เมื่อทำงานกับเมทริกซ์ บางครั้งคุณต้องเปลี่ยนเมทริกซ์ กล่าวคือ พลิกพวกมันกลับด้าน แน่นอนคุณสามารถป้อนข้อมูลด้วยตนเองได้ แต่ Excel มีหลายวิธีในการดำเนินการที่ง่ายและรวดเร็วยิ่งขึ้น มาดูรายละเอียดกันดีกว่า

การขนย้ายเมทริกซ์เป็นกระบวนการสลับคอลัมน์และแถว Excel มีสองตัวเลือกในการย้าย: การใช้ฟังก์ชัน ทรานส์เอสพีและใช้เครื่องมือพิเศษแทรก มาดูรายละเอียดแต่ละตัวเลือกเหล่านี้กันดีกว่า

วิธีที่ 1: ตัวดำเนินการ TRANSPOSE

การทำงาน ทรานส์เอสพีอยู่ในหมวดหมู่ของตัวดำเนินการ “ลิงค์และอาร์เรย์”- ลักษณะเฉพาะคือ เช่นเดียวกับฟังก์ชันอื่นๆ ที่ทำงานกับอาร์เรย์ ผลลัพธ์เอาต์พุตไม่ใช่เนื้อหาของเซลล์ แต่เป็นอาร์เรย์ข้อมูลทั้งหมด ไวยากรณ์ของฟังก์ชันค่อนข้างง่ายและมีลักษณะดังนี้:

TRANSP(อาร์เรย์)

นั่นคือ อาร์กิวเมนต์เดียวของโอเปอเรเตอร์นี้คือการอ้างอิงถึงอาร์เรย์ ในกรณีของเราคือเมทริกซ์ที่ควรถูกแปลง

มาดูกันว่าฟังก์ชันนี้สามารถนำไปใช้ได้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างกับเมทริกซ์จริง

1. เราเลือกเซลล์ว่างบนแผ่นงาน ซึ่งเราวางแผนที่จะสร้างเซลล์ซ้ายบนสุดของเมทริกซ์ที่ถูกแปลง จากนั้นคลิกที่ไอคอน "แทรกฟังก์ชัน"ซึ่งอยู่ใกล้กับแถบสูตร



2. อยู่ระหว่างการเปิดตัว ตัวช่วยสร้างฟังก์ชั่น- เปิดหมวดหมู่ในนั้น “ลิงค์และอาร์เรย์”หรือ "รายการตัวอักษรที่สมบูรณ์"- หลังจากค้นพบชื่อแล้ว "ทรานส์พี"เลือกและคลิกที่ปุ่ม "ตกลง".



3. หน้าต่างอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะเปิดขึ้น ทรานส์เอสพี- อาร์กิวเมนต์เดียวของตัวดำเนินการนี้สอดคล้องกับฟิลด์ "อาร์เรย์"- คุณต้องป้อนพิกัดของเมทริกซ์ที่ต้องพลิกกลับ ในการดำเนินการนี้ให้วางเคอร์เซอร์ลงในช่องแล้วกดปุ่มซ้ายของเมาส์ค้างไว้เลือกช่วงทั้งหมดของเมทริกซ์บนแผ่นงาน หลังจากที่ที่อยู่พื้นที่ปรากฏในหน้าต่างอาร์กิวเมนต์แล้ว ให้คลิกที่ปุ่ม "ตกลง".



4. แต่อย่างที่เราเห็นในเซลล์ที่มีไว้เพื่อแสดงผลลัพธ์ค่าที่ไม่ถูกต้องจะแสดงในรูปแบบของข้อผิดพลาด "#ค่า!"- นี่เป็นเพราะวิธีการทำงานของตัวดำเนินการอาร์เรย์ เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดนี้ ให้เลือกช่วงของเซลล์ซึ่งจำนวนแถวควรเท่ากับจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม และจำนวนคอลัมน์ควรเท่ากับจำนวนแถว การโต้ตอบดังกล่าวมีความสำคัญมากในการแสดงผลลัพธ์อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้คือเซลล์ที่มีนิพจน์ "#ค่า!"ควรเป็นเซลล์ด้านซ้ายบนของอาร์เรย์ที่เลือก และจากเซลล์นี้ขั้นตอนการเลือกควรเริ่มต้นด้วยการกดปุ่มซ้ายของเมาส์ค้างไว้ หลังจากที่คุณทำการเลือกแล้ว ให้วางเคอร์เซอร์ในแถบสูตรทันทีหลังนิพจน์ของตัวดำเนินการ ทรานส์เอสพีซึ่งควรจะปรากฏในนั้น หลังจากนี้เพื่อทำการคำนวณคุณต้องกดปุ่ม เข้าตามธรรมเนียมในสูตรทั่วไปและหมุนชุดค่าผสม Ctrl+Shift+Enter.



5. หลังจากการกระทำเหล่านี้ เมทริกซ์ก็ถูกแสดงตามที่เราต้องการ นั่นคือ ในรูปแบบการสลับตำแหน่ง แต่มีปัญหาอื่นอีก ความจริงก็คือตอนนี้เมทริกซ์ใหม่เป็นอาร์เรย์ที่เชื่อมโยงด้วยสูตรที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เมื่อคุณพยายามเปลี่ยนแปลงเนื้อหาของเมทริกซ์ ข้อผิดพลาดจะปรากฏขึ้น ผู้ใช้บางคนค่อนข้างพอใจกับสถานการณ์นี้เนื่องจากพวกเขาไม่ได้ตั้งใจที่จะเปลี่ยนแปลงอาเรย์ แต่บางคนต้องการเมทริกซ์ที่สามารถทำงานได้อย่างเต็มที่

   เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราเลือกช่วงการย้ายทั้งหมด ย้ายไปที่แท็บ "บ้าน"คลิกที่ไอคอน "สำเนา"ซึ่งอยู่บนริบบิ้นในกลุ่ม "คลิปบอร์ด"- แทนที่จะดำเนินการที่ระบุ หลังจากเลือกแล้ว คุณสามารถตั้งค่าแป้นพิมพ์ลัดมาตรฐานสำหรับการคัดลอกได้ Ctrl+C.



6. จากนั้น โดยไม่ต้องลบส่วนที่เลือกออกจากช่วงที่ย้าย ให้คลิกขวาที่มัน ในเมนูบริบทในกลุ่ม "แทรกตัวเลือก"คลิกที่ไอคอน “คุณค่า”ซึ่งดูเหมือนรูปสัญลักษณ์ที่แสดงตัวเลข

   

   ต่อไปนี้เป็นสูตรอาร์เรย์ ทรานส์เอสพีจะถูกลบและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะยังคงอยู่ในเซลล์ซึ่งสามารถทำงานได้ในลักษณะเดียวกับเมทริกซ์ดั้งเดิม

วิธีที่ 2: การย้ายเมทริกซ์โดยใช้การวางแบบพิเศษ

นอกจากนี้ เมทริกซ์สามารถย้ายได้โดยใช้รายการเมนูบริบทรายการเดียวที่เรียกว่า “ใส่แบบพิเศษ”.

หลังจากขั้นตอนเหล่านี้ เฉพาะเมทริกซ์ที่แปลงแล้วเท่านั้นที่จะยังคงอยู่บนแผ่นงาน

ด้วยสองวิธีเดียวกันที่กล่าวถึงข้างต้น คุณสามารถเปลี่ยนไม่เพียงแต่เมทริกซ์เท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงตารางเต็มรูปแบบลงใน Excel อีกด้วย ขั้นตอนจะเกือบจะเหมือนกัน

ดังนั้นเราจึงพบว่าใน Excel เมทริกซ์สามารถย้ายได้ กล่าวคือ พลิกกลับโดยการสลับคอลัมน์และแถวในสองวิธี ตัวเลือกแรกเกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชัน ทรานส์เอสพีและอันที่สองคือวางเครื่องมือพิเศษ โดยทั่วไปแล้ว ผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้รับเมื่อใช้ทั้งสองวิธีนี้ก็ไม่แตกต่างกัน ทั้งสองวิธีทำงานได้ในเกือบทุกสถานการณ์ ดังนั้นเมื่อเลือกตัวเลือกการแปลง ความชอบส่วนบุคคลของผู้ใช้รายใดรายหนึ่งจะมาก่อน นั่นคือวิธีใดที่สะดวกสำหรับคุณเป็นการส่วนตัวมากกว่าให้ใช้วิธีนั้น

การย้ายเมทริกซ์ผ่านเครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะใช้เวลาไม่มาก แต่จะให้ผลลัพธ์อย่างรวดเร็วและช่วยให้คุณเข้าใจกระบวนการได้ดีขึ้น

บางครั้งในการคำนวณพีชคณิต จำเป็นต้องสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ การดำเนินการนี้เรียกว่าการขนย้ายเมทริกซ์ แถวตามลำดับจะกลายเป็นคอลัมน์ และเมทริกซ์เองก็จะถูกย้าย มีกฎบางประการในการคำนวณเหล่านี้ และเพื่อทำความเข้าใจและทำความคุ้นเคยกับกระบวนการด้วยภาพ ให้ใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ มันจะทำให้งานของคุณง่ายขึ้นมากและช่วยให้คุณเข้าใจทฤษฎีการขนย้ายเมทริกซ์ได้ดีขึ้น ข้อได้เปรียบที่สำคัญของเครื่องคิดเลขนี้คือการสาธิตโซลูชันแบบขยายและละเอียด ดังนั้นการใช้งานจึงส่งเสริมความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับการคำนวณพีชคณิต นอกจากนี้ ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถตรวจสอบได้เสมอว่าคุณทำงานสำเร็จได้อย่างไรโดยการย้ายเมทริกซ์ด้วยตนเอง

เครื่องคิดเลขใช้งานง่ายมาก หากต้องการค้นหาเมทริกซ์แบบย้ายทางออนไลน์ ให้ระบุขนาดเมทริกซ์โดยคลิกที่ไอคอน "+" หรือ "-" จนกว่าคุณจะได้จำนวนคอลัมน์และแถวที่ต้องการ จากนั้น ป้อนตัวเลขที่ต้องการลงในช่อง ด้านล่างนี้คือปุ่ม "คำนวณ" - การคลิกจะแสดงโซลูชันสำเร็จรูปพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของอัลกอริทึม

ในการย้ายเมทริกซ์ คุณต้องเขียนแถวของเมทริกซ์ลงในคอลัมน์

ถ้า แล้วเมทริกซ์ที่ถูกย้าย

ถ้าอย่างนั้น

แบบฝึกหัดที่ 1หา

1. ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จตุรัส

สำหรับเมทริกซ์จตุรัส จะมีการใส่ตัวเลขที่เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์

สำหรับเมทริกซ์อันดับสอง (มิติ ) ดีเทอร์มิแนนต์จะได้รับจากสูตร:

ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ ตัวกำหนดของมันคือ

ตัวอย่าง . คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

สำหรับเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม (มิติ ) จะมีกฎ "สามเหลี่ยม" ในรูป เส้นประหมายถึงการคูณตัวเลขที่เส้นประผ่าน ต้องบวกตัวเลขสามตัวแรก จะต้องลบตัวเลขสามตัวถัดไป

ตัวอย่าง- คำนวณปัจจัยกำหนด.

เพื่อให้คำนิยามทั่วไปของดีเทอร์มิแนนต์ จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดของตัวรองและส่วนเสริมพีชคณิต

ส่วนน้อยองค์ประกอบของเมทริกซ์เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากการขีดฆ่า - แถวนั้นและ - คอลัมน์นั้น

ตัวอย่าง.ลองหาค่ารองของเมทริกซ์ A กัน

ส่วนเสริมพีชคณิตองค์ประกอบเรียกว่าตัวเลข

ซึ่งหมายความว่าหากผลรวมของดัชนีเป็นเลขคู่ ก็ไม่ต่างกัน หากผลรวมของดัชนีเป็นเลขคี่ จะต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น

สำหรับตัวอย่างก่อนหน้านี้

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์คือผลรวมผลคูณขององค์ประกอบของสตริงตัวใดตัวหนึ่ง

(คอลัมน์) ของการเสริมพีชคณิต ลองพิจารณาคำจำกัดความนี้ในเมทริกซ์ลำดับที่สาม

รายการแรกเรียกว่าส่วนขยายของดีเทอร์มิแนนต์ในแถวแรก รายการที่สองคือการขยายในคอลัมน์ที่สอง และรายการสุดท้ายคือการขยายในแถวที่สาม โดยรวมแล้วสามารถเขียนส่วนขยายดังกล่าวได้หกครั้ง

ตัวอย่าง- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้กฎ "สามเหลี่ยม" แล้วขยายไปตามแถวแรก ตามด้วยคอลัมน์ที่สาม ตามด้วยแถวที่สอง

มาขยายดีเทอร์มิแนนต์ตามบรรทัดแรก:

ขยายดีเทอร์มิแนนต์ในคอลัมน์ที่สาม:

ลองขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามบรรทัดที่สอง:

โปรดทราบว่ายิ่งมีศูนย์มากเท่าใด การคำนวณก็จะยิ่งง่ายขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ขยายตามคอลัมน์แรก เราจะได้

ในบรรดาคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์มีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณได้รับศูนย์ ได้แก่ :

หากคุณเพิ่มองค์ประกอบของแถวอื่น (คอลัมน์) ให้กับองค์ประกอบของแถวใดแถวหนึ่ง (คอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง

ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ตัวเดียวกันแล้วได้ศูนย์ เช่น ในบรรทัดแรก

ตัวกำหนดลำดับที่สูงกว่าจะถูกคำนวณในลักษณะเดียวกัน

ภารกิจที่ 2คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สี่:

1) กระจายไปตามแถวหรือคอลัมน์ใดๆ

2) เคยได้รับศูนย์มาก่อน

เราได้รับศูนย์เพิ่มเติม เช่น ในคอลัมน์ที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณองค์ประกอบของบรรทัดที่สองด้วย -1 และเพิ่มลงในบรรทัดที่สี่:

1. การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

เราจะแสดงคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ภารกิจที่ 2แก้ระบบสมการ

เราจำเป็นต้องคำนวณปัจจัยสี่ประการ อันแรกเรียกว่าอันหลักและประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้:

โปรดทราบว่า ถ้า ระบบไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีของแครมเมอร์

ดีเทอร์มิแนนต์ที่เหลืออีกสามตัวแสดงด้วย , และได้รับโดยการแทนที่คอลัมน์ที่เกี่ยวข้องด้วยคอลัมน์ทางด้านขวามือ

เราพบ. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปลี่ยนคอลัมน์แรกในตัวกำหนดหลักเป็นคอลัมน์ทางด้านขวา:

เราพบ. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปลี่ยนคอลัมน์ที่สองในปัจจัยหลักเป็นคอลัมน์ทางด้านขวา:

เราพบ. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปลี่ยนคอลัมน์ที่สามในตัวกำหนดหลักเป็นคอลัมน์ทางด้านขวา:

เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์: , ,

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ , ,

มาตรวจสอบกัน โดยเราจะแทนที่คำตอบที่พบลงในสมการทั้งหมดของระบบ

1. การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

หากเมทริกซ์จตุรัสมีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก็จะมีเมทริกซ์ผกผันเช่นนั้น เมทริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์และมีรูปแบบ

สูตรผกผันพบเมทริกซ์ผกผัน:

ตัวอย่าง- ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์

ขั้นแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

การค้นหาการเสริมพีชคณิต:

เราเขียนเมทริกซ์ผกผัน:

หากต้องการตรวจสอบการคำนวณ คุณต้องแน่ใจว่า

ให้ระบบสมการเชิงเส้นได้รับ:

มาแสดงกันเถอะ

จากนั้นระบบสมการสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์เป็น และด้วยเหตุนี้ สูตรผลลัพธ์เรียกว่าวิธีเมทริกซ์ในการแก้ระบบ

ภารกิจที่ 3แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

เราจำเป็นต้องเขียนเมทริกซ์ของระบบ หาค่าผกผันของมัน แล้วคูณด้วยคอลัมน์ทางด้านขวามือ

เราพบเมทริกซ์ผกผันในตัวอย่างก่อนหน้านี้แล้ว ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหาคำตอบได้:

1. การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

วิธีของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์ใช้สำหรับระบบกำลังสองเท่านั้น (จำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบ) และดีเทอร์มิแนนต์ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ถ้าจำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ หรือดีเทอร์มิแนนต์ของระบบเป็นศูนย์ จะใช้วิธีเกาส์เซียน วิธีเกาส์เซียนสามารถใช้เพื่อแก้ระบบใดก็ได้

และลองแทนมันลงในสมการแรก:

ภารกิจที่ 5แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์

ขึ้นอยู่กับเมทริกซ์ผลลัพธ์ เราจะกู้คืนระบบ:

เราพบวิธีแก้ปัญหา:

เมทริกซ์ A -1 เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันเทียบกับเมทริกซ์ A ถ้า A*A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n เมทริกซ์ผกผันจะมีได้เฉพาะกับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น

วัตถุประสงค์ของการบริการ- การใช้บริการออนไลน์นี้คุณสามารถค้นหาได้ การบวกพีชคณิต, เมทริกซ์ทรานสโพส A T , เมทริกซ์พันธมิตรและเมทริกซ์ผกผัน การตัดสินใจจะดำเนินการโดยตรงบนเว็บไซต์ (ออนไลน์) และไม่มีค่าใช้จ่าย ผลการคำนวณจะแสดงในรายงานในรูปแบบ Word และ Excel (เช่น สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้) ซม. ตัวอย่างการออกแบบ.

คำแนะนำ. เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหา จำเป็นต้องระบุขนาดของเมทริกซ์ ถัดไป กรอกเมทริกซ์ A ในกล่องโต้ตอบใหม่

ดูสิ่งนี้ด้วย เมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธี Jordano-Gauss

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้าย A T
2. ความหมายของการเติมเต็มพีชคณิต แทนที่แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยส่วนเสริมพีชคณิตของมัน
3. การรวบรวมเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมทริกซ์ที่ได้คือค่าผกผันของเมทริกซ์ดั้งเดิม

ต่อไป อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคล้ายกับขั้นตอนก่อนหน้ายกเว้นบางขั้นตอน: ขั้นแรกให้คำนวณการเสริมพีชคณิต จากนั้นจึงกำหนดเมทริกซ์ C ที่เป็นพันธมิตร

1. ตรวจสอบว่าเมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้น ก็ไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับมัน
2. การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ก. หากมันไม่เท่ากับศูนย์ เราจะแก้โจทย์ต่อไป ไม่เช่นนั้นจะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
3. ความหมายของการเติมเต็มพีชคณิต
4. การกรอกเมทริกซ์สหภาพ (ร่วมกันติดกัน) C .
5. การรวบรวมเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์เสริม C จะถูกหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมทริกซ์ที่ได้คือค่าผกผันของเมทริกซ์ดั้งเดิม
6. พวกเขาตรวจสอบ: พวกเขาคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผลลัพธ์ ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

ตัวอย่างหมายเลข 1 ลองเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ:

การบวกพีชคณิต ∆ 1.2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2.1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2.3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3.2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

เอ -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

อัลกอริธึมอื่นสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

ให้เรานำเสนอรูปแบบอื่นในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัส A ที่กำหนด
2. เราพบการเสริมพีชคณิตกับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ A
3. เราเขียนการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบแถวลงในคอลัมน์ (การขนย้าย)
4. เราแบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A

ดังที่เราเห็น การดำเนินการขนย้ายสามารถใช้ได้ทั้งที่จุดเริ่มต้น บนเมทริกซ์ดั้งเดิม และในตอนท้าย บนผลลัพธ์ของการบวกพีชคณิต

เป็นกรณีพิเศษ: ค่าผกผันของเมทริกซ์เอกลักษณ์ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ E