สร้างฟังก์ชัน

เราขอเสนอบริการสร้างกราฟของฟังก์ชันออนไลน์แก่คุณ ซึ่งสิทธิ์ทั้งหมดที่เป็นของบริษัท เดสมอส- ใช้คอลัมน์ด้านซ้ายเพื่อเข้าสู่ฟังก์ชัน คุณสามารถป้อนด้วยตนเองหรือใช้แป้นพิมพ์เสมือนที่ด้านล่างของหน้าต่าง หากต้องการขยายหน้าต่างด้วยกราฟ คุณสามารถซ่อนทั้งคอลัมน์ด้านซ้ายและแป้นพิมพ์เสมือนได้

ประโยชน์ของการสร้างแผนภูมิออนไลน์

• การแสดงฟังก์ชั่นที่ป้อนด้วยสายตา
• การสร้างกราฟที่ซับซ้อนมาก
• การสร้างกราฟที่ระบุโดยปริยาย (เช่น วงรี x^2/9+y^2/16=1)
• ความสามารถในการบันทึกแผนภูมิและรับลิงก์ไปยังแผนภูมิเหล่านั้นซึ่งทุกคนบนอินเทอร์เน็ตสามารถใช้ได้
• การควบคุมมาตราส่วน, สีของเส้น
• ความเป็นไปได้ของการวาดกราฟตามจุดโดยใช้ค่าคงที่
• การพล็อตกราฟฟังก์ชันหลายกราฟพร้อมกัน
• การลงจุดในพิกัดเชิงขั้ว (ใช้ r และ θ(\theta))

กับเราการสร้างแผนภูมิที่มีความซับซ้อนหลากหลายทางออนไลน์เป็นเรื่องง่าย การก่อสร้างเสร็จสิ้นทันที บริการนี้เป็นที่ต้องการในการค้นหาจุดตัดกันของฟังก์ชันเพื่อแสดงกราฟเพื่อย้ายไปยังเอกสาร Word เพื่อเป็นภาพประกอบในการแก้ปัญหาและเพื่อวิเคราะห์คุณลักษณะเชิงพฤติกรรมของกราฟฟังก์ชัน เบราว์เซอร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการทำงานกับแผนภูมิบนหน้าเว็บไซต์นี้คือ Google Chrome ไม่รับประกันการทำงานที่ถูกต้องเมื่อใช้เบราว์เซอร์อื่น

ในชุมชนวิทยาศาสตร์ เรื่องตลกที่เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายในหัวข้อนี้คือ "ความไม่เชิงเส้น" เปรียบเทียบกับ "ไม่ใช่ช้าง" - สิ่งมีชีวิตทั้งหมดที่ไม่ใช่ "ช้าง" ถือเป็น "ไม่ใช่ช้าง" ความคล้ายคลึงกันก็คือระบบและปรากฏการณ์ส่วนใหญ่ในโลกรอบตัวเรานั้นไม่เชิงเส้น โดยมีข้อยกเว้นบางประการ ตรงกันข้าม ในโรงเรียนเราถูกสอนให้คิดแบบ "เชิงเส้น" ซึ่งถือว่าแย่มากในแง่ของความพร้อมในการรับรู้ความไม่เชิงเส้นที่แพร่หลายของจักรวาล ไม่ว่าจะเป็นด้านกายภาพ ชีววิทยา จิตวิทยา หรือสังคม ความไม่เชิงเส้นมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาหลักอย่างหนึ่งในการรับรู้โลกรอบข้างในตัวเอง เนื่องจากผลกระทบในมวลรวมนั้นไม่ได้สัดส่วนกับสาเหตุ สาเหตุสองประการเมื่อโต้ตอบกันนั้นไม่ได้เป็นการบวก กล่าวคือ ผลกระทบมีความซับซ้อนมากกว่า การซ้อนทับอย่างง่าย หน้าที่ของสาเหตุ นั่นคือ ผลที่เกิดจากการมีอยู่และอิทธิพลของสาเหตุสองประการที่กระทำพร้อม ๆ กัน ไม่ใช่ผลรวมของผลลัพธ์ที่ได้รับเมื่อมีแต่ละสาเหตุแยกกัน ในกรณีที่ไม่มีสาเหตุอื่น  

คำจำกัดความ 9. หากในช่วงเวลาหนึ่ง X มีการกำหนดฟังก์ชัน z-φ(lz) พร้อมชุดของค่า Z และฟังก์ชัน y =/(z) ถูกกำหนดไว้บนชุด Z ดังนั้นฟังก์ชัน y คือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของ x (หรือการซ้อนทับของฟังก์ชัน) และตัวแปร z - ตัวแปรกลางของฟังก์ชันที่ซับซ้อน  

การควบคุมสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันการจัดการแบบคลาสสิกสามฟังก์ชัน ได้แก่ การบัญชี การควบคุม และการวิเคราะห์ (ย้อนหลัง) การควบคุมในฐานะฟังก์ชันการจัดการแบบรวมทำให้ไม่เพียงแต่สามารถเตรียมการตัดสินใจเท่านั้น แต่ยังช่วยให้มั่นใจในการควบคุมการดำเนินการโดยใช้เครื่องมือการจัดการที่เหมาะสมอีกด้วย  

ดังที่ทราบกันดีว่า /50/ ฟังก์ชันเวลาใดๆ สามารถแสดงเป็นการซ้อน (เซต) ของฟังก์ชันฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่มีคาบ แอมพลิจูด และเฟสต่างกัน โดยทั่วไป P(t) = f(t)  

คุณลักษณะชั่วคราวหรือแรงกระตุ้นถูกกำหนดโดยการทดลอง เมื่อใช้วิธีการซ้อนทับ โมเดลที่เลือกของการกระทำอินพุตจะถูกแยกย่อยเป็น "ฟังก์ชันเวลา" ระดับประถมศึกษา จากนั้นจึงสรุปการตอบสนองต่อการดำเนินการเหล่านั้น การดำเนินการหลังบางครั้งเรียกว่าการบิด และอินทิกรัลในนิพจน์ (24) ... (29) เป็นอินทิกรัลแบบบิด จาก พวกเขาเลือกอันที่มีอินทิกรัลง่ายกว่า  

ทฤษฎีบทนี้ลดปัญหาสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขให้เหลือเพียงการซ้อนทับของปัญหาสุดขีดแบบไม่มีเงื่อนไข จริงๆ แล้ว ให้เรานิยามฟังก์ชัน R (g)  

การซ้อนทับ ((>(f(x)) โดยที่ y(y) คือฟังก์ชันนูนที่ไม่ลดลงของตัวแปรหนึ่งตัว /(x) คือฟังก์ชันนูน คือฟังก์ชันนูน  

ตัวอย่างที่ 3.28 กลับไปที่ตัวอย่างที่ 3.27 ในรูป รูปที่ 3.24 แสดงผลลัพธ์ของการซ้อนทับของฟังก์ชันสมาชิกสองตัวที่สอดคล้องกับปริมาณที่มีอยู่ในตัวอย่างนี้ในรูปแบบของเส้นโค้งประประ เมื่อใช้ระดับจุดตัดที่ 0.7 จะได้ช่วงฟัซซี่บนแกน x ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าผู้มอบหมายงานควรคาดหวังการเปลี่ยนแปลงแผน  

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดฟังก์ชัน F แตกต่างจากวิธีการซ้อนทับ คือ เมื่อตัวระบุปริมาณใดๆ ถูกนำไปใช้กับตัวระบุปริมาณอื่น การเปลี่ยนแปลงแบบโมโนโทนิกบางอย่างของฟังก์ชันสมาชิกดั้งเดิมจะเกิดขึ้น ซึ่งเกิดจากการยืดและเลื่อนค่าสูงสุดของฟังก์ชันในฟังก์ชันเดียว ทิศทางหรืออย่างอื่น  

ตัวอย่างที่ 3.29 ในรูป รูปที่ 3.25 แสดงผลลัพธ์สองรายการที่ได้รับโดยใช้การซ้อนทับและการเลื่อนแบบยืด สำหรับกรณีที่ XA และ X สอดคล้องกับปริมาณบ่อยครั้ง ความแตกต่างน่าจะเป็นว่าการซ้อนทับจะแยกค่าเหล่านั้นที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งในฟังก์ชันการเป็นสมาชิก ในกรณีของการเปลี่ยนแปลงและการยืดออก เราสามารถตีความผลลัพธ์ได้ว่าเป็นการปรากฏของปริมาณใหม่ที่มีค่าบ่อยครั้ง ซึ่งสามารถประมาณตามค่าได้บ่อยครั้งมาก หากต้องการ  

แสดงว่าการซ้อนทับของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการตั้งค่า > ยังเป็นฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการตั้งค่านั้นด้วย ฟังก์ชันใดต่อไปนี้สามารถทำหน้าที่ในการแปลงเช่นนี้ได้  

ความสัมพันธ์ลำดับแรก (2) ไม่มีอะไรมากไปกว่าบันทึกของกฎซึ่งแต่ละฟังก์ชัน F(x) ที่อยู่ในตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างแน่นอนที่ไม่ลดลงอย่างน่าเบื่อจะสัมพันธ์กับฟังก์ชันต่อเนื่องเพียงฟังก์ชันเดียว w(j) กฎนี้เป็นเส้นตรงเช่น หลักการของการซ้อนทับนั้นเป็นจริงสำหรับเขา  

การพิสูจน์. หากการแมป F มีความต่อเนื่อง ฟังก์ชัน M0 จะต่อเนื่องกันโดยเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันต่อเนื่อง เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สองของข้อความ ให้พิจารณาฟังก์ชัน  

ฟังก์ชันที่ซับซ้อน (การซ้อนทับ)  

วิธีการแปลงฟังก์ชันยังเกี่ยวข้องกับการใช้แนวทางการศึกษาสำนึกด้วย ตัวอย่างเช่น การใช้การแปลงลอการิทึมเป็นตัวดำเนินการ B และ C นำไปสู่เกณฑ์ข้อมูลสำหรับการสร้างแบบจำลองที่สามารถระบุตัวตนได้ และการใช้เครื่องมืออันทรงพลังของทฤษฎีสารสนเทศ ให้ตัวดำเนินการ B แทนการซ้อนทับของตัวดำเนินการคูณด้วยฟังก์ชัน (.) และเลื่อนด้วยฟังก์ชัน K0() ตัวดำเนินการ C คือตัวดำเนินการ  

ที่นี่เราจะสรุปผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาเชิงแปรผันจำนวนหนึ่ง (1)-(3) พวกเขาได้รับการแก้ไขโดยวิธีการเรียงลำดับเชิงเส้น (19-21) ย้อนกลับไปในปี 1962-1963 เมื่อเทคโนโลยีของวิธีนี้เพิ่งเริ่มเป็นรูปเป็นร่างและกำลังได้รับการทดสอบ ดังนั้นเราจะเน้นเพียงรายละเอียดบางส่วนเท่านั้น ก่อนอื่น เราทราบว่าฟังก์ชัน C และ C2 ได้รับการระบุด้วยนิพจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันเสริม รวมถึงฟังก์ชันที่ระบุในตารางด้วย ดังนั้นเมื่อแก้ระบบคอนจูเกต φ = -fx โดยใช้ฟังก์ชันที่ระบุในตาราง โดยทั่วไปแล้วตารางดังกล่าวจะมีค่าจำนวนเล็กน้อยสำหรับชุดโหนดในช่วงของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์อิสระและระหว่างนั้นฟังก์ชันจะถูกประมาณค่าเชิงเส้นเนื่องจากการใช้วิธีการแก้ไขที่แม่นยำยิ่งขึ้นนั้นไม่สมเหตุสมผลเนื่องจาก ความไม่ถูกต้องของค่าตารางเอง (ตามกฎแล้วตารางจะระบุการพึ่งพาการทำงานของลักษณะการทดลอง) อย่างไรก็ตาม เพื่อจุดประสงค์ของเรา เราต้องการฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ /(x, u) ดังนั้นเราจึงควรเลือกใช้วิธีที่ราบรื่นในการทำให้ฟังก์ชันที่ระบุในตารางสมบูรณ์ (เช่น การใช้เส้นโค้ง)  

ให้ตอนนี้ (DA และ (q) เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจที่สอดคล้องกับค่าบางค่าของตัวระบุความถี่ รูปที่ 3.23 แสดงเส้นโค้ง 1 humped สองเส้นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันเหล่านี้ ผลลัพธ์ของการซ้อนทับของพวกมันคือเส้นโค้ง 2 humped แสดงโดย เส้นประ ความหมายของมันคืออะไรถ้าเช่น (ใช่มีน้อยมากและ (d - บ่อยครั้ง  

ข้อดีของวิธีการหา F นี้คือในระหว่างการแปลงแบบโมโนโทนิก รูปแบบของฟังก์ชันสมาชิกจะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมาก ความเป็นเอกภาพหรือความซ้ำซ้อนของมันยังคงอยู่ และการเปลี่ยนจากฟังก์ชันประเภทใหม่ (2.16) มีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู จากนั้นการซ้อนทับเชิงเส้น (2.15) จะเป็นจำนวนฟัซซี่สี่เหลี่ยมคางหมู (ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายเมื่อใช้กฎการคำนวณเซ็กเมนต์) และเราสามารถลดการดำเนินการที่มีฟังก์ชันสมาชิกเป็นการดำเนินการที่มีจุดยอดได้ หากเราแสดงตัวเลขสี่เหลี่ยมคางหมู (2.16) เป็น (ab a2, az, a4) โดยที่ a สอดคล้องกับ abscissa ของจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว  

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของการซ้อน (หรือการวางตำแหน่ง) ของฟังก์ชันซึ่งประกอบด้วยการแทนที่ฟังก์ชันจากอาร์กิวเมนต์อื่นแทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่กำหนด ตัวอย่างเช่น การซ้อนทับของฟังก์ชันจะให้ฟังก์ชัน และฟังก์ชันก็จะได้รับในทำนองเดียวกัน

โดยทั่วไป สมมติว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในโดเมนหนึ่งและฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในโดเมนและค่าของฟังก์ชันนั้นทั้งหมดมีอยู่ในโดเมน ดังนั้นตัวแปร z อย่างที่พวกเขาพูดผ่าน y นั้นเป็นฟังก์ชันของตัวมันเอง

เมื่อพิจารณาค่าที่กำหนดก่อนอื่นพวกเขาจะค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกับค่านั้น (ตามกฎที่มีเครื่องหมาย) จากนั้นตั้งค่าที่สอดคล้องกัน y (ตามกฎ

โดดเด่นด้วยเครื่องหมาย ค่าของมันจะถือว่าสอดคล้องกับ x ที่เลือก ฟังก์ชันผลลัพธ์จากฟังก์ชันหรือฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นผลมาจากการซ้อนทับของฟังก์ชัน

สมมติฐานที่ว่าค่าของฟังก์ชันไม่เกินขอบเขตของขอบเขต Y ที่กำหนดฟังก์ชันนั้นมีความสำคัญมาก: หากละเว้นก็อาจส่งผลให้เกิดความไร้สาระได้ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราสามารถพิจารณาเฉพาะค่า x เหล่านั้นเท่านั้น ซึ่งไม่เช่นนั้นนิพจน์จะไม่สมเหตุสมผล

เราพิจารณาว่าการเน้นย้ำในที่นี้ว่าการจำแนกลักษณะของฟังก์ชันเชิงซ้อนนั้นมีประโยชน์ไม่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของการพึ่งพาฟังก์ชันของ z บน x แต่เฉพาะกับวิธีระบุการพึ่งพานี้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ให้ for y เข้าสำหรับ then

ที่นี่ฟังก์ชันถูกระบุว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน

เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่องการซ้อนทับของฟังก์ชันอย่างสมบูรณ์แล้ว เราก็สามารถอธิบายลักษณะฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดของคลาสฟังก์ชันที่ศึกษาในการวิเคราะห์ได้อย่างแม่นยำ ประการแรกคือฟังก์ชันพื้นฐานที่ระบุไว้ข้างต้น จากนั้นทั้งหมดที่ได้รับจากฟังก์ชันเหล่านั้น โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์สี่รายการและการซ้อนทับ และใช้จำนวนจำกัดต่อเนื่องกัน กล่าวกันว่าแสดงออกผ่านระดับประถมศึกษาในรูปแบบสุดท้าย บางครั้งพวกเขาก็เรียกว่าระดับประถมศึกษา

ต่อจากนั้นเมื่อเชี่ยวชาญเครื่องมือวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมากขึ้น (อนุกรมอนันต์, อินทิกรัล) เราจะทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันอื่น ๆ ที่มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ด้วย แต่ไปไกลกว่าคลาสของฟังก์ชันพื้นฐานแล้ว

ให้มี 2 ฟังก์ชั่น:

: A→B และ g: D→F

ให้โดเมนของคำจำกัดความ D ของฟังก์ชัน g รวมอยู่ในโดเมนของค่าของฟังก์ชัน f (DB) จากนั้นคุณสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ - การทับซ้อน (องค์ประกอบ, ฟังก์ชันที่ซับซ้อน)ฟังก์ชั่น f และ g: z= ก( (x)).

ตัวอย่าง.ฉ(x)=x 2 , ก(x)=อี x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , ก.((x))=.

คำนิยาม

ให้มีสองฟังก์ชัน องค์ประกอบของพวกเขาคือฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

คุณสมบัติองค์ประกอบ

องค์ประกอบมีความเชื่อมโยง:

ถ้า เอฟ= รหัส เอ็กซ์- การทำแผนที่เหมือนกันกับ เอ็กซ์, นั่นคือ

.

ถ้า ช= รหัส ย- การทำแผนที่เหมือนกันกับ ย, นั่นคือ

.

คุณสมบัติเพิ่มเติม

เซตนับได้และนับไม่ได้

ชุดจำกัดสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนเท่ากัน หากสามารถกำหนดความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดเหล่านี้ได้ จำนวนองค์ประกอบของเซตจำกัดคือจำนวนเชิงการนับของเซต

สำหรับเซตอนันต์ เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งหมดกับส่วนของเซตนั้นได้

เซตอนันต์ที่ง่ายที่สุดคือเซต N

คำนิยาม.เซต A และ B เรียกว่า เทียบเท่า(AB) ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกันได้

หากเซตจำกัดสองเซตเท่ากัน เซตนั้นจะประกอบด้วยสมาชิกจำนวนเท่ากัน

หากเซต A และ B ที่เทียบเท่ากันเป็นชุดโดยพลการ แสดงว่า A และ B มีความเหมือนกัน พลัง- (กำลัง = ความเท่าเทียมกัน)

สำหรับเซตจำกัด แนวคิดเรื่องจำนวนนับสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องจำนวนองค์ประกอบของเซต

คำนิยาม.ชุดนี้มีชื่อว่า นับได้หากเป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างมันกับเซตของจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ เซตนับได้เป็นอนันต์ เทียบเท่ากับเซต N)

(นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตนับได้สามารถกำหนดหมายเลขได้)

คุณสมบัติของความสัมพันธ์เชิงอำนาจที่เท่ากัน

1) AA - การสะท้อนกลับ

2) AB แล้วก็ BA – สมมาตร

3) AB และ BC จากนั้น AC ก็คือการเคลื่อนที่

ตัวอย่าง.

1) n→2n, 2,4,6,… - แม้กระทั่งโดยธรรมชาติ

2) n→2n-1, 1,3,5,… - วัตถุธรรมชาติที่แปลก

คุณสมบัติของเซตนับได้.

1. เซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเซตนับได้สามารถนับได้

การพิสูจน์- เพราะ A นับได้ จากนั้น A: x 1, x 2,... - แมป A กับ N

ВА, В: →1,→2,… - กำหนดแต่ละองค์ประกอบ B ให้เป็นจำนวนธรรมชาติ เช่น แมป B กับ N ดังนั้น B จึงสามารถนับได้ ฯลฯ

2. การรวมกันของระบบจำกัด (นับได้) ของเซตนับได้สามารถนับได้

ตัวอย่าง.

1. เซตของจำนวนเต็ม Z สามารถนับได้ เพราะว่า เซต Z สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเซตนับได้ A และ B โดยที่ A: 0,1,2,.. และ B: -1,-2,-3,...

2. มากมาย สั่งคู่ ((m,n): m,nZ) (เช่น (1,3)≠(3,1))

3 (!) - เซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้

ถาม=. เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของเศษส่วนลดไม่ได้ Q และเซตของคู่อันดับ:

ที่. เซต Q เทียบเท่ากับเซต ((p,q))((m,n))

เซต ((m,n)) – เซตของคู่ที่เรียงลำดับทั้งหมด – สามารถนับได้ ดังนั้น เซต ((p,q)) จึงสามารถนับได้ ดังนั้น Q จึงสามารถนับได้

คำนิยาม.จำนวนอตรรกยะคือทศนิยมอนันต์ตามอำเภอใจ ไม่ใช่เป็นระยะเศษส่วนเช่น  0 , 1  2 …

เซตของเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดจะรวมกันเป็นเซต ตัวเลขจริง (จริง)

เซตของจำนวนอตรรกยะนับไม่ได้

ทฤษฎีบท 1- เซตของจำนวนจริงจากช่วง (0,1) เป็นเซตที่นับไม่ได้

การพิสูจน์- สมมติว่าตรงกันข้ามคือ ว่าตัวเลขทั้งหมดในช่วง (0,1) สามารถกำหนดหมายเลขได้ จากนั้น เมื่อเขียนตัวเลขเหล่านี้ในรูปของเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เราจะได้ลำดับ:

x 1 =0,ก 11 ถึง 12 ...ก 1n ...

x 2 =0,ก 21 ก 22 …ก 2n …

…………………..

xn =0,มี 1 ถึง 2 …มี …

……………………

ตอนนี้ให้เราพิจารณาจำนวนจริง x=0,b 1 b 2 …bn… โดยที่ b 1 เป็นจำนวนใดๆ ที่แตกต่างจาก 11 (0 และ 9) b 2 เป็นจำนวนใดๆ ที่แตกต่างจาก 22 (0 และ 9) ) ,…, bn - ตัวเลขใดๆ ที่แตกต่างจาก nn, (0 และ 9)

ที่. x(0,1) แต่ xx i (i=1,…,n) เพราะว่า มิฉะนั้น b i =a ii เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ฯลฯ

ทฤษฎีบท 2ช่วงใดๆ ของแกนจริงถือเป็นเซตที่นับไม่ได้

ทฤษฎีบท 3เซตของจำนวนจริงนับไม่ได้

เซตใดๆ ที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนจริงว่ากันว่าเป็นเซตนั้น พลังต่อเนื่อง(ความต่อเนื่องภาษาละติน – ต่อเนื่อง, ต่อเนื่อง)

ตัวอย่าง- ให้เราแสดงว่าช่วงนั้นมีพลังของความต่อเนื่อง

ฟังก์ชัน y=tg x: →R แสดงช่วงเวลาบนเส้นจำนวนทั้งหมด (กราฟ)

อุปกรณ์ลอจิกแบบแยกวงจรเดียว (ไม่มีองค์ประกอบหน่วยความจำ) ใช้งานที่เอาต์พุตชุดฟังก์ชันพีชคณิตลอจิกบางชุด `เอฟ ม =(เอฟ 1 ,เอฟ 2 ,…,เอฟ ม) ซึ่งในแต่ละช่วงเวลาขึ้นอยู่กับสถานะของอินพุตของอุปกรณ์เท่านั้น `xn =(x 1 ,x 2 ,…,x น): `ฟ ม. = `ฟ ม(` x n). ในทางปฏิบัติ อุปกรณ์ดังกล่าวได้รับการออกแบบและผลิตจากองค์ประกอบที่แบ่งแยกไม่ได้ซึ่งใช้ชุด (ระบบ) บางอย่าง ( ฉ) ฟังก์ชันพื้นฐานของพีชคณิตโดยเชื่อมต่อเอาต์พุตขององค์ประกอบบางอย่างเข้ากับอินพุตขององค์ประกอบอื่น

เมื่อออกแบบอุปกรณ์ลอจิก คำถามต่อไปนี้มีความเกี่ยวข้อง

1. ให้ระบบฟังก์ชันเบื้องต้น ( ฉ- ฟังก์ชันเอาท์พุตมีอะไรบ้าง ฉ ฉันสามารถรับได้โดยใช้ฟังก์ชันจาก ( ฉ}?

2. ชุดของฟังก์ชันบูลีนเอาต์พุต ( เอฟ) (โดยเฉพาะ เท่ากับชุดฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ ร 2). สิ่งที่ควรเป็นระบบเริ่มต้นของฟังก์ชันเบื้องต้น ( ฉ) ให้ความเป็นไปได้ในการรับฟังก์ชันใด ๆ ของชุดที่เอาต์พุต ( เอฟ}?

เพื่อให้คำตอบที่สมเหตุสมผลสำหรับคำถามเหล่านี้ จึงมีการใช้แนวคิดของการซ้อนทับ ความปิด และความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชัน

คำนิยาม.ลองพิจารณาชุดของการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ ( เอฟ) ซึ่งสอดคล้องกับระบบฟังก์ชันบางอย่าง ( ฉ} - การซ้อนทับมากกว่า{ฉ) คือฟังก์ชัน j ใดๆ ที่สามารถรับรู้ได้จากสูตรที่อยู่เหนือ ( เอฟ}.

ในทางปฏิบัติ การซ้อนทับสามารถแสดงเป็นผลมาจากการแทนที่ฟังก์ชันจาก ( ฉ) เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจากชุดเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1- พิจารณาระบบฟังก์ชัน ( ฉ} = {ฉ 1 (เอ็กซ์) =`เอ็กซ์ ฉ 2 (เอ็กซ์, ย)= เอ็กซ์&ใช่ ฉ 3 (เอ็กซ์, ย)=เอ็กซ์Ú ญ)- การแทนที่ลงในฟังก์ชัน ฉ 3 (เอ็กซ์, ย) แทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์แรก เอ็กซ์การทำงาน ฉ 1 (เอ็กซ์) แทนที่จะเป็นวินาที - ฉ 2 (เอ็กซ์, ย) เราได้การซ้อนทับ ชม.(เอ็กซ์, ย)=ฉ 3 (ฉ 1 (เอ็กซ์),ฉ 2 (เอ็กซ์, ย))=`xÚ เอ็กซ์& ที่- การใช้งานทางกายภาพของการทดแทนมีให้ในรูปที่ 1.18

คำนิยาม.อนุญาต ม- ชุดฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะบางชุด ( ป 2). เซตของการซ้อนทับทั้งหมด มเรียกว่า ไฟฟ้าลัดวงจรชุด มและเขียนแทนด้วย [ ม- การรับ [ ม]ตามชุดเดิม มเรียกว่า การดำเนินการปิด- พวงของ มเรียกว่า ชั้นเรียนปิดตามหน้าที่, ถ้า [ ม] = ม- เซตย่อย มÍ มเรียกว่า ระบบการทำงานที่สมบูรณ์ใน M, ถ้า [ ม] = ม.

ปิด [ ม] หมายถึงชุดฟังก์ชันทั้งหมดที่สามารถรับได้ มโดยการประยุกต์ใช้การดำเนินการซ้อนทับ เช่น การทดแทนที่เป็นไปได้ทั้งหมด

หมายเหตุ 1.แน่นอนว่าระบบการทำงานใดๆ ( ฉ) มีฟังก์ชันที่สมบูรณ์ในตัวมันเอง

2 - โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชันเอกลักษณ์ ฉ(เอ็กซ์)=xซึ่งไม่เปลี่ยนค่าความจริงของตัวแปร ในตอนแรกจะเป็นส่วนหนึ่งของระบบฟังก์ชันใดๆ

ตัวอย่างที่ 2- สำหรับระบบฟังก์ชั่นที่กล่าวถึงด้านล่าง ( ฉ) ให้ทำดังต่อไปนี้:

1) ค้นหาการปิด [ ฉ],

2) ค้นหาว่าระบบ ( ฉ) ชั้นเรียนปิด

3) ค้นหาระบบที่สมบูรณ์ตามหน้าที่ใน ( ฉ}.

สารละลาย.

ฉัน. ( ฉ}={0} . เมื่อแทนฟังก์ชัน ( ฉ 0) เราได้รับมันเข้าสู่ตัวเราเองเช่น ไม่มีการสร้างฟังก์ชันใหม่ นี่หมายถึง: [ ฉ] = {ฉ- ระบบที่พิจารณาเป็นคลาสปิดตามหน้าที่ ระบบที่สมบูรณ์ตามหน้าที่ในนั้นเป็นหนึ่งเดียวและเท่ากับทั้งหมด ( ฉ}.

ครั้งที่สอง - ฉ} = {0,Ø } . การทดแทน Ø (Ø เอ็กซ์) ให้ฟังก์ชันที่เหมือนกันซึ่งไม่ได้ขยายระบบดั้งเดิมอย่างเป็นทางการ อย่างไรก็ตาม เมื่อแทนที่ Ø (0) เราจะได้หน่วยที่เหมือนกัน - ฟังก์ชันใหม่ที่ไม่ได้อยู่ในระบบเดิม: Ø (0)=1 . การใช้การทดแทนอื่นๆ ทั้งหมดไม่ทำให้เกิดฟังก์ชันใหม่ เช่น ØØ 0 = 0, 0(Ø เอ็กซ์)=0.

ดังนั้น การใช้การดำเนินการซ้อนทับทำให้สามารถรับชุดฟังก์ชันที่กว้างกว่าฟังก์ชันดั้งเดิม [ ฉ]=(0,Ø ,1) นี่แสดงถึงรายการที่เข้มงวด: ( ฉ} Ì [ ฉ- ระบบต้นทาง ( ฉ) ไม่ใช่คลาสปิดตามหน้าที่ นอกจากตัวระบบแล้ว ( ฉ) ไม่มีระบบอื่นๆ ที่มีฟังก์ชันการทำงานที่สมบูรณ์อยู่ในนั้น เนื่องจากในกรณีของการจำกัดให้แคบลงจากฟังก์ชันเดียว ฉ= 0 ไม่สามารถลบล้างได้ด้วยการแทนที่ และไม่สามารถรับศูนย์ที่เหมือนกันจากฟังก์ชันการปฏิเสธเพียงอย่างเดียว

สาม. - ฉ) = (& ,Ú ,Ø ).การปิดระบบนี้คือชุดฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตแห่งตรรกะ ป 2 เนื่องจากสูตรของสูตรใดสูตรหนึ่งสามารถแสดงเป็น DNF หรือ CNF ซึ่งใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน ( ฉ) = (& ,Ú ,Ø) ความจริงข้อนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่สร้างสรรค์ถึงความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชั่นที่พิจารณามา ป 2: [ฉ]=พ 2 .

ตั้งแต่ใน ป 2 มีฟังก์ชันอื่นจำนวนอนันต์นอกเหนือจาก ( ฉ) = (& ,Ú ,Ø ) ดังนั้นนี่หมายถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างเข้มงวด: ( ฉ}Ì[ ฉ- ระบบที่พิจารณาไม่ใช่คลาสปิดตามหน้าที่

นอกจากตัวระบบแล้ว ระบบย่อยจะสามารถทำงานได้อย่างสมบูรณ์ ( ฉ) 1 = (& ,Ø ) และ ( ฉ) 2 = (Ú ,Ø ) สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อใช้กฎของเดอมอร์แกน ฟังก์ชันบวกเชิงตรรกะ Ú สามารถแสดงผ่าน (& , Ø) และฟังก์ชันการคูณเชิงตรรกะ & ผ่าน (Ú, Ø):

(เอ็กซ์ & ที่) = Ø (` เอ็กซ์Ú` ที่), (เอ็กซ์ Ú ที่) = Ø ( เอ็กซ์ &`ที่).

ระบบย่อยอื่นๆ ที่มีฟังก์ชันสมบูรณ์ใน ( ฉ) เลขที่.

การตรวจสอบความสมบูรณ์ของระบบย่อยของฟังก์ชัน ( ฉ) 1 ม. ( ฉ) ทั่วทั้งระบบ ( ฉ) สามารถผลิตได้โดยการรวม ( ฉ) 1 ต่ออีก 1 เสร็จชัดเจนใน ( ฉ)ระบบ.

ความไม่สมบูรณ์ของระบบย่อย ( ฉ) 1 นิ้ว ( ฉ)สามารถตรวจสอบได้โดยการพิสูจน์การเกิดขึ้นอย่างเข้มงวดของ [ ฉ 1 ] ม [ ฉ].

คำนิยาม.เซตย่อย มÍ มเรียกว่า พื้นฐานการทำงาน(พื้นฐาน)ระบบเอ็ม, ถ้า [ ม] = มและหลังจากกำจัดฟังก์ชันใดๆ ออกไปแล้ว ชุดของฟังก์ชันที่เหลือจะไม่สมบูรณ์ ม .

ความคิดเห็น- ฐานของระบบฟังก์ชัน (ฉ)ล้วนเป็นระบบย่อยที่สมบูรณ์ตามหน้าที่ของมัน (ฉ) 1 ซึ่งไม่สามารถลดลงได้โดยไม่สูญเสียความสมบูรณ์ใน (ฉ).

ตัวอย่างที่ 3- สำหรับระบบทั้งหมดที่พิจารณาในตัวอย่างที่ 2 ให้ค้นหาฐาน

สารละลายในกรณีที่ 1 และ 2 เฉพาะระบบเท่านั้นที่ทำงานได้สมบูรณ์ และไม่สามารถจำกัดให้แคบลงได้ จึงเป็นฐานเช่นกัน

ในกรณีที่ 3 มีฟังก์ชันที่สมบูรณ์สองรายการใน ( ฉ)ระบบย่อย ( ฉ) 1 = (&,Ø ) และ ( ฉ) 2 =(Ú,Ø ) ซึ่งไม่สามารถลดลงได้โดยไม่สูญเสียความสมบูรณ์ พวกเขาจะเป็นฐานของระบบ ( ฉ} = {&,Ú,Ø}.

คำนิยาม.ให้ระบบ ( ฉ) เป็นชั้นเรียนปิด เซตย่อยของมัน ( ฉ) 1 ม. ( ฉ) ถูกเรียก ชั้นเรียนจูเนียร์ใน{ฉ), ถ้า ( ฉ) 1 ไม่สมบูรณ์ใน ( ฉ} ([ฉ 1 ] ม [ ฉ]) และสำหรับฟังก์ชัน j ใดๆ จากระบบ ( ฉ) ไม่รวมอยู่ใน ( ฉ) 1 (จโอ( ฉ} \ {ฉ) 1) จริง: [ เจÈ { ฉ} 1 ] = [ฉ], เช่น. เพิ่ม jк ( ฉ) 1 ทำให้เสร็จสมบูรณ์ใน ( ฉ} .

งาน

1. ตรวจสอบความปิดของชุดฟังก์ชัน:

ก) (Ø); ข) (1, Ø); ค) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); … )

2.ตรวจสอบความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชั่นต่างๆใน ป 2:

ก) (0,Ø); ข) ((0101) , (1010) ); วี ); ง) ((0001) , (1010) ).

3. ค้นหาการปิดระบบฟังก์ชั่นและพื้นฐานของมัน:

ก) (0, 1, Ø); ข) ((1,000) , (1,010), (0101) ); ค) ((0001) , (1110), (10) ); ง) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 ฟังก์ชั่นที่รักษาค่าคงที่ คลาส T 0 และ T 1

คำนิยาม.การทำงาน ฉ(`เอ็กซ์เอ็น) ประหยัด 0 ถ้า ฉ(0,..., 0) = 0. การทำงาน ฉ(` x n) ประหยัด 1 ถ้า ฉ(1, ... , 1) = 1.

คุณสมบัติมากมาย nตัวแปรที่เก็บ 0 และ 1 จะแสดงแทนตามลำดับ ต 0 nและ ต 1 n- ฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะทุกชุดที่คงค่า 0 และ 1 ไว้ , แสดงถึง ต 0 และ ต 1. แต่ละชุด ต 0 และ ต 1 เป็นชั้นเรียนสำเร็จรูปแบบปิดใน ร 2 .

จากฟังก์ชันเบื้องต้นถึง ต 0 และ ต 1 จะรวมอยู่พร้อมกัน เช่น & และ Ú เป็นของฟังก์ชันใด ๆ ในคลาส ต 0 , ต 1 สามารถตรวจสอบได้ด้วยค่าแรกและค่าสุดท้ายของเวกเตอร์ของค่าในตารางความจริงหรือโดยการแทนที่ศูนย์และค่าโดยตรงลงในสูตรเมื่อระบุฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์

คำนิยาม.ทำซ้ำเป็นการทดแทนโดยแทนที่ตัวแปรอิสระหลายตัว ตัวแปรเดียวกันจะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชัน ในกรณีนี้ค่าของตัวแปรในชุดที่ก่อนหน้านี้รับค่าอย่างเป็นอิสระจากกันจะเท่ากันเสมอ

งาน

1.ตรวจสอบสมาชิกชั้นเรียน ต 0 และ ที 1ฟังก์ชั่น:

ก) การบวกทั่วไป b) การคูณทั่วไป c) ค่าคงที่ d) เอ็กซ์ซีÚ yz, ง) เอ็กซ์® ที่® เอ็กซ์ซี, จ) เอ็กซ์Å ที่, และ)( เอ็กซ์ 1 ออ … Å เอ็กซ์น) ® ( ย 1 ออ … Å ยม) ที่ น,มÎ เอ็น.

2. พิสูจน์ความปิดของแต่ละชั้นเรียน ต 0 และ ต 1 .

3. พิสูจน์ว่าถ้า ฉ(` x n) Ï ต 0 จากนั้นโดยการทำซ้ำการแทนที่ คุณจะได้ค่าคงที่ 1 หรือการปฏิเสธ

4. พิสูจน์ว่าถ้า ฉ(` x n) Ï ต 1 จากนั้นโดยการทำซ้ำการแทนที่ คุณจะได้ค่าคงที่ 0 หรือการปฏิเสธ

5. พิสูจน์ความสมบูรณ์ล่วงหน้าของแต่ละชั้นเรียน ต 0 และ ต 1 (เช่น โดยการลดระบบเสริมเป็น ( ฉ} = {& ,Ú ,Ø }).

6. ค้นหาพลังแห่งคลาส ต 0 nและ ต 1 n.