حدود الدوال التي تحتوي على متغيرات ذات قيمة مطلقة. الحد المتغير
بدءًا من الصف الخامس، يبدأ الطلاب في التعرف على مفهوم المساحات ذات الأشكال المختلفة. يتم إعطاء دور خاص لمساحة المستطيل، لأن هذا الشكل هو أحد أسهل الأشكال للدراسة.
مفاهيم المنطقة
أي شكل له مساحته الخاصة، وحساب المساحة يعتمد على مربع الوحدة، أي مربع ذو ضلع طويل 1 مم، أو 1 سم، 1 ديسيمتر، وهكذا. مساحة هذا الشكل تساوي $1*1 = 1mm^2$، أو $1cm^2$، وما إلى ذلك. وعادة ما يتم الإشارة إلى المنطقة بالحرف – S.
توضح المنطقة حجم جزء المستوى الذي يشغله الشكل الموضح بالقطاعات.
المستطيل هو شكل رباعي جميع زواياه متساوية قياس درجةوتساوي 90 درجة، والضلعان المتقابلان متوازيان وحتى في أزواج.
وينبغي إيلاء اهتمام خاص لوحدات قياس الطول والعرض. يجب أن تتطابق. إذا كانت الوحدات غير متطابقة، يتم تحويلها. مترجمة عادة وحدة كبيرةإلى أصغر، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء الطول بالدم والعرض بالسم، فسيتم تحويل dm إلى cm، وستكون النتيجة $cm^2$.
صيغة مساحة المستطيل
من أجل العثور على مساحة المستطيل بدون صيغة، تحتاج إلى حساب عدد مربعات الوحدة التي تم تقسيم الشكل إليها.
أرز. 1. المستطيل مقسم إلى مربعات الوحدة
ينقسم المستطيل إلى 15 مربعا أي أن مساحته 15 سم2. تجدر الإشارة إلى أن الشكل يشغل 3 مربعات عرضًا و5 مربعات طولًا، لذا لحساب عدد مربعات الوحدات، عليك ضرب الطول في العرض. الجانب الأصغر من الشكل الرباعي هو العرض، وكلما زاد الطول. وهكذا يمكننا استخلاص صيغة مساحة المستطيل:
S = a · b، حيث a,b هما عرض الشكل وطوله.
على سبيل المثال، إذا كان طول المستطيل 5 سم وعرضه 4 سم، فإن المساحة ستكون 4 * 5 = 20 سم 2.
حساب مساحة المستطيل باستخدام قطره
من أجل حساب مساحة المستطيل من خلال القطر، تحتاج إلى تطبيق الصيغة:
$$S = (1\over(2)) ⋅ د^2 ⋅ خطيئة(α)$$
إذا كانت المهمة تعطي قيم الزاوية بين الأقطار، وكذلك قيمة القطر نفسه، فيمكنك حساب مساحة المستطيل باستخدام صيغة عامةالرباعيات المحدبة التعسفية.
القطر هو القطعة المستقيمة التي تربط النقاط المتقابلة في الشكل. قطرا المستطيل متساويان، ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين.
أرز. 2. مستطيل بأقطار مرسومة
أمثلة
لتعزيز الموضوع، فكر في أمثلة المهام:
رقم 1. أوجد مساحة قطعة أرض حديقة بنفس الشكل كما في الشكل.
أرز. 3. الرسم للمشكلة
حل:
من أجل طرح المساحة، تحتاج إلى تقسيم الشكل إلى مستطيلين. سيكون أبعاد أحدهما 10 م و 3 م، والآخر 5 م و 7 م بشكل منفصل، نجد مساحاتهما:
$S_1 =3*10=30 م^2$;
وستكون هذه مساحة قطعة الحديقة $S = 65 م^2$.
رقم 2. اطرح مساحة المستطيل إذا كان قطره d = 6 سم والزاوية بين القطرين α = 30 0.
حل:
القيمة $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\فوق(2)) * 6^2 * (1\فوق(2)) =9 سم^2$
وبالتالي، $S=9 سم^2$.
تقسم الأقطار المستطيل إلى 4 أشكال - 4 مثلثات. في هذه الحالة، المثلثان متساويان في أزواج. إذا قمت برسم قطري في مستطيل، فإنه يقسم الشكل إلى مثلثين متساويين قائمي الزاوية.متوسط تقييم: 4.4. إجمالي التقييمات المستلمة: 214.
باستخدام هذا آلة حاسبة على الانترنت، أنت تستطيع العثور على مساحة المستطيل.
باستخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لحساب مساحة المستطيل، سوف تحصل على تفاصيل الحل خطوة بخطوةالمثال الخاص بك، والذي سيسمح لك بفهم الخوارزمية لحل مثل هذه المشكلات ودمج المواد المغطاة.
إدخال البيانات في الآلة الحاسبة لحساب مساحة المستطيل
يمكنك إدخال أرقام أو كسور في الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. اقرأ المزيد في قواعد إدخال الأرقام.
ملحوظة:في الآلة الحاسبة عبر الإنترنت، يمكنك استخدام القيم في نفس وحدات القياس!
إذا كنت تواجه صعوبة في تحويل وحدات القياس، استخدم محول وحدة المسافة والطول ومحول وحدة المساحة.
ميزات إضافية لآلة حاسبة مساحة المستطيل
- يمكنك التنقل بين حقول الإدخال بالضغط على المفتاحين "الأيمن" و"الأيسر" على لوحة المفاتيح.
حيث S هي مساحة المستطيل
a هو طول الضلع الأول
ب هو طول الضلع الثاني.
يمكنك إدخال أرقام أو كسور (-2.4، 5/7،.). اقرأ المزيد في قواعد إدخال الأرقام.
سيتم حذف أي تعليقات بذيئة وسيتم إدراج مؤلفيها في القائمة السوداء!
يحظر نسخ المواد.
مرحبا بكم في OnlineMSchool.
اسمي دوفجيك ميخائيل فيكتوروفيتش. أنا مالك هذا الموقع ومؤلفه، وقد كتبت جميع المواد النظرية، وقمت أيضًا بتطوير التمارين والآلات الحاسبة عبر الإنترنت التي يمكنك استخدامها لدراسة الرياضيات.
مساحة الشكل الرباعي غير المنتظم مع جوانب معينة
حساب مساحة الشكل الرباعي غير المنتظم ذي أطوال أضلاعه المعروفة
بإصرار يحسد عليه، يترك بعض مستخدمي Planetcalc طلبات لإنشاء آلة حاسبة لحساب مساحة الشكل الرباعي غير المنتظم الذي لا يُعرف سوى أطوال أضلاعه.
مساحة قطعة أرض ذات شكل معقد
اعتقدت أن الطريقة الوحيدة لإيقافهم هي كتابة حاسبة نكتة كهذه. (اضغط على زر "إيقاف" لتحديد مساحة الشكل الرباعي الذي تفضله مع الجوانب التي حددتها).
طول الجانب أ
طول الجانب ب
طول الجانب ج
طول الجانب د
لا يمكن حساب مساحة الشكل الرباعي غير المنتظم بمعرفة أطوال أضلاعه فقط. آمل أن يساعد هذا العرض التوضيحي أي شخص يطلب آلة حاسبة لهذا الغرض على فهم ذلك.
لماذا تحتاج إلى معرفة مساحة الأرضية؟
تحديد مساحة الغرفة المستطيلة
حساب مساحة الغرفة بتصميم غير صحيح
إيجاد مساحة الغرفة المثلثة
كيفية حساب مساحة جدران الغرفة
النسب بين مساحة الأرضية والنافذة
من المستحيل إجراء إصلاحات على سطح الأرض دون معرفة مساحة الأرضية بالضبط في منزل خاص أو شقة. والحقيقة هي أن التكلفة اليوم مواد بناءمرتفع جدًا، ويحاول كل مالك عقار توفير أكبر قدر ممكن من سعر الشراء. لذلك، فإن المعلومات حول كيفية حساب مساحة الأرضية لن تكون زائدة عن الحاجة بالنسبة لأولئك الذين يفضلون إجراء الإصلاحات بأنفسهم.
لماذا تحتاج إلى معرفة مساحة الأرضية؟
قبل البدء في العمل، يجب عليك تحديد نطاق الأنشطة وتخطيط التكاليف وحساب كمية مواد البناء. لهذا سوف تحتاج إلى البيانات الأولية. لهذا السبب، من المهم معرفة كيفية حساب مساحة الأرضية بدقة. خاصة أنها تتعلق الأسطح غير المستويةوالمباني ذات التصميم غير القياسي.
هناك أسباب أخرى عندما تكون هناك حاجة لتحديد أبعاد سطح الأرض بدقة:
- التحقق من جودة أعمال البناء.
- الحاجة إلى إعادة تطوير المبنى.
تحديد مساحة الغرفة المستطيلة
قبل حساب مساحة الأرضية، يجب عليك تخزين الآلة الحاسبة و شريط قياس. في أغلب الأحيان توجد غرف على شكل مستطيل. لحساب مساحتهم، يستخدمون الصيغة المعروفة للجميع في المدرسة: S = a x b، حيث a وb هما الطول والعرض. على سبيل المثال، تحتوي الغرفة على معلمات تبلغ 3 و 4 أمتار، وستكون القيمة المطلوبة 12 مترًا مربعًا. م.
إذا كانت الغرفة تحتوي على مدفأة أو أثاث مدمج، فأنت بحاجة إلى معرفة مساحتها وطرحها من المساحة الإجمالية. في حالة إجراء إصلاح شامل للأرضية، يجب تفكيك كل شيء غير ضروري في الغرفة.
حساب مساحة الغرفة بتصميم غير صحيح
من الصعب جدًا حساب مساحة الغرفة ذات الشكل المضلع. غالبًا ما يحتوي التصميم في المنازل المبنية من الطوب على منافذ واستراحات مثلثة وعناصر مستديرة، كما في الصورة.
في في هذه الحالةقبل حساب المساحة المربعة للأرضية، يجب تقسيم تخطيط الغرفة إلى مناطق منفصلة. على سبيل المثال، إذا كانت الغرفة ذات تصميم على شكل حرف L، فيجب تقسيمها إلى مستطيلين، ثم حساب مساحة كل منهما وإضافة النتائج.
إيجاد مساحة الغرفة المثلثة
عندما لا يكون الجزء الآخر من الغرفة متعامدا مع المنطقة الرئيسية، فهذا يعني أنه يوجد بين المستطيلين أيضا مثلث ذو زاوية قائمة.
في هذه الحالة يتم حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة: S = (a x b): 2 وتضاف إلى المجموع. على سبيل المثال، أ = 2، ب = 3، ثم S = (2x3): 2 = 3 م².
هناك طريقة أخرى لتحديد المنطقة وهي:
- قم أولاً بحساب مربع المستطيل.
- تحديد مساحة الزاوية المثلثية المشطوفة.
- يتم طرح مساحة المثلث من تربيع المستطيل.
في حالة عدم وجود المثلث زاوية مستقيمةثم استخدم صيغة هيرون S = √p(p - a)(p - b)(p - c).
فمثلاً أضلاعه 5 و 6 و 7 أمتار، فتتم الحسابات على النحو التالي:
- أوجد نصف محيط المثلث p = (5+6+7):2 = 9.
- في صيغة هيرون نعوض القيم الرقميةواحصل على النتيجة: √(9 × (9-7) × (9-6) × (9-5) = 14.7 م².
تربيع الغرف ذات الشكل الدائري
غالبًا ما يوجد شكل مماثل على نوافذ المنازل القديمة أو على الشرفات المدمجة مع الغرف. أولاً، احسب نصف الجزء البارز من الدائرة وأضفه إلى مساحة المستطيل باستخدام الصيغة S = πR²:2، حيث:
R² هو نصف قطر الدائرة المربعة.
على سبيل المثال، تحتوي الغرفة على شرفة نصف دائرية بارزة يبلغ قطرها 1.5 متر. أستعاض رقم معينفي الصيغة، نحصل على النتيجة: S = 3.14x(1.5)²: 2 = 3.5 م². اقرأ أيضًا: "كيفية الحساب متر مربعالكلمة في أشكال مختلفةغرف."
كيفية حساب مساحة جدران الغرفة
تختلف إجراءات حساب مساحة الجدران والأرضيات. الحقيقة هي أنه قبل حساب المساحة المربعة للأرضية، يجب عليك معرفة طول الغرفة وعرضها، ولحساب الجدران ستحتاج إلى قياس ارتفاعها. لذلك، اكتشف أولا محيط الغرفة واضربه بارتفاع الأسقف.
على سبيل المثال، معلمات الأرضية هي 3 و 4 أمتار، وارتفاع الغرفة 3 أمتار. في هذه الحالة يكون محيط الجدران مساوياً لـ (3 + 4) x2 = 14 م، ومساحتها S = 14x3 = 42 م².
وفي الوقت نفسه، لا ينبغي لأحد أن ينسى تربيع فتحات النوافذ والأبواب. يتم طرح مساحتها بعد الانتهاء من حسابات الجدار. ولكن من ناحية أخرى، يمكن تجاهلها وبالتالي توفير إمدادات معينة من المواد.
النسب بين مساحة الأرضية والنافذة
وفقًا لـ SNiP 31/01/2003، يجب أن تعتمد معلمات النوافذ وعددها على المساحة المربعة للأرضية. لذلك بالنسبة للمباني السكنية متعددة الشقق، فإن النسبة بين مساحات فتحات النوافذ وسطح الأرض ستتراوح من 1:5.5 إلى 1:8. أما بالنسبة للأدوار العليا فيسمح بحد أدنى 1:10 هناك.
بالنسبة للأسر الخاصة، يتم تنظيم هذه القاعدة بموجب SNiP 31/02/2001.
كيفية حساب مساحة المستطيل بأضلاع مختلفة
وفقًا لهذه الوثائق، يجب أن يكون هناك على الأقل مصدر "مربع" واحد من مصادر المياه الطبيعية لكل 8 "مربعات" من سطح الأرضية. تدفق مضيئة. في الطوابق العلوية، لا يمكن أن تكون هذه النسبة أقل من 1:10.
لضمان إصلاحات الجودة، تحتاج إلى معرفة كيفية حساب مساحة الأرضية وغيرها مسبقًا الأبعاد المطلوبةمقدمات. المرحلة التحضيريةكما ينص على شراء مواد البناء ومن ثم سيتم تقليل التكاليف أثناء عملية الإصلاح، حيث لن يكون هناك بقايا كبيرة وستكون تكلفة التسليم غير مكلفة.
ستستغرق الطريقة اليدوية لحساب كيفية معرفة مساحة الأرضية وقتًا أطول من إجراء العمليات الحسابية على مساحة موجودة حاسبة البناء، لكنه يسمح لك بالحصول على نتائج أكثر دقة.
كيفية حساب مساحة المستطيل
صيغ المنطقة
مربع الشكل الهندسي - جزء من السطح محدود حلقة مغلقةمن هذا الرقم. يتم التعبير عن حجم المنطقة بعدد الوحدات المربعة الموجودة فيها.
صيغ منطقة المثلث
الصيغة الأولى
س- مساحة المثلث
أ، ب- أطوال ضلعي المثلث
مع- الزاوية بين الضلعين أ و ب
الصيغة الثانية
س- مساحة المثلث
أ- طول ضلع المثلث
ح- طول الارتفاع منخفضًا إلى الجانب أ
الصيغة الثالثة
س- مساحة المثلث
أ، ب، ج
ص- نصف محيط المثلث
الصيغة الرابعة
س- مساحة المثلث
ص- نصف قطر الدائرة المنقوشة
ص- نصف محيط المثلث
الصيغة الخامسة
س- مساحة المثلث
أ، ب، ج- أطوال أضلاع المثلث الثلاثة
ر- نصف قطر الدائرة المقيدة
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة المثلث.
صيغ المساحة المربعة:
1) مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه (أ).
2) مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره (د).
س- مساحة الساحة
أ- طول ضلع المربع
د- طول قطر المربع
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة المربع.
صيغة مساحة المستطيل:
1) مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طولي ضلعيه المتجاورين (أ، ب).
س- مساحة المستطيل
أ- طول الضلع الأول من المستطيل
ب- طول الضلع الثاني من المستطيل
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة المستطيل.
صيغة منطقة متوازي الأضلاع:
1) مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب طول قاعدته وطول ارتفاعه (أ، ح).
س- مساحة متوازي الأضلاع
أ- طول القاعدة
ح- طول الارتفاع
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة متوازي الأضلاع.
صيغة منطقة شبه منحرف:
1) مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قواعده والارتفاع (أ، ب، ح).
س- مساحة شبه المنحرف
أ- طول القاعدة الأولى
ب- طول القاعدة الثانية
ح- طول ارتفاع شبه منحرف
آلة حاسبة لحساب مساحة قطعة أرض غير منتظمة الشكل ذات جوانب مختلفة
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة شبه المنحرف.
الصيغ لمنطقة المعين:
1) مساحة المعين تساوي حاصل ضرب طول ضلعه والارتفاع (a,h).
2) مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب قطريه.
س- مساحة المعين
أ- طول قاعدة المعين
ح- طول ارتفاع المعين
د1— طول القطر الأول
د2— طول القطر الثاني
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة المعين.
صيغة مساحة الدائرة:
1) مساحة الدائرة تساوي حاصل ضرب مربع نصف القطر والرقم pi (3.1415).
2) مساحة الدائرة تساوي نصف حاصل ضرب طول الدائرة المحيطة بها ونصف قطرها.
س- مساحة الدائرة
π — رقم باي (3.1415)
ص- شعاع الدائرة
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة الدائرة.
صيغة منطقة القطع الناقص:
1) مساحة القطع الناقص تساوي حاصل ضرب أطوال أنصاف المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص بالرقم pi (3.1415).
س- مساحة القطع الناقص
π — رقم باي (3.1415)
أ- طول المحور شبه الرئيسي
ب- طول المحور الصغير
أنظر أيضا: برنامج حساب مساحة القطع الناقص.
آلة حاسبة على الانترنت. مساحة المستطيل
باختصار عن الشيء الرئيسي مستوى اول
مساحة الأرقام على ورق متقلب. مستوى اول.
خوارزمية للعثور على مساحة الأشكال على ورق مربعات:
- من مساحة المستطيل، اطرح مجموع مساحات جميع الأشكال الزائدة.
كيفية العثور على مساحة الأشكال على ورق مربعات:
الطريقة الأولى: (مناسبة للأشكال القياسية: المثلث، شبه المنحرف، وما إلى ذلك)
- من خلال عد الخلايا وتطبيق نظريات بسيطة، يمكنك العثور على تلك الجوانب والارتفاعات والأقطار المطلوبة لتطبيق صيغة المساحة.
- استبدل القيم الموجودة في معادلة المساحة.
الطريقة الثانية: (مناسبة جدًا لـ شخصيات معقدة، ولكنها أيضًا ليست سيئة بالنسبة للبسطاء)
- أكمل الشكل المطلوب إلى مستطيل.
- أوجد مساحة كل النتائج الناتجة أرقام إضافيةومساحة المستطيل نفسه.
- من مساحة المستطيل، اطرح مجموع مساحات جميع الأشكال الإضافية.
دعونا نوضح الطريقة الأولى.
لنفترض أنك بحاجة إلى العثور على مساحة شبه منحرف مبنية على ورقة في قفص
نحن فقط نحسب الخلايا ونرى ذلك في حالتنا، و. استبدل في الصيغة:
يبدو حتى مستطيلاً، ولكن ماذا يساوي وماذا يساوي؟ كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نستخدم كلتا الطريقتين للحصول على الوضوح الكامل.
الطريقة الأولى.
استبدل في الصيغة:
الطريقة الثانية(سأخبرك سراً - هذه الطريقة أفضل).
نحن بحاجة إلى إحاطة الشكل الخاص بنا بمستطيل. مثله:
والنتيجة هي مثلث واحد (مطلوب) بالداخل وثلاثة مثلثات غير ضرورية بالخارج. لكن مساحات هذه المثلثات غير الضرورية يمكن حسابها بسهولة على ورقة مربعة الشكل! لذا، سنعدها، ثم نطرحها ببساطة من المستطيل بأكمله.
لماذا هذه الطريقة أفضل؟ لأنه يعمل مع أكثر الشخصيات الماكرة. انظر، أنت بحاجة لحساب مساحة هذا الشكل:
نحن نحيطه بمستطيل ونحصل مرة أخرى على منطقة ضرورية ولكنها معقدة والعديد من المناطق غير الضرورية ولكنها بسيطة.
الآن، لإيجاد المساحة، نقوم ببساطة بإيجاد مساحة المستطيل وطرح منها المساحة المتبقية من الأشكال الموجودة على الورقة المربعة.
(لاحظ أن المنطقة ليست مثلثًا قائم الزاوية، ولكن لا يزال من السهل حسابها باستخدام الصيغة الأساسية).
هنا الجواب : .
حسنًا ، كيف تحب هذه الطريقة؟ حاول استخدامه دائمًا، ويمكنك بسهولة العثور على مساحة الأشكال على ورق مربعات!
المتغيرات والثوابت
نتيجة لقياس الكميات الفيزيائية (الزمن، المساحة، الحجم، الكتلة، السرعة، إلخ)، فإنهم القيم الرقمية. تتعامل الرياضيات مع الكميات، وتستخلص من محتواها المحدد. وفيما يلي، عندما نتحدث عن الكميات، فإننا نعني قيمها العددية. في الظواهر المختلفة، تتغير بعض الكميات، بينما يحتفظ البعض الآخر بقيمته العددية. على سبيل المثال، عندما تتحرك نقطة بشكل منتظم، يتغير الوقت والمسافة، لكن السرعة تظل ثابتة.
قيمة متغيرةهي الكمية التي تأخذ قيم عددية مختلفة. تسمى الكمية التي لا تتغير قيمها العددية ثابت. سيتم الإشارة إلى الكميات المتغيرة بالحروف س، ص، ض،...، ثابت - أ، ب، ج،…
لاحظ أنه في الرياضيات، غالبًا ما تُعتبر القيمة الثابتة حالة خاصة لمتغير تكون فيه جميع القيم العددية متماثلة.
تغيير المنطقة حجم متغيرهي مجموعة كل القيم العددية التي تقبلها. يمكن أن تتكون منطقة التغيير من فاصل زمني واحد أو أكثر، أو نقطة واحدة.
الكمية المتغيرة المطلوبة. التسلسل الرقمي
سنقول أن المتغير سهنالك المتغير المرتب، إذا كانت مساحة تغيرها معروفة، ولكل من أي قيمتين من قيمها يمكن القول أي واحدة هي السابقة وأي واحدة هي التالية.
الحالة الخاصة للكمية المتغيرة المطلوبة هي الكمية المتغيرة التي تتشكل قيمها تسلسل رقمي × 1 ,x 2 ,…,x ن ,…لمثل هذه القيم في أنا< j, i, j Î N ، معنى × طتعتبر سابقة، و س ي- لاحقة بغض النظر عن أي من هذه القيم أكبر. هكذا، تسلسل رقميهو متغير يمكن إعادة ترقيم قيمه المتعاقبة. سوف نشير إلى تسلسل رقمي بواسطة . تسمى الأرقام الفردية في التسلسل عناصر.
على سبيل المثال، يتكون التسلسل الرقمي من الكميات التالية:
وظيفة
عند دراسة الظواهر الطبيعية المختلفة وحلها مشاكل تقنيةوبالتالي، في الرياضيات علينا أن نأخذ في الاعتبار التغير في كمية ما اعتمادًا على التغير في كمية أخرى. على سبيل المثال، من المعروف أن مساحة الدائرة يتم التعبير عنها من حيث نصف القطر بواسطة الصيغة ق = ط ص 2. إذا نصف القطر صيأخذ قيمًا عددية مختلفة، ثم المساحة سيأخذ أيضًا قيمًا رقمية مختلفة، على سبيل المثال. التغيير في متغير واحد يؤدي إلى تغيير في آخر.
إذا كانت كل قيمة متغيرة سالانتماء إلى منطقة معينة يتوافق مع قيمة محددة لمتغير آخر ذ، الذي - التي ذمُسَمًّى دالة المتغير x. سنكتب بشكل رمزي ص = و (س). في هذه الحالة المتغير سمُسَمًّى متغير مستقلأو دعوى.
سِجِلّ ص=ج، أين ج- ثابت، يدل على دالة قيمتها عند أي قيمة سواحد ونفس ومتساوية ج.
معاني متعددة سوالتي يمكن تحديد قيم الدالة لها ذوفقا للقاعدة و (خ)، مُسَمًّى مجال الوظيفة.
لاحظ أن التسلسل الرقمي هو أيضًا دالة يتطابق مجال تعريفها مع مجموعة الأعداد الطبيعية.
تشمل الوظائف الأساسية الأساسية جميع الوظائف التي تمت دراستها في مقرر الرياضيات المدرسية:
وظيفة ابتدائيةتسمى وظيفة يمكن تحديدها بواسطة basic وظائف أوليةوالثوابت باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ دالة من دالة.
مفهوم حدود التسلسل العددي
في دورة أخرى من الرياضيات، سيلعب مفهوم الحد دورا أساسيا، لأن المفاهيم الأساسية ترتبط مباشرة به التحليل الرياضي- مشتق، لا يتجزأ، الخ.
لنبدأ بمفهوم حد التسلسل الرقمي.
رقم أمُسَمًّى حدتسلسلات س = {س ن) ، إذا كان هناك رقم موجب صغير تعسفي محدد مسبقًا ε يوجد مثل هذا الرقم الطبيعي نذلك أمام الجميع ن>نعدم المساواة |x n - a|< ε.
إذا كان الرقم أهناك حد التسلسل س = {س ن)، ثم يقولون ذلك س نيسعى ل أ، والكتابة.
لصياغة هذا التعريف بمصطلحات هندسية، نقدم المفهوم التالي.
جوار النقطة × 0يسمى الفاصل الزمني التعسفي ( أ، ب)، تحتوي على هذه النقطة داخل نفسها. غالبًا ما يتم أخذ حي النقطة بعين الاعتبار × 0، لأي منهم × 0هو الوسط إذن × 0مُسَمًّى مركزالحي والقيمة ( ب–أ)/2 – نصف القطرحيّ.
لذا، دعونا نتعرف على معنى مفهوم نهاية المتتابعة العددية هندسيًا. للقيام بذلك، نكتب المتباينة الأخيرة من التعريف في النموذج
ويعني هذا عدم المساواة أن جميع عناصر التسلسل لها أرقام ن>نيجب أن تقع في الفاصل الزمني (a - ε؛ a + ε).
وبالتالي رقم ثابت أهناك حد للتسلسل الرقمي ( س ن)، إذا كان لأي حي صغير تتمحور حول هذه النقطة أنصف القطر ε (ε هو محيط النقطة أ) يوجد مثل هذا العنصر في التسلسل مع الرقم نأن يتم ترقيم جميع العناصر اللاحقة ن>نسيكون موجودا في هذه المنطقة المجاورة.
أمثلة.
دعونا ندلي ببعض التعليقات.
ملاحظة 1.من الواضح أنه إذا كانت جميع عناصر التسلسل الرقمي تأخذ نفس القيمة الثابتة س ن = جفإن نهاية هذا التسلسل ستكون مساوية للواحد الأكثر ثباتًا. في الواقع، لأي ε عدم المساواة | س ن - ج| = |نسخة| = 0< ε.
ملاحظة 2.ويترتب على تعريف النهاية أن المتتابعة لا يمكن أن تحتوي على حدين. في الواقع، لنفترض ذلك س ن → أوفي نفس الوقت س ن → ب. خذ أي منها وقم بتمييز أحياء النقاط أو بنصف القطر ε (انظر الشكل). ومن ثم، ومن خلال تعريف النهاية، يجب أن تكون جميع عناصر التسلسل، بدءًا من نقطة معينة، موجودة في جوار النقطة أ، وعلى مقربة من النقطة بوهو أمر مستحيل.
ملاحظة 3.لا ينبغي أن تعتقد أن كل تسلسل رقمي له حد. لنفترض، على سبيل المثال، أن المتغير يأخذ القيم 
. ومن السهل أن نرى أن هذا التسلسل لا يميل إلى أي حد.
حد الوظيفة
دع الوظيفة ص = و (س)المحددة في بعض أحياء هذه النقطة أ. لنفترض أن المتغير المستقل سيقترب من العدد بلا حدود أ. وهذا يعني أنه يمكننا أن نعطي Xالقيم أقرب ما يكون إلى أ، ولكن ليس على قدم المساواة أ. وسوف نشير إليها بهذه الطريقة س → أ. لمثل هذا سدعونا نجد القيم المقابلة للوظيفة. قد يحدث أن القيم و (خ)كما تقترب من عدد معين بلا حدود ب.ثم يقولون أن العدد بهناك حد للوظيفة و (خ)في س → أ.
دعونا نقدم تعريفًا صارمًا لحد الوظيفة.
وظيفة y=f(x) يميل إلى الحد b مثل x → a، إذا كان لكل رقم موجب ε، مهما كان صغيرا، فيمكنك تحديد ما يلي رقم موجب، عدد إيجابيδ أنه بالنسبة للجميع x ≠ a من مجال تعريف الوظيفة التي تلبي عدم المساواة | س-أ| < δ, имеет место неравенство |و(خ) - ب| < ε. Если بهناك حد للوظيفة و (خ)في س → أ، ثم يكتبون أو و(خ) → بفي س → أ.
دعونا نوضح هذا التعريف من خلال رسم بياني للوظيفة. لأن من عدم المساواة | س-أ| < δ должно следовать неравенство |و(خ) - ب| < ε, т.е. при س Î ( أ - δ, أ+ δ) القيم المقابلة للدالة و (خ) Î ( ب - ε, ب+ ε)، إذن، بأخذ ε > 0 بشكل تعسفي، يمكننا اختيار رقم δ بحيث يكون لجميع النقاط س، تقع في δ – حي النقطة أ، يجب أن تقع النقاط المقابلة للرسم البياني للدالة داخل شريط بعرض 2ε محاط بخطوط مستقيمة ص = ب- ε و ص = ب + ε.
من السهل أن نرى أن نهاية الدالة يجب أن تكون لها نفس خصائص نهاية التسلسل الرقمي، أي إذا كانت عند س → أالدالة لها حد، فهي الوحيدة.
أمثلة.
مفهوم حدود الوظيفة عند نقطة بعيدة لا نهاية لها
لقد نظرنا حتى الآن في حدود الحالة عندما يكون المتغير سسعى للحصول على عدد ثابت معين.
سنقول أن المتغير x يميل إلى اللانهاية، إذا كان لكل رقم موجب محدد مسبقًا م(يمكن أن تكون كبيرة كما تريد) يمكنك تحديد هذه القيمة س=س 0، بدءًا من جميع القيم اللاحقة للمتغير سوف تلبي عدم المساواة |x|>م.
على سبيل المثال، دع المتغير Xيأخذ القيم س 1 = –1، س 2 = 2، س 3 = –3، ...، سن =(-1) ن ن،…ومن الواضح أن هذا متغير كبير بلا حدود، لأنه للجميع م> 0 جميع قيم المتغير، بدءًا من قيمة معينة، ستكون أكبر في القيمة المطلقة م.
قيمة متغيرة س → +∞، إذا كان تعسفيا م> 0 جميع القيم اللاحقة للمتغير، بدءًا من قيمة معينة، تحقق عدم المساواة س> م.
على نفس المنوال، س→ - ∞، إذا كان هناك أي شيء م > 0 س< -M .
سنقول أن الوظيفة و (خ)يميل إلى الحد بفي س→ ∞، إذا كان من الممكن تحديد رقم موجب صغير تعسفي ε مثل هذا الرقم الموجب م، والتي لجميع القيم س، إرضاء عدم المساواة |x|>م, عدم المساواة | و(خ) - ب| < ε.
تعيين .
أمثلة.
ميزات كبيرة بلا حدود
لقد نظرنا سابقًا في الحالات التي تكون فيها الوظيفة و (خ)سعى لبعض الحد النهائي بفي س → أأو س → ∞.
دعونا الآن نفكر في الحالة التي تكون فيها الوظيفة ص = و (س)طريقة ما لتغيير الحجة.
وظيفة و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أ، أي. يكون كبيرة بلا حدودالحجم إذا كان لأي رقم م، بغض النظر عن حجمها، فمن الممكن العثور على δ > 0 لجميع القيم X≠أاستيفاء الشرط | س-أ| < δ, имеет место неравенство |و (خ)| > م.
لو و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أ، ثم يكتبون أو و (خ)→∞ في س → أ.
صياغة تعريف مماثل للحالة عندما س→∞.
لو و (خ)يميل إلى اللانهاية كما س → أوفي نفس الوقت يقبل فقط الإيجابية أو فقط القيم السلبية، على التوالي الكتابة أو .
أمثلة.
ميزات محدودة
دع الوظيفة تعطى ص = و (س)، محددة في بعض المجموعات دقيم الوسيطة.
وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى محدودعلى مجموعة د، إذا كان هناك رقم موجب مبحيث لجميع القيم سمن المجموعة قيد النظر، فإن عدم المساواة يحمل |f(x)|≥M. إذا كان مثل هذا العدد مغير موجود، ثم الوظيفة و (خ)مُسَمًّى غير محدودعلى مجموعة د.
أمثلة.
- وظيفة ذ=الخطيئة س، محدد في -∞<س<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях س|خطيئة س|≤1 = م.
- وظيفة ذ=x 2 +2 يقتصر، على سبيل المثال، على المقطع، منذ للجميع سمن هذا الجزء |و(س)| ≥f(3) = 11.
- النظر في الوظيفة ذ=ln سفي سيا (0 ؛ 1). هذه الوظيفة غير محدودة على الفاصل الزمني المحدد، منذ متى س→0 سجل س→-∞.
وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى يحدها x → أ، إذا كان هناك حي متمركز عند النقطة أ، حيث تكون الوظيفة محدودة.
وظيفة ص = و (س)مُسَمًّى يحدها كـ x→∞، إذا كان هناك مثل هذا العدد ن> 0، والتي لجميع القيم X |x|>ن، وظيفة و (خ)محدود.
دعونا إنشاء اتصال بين وظيفة محدودةوالدالة التي لها حد.
النظرية 1.لو بهو عدد محدود، ثم الدالة و (خ)محدودة عندما س → أ.
دليل. لأن ، ثم لأي ε>0 يوجد رقم δ>0 بحيث يكون لجميع القيم X، إرضاء عدم المساواة |س-أ|<
δ، عدم المساواة قائم |f(x) –b|<
ε. باستخدام خاصية الوحدة النمطية |f(x) – ب|≥|f(x)| - |ب|، نكتب المتباينة الأخيرة في النموذج |و(س)|<|b|+
ε. وهكذا إذا وضعنا م=|ب|+ε، ثم متى س→أ |f(x)|
تعليق.من تعريف الدالة المحدودة يترتب على ذلك أنه إذا كانت غير محدودة. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا: فالدالة غير المحدودة قد لا تكون كبيرة بلا حدود. اعط مثالا.
النظرية 2.إذا، ثم الوظيفة ص=1/و(س)محدودة عندما س → أ.
دليل. من شروط النظرية يترتب على ذلك التعسفي ε>0 في بعض أحياء النقطة ألدينا |و(خ) – ب|<
ε. لأن |f(x) – ب|=|ب – f(x)| ≥|ب| - |و(س)|، الذي - التي |ب| - |و(س)|<
ε. لذلك، |f(x)|>|ب| -ε>0. لهذا 
2 حد القيمة المتغيرة صغيرة بلا حدود ولا نهائية كميات كبيرة، العلاقة بينهما.
نهاية المتغير عند نقطة معينة تساوي عدديا هذه النقطة. ليمكس(xàa) = أ
تسمى الوظيفة متناهية الصغر عند النقطة حيث xàa if yà0. ليمف(x)_(xàa) = 0
يقال إن الوظيفة كبيرة بلا حدود عند النقطة حيث xàa if yà0. الحافة(x)_(xàa) =<><>
العلاقة بين الكميات:
إذا كانت y=Ф(x) صغيرة بشكل لا نهائي، فإن 1/ф(x) مريضة بشكل لا نهائي
3 متناهية الصغر، خصائصها الأساسية.
مجموع عدد محدود من الكميات المتناهية الصغر هو كمية متناهية الصغر.
منتج دالة محدودة وكمية متناهية الصغر هو كمية متناهية الصغر.
الدالة عند النقطة a لها حد محدود إذا وفقط إذا كانت f(x) = A + U(x)، حيث U(x) كمية متناهية الصغر، وبدلاً من ذلك، يمكن كتابة ذلك بالشكل f(x) – A à 0
مقارنة بين وظائف متناهية الصغر:
إذا كان حد النسبة واحد ب.م. إلى ب.م آخر. يساوي صفرًا، ثم b.m الذي كان في البسط بياضا أعلى ترتيب. وإذا كان هذا الحد يساوي ما لا نهاية، فالعكس صحيح.
وإذا كان حد نسبتهم يساوي عددا معينا، فإن هؤلاء ب.م. نفس الترتيب.
إذا كان الحد هو 1، فإن هذين b.m. متكافئة.
نظرية 1: حاصل ضرب المتناهيات في الصغر هو متناهية الصغر ذات رتبة أعلى من كل منها.
المساعدة الإنمائية الرسمية . تسمى الدالة a(x) b/m إذا كان حدها في هذا النوع يساوي 0. ومن هذا التعريف تتبع الخاصية التالية لوظائف b/m:
أ) المجموع الجبري وحاصل ضرب دوال b/m هي دوال b/m.
ب) منتج دالة b/m ودالة محدودة هو دالة b/m، أي. إذا كان a(x)®0 لـ x®x0، وf(x) معرفًا ومحدودًا ($ C:½j(x)½ £C) => j(x)a(x)®0 لـ x®x0
من أجل تمييز المركبات من خلال اقتراب سرعتها من 0، تم تقديم ما يلي. مفهوم:
1) إذا كانت نسبة 2 b/m a(x)/b(x)®0 عند x®x0 فإنهم يقولون أن b/m a لديه المزيد ترتيب عاليأكثر قليلا من ب.
2) إذا كان a(x)/b(x)®A¹0 لـ x®x0 (رقم A)، فإن a(x) وb(x) يُطلق عليهما b/m بنفس الترتيب.
3) إذا كان a(x)/b(x)®1، فيقال أن a(x) وb(x) متساويان b/m (a(x)~b(x))، بالنسبة لـ x®x0.
4) إذا كان a(x)/b^n(x)®А¹0، فإن a(x) يسمى b/m من الترتيب n بالنسبة إلى b(x).
تعريفات مماثلة للحالات: x®x0-، x®x0+، x®-¥، x®+¥ وx®¥.
4 حد الوظيفة. النظريات الأساسية حول الحدود.
تعريفالحد: دع φ(x) تكون دالة محددة في المجموعة X، وa تكون نقطة النهاية لهذه المجموعة. الرقم أ يسمى حددالة لـ x à a إذا وفقط إذا كان هناك جوار للنقطة لأي e، بحيث يكون |ф(x) – a|< |е|
بطريقة أخرى، يتم كتابة هذا كـ f(x) à A لـ x à a
النظرية 1: إذا كان كل حد من مجموع جبري لعدد محدود من الدوال له حد عندما تميل x إلى a، فإن نهاية هذا المجموع الجبري عند x هي نفسها. k a موجود ويساوي نفس المجموع الجبري لحدود الحدود.
دليل: نحن نمثل دالة كمجموع حدها ومتناهية الصغر، ونضيف الدوال والمتناهيات في الصغر. وتبين أن مجموع الدوال يختلف عن مجموع النهايات بمقدار متناهي الصغر، مما يعني أن هذه هي النهاية.
عاقبة: يمكن أن يكون للدالة حد واحد فقط عند المستوى x. إلى أ. ثبت بالتناقض. وتبين أن الفرق وظائف أصليةيميل إلى الفرق بين حديها، أي أن الصفر يميل إلى الفرق بين الحدين، ومنذ ذلك الحين نهاية الدالة الثابتة تساوي الدالة نفسها وهي فريدة من نوعها، فنحصل على أن فرق النهاية يساوي 0، أي أن النهايتين متساويتان.
نظرية 2: إذا كان لكل عامل من عوامل حاصل ضرب عدد محدود من الدوال حد عند x à a، فإن نهاية حاصل الضرب عند x a تساوي حاصل ضرب حدود العوامل.
شهادة: يعتبر منتج عاملين
