نستمر في فهم أساسيات الجبر. اليوم سنعمل مع أي سننظر في إجراء مثل استدعاء المضاعف المشتركخارج الأقواس.

محتوى الدرس

المبدأ الأساسي

يسمح لك قانون التوزيع للضرب بضرب رقم بمقدار (أو مبلغ برقم). على سبيل المثال، للعثور على قيمة التعبير 3 × (4 + 5)، يمكنك ضرب الرقم 3 في كل حد بين قوسين وإضافة النتائج:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

يمكن تبديل الرقم 3 والتعبير الموجود بين قوسين (وهذا يتبع قانون الضرب التبادلي). ثم سيتم ضرب كل حد بين قوسين بالرقم 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

في الوقت الحالي، لن نحسب البناء 3 × 4 + 3 × 5 ونجمع النتائج التي تم الحصول عليها 12 و15. دعونا نترك التعبير في النموذج 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. سنحتاجها أدناه بهذه الصورة بالضبط لكي نفهم جوهر إخراج العامل المشترك من الأقواس.

يسمى قانون التوزيع للضرب أحيانًا بوضع العامل داخل القوسين. في التعبير 3 × (4 + 5)، تم ترك العامل 3 خارج الأقواس. ومن خلال ضربه في كل حد بين القوسين، وضعناه داخل القوسين. وللتوضيح يمكنك كتابتها بهذه الطريقة، رغم أنه ليس من المعتاد كتابتها بهذه الطريقة:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

منذ في التعبير 3 × (4 + 5)الرقم 3 مضروب في كل حد بين قوسين، وهذا الرقم هو عامل مشترك للحدين 4 و5

وكما ذكرنا سابقًا، بضرب هذا العامل المشترك في كل حد داخل القوسين، فإننا نضعه داخل القوسين. ولكن من الممكن أيضا عملية عكسية- يمكن إخراج العامل العام من الأقواس. في في هذه الحالةفي التعبير 3×4 + 3×5المضاعف العام مرئي بوضوح - هذا مضاعف 3. ويجب إخراجها من المعادلة. للقيام بذلك، قم أولاً بكتابة العامل 3 نفسه

وبجانبه بين قوسين يتم كتابة التعبير 3×4 + 3×5ولكن بدون العامل المشترك 3، لأنه تم إخراجه من الأقواس

3 (4 + 5)

وبإخراج العامل المشترك من الأقواس، نحصل على التعبير 3 (4 + 5) . هذا التعبير مطابق للتعبير السابق 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

إذا قمنا بحساب طرفي المساواة الناتجة، نحصل على الهوية:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

كيف يخرج العامل المشترك من الأقواس؟

إن إخراج العامل المشترك من الأقواس أمر أساسي عملية عكسيةإضافة عامل مشترك داخل الأقواس.

إذا قمنا، عند إدخال عامل مشترك داخل الأقواس، بضرب هذا العامل في كل حد بين القوسين، فعند إعادة هذا العامل إلى خارج الأقواس، يجب علينا قسمة كل حد بين القوسين على هذا العامل.

في التعبير 3×4 + 3×5والذي تمت مناقشته أعلاه، وهذا ما حدث. تم قسمة كل حد على عامل مشترك وهو 3. المنتجات 3 × 4 و 3 × 5 هي حدود، لأننا إذا حسبناها نحصل على المجموع 12 + 15

والآن يمكننا أن نرى بالتفصيل كيف تم إخراج العامل العام من الأقواس:

يمكن أن نرى أن العامل المشترك 3 يتم إخراجه أولاً من بين قوسين، ثم بين قوسين يتم تقسيم كل حد على هذا العامل المشترك.

يمكن إجراء قسمة كل حد على عامل مشترك ليس فقط عن طريق قسمة البسط على المقام، كما هو موضح أعلاه، ولكن أيضًا عن طريق تقليل هذه الكسور. وفي كلتا الحالتين سوف تحصل على نفس النتيجة:

استعرضناها أبسط مثالأخذ العامل المشترك من الأقواس لفهم المبدأ الأساسي.

ولكن ليس كل شيء بهذه البساطة كما يبدو للوهلة الأولى. بعد ضرب الرقم في كل حد بين قوسين، يتم جمع النتائج معًا، ويتم فقدان العامل المشترك عن الأنظار.

لنعد إلى مثالنا 3 (4 + 5). دعونا نطبق قانون التوزيع للضرب، أي ضرب الرقم 3 في كل حد بين قوسين وإضافة النتائج:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

بعد حساب البناء 3 × 4 + 3 × 5 نحصل على التعبير الجديد 12 + 15. نرى أن العامل المشترك 3 قد اختفى عن الأنظار. والآن، في المقدار الناتج 12 + 15، دعونا نحاول إخراج العامل المشترك من الأقواس، ولكن لإخراج هذا العامل المشترك، علينا أولًا إيجاده.

عادةً، عند حل المشكلات، نواجه مثل هذه التعبيرات التي يجب أولاً العثور على العامل المشترك فيها قبل حذفه.

من أجل إخراج العامل المشترك بين قوسين في التعبير 12 + 15، تحتاج إلى إيجاد العامل المشترك الأكبر (GCD) للحدين 12 و15. سيكون GCD الذي تم العثور عليه هو العامل المشترك.

لذلك، دعونا نجد GCD للرقمين 12 و 15. تذكر أنه للعثور على GCD، تحتاج إلى تحليل الأرقام الأصلية إلى عوامل أولية، ثم كتابة التحليل الأول وإزالة العوامل التي لم يتم تضمينها في التحليل منه من الرقم الثاني. يجب مضاعفة العوامل المتبقية للحصول على GCD المطلوب. إذا كنت تواجه صعوبة في هذه المرحلة، تأكد من التكرار.

GCD للرقم 12 و15 هو الرقم 3. هذا العددهو عامل مشترك للمصطلحين 12 و15. ويجب إخراجه من القوسين. للقيام بذلك، نكتب أولاً العامل 3 نفسه وبجانبه بين قوسين نكتب تعبيرًا جديدًا يتم فيه قسمة كل حد من التعبير 12 + 15 على العامل المشترك 3

حسنا، مزيد من الحساب ليس صعبا. من السهل حساب التعبير الموجود بين قوسين - اثنا عشر مقسومًا على ثلاثة يساوي أربعة، أ خمسة عشر على ثلاثة يساوي خمسة:

وبالتالي، عند إخراج العامل المشترك من الأقواس في التعبير 12 + 15، يتم الحصول على التعبير 3(4 + 5). الحل التفصيلي هو كما يلي:

يتخطى الحل القصير الترميز الذي يوضح كيفية تقسيم كل مصطلح على عامل مشترك:

مثال 2. 15 + 20

دعونا نجد gcd للمصطلحين 15 و 20

GCD للعددين 15 و20 هو الرقم 5. هذا الرقم هو العامل المشترك للحدين 15 و20. فلنخرجه من الأقواس:

لقد حصلنا على التعبير 5(3 + 4). يمكن التحقق من التعبير الناتج. للقيام بذلك، ما عليك سوى ضرب الخمسة في كل حد بين قوسين. إذا فعلنا كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن نحصل على التعبير 15 + 20

مثال 3.أخرج العامل المشترك بين القوسين في التعبير 18+24+36

فلنجد gcd للمصطلحات 18 و24 و36. للعثور على، عليك تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية، ثم العثور على حاصل ضرب العوامل المشتركة:

GCD للأعداد 18 و24 و36 هو الرقم 6. هذا الرقم هو العامل المشترك للمصطلحات 18 و24 و36. لنخرجه من الأقواس:

دعونا نتحقق من التعبير الناتج. للقيام بذلك، اضرب الرقم 6 في كل حد بين قوسين. إذا فعلنا كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن نحصل على التعبير 18+24+36

مثال 4.أخرج العامل المشترك بين القوسين في التعبير 13 + 5

المصطلحان 13 و 5 هما الأعداد الأولية. إنهم يتحللون فقط إلى واحد وأنفسهم:

هذا يعني أن الحدين 13 و5 ليس لهما عوامل مشتركة سوى عامل واحد. وعليه، فلا فائدة من إخراج هذه الوحدة من بين قوسين، فهي لن تعطي شيئاً. دعونا نظهر هذا:

مثال 5.أخرج العامل المشترك بين القوسين في التعبير 195+156+260

دعونا نجد GCD للمصطلحات 195 و156 و260

GCD للأعداد 195 و156 و260 هو الرقم 13. هذا الرقم هو العامل المشترك للمصطلحات 195 و156 و260. لنخرجه من الأقواس:

دعونا نتحقق من التعبير الناتج. للقيام بذلك، اضرب 13 في كل حد بين قوسين. إذا فعلنا كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن نحصل على التعبير 195+156+260

التعبير الذي تحتاج فيه إلى إخراج العامل المشترك من الأقواس لا يمكن أن يكون مجرد مجموع أرقام، بل فرقًا أيضًا. على سبيل المثال، لنأخذ العامل المشترك بين قوسين في التعبير 16 − 12 − 4. العامل المشترك الأكبر للأعداد 16 و12 و4 هو الرقم 4. لنخرج هذا الرقم من القوسين:

دعونا نتحقق من التعبير الناتج. للقيام بذلك، اضرب أربعة في كل رقم بين قوسين. إذا فعلنا كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن نحصل على المقدار ١٦ − ١٢ − ٤

مثال 6.أخرج العامل المشترك من القوسين في التعبير 72+96−120

دعونا نجد GCD للأرقام 72 و 96 و 120

GCD للأعداد 72 و96 و120 هو الرقم 24. هذا الرقم هو العامل المشترك للمصطلحات 195 و156 و260. لنخرجه من الأقواس:

دعونا نتحقق من التعبير الناتج. للقيام بذلك، اضرب 24 في كل رقم بين قوسين. إذا فعلنا كل شيء بشكل صحيح، فيجب أن نحصل على التعبير 72+96−120

ويمكن أن يكون العامل الإجمالي الذي تم إزالته من الأقواس سالبًا أيضًا. على سبيل المثال، لنأخذ العامل المشترك من الأقواس في التعبير −6−3. توجد طريقتان لإخراج العامل المشترك من الأقواس في هذا التعبير. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم.

طريقة 1.

لنستبدل الطرح بالجمع:

−6 + (−3)

الآن نجد العامل المشترك. سيكون العامل المشترك لهذا التعبير هو القاسم المشترك الأكبر للحدين −6 و −3.

مقياس الحد الأول هو 6. ومعامل الحد الثاني هو 3. GCD(6 و 3) يساوي 3. هذا الرقم هو عامل مشترك للحدين 6 و 3. لنخرجه من الأقواس:

التعبير الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة لم يكن دقيقًا جدًا. الكثير من الأقواس والأرقام السالبة لا تجعل التعبير بسيطًا. لذلك، يمكنك استخدام الطريقة الثانية، وجوهرها هو وضع ليس 3 بين قوسين، ولكن −3.

الطريقة 2.

تمامًا مثل المرة السابقة، نستبدل الطرح بالجمع.

−6 + (−3)

هذه المرة سوف نخرج من الأقواس ليس 3، ولكن −3

يبدو التعبير الذي تم الحصول عليه هذه المرة أبسط بكثير. دعنا نكتب الحل بشكل أقصر لجعله أبسط:

إن السماح بإخراج عامل سالب من الأقواس يرجع إلى حقيقة أنه يمكن كتابة مفكوك الأعداد −6 و (−3) بطريقتين: أولاً جعل المضاعف سالبًا والمضاعف موجبًا:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

وفي الحالة الثانية يمكن جعل المضاعف موجبًا والمضاعف سالبًا:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

وهذا يعني أن لدينا الحرية في وضع العامل الذي نريده خارج الأقواس.

مثال 8.أخرج العامل المشترك من الأقواس في التعبير −20−16−2

دعونا نستبدل الطرح بالجمع

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

العامل المشترك الأكبر للمصطلحات −20 و−16 و−2 هو الرقم 2. هذا الرقم هو العامل المشترك لهذه الحدود. دعونا نرى كيف يبدو:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

ولكن يمكن استبدال التوسعات المعطاة بتوسعات متساوية مماثلة. سيكون الفرق هو أن العامل المشترك لن يكون 2، بل −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

لذلك، من أجل الراحة، يمكننا أن نخرج من الأقواس ليس 2، ولكن −2

دعنا نكتب الحل أعلاه باختصار:

وإذا أخرجنا 2 من الأقواس، فسنحصل على تعبير غير دقيق تمامًا:

مثال 9.أخرج العامل المشترك من الأقواس في التعبير −30−36−42

لنستبدل الطرح بالجمع:

−30 + (−36) + (−42)

القاسم المشترك الأكبر للمصطلحات −30 و−36 و−42 هو الرقم 6. هذا الرقم هو العامل المشترك لهذه الحدود. لكننا لن نضع بين قوسين 6، بل −6، حيث يمكن تمثيل الأرقام −30 و−36 و−42 على النحو التالي:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

إخراج الناقص من بين قوسين

عند حل المسائل، قد يكون من المفيد في بعض الأحيان وضع علامة الطرح خارج القوسين. يتيح لك ذلك تبسيط التعبير وترتيبه.

النظر في المثال التالي. أخرج الطرح من الأقواس في التعبير −15+(−5)+(−3)

للتوضيح، دعونا نضع هذا التعبير بين قوسين، لأننا نتحدث عن إخراج السالب من هذه الأقواس

(−15 + (−5) + (−3))

لذا، لإخراج الطرح من الأقواس، عليك كتابة الطرح قبل الأقواس وكتابة جميع الحدود الموجودة بين القوسين، ولكن بإشارات متضادة

لقد أخرجنا الطرح من القوسين في التعبير −15+(−5)+(−3) وحصلنا على −(15+5+3). كلا التعبيرين يساويان نفس القيمة −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

لذلك يمكننا وضع إشارة يساوي بين التعبيرين −15+(−5)+(−3) و−(15+5+3)، لأنهما يحملان نفس المعنى:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

في الواقع، عندما يتم إخراج الطرح من الأقواس، يعمل قانون التوزيع للضرب مرة أخرى:

أ(ب+ج) = أب + أس

إذا قمت بتبديل اليسار و الجانب الأيمنهذه الهوية، وتبين أن هذا العامل أبين قوسين

أب + أس = أ(ب+ج)

ويحدث الشيء نفسه عندما نحذف العامل المشترك في تعبيرات أخرى، وعندما نحذف السالب من القوسين.

من الواضح أنه عند إخراج علامة ناقص من بين قوسين، لا يتم حذف علامة ناقص، بل علامة ناقص واحدة. لقد قلنا بالفعل أنه من المعتاد عدم كتابة المعامل 1.

ولذلك يتكون ناقص أمام القوسين، وتغير علامات الحدود التي كانت بين القوسين إشارتها إلى العكس، حيث أن كل حد يقسم على سالب واحد.

دعونا نعود إلى المثال السابق ونرى بالتفصيل كيف تم بالفعل إخراج الطرح من الأقواس

مثال 2.ضع الطرح بين القوسين في التعبير −3 + 5 + 11

نضع علامة ناقص وبجانبها بين قوسين نكتب التعبير −3 + 5 + 11 مع الإشارة المعاكسة لكل حد:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

كما في المثال السابق، هنا ليس الطرح الذي تم حذفه من بين قوسين، ولكن ناقص واحد. الحل التفصيلي هو كما يلي:

في البداية حصلنا على التعبير −1(3 + (−5) + (−11)) لكننا فتحنا الأقواس الداخلية فيه وحصلنا على التعبير −(3 − 5 − 11) . فك الأقواس هو موضوع الدرس التالي، فإذا كان هذا المثال صعبًا عليك، يمكنك تخطيه الآن.

إخراج العامل المشترك بين القوسين في التعبير الحرفي

ضع العامل المشترك بين قوسين التعبير الحرفيأكثر إثارة للاهتمام.

أولا، دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط. فليكن هناك تعبير 3 أ + 2 أ. لنأخذ العامل المشترك من الأقواس.

في هذه الحالة، يكون المضاعف الإجمالي مرئيًا بالعين المجردة - وهذا هو المضاعف أ. دعونا نخرجها من بين قوسين. للقيام بذلك، نكتب المضاعف نفسه أوبجانبه بين قوسين نكتب التعبير 3 أ + 2 أولكن بدون مضاعف ألأنه أخرج من الأقواس:

كما في حالة التعبير العددي، هنا يتم قسمة كل حد على العامل المشترك المأخوذ. تبدو هكذا:

المتغيرات في كلا الكسرين أتم تخفيضها بنسبة أ. بدلًا من ذلك، البسط والمقام لهما وحدات. تم الحصول على الوحدات بسبب حقيقة أنه بدلاً من المتغير أيمكن أن يكون أي رقم. يقع هذا المتغير في كل من البسط والمقام. وإذا كان البسط والمقام لهما نفس الأرقام، فإن القاسم المشترك الأكبر لهما هو هذا العدد نفسه.

على سبيل المثال، إذا كان بدلا من متغير أاستبدال الرقم 4 ، ثم سوف يستغرق البناء العرض التالي: . ثم يمكن تخفيض الأربع في كلا الكسرين بمقدار 4:

لقد اتضح كما كان من قبل، عندما كان هناك متغير بدلاً من الأربعة أ .

لذلك، لا ينبغي أن تنزعج من تقليل المتغيرات. المتغير هو مضاعف كامل، حتى لو تم التعبير عنه بحرف. يمكن إخراج مثل هذا المضاعف من الأقواس وتصغيره وغيرها من الإجراءات المسموح بها للأعداد العادية.

لا يحتوي التعبير الحرفي على أرقام فحسب، بل يحتوي أيضًا على أحرف (متغيرات). ولذلك فإن العامل المشترك الذي يتم إخراجه من الأقواس غالبا ما يكون مضاعف الحروفمكون من رقم وحرف (معامل ومتغير). على سبيل المثال، التعبيرات التالية هي عوامل حرفية:

3 أ، 6 ب، 7 أ، أ، ب، ج

قبل وضع هذا العامل بين قوسين، عليك أن تقرر أي رقم سيكون في الجزء العددي من العامل المشترك وأي متغير سيكون في الجزء الحرفي من العامل المشترك. بمعنى آخر، عليك معرفة المعامل الذي سيحتوي عليه العامل المشترك والمتغير الذي سيتضمنه.

النظر في التعبير 10 أ + 15أ. دعونا نحاول إخراج العامل المشترك من الأقواس. أولًا، دعونا نحدد مما سيتكون العامل المشترك، أي أننا سنوجد معامله وما المتغير الذي سيتضمنه.

يجب أن يكون معامل المضاعف المشترك هو القاسم المشترك الأكبر لمعاملات التعبير الحرفي 10 أ + 15أ. 10 و 15 والقاسم المشترك الأكبر لهما هو الرقم 5. وهذا يعني أن الرقم 5 سيكون معامل العامل المشترك المأخوذ من الأقواس.

والآن دعونا نحدد المتغير الذي سيتضمنه العامل المشترك. للقيام بذلك عليك أن تنظر إلى التعبير 10 أ + 15أوالعثور على عامل الحرف المتضمن في جميع المصطلحات. في هذه الحالة، هو عامل أ. يتم تضمين هذا العامل في كل حد من التعبير 10 أ + 15أ. لذلك المتغير أسيتم تضمينها في الجزء الحرفي من العامل المشترك المأخوذ من الأقواس:

الآن كل ما تبقى هو حساب العامل المشترك 5 أخارج الأقواس. للقيام بذلك، نقسم كل حد من التعبير 10 أ + 15 أعلى 5 أ. للتوضيح، سنقوم بفصل المعاملات والأرقام بعلامة الضرب (×)

دعونا نتحقق من التعبير الناتج. للقيام بذلك، دعونا نتضاعف 5 ألكل مصطلح بين قوسين. إذا فعلنا كل شيء بشكل صحيح، فسنحصل على التعبير 10 أ + 15 أ

لا يمكن دائمًا إخراج عامل الحرف من الأقواس. في بعض الأحيان يتكون العامل المشترك من رقم فقط، حيث لا يوجد شيء مناسب لجزء الحرف في التعبير.

على سبيل المثال، لنأخذ العامل المشترك من الأقواس في المقدار 2أ−2ب. هنا سيكون العامل المشترك هو الرقم فقط 2 ، ولا يوجد بين عوامل الحروف عوامل مشتركة في الإعراب. ولذلك، في هذه الحالة سيتم إخراج المضاعف فقط 2

مثال 2.استخرج العامل المشترك من التعبير 3س + 9ص + 12

معاملات هذا التعبير هي أرقام 3, 9 و 12, GCD الخاصة بهم متساوية 3 3 . ومن بين عوامل الحروف (المتغيرات) لا يوجد عامل مشترك. وبالتالي فإن العامل المشترك الأخير هو 3

مثال 3.ضع العامل المشترك بين قوسين في التعبير 8س + 6ص + 4ض + 10 + 2

معاملات هذا التعبير هي أرقام 8, 6, 4, 10 و 2, GCD الخاصة بهم متساوية 2 . وهذا يعني أن معامل العامل المشترك المأخوذ من الأقواس هو العدد 2 . ومن بين عوامل الحروف ليس هناك عامل مشترك. وبالتالي فإن العامل المشترك الأخير هو 2

مثال 4.أخرج العامل المشترك 6أب + 18أب + 3أب

معاملات هذا التعبير هي أرقام 6 و 18 و 3، GCD الخاصة بهم متساوية 3 . وهذا يعني أن معامل العامل المشترك المأخوذ من الأقواس هو العدد 3 . سيتضمن الجزء الحرفي من العامل المشترك المتغيرات أو ب،منذ في التعبير 6أب + 18أب + 3أبيتم تضمين هذين المتغيرين في كل مصطلح. وبالتالي فإن العامل المشترك الأخير هو 3ab

في حل مفصليصبح التعبير مرهقًا وحتى غير مفهوم. في في هذا المثالوهذا أكثر من ملحوظ. ويرجع ذلك إلى أننا نحذف العوامل الموجودة في البسط والمقام. من الأفضل أن تفعل ذلك في رأسك وتدون نتائج القسمة على الفور. ثم يصبح التعبير قصيرًا وأنيقًا:

كما في حالة التعبير الرقمي، في التعبير الحرفي، يمكن أن يكون العامل المشترك سالبًا.

على سبيل المثال، لنخرج العام من الأقواس في التعبير -3أ - 2أ.

وللتيسير، نستبدل الطرح بالجمع

−3أ − 2أ = −3أ + (−2أ )

العامل المشترك في هذا التعبيرهو المضاعف أ. ولكن ما وراء الأقواس يمكن أن يؤخذ ليس فقط أ، لكن أيضا -أ. لنخرجها من بين قوسين:

اتضح أنه تعبير أنيق -أ (3+2).ولا ينبغي أن ننسى أن المضاعف -أبدا في الواقع -1أوبعد التخفيض في كلا الكسرين من المتغيرات أ، ناقص واحد يبقى في المقامات. لذلك، في النهاية نحصل على إجابات إيجابية بين قوسين

مثال 6.ضع العامل المشترك بين قوسين في التعبير −6x − 6y

دعونا نستبدل الطرح بالجمع

−6x−6y = −6x+(−6y)

دعونا نضعها خارج الأقواس −6

لنكتب الحل باختصار:

−6x − 6y = −6(x + y)

مثال 7.ضع العامل المشترك بين قوسين في التعبير −2أ − 4ب − 6ج

دعونا نستبدل الطرح بالجمع

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

دعونا نضعها خارج الأقواس −2

هل أعجبك الدرس؟
انضم الينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

درس الجبر في الصف السابع.

الموضوع: "إخراج العامل المشترك بين قوسين."

الكتاب المدرسي Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G. وإلخ.

أهداف الدرس:

التعليمية –

التعرف على مستوى إتقان الطلاب لمجموعة من المعارف والمهارات في استخدام مهارات الضرب والقسمة؛

تطوير القدرة على تطبيق تحليل كثيرة الحدود عن طريق وضع العامل المشترك بين قوسين؛

تطبيق إزالة العامل المشترك من الأقواس عند حل المعادلات.

التنموية –

تعزيز تنمية الملاحظة والقدرة على التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج؛

تنمية مهارات ضبط النفس عند أداء المهام.

تعليمية -

تعزيز المسؤولية والنشاط والاستقلال واحترام الذات الموضوعي.

نوع الدرس:مجموع.

نتائج التعلم الرئيسية:

تكون قادرة على إخراج العامل المشترك من بين قوسين؛

تكون قادرة على تطبيق هذه الطريقةعند حل التمارين

يتحركدرس.

وحدة واحدة (30 دقيقة).

1. تنظيم الوقت.

تحيات؛

إعداد الطلاب للعمل.

2. فحص العمل في المنزل.

التحقق من التوافر (في الخدمة)، ومناقشة القضايا التي نشأت.

3 . تحديث خلفية معرفية.

نأوجد GCD (15,6)، (30،60)، (24،8)، (4،3)، (20،55)، (16، 12).

ما هو GCD؟

كيف يتم تقسيم السلطات على نفس الأسس؟

كيف يتم ضرب القوى ذات الأساس نفسه؟

لهذه الدرجات (ج 3) 7 ,b 45 ,ج 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 قم بتسمية الدرجة ذات الأسس الأصغر، نفس القواعد، نفس الأسس

دعونا نكرر قانون التوزيع للضرب. أكتبها على شكل حرف

أ (ب + ج) = أب + أس

* - علامة الضرب

إكمال المهام الشفهية على تطبيق خاصية التوزيع. (التحضير على السبورة).

1) 2*(أ + ب) 4) (س – 6)*5

2) 3*(س - ص) 5) -4*(ص + 5)

3) أ*(4 + س) 6) -2*(ج – أ)

تتم كتابة المهام على لوحة مغلقة، ويقوم الرجال بحلها وكتابة النتيجة على السبورة. مسائل على ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود.

في البداية، أقدم لك مثالاً على ضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود:

2x (x2 +4xy – 3) = 2x3 + 8x2y – 6x لا تغسل!

اكتب قاعدة ضرب وحيدة الحد في كثيرة الحدود على شكل رسم بياني.

تظهر ملاحظة على السبورة:

يمكنني كتابة هذه الخاصية على النحو التالي:

في هذا النموذج استخدمنا التسجيل بالفعل طريقة بسيطةحسابات التعبير

أ) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

والباقي شفهي، تحقق من الإجابات:

هـ) 55*682 – 45*682 = 6820

ز) 7300*3 + 730*70 = 73000

ح) 500*38 – 50*80 = 15000

ما هو القانون الذي ساعدك في إيجاد طريقة بسيطة للحساب؟ (توزيع)

في الواقع، يساعد قانون التوزيع على تبسيط التعبيرات.

4 . تحديد الهدف وموضوع الدرس. العد اللفظي. تخمين موضوع الدرس.

العمل في ازواج.

بطاقات للأزواج.

لقد اتضح أن تحليل التعبير إلى عوامله هو العملية العكسية لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود.

لنفكر في نفس المثال الذي قام الطالب بحله، ولكن في ترتيب عكسي. التخصيم يعني إخراج العامل المشترك من الأقواس.

2 × 3 + 8 × 2 ص – 6 س = 2 س (س 2 + 4 ص ص – 3).

سنتناول اليوم في الدرس مفهومي تحليل كثيرة الحدود وإخراج العامل المشترك من الأقواس، وسنتعلم كيفية تطبيق هذه المفاهيم عند حل التمارين.

خوارزمية لإخراج العامل المشترك من الأقواس

القاسم المشترك الأكبر للمعاملات.

متغيرات الحروف نفسها

أضف أصغر درجة إلى المتغيرات التي تمت إزالتها.

ثم يتم كتابة وحيدات الحد المتبقية من كثير الحدود بين قوسين.

تم العثور على القاسم المشترك الأكبر في الدرجات الدنيا، ويمكن رؤية المتغير المشترك إلى أقل درجة على الفور. ومن أجل العثور بسرعة على كثيرة الحدود المتبقية بين قوسين، عليك التدرب على استخدام الرقم 657.

5. التعلم الأساسي مع التحدث بصوت عال.

رقم 657 (عمود واحد)

الوحدة 2 (30 دقيقة).

1. نتيجة أول 30 دقيقة.

أ) ما هو التحويل الذي يسمى تحليل كثيرة الحدود؟

ب) ما الخاصية التي تعتمد على إخراج العامل المشترك من القوسين؟

س) كيف يتم إخراج العامل المشترك من الأقواس؟

2. التوحيد الأولي.

تتم كتابة التعبيرات على السبورة. ابحث عن الأخطاء في هذه المساواة، إن وجدت، وقم بتصحيحها.

1) 2 × 3 - 3 × 2 - س = س (2 × 2 - 3 س).

2) 2 س + 6 = 2 (س + 3).

3) 8 س + 12 ص = 4 (2 س - 3 ص).

4) أ 6 - أ 2 = أ 2 (أ 2 - 1).

5) 4 -2أ = – 2 (2 – أ).

3. التحقق الأولي من الفهم.

العمل مع الاختبار الذاتي. 2 شخص لكل الجانب الخلفي

أخرج العامل المشترك من الأقواس:

التحقق لفظيا عن طريق الضرب.

4. إعداد الطلاب للأنشطة العامة.

لنخرج عامل كثير الحدود من الأقواس (شرح المعلم).

عامل كثير الحدود.

في هذا التعبير نرى أن هناك عاملًا واحدًا يمكن إخراجه من الأقواس. إذن نحصل على:

التعبيرات "و" متعارضة، لذلك في بعض الحالات يمكنك استخدام هذه المساواة . نغير العلامة مرتين!عامل كثير الحدود

توجد تعبيرات معاكسة هنا، وباستخدام الهوية السابقة نحصل عليها الإدخال التالي: .

والآن نرى أنه يمكن إخراج العامل المشترك من الأقواس.

التعريف 1

أولا دعونا نتذكر قواعد ضرب أحادية الحد في أحادية الحد:

لضرب وحيدة الحد في وحيدة الحد، يجب عليك أولاً ضرب معاملات وحيدات الحد، ثم، باستخدام قاعدة ضرب القوى مع نفس الأساس، قم بضرب المتغيرات المضمنة في وحيدات الحد.

مثال 1

أوجد حاصل ضرب وحيدات الحد $(2x)^3y^2z$ و$(\frac(3)(4)x)^2y^4$

حل:

أولاً، دعونا نحسب حاصل ضرب المعاملات

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ في هذه المهمة استخدمنا قاعدة ضرب عدد في كسر - لضرب عدد صحيح في كسر، تحتاج لضرب الرقم في بسط الكسر، ووضع المقام دون تغيير

الآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للكسر - يمكن تقسيم البسط والمقام للكسر على نفس الرقم، يختلف عن $0$. لنقسم بسط ومقام هذا الكسر على $2$، أي تقليل هذا الكسر بمقدار $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ فارك(3)(2)$

وتبين أن النتيجة الناتجة هي كسر غير حقيقي، أي أن البسط فيه أكبر من المقام.

دعونا نحول هذا الكسر عن طريق عزل الجزء بأكمله. دعونا نتذكر أنه لعزل جزء صحيح، من الضروري كتابة باقي القسمة في بسط الجزء الكسري، والمقسوم عليه في المقام.

لقد وجدنا معامل المنتج المستقبلي.

الآن سنقوم بضرب المتغيرات $x^3\cdot x^2=x^5$ بالتتابع،

$y^2\cdot y^4 =y^6$. استخدمنا هنا قاعدة ضرب القوى ذات الأساس نفسه: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

إذن نتيجة ضرب أحاديات الحد ستكون:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

ثم على أساس من هذه القاعدةيمكنك تنفيذ المهمة التالية:

مثال 2

تمثيل كثيرة الحدود المعطاة كمنتج من كثيرة الحدود ووحيدة الحد $(4x)^3y+8x^2$

دعونا نمثل كل من وحيدات الحد المتضمنة في كثيرة الحدود كناتج لاثنين من أحاديات الحد من أجل عزل وحيدة الحد المشتركة، والتي ستكون عاملاً في كل من وحيدات الحد الأولى والثانية.

أولاً، لنبدأ بأول وحدة أحادية الحد $(4x)^3y$. دعونا نحلل معاملها إلى عوامل بسيطة: $4=2\cdot 2$. سنفعل الشيء نفسه مع معامل أحادي الحد الثاني $8=2\cdot 2 \cdot 2$. لاحظ أنه تم تضمين العاملين $2\cdot 2$ في كل من المعاملين الأول والثاني، مما يعني $2\cdot 2=4$ - سيتم تضمين هذا الرقم في أحادية الحد العامة كمعامل

الآن دعونا نلاحظ أنه في أحادية الحد الأولى يوجد $x^3$، وفي الثانية يوجد نفس المتغير للأس $2:x^2$. وهذا يعني أنه من المناسب تمثيل المتغير $x^3$ على النحو التالي:

يتم تضمين المتغير $y$ في حد واحد فقط من كثيرة الحدود، مما يعني أنه لا يمكن تضمينه في أحادية الحد العامة.

لنتخيل وحيدة الحد الأولى والثانية المتضمنة في كثيرة الحدود كحاصل ضرب:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

لاحظ أن وحدة الحد المشتركة، والتي ستكون عاملاً في كل من وحدة الحد الأولى والثانية، هي $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

الآن نطبق قانون التوزيع للضرب، ومن ثم يمكن تمثيل التعبير الناتج كحاصل ضرب عاملين. سيكون أحد المضاعفات هو المضاعف الإجمالي: $4x^2$ والآخر سيكون مجموع المضاعفات المتبقية: $xy + 2$. وسائل:

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

هذه الطريقة تسمى التحليل عن طريق إخراج عامل مشترك.

كان العامل المشترك في هذه الحالة هو الحد الواحد $4x^2$.

خوارزمية

ملاحظة 1

أوجد القاسم المشترك الأكبر لمعاملات جميع أحاديات الحد المتضمنة في كثيرة الحدود - سيكون معامل العامل المشترك أحادي الحد، والذي سنضعه بين قوسين

ستكون وحيدة الحد التي تتكون من المعامل الموجود في الفقرة 2 والمتغيرات الموجودة في الفقرة 3 عاملاً مشتركًا. والتي يمكن إخراجها من الأقواس كعامل مشترك.

مثال 3

أخرج العامل المشترك $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

حل:

لنجد gcd للمعاملات؛ ولهذا سنقوم بتحليل المعاملات إلى عوامل بسيطة

45 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 5$

ونجد حاصل ضرب تلك المتضمنة في توسيع كل من:

حدد المتغيرات التي تشكل كل وحيدة حد وحدد المتغير ذو الأس الأصغر

$a^3=a^2\cdot a$

يتم تضمين المتغير $b$ فقط في أحادية الحد الثانية والثالثة، مما يعني أنه لن يتم تضمينه في العامل المشترك.

لنقم بتكوين أحادية الحد تتكون من المعامل الموجود في الخطوة 2، والمتغيرات الموجودة في الخطوة 3، نحصل على: $3a$ - سيكون هذا هو العامل المشترك. ثم:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

في هذه المقالة سوف نركز عليها بإخراج العامل المشترك من بين قوسين. أولاً، دعونا نتعرف على ما يتكون منه هذا التعبير التحويلي. بعد ذلك، سنقدم قاعدة وضع العامل المشترك بين قوسين وننظر بالتفصيل في أمثلة تطبيقه.

التنقل في الصفحة.

على سبيل المثال، المصطلحات الموجودة في التعبير 6 x + 4 y لها عامل مشترك 2، وهو غير مكتوب بشكل صريح. ولا يمكن رؤيته إلا بعد تمثيل الرقم 6 كحاصل ضرب 2·3، والرقم 4 كحاصل ضرب 2·2. لذا، 6 x+4 ص=2 3 x+2 2 ص=2 (3 x+2 ص). مثال آخر: في التعبير x 3 +x 2 +3 x، يكون للمصطلحات عامل مشترك x، والذي يصبح مرئيًا بوضوح بعد استبدال x 3 بـ x x 2 (في هذه الحالة استخدمنا) وx 2 بـ x x. وبعد إخراجها من الأقواس، نحصل على x·(x 2 +x+3) .

لنتحدث بشكل منفصل عن وضع علامة الطرح خارج القوسين. في الواقع، إخراج السالب من القوسين يعني إخراج السالب واحد من القوسين. على سبيل المثال، لنأخذ الطرح في التعبير −5−12·x+4·x·y. يمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي كـ (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y، حيث يكون العامل المشترك −1 مرئيًا بوضوح، والذي نخرجه من الأقواس. ونتيجة لذلك، وصلنا إلى التعبير (−1)·(5+12·x−4·x·y) حيث يتم استبدال المعامل −1 ببساطة بعلامة ناقص قبل الأقواس، ونتيجة لذلك لدينا −( 5+12·x−4·x·y) . ومن هنا يتبين أنه عند إخراج السالب من القوسين يبقى المجموع الأصلي بين قوسين، وقد بدلت علامات جميع حدوده إلى ضدها.

وفي ختام هذه المقالة، نلاحظ أن وضع العامل المشترك بين قوسين يستخدم على نطاق واسع جدًا. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لحساب قيم التعبيرات الرقمية بشكل أكثر كفاءة. كما أن وضع عامل مشترك بين قوسين يسمح لك بتمثيل التعبيرات في صورة حاصل الضرب؛ على وجه الخصوص، إحدى طرق تحليل كثيرة الحدود تعتمد على وضع الأقواس.

فهرس.

• الرياضيات.الصف السادس: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [ن. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22، المراجعة. - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.