การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอเป็นวงกลม- นี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโค้ง ตัวอย่างเช่น ปลายเข็มนาฬิกาจะเคลื่อนเป็นวงกลมรอบหน้าปัด เรียกว่าความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร็วเชิงเส้น.

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ โมดูลความเร็วของร่างกายจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป นั่นคือ v = const และมีเพียงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้ ไม่มีการเร่งความเร็วในวงสัมผัส (a r = 0) และการเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์ความเร็วในทิศทางจะแสดงลักษณะเฉพาะด้วยปริมาณที่เรียกว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง(ความเร่งปกติ) a n หรือ CS ในแต่ละจุดของวิถี เวกเตอร์ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมตามรัศมี

โมดูลัสของการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางมีค่าเท่ากับ

CS =v 2 / R

โดยที่ v คือความเร็วเชิงเส้น R คือรัศมีของวงกลม

ข้าว. 1.22. การเคลื่อนไหวของร่างกายเป็นวงกลม

เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลม เราใช้ มุมการหมุนรัศมี– มุม φ ซึ่งในช่วงเวลา t รัศมีที่ดึงจากศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดที่วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่อยู่ในขณะนั้นจะหมุน มุมการหมุนวัดเป็นเรเดียน เท่ากับมุมระหว่างรัศมีสองรัศมีของวงกลม ความยาวของส่วนโค้งระหว่างนั้นเท่ากับรัศมีของวงกลม (รูปที่ 1.23) นั่นคือถ้า l = R แล้ว

1 เรเดียน= ลิตร / ร

เพราะ เส้นรอบวงเท่ากับ

L = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π ราด

เพราะฉะนั้น

1 ราด = 57.2958 โอ = 57 หรือ 18’

ความเร็วเชิงมุมการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของวัตถุในวงกลมคือค่า ω เท่ากับอัตราส่วนของมุมการหมุนของรัศมี φ ต่อช่วงเวลาที่ทำการหมุนนี้:

ω = φ / เสื้อ

หน่วยวัดความเร็วเชิงมุมคือเรเดียนต่อวินาที [rad/s] โมดูลความเร็วเชิงเส้นถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความยาวของเส้นทางที่เคลื่อนที่ l ต่อช่วงเวลา t:

วี=ลิตร/ตัน

ความเร็วเชิงเส้นด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอรอบวงกลม มันจะพุ่งไปตามเส้นสัมผัสที่จุดที่กำหนดบนวงกลม เมื่อจุดเคลื่อนที่ ความยาว l ของส่วนโค้งของวงกลมที่เคลื่อนที่โดยจุดนั้นสัมพันธ์กับมุมการหมุน φ ด้วยนิพจน์

L = Rφ

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลม

จากนั้น ในกรณีของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุด ความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมจะสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์:

V = l / t = Rφ / t = Rω หรือ v = Rω

ข้าว. 1.23. เรเดียน.

ระยะเวลาการไหลเวียน– นี่คือช่วงเวลา T ในระหว่างที่วัตถุ (จุด) ทำการหมุนรอบวงกลมหนึ่งครั้ง ความถี่– นี่คือส่วนกลับของคาบการปฏิวัติ – จำนวนรอบต่อหน่วยเวลา (ต่อวินาที) ความถี่ของการไหลเวียนจะแสดงด้วยตัวอักษร n

N=1/ต

ในช่วงเวลาหนึ่ง มุมการหมุน φ ของจุดจะเท่ากับ 2π rad ดังนั้น 2π = ωT ดังนั้น

T = 2π/ω

นั่นคือความเร็วเชิงมุมเท่ากับ

ω = 2π / T = 2πn

ความเร่งสู่ศูนย์กลางสามารถแสดงในรูปของคาบ T และความถี่การไหลเวียน n:

A CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นกรณีที่ง่ายที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโค้งของร่างกาย เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไปรอบจุดหนึ่งพร้อมกับเวกเตอร์การกระจัด จะสะดวกในการป้อนการกระจัดเชิงมุม ∆ φ (มุมการหมุนสัมพันธ์กับศูนย์กลางของวงกลม) โดยวัดเป็นเรเดียน

เมื่อทราบการกระจัดเชิงมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณความยาวของส่วนโค้งวงกลม (เส้นทาง) ที่วัตถุได้เคลื่อนที่ไป

∆ ลิตร = R ∆ φ

หากมุมการหมุนน้อย ดังนั้น ∆ l µ ∆ s

ให้เราอธิบายสิ่งที่กล่าวไว้:

ความเร็วเชิงมุม

ด้วยการเคลื่อนที่แบบโค้ง แนวคิดของความเร็วเชิงมุม ω ถูกนำมาใช้นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงในมุมการหมุน

คำนิยาม. ความเร็วเชิงมุม

ความเร็วเชิงมุมที่จุดที่กำหนดของวิถีคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการกระจัดเชิงมุม ∆ φ ต่อช่วงเวลา ∆ t ในระหว่างที่มันเกิดขึ้น ∆ เสื้อ → 0 .

ω = ∆ φ ∆ เสื้อ , ∆ เสื้อ → 0 .

หน่วยวัดความเร็วเชิงมุมคือเรเดียนต่อวินาที (r a d s)

มีความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นของวัตถุเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลม สูตรการหาความเร็วเชิงมุม:

เมื่อการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ความเร็ว v และ ω จะไม่เปลี่ยนแปลง เฉพาะทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง

ในกรณีนี้ การเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลมส่งผลต่อร่างกายโดยศูนย์กลางของวงกลม หรือการเร่งความเร็วปกติ ซึ่งพุ่งไปตามรัศมีของวงกลมจนถึงศูนย์กลาง

n = ∆ v → ∆ เสื้อ , ∆ t → 0

โมดูลัสของการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

n = โวลต์ 2 R = ω 2 R

ให้เราพิสูจน์ความสัมพันธ์เหล่านี้

ลองพิจารณาว่าเวกเตอร์ v → เปลี่ยนแปลงอย่างไรในช่วงเวลาสั้นๆ ∆ t ∆ โวลต์ → = โวลต์ B → - โวลต์ A → .

ที่จุด A และ B เวกเตอร์ความเร็วจะพุ่งในแนวสัมผัสไปยังวงกลม ในขณะที่โมดูลความเร็วที่ทั้งสองจุดจะเท่ากัน

ตามคำจำกัดความของการเร่งความเร็ว:

ก → = ∆ โวลต์ → ∆ เสื้อ , ∆ เสื้อ → 0

ลองดูที่ภาพ:

สามเหลี่ยม OAB และ BCD มีความคล้ายคลึงกัน จากนี้ไป O A A B = B C C D .

ถ้าค่าของมุม ∆ φ น้อย ระยะทาง A B = ∆ s µ v · ∆ t เมื่อพิจารณาว่า O A = R และ C D = ∆ v สำหรับสามเหลี่ยมที่คล้ายกันที่พิจารณาข้างต้น เราได้รับ:

R v ∆ t = v ∆ v หรือ ∆ v ∆ t = v 2 R

เมื่อ ∆ φ → 0 ทิศทางของเวกเตอร์ ∆ v → = v B → - v A → เข้าใกล้ทิศทางไปยังศูนย์กลางของวงกลม สมมติว่า ∆ t → 0 เราจะได้:

ก → = n → = ∆ โวลต์ → ∆ เสื้อ ; ∆ เสื้อ → 0 ; ก n → = โวลต์ 2 R .

ด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอรอบวงกลม โมดูลัสความเร่งจะคงที่ และทิศทางของเวกเตอร์จะเปลี่ยนไปตามกาลเวลา โดยคงทิศทางไว้ที่ศูนย์กลางของวงกลม นั่นคือสาเหตุที่ความเร่งนี้เรียกว่าศูนย์กลางวงกลม: เวกเตอร์ ณ เวลาใดๆ จะถูกมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลม

การเขียนความเร่งสู่ศูนย์กลางในรูปแบบเวกเตอร์มีลักษณะดังนี้:

และ → = - ω 2 R → .

โดยที่ R → คือเวกเตอร์รัศมีของจุดบนวงกลมโดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

โดยทั่วไป ความเร่งเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลมประกอบด้วยสององค์ประกอบ - ปกติและวงสัมผัส

ลองพิจารณากรณีที่ร่างกายเคลื่อนที่ไปรอบๆ วงกลมอย่างไม่สม่ำเสมอ เราขอแนะนำแนวคิดของการเร่งความเร็วในวงสัมผัส (วงสัมผัส) ทิศทางของมันเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร็วเชิงเส้นของร่างกายและที่แต่ละจุดของวงกลมจะถูกสัมผัสโดยตรงกับมัน

ก τ = ∆ โวลต์ τ ∆ เสื้อ ; ∆ เสื้อ → 0

ที่นี่ ∆ v τ = v 2 - v 1 - การเปลี่ยนแปลงในโมดูลความเร็วในช่วงเวลา ∆ t

ทิศทางของความเร่งรวมถูกกำหนดโดยผลรวมเวกเตอร์ของความเร่งปกติและแนวสัมผัส

การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบสามารถอธิบายได้โดยใช้พิกัดสองพิกัด: x และ y ในแต่ละช่วงเวลา ความเร็วของร่างกายสามารถสลายตัวเป็นองค์ประกอบ v x และ v y

หากการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ปริมาณ v x และ v y รวมถึงพิกัดที่สอดคล้องกันจะเปลี่ยนตามเวลาตามกฎฮาร์มอนิกที่มีคาบ T = 2 π R v = 2 π ω

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เนื่องจากความเร็วเชิงเส้นเปลี่ยนทิศทางสม่ำเสมอ การเคลื่อนที่แบบวงกลมจึงไม่สามารถเรียกว่าสม่ำเสมอได้ แต่จะมีการเร่งความเร็วสม่ำเสมอ

ความเร็วเชิงมุม

ลองเลือกจุดบนวงกลม 1 - มาสร้างรัศมีกันดีกว่า ในหน่วยเวลา จุดจะเคลื่อนไปยังจุด 2 - ในกรณีนี้ รัศมีจะอธิบายมุม ความเร็วเชิงมุมเป็นตัวเลขเท่ากับมุมการหมุนของรัศมีต่อหน่วยเวลา

ระยะเวลาและความถี่

ระยะเวลาการหมุน ต- นี่คือเวลาที่ร่างกายทำการปฏิวัติหนึ่งครั้ง

ความถี่ในการหมุนคือจำนวนรอบต่อวินาที

ความถี่และระยะเวลามีความสัมพันธ์กันตามความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์กับความเร็วเชิงมุม

ความเร็วเชิงเส้น

แต่ละจุดบนวงกลมเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่กำหนด ความเร็วนี้เรียกว่าเชิงเส้น ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นสัมผัสของวงกลมเสมอตัวอย่างเช่น ประกายไฟจากใต้เครื่องบดเคลื่อนที่ ทำซ้ำในทิศทางความเร็วขณะนั้น

พิจารณาจุดบนวงกลมที่ทำให้เกิดการปฏิวัติหนึ่งครั้ง เวลาที่ใช้คือคาบ ต- เส้นทางที่จุดเดินทางคือเส้นรอบวง

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง

เมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลม เวกเตอร์ความเร่งจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอ โดยมุ่งไปที่ศูนย์กลางของวงกลม

เมื่อใช้สูตรก่อนหน้านี้ เราสามารถหาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ได้

จุดที่วางอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกันที่เล็ดลอดออกมาจากศูนย์กลางของวงกลม (เช่น จุดเหล่านี้อาจเป็นจุดที่อยู่บนซี่ล้อ) จะมีความเร็วเชิงมุม คาบ และความถี่เท่ากัน นั่นคือพวกเขาจะหมุนในลักษณะเดียวกัน แต่มีความเร็วเชิงเส้นต่างกัน ยิ่งจุดอยู่ห่างจากศูนย์กลางมากเท่าใด ก็จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเท่านั้น

กฎการเพิ่มความเร็วยังใช้ได้กับการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ถ้าการเคลื่อนที่ของวัตถุหรือกรอบอ้างอิงไม่สม่ำเสมอ กฎนี้จะใช้กับความเร็วขณะนั้น ตัวอย่างเช่น ความเร็วของบุคคลที่เดินไปตามขอบของม้าหมุนจะเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความเร็วเชิงเส้นของการหมุนของขอบของม้าหมุนและความเร็วของบุคคล

โลกมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวแบบหมุนรอบหลักสองแบบ: รายวัน (รอบแกนของมัน) และวงโคจร (รอบดวงอาทิตย์) ระยะเวลาที่โลกหมุนรอบดวงอาทิตย์คือ 1 ปีหรือ 365 วัน โลกหมุนรอบแกนจากตะวันตกไปตะวันออก ระยะเวลาการหมุนรอบตัวเองคือ 1 วันหรือ 24 ชั่วโมง ละติจูดคือมุมระหว่างระนาบของเส้นศูนย์สูตรกับทิศทางจากศูนย์กลางของโลกไปยังจุดหนึ่งบนพื้นผิว

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน สาเหตุของความเร่งคือแรง หากวัตถุที่กำลังเคลื่อนไหวประสบกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง ลักษณะของแรงที่ทำให้เกิดการเร่งความเร็วนี้อาจแตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น หากวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมบนเชือกที่ผูกไว้ แรงกระทำคือแรงยืดหยุ่น

หากวัตถุที่วางอยู่บนจานหมุนโดยให้จานหมุนรอบแกนของมัน แรงนั้นก็คือแรงเสียดทาน หากแรงหยุดกระทำ ร่างกายก็จะเคลื่อนที่ต่อไปเป็นเส้นตรง

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดบนวงกลมจาก A ไป B โดยมีความเร็วเชิงเส้นเท่ากับ วีเอและ วีบีตามลำดับ ความเร่งคือการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อหน่วยเวลา ลองหาความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์กัน

1. เคลื่อนไหวเป็นวงกลมสม่ำเสมอ

2. ความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบหมุน

3. ระยะเวลาหมุนเวียน

4. ความเร็วในการหมุน

5. ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นกับความเร็วเชิงมุม

6. ความเร่งสู่ศูนย์กลาง

7. การเคลื่อนไหวที่แปรผันเท่ากันในวงกลม

8. ความเร่งเชิงมุมในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

9. การเร่งความเร็วในวงสัมผัส

10. กฎการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม

11. ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม

12. สูตรที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุม ความเร่งเชิงมุม และมุมการหมุนในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม

1.การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอเป็นวงกลม– การเคลื่อนที่ที่จุดวัสดุผ่านส่วนที่เท่ากันของส่วนโค้งวงกลมในช่วงเวลาเท่ากัน เช่น จุดเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วสัมบูรณ์คงที่ ในกรณีนี้ ความเร็วจะเท่ากับอัตราส่วนของส่วนโค้งของวงกลมที่เคลื่อนที่โดยจุดต่อเวลาที่เคลื่อนที่ กล่าวคือ

และเรียกว่าความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ในวงกลม

เช่นเดียวกับการเคลื่อนที่แบบโค้ง เวกเตอร์ความเร็วจะหันเข้าหาวงกลมในทิศทางการเคลื่อนที่ในแนวสัมผัส (รูปที่ 25)

2. ความเร็วเชิงมุมในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ– อัตราส่วนของมุมการหมุนของรัศมีต่อเวลาการหมุน:

ในการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ ความเร็วเชิงมุมจะคงที่ ในระบบ SI ความเร็วเชิงมุมจะวัดเป็น (rad/s) หนึ่งเรเดียน - rad คือมุมที่ศูนย์กลางซึ่งรองรับส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาวเท่ากับรัศมี มุมเต็มมีเรเดียน เช่น ต่อการปฏิวัติ รัศมีจะหมุนเป็นมุมเรเดียน

3. ระยะเวลาการหมุน– ช่วงเวลา T ในระหว่างที่จุดวัสดุทำให้เกิดการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้ง ในระบบ SI ระยะเวลาจะวัดเป็นวินาที

4. ความถี่ในการหมุน– จำนวนรอบที่เกิดขึ้นในหนึ่งวินาที ในระบบ SI ความถี่จะวัดเป็นเฮิรตซ์ (1Hz = 1) หนึ่งเฮิรตซ์คือความถี่ที่การปฏิวัติหนึ่งรอบเสร็จสิ้นในหนึ่งวินาที มันง่ายที่จะจินตนาการว่า

ถ้าในช่วงเวลาหนึ่ง มีการปฏิวัติรอบวงกลมแล้ว

เมื่อทราบระยะเวลาและความถี่ของการหมุน ความเร็วเชิงมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

5 ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นกับความเร็วเชิงมุม- ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมเท่ากับตำแหน่งที่มุมศูนย์กลางแสดงเป็นเรเดียน ซึ่งเป็นรัศมีของวงกลมที่รองรับส่วนโค้ง ตอนนี้เราเขียนความเร็วเชิงเส้นในรูปแบบ

การใช้สูตรมักจะสะดวก: หรือ ความเร็วเชิงมุมมักเรียกว่าความถี่ไซคลิก และความถี่เรียกว่าความถี่เชิงเส้น

6. ความเร่งสู่ศูนย์กลาง- ในการเคลื่อนที่สม่ำเสมอรอบวงกลม โมดูลความเร็วยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของมันจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง (รูปที่ 26) ซึ่งหมายความว่าร่างกายที่เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอในวงกลมจะประสบกับความเร่งซึ่งมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางและเรียกว่าความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ปล่อยให้ระยะทางเดินทางเท่ากับส่วนโค้งของวงกลมในช่วงเวลาหนึ่ง ลองย้ายเวกเตอร์โดยปล่อยให้มันขนานกับตัวมันเอง เพื่อให้จุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่จุด B โมดูลัสของการเปลี่ยนแปลงความเร็วเท่ากับ และโมดูลัสของความเร่งสู่ศูนย์กลางเท่ากับ

ในรูปที่ 26 สามเหลี่ยม AOB และ DVS เป็นหน้าจั่ว และมุมที่จุดยอด O และ B เท่ากัน เช่นเดียวกับมุมที่มีด้านตั้งฉากกัน AO และ OB ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม AOB และ DVS มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้นหากนั่นคือช่วงเวลาใช้ค่าเล็ก ๆ โดยพลการ ส่วนโค้งก็สามารถประมาณได้ว่าเท่ากับคอร์ด AB เช่น - ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ เมื่อพิจารณาว่า VD = , OA = R เราได้รับคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วย เราจะได้นิพจน์สำหรับโมดูลัสของการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางในการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม: . เมื่อพิจารณาว่าเราได้รับสูตรที่ใช้บ่อยสองสูตร:

ดังนั้น ในการเคลื่อนที่สม่ำเสมอรอบวงกลม ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะมีขนาดคงที่

มันง่ายที่จะเข้าใจว่าในขอบเขตที่ มุม . ซึ่งหมายความว่ามุมที่ฐานของ DS ของสามเหลี่ยม ICE มีแนวโน้มเป็นค่า และเวกเตอร์การเปลี่ยนแปลงความเร็วจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็ว กล่าวคือ มุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมตามแนวรัศมี

7. การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสลับกัน– การเคลื่อนที่แบบวงกลมซึ่งความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนแปลงด้วยปริมาณเท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน

8. ความเร่งเชิงมุมในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ– อัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมต่อช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น เช่น

โดยที่ค่าเริ่มต้นของความเร็วเชิงมุม ค่าสุดท้ายของความเร็วเชิงมุม ความเร่งเชิงมุม ในระบบ SI มีหน่วยวัดเป็น จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดเราได้สูตรสำหรับคำนวณความเร็วเชิงมุม

และถ้า .

การคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันเหล่านี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น คือการเร่งความเร็วในวงสัมผัส กล่าวคือ ความเร่งที่พุ่งเข้าหาวงกลมในวงสัมผัสเราได้สูตรสำหรับคำนวณความเร็วเชิงเส้น:

และถ้า .

9. ความเร่งในวงสัมผัสตัวเลขเท่ากับการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อหน่วยเวลาและพุ่งไปตามเส้นสัมผัสของวงกลม ถ้า >0, >0 แสดงว่าการเคลื่อนที่มีความเร่งสม่ำเสมอ ถ้า<0 и <0 – движение.

10. กฎการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม- เส้นทางที่เดินทางรอบวงกลมด้วยเวลาโดยมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอคำนวณโดยสูตร:

การแทนที่ , และลดด้วย เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม:

หรือถ้า.

หากการเคลื่อนไหวช้าสม่ำเสมอ เช่น<0, то

11.ความเร่งรวมในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร่งสม่ำเสมอ- ในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป เนื่องจาก เนื่องจากการเร่งความเร็วในวงโคจร ความเร็วเชิงเส้นจึงเพิ่มขึ้น บ่อยครั้งที่ความเร่งสู่ศูนย์กลางเรียกว่าปกติและแสดงเป็น เนื่องจากการเร่งความเร็วรวม ณ เวลาที่กำหนดถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส (รูปที่ 27)

12. ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม- ความเร็วเชิงเส้นเฉลี่ยในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลมเท่ากับ แทนที่ตรงนี้และลดด้วยเราได้

ถ้าอย่างนั้น.

12. สูตรที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุม ความเร่งเชิงมุม และมุมการหมุนในการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอในวงกลม

การแทนปริมาณ , , , , ลงในสูตร

และลดด้วย เราก็จะได้

การบรรยาย-4 พลวัต

1. พลวัต

2. ปฏิสัมพันธ์ของร่างกาย

3. ความเฉื่อย หลักการของความเฉื่อย

4. กฎข้อแรกของนิวตัน

5. จุดวัสดุฟรี

6. ระบบอ้างอิงเฉื่อย

7. ระบบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย

8. หลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ

9. การเปลี่ยนแปลงแบบกาลิลี

11. การเพิ่มกำลัง

13. ความหนาแน่นของสาร

14. จุดศูนย์กลางมวล

15. กฎข้อที่สองของนิวตัน

16. หน่วยกำลัง

17. กฎข้อที่สามของนิวตัน

1. ไดนามิกส์มีกลศาสตร์สาขาหนึ่งที่ศึกษาการเคลื่อนที่ทางกล ขึ้นอยู่กับแรงที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่นี้

2.ปฏิสัมพันธ์ของร่างกาย- วัตถุสามารถโต้ตอบทั้งในการสัมผัสโดยตรงและในระยะไกลผ่านสสารชนิดพิเศษที่เรียกว่าสนามทางกายภาพ

ตัวอย่างเช่น วัตถุทั้งหมดถูกดึงดูดเข้าหากัน และการดึงดูดนี้กระทำผ่านสนามโน้มถ่วง และแรงดึงดูดเรียกว่าแรงโน้มถ่วง

วัตถุที่มีประจุไฟฟ้าจะมีปฏิกิริยาโต้ตอบผ่านสนามไฟฟ้า กระแสไฟฟ้ามีปฏิกิริยาโต้ตอบผ่านสนามแม่เหล็ก แรงเหล่านี้เรียกว่าแม่เหล็กไฟฟ้า

อนุภาคมูลฐานมีปฏิสัมพันธ์กันผ่านสนามนิวเคลียร์ และแรงเหล่านี้เรียกว่านิวเคลียร์

3.ความเฉื่อย- ในศตวรรษที่ 4 พ.ศ จ. อริสโตเติล นักปรัชญาชาวกรีก แย้งว่าสาเหตุของการเคลื่อนไหวของร่างกายคือแรงที่กระทำจากอีกร่างหนึ่งหรืออีกร่างหนึ่ง ในเวลาเดียวกัน ตามการเคลื่อนไหวของอริสโตเติล แรงคงที่จะส่งความเร็วคงที่ให้กับร่างกาย และเมื่อแรงหยุด การเคลื่อนไหวก็หยุดลง

ในศตวรรษที่ 16 กาลิเลโอ กาลิเลอิ นักฟิสิกส์ชาวอิตาลี ทำการทดลองโดยให้วัตถุกลิ้งไปตามระนาบเอียงและวัตถุที่ตกลงมา แสดงให้เห็นว่าแรงคงที่ (ในกรณีนี้คือน้ำหนักของร่างกาย) ให้ความเร่งแก่ร่างกาย

จากการทดลอง กาลิเลโอแสดงให้เห็นว่าแรงเป็นสาเหตุของการเร่งความเร็วของร่างกาย ให้เรานำเสนอเหตุผลของกาลิเลโอ ปล่อยให้ลูกบอลเรียบมากกลิ้งไปตามระนาบแนวนอนเรียบ หากไม่มีสิ่งใดกีดขวางลูกบอลก็สามารถหมุนได้นานเท่าที่ต้องการ หากมีทรายบางๆ เทลงบนเส้นทางของลูกบอล มันจะหยุดเร็วมากเพราะว่า มันได้รับผลกระทบจากแรงเสียดทานของทราย

ดังนั้นกาลิเลโอจึงมาถึงการกำหนดหลักการของความเฉื่อย ซึ่งวัตถุจะรักษาสภาวะนิ่งหรือการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ หากไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุนั้น คุณสมบัติของสสารนี้มักเรียกว่าความเฉื่อย และการเคลื่อนที่ของร่างกายโดยไม่มีอิทธิพลจากภายนอกเรียกว่าการเคลื่อนไหวโดยความเฉื่อย

4. กฎข้อแรกของนิวตัน- ในปี ค.ศ. 1687 นิวตันได้กำหนดกฎข้อแรกของพลศาสตร์ขึ้นตามหลักการความเฉื่อยของกาลิเลโอ - กฎข้อแรกของนิวตัน:

จุดวัสดุ (วัตถุ) อยู่ในสถานะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ หากวัตถุอื่นไม่กระทำการต่อจุดนั้น หรือแรงที่กระทำจากวัตถุอื่นมีความสมดุล กล่าวคือ ชดเชย.

5.จุดวัสดุฟรี- จุดวัตถุที่ไม่ได้รับผลกระทบจากวัตถุอื่น บางครั้งพวกเขาพูดว่า - จุดวัสดุที่แยกได้

6. ระบบอ้างอิงเฉื่อย (IRS)– ระบบอ้างอิงสัมพันธ์กับจุดวัสดุที่แยกเดี่ยวเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ หรืออยู่นิ่ง

ระบบอ้างอิงใดๆ ที่เคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงสัมพันธ์กับ ISO ถือเป็นระบบเฉื่อย

ขอให้เราให้กฎข้อที่หนึ่งของนิวตันอีกรูปแบบหนึ่ง: มีระบบอ้างอิงที่สัมพันธ์กับจุดวัสดุอิสระที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ หรืออยู่นิ่ง ระบบอ้างอิงดังกล่าวเรียกว่าระบบเฉื่อย กฎข้อที่หนึ่งของนิวตันมักเรียกว่ากฎความเฉื่อย

กฎข้อที่หนึ่งของนิวตันอาจมีสูตรดังต่อไปนี้: ตัววัตถุทุกตัวต้านทานการเปลี่ยนแปลงความเร็วของมัน คุณสมบัติของสสารนี้เรียกว่าความเฉื่อย

เราเผชิญกับการสำแดงของกฎหมายนี้ทุกวันในการขนส่งในเมือง เมื่อจู่ๆ รถบัสก็เร่งความเร็วขึ้น เราก็ถูกกดทับที่เบาะหลัง เมื่อรถบัสชะลอความเร็ว ร่างกายของเราก็จะลื่นไถลไปตามทิศทางของรถบัส

7. ระบบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย –ระบบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไม่สม่ำเสมอเมื่อเทียบกับ ISO

วัตถุที่อยู่ในสถานะหยุดนิ่งหรือมีการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับ ISO มันเคลื่อนที่ไม่สม่ำเสมอเมื่อเทียบกับหน้าต่างอ้างอิงที่ไม่มีแรงเฉื่อย

ระบบอ้างอิงแบบหมุนใดๆ ถือเป็นระบบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย เนื่องจาก ในระบบนี้ร่างกายจะประสบกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ไม่มีหน่วยงานใดในธรรมชาติหรือเทคโนโลยีที่สามารถทำหน้าที่เป็น ISO ได้ ตัวอย่างเช่น โลกหมุนรอบแกนของมัน และวัตถุใดๆ บนพื้นผิวจะประสบกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง อย่างไรก็ตาม ในช่วงเวลาที่ค่อนข้างสั้น ระบบอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวโลกสามารถถือเป็น ISO ได้ในระดับหนึ่งโดยประมาณ

8.หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ ISO สามารถใส่เกลือได้มากเท่าที่คุณต้องการ ดังนั้น คำถามจึงเกิดขึ้น: ปรากฏการณ์ทางกลเดียวกันจะมีลักษณะอย่างไรใน ISO ที่ต่างกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่ใช้ปรากฏการณ์ทางกลในการตรวจจับการเคลื่อนไหวของ ISO ที่พวกเขาสังเกตเห็น

คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ได้รับจากหลักการสัมพัทธภาพของกลศาสตร์คลาสสิกซึ่งค้นพบโดยกาลิเลโอ

ความหมายของหลักการสัมพัทธภาพของกลศาสตร์คลาสสิกคือข้อความ: ปรากฏการณ์ทางกลทั้งหมดดำเนินไปในลักษณะเดียวกันทุกประการในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด

หลักการนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: กฎทั้งหมดของกลศาสตร์คลาสสิกแสดงออกมาโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์เดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีการทดลองทางกลใดที่จะช่วยให้เราตรวจจับการเคลื่อนไหวของ ISO ได้ ซึ่งหมายความว่าการพยายามตรวจจับการเคลื่อนไหวของ ISO นั้นไม่มีประโยชน์

เราพบปรากฏการณ์ของหลักสัมพัทธภาพขณะเดินทางบนรถไฟ ขณะที่รถไฟของเรายืนอยู่ที่สถานี และรถไฟที่ยืนอยู่บนรางที่อยู่ติดกันก็เริ่มเคลื่อนตัวช้าๆ จากนั้นในช่วงแรกๆ ก็ดูเหมือนว่ารถไฟของเรากำลังเคลื่อนที่ แต่มันก็เกิดขึ้นในทางกลับกันเช่นกัน เมื่อรถไฟของเราเร่งความเร็วได้อย่างราบรื่น สำหรับเราแล้วดูเหมือนว่ารถไฟข้างเคียงเริ่มเคลื่อนตัวแล้ว

ในตัวอย่างข้างต้น หลักการสัมพัทธภาพปรากฏให้เห็นในช่วงเวลาสั้นๆ เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น เราเริ่มรู้สึกถึงแรงกระแทกและการแกว่งของรถ กล่าวคือ ระบบอ้างอิงของเรากลายเป็นแบบไม่มีแรงเฉื่อย

ดังนั้นการพยายามตรวจจับการเคลื่อนไหวของ ISO จึงไม่มีประโยชน์ ด้วยเหตุนี้ จึงไม่แยแสอย่างยิ่งว่า ISO ใดจะถือว่าอยู่กับที่และตัวใดกำลังเคลื่อนไหว

9. การแปลงแบบกาลิลี- ปล่อยให้ ISO สองตัวเคลื่อนที่สัมพันธ์กันด้วยความเร็ว . ตามหลักการสัมพัทธภาพ เราสามารถสรุปได้ว่า ISO K นั้นอยู่กับที่ และ ISO จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่อนข้างมาก เพื่อความง่าย เราถือว่าแกนพิกัดของระบบและขนานกัน และแกนตรงกัน ปล่อยให้ระบบตรงกัน ณ จุดเริ่มต้นและการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นตามแนวแกน และ เช่น (รูปที่ 28)

11. การเพิ่มกองกำลัง- ถ้าแรงสองแรงถูกกระทำต่ออนุภาค แรงที่เกิดขึ้นจะเท่ากับแรงเวกเตอร์ของพวกมัน กล่าวคือ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์และ (รูปที่ 29)

กฎเดียวกันนี้ใช้เมื่อแยกย่อยแรงที่กำหนดออกเป็นสององค์ประกอบของแรง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์ของแรงที่กำหนด เช่นเดียวกับในแนวทแยง ซึ่งด้านข้างตรงกับทิศทางของส่วนประกอบของแรงที่ใช้กับอนุภาคที่กำหนด

หากมีแรงหลายแรงกระทำต่ออนุภาค แรงที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของแรงทั้งหมด:

12.น้ำหนัก- ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของโมดูลัสแรงต่อโมดูลัสความเร่งซึ่งแรงนี้ส่งให้กับร่างกายเป็นค่าคงที่สำหรับวัตถุที่กำหนดและเรียกว่ามวลของร่างกาย:

จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด ตามมาว่ายิ่งมวลของร่างกายมากขึ้น จะต้องออกแรงเพื่อเปลี่ยนความเร็วมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นยิ่งมวลของร่างกายมากเท่าไรก็ยิ่งมีความเฉื่อยมากขึ้นเท่านั้นนั่นคือ มวลเป็นการวัดความเฉื่อยของร่างกาย มวลที่กำหนดในลักษณะนี้เรียกว่ามวลเฉื่อย

ในระบบ SI มวลมีหน่วยวัดเป็นกิโลกรัม (kg) หนึ่งกิโลกรัมคือมวลของน้ำกลั่นในปริมาตรหนึ่งลูกบาศก์เดซิเมตรที่อุณหภูมิ

13. ความหนาแน่นของสสาร– มวลของสารที่มีอยู่ในหน่วยปริมาตร หรืออัตราส่วนของมวลกายต่อปริมาตร

ความหนาแน่นวัดเป็น () ในระบบ SI เมื่อทราบความหนาแน่นของร่างกายและปริมาตรแล้ว คุณสามารถคำนวณมวลของมันได้โดยใช้สูตร เมื่อทราบความหนาแน่นและมวลของร่างกาย ปริมาตรจะคำนวณโดยใช้สูตร

14.ศูนย์กลางของมวล- จุดของร่างกายที่มีคุณสมบัติว่าหากทิศทางของแรงผ่านจุดนี้ร่างกายจะเคลื่อนที่แบบแปลน หากทิศทางของการกระทำไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ร่างกายจะเคลื่อนที่ไปพร้อมกับหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลไปพร้อมๆ กัน

15. กฎข้อที่สองของนิวตัน- ใน ISO ผลรวมของแรงที่กระทำต่อวัตถุจะเท่ากับผลคูณของมวลของร่างกายและความเร่งที่มอบให้โดยแรงนี้

16.หน่วยกำลัง- ในระบบ SI แรงจะวัดเป็นนิวตัน หนึ่งนิวตัน (n) คือแรงที่กระทำต่อวัตถุที่มีน้ำหนักหนึ่งกิโลกรัม และให้ความเร่งเข้าไป นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

17. กฎข้อที่สามของนิวตัน- แรงที่วัตถุทั้งสองกระทำต่อกันจะมีขนาดเท่ากัน มีทิศทางตรงกันข้าม และกระทำในเส้นตรงเส้นเดียวที่เชื่อมวัตถุเหล่านี้

ในบทนี้ เราจะดูการเคลื่อนที่ของเส้นโค้ง ซึ่งก็คือการเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอของร่างกายในวงกลม เราจะเรียนรู้ว่าความเร็วเชิงเส้นคืออะไร ความเร่งสู่ศูนย์กลางเมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม นอกจากนี้เรายังจะแนะนำปริมาณที่แสดงลักษณะของการเคลื่อนที่แบบหมุน (คาบการหมุน ความถี่การหมุน ความเร็วเชิงมุม) และเชื่อมโยงปริมาณเหล่านี้เข้าด้วยกัน

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอหมายถึงร่างกายหมุนด้วยมุมเดียวกันในช่วงเวลาที่เท่ากัน (ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6. การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอเป็นวงกลม

นั่นคือโมดูลความเร็วทันทีไม่เปลี่ยนแปลง:

ความเร็วนี้เรียกว่า เชิงเส้น.

แม้ว่าขนาดของความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของความเร็วก็เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ลองพิจารณาเวกเตอร์ความเร็วที่จุดต่างๆ กและ บี(ดูรูปที่ 7) มีทิศทางต่างกันจึงไม่เท่ากัน ถ้าเราลบออกจากความเร็ว ณ จุดนั้น บีความเร็วที่จุด กเราจะได้เวกเตอร์

ข้าว. 7. เวกเตอร์ความเร็ว

อัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว () ต่อเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น () คือการเร่งความเร็ว

ดังนั้นการเคลื่อนไหวส่วนโค้งใดๆ จะถูกเร่งให้เร็วขึ้น.

หากเราพิจารณาสามเหลี่ยมความเร็วที่ได้รับในรูปที่ 7 แสดงว่ามีการจัดเรียงจุดใกล้เคียงกันมาก กและ บีซึ่งกันและกัน มุม (α) ระหว่างเวกเตอร์ความเร็วจะใกล้เคียงกับศูนย์:

เป็นที่ทราบกันว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว ดังนั้นโมดูลความเร็วจึงเท่ากัน (การเคลื่อนที่สม่ำเสมอ):

ดังนั้น มุมทั้งสองที่ฐานของสามเหลี่ยมนี้จึงอยู่ใกล้กันโดยไม่มีกำหนด:

ซึ่งหมายความว่าความเร่งซึ่งพุ่งไปตามเวกเตอร์นั้นแท้จริงแล้วตั้งฉากกับแทนเจนต์ เป็นที่ทราบกันว่าเส้นในวงกลมที่ตั้งฉากกับแทนเจนต์ก็คือรัศมี ดังนั้น ความเร่งจะพุ่งไปตามรัศมีเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม ความเร่งนี้เรียกว่าสู่ศูนย์กลาง

รูปที่ 8 แสดงสามเหลี่ยมความเร็วที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้และสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (ทั้งสองด้านคือรัศมีของวงกลม) สามเหลี่ยมเหล่านี้คล้ายกันเนื่องจากมีมุมเท่ากันซึ่งเกิดจากเส้นตรงตั้งฉากซึ่งกันและกัน (รัศมีและเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกัน)

ข้าว. 8. ภาพประกอบที่มาของสูตรความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ส่วนของเส้น เอบีคือการย้าย () เรากำลังพิจารณาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม ดังนั้น:

ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ เอบีลงในสูตรความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม:

แนวคิด "ความเร็วเชิงเส้น" "การเร่งความเร็ว" "พิกัด" ไม่เพียงพอที่จะอธิบายการเคลื่อนไหวตามวิถีโค้ง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแนะนำปริมาณที่แสดงถึงลักษณะการเคลื่อนที่แบบหมุน

1. ระยะเวลาหมุนเวียน (ต ) เรียกว่าเป็นคราวปฏิวัติสมบูรณ์ครั้งหนึ่ง วัดเป็นหน่วย SI เป็นวินาที

ตัวอย่างของช่วงเวลา: โลกหมุนรอบแกนของมันใน 24 ชั่วโมง () และรอบดวงอาทิตย์ - ใน 1 ปี ()

สูตรคำนวณระยะเวลา:

เวลาหมุนทั้งหมดอยู่ที่ไหน - จำนวนการปฏิวัติ

2. ความถี่ในการหมุน (n ) - จำนวนรอบที่วัตถุทำต่อหน่วยเวลา วัดเป็นหน่วย SI ในหน่วยวินาทีซึ่งกันและกัน

สูตรการหาความถี่:

เวลาหมุนทั้งหมดอยู่ที่ไหน - จำนวนการปฏิวัติ

ความถี่และคาบเป็นปริมาณแปรผกผัน:

3. ความเร็วเชิงมุม () เรียกอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงของมุมที่ร่างกายหันไปตามเวลาที่เกิดการหมุนนี้ วัดเป็นหน่วย SI เป็นเรเดียนหารด้วยวินาที

สูตรการหาความเร็วเชิงมุม:

การเปลี่ยนแปลงของมุมอยู่ที่ไหน - เวลาที่เกิดการเลี้ยวผ่านมุม