للعمل مع مفهوم رتبة المصفوفة، سنحتاج إلى معلومات من موضوع "المكملات الجبرية والصغرى. أنواع التكاملات الصغرى والجبرية." بداية، يتعلق هذا بمصطلح "المصفوفة الصغرى"، حيث أننا سنحدد رتبة المصفوفة بدقة من خلال المصفوفة الثانوية.

رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لرتبة صغرها، والتي يوجد منها على الأقل واحد لا يساوي الصفر.

المصفوفات المكافئة- المصفوفات التي تتساوى رتبها مع بعضها البعض.

دعونا نشرح بمزيد من التفصيل. لنفترض أنه من بين القاصرين من الدرجة الثانية يوجد على الأقل واحد يختلف عن الصفر. وجميع الصغار الذين ترتيبهم أعلى من اثنين يساوي صفرًا. الخلاصة: رتبة المصفوفة هي 2. أو مثلا يوجد بين صغرى الدرجة العاشرة واحد على الأقل لا يساوي الصفر. وجميع الصغار الذين ترتيبهم أعلى من ١٠ يساوي صفرًا. الخلاصة: رتبة المصفوفة هي 10.

تتم الإشارة إلى رتبة المصفوفة $A$ على النحو التالي: $\rang A$ أو $r(A)$. يُفترض أن رتبة المصفوفة الصفرية $O$ هي صفر، $\rang O=0$. اسمحوا لي أن أذكرك أنه لتشكيل مصفوفة ثانوية، يجب عليك شطب الصفوف والأعمدة، ولكن من المستحيل شطب عدد أكبر من الصفوف والأعمدة مما تحتويه المصفوفة نفسها. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة $F$ لها حجم $5\times 4$ (أي تحتوي على 5 صفوف و4 أعمدة)، فإن الحد الأقصى لترتيب فروعها هو أربعة. لن يكون من الممكن تشكيل قاصرين من الدرجة الخامسة، لأنهم سيحتاجون إلى 5 أعمدة (ولدينا 4 فقط). وهذا يعني أن رتبة المصفوفة $F$ لا يمكن أن تكون أكثر من أربعة، أي. $\رانج F ≥4$.

بشكل أكثر عمومية، ما ورد أعلاه يعني أنه إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفوف $m$ وأعمدة $n$، فلا يمكن أن يتجاوز ترتيبها أصغر $m$ و$n$، أي. $\رانج A≥\min(m,n)$.

من حيث المبدأ، من تعريف الرتبة، يتبع طريقة العثور عليها. يمكن تمثيل عملية العثور على رتبة المصفوفة، حسب التعريف، بشكل تخطيطي على النحو التالي:

اسمحوا لي أن أشرح هذا المخطط بمزيد من التفصيل. لنبدأ بالتفكير من البداية، أي. من الدرجة الأولى الثانوية لبعض المصفوفة $A$.

1. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (أي عناصر المصفوفة $A$) تساوي الصفر، فإن $\rang A=0$. إذا كان هناك على الأقل واحد من بين القاصرين من الدرجة الأولى لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 1$. دعنا ننتقل إلى التحقق من القاصرين من الدرجة الثانية.
2. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي الصفر، فإن $\rang A=1$. إذا كان هناك واحد على الأقل من بين القاصرين من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 2$. دعنا ننتقل إلى التحقق من القاصرين من الدرجة الثالثة.
3. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي الصفر، فإن $\rang A=2$. إذا كان من بين القاصرين من الدرجة الثالثة هناك واحد على الأقل لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 3$. دعنا ننتقل إلى فحص القاصرين من الدرجة الرابعة.
4. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الرابعة تساوي الصفر، فإن $\rang A=3$. إذا كان هناك واحد على الأقل من بين الصغار من الدرجة الرابعة لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 4$. ننتقل إلى فحص القاصرين من الدرجة الخامسة وما إلى ذلك.

ما الذي ينتظرنا في نهاية هذا الإجراء؟ من الممكن أن يكون هناك على الأقل واحد من بين الرتب الثانوية k يختلف عن الصفر، وجميع الرتب الثانوية (k+1) ستكون مساوية للصفر. وهذا يعني أن k هو الحد الأقصى لترتيب القاصرين، ومن بينهم على الأقل واحد لا يساوي الصفر، أي. ستكون الرتبة مساوية لـ k. قد يكون هناك موقف مختلف: من بين الرتب الثانوية k سيكون هناك على الأقل رتبة ثانوية لا تساوي الصفر، ولكن لن يكون من الممكن بعد الآن تكوين رتبة ثانوية (k+1). في هذه الحالة، رتبة المصفوفة تساوي أيضًا k. باختصار، ترتيب آخر ثانوي غير صفري سيكون مساوياً لرتبة المصفوفة.

دعنا ننتقل إلى الأمثلة التي سيتم فيها توضيح عملية العثور على رتبة المصفوفة، حسب التعريف، بوضوح. اسمحوا لي أن أؤكد مرة أخرى أنه في أمثلة هذا الموضوع سنبدأ في العثور على رتبة المصفوفات باستخدام تعريف الرتبة فقط. وتناقش الطرق الأخرى (حساب رتبة المصفوفة باستخدام طريقة تجاور القاصرين، وحساب رتبة المصفوفة باستخدام طريقة التحويلات الأولية) في المواضيع التالية.

وبالمناسبة، ليس من الضروري على الإطلاق البدء بإجراءات العثور على الرتبة مع القاصرين من الترتيب الأصغر، كما حدث في المثالين رقم 1 ورقم 2. يمكنك الانتقال فورًا إلى القاصرين ذوي الرتب الأعلى (انظر المثال رقم 3).

المثال رقم 1

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

حجم هذه المصفوفة $3\×5$، أي. يحتوي على ثلاثة صفوف وخمسة أعمدة. من بين الرقمين 3 و5، الحد الأدنى هو 3، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة $A$ لا تزيد عن 3، أي. $\رانج A 3$. وهذا عدم المساواة واضح، لأننا لن نتمكن بعد الآن من تكوين صفوف ثانوية من الدرجة الرابعة - فهي تتطلب 4 صفوف، ولدينا 3 صفوف فقط. دعنا ننتقل مباشرة إلى عملية العثور على رتبة مصفوفة معينة.

من بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (أي من بين عناصر المصفوفة $A$) هناك عناصر غير صفرية. على سبيل المثال، 5، -3، 2، 7. بشكل عام، نحن لسنا مهتمين بالعدد الإجمالي للعناصر غير الصفرية. يوجد على الأقل عنصر واحد غير الصفر، وهذا يكفي. نظرًا لوجود ما لا يقل عن صفر واحد بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى، فإننا نستنتج أن $\rang A≥ 1$ وننتقل إلى التحقق من العناصر الثانوية من الدرجة الثانية.

لنبدأ باستكشاف القاصرين من الدرجة الثانية. على سبيل المثال، عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والأعمدة رقم 1 ورقم 4 توجد عناصر من العناصر الثانوية التالية: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|. بالنسبة لهذا المحدد، فإن جميع عناصر العمود الثاني تساوي صفرًا، وبالتالي فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا، أي. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (انظر الخاصية رقم 3 في موضوع خصائص المحددات). أو يمكنك ببساطة حساب هذا المحدد باستخدام الصيغة رقم 1 من القسم الخاص بحساب المحددات من الدرجة الثانية والثالثة:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

وتبين أن أول درجة ثانوية اختبرناها تساوي صفرًا. ماذا يعني هذا؟ حول الحاجة إلى مزيد من الفحص للقاصرين من الدرجة الثانية. إما أن يكونوا جميعًا صفرًا (ومن ثم سيكون الرتبة 1)، أو سيكون هناك قاصر واحد على الأقل يختلف عن الصفر. دعونا نحاول الاختيار الأفضل من خلال كتابة ثانوية من الدرجة الثانية، والتي تقع عناصرها عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والعمودين رقم 1 ورقم 5: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. لنجد قيمة هذا القاصر من الدرجة الثانية:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

وهذا القاصر لا يساوي الصفر. الخلاصة: من بين قاصري الدرجة الثانية هناك على الأقل واحد غير صفر. لذلك $\rang A≥ 2$. نحن بحاجة إلى الانتقال إلى دراسة القاصرين من الدرجة الثالثة.

إذا اخترنا العمود رقم 2 أو العمود رقم 4 لتكوين ثانويات من الدرجة الثالثة، فإن هذه الثانوية ستكون مساوية للصفر (حيث إنها ستحتوي على عمود صفر). يبقى التحقق من قاصر واحد فقط من الدرجة الثالثة، وتقع عناصره عند تقاطع الأعمدة رقم 1، رقم 3، رقم 5 والصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3. فلنكتب هذا القاصر ونجد قيمته:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

إذن، جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا. آخر جزء صغير غير الصفر قمنا بتجميعه كان من الدرجة الثانية. الخلاصة: الحد الأقصى لترتيب العناصر الثانوية، التي يوجد من بينها على الأقل واحد غير صفر، هو 2. وبالتالي، $\rang A=2$.

إجابة: $\رانج أ=2$.

المثال رقم 2

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

لدينا مصفوفة مربعة من الدرجة الرابعة. ولنلاحظ على الفور أن رتبة هذه المصفوفة لا تتجاوز 4، أي. $\رانج A 4$. لنبدأ في العثور على رتبة المصفوفة.

من بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (أي، من بين عناصر المصفوفة $A$) يوجد عنصر واحد على الأقل لا يساوي الصفر، وبالتالي فإن $\rang A≥ 1$. دعنا ننتقل إلى التحقق من القاصرين من الدرجة الثانية. على سبيل المثال، عند تقاطع الصفوف رقم 2 ورقم 3 والعمودين رقم 1 ورقم 2، نحصل على الترتيب الثانوي التالي: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. دعونا نحسبها:

$$\اليسار| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

من بين القاصرين من الدرجة الثانية هناك على الأقل واحد لا يساوي الصفر، لذلك $\rang A≥ 2$.

دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة. لنجد مثلا قاصراً تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 3 ورقم 4 والأعمدة رقم 1 ورقم 2 ورقم 4:

$$\اليسار | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

وبما أن هذا القاصر من الدرجة الثالثة تبين أنه يساوي الصفر، فمن الضروري التحقيق في قاصر آخر من الدرجة الثالثة. إما أن تكون جميعها تساوي صفراً (حينها ستكون الرتبة تساوي 2)، أو يكون بينهم واحد على الأقل لا يساوي صفراً (ثم نبدأ بدراسة صغرى الدرجة الرابعة). لنفكر في ثانوي من الدرجة الثالثة، تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 2، رقم 3، رقم 4 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 4:

$$\اليسار| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

من بين القاصرين من الدرجة الثالثة يوجد على الأقل واحد غير صفري، لذلك $\rang A≥ 3$. دعنا ننتقل إلى فحص القاصرين من الدرجة الرابعة.

يقع أي فرع ثانوي من الدرجة الرابعة عند تقاطع أربعة صفوف وأربعة أعمدة من المصفوفة $A$. بمعنى آخر، الترتيب الثانوي الرابع هو محدد المصفوفة $A$، حيث تحتوي هذه المصفوفة على 4 صفوف و4 أعمدة. تم حساب محدد هذه المصفوفة في المثال رقم 2 من موضوع "تقليل ترتيب المحدد. تحليل المحدد في صف (عمود)" ، فلنأخذ النتيجة النهائية فقط:

$$\اليسار| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (صفيف)\يمين|=86. $$

إذن، الدرجة الرابعة الصغرى لا تساوي صفرًا. لم يعد بإمكاننا تكوين قاصرين من الدرجة الخامسة. الخلاصة: أعلى ترتيب للصغرى، والذي يوجد من بينها على الأقل واحد غير الصفر، هو 4. النتيجة: $\rang A=4$.

إجابة: $\رانج أ=4$.

المثال رقم 3

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(مصفوفة) \يمين)$.

دعونا نلاحظ على الفور أن هذه المصفوفة تحتوي على 3 صفوف و4 أعمدة، لذا فإن $\rang A≥ 3$. في الأمثلة السابقة، بدأنا عملية إيجاد الرتبة من خلال النظر في القاصرين من الرتبة الأصغر (الأولى). سنحاول هنا فحص القاصرين على أعلى مستوى ممكن على الفور. بالنسبة للمصفوفة $A$، هذه هي العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة. لنفكر في ثانوي من الدرجة الثالثة، تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 4:

$$\اليسار| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

لذا، فإن أعلى ترتيب للصغرى، والذي يوجد من بينها على الأقل واحد لا يساوي الصفر، هو 3. وبالتالي، فإن رتبة المصفوفة هي 3، أي. $\رانج أ=3$.

إجابة: $\رانج أ=3$.

بشكل عام، يعد العثور على رتبة مصفوفة حسب التعريف، في الحالة العامة، مهمة كثيفة العمالة إلى حد ما. على سبيل المثال، تحتوي المصفوفة الصغيرة نسبيًا ذات الحجم $5\times 4$ على 60 مصفوفة ثانوية من الدرجة الثانية. وحتى لو كان 59 منهم يساوي الصفر، فقد يكون القاصر الستين غير صفر. ثم سيتعين عليك دراسة القاصرين من الدرجة الثالثة، والتي تحتوي هذه المصفوفة على 40 قطعة. عادةً ما يحاولون استخدام أساليب أقل تعقيدًا، مثل طريقة تجاور القاصرين أو طريقة التحويلات المكافئة.

"إذا كنت تريد أن تتعلم السباحة، فادخل الماء بجرأة، وإذا كنت تريد أن تتعلم لحل المشاكل، الذي - التي حلهم.»
د. بوليا (1887-1985)

(عالم رياضيات. ساهم بشكل كبير في نشر الرياضيات. كتب عدة كتب حول كيفية حل المشكلات وكيفية تدريس حل المشكلات.)

النظر في المصفوفة

دعونا نسلط الضوء فيه صفوف كو أعمدة k (ك ≥ (دقيقة (م، ن))). من العناصر الموجودة عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة، سنقوم بتكوين محدد كثطلب. يتم استدعاء كل هذه المحددات القصر من هذه المصفوفة.

دعونا نفكر في جميع العناصر الثانوية المحتملة للمصفوفة أ، يختلف عن الصفر.

رتبة المصفوفة أهي أكبر ترتيب للقاصر غير الصفر في هذه المصفوفة.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة تساوي الصفر، فإن رتبة هذه المصفوفة تؤخذ مساوية للصفر.

يسمى القاصر الذي يحدد ترتيبه رتبة المصفوفة أساسي.

يمكن أن تحتوي المصفوفة على عدة قواعد أساسية.

رتبة المصفوفة أيُشار إليه بـ ص (أ). لو ص(أ)=ص(ب)ثم المصفوفات أو فيوتسمى مقابل. يكتبون أ̴∼ب.

خصائص رتبة المصفوفة:

1. عندما يتم نقل المصفوفة، لا يتغير ترتيبها.
2. إذا قمت بحذف صف (عمود) الصفر من المصفوفة، فلن تتغير رتبة المصفوفة.
3. لا تتغير رتبة المصفوفة أثناء تحويلات المصفوفة الأولية.

ونعني بالتحويلات الأولية:

• إعادة ترتيب صفوف المصفوفة؛
• ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛
• إضافة إلى عناصر سطر ما العناصر المقابلة لها في سطر آخر مضروبة في عدد اختياري.

عند حساب رتبة المصفوفة، يمكن استخدام التحويلات الأولية، وطريقة اختزال المصفوفة إلى شكل تدريجي، وطريقة الحدود الثانوية.

طريقة لتقليل المصفوفة إلى خطوة تدريجيةوالفكرة هي أنه بمساعدة التحولات الأولية يتم تحويل هذه المصفوفة إلى مصفوفة خطوة.

تسمى المصفوفة صعدت ، إذا كان العنصر الأول غير الصفري في كل سطر منه على يمين العنصر السابق (أي يتم الحصول على الخطوات، يجب أن يكون ارتفاع كل خطوة مساويًا لواحد).

أمثلة على المصفوفات الخطوة:

أمثلة على المصفوفات غير الصفية:

مثال: أوجد رتبة المصفوفة:

حل:

دعونا نختصر هذه المصفوفة إلى مصفوفة خطوة باستخدام التحويلات الأولية.

1. قم بتبديل السطرين الأول والثالث.

2. نحصل على أصفار تحت الواحد في العمود الأول.

وبإضافة السطر الأول مضروبًا في (-3) إلى السطر الثاني، والسطر الأول مضروبًا في (-5) إلى السطر الثالث، والسطر الأول مضروبًا في (-3) إلى السطر الرابع، نحصل على

لتوضيح الأماكن الأخرى التي تحتاج إلى الحصول على الأصفار فيها، دعونا نرسم خطوات في المصفوفة. (سيتم تدريج المصفوفة إذا كانت هناك أصفار في كل مكان أسفل الخطوات)

3. بإضافة السطر الثاني مضروبا في (-1) إلى السطر الثالث، والسطر الثاني مضروبا في (-1) إلى السطر الرابع، نحصل على أصفار تحت الخطوات في العمود الثاني.

إذا رسمنا الخطوات مرة أخرى، فسنرى أن المصفوفة متدرجة.

رتبتها هي ص = 3(عدد صفوف مصفوفة الخطوة، في كل منها يختلف عنصر واحد على الأقل عن الصفر). ولذلك، فإن رتبة هذه المصفوفة ص = 3.

يمكن كتابة الحل هكذا:

(الأرقام الرومانية تشير إلى أرقام الأسطر)

الجواب: ص=3.

أمر بسيط ك+1، تحتوي على قاصر من النظام كمُسَمًّى الحدود مع القاصر.

الحدود طريقة ثانويةيعتمد على أن رتبة مصفوفة معينة تساوي ترتيب صغرى من هذه المصفوفة غير الصفر، وجميع العناصر الصغرى المجاورة لها تساوي صفرًا.

تعتبر رتبة المصفوفة خاصية عددية مهمة. المشكلة الأكثر شيوعًا التي تتطلب العثور على رتبة المصفوفة هي التحقق من اتساق نظام المعادلات الجبرية الخطية. في هذه المقالة سنقدم مفهوم رتبة المصفوفة وننظر في طرق العثور عليها. لفهم المادة بشكل أفضل، سنقوم بتحليل الحلول لعدة أمثلة بالتفصيل.

التنقل في الصفحة.

تحديد رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية اللازمة.

قبل التعبير عن تعريف رتبة المصفوفة، يجب أن يكون لديك فهم جيد لمفهوم القاصر، وإيجاد القاصرين للمصفوفة يعني القدرة على حساب المحدد. لذا، إذا لزم الأمر، نوصي بأن تتذكر نظرية المقالة، وطرق إيجاد محدد المصفوفة، وخصائص المحدد.

لنأخذ المصفوفة A من الترتيب. دع k يكون عددًا طبيعيًا لا يتجاوز أصغر الأرقام m و n، أي، .

تعريف.

طلب k ثانويالمصفوفة A هي محدد المصفوفة المربعة ذات الترتيب، والتي تتكون من عناصر المصفوفة A، والتي تقع في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا، ويتم الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A.

بمعنى آخر، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (p–k) والأعمدة (n–k)، ومن العناصر المتبقية قمنا بإنشاء مصفوفة، مع الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A، فإن محدد المصفوفة الناتجة هي ثانوية من الرتبة k للمصفوفة A.

دعونا نلقي نظرة على تعريف المصفوفة الثانوية باستخدام مثال.

النظر في المصفوفة .

دعونا نكتب العديد من العناصر الثانوية من الدرجة الأولى لهذه المصفوفة. على سبيل المثال، إذا اخترنا الصف الثالث والعمود الثاني من المصفوفة A، فإن اختيارنا يتوافق مع مصفوفة ثانوية من الدرجة الأولى . بمعنى آخر، للحصول على هذا القاصر، قمنا بشطب الصفين الأول والثاني، وكذلك الأعمدة الأول والثالث والرابع من المصفوفة A، وقمنا بتكوين محدد من العنصر المتبقي. إذا اخترنا الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة A، فسنحصل على قيمة ثانوية .

دعونا نوضح إجراءات الحصول على القاصرين من الدرجة الأولى
و .

وبالتالي، فإن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة هي عناصر المصفوفة نفسها.

دعونا نعرض العديد من القاصرين من الدرجة الثانية. حدد صفين وعمودين. على سبيل المثال، خذ الصفين الأول والثاني والعمودين الثالث والرابع. بهذا الاختيار لدينا قاصر من الدرجة الثانية . يمكن أيضًا تكوين هذا القاصر عن طريق حذف الصف الثالث والعمودين الأول والثاني من المصفوفة A.

آخر ثانوي من الدرجة الثانية للمصفوفة A هو .

دعونا نوضح بناء هؤلاء القصر من الدرجة الثانية
و .

وبالمثل، يمكن العثور على قاصرين من الدرجة الثالثة للمصفوفة A. نظرًا لوجود ثلاثة صفوف فقط في المصفوفة A، فإننا نختارها جميعًا. إذا اخترنا الأعمدة الثلاثة الأولى من هذه الصفوف، فسنحصل على ثانوية من الدرجة الثالثة

ويمكن أيضًا إنشاؤها عن طريق شطب العمود الأخير من المصفوفة A.

قاصر آخر من الدرجة الثالثة هو

تم الحصول عليها عن طريق حذف العمود الثالث من المصفوفة A.

وهنا صورة توضح بناء هذه القاصرين من الدرجة الثالثة
و .

بالنسبة لمصفوفة معينة A لا توجد رتبة ثانوية أعلى من الثالثة، حيث أن .

ما عدد العناصر الثانوية من الرتبة k الموجودة في المصفوفة A من الرتبة؟

يمكن حساب عدد القصر من الرتبة k كـ حيث و - عدد المجموعات من p إلى k ومن n إلى k على التوالي.

كيفية بناء جميع القاصرين من الرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p بواسطة n؟

سنحتاج إلى العديد من أرقام صفوف المصفوفة والعديد من أرقام الأعمدة. نكتب كل شيء مجموعات من العناصر p بواسطة k(ستتوافق مع الصفوف المحددة من المصفوفة A عند إنشاء رتبة ثانوية من الرتبة k). إلى كل مجموعة من أرقام الصفوف نضيف بشكل تسلسلي جميع مجموعات عناصر n من أرقام الأعمدة k. ستساعد هذه المجموعات من مجموعات أرقام الصفوف وأرقام الأعمدة للمصفوفة A في تكوين جميع العناصر الثانوية من الرتبة k.

دعونا ننظر إليها مع مثال.

مثال.

أوجد جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية للمصفوفة.

حل.

وبما أن ترتيب المصفوفة الأصلية هو 3 في 3، فإن إجمالي الترتيب الثاني الثانوي سيكون .

دعونا نكتب جميع المجموعات المكونة من 3 إلى 2 أرقام صف من المصفوفة A: 1، 2؛ 1، 3 و 2، 3. جميع المجموعات المكونة من 3 إلى 2 أرقام أعمدة هي 1، 2؛ 1، 3 و 2، 3.

لنأخذ الصفين الأول والثاني من المصفوفة A. وباختيار العمودين الأول والثاني والعمودين الأول والثالث والعمودين الثاني والثالث لهذه الصفوف نحصل على القاصرين على التوالي

بالنسبة للصفين الأول والثالث، مع اختيار مماثل للأعمدة، لدينا

يبقى إضافة العمود الأول والثاني والأول والثالث والثاني والثالث إلى الصفين الثاني والثالث:

إذن، تم العثور على جميع العناصر التسعة الثانوية من الدرجة الثانية للمصفوفة A.

الآن يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة.

تعريف.

رتبة المصفوفةهو أعلى ترتيب للقاصر غير الصفر في المصفوفة.

يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرتبة(A) . يمكنك أيضًا العثور على التسميات Rg(A) أو Rang(A) .

ومن تعريفات رتبة المصفوفة والمصفوفة الصغرى، يمكننا أن نستنتج أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي صفرًا، ورتبة المصفوفة غير الصفرية لا تقل عن واحد.

العثور على رتبة المصفوفة حسب التعريف.

لذا، الطريقة الأولى للعثور على رتبة المصفوفة هي طريقة إحصاء القاصرين. تعتمد هذه الطريقة على تحديد رتبة المصفوفة.

دعونا نحتاج إلى إيجاد رتبة المصفوفة A من الرتبة.

دعونا تصف بإيجاز خوارزميةوحل هذه المشكلة عن طريق تعداد القاصرين.

إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل في المصفوفة يختلف عن الصفر، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا على الأقل (نظرًا لوجود عنصر ثانوي من الدرجة الأولى لا يساوي الصفر).

بعد ذلك ننظر إلى القاصرين من الدرجة الثانية. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة غير صفرية من الدرجة الثانية، فإننا ننتقل إلى تعداد صغريات الدرجة الثالثة، وتكون رتبة المصفوفة تساوي اثنين على الأقل.

وبالمثل، إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة صفرًا، فإن رتبة المصفوفة هي اثنان. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة من الدرجة الثالثة غير الصفر، فإن رتبة المصفوفة تكون على الأقل ثلاثة، وننتقل إلى تعداد صغريات الدرجة الرابعة.

لاحظ أن رتبة المصفوفة لا يمكن أن تتجاوز أصغر الأرقام p و n.

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة .

حل.

وبما أن المصفوفة ليست صفراً فإن رتبتها لا تقل عن واحد.

الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A هي اثنان على الأقل. ننتقل إلى تعداد القاصرين من الدرجة الثالثة. مجموع منهم أشياء.

جميع القاصرين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي اثنان.

إجابة:

الرتبة (أ) = 2 .

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى.

هناك طرق أخرى للعثور على رتبة المصفوفة التي تسمح لك بالحصول على النتيجة بعمل حسابي أقل.

إحدى هذه الطرق هي طريقة الحافة البسيطة.

دعونا نتعامل مع مفهوم الحافة الثانوية.

يقال أن مصفوفة صغيرة M ok من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تحد صغرى M من الرتبة k من المصفوفة A إذا كانت المصفوفة المقابلة للصغرى M ok "تحتوي" على المصفوفة المقابلة للمصفوفة الثانوية م .

بمعنى آخر، يتم الحصول على المصفوفة المقابلة للصغرى المجاورة M من المصفوفة المقابلة للصغيرة المجاورة M طيب عن طريق حذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

على سبيل المثال، النظر في المصفوفة واتخاذ أمر ثانوي قاصر. دعنا نكتب جميع القاصرين المجاورين:

طريقة تجاور القاصرين مبررة بالنظرية التالية (نقدم صياغتها بدون برهان).

نظرية.

إذا كانت جميع العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p في n تساوي صفرًا، فإن جميع العناصر الثانوية من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تساوي صفرًا.

وبالتالي، للعثور على رتبة مصفوفة، ليس من الضروري المرور عبر جميع العناصر الثانوية المتاخمة بشكل كافٍ. تم العثور على عدد القاصرين المتاخمين للصغرى من الرتبة k للمصفوفة A من الرتبة بواسطة الصيغة . لاحظ أنه لا يوجد المزيد من العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k-th الثانوية للمصفوفة A أكثر من وجود (k + 1) الثانوية للمصفوفة A. لذلك، في معظم الحالات، يكون استخدام طريقة مجاورة القاصرين أكثر ربحية من مجرد حصر جميع القاصرين.

دعنا ننتقل إلى إيجاد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى. دعونا تصف بإيجاز خوارزميةهذه الطريقة.

إذا كانت المصفوفة A غير صفرية، فإننا نأخذ أي عنصر من عناصر المصفوفة A مختلفًا عن الصفر، باعتباره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. دعونا نلقي نظرة على القاصرين المجاورة لها. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل قاصر واحد غير صفري (ترتيبه اثنان)، فإننا ننتقل إلى النظر في القاصرين المجاورين له. إذا كانت جميعها صفرًا، فإن المرتبة (أ) = 2. إذا كان هناك على الأقل أحد القاصرين المجاورين غير صفر (ترتيبه ثلاثة)، فإننا نعتبر القاصرين المجاورين له. وما إلى ذلك وهلم جرا. ونتيجة لذلك، Rank(A) = k إذا كانت جميع العناصر الثانوية المجاورة للترتيب (k + 1) من المصفوفة A تساوي الصفر، أو Rank(A) = min(p, n) إذا كان هناك غير صفر قاصر يحد قاصر الترتيب (min( p, n) – 1) .

دعونا نلقي نظرة على طريقة تحديد الحدود الثانوية للعثور على رتبة مصفوفة باستخدام مثال.

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة من خلال طريقة الحدود مع القاصرين.

حل.

بما أن العنصر 1 1 من المصفوفة A ليس صفرًا، فإننا نعتبره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. لنبدأ بالبحث عن القاصر المجاور الذي يختلف عن الصفر:

تم العثور على حافة ثانوية من الدرجة الثانية تختلف عن الصفر. دعونا نلقي نظرة على القاصرين المجاورين لهم ( أشياء):

جميع العناصر الصغرى المجاورة للمصفوفة الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A تساوي اثنين.

إجابة:

الرتبة (أ) = 2 .

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين المجاورة.

حل.

كعنصر ثانوي غير الصفر من الدرجة الأولى، نأخذ العنصر a 1 1 = 1 من المصفوفة A. القاصر المحيط من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر. ويحد هذا القاصر قاصر من الدرجة الثالثة
. وبما أنها لا تساوي صفرًا ولا يوجد حد صغير لها، فإن رتبة المصفوفة A تساوي ثلاثة.

إجابة:

الرتبة (أ) = 3 .

إيجاد الرتبة باستخدام تحويلات المصفوفات الأولية (طريقة غاوس).

لنفكر في طريقة أخرى للعثور على رتبة المصفوفة.

تسمى تحويلات المصفوفة التالية بالتحويلات الأولية:

• إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) المصفوفة؛
• ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم عشوائي k، يختلف عن الصفر؛
• إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة، مضروبة في رقم تعسفي ك.

تسمى المصفوفة B مكافئة للمصفوفة A، إذا تم الحصول على B من A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية. يُشار إلى تكافؤ المصفوفات بالرمز "~" أي يُكتب A ~ B.

يعتمد العثور على رتبة مصفوفة باستخدام تحويلات المصفوفة الأولية على العبارة التالية: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية، فإن Rank(A) = Rank(B) .

صحة هذا البيان تنبع من خصائص محدد المصفوفة:

• عند إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) مصفوفة، يتم الإشارة إلى التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي الصفر، فعند إعادة ترتيب الصفوف (الأعمدة)، تظل مساوية للصفر.
• عند ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي k غير الصفر، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية مضروبًا في k. إذا كان محدد المصفوفة الأصلية يساوي الصفر، فبعد ضرب جميع عناصر أي صف أو عمود بالرقم k، فإن محدد المصفوفة الناتجة سيكون أيضًا مساويًا للصفر.
• إضافة إلى عناصر صف معين (عمود) من المصفوفة العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة، مضروبة في عدد معين ك، لا يغير محدده.

جوهر طريقة التحولات الأوليةيتمثل في تقليل المصفوفة التي نحتاج إلى إيجاد رتبتها إلى مصفوفة شبه منحرفة (في حالة معينة، إلى مصفوفة مثلثة عليا) باستخدام التحويلات الأولية.

لماذا هذا يحدث؟ من السهل جدًا العثور على رتبة المصفوفات من هذا النوع. وهو يساوي عدد الأسطر التي تحتوي على عنصر واحد غير الصفر على الأقل. وبما أن رتبة المصفوفة لا تتغير عند إجراء التحويلات الأولية، فإن القيمة الناتجة ستكون رتبة المصفوفة الأصلية.

نعطي الرسوم التوضيحية للمصفوفات، والتي ينبغي الحصول على واحدة منها بعد التحولات. مظهرها يعتمد على ترتيب المصفوفة.

هذه الرسوم التوضيحية هي قوالب سنقوم بتحويل المصفوفة A إليها.

دعونا تصف خوارزمية الطريقة.

دعونا نحتاج إلى إيجاد رتبة مصفوفة غير صفرية A من الرتبة (p يمكن أن تساوي n).

لذا، . دعونا نضرب جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة A في . في هذه الحالة، نحصل على مصفوفة مكافئة، نشير إليها A (1):

إلى عناصر الصف الثاني من المصفوفة الناتجة A (1) نضيف العناصر المقابلة للصف الأول مضروبة في . إلى عناصر السطر الثالث نضيف العناصر المقابلة للسطر الأول مضروبة في . وهكذا حتى السطر p-th. لنحصل على مصفوفة مكافئة، نرمز لها بـ A (2):

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة الناتجة الموجودة في الصفوف من الثاني إلى p-th تساوي صفرًا، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي واحدًا، وبالتالي تكون رتبة المصفوفة الأصلية تساوي واحدًا إلى واحد.

إذا كان هناك عنصر واحد غير صفري على الأقل في السطور من الثاني إلى p-th، فإننا نستمر في إجراء التحويلات. علاوة على ذلك، فإننا نتصرف بنفس الطريقة تمامًا، ولكن فقط مع جزء المصفوفة A (2) المحدد في الشكل.

إذا، فإننا نعيد ترتيب الصفوف و (أو) الأعمدة في المصفوفة A (2) بحيث يصبح العنصر "الجديد" غير صفر.

تعريف. رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا التي تعتبر متجهات.

النظرية 1 حول رتبة المصفوفة. رتبة المصفوفةيسمى الحد الأقصى لرتبة ثانوية غير صفرية للمصفوفة.

لقد سبق أن ناقشنا مفهوم القاصر في درس المحددات، والآن سنقوم بتعميمه. لنأخذ عددًا معينًا من الصفوف وعددًا معينًا من الأعمدة في المصفوفة، وهذا "الكم" يجب أن يكون أقل من عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة، وبالنسبة للصفوف والأعمدة، يجب أن يكون هذا "الكم" هو العدد نفس الرقم. وبعد ذلك، عند تقاطع عدد الصفوف وعدد الأعمدة، ستكون هناك مصفوفة ذات رتبة أقل من المصفوفة الأصلية. المحدد عبارة عن مصفوفة وسيكون ثانويًا من الترتيب k إذا تمت الإشارة إلى "البعض" المذكور (عدد الصفوف والأعمدة) بالرمز k.

تعريف.صغير ( ص+1) الترتيب الذي يقع ضمنه القاصر المختار ص-يسمى الترتيب الحدودي لقاصر معين.

الطريقتان الأكثر استخدامًا هما العثور على رتبة المصفوفة. هذا طريقة الحدود مع القاصرينو طريقة التحولات الأولية(طريقة غاوس).

عند استخدام طريقة الحدود الثانوية، يتم استخدام النظرية التالية.

النظرية 2 على رتبة المصفوفة.إذا كان يمكن أن يتكون قاصر من عناصر المصفوفة صالترتيب الرابع لا يساوي الصفر، فرتبة المصفوفة تساوي ص.

عند استخدام طريقة التحويل الأولية، يتم استخدام الخاصية التالية:

إذا تم الحصول، من خلال التحويلات الأولية، على مصفوفة شبه منحرفة تعادل المصفوفة الأصلية، إذن رتبة هذه المصفوفةهو عدد الأسطر فيه غير الأسطر المكونة بالكامل من الأصفار.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

القاصر المُرفق هو قاصر ذو رتبة أعلى بالنسبة إلى القاصر المُعطى إذا كان هذا القاصر ذو الرتبة الأعلى يحتوي على القاصر المُعطى.

على سبيل المثال، نظرا للمصفوفة

دعونا نأخذ قاصر

سيكون القاصرون المجاورون هم:

خوارزمية للعثور على رتبة المصفوفةالتالي.

1. ابحث عن القاصرين من الدرجة الثانية الذين لا يساويون الصفر. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة ستكون تساوي واحدًا ( ص =1 ).

2. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة من الرتبة الثانية لا تساوي صفراً، فإننا نؤلف الصغرى المجاورة من الرتبة الثالثة. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

3. إذا كان واحد على الأقل من القاصرين المجاورين من الدرجة الثالثة لا يساوي الصفر، فإننا نؤلف القاصرين المجاورين. إذا كانت جميع العناصر الثانوية المجاورة من الرتبة الرابعة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي ثلاثة ( ص =2 ).

4. استمر بهذه الطريقة طالما أن حجم المصفوفة يسمح بذلك.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة

.

حل. الصغرى من الدرجة الثانية .

دعونا الحدود عليه. سيكون هناك أربعة قاصرين مجاورين:

,

,

وبالتالي فإن جميع الحدود الثانوية من الرتبة الثالثة تساوي صفراً، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

مثال 2.أوجد رتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة تساوي 1 حيث أن جميع صغريات الرتبة الثانية لهذه المصفوفة تساوي صفر (وفي هذا كما في حالات القاصرين المتاخمين في المثالين التاليين ندعوكم عزيزي الطلاب للتحقق من ذلك) أنفسهم، ربما باستخدام قواعد حساب المحددات)، ومن بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى، أي من بين عناصر المصفوفة، هناك عناصر غير صفرية.

مثال 3.أوجد رتبة المصفوفة

حل. الرتبة الثانية الثانوية لهذه المصفوفة هي، وجميع الرتبة الثالثة الثانوية لهذه المصفوفة تساوي صفرًا. ولذلك فإن رتبة هذه المصفوفة هي اثنان.

مثال 4.أوجد رتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة هي 3، حيث أن الرتبة الثالثة الوحيدة لهذه المصفوفة هي 3.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة التحويلات الأولية (طريقة غاوس)

بالفعل في المثال 1، من الواضح أن مهمة تحديد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الثانوية تتطلب حساب عدد كبير من المحددات. ومع ذلك، هناك طريقة لتقليل مقدار الحساب إلى الحد الأدنى. تعتمد هذه الطريقة على استخدام تحويلات المصفوفات الأولية وتسمى أيضًا طريقة غاوس.

تُفهم العمليات التالية على أنها تحويلات مصفوفة أولية:

1) ضرب أي صف أو عمود في المصفوفة برقم غير الصفر؛

2) إضافة إلى عناصر أي صف أو عمود من المصفوفة العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر، مضروبة في نفس العدد؛

3) تبديل صفين أو عمودين من المصفوفة؛

4) إزالة الصفوف "الخالية"، أي تلك التي تساوي جميع عناصرها الصفر؛

5) حذف جميع الخطوط المتناسبة ما عدا خط واحد.

نظرية.أثناء التحويل الأولي، لا تتغير رتبة المصفوفة. بمعنى آخر، إذا استخدمنا التحويلات الأولية من المصفوفة أذهب إلى المصفوفة ب، الذي - التي .