円の周りの均一な動き- これは曲線運動の最も単純な例です。 たとえば、時計の針の端は文字盤の周りを円を描くように動きます。 物体が円を描くように動く速度を次のようにいいます。 線速度.

円内での物体の等速運動では、物体の速度モジュールは時間の経過とともに変化せず、つまり v = const となり、速度ベクトルの方向のみが変化します。 この場合、接線方向の加速度は存在せず (a r = 0)、方向の速度ベクトルの変化は次の量によって特徴付けられます。 向心加速度(通常の加速) n または CS。 軌道の各点で、向心加速度ベクトルは半径に沿って円の中心に向かう方向を向いています。

向心加速度の係数は次のようになります。

A CS =v 2 / R

ここで、v は線速度、R は円の半径です。

米。 1.22 円を描くような体の動き。

円の中での物体の動きを記述するときは、 半径回転角度– 時間 t 中に、円の中心からその瞬間に移動体が位置する点まで引かれた半径が回転する角度 φ。 回転角度はラジアンで測定されます。 は円の 2 つの半径間の角度に等しく、その間の円弧の長さは円の半径に等しくなります (図 1.23)。 つまり、l = R の場合、

1ラジアン= l / R

なぜなら 周に等しい

L = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π ラジアン。

したがって、

1ラド。 = 57.2958 o = 57 o 18’

角速度円内での物体の等速運動は値 ω であり、この回転が行われる期間に対する半径 φ の回転角度の比に等しくなります。

ω = φ / t

角速度の測定単位はラジアン/秒 [rad/s] です。 線速度モジュールは、移動経路の長さ l と時間間隔 t の比によって決まります。

V=l/t

線速度円の周りの均一な動きで、円上の特定の点の接線に沿って方向付けられます。 点が移動するとき、その点が通過する円の円弧の長さ l は、次の式によって回転角 φ に関係します。

L＝Rφ

ここで、R は円の半径です。

次に、点の等速運動の場合、線速度と角速度は次の関係によって関係付けられます。

V = l / t = Rφ / t = Rω または v = Rω

米。 1.23。 ラジアン。

流通期間– これは、物体 (点) が円の周りを 1 回転する時間 T です。 頻度– これは回転周期の逆数、つまり単位時間当たりの回転数 (1 秒あたり) です。 循環の頻度は文字 n で表されます。

N=1/T

1 周期にわたって、点の回転角 φ は 2π rad に等しいため、2π = ωT となります。

T = 2π/ω

つまり、角速度は次のようになります。

ω = 2π / T = 2πn

向心加速度周期 T と循環頻度 n で表すことができます。

A CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

円運動は、物体の曲線運動の最も単純なケースです。 物体が特定の点の周りを移動する場合、変位ベクトルとともに角変位 Δ φ (円の中心に対する回転角度) をラジアン単位で入力すると便利です。

角変位が分かると、物体が通過した円弧 (パス) の長さを計算できます。

∆ l = R ∆ φ

回転角が小さい場合は、∆ l ≈ ∆ s となります。

これまで述べられてきたことを説明してみましょう。

角速度

曲線運動では、角速度 ω、つまり回転角の変化率の概念が導入されます。

意味。 角速度

軌道の特定の点での角速度は、角変位 Δ φ と角変位が発生する時間間隔 Δ t の比率の限界です。 Δt → 0 。

ω = ∆ φ ∆ t、∆ t → 0。

角速度の測定単位はラジアン/秒 (ra d s) です。

円運動するときの物体の角速度と線速度の間には関係があります。 角速度を求める公式:

円内での等速運動では、速度 v と ω は変化しません。 線速度ベクトルの方向のみが変化します。

この場合、円内の等速運動は、円の半径に沿って中心に向かう向心加速度、または法線加速度によって物体に作用します。

a n = ∆ v → ∆ t 、∆ t → 0

向心加速度の係数は、次の式を使用して計算できます。

a n = v 2 R = ω 2 R

これらの関係を証明してみましょう。

ベクトル v → が短い時間 ∆ t でどのように変化するかを考えてみましょう。 Δ v → = v B → -v A → 。

点 A と B では、速度ベクトルは円の接線方向を向いていますが、両方の点の速度モジュールは同じです。

加速度の定義によると、

a → = ∆ v → ∆ t 、∆ t → 0

写真を見てみましょう:

三角形 OAB と BCD は相似です。 これから、 O A A B = B C C D が得られます。

角度 ∆ φ の値が小さい場合、距離 A B = ∆ s ≈ v · ∆ t となります。 上で検討した相似な三角形について、O A = R および C D = Δ v を考慮すると、次のようになります。

R v ∆ t = v ∆ v または ∆ v ∆ t = v 2 R

∆ φ → 0 のとき、ベクトル ∆ v → = v B → - v A → の方向は円の中心方向に近づきます。 ∆ t → 0 と仮定すると、次のようになります。

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; Δt → 0 ; a n → = v 2 R 。

円の周りの均一な動きでは、加速度係数は一定のままであり、ベクトルの方向は時間とともに変化し、円の中心への方向を維持します。 この加速度が求心性と呼ばれるのはこのためです。ベクトルはどの瞬間においても円の中心に向かうのです。

向心加速度をベクトル形式で書くと次のようになります。

a n → = - ω 2 R → 。

ここで R → は、原点を中心とする円上の点の動径ベクトルです。

一般に、円運動するときの加速度は、法線方向と接線方向の 2 つの成分で構成されます。

物体が円の周りを不均一に動く場合を考えてみましょう。 接線方向（接線方向）加速度の概念を紹介します。 その方向は物体の線速度の方向と一致し、円の各点でそれに接する方向を向いています。

a τ = ∆ v τ ∆ t ; Δt → 0

ここで、 ∆ v τ = v 2 - v 1 - 区間 ∆ t にわたる速度モジュールの変化

総加速度の方向は、法線方向の加速度と接線方向の加速度のベクトル和によって決まります。

平面内の円運動は、x と y の 2 つの座標を使用して説明できます。 各瞬間において、物体の速度は成分 v x と v y に分解できます。

動きが均一であれば、量 v x と v y および対応する座標は、周期 T = 2 π R v = 2 π ω の調和法則に従って時間とともに変化します。

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線速度は均一に方向を変えるため、円運動は均一とは言えず、均一に加速されます。

角速度

円上の点を選択しましょう 1 。 半径を作成しましょう。 単位時間内に、点は点に移動します 2 。 この場合、半径は角度を表します。 角速度は、数値的には単位時間あたりの半径の回転角度に等しくなります。

期間と頻度

自転周期 T- これは、体が 1 回転する時間です。

回転数とは、1秒あたりの回転数のことです。

周波数と周期は次の関係にあります。

角速度との関係

線速度

円上の各点は一定の速度で移動します。 この速度を線形と呼びます。 線速度ベクトルの方向は常に円の接線と一致します。たとえば、研削盤の下からの火花は瞬間的な速度の方向を繰り返しながら移動します。

1 回転する円上の点を考えます。費やした時間が周期です。 T。 点が移動する経路が円周です。

向心加速度

円内を移動する場合、加速度ベクトルは常に速度ベクトルに対して垂直になり、円の中心に向かって方向を向きます。

前述の式を使用すると、次の関係を導き出すことができます。

円の中心から伸びる同じ直線上にある点 (たとえば、これらは車輪のスポーク上にある点である可能性があります) は、同じ角速度、周期、および周波数を持ちます。 つまり、同じ方向に回転しますが、線速度は異なります。 点が中心から離れるほど、その点はより速く移動します。

速度の加算の法則は回転運動にも当てはまります。 物体または基準系の動きが均一でない場合、この法則は瞬間速度に適用されます。 たとえば、回転するカルーセルの端に沿って歩く人の速度は、カルーセルの端の回転の線形速度と人の速度のベクトル和に等しくなります。

地球は、日周運動 (地軸の周り) と軌道運動 (太陽の周り) という 2 つの主な回転運動に参加します。 地球が太陽の周りを一周する周期は1年または365日です。 地球は地軸の周りを西から東に回転し、この回転の周期は 1 日または 24 時間です。 緯度は、赤道面と地球の中心から地球表面の点に向かう方向との間の角度です。

ニュートンの第 2 法則によれば、加速の原因は力です。 移動体が向心加速度を経験する場合、この加速度を引き起こす力の性質は異なる可能性があります。 たとえば、物体がそれに結び付けられたロープの上を円を描くように動く場合、作用する力は弾性力です。

円盤の上に置かれた物体が円盤とともにその軸の周りを回転する場合、そのような力は摩擦力です。 力の作用が止まっても、物体は直線的に動き続けます。

円上の点が A から B に移動することを考えてみましょう。線速度は次のようになります。 vAそして vBそれぞれ。 加速度は単位時間あたりの速度の変化です。 ベクトルの差を求めてみましょう。

1.円内での均一な動き

2. 回転運動の角速度。

3. 回転周期。

4. 回転速度。

5. 線速度と角速度の関係。

6.向心加速度。

7. 円を描くように交互に均等に動きます。

8. 等速円運動における角加速度。

9.接線加速度。

10. 円周内等加速度運動の法則。

11. 円内での等加速度運動における平均角速度。

12. 円内での等加速度運動における角速度、角加速度、回転角の関係を確立する公式。

1.円の周りの均一な動き– 質点が円弧の等しいセグメントを等時間間隔で通過する動き、つまり 点は一定の絶対速度で円を描いて移動します。 この場合、速度は、移動時間に対する点が横切る円の円弧の比に等しくなります。

これは円内の移動の線速度と呼ばれます。

曲線運動の場合と同様、速度ベクトルは運動方向の円の接線方向に向けられます (図 25)。

2. 等速円運動における角速度– 回転時間に対する半径回転角度の比率:

等速円運動では角速度は一定です。 SI システムでは、角速度は (rad/s) で測定されます。 1 ラジアン - ラジアンは、半径に等しい長さの円弧の範囲を定める中心角です。 全角にはラジアンが含まれます。 1 回転ごとに、半径はラジアンの角度だけ回転します。

3. 自転周期– 素材点が 1 回転する時間間隔 T。 SI システムでは、周期は秒単位で測定されます。

4. 回転周波数– 1秒間に行われる回転数。 SI システムでは、周波数はヘルツ (1Hz = 1) 単位で測定されます。 1 ヘルツは 1 秒間に 1 回転が完了する周波数です。 それは容易に想像できる

時間 t の間に点が円の周りを n 回転すると、 になります。

回転の周期と周波数がわかれば、次の式を使用して角速度を計算できます。

5 線速度と角速度の関係。 円の円弧の長さは、ラジアンで表される中心角、つまり円弧を囲む円の半径と等しくなります。 ここで、線速度を次の形式で書きます。

多くの場合、次の公式を使用すると便利です。角速度は周期周波数と呼ばれ、周波数は線形周波数と呼ばれます。

6. 向心加速度。 円の周りの等速運動では、速度モジュールは変化しませんが、その方向は継続的に変化します (図 26)。 これは、円内を均一に運動する物体には中心に向かう加速度がかかることを意味し、これを向心加速度といいます。

一定時間内に円弧に等しい距離が移動するとします。 ベクトルをそれ自体に平行なままにして、ベクトルの始まりが点 B でのベクトルの始まりと一致するように、ベクトルを移動しましょう。速度の変化係数は に等しく、向心加速度の係数は に等しいです。

図 26 では、三角形 AOB と DVS は二等辺であり、頂点 O と B の角度は等しく、互いに直交する辺 AO と OB の角度も等しい。これは、三角形 AOB と DVS が相似であることを意味する。 したがって、つまり、時間間隔が任意の小さな値を取る場合、円弧は弦 AB にほぼ等しいと考えることができます。 。 したがって、 VD = , OA = R と考えると、最後の等式の両辺に を乗算すると、円内等速運動における向心加速度の係数の式が得られます。 頻繁に使用される 2 つの公式が得られることを考慮します。

したがって、円の周りの等速運動では、向心加速度の大きさは一定です。

角度 の極限にあることは容易に理解できます。 これは、ICE 三角形の DS の底辺の角度が値 になる傾向があり、速度変化ベクトルが速度ベクトルに対して垂直になることを意味します。 円の中心に向かって放射状に向けられます。

7. 等間隔交互円運動– 角速度が等しい時間間隔で同じ量だけ変化する円運動。

8. 等速円運動における角加速度– 角速度の変化とこの変化が起こった時間間隔の比、つまり

ここで、SI 系における角速度の初期値、角速度の最終値、角加速度は で測定されます。 最後の等式から、角速度を計算するための式が得られます。

で、もし 。

これらの等式の両辺に を乗算し、それを考慮すると、接線方向の加速度、つまり が求められます。 円の接線方向の加速度を計算すると、線速度を計算するための式が得られます。

で、もし 。

9. 接線加速度数値的には単位時間当たりの速度の変化に等しく、円の接線に沿って方向付けられます。 >0、>0 の場合、モーションは均一に加速されます。 もし<0 и <0 – движение.

10. 円周内等加速度運動の法則。 等加速運動で時間内に円の周りを移動する経路は、次の式で計算されます。

ここに を代入し、 で削減すると、円内での等加速度運動の法則が得られます。

あるいは、もし。

動きが均一に遅い場合、つまり<0, то

11.等加速円運動における総加速度。 円内で等加速度運動を行う場合、向心加速度は時間の経過とともに増加します。 接線方向の加速により、線速度が増加します。 多くの場合、向心加速度は法線と呼ばれ、 と表されます。 特定の瞬間の合計加速度はピタゴラスの定理によって決定されるため (図 27)。

12. 円内等加速度運動における平均角速度。 円内での等加速度運動における平均線速度は に等しい。 ここに代入して、減らすと次のようになります

もしそうなら。

12. 円内での等加速度運動における角速度、角加速度、回転角の関係を確立する公式。

量 、 、 、 を式に代入する

で減らすと、次のようになります

講義-4. ダイナミクス。

1.ダイナミクス

2. 身体の相互作用。

3. 慣性。 慣性の原理。

4. ニュートンの第一法則。

5.フリー素材ポイント。

6. 慣性基準システム。

7. 非慣性基準システム。

8. ガリレオの相対性原理。

9. ガリレイ変換。

11. 部隊の追加。

13. 物質の密度。

14. 重心。

15. ニュートンの第二法則。

16. 力の単位。

17. ニュートンの第三法則

1. ダイナミクスこの動きに変化を引き起こす力に応じて、機械的な動きを研究する力学の分野があります。

2.身体の相互作用。 物体は、物理場と呼ばれる特殊な種類の物質を介して、直接接触しても、離れていても相互作用できます。

たとえば、すべての物体は互いに引き付けられ、この引力は重力場を通じて実行され、引力は重力と呼ばれます。

電荷を帯びた物体は電場を通じて相互作用します。 電流は磁場を通じて相互作用します。 これらの力は電磁気と呼ばれます。

素粒子は核場を通じて相互作用し、これらの力は核と呼ばれます。

3.慣性。 4世紀。 紀元前 e. ギリシャの哲学者アリストテレスは、物体の動きの原因は別の物体から作用する力であると主張しました。 同時に、アリストテレスの動きによれば、一定の力は身体に一定の速度を与え、力が止まると動きは止まります。

16世紀に イタリアの物理学者ガリレオ・ガリレイは、傾斜面を転がる物体と落下する物体を使った実験を行い、一定の力（この場合は物体の重量）が物体に加速度を与えることを示しました。

そこで、ガリレオは実験に基づいて、力が物体の加速の原因であることを示しました。 ガリレオの推論を紹介しましょう。 非常に滑らかなボールを滑らかな水平面に沿って転がしてみましょう。 ボールを妨げるものが何もなければ、ボールは望むだけ長く転がることができます。 ボールの軌道に砂の薄い層を注ぐと、ボールはすぐに止まります。 砂の摩擦力の影響でした。

そこでガリレオは、外力が作用しない場合、物質体は静止状態または等直線運動を維持するという慣性原理の定式化に到達しました。 物質のこの性質は慣性と呼ばれることが多く、外部の影響を受けない物体の動きは慣性による運動と呼ばれます。

4. ニュートンの第一法則。 1687 年、ガリレオの慣性原理に基づいて、ニュートンは力学の第一法則、つまりニュートンの第一法則を定式化しました。

物体点 (物体) は、他の物体が作用しない場合、または他の物体から作用する力が釣り合っている場合、静止または等速直線運動の状態にあります。 補償された。

5.無料素材ポイント- 他の物体の影響を受けない物質点。 時々彼らはこう言います - 孤立した物質点。

6. 慣性基準系 (IRS)– 孤立した物質点が直線的かつ均一に移動する、または静止している基準系。

ISO に対して均一かつ直線的に移動する基準系は慣性があり、

ニュートンの第一法則を別の定式化してみましょう。自由物質点が直線的かつ均一に移動する、または静止している基準系が存在します。 このような基準系は慣性と呼ばれます。 ニュートンの第一法則は慣性の法則と呼ばれることがあります。

ニュートンの第一法則には、次のような公式も与えられます。あらゆる物質体は速度の変化に抵抗します。 物質のこの性質は慣性と呼ばれます。

私たちは都市交通において、この法則の現れに毎日遭遇します。 バスが急にスピードを上げると、私たちは座席の後ろに押し付けられます。 バスが速度を落とすと、私たちの体はバスの方向に滑ります。

7. 非慣性基準系 – ISO に対して不均一に移動する参照系。

ISO に対して、静止状態または等速直線運動の状態にある物体。 非慣性基準系に対して不均一に動きます。

回転基準系は非慣性基準系です。 このシステムでは、身体は向心加速度を経験します。

自然界やテクノロジーには ISO として機能する物質は存在しません。 たとえば、地球はその軸の周りを回転し、その表面上のあらゆる物体は向心加速度を経験します。 ただし、かなり短期間であれば、地球の表面に関連付けられた基準系は、ある程度の近似値として ISO とみなされる可能性があります。

8.ガリレオの相対性原理。 ISOは好きなだけ塩を加えて構いません。 したがって、同じ機械現象が異なる ISO ではどのように見えるのかという疑問が生じます。 機械現象を利用して、観察される ISO の動きを検出することは可能でしょうか。

これらの質問に対する答えは、ガリレオによって発見された古典力学の相対性原理によって与えられます。

古典力学の相対性原理の意味は次のとおりです。 すべての機械現象は、すべての慣性座標系でまったく同じように進行します。

この原則は次のように定式化できます。 古典力学の法則はすべて同じ数式で表現されます。 言い換えれば、ISO の動きを検出するのに役立つ機械的実験はありません。 つまり、ISO の動きを検出することは無意味です。

私たちは電車で移動中に相対性原理の現象に遭遇しました。 私たちの列車が駅に立っており、隣接する線路に立っていた列車がゆっくりと動き始めた瞬間、最初の瞬間は私たちの列車が動いているように見えます。 しかし、その逆も起こり、私たちの列車がスムーズに速度を上げているとき、私たちには隣の列車が動き始めたように見えます。

上の例では、相対性原理は短い時間間隔で現れます。 速度が増加すると、車の衝撃や揺れを感じ始めます。つまり、基準システムが非慣性になります。

したがって、ISO の動きを検出しようとしても無意味です。 したがって、どの ISO が静止していると見なされ、どの ISO が移動していると見なされるかはまったく関係ありません。

9. ガリレオ変換。 2 つの ISO を一定の速度で相対的に移動させます。 相対性理論によれば、ISO K は静止しており、ISO は相対的な速度で移動すると仮定できます。 簡単にするために、システム と の対応する座標軸が平行であり、軸と が一致すると仮定します。 開始の瞬間にシステムが一致すると、動きが軸 と に沿って発生します。つまり、 (図28)

11. 戦力の追加。 2 つの力が粒子に適用される場合、結果として生じる力はそのベクトル力に等しくなります。 ベクトルに基づいて構築された平行四辺形の対角線と (図 29)。

与えられた力を 2 つの力の成分に分解するときにも、同じルールが適用されます。 これを行うには、特定の力のベクトル上に、対角線と同様に、特定の粒子に加えられる力の成分の方向と一致する辺を持つ平行四辺形が作成されます。

いくつかの力が粒子に適用される場合、結果として生じる力はすべての力の幾何学和に等しくなります。

12.重さ。 経験によれば、この力が物体に与える力の係数と加速度の係数の比は、特定の物体に対して一定の値であり、物体の質量と呼ばれます。

最後の等式から、物体の質量が大きいほど、速度を変えるためにより大きな力を加えなければならないことがわかります。 したがって、物体の質量が大きいほど、その不活性度は高くなります。 質量は物体の慣性の尺度です。 このようにして求められた質量を慣性質量といいます。

SI システムでは、質量はキログラム (kg) で測定されます。 1 キログラムは、ある温度で測定した 1 立方デシメートルの体積にある蒸留水の質量です。

13. 物質の密度– 単位体積に含まれる物質の質量、またはその体積に対する体重の比率

密度はSI方式の()内で測定されます。 物体の密度と体積がわかれば、次の式を使用して質量を計算できます。 物体の密度と質量が分かっているので、その体積は次の公式を使用して計算されます。

14.重心- 力の方向がこの点を通過すると、物体が並進運動するという特性を持つ物体上の点。 作用の方向が重心を通らない場合、物体は重心の周りを回転しながら動きます。

15. ニュートンの第二法則。 ISO では、物体に作用する力の合計は、物体の質量と、この力によって物体に与えられる加速度の積に等しくなります。

16.力の単位。 SI システムでは、力はニュートンで測定されます。 1 ニュートン (n) は、重さ 1 kg の物体に加速度を与える力です。 それが理由です 。

17. ニュートンの第三法則。 2 つの物体が互いに作用する力は大きさが等しく、方向が逆で、これらの物体を結ぶ 1 本の直線に沿って作用します。

このレッスンでは、曲線運動、つまり円の中での物体の均一な動きを見ていきます。 物体が円運動するときの線速度、向心加速度とは何かを学びます。 また、回転運動を特徴付ける量（回転周期、回転周波数、角速度）を紹介し、これらの量を相互に関連付けます。

等速円運動とは、物体が同じ時間にわたって同じ角度で回転することを意味します (図 6 を参照)。

米。 6. 円内での均一な動き

つまり、瞬間速度のモジュールは変わりません。

この速度をこう呼びます 線形.

速度の大きさは変化しませんが、速度の方向は連続的に変化します。 点における速度ベクトルを考えてみましょう あそして B(図7を参照)。 それらは異なる方向を向いているため、同等ではありません。 その時点の速度から引くと Bポイントでの速度 あ、ベクトルを取得します。

米。 7. 速度ベクトル

速度の変化 () とこの変化が起こった時間 () の比が加速度です。

したがって、あらゆる曲線運動が加速されます。.

図 7 で得られた速度三角形を考慮すると、点が非常に密接に配置されています。 あそして B互いに対して、速度ベクトル間の角度 (α) はゼロに近づきます。

また、この三角形は二等辺であるため、速度モジュールは等しい (等速運動) こともわかっています。

したがって、この三角形の底辺の両方の角度は限りなく次の値に近づきます。

これは、ベクトルに沿った方向の加速度が実際には接線に対して垂直であることを意味します。 接線に垂直な円内の線は半径であることが知られているため、 加速は半径に沿って円の中心に向かって進みます。 この加速度を向心性といいます。

図 8 は、前述の速度三角形と二等辺三角形 (2 つの辺が円の半径) を示しています。 これらの三角形は、互いに垂直な直線によって形成される角度が等しいため、相似です (半径とベクトルは接線に垂直です)。

米。 8. 向心加速度の計算式の導出図

線分 AB move()です。 したがって、円内での等速運動を考慮しています。

結果の式を次のように置き換えてみましょう。 AB三角形の相似式に代入すると、次のようになります。

「線速度」、「加速度」、「座標」という概念だけでは、曲線軌道に沿った動きを説明するのに十分ではありません。 したがって、回転運動を特徴付ける量を導入する必要があります。

1. 回転周期（T ) は 1 回転の時間と呼ばれます。 SI 単位で秒単位で測定されます。

周期の例: 地球はその軸の周りを 24 時間で回転し ()、太陽の周りを 1 年で回転します ()。

期間の計算式:

ここで、 は合計回転時間です。 - 回転数。

2. 回転周波数（n ) - 物体が単位時間あたりに行う回転数。 逆数秒の SI 単位で測定されます。

周波数を求める公式:

ここで、 は合計回転時間です。 - 回転数

周波数と周期は反比例する量です。

3. 角速度 （) この回転が起こった時間に対する、物体が回転した角度の変化の比率を呼びます。 ラジアンを秒で割った SI 単位で測定されます。

角速度を求める公式:

角度の変化はどこにありますか。 - 角度を曲がるまでの時間。