صياغة تعريف حد الكمية المتغيرة. حد

27.01.2019

2 حد القيمة المتغيرة صغيرة بلا حدود ولا نهائية كميات كبيرة، العلاقة بينهما.

نهاية المتغير عند نقطة معينة تساوي عدديا هذه النقطة. ليمكس(xàa) = أ

تسمى الوظيفة متناهية الصغر عند النقطة حيث xàa if yà0. ليمف(x)_(xàa) = 0

يقال إن الوظيفة كبيرة بلا حدود عند النقطة حيث xàa if yà0. الحافة(x)_(xàa) =<><>

العلاقة بين الكميات:

إذا كانت y=Ф(kh) صغيرة بشكل لا نهائي، فإن 1/ф(x) مريضة بشكل لا نهائي

3 متناهية الصغر، خصائصها الأساسية.

مجموع عدد محدود من الكميات المتناهية الصغر هو كمية متناهية الصغر.

منتج دالة محدودة وكمية متناهية الصغر هو كمية متناهية الصغر.

الدالة عند النقطة a لها حد محدود إذا وفقط إذا كانت f(x) = A + U(x)، حيث U(x) كمية متناهية الصغر، وبدلاً من ذلك، يمكن كتابة ذلك بالشكل f(x) – A à 0

مقارنة بين وظائف متناهية الصغر:

إذا كان حد النسبة واحد ب.م. إلى ب.م آخر. يساوي صفرًا، ثم b.m الذي كان في البسط بياضا أعلى ترتيب. وإذا كان هذا الحد يساوي ما لا نهاية، فالعكس صحيح.

وإذا كان حد نسبتهم يساوي عددا معينا، فإن هؤلاء ب.م. نفس الترتيب.

إذا كان الحد هو 1، فإن هذين b.m. متكافئة.

نظرية 1: حاصل ضرب المتناهيات في الصغر هو متناهية الصغر ذات رتبة أعلى من كل منها.

المساعدة الإنمائية الرسمية . تسمى الدالة a(x) b/m إذا كان حدها في هذا النوع يساوي 0. ومن هذا التعريف تتبع الخاصية التالية لوظائف b/m:

أ) المجموع الجبري وحاصل ضرب دوال b/m هي دوال b/m.

ب) منتج دالة b/m ودالة محدودة هو دالة b/m، أي. إذا كان a(x)®0 لـ x®x0، وf(x) معرفًا ومحدودًا ($ C:½j(x)½ £C) => j(x)a(x)®0 لـ x®x0

من أجل تمييز المركبات من خلال اقتراب سرعتها من 0، تم تقديم ما يلي. مفهوم:

1) إذا كانت نسبة 2 b/m a(x)/b(x)®0 عند x®x0 فإنهم يقولون أن b/m a لديه المزيد ترتيب عاليأكثر قليلا من ب.

2) إذا كان a(x)/b(x)®A¹0 لـ x®x0 (رقم A)، فإن a(x) وb(x) يُطلق عليهما b/m بنفس الترتيب.

3) إذا كان a(x)/b(x)®1، فيقال أن a(x) وb(x) متساويان b/m (a(x)~b(x))، بالنسبة لـ x®x0.

4) إذا كان a(x)/b^n(x)®А¹0، فإن a(x) يسمى b/m من الترتيب n بالنسبة إلى b(x).

تعريفات مماثلة للحالات: x®x0-، x®x0+، x®-¥، x®+¥ وx®¥.

4 حد الوظيفة. النظريات الأساسية حول الحدود.

تعريفالحد: دع φ(x) تكون دالة محددة في المجموعة X، وa تكون نقطة النهاية لهذه المجموعة. الرقم أ يسمى حددالة لـ x à a إذا وفقط إذا كان هناك جوار للنقطة لأي e، بحيث يكون |ф(x) – a|< |е|

بطريقة أخرى، يتم كتابة هذا كـ f(x) à A لـ x à a

النظرية 1: إذا كان كل حد من مجموع جبري لعدد محدود من الوظائف له حد حيث أن x تميل إلى a، فإن نهاية هذا المجموع الجبري عند x هي نفسها. k a موجود ويساوي نفس المجموع الجبري لحدود الحدود.

دليل: نحن نمثل دالة كمجموع حدها ومتناهية الصغر، ونضيف الدوال والمتناهيات في الصغر. وتبين أن مجموع الدوال يختلف عن مجموع النهايات بمقدار متناهي الصغر، مما يعني أن هذه هي النهاية.

عاقبة: يمكن أن يكون للدالة حد واحد فقط عند المستوى x. إلى أ. ثبت بالتناقض. وتبين أن الفرق وظائف أصليةيميل إلى الفرق بين حديها، أي أن الصفر يميل إلى الفرق بين الحدين، ومنذ ذلك الحين نهاية الدالة الثابتة تساوي الدالة نفسها وهي فريدة من نوعها، فنحصل على أن فرق النهاية يساوي 0، أي أن النهايتين متساويتان.

نظرية 2: إذا كان لكل عامل من عوامل حاصل ضرب عدد محدود من الدوال حد عند x à a، فإن نهاية حاصل الضرب عند x a تساوي حاصل ضرب حدود العوامل.

شهادة: يعتبر منتج عاملين

المتغيرات والثوابت

نتيجة لقياس الكميات الفيزيائية (الزمن، المساحة، الحجم، الكتلة، السرعة، إلخ)، فإنهم القيم الرقمية. تتعامل الرياضيات مع الكميات، وتستخلص من محتواها المحدد. وفيما يلي، عندما نتحدث عن الكميات، فإننا نعني قيمها العددية. في الظواهر المختلفة، تتغير بعض الكميات، بينما يحتفظ البعض الآخر بقيمته العددية. على سبيل المثال، عندما تتحرك نقطة بشكل منتظم، يتغير الوقت والمسافة، لكن السرعة تظل ثابتة.

قيمة متغيرةهي الكمية التي تأخذ قيم عددية مختلفة. تسمى الكمية التي لا تتغير قيمها العددية ثابت. سيتم الإشارة إلى الكميات المتغيرة بالحروف س، ص، ض،...، ثابت - أ، ب، ج،…

لاحظ أنه في الرياضيات غالبًا ما يُنظر إلى الثابت على أنه حالة خاصةمتغير تكون قيمه الرقمية كلها متماثلة.

تغيير المنطقةالمتغير هو مجموعة كل القيم العددية التي يقبلها. يمكن أن تتكون منطقة التغيير من فاصل زمني واحد أو أكثر، أو نقطة واحدة.


الكمية المتغيرة المطلوبة. التسلسل الرقمي

سنقول أن المتغير سهنالك المتغير المرتب، إذا كانت مساحة تغيرها معروفة، ولكل من أي قيمتين من قيمها يمكن القول أي واحدة هي السابقة وأي واحدة هي التالية.

الحالة الخاصة للكمية المتغيرة المطلوبة هي الكمية المتغيرة التي تتشكل قيمها تسلسل رقمي × 1 ,x 2 ,…,x ن ,…لمثل هذه القيم في أنا< j, i, j Î N ، معنى × طتعتبر سابقة، و س ي- لاحقة بغض النظر عن أي من هذه القيم أكبر. وبالتالي فإن التسلسل الرقمي هو متغير يمكن إعادة ترقيم قيمه المتعاقبة. سوف نشير إلى تسلسل رقمي بواسطة . تسمى الأرقام الفردية في التسلسل عناصر.

على سبيل المثال، يتكون التسلسل الرقمي من الكميات التالية:

وظيفة

عند دراسة الظواهر الطبيعية المختلفة وحلها مشاكل تقنيةوبالتالي، في الرياضيات علينا أن نأخذ في الاعتبار التغير في كمية ما اعتمادًا على التغير في كمية أخرى. على سبيل المثال، من المعروف أن مساحة الدائرة يتم التعبير عنها من حيث نصف القطر بواسطة الصيغة ق = ط ص 2. إذا نصف القطر صيأخذ قيمًا عددية مختلفة، ثم المساحة سيأخذ أيضًا قيمًا رقمية مختلفة، على سبيل المثال. التغيير في متغير واحد يؤدي إلى تغيير في آخر.

إذا كانت كل قيمة متغيرة سالانتماء إلى منطقة معينة يتوافق مع قيمة محددة لمتغير آخر ذ، الذي - التي ذمُسَمًّى دالة المتغير x. سنكتب بشكل رمزي ص = و (س). في هذه الحالة المتغير سمُسَمًّى متغير مستقلأو دعوى.

سِجِلّ ص=ج، أين ج- ثابت، يدل على دالة قيمتها عند أي قيمة سواحد ونفس ومتساوية ج.

معاني متعددة سوالتي يمكن تحديد قيم الدالة لها ذوفقا للقاعدة و (خ)، مُسَمًّى مجال الوظيفة.

لاحظ أن التسلسل الرقمي هو أيضًا دالة يتطابق مجال تعريفها مع مجموعة الأعداد الطبيعية.

تشمل الوظائف الأساسية الأساسية جميع الوظائف التي تمت دراستها في مقرر الرياضيات المدرسية:

وظيفة ابتدائيةتسمى وظيفة يمكن تحديدها بواسطة basic وظائف أوليةوالثوابت باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ دالة من دالة.

مفهوم حدود التسلسل العددي

في دورة أخرى من الرياضيات، سيلعب مفهوم الحد دورا أساسيا، لأن المفاهيم الأساسية ترتبط مباشرة به التحليل الرياضي- مشتق، لا يتجزأ، الخ.

لنبدأ بمفهوم الحد تسلسل رقمي.

رقم أمُسَمًّى حدتسلسلات س = {س ن) ، إذا كان هناك رقم موجب صغير تعسفي محدد مسبقًا ε يوجد مثل هذا الرقم الطبيعي نذلك أمام الجميع ن>نعدم المساواة |x n - a|< ε.

إذا كان الرقم أهناك حد التسلسل س = {س ن)، ثم يقولون ذلك س نيسعى ل أ، والكتابة.

لصياغة هذا التعريف بمصطلحات هندسية، نقدم المفهوم التالي.

جوار النقطة × 0يسمى الفاصل الزمني التعسفي ( أ، ب)، تحتوي على هذه النقطة داخل نفسها. غالبًا ما يتم أخذ حي النقطة بعين الاعتبار × 0، لأي منهم × 0هو الوسط إذن × 0مُسَمًّى مركزالحي والقيمة ( ب–أ)/2 – نصف القطرحيّ.

لذا، دعونا نتعرف على معنى مفهوم نهاية المتتابعة العددية هندسيًا. للقيام بذلك، نكتب المتباينة الأخيرة من التعريف في النموذج

ويعني هذا عدم المساواة أن جميع عناصر التسلسل لها أرقام ن>نيجب أن تقع في الفاصل الزمني (a - ε؛ a + ε).

وبالتالي رقم ثابت أهناك حد للتسلسل الرقمي ( س ن)، إذا كان لأي حي صغير تتمحور حول هذه النقطة أنصف القطر ε (ε هو محيط النقطة أ) يوجد مثل هذا العنصر في التسلسل مع الرقم نأن يتم ترقيم جميع العناصر اللاحقة ن>نسيكون موجودا في هذه المنطقة المجاورة.

أمثلة.

دعونا ندلي ببعض التعليقات.

ملاحظة 1.من الواضح أنه إذا كانت جميع عناصر التسلسل الرقمي تأخذ نفس القيمة الثابتة س ن = جفإن نهاية هذا التسلسل ستكون مساوية للواحد الأكثر ثباتًا. في الواقع، لأي ε عدم المساواة | س ن - ج| = |نسخة| = 0< ε.

ملاحظة 2.ويترتب على تعريف النهاية أن المتتابعة لا يمكن أن تحتوي على حدين. في الواقع، لنفترض ذلك س ن → أوفي نفس الوقت س ن → ب. خذ أي منها وقم بتمييز أحياء النقاط أو بنصف القطر ε (انظر الشكل). ومن ثم، ومن خلال تعريف النهاية، يجب أن تكون جميع عناصر التسلسل، بدءًا من نقطة معينة، موجودة في جوار النقطة أ، وعلى مقربة من النقطة بوهو أمر مستحيل.

ملاحظة 3.لا ينبغي أن تعتقد أن كل تسلسل رقمي له حد. لنفترض، على سبيل المثال، أن المتغير يأخذ القيم . ومن السهل أن نرى أن هذا التسلسل لا يميل إلى أي حد.

حد الوظيفة

دع الوظيفة ص = و (س)المحددة في بعض أحياء هذه النقطة أ. لنفترض أن المتغير المستقل سيقترب من العدد بلا حدود أ. وهذا يعني أنه يمكننا أن نعطي Xالقيم أقرب ما يكون إلى أ، ولكن ليس على قدم المساواة أ. وسوف نشير إليها بهذه الطريقة س → أ. لمثل هذا سدعونا نجد القيم المقابلة للوظيفة. قد يحدث أن القيم و (خ)كما تقترب من عدد معين بلا حدود ب.ثم يقولون أن العدد بهناك حد للوظيفة و (خ)في س → أ.

دعونا نقدم تعريفًا صارمًا لحد الوظيفة.

وظيفة y=f(x) يميل إلى الحد b مثل x → a، إذا كان لكل رقم موجب ε، مهما كان صغيرا، فيمكنك تحديد ما يلي رقم موجب، عدد إيجابيδ أنه بالنسبة للجميع x ≠ a من مجال تعريف الوظيفة التي تلبي عدم المساواة | س-أ| < δ, имеет место неравенство |و(خ) - ب| < ε. Если بهناك حد للوظيفة و (خ)في س → أ، ثم يكتبون أو و(خ) → بفي س → أ.

دعونا نوضح هذا التعريف من خلال رسم بياني للوظيفة. لأن من عدم المساواة | س-أ| < δ должно следовать неравенство |و(خ) - ب| < ε, т.е. при س Î ( أ - δ, أ+ δ) القيم المقابلة للدالة و (خ) Î ( ب - ε, ب+ ε)، إذن، بأخذ ε > 0 بشكل تعسفي، يمكننا اختيار رقم δ بحيث يكون لجميع النقاط س، تقع في δ – حي النقطة أ، يجب أن تقع النقاط المقابلة للرسم البياني للدالة داخل شريط بعرض 2ε محاط بخطوط مستقيمة ص = ب- ε و ص = ب + ε.

من السهل أن نرى أن نهاية الدالة يجب أن تكون لها نفس خصائص نهاية التسلسل الرقمي، أي إذا كانت عند س → أالدالة لها حد، فهي الوحيدة.

أمثلة.

مفهوم حدود الوظيفة عند نقطة بعيدة لا نهاية لها

لقد نظرنا حتى الآن في حدود الحالة عندما يكون المتغير سسعى للحصول على عدد ثابت معين.

سنقول أن المتغير x يميل إلى اللانهاية، إذا كان لكل رقم موجب محدد مسبقًا م(يمكن أن تكون كبيرة كما تريد) يمكنك تحديد هذه القيمة س=س 0، بدءًا من جميع القيم اللاحقة للمتغير سوف تلبي عدم المساواة |x|>م.

على سبيل المثال، دع المتغير Xيأخذ القيم س 1 = –1، س 2 = 2، س 3 = –3، ...، سن =(–1) ن ن،…ومن الواضح أن هذا متغير كبير بلا حدود، لأنه للجميع م> 0 جميع قيم المتغير، بدءًا من قيمة معينة، ستكون أكبر في القيمة المطلقة م.

قيمة متغيرة س → +∞، إذا كان تعسفيا م> 0 جميع القيم اللاحقة للمتغير، بدءًا من قيمة معينة، تحقق عدم المساواة س> م.

على نفس المنوال، س→ - ∞، إذا كان هناك أي شيء م > 0 س< -M .

سنقول أن الوظيفة و (خ)يميل إلى الحد بفي س→ ∞، إذا كان من الممكن تحديد رقم موجب صغير تعسفي ε مثل هذا الرقم الموجب م، والتي لجميع القيم س، إرضاء عدم المساواة |x|>م, عدم المساواة | و(خ) - ب| < ε.

تعيين .

أمثلة.

ميزات كبيرة بلا حدود

لقد نظرنا سابقًا في الحالات التي تكون فيها الوظيفة و (خ)سعى لبعض الحد النهائي بفي س → أأو س → ∞.

دعونا الآن نفكر في الحالة التي تكون فيها الوظيفة ص = و (س)طريقة ما لتغيير الحجة.

وظيفة و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أ، أي. يكون كبيرة بلا حدودالحجم إذا كان لأي رقم م، بغض النظر عن حجمها، فمن الممكن العثور على δ > 0 لجميع القيم X≠أاستيفاء الشرط | س-أ| < δ, имеет место неравенство |و (خ)| > م.

لو و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أ، ثم يكتبون أو و (خ)→∞ في س → أ.

صياغة تعريف مماثل للحالة عندما س→∞.

لو و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أوفي نفس الوقت يقبل فقط الإيجابية أو فقط القيم السلبية، على التوالي الكتابة أو .

أمثلة.

ميزات محدودة

دع الوظيفة تعطى ص = و (س)، محددة على بعض المجموعة دقيم الوسيطة.

وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى محدودعلى مجموعة د، إذا كان هناك رقم موجب مبحيث لجميع القيم سمن المجموعة قيد النظر، فإن عدم المساواة يحمل |f(x)|≥M. إذا كان مثل هذا العدد مغير موجود، ثم الوظيفة و (خ)مُسَمًّى غير محدودعلى مجموعة د.

أمثلة.

  1. وظيفة ذ=الخطيئة س، محدد في -∞<س<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях س|خطيئة س|≤1 = م.
  2. وظيفة ذ=x 2 +2 يقتصر، على سبيل المثال، على المقطع، منذ للجميع سمن هذا الجزء |و(س)| ≥f(3) = 11.
  3. النظر في الوظيفة ذ=ln سفي سيا (0 ؛ 1). هذه الوظيفة غير محدودة على الفاصل الزمني المحدد، منذ متى س→0 سجل س→-∞.

وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى يحدها x → أ، إذا كان هناك حي يتمركز في النقطة أ، حيث تكون الوظيفة محدودة.

وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى يحدها كـ x→∞، إذا كان هناك مثل هذا العدد ن> 0، والتي لجميع القيم X |x|>ن، وظيفة و (خ)محدود.

دعونا ننشئ علاقة بين دالة محدودة ودالة لها حد.

النظرية 1.لو بهو عدد محدود، ثم الدالة و (خ)محدودة عندما س → أ.

دليل. لأن ، ثم لأي ε>0 يوجد رقم δ>0 بحيث يكون لجميع القيم X، إرضاء عدم المساواة |س-أ|< δ، عدم المساواة قائم |f(x) –b|< ε. باستخدام خاصية الوحدة النمطية |f(x) – ب|≥|f(x)| - |ب|، نكتب المتباينة الأخيرة في النموذج |و(س)|<|b|+ ε. وهكذا إذا وضعنا م=|ب|+ε، ثم متى س→أ |f(x)|

تعليق.من تعريف الدالة المحدودة يترتب على ذلك أنه إذا كانت غير محدودة. لكن العكس ليس صحيحا: لا وظيفة محدودةقد لا تكون كبيرة بلا حدود. اعط مثالا.

النظرية 2.إذا، ثم الوظيفة ص=1/و(س)محدودة عندما س → أ.

دليل. من شروط النظرية يترتب على ذلك التعسفي ε>0 في بعض أحياء النقطة ألدينا |و(خ) – ب|< ε. لأن |f(x) – ب|=|ب – f(x)| ≥|ب| - |و(س)|، الذي - التي |ب| - |و(س)|< ε. لذلك، |f(x)|>|ب| -ε>0. لهذا

اجعل x متغيرًا مرتبًا (على سبيل المثال، تسلسل رقمي).

تعريف.

رقم ثابتأيسمى حد المتغير x إذا كان هناك رقم موجب صغير بشكل تعسفيلم نأخذها، يمكنك تحديد قيمة للمتغير x بحيث تحقق جميع القيم اللاحقة للمتغير المتراجحةس-أ .

رمزيًا، يتم كتابة هذا xa أو limx=a (من الكلس اللاتيني - الحد).

هندسياهذا التعريف يعني أنه مهما كانت  صغيرة - حي النقطة a التي نأخذها، فإن جميع القيم اللاحقة لـ x بعد نقطة معينة سوف تقع في هذا الحي.

ومن الرسم يتضح عدم المساواة
يعني أن المسافة من النقطة x إلى a أقل من . وهذا هو الجزء الداخلي للحي. من الواضح أن النقطة x تحقق أيضًا المتباينة المزدوجة a- وهذه متساوية.

عن تعريف:بالنسبة للتسلسل الرقمي (x n) a هو الحد if
يمكنك تحديد numberN بحيث يكون ذلك للجميع

بالنسبة لأعضاء التسلسل، تقع جميع القيم x N و x N +1 وما إلى ذلك في الداخل -الجوار أمر لا بد منه.

المتغير x، الذي تشكل قيمه التسلسل العددي x 1,x 2,…,x n، غالبًا ما يتم كتابته كعضو في التسلسل x=x n أو (x n). على سبيل المثال، (1/ن). هذه كمية أو تسلسل متغير بمصطلح مشترك x n =1/n: 1,1/2,1/3...

مثال: ليأخذ المتغير x قيما متسلسلة: x 1 =2/1، x 2 =3/2، x 3 =4/3، …،x n =(n+1)/n،… أي. تشكيل تسلسل رقمي. دعونا نثبت ذلك
.

لنأخذ
.


. بمجرد أن يصبح الرقم
، سنأخذها كـ N. ثم سوف يستمر عدم المساواة
. ولكن بعد ذلك تم إثبات كل شيء.

النظرية 1:نهاية القيمة الثابتة تساوي هذا الثابت. دليل:القيمة الثابتة هي حالة خاصة للمتغير - جميع قيمه =c: x=c/ ولكن بعد ذلك limc=c.

النظرية 2:لا يمكن أن يكون للمتغير x حدين.

دليل:لنفترض أن limx=a و limx=b. ثم

و
بعد بعض القيمة. ولكن بعد ذلك

لأن صغيرًا بشكل تعسفي، فإن عدم المساواة يكون ممكنًا فقط عندما يكون a=b

ملحوظة:قد لا يكون للمتغير حد: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. المسافة إلى أي نقطة a من قيمها -1،+1 لا يمكن أن تكون أقل من 1/2
(-1) n ليس لها نهاية.

لقد افترضنا أن الرقم كان رقمًا. لكن المتغير x يمكن أن يميل أيضًا إلى ما لا نهاية.

تعريف:المتغير x يميل إلى اللانهاية إذا كان for
بدءًا من قيمة معينة × الوزن، فإن القيم المتبقية تحقق المتراجحة
. يميل Variablex إلى
، إذا كان في ظل نفس الظروف عدم المساواة x>M و k - ، إذا كان في ظل نفس الظروف عدم المساواة x<-M. Если переменная X стремится к бесконечности, то её называют كبيرة بلا حدودوالكتابة

مثال:س=س ن =ن 2 . لنأخذ
>0. يجب أن يتم n 2 >M. ن>
. بمجرد أن تحقق n هذه المتباينة، فإن المتباينة تتحقق بالنسبة للجميع x n = n 2. إذن ن 2
أو بالأحرى ن2
.

§3. حد الوظيفة.

سنفترض أن الوسيطة x للدالة y=f(x) تميل إلى x 0 أو .

دعونا نفكر في سلوك الدالة y في هذه الحالات.

تعريف.

دع الدالة y=f(x) يتم تعريفها في حي معين من النقطة x 0 . يُطلق على الرقم A نهاية الدالة لـ xx 0 إذا كان لأي ، مهما كان صغيرًا، يمكن تحديد رقم  بحيث يكون لجميع xx 0 ويحقق المتراجحة x-x 0   المتباينة f محققة (x)-A.

إذا كانت A هي نهاية الدالة f(x)، فإنهم يكتبون
orf(x)A عند xx 0.

عن ويمكن توضيح التعريف بهذه الطريقة هندسيا.

إذا كانت A هي نهاية f(x) لـ xx 0، فعند أخذ أي جوار  للنقطة A، يمكننا دائمًا الإشارة إلى جوار  للنقطة x 0 لجميع x من جوار  للقيمة للدالة f(x) بعيدة عن A بما لا يزيد عن ، أي. سوف يقع في حي  المحدد للنقطة A، أو، على أية حال، فإن جزء الرسم البياني المقابل للنقاط x من حي  يقع بالكامل في شريط بعرض 2.

يمكن ملاحظة أنه كلما كانت  أصغر، يجب أن تكون  أصغر.

تعريف.

دع الوسيطة x تميل إلى النقطة x 0، مع أخذ القيم xx 0 xx 0  دائمًا، ثم الرقم A 1 (A 2)، الذي تتجه إليه الدالة f(x)، تسمى نهاية الدالة f(x) عند النقطة x 0 إلى اليمين (يسار) أو اليد اليمنى (أعسر).

وهو مكتوب: lim x  x0+0 f(x)=A 1, (lim x  x0-0 f(x)=A 2).

يمكن إثبات أنه إذا كانت النهاية lim x  x0 f(x) = A موجودة، فإن كلا النهايتين من جانب واحد موجودان عند هذه النقطة وهما متساويتان، A 1 = A 2 = A. العكس: إذا كانت هناك نهايات من طرف واحد وكانت متساوية، فهناك نهاية عامة. إذا لم يكن هناك واحد على الأقل أو كانا غير متساويين، فإن نهاية الدالة غير موجودة.

مثال.

أثبت أن f(x)=3x-2 لها نهاية عند x1 تساوي 1.

أي ، 3.

مثل  يمكنك أخذ أي أرقام موجبة /3؛ 0</3.

لقد أثبتوا أنه لأي  يكفي أخذ /3 بحيث يكون من 0 f(x)-1، ولكن هذا يعني أن lim X  (3س-2)=1.

تعريف.

ح
يُطلق على الرقم A حد الدالة y=f(x) لـ x إذا كان لأي  (مهما كان صغيرًا) يمكن تحديد رقم موجب P بحيث يكون لجميع قيم x التي تلبي عدم المساواة xP عدم المساواة  f(x)-A.

اكتب lim x  f(x)=A.

هندسيًا، هذا يعني أنه لأي  الرسم البياني للدالة لـ xp وx-p يقع في شريط بعرض 2.

مثال.

f(x)=1/x لـ x, f(x)0.

مهما تم أخذ 0، فإن الرسم البياني للدالة xP وx-P سيكون موجودًا في شريط بعرض 2.

1/x, 1/x, x1/, Р=1/.

محددة بالمثل
و(خ)=أ 1 و
و(خ)=أ 2. في الحالة الأولى، يجب أن تتحقق المتباينة f(x)-A 1  لـ xP، وفي الحالة الثانية f(x)-A 2  لـ x-P (P0) .

لذا،
1/س=0، و
1/س=0. تسمح لنا مساواتهم بالنظر في الحد العام
1/س=0.

من بين الطرق المختلفة التي تتصرف بها المتغيرات، فإن الأكثر أهمية هي الطريقة التي يميل فيها المتغير إلى حد معين. وفي هذه الحالة القيم التي يأخذها المتغير X، تصبح قريبة بشكل تعسفي من بعض الأرقام الثابتة أ-حد هذا المتغير . يقولون أن المتغير يميل إلى الاقتراب من رقم ثابت بلا حدود. أ(إلى حدك). دعونا نعطي التعريف المقابل بمزيد من التفصيل.

المتغير x يميل إلى الحد a (a -رقم ثابت) إذا كانت القيمة المطلقة يصبح الفرق بين x وa صغيرًا بشكل تعسفي في عملية تغيير المتغير.

ويمكن قول نفس التعريف بمعنى آخر.

تعريف.العدد الثابت a يسمىحد متغير× إذا - القيمة المطلقة للفرق بين x و a تصبح صغيرة بشكل تعسفي في عملية تغيير المتغير x.

الحقيقة أن العدد أ، هي نهاية المتغير، مكتوبة على النحو التالي:

( - الحروف الأولى من كلمة ليمز - الحد ) أو X-> أ

ولنوضح ما ينبغي أن يفهم من عبارة "تصغر الكمية اعتباطا" في تعريف الحد. لنقم بتعيين رقم موجب تعسفي، ثم إذا، بدءًا من لحظة معينة في التغيير في المتغير X،القيم سوف وتصبح أقل من هذا .

المتغير يميل إلى الحد إذا كان لأي إيجابية . ابتداءً من لحظة معينة في تغير المتغير، تتحقق المتباينة .

تعريف النهاية له معنى هندسي بسيط: عدم المساواة يعني أنها تقع في جوار النقطة، أي. في الفترة الفاصلة (الشكل 26). وهكذا يتم تحديد الحد في شكل هندسي: الرقم هو الحد الأقصى للمتغير إذا كان موجودًا (صغير بشكل تعسفي)-جوار نقطة يمكنك تحديد لحظة تغيير المتغير بدءًا من جميع قيمه
تقع في الحي المشار إليه من النقطة أ.

من الضروري أن نتخيل عملية الاقتراب من الحد الأقصى في الديناميكيات. أخذت بعض - جوار نقطة أ; بدءًا من مرحلة ما من التغيير , كل القيم تقع ضمن هذا الحي. الآن دعونا نلقي نظرة أقرب - جوار نقطة أ; بدءًا من لحظة ما (أبعد مقارنة باللحظة الأولى) في التغيير , سوف تقع جميع قيمها فيه - جوار نقطة أ إلخ. (رسم بياني 1).


بعد أن قدمنا ​​تعريف حد القيمة المتغيرة، حاولنا مناقشته وفك شفرته بالتفصيل. ومع ذلك، في هذا التعريف ظلت تفاصيل مهمة جدًا غير معلنة؛ ما الذي يجب أن يُفهم من عبارة "البدء من لحظة معينة في تغيير المتغير"؟ ويتجلى ذلك عندما تتم عملية تغيير المتغير عبر الزمن: بدءاً من لحظة (زمنية) معينة. لكننا لا نتعامل دائمًا مع كميات متغيرة، والتي يحدث تغيرها بمرور الوقت. ماذا تفعل في هذه الحالات؟ الحل هو فك هذا المكان تعريف عامحد المتغير بطريقة محددة لكل نوع من المتغيرات: بطريقته الخاصة للتسلسلات، وبطريقته الخاصة للوظائف، وما إلى ذلك.

حد الاتساق.أولًا، علينا أن نتذكر تعريف المتتابعة: إذا كانت جميع القيم مأخوذة من متغير X، يمكن ترقيمها باستخدام جميع الأعداد الطبيعية الممكنة س)، س 2،... س ن،...،وتؤخذ القيمة ذات الرقم الأعلى بعد القيمة ذات الرقم الأقل، فيقال أن المتغير كذلك Xيمر عبر سلسلة من القيم س س، س 2،... س ع...; أو ببساطة أن هناك تسلسلًا (تسلسلًا رقميًا).

تعريف. التسلسل العددي مُسَمًّى وظيفة حقيقيةالوسيطة الطبيعية، أي الدالة التي =ن ويورو.

ويرمز له بالرمز حيث أو باختصار . العدد الذي يعتمد على n يسمى n – العضو الرابع في التسلسل. بترتيب قيم المتتابعة ترتيبا عدديا نجد أنه يمكن التعرف على المتوالية بمجموعة قابلة للعد أرقام حقيقية، أي.

أمثلة:

أ) التسلسل ثابت ويتكون من أرقام (وحدات) متساوية: ;

ب) . لها

ز) .

بالنسبة للمتتابعات، البيان الوارد في التعريف العام لحد المتغير “يبدأ من لحظة معينة في التغيير " يجب أن يعني "بدءًا من رقم معين"، نظرًا لأن الأعضاء ذوي الأرقام الأعلى يتبعون (حسب تعريف التسلسل) العضو ذو الرقم الأقل. لذلك نحصل على التعريف التالي لحد التسلسل:

تعريف. رقمأ مُسَمًّى حدتسلسلات، إذا كان هناك رقم لأي رقم بحيث تكون جميع الأرقام الخاصة به تحقق عدم المساواة.

التسمية المقابلة

ويمكن أيضًا كتابة المتباينة على الصورة أو . تؤكد هذه السجلات على أن القيمة س نيصبح لا يمكن تمييزه قدر الإمكان عن أ،عندما يزيد عدد الأعضاء بلا حدود. هندسيا، تعريف نهاية التسلسل يعني ما يلي: ل صغيرة بشكل تعسفي -حي الرقم أيوجد رقم N بحيث تكون جميع حدود التسلسل أكبر من N, الأرقام تقع في هذه المنطقة المجاورة،يوجد فقط عدد محدود من الحدود الأولية للتسلسل خارج الحي (الشكل 2). هل هو كل الأعضاء أم بعضهم؟ .


× 1 × 2 × ن +1 أ × ن +2 × ن × 3

الرقم في تعريفنا يعتمد على : ن= ن(). كما ذكرنا سابقًا، ينبغي فهم تعريف الحد في التطور، وفي الديناميكيات، وفي الحركة: إذا أخذنا قيمة أخرى أصغر لـ ، على سبيل المثال، هناك، بشكل عام، رقم آخر ن س > ن،مثل هذا عدم المساواة ، يرضي الجميع .

سنكتب تعريف الحد باستخدام الرموز المنطقية (محددات الكمية). تحديد حد التسلسل باستخدام محددات الكمية يبدو هكذا.

الصفحة الرئيسية > وثيقة

حد. استمرارية الوظائف

المتغيرات والثوابتونتيجة لقياس الكميات الفيزيائية (الزمن، المساحة، الحجم، الكتلة، السرعة، الخ) يتم تحديد قيمها العددية. تتعامل الرياضيات مع الكميات، وتستخلص من محتواها المحدد. وفيما يلي، عندما نتحدث عن الكميات، فإننا نعني قيمها العددية. في الظواهر المختلفة، تتغير بعض الكميات، بينما يحتفظ البعض الآخر بقيمته العددية. على سبيل المثال، عندما تتحرك نقطة بشكل منتظم، يتغير الوقت والمسافة، لكن السرعة تظل ثابتة. قيمة متغيرةهي الكمية التي تأخذ قيم عددية مختلفة. تسمى الكمية التي لا تتغير قيمها العددية ثابت. سيتم الإشارة إلى الكميات المتغيرة بالحروف س، ص، ض،...، ثابت - أ، ب، ج،…لاحظ أنه في الرياضيات، غالبًا ما تُعتبر القيمة الثابتة حالة خاصة لمتغير تكون فيه جميع القيم العددية متماثلة. تغيير المنطقةالمتغير هو مجموعة كل القيم العددية التي يقبلها. يمكن أن تتكون منطقة التغيير من فاصل زمني واحد أو أكثر، أو نقطة واحدة. الكمية المتغيرة المطلوبة. التسلسل الرقميسنقول أن المتغير سهنالك المتغير المرتب، إذا كانت مساحة تغيرها معروفة، ولكل من أي قيمتين من قيمها يمكن القول أي واحدة هي السابقة وأي واحدة هي التالية. الحالة الخاصة للكمية المتغيرة المطلوبة هي الكمية المتغيرة التي تتشكل قيمها تسلسل رقمي س 1 ،x 2 ،…،x ن ,… لمثل هذه القيم في أنا< j, i, j Î N ، معنى س أناتعتبر سابقة، و س ي- لاحقة بغض النظر عن أي من هذه القيم أكبر. وبالتالي فإن التسلسل الرقمي هو متغير يمكن إعادة ترقيم قيمه المتعاقبة. سوف نشير إلى تسلسل رقمي بواسطة . تسمى الأرقام الفردية في التسلسل عناصر. على سبيل المثال، يتكون التسلسل الرقمي من الكميات التالية: وظيفةعند دراسة الظواهر الطبيعية المختلفة وحل المشكلات الفنية، وبالتالي في الرياضيات، من الضروري مراعاة التغير في كمية واحدة اعتمادًا على التغير في كمية أخرى. على سبيل المثال، من المعروف أن مساحة الدائرة يتم التعبير عنها من حيث نصف القطر بواسطة الصيغة س = ط ص 2 . إذا نصف القطر صيأخذ قيمًا عددية مختلفة، ثم المساحة سيأخذ أيضًا قيمًا رقمية مختلفة، على سبيل المثال. التغيير في متغير واحد يؤدي إلى تغيير في آخر. إذا كانت كل قيمة متغيرة سالانتماء إلى منطقة معينة يتوافق مع قيمة محددة لمتغير آخر ذ، الذي - التي ذمُسَمًّى دالة المتغير x. سنكتب بشكل رمزي ص = و (س). في هذه الحالة المتغير سمُسَمًّى متغير مستقلأو دعوى. سِجِلّ ص=ج، أين ج- ثابت، يدل على دالة قيمتها عند أي قيمة سواحد ونفس ومتساوية ج. معاني متعددة سوالتي يمكن تحديد قيم الدالة لها ذوفقا للقاعدة و (خ)، مُسَمًّى مجال الوظيفة. لاحظ أن التسلسل الرقمي هو أيضًا دالة يتطابق مجال تعريفها مع مجموعة الأعداد الطبيعية. تشمل الوظائف الأساسية الأساسية جميع الوظائف التي تمت دراستها في مقرر الرياضيات المدرسية: وظيفة ابتدائيةهي دالة يمكن تحديدها بواسطة الدوال الأساسية والثوابت باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ دالة من دالة. مفهوم حدود التسلسل العدديفي دورة أخرى من الرياضيات، سيلعب مفهوم الحد دورا أساسيا، حيث أن المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي ترتبط ارتباطا مباشرا به - المشتق، التكامل، وما إلى ذلك. لنبدأ بمفهوم حد التسلسل الرقمي. رقم أمُسَمًّى حدتسلسلات س = {س ن) ، إذا كان هناك رقم موجب صغير تعسفي محدد مسبقًا ε يوجد مثل هذا الرقم الطبيعي نذلك أمام الجميع ن>نعدم المساواة |x n - a|< ε. Если число أهناك حد التسلسل س = {س ن)، ثم يقولون ذلك س نيسعى ل أ، والكتابة. لصياغة هذا التعريف بمصطلحات هندسية، نقدم المفهوم التالي. جوار النقطة x 0 يسمى الفاصل الزمني التعسفي ( أ، ب)، تحتوي على هذه النقطة داخل نفسها. غالبًا ما يتم أخذ حي النقطة بعين الاعتبار س 0 ، لأي منهم س 0 هو الوسط إذن س 0 مُسَمًّى مركزالحي والقيمة ( ب–أ)/2 – نصف القطرحيّ. لذا، دعونا نتعرف على معنى مفهوم نهاية المتتابعة العددية هندسيًا. للقيام بذلك، نكتب المتباينة الأخيرة من التعريف في النموذج

ويعني هذا عدم المساواة أن جميع عناصر التسلسل لها أرقام ن>نيجب أن تقع في الفاصل الزمني (a - ε؛ a + ε). مع وبالتالي عدد ثابت أهناك حد للتسلسل الرقمي ( س ن)، إذا كان لأي حي صغير تتمحور حول هذه النقطة أنصف القطر ε (ε هو محيط النقطة أ) يوجد مثل هذا العنصر في التسلسل مع الرقم نأن يتم ترقيم جميع العناصر اللاحقة ن>نسيكون موجودا في هذه المنطقة المجاورة. أمثلة.

    دع المتغير سيأخذ القيم بالتسلسل
دعونا نثبت أن نهاية هذا التسلسل الرقمي يساوي 1. خذ رقمًا موجبًا عشوائيًا ε. علينا إيجاد مثل هذا العدد الطبيعي نذلك أمام الجميع ن>نعدم المساواة يحمل | س ن - 1| < ε. Действительно, т.к. ، ثم لتحقيق العلاقة |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве نأي عدد طبيعي يحقق المتراجحة، نحصل على ما نحتاج إليه. لذا، إذا أخذنا، على سبيل المثال، وضع ن = 6، للجميع ن> 6 سيكون لدينا . لنأخذ ε > 0 بشكل تعسفي. فكر في . ثم إذا أو، أي. . ومن ثم، فإننا نختار أي عدد طبيعي يحقق المتراجحة. دعونا ندلي ببعض التعليقات. ملاحظة 1.من الواضح أنه إذا كانت جميع عناصر التسلسل الرقمي تأخذ نفس القيمة الثابتة س ن =جفإن نهاية هذا التسلسل ستكون مساوية للواحد الأكثر ثباتًا. في الواقع، لأي ε عدم المساواة | س ن -ج| = |نسخة| = 0 < ε. ز ملاحظة 2.ويترتب على تعريف النهاية أن المتتابعة لا يمكن أن تحتوي على حدين. في الواقع، لنفترض ذلك س ن → أوفي نفس الوقت س ن → ب. خذ أي منها وقم بتمييز أحياء النقاط أو بنصف القطر ε (انظر الشكل). ومن ثم، ومن خلال تعريف النهاية، يجب أن تكون جميع عناصر التسلسل، بدءًا من نقطة معينة، موجودة في جوار النقطة أ، وعلى مقربة من النقطة بوهو أمر مستحيل. ملاحظة 3.لا ينبغي أن تعتقد أن كل تسلسل رقمي له حد. لنفترض، على سبيل المثال، أن المتغير يأخذ القيم . ومن السهل أن نرى أن هذا التسلسل لا يميل إلى أي حد.
حد الوظيفةدع الوظيفة ص = و (س)المحددة في بعض أحياء هذه النقطة أ. لنفترض أن المتغير المستقل سيقترب من العدد بلا حدود أ. وهذا يعني أنه يمكننا أن نعطي Xالقيم أقرب ما يكون إلى أ، ولكن ليس على قدم المساواة أ. وسوف نشير إليها بهذه الطريقة س → أ. لمثل هذا سدعونا نجد القيم المقابلة للوظيفة. قد يحدث أن القيم و (خ)كما تقترب من عدد معين بلا حدود ب.ثم يقولون أن العدد بهناك حد للوظيفة و (خ)في س → أ. دعونا نقدم تعريفًا صارمًا لحد الوظيفة. وظيفة y=f(x) يميل إلى الحد b مثل x → a، إذا كان لكل رقم موجب ε، مهما كان صغيرًا، يمكن تحديد رقم موجب δ بحيث يكون لكل x ≠ a من مجال تعريف الدالة | س-أ| < δ, имеет место неравенство |و(خ) - ب| < ε. Если بهناك حد للوظيفة و (خ)في س → أ، ثم يكتبون أو و(خ) → بفي س → أ. دعونا نوضح هذا التعريف من خلال رسم بياني للوظيفة. لأن من عدم المساواة | س-أ| < δ должно следовать неравенство |و(خ) - ب| < ε, т.е. при س Î ( أ - δ, أ+ δ) القيم المقابلة للدالة و (خ) Î ( ب - ε, ب+ ε)، إذن، بأخذ ε > 0 بشكل تعسفي، يمكننا اختيار رقم δ بحيث يكون لجميع النقاط س، تقع في δ – حي النقطة أ، يجب أن تقع النقاط المقابلة للرسم البياني للدالة داخل شريط بعرض 2ε محاط بخطوط مستقيمة ص = ب- ε و ص = ب+ ε. من السهل أن نرى أن نهاية الدالة يجب أن تكون لها نفس خصائص نهاية التسلسل الرقمي، أي إذا كانت عند س → أالدالة لها حد، فهي الوحيدة. أمثلة.باستخدام الرسم البياني لوظيفة معينة، من السهل ملاحظة ذلك.

مفهوم حد الوظيفة في نقطة نائية لا نهاية لهالقد نظرنا حتى الآن في حدود الحالة عندما يكون المتغير سسعى للحصول على عدد ثابت معين. سنقول أن المتغير x يميل إلى اللانهاية، إذا كان لكل رقم موجب محدد مسبقًا م(يمكن أن تكون كبيرة كما تريد) يمكنك تحديد هذه القيمة س=س 0 ، بدءًا من جميع القيم اللاحقة للمتغير سوف تلبي عدم المساواة |x|>م. على سبيل المثال، دع المتغير Xيأخذ القيم س 1 = –1، س 2 = 2، س 3 = –3، ...، سن =(–1) ن ن، ...ومن الواضح أن هذا متغير كبير بلا حدود، لأنه للجميع م> 0 جميع قيم المتغير بدءاً من البعض إلى قيمه مطلقهسيكون هناك المزيد م. قيمة متغيرة س → +∞، إذا كان تعسفيا م> 0 جميع القيم اللاحقة للمتغير، بدءًا من قيمة معينة، تحقق عدم المساواة س> م. على نفس المنوال، س→ - ∞، إذا كان هناك أي شيء م > 0 س< -M . سنقول أن الوظيفة و (خ)يميل إلى الحد بفي س→ ∞، إذا كان من الممكن تحديد رقم موجب صغير تعسفي ε مثل هذا الرقم الموجب م، والتي لجميع القيم س، إرضاء عدم المساواة |x|>م, عدم المساواة | و(خ) - ب| < ε. Обозначают . أمثلة.ن من الممكن بالفعل إثبات أنه بالنسبة إلى ε التعسفي سيتم تلبية عدم المساواة في أقرب وقت |x|>م، والرقم ميجب أن يتم تحديده من خلال اختيار ε. عدم المساواة المكتوبة تعادل ما يلي، والتي سوف تعقد إذا |س|> 1/ ε = م. وهذا يعني أن (انظر الشكل). ميزات كبيرة بلا حدودلقد نظرنا سابقًا في الحالات التي تكون فيها الوظيفة و (خ)سعى لبعض الحد النهائي بفي س → أأو س→ ∞. دعونا الآن نفكر في الحالة التي تكون فيها الوظيفة ص = و (س)طريقة ما لتغيير الحجة. وظيفة و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أ، أي. يكون كبيرة بلا حدودالحجم إذا كان لأي رقم م، بغض النظر عن حجمها، فمن الممكن العثور على δ > 0 لجميع القيم X≠أاستيفاء الشرط | س-أ| < δ, имеет место неравенство |و (خ)| > م. لو و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أ، ثم يكتبون أو و (خ)→∞ في س → أ. صياغة تعريف مماثل للحالة عندما س→∞. لو و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أوفي نفس الوقت يأخذ فقط القيم الإيجابية أو السلبية فقط، وبناء على ذلك يكتبون أو . أمثلة. ميزات محدودةدع الوظيفة تعطى ص = و (س)، محددة على بعض المجموعة دقيم الوسيطة. وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى محدودعلى مجموعة د، إذا كان هناك رقم موجب مبحيث لجميع القيم سمن المجموعة قيد النظر، فإن عدم المساواة يحمل |f(x)|≥M. إذا كان مثل هذا العدد مغير موجود، ثم الوظيفة و (خ)مُسَمًّى غير محدودعلى مجموعة د. أمثلة.

    وظيفة ذ=الخطيئة س، محدد في -∞<س<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях س|خطيئة س|≤1 = م. وظيفة ذ=x 2 +2 يقتصر، على سبيل المثال، على المقطع، منذ للجميع سمن هذا الجزء |و(س)| ≥f(3) = 11. خذ بعين الاعتبار الدالة ذ=ln سفي سيا (0 ؛ 1). هذه الوظيفة غير محدودة على الفاصل الزمني المحدد، منذ متى س→0 سجل س→-∞.
وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى يحدها x → أ، إذا كان هناك حي يتمركز في النقطة أ، حيث تكون الوظيفة محدودة. وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى يحدها كـ x→∞، إذا كان هناك مثل هذا العدد ن> 0، والتي لجميع القيم X، إرضاء عدم المساواة |x|>ن، وظيفة و (خ)محدود. دعونا ننشئ علاقة بين دالة محدودة ودالة لها حد. النظرية 1.لو بهو عدد محدود، ثم الدالة و (خ)محدودة عندما س → أ. دليل. لأن ، ثم لأي ε>0 يوجد رقم δ>0 بحيث يكون لجميع القيم X، إرضاء عدم المساواة |س-أ|< δ، عدم المساواة قائم |f(x) –b|< ε. باستخدام خاصية الوحدة النمطية |f(x) – ب|≥|f(x)| - |ب|، نكتب المتباينة الأخيرة في النموذج |و(س)|<|b|+ ε. وهكذا إذا وضعنا م=|ب|+ε، ثم متى س→أ |f(x)| تعليق.من تعريف الدالة المحدودة يترتب على ذلك أنه إذا كانت غير محدودة. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا: فالدالة غير المحدودة قد لا تكون كبيرة بلا حدود. اعط مثالا. النظرية 2.إذا، ثم الوظيفة ص=1/و(س)محدودة عندما س → أ. دليل. من شروط النظرية يترتب على ذلك التعسفي ε>0 في بعض أحياء النقطة ألدينا |و(خ) – ب|< ε. لأن |f(x) – ب|=|ب – f(x)| ≥|ب| - |و(س)|، الذي - التي |ب| - |و(س)|< ε. لذلك، |f(x)|>|ب| -ε>0. لهذا .

وظائف كبيرة جدًا وصغيرة جدًا

الدوال اللامتناهية وخصائصها الأساسيةوظيفة ص = و (س)مُسَمًّى متناهي الصغرفي س → أأو متى س→∞، إذا أو، على سبيل المثال. دالة متناهية الصغر هي دالة لها نهاية عند نقطة معينة يساوي الصفر. ص أمثلة. دعونا نثبت ما يلي نسبة مهمة: نظرية.إذا كانت الوظيفة ص = و (س)تمثيل مع س → أكمجموع عدد ثابت بوحجم متناهي الصغر α(x): و (x)=ب+ α(x)الذي - التي . على العكس من ذلك، إذا، ثم و (س)=ب+α(س)، أين فأس)- متناهية الصغر في س → أ. دليل. دعونا ننظر في الخصائص الأساسية للوظائف متناهية الصغر. النظرية 1.إن المجموع الجبري لاثنين وثلاثة، وبشكل عام أي عدد محدود من المتناهيات في الصغر، هو دالة متناهية الصغر. دليل. دعونا نعطي دليلا على مصطلحين. يترك و(س)=α(س)+β(س)وأين و . نحن بحاجة إلى إثبات أن الصغيرة بشكل تعسفي ε > 0 وجدت δ> 0، بحيث ل س، إرضاء عدم المساواة |س – أ|<δ ، إجراء |و(س)|< ε. لذلك، دعونا نصلح رقمًا عشوائيًا ε > 0. منذ وفقا لشروط النظرية α(س)هي دالة متناهية الصغر، ثم هناك مثل δ 1 > 0، وهو |س – أ|< δ 1 لدينا |α(س)|< ε / 2. وكذلك منذ بيتا(س)هو متناهية الصغر، ثم هناك مثل δ 2 > 0، وهو |س – أ|< δ 2 لدينا | β(س)|< ε / 2. لنأخذ δ = دقيقة (δ 1 , δ2 } .ثم في جوار النقطة أنصف القطر δ سيتم تلبية كل من عدم المساواة |α(س)|< ε / 2 و | β(س)|< ε / 2. لذلك، في هذا الحي سيكون هناك |f(x)|=| α(س)+β(س)| ≤ |α(س)| + | β(س)|< ε /2 + ε /2= ε، أي |و(س)|< ε، وهو ما يحتاج إلى إثبات. النظرية 2.المنتج لانهائي وظيفة صغيرة فأس)لوظيفة محدودة و (خ)في س → أ(أو متى س → ∞) هي وظيفة متناهية الصغر. دليل. منذ الوظيفة و (خ)محدودة، ثم هناك عدد مبحيث لجميع القيم سمن بعض المناطق المجاورة لنقطة ما أ|و(خ)|≥M.علاوة على ذلك، منذ ذلك الحين فأس)هي وظيفة متناهية الصغر في س → أ، ثم ل ε التعسفي > 0 هناك حي للنقطة أ، حيث سيستمر عدم المساواة |α(س)|< ε /م. ثم في أصغر هذه الأحياء لدينا | αf|< ε /م= ε. وهذا يعني ذلك بالعربية- متناهي الصغر. لهذه المناسبة س → ∞يتم تنفيذ الدليل بالمثل. من النظرية المثبتة يلي: النتيجة الطبيعية 1.إذا و، ثم. النتيجة الطبيعية 2.لو ج=ثابت، ثم . النظرية 3.نسبة وظيفة متناهية الصغر α(س)لكل وظيفة و (خ)التي يختلف حدها عن الصفر، هي دالة متناهية الصغر. دليل. يترك . ثم 1 /و(خ)هناك وظيفة محدودة. لذلك الكسر هو نتاج دالة متناهية الصغر ووظيفة محدودة، أي. الوظيفة متناهية الصغر.

  1. 1. الأهمية الثقافية والعملية العامة لنموذج الاستمرارية وحساب التفاضل والتكامل

    مقال

    الملحق 1 عناصر تطبيق الرياضيات في البحوث الاجتماعية والاقتصادية والاجتماعية والإدارية وفي ممارسات الأعمال الحديثة - الموضوعات التطبيقية المحتملة للملخصات،

  2. وثيقة

    يصف هذا الفصل متغيرات Mathcad وأسماء الوظائف الصحيحة، والمتغيرات المحددة مسبقًا، وتمثيلات الأرقام، ويتعامل Mathcad مع الأعداد المركبة بنفس سهولة التعامل مع الأعداد الحقيقية.

  3. "الوظائف والرسوم البيانية"

    مقال

    أود أن أعرف المزيد عن ماهية الوظيفة والرسوم البيانية للوظائف. منذ الصف السابع ندرس الجبر وفق برنامج A.G. موردكوفيتش. وأعتقد أن هذا المفهوم الاعتماد الوظيفييعد أحد المبادئ المركزية في الرياضيات ويتخلل جميع تطبيقاتها.

  4. نظرة عامة قصيرة ودليل مرجعي. يعد الكتاب أول مراجعة ودليل مرجعي في الفيزياء الافتراضية من نوعه وهو مخصص لمجموعة واسعة من القراء المهتمين بمشكلات العلوم بشكل عام والفيزياء بشكل خاص.

    كتاب

    يعد الكتاب أول دليل مراجعة ومرجعي للفيزياء الافتراضية من نوعه وهو مخصص لـ دائرة واسعةالقراء المهتمين بمشكلات العلوم بشكل عام والفيزياء بشكل خاص.

  5. برنامج امتحانات القبول لبرامج الماجستير في الاتجاه 010200. 68 الرياضيات. الرياضيات التطبيقية "التحليل الرياضي"

    برنامج

    حد التسلسل الرقمي. الخصائص الأساسية: تفرد الحد؛ تسلسل متقارب محدود؛ تقارب متتالية من تسلسل متقارب.



مقالات مماثلة
أنواع
  • أجهزة التوجيه
  • الأقراص الصلبة
  • لا يتم تشغيله
  • الطابعات
  • الفرامل
  • يتجمد
  • الفيروسات
  • أجهزة لوحية
المواد شعبية
مقالات جديدة