهم توجد الحدود الأولى لعناصر الصف k للمحدد المعطى، وفي مكان عناصر الصف k من المحدد الثاني - ولايتهم الثانية.

دع عناصر الصف k تكون + سك1,+ Sk2, …. , + سكين. ثم أي حد من المحدد سيكون له الشكل

(-1)ث= (-1)ث + (-1) ث .

بعد جمع كل الحدود الأولى، نحصل على محدد يختلف عن المحدد المحدد فقط في الصف k. في مكان أي خط سيكون هناك , ،…. . بعد جمع كل الحدود الثانية، نحصل على محدد يختلف أيضًا عن المحدد المحدد فقط في الصف k. أي سطر سوف يحتوي سك1، سك2, …. , سكين.

70. إذا أضفنا سطرًا آخر إلى سطر واحد من المحدد، حيث يتم ضرب جميع عناصره بنفس الرقم، فلن يتغير المحدد.

هذه الخاصية هي نتيجة للاثنين السابقين.

إذا كان في المحدد | أ| قم بشطب الصف k والعمود p، ثم يبقى محدد الترتيب (n–1). تسمى قاصر، إضافي للعنصر ويتم تعيينه منطقة صغيرة. الرقم (-1)ك+ع×م كرمُسَمًّى المكمل الجبري للعنصر ويتم تعيينه فدان.

80. لا تعتمد المكملة الثانوية والجبري الإضافية على العنصر الموجود في الصف k والعمود p للمحدد.

ليما 1 د = . (8)

دليل.لو أ11= 0، فالمساواة (8) واضحة. يترك أ11¹ 0. نظرًا لأن كل حد من المحدد يحتوي على عنصر واحد بالضبط من الصف الأول، فإن الحدود غير الصفرية للمحدد يمكن أن تكون فقط تلك التي تتضمن أ11. انهم جميعا تبدو وكأنها ، حيث يتراوح gк و к من 2 إلى ن. يتم تحديد علامة هذا المصطلح في المحدد D من خلال تكافؤ الاستبدال s = .وبالتالي فإن D هو مجموع جبري لمصطلحات النموذج مع علامات يحددها الاستبدال s. إذا أخرجنا هذا المبلغ من بين قوسين أ11، ثم نحصل على أن D = أ11× س، أين سيوجد مجموع جبري لمصطلحات النموذج، يتم تحديد علامته بواسطة الاستبدال s. ومن الواضح أن هذه المصطلحات ( ن- 1)!. لكن الاستبدال والاستبدال لها نفس التكافؤ. لذلك، س = م 11. منذ أ11 =(-1)1+1× م 11 = م 11، ثم د = أ11×أ11.

ليما 2. د = (9)

دليل.في المحدد D نقوم بإعادة ترتيب الصف p بالتسلسل مع كل صف سابق. في هذه الحالة، سيأخذ السطر p-th مكان السطر الأول، لكن القاصر يكون إضافيًا للعنصر فلكلن تتغير. سيتم عمل المجموع ( ر– 1) إعادة ترتيب السلاسل. إذا أشرنا إلى المحدد الجديد D1، فإن D1 = (-1)ص-1×D. في محدد D1 نقوم بإعادة الترتيب لالعمود الرابع متسلسل مع كل عمود سابق، وهو ما سيفعل ( ل– 1) التقليب بين الأعمدة والصغرى والمكملة لها فلك، لن تتغير. والنتيجة هي المحدد

د2 = . من الواضح أن D2 = (-1)k-1×D1 = (-1)p+k-2×D = (-1)p+k×D. بواسطة Lemma 1، D2 = فلك× مر.ك. وبالتالي د = فلك× (-1)ص+ك × مآرك = فلك× آرك.

النظرية 3. المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر صف معين ومكملاتها الجبرية، أي D = Ak1Ak1 + ak2×Ak2 +…+أكن×أكن (10).

دليل.دع د = . نكتب عناصر الصف في النموذج Ak1 =al1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , أ= 0 + 0 + …+ 0 + أ. باستخدام الخاصية 60، نحصل على أن D =
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + أأ(استخدمنا ليما 2).

النظرية 4. مجموع منتجات عناصر صف واحد من المحدد بالمكملات الجبرية للعناصر المقابلة في الصف الآخر يساوي صفرًا.

دليل.دع د = . وفقا للنظرية السابقة

د = . إذا أخذنا فإن المحدد D سيحتوي على خطين متطابقين، أي أن D سيكون مساويًا للصفر. ولذلك، 0 = إذا ع ¹ ك.

تعليق.ستكون النظريات 3 و 4 صحيحة إذا تم استبدال كلمة "صف" في صيغتها بكلمة "عمود".

طريقة الحساب المحددةالترتيب ن.

لحساب المحدد نمن الترتيب، يكفي الحصول على أكبر عدد ممكن من الأصفار في بعض الصفوف (أو الأعمدة)، باستخدام الخاصية 70، ثم استخدام النظرية 3. في هذه الحالة، سيتم تقليل حساب محدد الترتيب n إلى حساب المحدد ( ن– 1) الترتيب .

مثال.احسب المحدد D = .

. نحصل على أصفار في السطر الثاني. لهذا العمود الثاني 1) اضرب في (-2) وأضفه إلى العمود الأول؛ 2) أضف إلى العمود الثالث؛ 3) اضرب في (-4) وأضفه إلى العمود الرابع. نحصل على أن د = . دعونا نوسع المحدد الناتج ليشمل عناصر الصف الثاني. في هذه الحالة، فإن منتجات جميع عناصر هذا الصف من خلال مكملاتها الجبرية، باستثناء العنصر 1، تساوي الصفر. للحصول على المكمل الجبري للعنصر 1، عليك شطب الصف والعمود الذي يظهر فيه هذا العنصر، أي الصف الثاني والعمود الثاني. تحدد علامة المكمل الجبري (-1)2+2 = (-1)4 = +1. إذن د = + . لقد حصلنا على محدد الدرجة الثالثة. يمكن حساب هذا المحدد باستخدام الأقطار والمثلثات، ولكن يمكن اختزاله إلى محدد من الدرجة الثانية. دعونا نتضاعف العمود الأول 1) في (-4) وأضفه إلى العمود الثاني، 2) اضربه في 2 وأضفه إلى العمود الثالث. لقد حصلنا على ذلك

النظر في التعبير الموسع للمحددات

ونلاحظ أن كل حد يشتمل كعوامل على عنصر واحد من كل صف وعنصر واحد من كل عمود من المحددات، وجميع المنتجات الممكنة من هذا النوع تدخل في المحدد بعلامة زائد أو ناقص. تُستخدم هذه الخاصية كأساس لتعميم مفهوم المحدد على المصفوفات المربعة من أي ترتيب. وهي: محدد مصفوفة الترتيب المربعة، أو باختصار محدد الترتيب، هو المجموع الجبري لجميع المنتجات الممكنة لعناصر المصفوفة، مأخوذة واحدًا من كل صف وواحدًا من كل عمود، ويتم تجهيز المنتجات الناتجة مع علامات زائد وناقص وفقا لبعض القواعد المحددة جيدا. تم تقديم هذه القاعدة

بطريقة معقدة إلى حد ما، ولن نتوقف عند صياغتها. من المهم أن نلاحظ أنه تم إنشاؤه بطريقة تضمن الخاصية الأساسية الأكثر أهمية للمحدد:

1. عند إعادة ترتيب صفين، تشير التغييرات المحددة إلى الصف المقابل.

بالنسبة لمحدد الأمرين الثاني والثالث، يمكن التحقق من هذه الخاصية بسهولة عن طريق الحساب المباشر. وعلى العموم فإنه يثبت على أساس قاعدة العلامات التي لم نصيغها هنا.

تحتوي المحددات على عدد من الخصائص الرائعة الأخرى التي تجعل من الممكن استخدام المحددات بنجاح في مجموعة متنوعة من الحسابات النظرية والعددية، على الرغم من التعقيد الشديد للمحدد: بعد كل شيء، يحتوي المحدد من الدرجة n، كما هو واضح، على مصطلحات، ويتكون كل مصطلح من عوامل والمصطلحات مجهزة بعلامات وفقا لبعض القواعد المعقدة.

ننتقل إلى سرد الخصائص الرئيسية للمحددات، دون الخوض في الأدلة التفصيلية الخاصة بها.

لقد تم بالفعل صياغة أول هذه الخصائص أعلاه.

2. لا يتغير المحدد عند تبديل مصفوفته، أي عند استبدال الصفوف بالأعمدة مع الحفاظ على النظام.

ويعتمد البرهان على دراسة تفصيلية لقواعد وضع العلامات في مصطلحات المحدد. تتيح هذه الخاصية إمكانية نقل أي عبارة تتعلق بصفوف المحدد إلى الأعمدة.

3. المحدد هو دالة خطية لعناصر أي من صفوفه (أو أعمدةه). المزيد من التفاصيل

حيث تمثل التعبيرات التي لا تعتمد على عناصر السلسلة.

من الواضح أن هذه الخاصية تنبع من حقيقة أن كل حد يحتوي على عامل واحد فقط من كل صف على وجه الخصوص.

تسمى المساواة (5) بتوسيع المحدد إلى عناصر السلسلة، وتسمى المعاملات بالمكملات الجبرية للعناصر الموجودة في المحدد.

4. المكمل الجبري لعنصر ما يساوي، حتى الإشارة، ما يسمى بالمحدد الأصغر، أي المحدد

نسبة الترتيب التي يتم الحصول عليها من أمر معين عن طريق حذف صف وعمود. للحصول على المتممة الجبرية يجب أخذ القاصر مع الإشارة. تعمل الخاصيتان 3 و4 على تقليل حساب محددات الأمر إلى حساب محددات الأمر

يتبع عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام للمحددات من الخصائص الأساسية المذكورة. دعونا قائمة بعض منهم.

5. المحدد ذو الخطين المتطابقين يساوي رصاصة.

وبالفعل، إذا كان للمحدد صفين متطابقين، فعند إعادة ترتيبهما، لا يتغير المحدد، لأن الصفوف متطابقة، ولكن في نفس الوقت، بسبب الخاصية الأولى، تتغير إشارته إلى العكس. ولذلك فهو يساوي الصفر.

مجموع منتجات عناصر أي صف والمكملات الجبرية لصف آخر هو صفر.

في الواقع، مثل هذا المجموع هو نتيجة مفكوك محدد يحتوي على صفين متطابقين في أحدهما.

يمكن إخراج العامل المشترك لعناصر أي صف من علامة المحدد.

وهذا يتبع من الخاصية 3.

8. المحدد ذو الصفين المتناسبين يساوي صفرًا.

ويكفي إزالة عامل التناسب، وسنحصل على محدد بخطين متساويين.

9. لا يتغير المحدد إذا أضيفت أرقام متناسبة مع عناصر صف آخر إلى عناصر صف آخر.

وبالفعل، بحكم الخاصية 3، المحدد المحول: يساوي مجموع المحدد الأصلي للمحدد بصفين متناسبين، وهو ما يساوي صفرًا.

توفر الخاصية الأخيرة وسيلة جيدة لحساب المحددات. باستخدام هذه الخاصية، يمكنك، دون تغيير قيمة المحدد، تحويل مصفوفته بحيث تكون جميع العناصر في أي صف (أو عمود) باستثناء عنصر واحد مساوية للصفر. بعد ذلك، بعد توسيع المحدد ليشمل عناصر هذا الصف (العمود)، نقوم بتقليل حساب محدد الترتيب إلى حساب محدد واحد للترتيب، وهو المكمل الجبري للعنصر الوحيد غير الصفري في الصف المحدد .