Neste tópico consideraremos os conceitos de complemento algébrico e menor. A apresentação do material é baseada nos termos explicados no tópico “Matrizes. Tipos de matrizes. Termos básicos”. Também precisaremos de algumas fórmulas para calcular determinantes. Como este tópico contém muitos termos relacionados a menores e complementos algébricos, acrescentarei um breve resumo para facilitar a navegação no material.

Menor $M_(ij)$ do elemento $a_(ij)$

$M_(ij)$ elemento$a_(ij)$ matrizes $A_(n\times n)$ nomeie o determinante da matriz obtida da matriz $A$ excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna (ou seja, a linha e a coluna na interseção do qual o elemento está localizado $a_(ij)$).

Por exemplo, considere uma matriz quadrada de quarta ordem: $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 e 84 \\ 3 e 12 e -5 e 58 \end(array) \right)$. Vamos encontrar o menor do elemento $a_(32)$, ou seja, vamos encontrar $M_(32)$. Primeiro, vamos anotar o menor $M_(32)$ e depois calcular seu valor. Para compor $M_(32)$, eliminamos a terceira linha e segunda coluna da matriz $A$ (é na intersecção da terceira linha e da segunda coluna que o elemento $a_(32)$ está localizado ). Obteremos uma nova matriz, cujo determinante é o menor necessário $M_(32)$:

Este menor é fácil de calcular usando a fórmula nº 2 do tópico de cálculo:

$$ M_(32)=\esquerda| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Portanto, o menor do elemento $a_(32)$ é 579, ou seja, $M_(32)=579$.

Muitas vezes, em vez da frase “elemento menor da matriz” na literatura, é encontrado “elemento determinante menor”. A essência permanece a mesma: para obter o menor do elemento $a_(ij)$, você precisa riscar a i-ésima linha e a j-ésima coluna do determinante original. Os elementos restantes são escritos em um novo determinante, que é o menor do elemento $a_(ij)$. Por exemplo, vamos encontrar o menor do elemento $a_(12)$ do determinante $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Para escrever o menor necessário $M_(12)$, precisamos excluir a primeira linha e a segunda coluna do determinante fornecido:

Para encontrar o valor deste menor, usamos a fórmula nº 1 do tópico de cálculo de determinantes de segunda e terceira ordens:

$$ M_(12)=\esquerda| \begin(array) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Portanto, o menor do elemento $a_(12)$ é 83, ou seja, $M_(12)=83$.

Complemento algébrico $A_(ij)$ do elemento $a_(ij)$

Seja dada uma matriz quadrada $A_(n\times n)$ (ou seja, uma matriz quadrada de enésima ordem).

Complemento algébrico$A_(ij)$ elemento$a_(ij)$ da matriz $A_(n\times n)$ é encontrado pela seguinte fórmula: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

onde $M_(ij)$ é o menor do elemento $a_(ij)$.

Vamos encontrar o complemento algébrico do elemento $a_(32)$ da matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, ou seja, vamos encontrar $A_(32)$. Anteriormente encontramos o menor $M_(32)=579$, então usamos o resultado obtido:

Normalmente, ao encontrar complementos algébricos, o menor não é calculado separadamente, e só então o próprio complemento. A nota menor é omitida. Por exemplo, vamos encontrar $A_(12)$ se $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matriz)\direita)$. De acordo com a fórmula $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Porém, para obter $M_(12)$ basta riscar a primeira linha e a segunda coluna da matriz $A$, então por que introduzir uma notação extra para o menor? Vamos escrever imediatamente a expressão para o complemento algébrico $A_(12)$:

Menor da k-ésima ordem da matriz $A_(m\times n)$

Se nos dois parágrafos anteriores falamos apenas de matrizes quadradas, então aqui falaremos também de matrizes retangulares, nas quais o número de linhas não é necessariamente igual ao número de colunas. Então, seja dada a matriz $A_(m\times n)$, ou seja, uma matriz contendo m linhas en colunas.

Ordem k menor a matriz $A_(m\times n)$ é um determinante cujos elementos estão localizados na intersecção de k linhas e k colunas da matriz $A$ (presume-se que $k≤ m$ e $k≤ n$).

Por exemplo, considere esta matriz:

$$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right) $$

Vamos escrever algum menor de terceira ordem para isso. Para escrever um menor de terceira ordem, precisamos selecionar quaisquer três linhas e três colunas desta matriz. Por exemplo, pegue as linhas nº 2, nº 4, nº 6 e as colunas nº 1, nº 2, nº 4. Na intersecção dessas linhas e colunas serão localizados os elementos do menor requerido. Na figura, os elementos menores são mostrados em azul:

$$ \left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 e 31\\ \boldblue(0) & \boldblue(1) & 19 & \boldblue(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue(5) & \boldblue(3) & -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right);\; M=\left|\begin(array) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(array) \right|. $$

Menores de primeira ordem são encontrados na interseção de uma linha e uma coluna, ou seja, menores de primeira ordem são iguais aos elementos de uma determinada matriz.

A k-ésima ordem menor da matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ é chamada principal, se na diagonal principal de uma determinada menor existem apenas os elementos da diagonal principal da matriz $A$.

Deixe-me lembrá-lo de que os elementos diagonais principais são aqueles elementos da matriz cujos índices são iguais: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ e assim por diante. Por exemplo, para a matriz $A$ considerada acima, tais elementos serão $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Eles estão destacados em verde na figura:

$$\left(\begin(array) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18 ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( matriz)\direita)$$

Por exemplo, se na matriz $A$ riscarmos as linhas e colunas numeradas 1 e 3, então na sua intersecção haverá elementos de um menor de segunda ordem, em cuja diagonal principal haverá apenas elementos diagonais da matriz $A$ (elementos $a_(11) =-1$ e $a_(33)=18$ da matriz $A$). Portanto, obtemos um principal menor de segunda ordem:

$$ M=\left|\begin(array) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(array) \right| $$

Naturalmente, poderíamos pegar outras linhas e colunas, por exemplo, com os números 2 e 4, obtendo assim um menor principal diferente de segunda ordem.

Deixe algum menor $M$ da k-ésima ordem da matriz $A_(m\times n)$ não ser igual a zero, ou seja, $M\neq 0$. Neste caso, todos os menores cuja ordem seja superior a k são iguais a zero. Então o menor $M$ é chamado básico, e as linhas e colunas nas quais os elementos do menor básico estão localizados são chamadas cadeias de base E colunas básicas.

Por exemplo, considere a seguinte matriz:

$$A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Vamos anotar o menor desta matriz, cujos elementos estão localizados na intersecção das linhas nº 1, nº 2, nº 3 e colunas nº 1, nº 3, nº 4. Obtemos um menor de terceira ordem (seus elementos estão destacados em roxo na matriz $A$):

$$ \left(\begin(array) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0\\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ certo);\; M=\left|\begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|. $$

Vamos encontrar o valor deste menor usando a fórmula nº 2 do tópico de cálculo de determinantes de segunda e terceira ordens:

$$ M=\esquerda| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Então, $M=11\neq 0$. Agora vamos tentar compor qualquer menor cuja ordem seja superior a três. Para fazer um menor de quarta ordem, temos que utilizar a quarta linha, mas todos os elementos desta linha são zero. Portanto, qualquer menor de quarta ordem terá uma linha zero, o que significa que todos os menores de quarta ordem são iguais a zero. Não podemos criar menores de quinta ordem e superiores, pois a matriz $A$ possui apenas 4 linhas.

Encontramos um menor de terceira ordem que não é igual a zero. Neste caso, todos os menores de ordens superiores são iguais a zero, portanto, o menor que consideramos é básico. As linhas da matriz $A$ nas quais estão localizados os elementos deste menor (o primeiro, o segundo e o terceiro) são as linhas básicas, e a primeira, terceira e quarta colunas da matriz $A$ são as colunas básicas.

Este exemplo, claro, é trivial, pois seu objetivo é mostrar claramente a essência do menor básico. Em geral, pode haver vários menores básicos, e normalmente o processo de busca por tal menor é muito mais complexo e extenso.

Vamos apresentar outro conceito - limítrofe ao menor.

Seja algum $M$ menor de k-ésima ordem da matriz $A_(m\times n)$ localizado na interseção de k linhas e k colunas. Vamos adicionar outra linha e coluna ao conjunto dessas linhas e colunas. O menor resultante de (k+1)-ésima ordem é chamado borda menor por $M$ menores.

Por exemplo, vejamos a seguinte matriz:

$$A=\left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 e 41\\ -5 e 11 e 19 e -20 e -98\\ 6 e 12 e 20 e 21 e 54\\ -7 e 10 e 14 e -36 e 79 \end(array) \right) $ $

Vamos escrever um menor de segunda ordem, cujos elementos estão localizados na intersecção das linhas nº 2 e nº 5, bem como das colunas nº 2 e nº 4. Esses elementos estão destacados em vermelho na matriz:

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 e 8 e -9 e 41\\ -5 e 11 e 19 e -20 e -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & 54\\ -7 e 10 e 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M=\left|\begin(array) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \end(array) \right|. $$

Vamos adicionar outra linha nº 1 ao conjunto de linhas onde estão os elementos do menor $M$ e a coluna nº 5 ao conjunto de colunas. Obtemos um novo $M"$ menor (já de terceira ordem), cujos elementos estão localizados na intersecção das linhas nº 1, nº 2, nº 5 e colunas nº 2, nº 4, nº 5. Os elementos do menor $M$ na figura estão destacados em vermelho, e os elementos que adicionamos ao menor $M$ são azuis:

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M"=\left|\begin(array) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(array) \right|. $$

O menor $M"$ é o menor limítrofe do menor $M$. Da mesma forma, adicionar a linha nº 4 ao conjunto de linhas em que se encontram os elementos do menor $M$ e a coluna nº 3 ao conjunto de colunas, obtemos o menor $M""$ (menor de terceira ordem):

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ negritoazul(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M""=\left|\begin(array) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(array) \right|. $$

O menor $M""$ também é um menor limítrofe para o menor $M$.

Menor da k-ésima ordem da matriz $A_(n\times n)$. Menor adicional. Complemento algébrico ao menor de uma matriz quadrada.

Voltemos às matrizes quadradas novamente. Vamos apresentar o conceito de menor adicional.

Seja dado um certo $M$ menor da k-ésima ordem da matriz $A_(n\times n)$. O determinante de (n-k)ésima ordem, cujos elementos são obtidos da matriz $A$ após a exclusão das linhas e colunas contendo o menor $M$, é chamado de menor, complementar ao menor$M$.

Por exemplo, considere uma matriz quadrada de quinta ordem:

$$ A=\left(\begin(array)(ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 e 41\\ -5 e 11 e 16 e -20 e -98\\ -7 e 10 e 14 e -36 e 79 \end(array) \right) $$

Vamos selecionar as linhas nº 1 e nº 3, bem como as colunas nº 2 e nº 5. Na intersecção dessas linhas e colunas estarão elementos do menor $M$ de segunda ordem. Esses elementos estão destacados em verde na matriz $A$:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array)\ certo);\; M=\left|\begin(array)(cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right|. $$

Agora vamos remover da matriz $A$ as linhas nº 1 e nº 3 e as colunas nº 2 e nº 5, na intersecção das quais existem elementos do menor $M$ (os elementos das linhas e colunas removidas são mostrados em vermelho na figura abaixo). Os elementos restantes formam o menor $M"$:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ negrito(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(array) \right) ;\; M"=\left|\begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array)\right|. $$

O menor $M"$, cuja ordem é $5-2=3$, é o menor complementar ao menor $M$.

Complemento algébrico para menor$M$ de uma matriz quadrada $A_(n\times n)$ é chamada de expressão $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, onde $\alpha$ é a soma dos números das linhas e colunas da matriz $A$, na qual estão localizados os elementos do menor $M$, e $M"$ é o menor complementar ao menor $M$.

A frase "complemento algébrico para o menor $M$" é frequentemente substituída pela frase "complemento algébrico para o menor $M$".

Por exemplo, considere a matriz $A$, para a qual encontramos o menor de segunda ordem $M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ e seu menor adicional de terceira ordem: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (array) \right|$ Vamos denotar o complemento algébrico do menor $M$ como $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alfa\cdot M". $$

O parâmetro $\alpha$ é igual à soma dos números das linhas e colunas nas quais o menor $M$ está localizado. Este menor está localizado na intersecção das linhas nº 1, nº 3 e das colunas nº 2, nº 5. Portanto, $\alfa=1+3+2+5=11$. Então:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.

Em princípio, utilizando a fórmula nº 2 do tópico de cálculo de determinantes de segunda e terceira ordens, você pode completar os cálculos, obtendo o valor $M^*$:

$$ M^*=-\esquerda| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$

Menores de matriz

Deixe dado um quadrado matriz A, enésima ordem. Menor algum elemento a ij , determinante da matriz a enésima ordem é chamada determinante(n - 1)ª ordem, obtida a partir da original riscando a linha e a coluna na interseção da qual está localizado o elemento selecionado a ij. Denotado por M ij.

Vejamos um exemplo determinante da matriz 3 - sua ordem:

Então de acordo com a definição menor, menor M 12, correspondente ao elemento a 12, será determinante:

Ao mesmo tempo, com a ajuda menores pode tornar a tarefa de cálculo mais fácil determinante da matriz. Precisamos espalhar isso determinante da matriz ao longo de alguma linha e então determinante será igual à soma de todos os elementos desta linha pelos seus menores. Decomposição determinante da matriz 3 - sua ordem ficará assim:

O sinal na frente do produto é (-1) n, onde n = i + j.

Adições algébricas:

Complemento algébrico elemento a ij é chamado de menor, tomado com sinal “+” se a soma (i + j) for um número par, e com sinal “-” se esta soma for um número ímpar. Denotado por A ij. Aij = (-1) i+j × Mij.

Então podemos reformular a propriedade declarada acima. Determinante de matriz igual à soma do produto dos elementos de uma determinada linha (linha ou coluna) matrizes aos seus correspondentes adições algébricas. Exemplo:

4. Matriz inversa e seu cálculo.

Seja A quadrado matriz enésima ordem.

Quadrado matriz A é chamado não degenerado se determinante da matriz(Δ = det A) não é zero (Δ = det A ≠ 0). Caso contrário (Δ = 0) matriz A é chamado de degenerado.

Matriz, aliado a matriz Ah, é chamado matriz

Onde Aij - complemento algébrico elemento a ij dado matrizes(é definido da mesma forma que complemento algébrico elemento determinante da matriz).

Matriz Um -1 é chamado matriz inversa A, se a condição for atendida: A × A -1 = A -1 × A = E, onde E é a unidade matriz mesma ordem que matriz A. Matriz A -1 tem as mesmas dimensões que matriz A.

matriz inversa

Se houver quadrados matrizes X e A, satisfazendo a condição: X × A = A × X = E, onde E é a unidade matriz da mesma ordem, então matriz X é chamado matriz inversaà matriz A e é denotado por A -1. Qualquer não degenerado matriz Tem matriz inversa e, além disso, apenas um, ou seja, para que seja quadrado matriz Um tinha matriz inversa, é necessário e suficiente para isso determinante era diferente de zero.

Para conseguir matriz inversa use a fórmula:

Onde M ji é adicional menor elemento a ji matrizes A.

5. Classificação da matriz. Calculando a classificação usando transformações elementares.

Considere uma matriz retangular mхn. Vamos selecionar algumas k linhas e k colunas nesta matriz, 1 £ k £ min (m, n) . A partir dos elementos localizados na intersecção das linhas e colunas selecionadas, compomos um determinante de k-ésima ordem. Todos esses determinantes são chamados de matrizes menores. Por exemplo, para uma matriz você pode compor menores de segunda ordem e menores de primeira ordem 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definição. A classificação de uma matriz é a ordem mais alta do menor diferente de zero desta matriz. Denote a classificação da matriz r(A).

No exemplo dado, o posto da matriz é dois, pois, por exemplo, menor

É conveniente calcular a classificação de uma matriz usando o método das transformações elementares. As transformações elementares incluem o seguinte:

1) reorganização de linhas (colunas);

2) multiplicar uma linha (coluna) por um número diferente de zero;

3) somar aos elementos de uma linha (coluna) os elementos correspondentes de outra linha (coluna), previamente multiplicados por um determinado número.

Essas transformações não alteram a classificação da matriz, pois sabe-se que 1) quando as linhas são reorganizadas, o determinante muda de sinal e, se não for igual a zero, não será mais; 2) ao multiplicar uma sequência de um determinante por um número diferente de zero, o determinante é multiplicado por esse número; 3) a terceira transformação elementar não altera em nada o determinante. Assim, realizando transformações elementares sobre uma matriz, pode-se obter uma matriz para a qual é fácil calcular o posto dela e, consequentemente, da matriz original.

Definição. Uma matriz obtida de uma matriz usando transformações elementares é chamada equivalente e é denotada A EM.

Teorema. A classificação da matriz não muda durante as transformações elementares da matriz.

Usando transformações elementares, você pode reduzir a matriz à chamada forma escalonada, quando calcular sua classificação não é difícil.

Matriz é chamado stepwise se tiver a forma:

Obviamente, a classificação da matriz escalonada é igual ao número de linhas diferentes de zero , porque existe um menor de ordem diferente de zero:

.

Exemplo. Determine a classificação de uma matriz usando transformações elementares.

A classificação da matriz é igual ao número de linhas diferentes de zero, ou seja, .

Vamos continuar a conversa sobre ações com matrizes. Ou seja, durante o estudo desta palestra você aprenderá como encontrar a matriz inversa. Aprender. Mesmo que a matemática seja difícil.

O que é uma matriz inversa? Aqui podemos fazer uma analogia com os números inversos: considere, por exemplo, o número otimista 5 e seu número inverso. O produto desses números é igual a um: . Tudo é semelhante com matrizes! O produto de uma matriz e sua matriz inversa é igual a – matriz de identidade, que é o análogo matricial da unidade numérica. No entanto, comecemos pelo princípio – vamos primeiro resolver uma questão prática importante, nomeadamente, aprender como determinar esta matriz inversa.

O que você precisa saber e ser capaz de fazer para encontrar a matriz inversa? Você deve ser capaz de decidir eliminatórias. Você deve entender o que é matriz e poder realizar algumas ações com eles.

Existem dois métodos principais para encontrar a matriz inversa:
usando adições algébricas E usando transformações elementares.

Hoje estudaremos o primeiro método mais simples.

Vamos começar com o mais terrível e incompreensível. Vamos considerar quadrado matriz. A matriz inversa pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:

Onde está o determinante da matriz, é a matriz transposta dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz.

O conceito de matriz inversa existe apenas para matrizes quadradas, matrizes “dois por dois”, “três por três”, etc.

Designações: Como você já deve ter notado, a matriz inversa é denotada por um sobrescrito

Vamos começar com o caso mais simples – uma matriz dois por dois. Na maioria das vezes, é claro, é necessário “três por três”, mas, mesmo assim, recomendo fortemente estudar uma tarefa mais simples para entender o princípio geral da solução.

Exemplo:

Encontre o inverso de uma matriz

Vamos decidir. É conveniente decompor a sequência de ações ponto por ponto.

1) Primeiro encontramos o determinante da matriz.

Se a sua compreensão desta ação não for boa, leia o material Como calcular o determinante?

Importante! Se o determinante da matriz for igual a ZERO– matriz inversa NÃO EXISTE.

No exemplo em consideração, como se viu, , o que significa que tudo está em ordem.

2) Encontre a matriz dos menores.

Para resolver o nosso problema não é necessário saber o que é menor, porém é aconselhável ler o artigo Como calcular o determinante.

A matriz dos menores tem as mesmas dimensões da matriz, ou seja, neste caso.
A única coisa que falta fazer é encontrar quatro números e colocá-los no lugar das estrelas.

Vamos voltar à nossa matriz
Vejamos primeiro o elemento superior esquerdo:

Como encontrá-lo menor?
E isso é feito assim: Risque MENTALMENTE a linha e a coluna em que este elemento está localizado:

O número restante é menor deste elemento, que escrevemos em nossa matriz de menores:

Considere o seguinte elemento da matriz:

Risque mentalmente a linha e a coluna em que este elemento aparece:

O que resta é o menor deste elemento, que escrevemos em nossa matriz:

Da mesma forma, consideramos os elementos da segunda linha e encontramos seus menores:


Preparar.

É simples. Na matriz de menores você precisa MUDAR SINAIS dois números:

Esses são os números que circulei!

– matriz de adições algébricas dos elementos correspondentes da matriz.

E isso é só...

4) Encontre a matriz transposta de adições algébricas.

– matriz transposta de complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz.

5) Resposta.

Vamos lembrar nossa fórmula
Tudo foi encontrado!

Portanto a matriz inversa é:

É melhor deixar a resposta como está. NÃO HÁ NECESSIDADE divida cada elemento da matriz por 2, pois o resultado são números fracionários. Essa nuance é discutida com mais detalhes no mesmo artigo. Ações com matrizes.

Como verificar a solução?

Você precisa realizar a multiplicação de matrizes ou

Exame:

Recebido já mencionado matriz de identidadeé uma matriz com uns por diagonal principal e zeros em outros lugares.

Assim, a matriz inversa é encontrada corretamente.

Se você realizar a ação, o resultado também será uma matriz identidade. Este é um dos poucos casos em que a multiplicação de matrizes é comutativa, mais detalhes podem ser encontrados no artigo Propriedades das operações sobre matrizes. Expressões matriciais. Observe também que durante a verificação, a constante (fração) é antecipada e processada bem no final - após a multiplicação da matriz. Esta é uma técnica padrão.

Vamos passar para um caso mais comum na prática - a matriz três por três:

Exemplo:

Encontre o inverso de uma matriz

O algoritmo é exatamente o mesmo do caso “dois por dois”.

Encontramos a matriz inversa usando a fórmula: , onde é a matriz transposta dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz.

1) Encontre o determinante da matriz.

Aqui o determinante é revelado na primeira linha.

Além disso, não se esqueça disso, o que significa que está tudo bem - matriz inversa existe.

2) Encontre a matriz dos menores.

A matriz de menores tem dimensão “três por três” , e precisamos determinar nove números.

Vou dar uma olhada em alguns menores:

Considere o seguinte elemento da matriz:

Risque MENTALMENTE a linha e a coluna em que este elemento está localizado:

Escrevemos os quatro números restantes no determinante “dois por dois”.

Este determinante dois por dois e é o menor deste elemento. Precisa ser calculado:


É isso, o menor foi encontrado, escrevemos na nossa matriz de menores:

Como você provavelmente adivinhou, você precisa calcular nove determinantes dois por dois. O processo, claro, é tedioso, mas o caso não é dos mais graves, pode ser pior.

Bem, para consolidar – encontrando outro menor nas fotos:

Tente calcular você mesmo os menores restantes.

Resultado final:
– matriz de menores dos elementos correspondentes da matriz.

O fato de todos os menores terem dado negativo é puramente um acidente.

3) Encontre a matriz de adições algébricas.

Na matriz de menores é necessário MUDAR SINAIS estritamente para os seguintes elementos:

Nesse caso:

Não consideramos encontrar a matriz inversa para uma matriz “quatro por quatro”, pois tal tarefa só pode ser dada por um professor sádico (para o aluno calcular um determinante “quatro por quatro” e 16 determinantes “três por três” ). Na minha prática houve apenas um caso assim, e o cliente do teste pagou muito caro pelo meu tormento =).

Em vários livros e manuais você pode encontrar uma abordagem ligeiramente diferente para encontrar a matriz inversa, mas recomendo usar o algoritmo de solução descrito acima. Por que? Porque a probabilidade de se confundir em cálculos e sinais é muito menor.

Complemento algébrico- conceito de álgebra matricial; em relação ao elemento aij da matriz quadrada A é formado pela multiplicação do menor do elemento aij por (1)i+j; é denotado por Аij: Aij=(1)i+jMij, onde Mij é o menor do elemento aij da matriz A=, ou seja, determinante... ... Dicionário econômico-matemático

complemento algébrico- O conceito de álgebra matricial; em relação ao elemento aij da matriz quadrada A é formado pela multiplicação do menor do elemento aij por (1)i+j; é denotado por Аij: Aij=(1)i+jMij, onde Mij é o menor do elemento aij da matriz A=, ou seja, determinante da matriz,... ... Guia do Tradutor Técnico

Veja o art. Determinante... Grande Enciclopédia Soviética

Para um M menor, um número igual a onde M é um menor de ordem k, localizado em linhas com números e colunas com números de alguma matriz quadrada A de ordem n; determinante de uma matriz de ordem n k obtida da matriz A eliminando as linhas e colunas do menor M;... ... Enciclopédia Matemática

O Wikcionário tem uma entrada para "adição". Adição pode significar... Wikipedia

A operação coloca um subconjunto de um determinado conjunto X em correspondência com outro subconjunto de modo que se Mi N for conhecido, então o conjunto X pode ser restaurado de uma forma ou de outra dependendo da estrutura da qual o conjunto X é dotado. ... Enciclopédia Matemática

Ou um determinante, em matemática, um registro de números na forma de uma tabela quadrada, em correspondência com a qual é colocado outro número (o valor do determinante). Muitas vezes, o conceito de determinante significa tanto o significado do determinante quanto a forma de seu registro.… … Enciclopédia de Collier

Para um teorema da teoria da probabilidade, consulte o artigo Teorema local de Moivre-Laplace. O teorema de Laplace é um dos teoremas da álgebra linear. Nomeado em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace (1749 1827), a quem se atribui a formulação ... ... Wikipedia

- (Matriz Laplaciana) uma das representações de um gráfico utilizando uma matriz. A matriz de Kirchhoff é usada para contar as árvores geradoras de um determinado grafo (teorema da árvore matricial) e também é usada na teoria dos grafos espectrais. Conteúdo 1... ...Wikipédia

Uma equação é uma relação matemática que expressa a igualdade de duas expressões algébricas. Se uma igualdade for verdadeira para quaisquer valores admissíveis das incógnitas nela incluídas, então ela é chamada de identidade; por exemplo, uma proporção da forma... ... Enciclopédia de Collier

Livros

• Matemática discreta, A. V. Chashkin. 352 pp. O livro consiste em 17 capítulos sobre as principais seções da matemática discreta: análise combinatória, teoria dos grafos, funções booleanas, complexidade computacional e teoria da codificação. Contém...

Sem transformação de matriz, o determinante é fácil de calcular apenas para matrizes de tamanho 2x2 e 3x3. Isso é feito de acordo com as fórmulas:

Para matriz

o determinante é igual a:

Para matriz

o determinante é igual a:

a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

Os cálculos para matrizes de tamanho 4x4 e maiores são difíceis, por isso precisam ser transformados de acordo com as propriedades do determinante. Devemos nos esforçar para obter uma matriz na qual todos os valores, exceto um de qualquer coluna ou linha, sejam iguais a zero. Um exemplo de tal matriz:

Para isso, o determinante é igual a:

A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))

Observe que

a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)

Este é o cálculo do determinante da matriz obtido pela subtração de uma linha e de uma coluna, em cuja interseção está o único número diferente de zero da linha/coluna, segundo o qual decompomos a matriz:

E multiplicamos o valor resultante pelo mesmo número da coluna/linha “zero”, enquanto o número pode ser multiplicado por -1 (todos os detalhes abaixo).

Se reduzirmos a matriz à forma triangular, então seu determinante será calculado como o produto dos dígitos ao longo da diagonal. Por exemplo, para a matriz

O determinante é igual a:

O mesmo deve ser feito com matrizes 5x5, 6x6 e outras dimensões grandes.

As transformações matriciais devem ser realizadas de acordo com as propriedades do determinante. Mas antes de praticarmos o cálculo do determinante para matrizes 4x4, vamos voltar às matrizes 3x3 e dar uma olhada mais de perto em como o determinante é calculado para elas.

Menor

O determinante de uma matriz não é muito fácil de entender porque há recursão no seu conceito: o determinante de uma matriz é composto por vários elementos, incluindo o determinante de (outras) matrizes.

Para evitar ficar preso aqui, vamos assumir (temporariamente) agora que o determinante de uma matriz é

é calculado assim:

Vamos também entender as convenções e conceitos como menor E complemento algébrico.

A letra i denota o número ordinal da linha e a letra j denota o número ordinal da coluna.

a ij significa o elemento da matriz (dígito) na interseção da linha i e da coluna j.

Vamos imaginar uma matriz obtida da original removendo a linha i e a coluna j. O determinante da nova matriz, que é obtido a partir da original removendo a linha i e a coluna j, é chamado de M ij menor do elemento a ij .

Vamos ilustrar o que foi dito. Suponha que dada uma matriz

Então, para determinar o menor M 11 do elemento a 11, precisamos criar uma nova matriz, que é obtida a partir da original removendo a primeira linha e a primeira coluna:

E calcule o determinante para isso: 2*1 – (-4)*0 = 2

Para determinar o menor M 22 do elemento a 22, precisamos criar uma nova matriz, que é obtida a partir da original removendo a segunda linha e a segunda coluna:

E calcule o determinante para isso: 1*1 -3*3 = -8

Complemento algébrico

O complemento algébrico A ij para um elemento a ij é o menor M ij deste elemento, tomado com o sinal “+”, se a soma dos índices de linha e coluna (i + j) na intersecção dos quais este elemento se encontra é par e com sinal “-” se a soma dos índices for ímpar.

Por isso,

Para a matriz do exemplo anterior

A11 = (-1) (1+1) * (2*1 – (-4)*0) = 2

A22 = (-1) (2+2) * (1*1 -3*3) = -8

Calculando o determinante para matrizes

O determinante de ordem n correspondente à matriz A é um número denotado por det A e calculado pela fórmula:

Tudo nesta fórmula já nos é familiar, vamos agora calcular o determinante da matriz para

Qualquer que seja o número da linha i = 1,2,..., n ou da coluna j = 1, 2,..., n, o determinante de enésima ordem é igual à soma dos produtos dos elementos desta linha ou desta coluna por seus complementos algébricos, ou seja,

Aqueles. o determinante pode ser calculado a partir de qualquer coluna ou linha.

Para verificar isso, vamos calcular o determinante da matriz do último exemplo usando a segunda coluna

Como você pode ver, o resultado é idêntico e para esta matriz o determinante será sempre -52, independentemente da linha ou coluna a partir da qual o calculamos.

Propriedades do determinante da matriz

1. As linhas e colunas do determinante são iguais, ou seja, o valor do determinante não mudará se suas linhas e colunas forem trocadas mantendo sua ordem. Esta operação é chamada de transposição do determinante. De acordo com a propriedade formulada det A = det AT.
2. Quando duas linhas (ou duas colunas) são trocadas, o determinante mantém seu valor absoluto, mas muda de sinal para o oposto.
3. Um determinante com duas linhas (ou colunas) idênticas é igual a zero.
4. Multiplicar todos os elementos de uma determinada linha (ou coluna) de um determinante por um número λ é equivalente a multiplicar o determinante por um número λ.
5. Se todos os elementos de qualquer linha (ou coluna) de um determinante forem iguais a zero, então o próprio determinante será igual a zero.
6. Se os elementos de duas linhas (ou duas colunas) de um determinante são proporcionais, então o determinante é igual a zero.
7. Se aos elementos de uma determinada linha (ou alguma coluna) do determinante somarmos os elementos correspondentes de outra linha (outra coluna), multiplicados por um fator arbitrário λ, então o valor do determinante não mudará.
8. A soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (qualquer coluna) do determinante pelos complementos algébricos correspondentes dos elementos de qualquer outra linha (qualquer outra coluna) é igual a zero.
9. Se todos os elementos da i-ésima linha do determinante forem apresentados como a soma de dois termos a ij = b j + c j então o determinante é igual à soma de dois determinantes cujas todas as linhas, exceto a i-ésima, são iguais como no determinante dado, i-ésima linha em um dos termos consiste em elementos b j , e no outro - de elementos c j . Uma propriedade semelhante é verdadeira para as colunas do determinante.
10. O determinante do produto de duas matrizes quadradas é igual ao produto de seus determinantes: det (A * B) = det A * det B.

Para calcular o determinante de qualquer ordem, você pode usar o método de redução sucessiva da ordem do determinante. Para fazer isso, use a regra de decomposição do determinante nos elementos de uma linha ou coluna. Outra forma de calcular determinantes é usar transformações elementares com linhas (ou colunas), principalmente de acordo com as propriedades dos determinantes 4 e 7, para reduzir o determinante à forma quando sob a diagonal principal do determinante (definido da mesma forma como nas matrizes quadradas) todos os elementos são iguais a zero. Então o determinante é igual ao produto dos elementos localizados na diagonal principal.

Ao calcular o determinante diminuindo sucessivamente a ordem para reduzir a quantidade de trabalho computacional, é aconselhável utilizar a propriedade dos 7 determinantes para conseguir zerar parte dos elementos de qualquer linha ou coluna do determinante, o que reduzirá o número de adições algébricas calculadas.

Reduzindo uma matriz à forma triangular, transformando uma matriz para facilitar o cálculo do determinante

Os métodos mostrados abaixo não são práticos para matrizes 3x3, mas sugiro observar a essência dos métodos usando um exemplo simples. Vamos usar a matriz para a qual já calculamos o determinante - será mais fácil verificarmos a exatidão dos cálculos:

Usando a 7ª propriedade do determinante, subtraia da segunda linha a terceira, multiplicada por 2:

da terceira linha subtraímos os elementos correspondentes da primeira linha do determinante, multiplicados por 3:

Como os elementos do determinante localizados sob sua diagonal principal são iguais a 0, então, portanto, determinar é igual ao produto dos elementos localizados na diagonal principal:

1*2*(-26) = -52.

Como você pode ver, a resposta coincidiu com as recebidas anteriormente.

Vamos lembrar a fórmula do determinante da matriz:

O determinante é a soma dos complementos algébricos multiplicada pelos termos de uma das linhas ou de uma das colunas.

Se, como resultado das transformações, fizermos com que uma das linhas (ou coluna) consista inteiramente de zeros, exceto uma posição, então não precisaremos contar todas as adições algébricas, pois certamente serão iguais a zero . Como o método anterior, este é aconselhável para matrizes grandes.

Vamos mostrar um exemplo na mesma matriz:

Notamos que a segunda coluna do determinante já contém um elemento zero. Adicionamos aos elementos da segunda linha os elementos da primeira linha, multiplicados por -1. Nós temos:

Vamos calcular o determinante da segunda coluna. Precisamos calcular apenas uma adição algébrica, já que o resto obviamente se reduz a zero:

Cálculo do determinante para matrizes 4x4, 5x5 e dimensões superiores

Para evitar muitos cálculos para matrizes grandes, você deve fazer as transformações descritas acima. Vamos dar alguns exemplos.

Calcular matrizes de decisão

Solução. Utilizando a 7ª propriedade do determinante, subtraímos a terceira da segunda linha, e da quarta linha os elementos correspondentes da primeira linha do determinante, multiplicados por 3, 4, 5, respectivamente. como segue: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Obtemos:

Vamos realizar as ações