أين
هي أعداد حقيقية، و - حرف خاص يسمى وحدة خيالية . بالنسبة للوحدة الوهمية، بحكم التعريف يفترض ذلك
.

(4.1) – شكل جبري عدد مركب، و
مُسَمًّى الجزء الحقيقي عدد مركب، و
-الجزء الخيالي .

رقم
مُسَمًّى المكورات معقدة إلى الرقم
.

دعونا نعطي رقمين معقدين
,
.

1. كمية
ارقام مركبة و يسمى عددا مركبا

2. بالفارق
ارقام مركبة و يسمى عددا مركبا

3. العمل
ارقام مركبة و يسمى عددا مركبا

4. خاص من قسمة عدد مركب إلى عدد معقد
يسمى عددا مركبا

.

ملاحظة 4.1. أي أن العمليات على الأعداد المركبة يتم تقديمها وفقًا للقواعد المعتادة للعمليات الحسابية على التعبيرات الحرفية في الجبر.

مثال 4.1.يتم إعطاء أرقام معقدة. يجد

.

حل. 1) .

4) بضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام نحصل على

شكل مثلثي عدد مركب:

أين
- معامل العدد المركب،
هي حجة عدد مركب. ركن محددة بشكل غامض، تصل إلى مصطلح
:

,
.

- القيمة الرئيسية للحجة التي يحددها الشرط

، (أو
).

شكل توضيحي عدد مركب:

.

جذر
قوة العدد لقد قيم مختلفة، والتي تم العثور عليها بواسطة الصيغة

,

أين
.

النقاط المقابلة للقيم
، هي رؤوس الصحيح
مربع منقوش في دائرة نصف قطرها
مع المركز في الأصل.

مثال 4.2.البحث عن جميع القيم الجذرية
.

حل.دعونا نتخيل عددا معقدا
في الشكل المثلثي:

,

، أين
.

ثم
. لذلك، وفقا للصيغة (4.2)
له أربعة معاني:

,
.

الاعتقاد
، نجد

,
,

, .

هنا قمنا بتحويل قيم الوسيطة إلى قيمتها الأساسية.

مجموعات على المستوى المعقد

عدد مركب
يصور على متن الطائرة
نقطة
مع الإحداثيات
. وحدة
والحجة
تتوافق مع الإحداثيات القطبية للنقطة
.

ومن المفيد أن نتذكر عدم المساواة
يحدد دائرة مركزها عند نقطة نصف القطر . عدم المساواة
يحدد نصف المستوى الموجود على يمين الخط المستقيم
، وعدم المساواة
- نصف المستوى يقع فوق الخط المستقيم
. وبالإضافة إلى ذلك، نظام عدم المساواة
يحدد الزاوية بين الأشعة
و
صادرة عن الأصل.

مثال 4.3.ارسم المساحة المحددة بالمتباينات:
.

حل.المتباينة الأولى تقابل حلقة مركزها عند النقطة
ونصفي القطر 1 و 2، لا يتم تضمين الدوائر في المنطقة (الشكل 4.1).

المتباينة الثانية تقابل الزاوية بين الشعاعين
(منصف زاوية الإحداثيات الرابعة) و
(اتجاه المحور الإيجابي
). الأشعة نفسها لا تدخل المنطقة (الشكل 4.2).

المنطقة المطلوبة هي تقاطع المنطقتين اللتين تم الحصول عليهما (الشكل 4.3)

4.2. وظائف متغير معقد

دع الدالة ذات القيمة الواحدة
محددة ومستمرة في المنطقة
، أ - منحنى موجه سلس ومغلق أو غير مغلق
. دعونا، كالعادة،
،، أين
,
- الوظائف الحقيقية للمتغيرات و .

حساب تكامل الدالة
متغير معقد يقلل من حساب التكاملات المنحنية المعتادة، وهي

.

إذا كانت الوظيفة
التحليلية في مجال متصل ببساطة
، تحتوي على نقاط و ، فإن صيغة نيوتن-لايبنتز تحمل:

,

أين
- بعض المشتقات العكسية للوظيفة
، إنه
في المنطقة
.

في تكاملات دوال متغير معقد، يمكن إجراء تغيير في المتغير، والتكامل بالأجزاء يشبه الطريقة التي يتم بها حساب تكاملات دوال متغير حقيقي.

لاحظ أيضًا أنه إذا كان مسار التكامل جزءًا من خط منبثق من نقطة ما أو جزء من دائرة مركزها نقطة ما ، فمن المفيد إجراء استبدال متغير للنموذج
. في الحالة الأولى
، أ - متغير التكامل الحقيقي. في الحالة الثانية
، أ - متغير التكامل الحقيقي.

مثال 4.4.احسب
بواسطة القطع المكافئ
من النقطة
الى حد، الى درجة
(الشكل 4.4).

حل.دعونا نعيد كتابة التكامل في النموذج ثم , . لنطبق الصيغة (4.3): لأن ، الذي - التي , . لهذا

مثال 4.5.حساب التكامل
، أين - قوس الدائرة
,
(الشكل 4.5) .

حل.دعنا نقول ، ثم , , . نحن نحصل:

وظيفة
، ذات قيمة مفردة وتحليلية في الحلقة
، تتحلل في هذه الحلقة إلى سلسلة لوران

في الصيغة (4.5) السلسلة
مُسَمًّى الجزء الرئيسي مسلسل لوران والمسلسل
مُسَمًّى الجزء الصحيح سلسلة لوران.

التعريف 4.1. نقطة مُسَمًّىنقطة مفردة معزولة المهام
، إذا كان هناك حي لهذه النقطة التي تكون فيها الوظيفة
تحليلية في كل مكان باستثناء النقطة نفسها .

وظيفة
في محيط نقطة ما يمكن توسيعها إلى سلسلة لوران. في هذه الحالة، ثلاث حالات مختلفة ممكنة عند سلسلة لوران:

1) لا يحتوي على مصطلحات ذات قوى اختلاف سلبية
، إنه

(سلسلة لوران لا تحتوي على الجزء الرئيسي). في هذه الحالة مُسَمًّى نقطة مفردة قابلة للإزالة المهام
;

2) يحتوي على عدد محدود من المصطلحات ذات قوى الاختلاف السلبية
، إنه

,

و
. في هذه الحالة النقطة مُسَمًّى قطب النظام المهام
;

3) يحتوي على عدد لا نهائي من المصطلحات ذات القوى السلبية:

.

في هذه الحالة النقطة مُسَمًّى في الأساس نقطة خاصة المهام
.

عند تحديد طابع نقطة مفردة معزولة، ليس من الضروري البحث عن توسعة سلسلة لوران. يمكنك استخدام خصائص مختلفة للنقاط المفردة المعزولة.

1) هي نقطة مفردة قابلة للإزالة للوظيفة
إذا كان هناك حد محدود للدالة
عند هذه النقطة :

.

2) هو قطب الدالة
، لو

.

3) هي نقطة فريدة من الدالة
، إذا كان في
الدالة ليس لها حد، لا منتهية ولا لا نهائية.

التعريف 4.2. نقطة مُسَمًّىصفر
الطلب الأول (أو التعدد ) المهام
، إذا تم استيفاء الشروط التالية:

…,

.

ملاحظة 4.2. نقطة إذا وفقط إذا كان صفراً
الطلب الأول المهام
، عندما تكون المساواة في بعض الأحياء في هذه النقطة

,

أين هي الوظيفة
تحليلية عند نقطة ما و

4) نقطة هو قطب النظام (
) المهام
، إذا كانت هذه النقطة هي صفر النظام للوظيفة
.

5) دع - نقطة مفردة معزولة للدالة
، أين
- وظائف تحليلية عند نقطة ما . ودع هذه النقطة هو صفر النظام المهام
والنظام صفر المهام
.

في
نقطة هو قطب النظام
المهام
.

في
نقطة هي نقطة مفردة قابلة للإزالة للوظيفة
.

مثال 4.6.البحث عن النقاط المعزولة وتحديد نوعها لوظيفة ما
.

حل.المهام
و
- تحليلي في المستوى المعقد بأكمله. وهذا يعني أن النقاط المفردة للوظيفة
هي أصفار المقام، أي النقاط التي
. هناك عدد لا نهائي من هذه النقاط. أولا وقبل كل شيء، هذه هي النقطة
وكذلك النقاط التي تحقق المعادلة
. من هنا
و
.

النظر في هذه النقطة
. عند هذه النقطة نحصل على:

,
,

,
.

ترتيب الصفر هو
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

لذا، الفترة
هو قطب من الدرجة الثانية (
).

. ثم

,
.

ترتيب البسط صفر هو
.

,
,
.

ترتيب صفر للمقام هو
. ولذلك النقاط
في
هما أقطاب من الدرجة الأولى ( أقطاب بسيطة ).

نظرية 4.1. (نظرية كوشي على المخلفات ). إذا كانت الوظيفة
هو تحليلي على الحدود منطقة
وفي كل مكان داخل المنطقة، باستثناء عدد محدود من النقاط المفردة
، الذي - التي

.

عند حساب التكاملات، من المفيد إيجاد جميع النقاط الفردية للدالة بعناية
، ثم ارسم الخطوط الكنتورية والنقاط المفردة، وبعد ذلك حدد فقط النقاط التي تقع داخل كفاف التكامل. غالبًا ما يكون اتخاذ القرار الصحيح بدون صورة أمرًا صعبًا.

طريقة حساب الخصم
يعتمد على نوع النقطة المفردة. ولذلك، قبل حساب البقايا، تحتاج إلى تحديد نوع النقطة المفردة.

1) بقية الدالة عند نقطة ما يساوي معامل ناقص الدرجة الأولى في مفكوك لوران
في محيط نقطة ما :

.

ينطبق هذا البيان على جميع أنواع النقاط المعزولة، وبالتالي ليس من الضروري في هذه الحالة تحديد نوع النقطة المفردة.

2) البقايا عند نقطة مفردة قابلة للإزالة تساوي الصفر.

3) إذا هو قطب بسيط (قطب من الدرجة الأولى)، والوظيفة
يمكن تمثيلها في النموذج
، أين
,
(لاحظ أنه في هذه الحالة
)، ثم الباقي عند هذه النقطة يساوي

.

على وجه الخصوص، إذا
، الذي - التي
.

4) إذا - قطب بسيط إذن

5) إذا - عمود
وظيفة الترتيب
، الذي - التي

مثال 4.7.حساب التكامل
.

حل.إيجاد النقاط المفردة للتكامل . وظيفة لديه نقطتين المفرد و نقطة واحدة فقط تقع داخل الكفاف (الشكل 4.6). نقطة - قطب من الدرجة الثانية منذ ذلك الحين هو صفر من مضاعفات 2 للدالة .

ثم باستخدام الصيغة (4.7) نجد الباقي عند هذه النقطة:

بواسطة نظرية 4.1 نجد

وظائف متغير معقد.
التمايز بين وظائف المتغير المعقد.

تفتح هذه المقالة سلسلة من الدروس التي سأتناول فيها المشكلات النموذجية المتعلقة بنظرية وظائف المتغير المعقد. لإتقان الأمثلة بنجاح، يجب أن يكون لديك معرفة أساسية بالأعداد المركبة. من أجل توحيد المواد وتكرارها، ما عليك سوى زيارة الصفحة. سوف تحتاج أيضا إلى المهارات اللازمة للعثور عليها المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية . ها هي هذه المشتقات الجزئية... حتى الآن كنت مندهشًا قليلاً من عدد مرات حدوثها...

الموضوع الذي بدأنا في فحصه لا يمثل أي صعوبات خاصة، وفي وظائف المتغير المعقد، من حيث المبدأ، كل شيء واضح ويمكن الوصول إليه. الشيء الرئيسي هو الالتزام بالقاعدة الأساسية التي استنتجتها تجريبياً. واصل القراءة!

مفهوم دالة المتغير المعقد

أولاً، دعونا نجدد معرفتنا حول وظيفة المدرسة لمتغير واحد:

دالة متغيرة واحدةهي القاعدة التي بموجبها تتوافق كل قيمة للمتغير المستقل (من مجال التعريف) مع قيمة واحدة فقط للدالة. وبطبيعة الحال، "x" و"y" هي أعداد حقيقية.

في الحالة المعقدة، يتم تحديد الاعتماد الوظيفي بالمثل:

دالة ذات قيمة واحدة لمتغير معقد- هذه هي القاعدة التي يتبعها الجميع شاملقيمة المتغير المستقل (من مجال التعريف) تقابل واحدا فقط شاملقيمة الوظيفة. تأخذ النظرية أيضًا في الاعتبار متعدد القيم وبعض أنواع الوظائف الأخرى، ولكن للتبسيط سأركز على تعريف واحد.

ما هو الفرق بين وظيفة متغيرة معقدة؟

الفرق الرئيسي: الأعداد المركبة. أنا لا أسخر. غالبًا ما تترك مثل هذه الأسئلة الناس في ذهول؛ وفي نهاية المقال سأخبرك بقصة مضحكة. في الدرس الأعداد المركبة للدمى لقد نظرنا في عدد مركب في النموذج . ومنذ الآن أصبح الحرف "z". عامل، فسنشير إليها على النحو التالي: بينما يمكن أن يكون "x" و"y" مختلفين صالحالمعاني. بشكل تقريبي، تعتمد وظيفة المتغير المعقد على المتغيرات و، والتي تأخذ قيمًا "عادية". والنقطة التالية تنبع منطقيا من هذه الحقيقة:

يمكن كتابة دالة المتغير المركب على النحو التالي:
، حيث وهما وظيفتان لاثنين صالحالمتغيرات.

يتم استدعاء الدالة الجزء الحقيقيالمهام
يتم استدعاء الدالة الجزء الخياليالمهام

أي أن دالة المتغير المركب تعتمد على وظيفتين حقيقيتين و. لتوضيح كل شيء أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على الأمثلة العملية:

مثال 1

حل:كما تتذكرون فإن المتغير المستقل "zet" يُكتب على الصورة:

(١) قمنا بالاستبدال.

(2) بالنسبة للفصل الأول، تم استخدام صيغة الضرب المختصرة. في المصطلح، تم فتح الأقواس.

(٣) أي تربيعه بعناية، دون أن ننسى ذلك

(4) إعادة ترتيب المصطلحات: أولا نعيد كتابة المصطلحات ، حيث لا توجد وحدة وهمية(المجموعة الأولى)، ثم المصطلحات التي توجد بها (المجموعة الثانية). تجدر الإشارة إلى أن خلط المصطلحات ليس ضروريًا، ويمكن تخطي هذه الخطوة (عن طريق القيام بذلك شفهيًا فعليًا).

(5) بالنسبة للمجموعة الثانية نخرجها من الأقواس.

ونتيجة لذلك، أصبحت الدالة ممثلة في النموذج

إجابة:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة.
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

ما نوع الوظائف التي تحولت إليها هذه؟ الوظائف الأكثر شيوعًا لمتغيرين يمكنك من خلالها العثور على مثل هذه الشعبية المشتقات الجزئية . وبدون رحمة سوف نجدها. ولكن بعد ذلك بقليل.

باختصار، يمكن كتابة خوارزمية المشكلة التي تم حلها على النحو التالي: نستبدل في الوظيفة الأصلية، ونجري التبسيطات ونقسم جميع الحدود إلى مجموعتين - بدون وحدة وهمية (جزء حقيقي) وبوحدة وهمية (جزء وهمي) .

مثال 2

أوجد الجزء الحقيقي والتخيلي من الدالة

هذا مثال عليك حله بنفسك. قبل أن تندفع إلى المعركة على المستوى المعقد مع رسم قطع الداما، دعني أقدم لك أهم نصيحة حول هذا الموضوع:

احرص!عليك أن تكون حذرًا، بالطبع، في كل مكان، ولكن في الأعداد المركبة يجب أن تكون أكثر حذرًا من أي وقت مضى! تذكر أنه، فتح الأقواس بعناية، لا تفقد أي شيء. حسب ملاحظاتي فإن الخطأ الأكثر شيوعاً هو فقدان الإشارة. لا تتسرع!

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

الآن المكعب. باستخدام صيغة الضرب المختصرة نستنتج:
.

الصيغ مريحة للغاية للاستخدام في الممارسة العملية، لأنها تسرع بشكل كبير عملية الحل.

التمايز بين وظائف المتغير المعقد.

لدي خبران: جيد وسيئ. سأبدأ بالفكرة الجيدة. بالنسبة لدالة ذات متغير معقد، تكون قواعد التمايز وجدول مشتقات الوظائف الأولية صالحة. وبالتالي، يتم أخذ المشتقة بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة دالة المتغير الحقيقي.

الخبر السيئ هو أنه بالنسبة للعديد من الدوال المتغيرة المعقدة لا يوجد مشتق على الإطلاق، وعليك معرفة ذلك هل هو قابل للتمييزوظيفة واحدة أو أخرى. و"معرفة" ما يشعر به قلبك يرتبط بمشاكل إضافية.

دعونا نفكر في وظيفة المتغير المعقد. لكي تكون هذه الوظيفة قابلة للتفاضل، من الضروري والكافي:

1) وجود مشتقات جزئية من الدرجة الأولى. انسَ هذه الرموز على الفور، لأنه في نظرية وظائف المتغير المعقد يتم استخدام رموز مختلفة بشكل تقليدي: .

2) لتحقيق ما يسمى شروط كوشي ريمان:

فقط في هذه الحالة سيكون المشتق موجودًا!

مثال 3

حلوتنقسم إلى ثلاث مراحل متتالية:

1) دعونا نجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. لقد تمت مناقشة هذه المهمة في الأمثلة السابقة، لذا سأكتبها دون تعليق:

منذ ذلك الحين:

هكذا:

- الجزء التخيلي من الوظيفة .

اسمحوا لي أن أتطرق إلى نقطة فنية أخرى: بأي ترتيباكتب المصطلحات في الجزأين الحقيقي والتخيلي؟ نعم، من حيث المبدأ، لا يهم. على سبيل المثال، الجزء الحقيقي يمكن كتابته على النحو التالي: ، والتخيلي – هكذا: .

2) دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. هناك اثنان منهم.

لنبدأ بالتحقق من الحالة. نجد المشتقات الجزئية :

وبذلك يكون الشرط مكتملاً.

بالطبع، الخبر السار هو أن المشتقات الجزئية تكون دائمًا بسيطة جدًا.

ونتحقق من تحقق الشرط الثاني:

والنتيجة واحدة ولكن بإشارات متضادة، أي أن الشرط قد تحقق أيضاً.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان، وبالتالي فإن الدالة قابلة للاشتقاق.

3) دعونا نجد مشتقة الدالة. المشتق أيضًا بسيط جدًا ويتم العثور عليه وفقًا للقواعد المعتادة:

تعتبر الوحدة التخيلية ثابتة أثناء التمايز.

إجابة: - الجزء الحقيقي، - الجزء الخيالي.
تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

هناك طريقتان أخريان للعثور على المشتقة، بالطبع، يتم استخدامهما بشكل أقل تكرارًا، لكن المعلومات ستكون مفيدة لفهم الدرس الثاني - كيفية العثور على وظيفة لمتغير معقد؟

يمكن العثور على المشتق باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

هكذا

يتعين علينا حل المشكلة العكسية - في التعبير الناتج نحتاج إلى عزل . وللقيام بذلك لا بد من ما يلي في المصطلحات وخارج القوسين:

الإجراء العكسي، كما لاحظ الكثيرون، هو أكثر صعوبة في التحقق منه، فمن الأفضل دائمًا أخذ التعبير في مسودة أو فتح الأقواس شفهيًا، والتأكد من أن النتيجة صحيحة؛

صيغة المرآة لإيجاد المشتق:

في هذه الحالة: ، لهذا السبب:

مثال 4

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. إذا تحققت شروط كوشي-ريمان، فأوجد مشتقة الدالة.

حل قصير وعينة تقريبية للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

هل شروط كوشي-ريمان مستوفاة دائمًا؟ ومن الناحية النظرية، لا يتم الوفاء بها في كثير من الأحيان أكثر مما يتم الوفاء بها. لكن في الأمثلة العملية، لا أتذكر الحالة التي لم يتم فيها استيفاءها =) وبالتالي، إذا كانت مشتقاتك الجزئية "لا تتقارب"، فمن المحتمل جدًا أن تقول أنك ارتكبت خطأً في مكان ما.

دعونا تعقيد وظائفنا:

مثال 5

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. احسب

حل:تم الحفاظ على خوارزمية الحل بالكامل، ولكن في النهاية ستتم إضافة نقطة جديدة: العثور على المشتق عند نقطة ما. بالنسبة للمكعب، تم بالفعل اشتقاق الصيغة المطلوبة:

دعونا نحدد الأجزاء الحقيقية والتخيلية لهذه الوظيفة:

الاهتمام والاهتمام مرة أخرى!

منذ ذلك الحين:


هكذا:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

التحقق من الشرط الثاني:

والنتيجة واحدة ولكن بإشارات متضادة، أي أن الشرط قد تحقق أيضاً.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان وبالتالي فإن الدالة قابلة للاشتقاق:

لنحسب قيمة المشتق عند النقطة المطلوبة:

إجابة:،، تم استيفاء شروط كوشي-ريمان،

تعد الوظائف ذات المكعبات شائعة، لذا إليك مثال لتعزيزها:

مثال 6

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. احسب.

الحل ومثال الإنهاء في نهاية الدرس.

في نظرية التحليل المعقد، يتم أيضًا تعريف الوظائف الأخرى للوسيطة المعقدة: الأس، والجيب، وجيب التمام، وما إلى ذلك. تتمتع هذه الوظائف بخصائص غير عادية وحتى غريبة - وهذا مثير للاهتمام حقًا! أريد حقًا أن أخبرك، ولكن هنا، كما يحدث، ليس كتابًا مرجعيًا أو كتابًا مدرسيًا، ولكنه كتاب حلول، لذلك سأفكر في نفس المشكلة مع بعض الوظائف الشائعة.

أولا عن ما يسمى صيغ أويلر:

لأي احد صالحالأرقام، الصيغ التالية صالحة:

يمكنك أيضًا نسخه إلى دفتر ملاحظاتك كمواد مرجعية.

بالمعنى الدقيق للكلمة، هناك صيغة واحدة فقط، ولكن عادة ما يكتبون حالة خاصة مع ناقص في الأس من أجل الراحة. لا يجب أن تكون المعلمة حرفًا واحدًا؛ يمكن أن تكون تعبيرًا أو وظيفة معقدة، من المهم فقط قبولها صالحة فقطالمعاني. في الواقع سنرى هذا الآن:

مثال 7

أوجد المشتقة.

حل:يظل الخط العام للحزب ثابتًا - من الضروري التمييز بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة. سأقدم حلاً مفصلاً وأعلق على كل خطوة أدناه:

منذ ذلك الحين:

(1) استبدل "z" بدلاً من ذلك.

(2) بعد الاستبدال، عليك تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية الأول في المؤشرالعارضين. للقيام بذلك، افتح الأقواس.

(3) نقوم بتجميع الجزء التخيلي من المؤشر، مع وضع الوحدة التخيلية خارج القوسين.

(4) نستخدم الفعل المدرسي بالدرجات.

(5) بالنسبة للمضاعف نستخدم صيغة أويلر، و.

(6) افتح القوسين فينتج:

- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

المزيد من الإجراءات هي المعيار، دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

مثال 9

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. فليكن، لن نجد المشتقة.

حل:خوارزمية الحل مشابهة جدًا للمثالين السابقين، لكن هناك نقاط مهمة جدًا، لذا سأعلق مرة أخرى على المرحلة الأولية خطوة بخطوة:

منذ ذلك الحين:

1) استبدل "z" بدلاً من ذلك.

(2) أولا نختار الأجزاء الحقيقية والتخيلية داخل الجيوب الأنفية. ولهذه الأغراض، نفتح الأقواس.

(3) نستخدم الصيغة و .

(4) الاستخدام تكافؤ جيب التمام الزائدي: و شذوذ الجيب الزائدي: . القطع الزائد، على الرغم من أنها خارج هذا العالم، إلا أنها تذكرنا من نواحٍ عديدة بالدوال المثلثية المماثلة.

مؤخراً:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

انتباه!علامة الطرح تشير إلى الجزء التخيلي، ولا يجب أن نفقده تحت أي ظرف من الظروف! للحصول على توضيح واضح، يمكن إعادة كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه على النحو التالي:

دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

إجابة:،، تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

أيها السيدات والسادة، دعونا نكتشف ذلك بأنفسنا:

مثال 10

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان.

لقد اخترت عمدا أمثلة أكثر صعوبة، لأنه يبدو أن الجميع قادرون على التعامل مع شيء ما، مثل الفول السوداني المقشر. وفي الوقت نفسه، سوف تدرب انتباهك! كسارة البندق في نهاية الدرس.

حسنًا، في الختام، سأتناول مثالًا آخر مثيرًا للاهتمام عندما تكون هناك سعة معقدة في المقام. لقد حدث ذلك عدة مرات في الممارسة العملية، دعونا نلقي نظرة على شيء بسيط. ها أنا أتقدم في السن..

مثال 11

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان.

حل:مرة أخرى، من الضروري التمييز بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة.
اذا ثم

السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل عندما يكون "Z" في المقام؟

كل شيء بسيط - المعيار سوف يساعد طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق، لقد تم استخدامه بالفعل في أمثلة الدرس الأعداد المركبة للدمى . دعونا نتذكر صيغة المدرسة. لدينا بالفعل في المقام، مما يعني أن التعبير المترافق سيكون . وبالتالي، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في:

الوكالة الفيدرالية للتعليم

___________________________________

ولاية سانت بطرسبرغ

الجامعة الكهروتقنية "LETI"

_______________________________________

نظرية وظائف المتغير المعقد

القواعد الارشادية

إلى الفصول العملية

في الرياضيات العليا

سان بطرسبورج

دار النشر SPbSETU "LETI"

يو دي سي 512.64(07)

TFKP: تعليمات منهجية لحل المشكلات / تم تجميعها بواسطة: V. G. Dyumin، A. M. Kotochigov، N. N. سانت بطرسبرغ: دار النشر بجامعة سانت بطرسبرغ الحكومية الكهروتقنية "LETI"، 2010. 32 ص.

موافقة

مجلس التحرير والنشر بالجامعة

كمبادئ توجيهية

© SPbSETU "ليتي"، 2010

وظائف المتغير المعقد، في الحالة العامة، تختلف عن تعيينات المستوى الحقيقي
في حد ذاته فقط من خلال شكل التسجيل. كائن مهم ومفيد للغاية هو فئة وظائف المتغير المعقد،

لها نفس المشتقة مثل وظائف متغير واحد. من المعروف أن دوال عدة متغيرات يمكن أن يكون لها مشتقات جزئية ومشتقات اتجاهية، ولكن كقاعدة عامة، لا تتطابق المشتقات في اتجاهات مختلفة، ولا يمكن الحديث عن المشتق عند نقطة ما. ومع ذلك، بالنسبة لوظائف المتغير المعقد، من الممكن وصف الظروف التي تسمح فيها بالتمايز. دراسة خصائص الوظائف القابلة للتفاضل لمتغير معقد هي محتوى التعليمات المنهجية. تهدف التعليمات إلى توضيح كيفية استخدام خصائص هذه الوظائف لحل مجموعة متنوعة من المشكلات. إن الإتقان الناجح للمواد المقدمة مستحيل دون المهارات الأساسية في العمليات الحسابية ذات الأعداد المركبة والإلمام بأبسط الكائنات الهندسية، المحددة من حيث عدم المساواة التي تربط الأجزاء الحقيقية والخيالية للرقم المركب، وكذلك معامله ووسيطه. يمكن العثور على ملخص لجميع المعلومات اللازمة لذلك في الإرشادات.

الجهاز القياسي للتحليل الرياضي: النهايات والمشتقات والتكاملات والمتسلسلات يستخدم على نطاق واسع في نص الإرشادات. عندما يكون لهذه المفاهيم تفاصيلها الخاصة، بالمقارنة مع وظائف متغير واحد، يتم تقديم التفسيرات المناسبة، ولكن في معظم الحالات يكفي فصل الأجزاء الحقيقية والخيالية وتطبيق الجهاز القياسي للتحليل الحقيقي عليها.

1. الوظائف الأولية لمتغير معقد

من الطبيعي أن نبدأ مناقشة شروط التمييز بين وظائف المتغير المعقد من خلال معرفة الوظائف الأولية التي تمتلك هذه الخاصية. من العلاقة الواضحة

ويترتب على ذلك أن أي كثيرة الحدود قابلة للاشتقاق. وبما أنه يمكن اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بعد حد ضمن دائرة تقاربها،

عندها تكون أي دالة قابلة للاشتقاق عند النقاط المجاورة التي يمكن توسيعها في سلسلة تايلور. وهذا شرط كاف، ولكنه ضروري أيضا، كما سيتضح قريبا. من الملائم دعم دراسة دوال متغير واحد فيما يتعلق بمشتقاتها من خلال مراقبة سلوك الرسم البياني للدالة. هذا غير ممكن لوظائف المتغير المعقد. تقع نقاط الرسم البياني في مساحة البعد 4.

ومع ذلك، يمكن الحصول على بعض التمثيل البياني للدالة من خلال النظر في صور مجموعات بسيطة إلى حد ما في المستوى المعقد
، الناشئة تحت تأثير وظيفة معينة. على سبيل المثال، دعونا نفكر في عدة وظائف بسيطة من وجهة النظر هذه.

دالة خطية

هذه الوظيفة البسيطة مهمة جدًا، نظرًا لأن أي دالة قابلة للاشتقاق تشبه محليًا دالة خطية. دعونا نفكر في عمل الوظيفة بأقصى قدر من التفاصيل

هنا
- معامل العدد المركب و - حجته. وبالتالي، فإن الوظيفة الخطية تؤدي التمدد والدوران والترجمة. ولذلك، فإن التعيين الخطي يأخذ أي مجموعة إلى مجموعة مماثلة. على وجه الخصوص، تحت تأثير رسم الخرائط الخطية، تتحول الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة، والدوائر إلى دوائر.

وظيفة

هذه الوظيفة هي التالية الأكثر تعقيدًا بعد الخطية. ومن الصعب أن نتوقع أنها ستحول أي خط إلى خط مستقيم، والدائرة إلى دائرة؛ ومن الأمثلة البسيطة أن ذلك لا يحدث، ولكن يمكن إثبات أن هذه الدالة تحول مجموعة جميع الخطوط والدوائر إلى دائرة؛ بحد ذاتها. للتحقق من ذلك، من المناسب الانتقال إلى الوصف الحقيقي (الإحداثي) للرسم

يتطلب الدليل وصفًا للرسم العكسي

النظر في المعادلة إذا
، ثم نحصل على المعادلة العامة للخط. لو
، الذي - التي

لذلك متى
يتم الحصول على معادلة الدائرة التعسفية.

لاحظ أنه إذا
و
، ثم تمر الدائرة بنقطة الأصل. لو
و
، ثم تحصل على خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل.

في إطار إجراء الانقلاب، ستتم إعادة كتابة المعادلة قيد النظر في النموذج

, (
)

أو . ويمكن ملاحظة أن هذه أيضًا معادلة تصف الدوائر أو الخطوط المستقيمة. حقيقة المعاملات في المعادلة و
تعني الأماكن المتبادلة أنه أثناء الانقلاب، ستتحول الخطوط المستقيمة التي تمر عبر 0 إلى دوائر، والدوائر التي تمر عبر 0 ستتحول إلى خطوط مستقيمة.

وظائف الطاقة

والفرق الرئيسي بين هذه الوظائف وتلك التي تمت مناقشتها سابقًا هو أنها ليست وظائف فردية (
). يمكننا أن نقول أن الوظيفة
يحول مستوى معقدًا إلى نسختين من نفس المستوى. تتطلب المعالجة الدقيقة لهذا الموضوع استخدام جهاز مرهق لأسطح ريمان ويتجاوز نطاق القضايا التي نتناولها هنا. من المهم أن نفهم أن المستوى المعقد يمكن تقسيمه إلى قطاعات، كل منها يتم تعيينه واحدًا لواحد على المستوى المعقد. هذا هو انهيار الوظيفة
يبدو مثل هذا، على سبيل المثال، يتم تعيين النصف العلوي من المستوى إلى المستوى المعقد من خلال الوظيفة
. يصعب وصف التشوهات الهندسية لمثل هذه الصور مقارنة بحالة الانقلاب. كتمرين، يمكنك تتبع ما تتحول إليه شبكة الإحداثيات المستطيلة للنصف العلوي من المستوى عند العرض

يمكن ملاحظة أن شبكة الإحداثيات المستطيلة تتحول إلى عائلة من القطع المكافئة التي تشكل نظامًا من الإحداثيات المنحنية في المستوى
. تقسيم المستوى الموضح أعلاه هو أن الوظيفة
يعرض كل من القطاعات على المستوى بأكمله. يبدو وصف التعيين الأمامي والخلفي هكذا

وبالتالي فإن الوظيفة
لقد وظائف عكسية مختلفة،

محددة في مختلف قطاعات الطائرة

في مثل هذه الحالات يقال أن التعيين متعدد الأوراق.

وظيفة جوكوفسكي

الوظيفة لها اسمها الخاص، لأنها شكلت أساس نظرية جناح الطائرة التي أنشأها جوكوفسكي (يمكن العثور على وصف لهذا التصميم في الكتاب). تحتوي الدالة على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام، فلنركز على واحدة منها - اكتشف المجموعات التي تعمل فيها هذه الدالة بشكل فردي. النظر في المساواة

، أين
.

وبالتالي، فإن وظيفة Zhukovsky هي واحد لواحد في أي مجال لأي و منتجهم لا يساوي واحدا. هذه، على سبيل المثال، دائرة الوحدة المفتوحة
ومكمل دائرة الوحدة المغلقة
.

خذ بعين الاعتبار عمل دالة جوكوفسكي على الدائرة

وبفصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية، نحصل على المعادلة البارامترية للقطع الناقص

,
.

لو
، فإن هذه الأشكال البيضاوية تملأ المستوى بأكمله. ويمكن التحقق بطريقة مماثلة من أن صور المقاطع هي قطع زائدة

.

الدالة الأسية

يمكن توسيع الدالة إلى متسلسلة قوى متقاربة تمامًا في المستوى المركب بأكمله، وبالتالي فهي قابلة للاشتقاق في كل مكان. دعونا نصف المجموعات التي تكون فيها الدالة واحدًا لواحد. المساواة الواضحة
يوضح أنه يمكن تقسيم المستوى إلى عائلة من الشرائط، يتم تعيين كل منها واحدًا لواحد بواسطة دالة على المستوى المعقد بأكمله. يعد هذا القسم ضروريًا لفهم كيفية عمل الدالة العكسية، أو بشكل أكثر دقة، الدوال العكسية. يوجد على كل شريط خريطة عكسية محددة بشكل طبيعي

والدالة العكسية في هذه الحالة متعددة التكافؤ أيضًا، وعدد الدوال العكسية لا نهائي.

الوصف الهندسي لرسم الخرائط بسيط للغاية: خطوط مستقيمة
تتحول إلى أشعة
، شرائح

تتحول إلى دوائر
.