تهدف طريقة غاوس-جوردان إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAEs). إنه تعديل لطريقة غاوس. إذا تم تنفيذ طريقة غاوس على مرحلتين (للأمام والخلف)، فإن طريقة غاوس-جوردان تسمح لك بحل النظام في مرحلة واحدة. تم وصف التفاصيل والتطبيق المباشر لطريقة غاوس-جوردان في الأمثلة.

في كافة الأمثلة، يشير $A$ إلى مصفوفة النظام، $\widetilde(A)$ إلى مصفوفة النظام الموسعة. يمكنك أن تقرأ عن شكل المصفوفة لتسجيل SLAE.

المثال رقم 1

حل SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end(aligned) ) \right.$ بطريقة غاوس-جوردان.

دعنا ننتقل من المصفوفة الأخيرة التي تلقيناها إلى النظام:

$$ \left\( \begin(aligned) & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2; \\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1 \end(محاذاة) \right $$.

وبتبسيط النظام الناتج نحصل على:

$$ \left\( \begin(aligned) & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end(aligned) \right. $$

الحل الكاملبدون شرح يبدو كالتالي:

على الرغم من أن هذه الطريقة في اختيار عناصر التحليل مقبولة تمامًا، إلا أنه من الأفضل اختيار العناصر القطرية لمصفوفة النظام كعناصر حل. سننظر في هذه الطريقة أدناه.

اختيار عناصر الحل على القطر الرئيسي لمصفوفة النظام.

نظرًا لأن طريقة الحل هذه مشابهة تمامًا للطريقة السابقة (باستثناء اختيار العناصر التمكينية)، فسوف نتخطى الشرح التفصيلي. مبدأ اختيار العناصر التمكينية بسيط: في العمود الأول نختار عنصر الصف الأول، وفي العمود الثاني نأخذ عنصر الصف الثاني، وفي العمود الثالث نأخذ عنصر الصف الثالث، وهكذا على.

الخطوة الأولى

في العمود الأول، حدد عنصر الصف الأول، أي. لدينا العنصر 4 كعنصر حل، وأنا أفهم أن اختيار الرقم 2 يبدو أكثر تفضيلاً، لأن هذا الرقم لا يزال أقل من 4. لكي ينتقل الرقم 2 في العمود الأول إلى المركز الأول، فلنستبدل الأول. والصفوف الثانية:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array) \ Right)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array ) \يمين) $$

لذلك، يتم تمثيل عنصر التمكين بالرقم 2. بنفس الطريقة السابقة، قم بتقسيم الصف الأول على 2، ثم قم بإعادة ضبط عناصر العمود الأول على الصفر:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array) \ يمين) \begin(array) (l) I:2 \\\phantom(0) \\ \phantom(0) \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & - 2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -2& 5/2 & -13/2\ \0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end(array) \right). $$

الخطوة الثانية

تتطلب الخطوة الثانية تصفية عناصر العمود الثاني. نختار عنصر السطر الثاني كعنصر الحل، أي. 1. عنصر التمكين موجود بالفعل يساوي واحد، لذلك لن نقوم بتبديل أي أسطر. بالمناسبة، إذا أردنا تبديل الصفوف، فلن نلمس الصف الأول، لأنه تم استخدامه بالفعل في الخطوة الأولى. ولكن يمكن بسهولة تبديل السطرين الثاني والثالث. ومع ذلك، أكرر، في هذه الحالة ليست هناك حاجة لتبديل الخطوط، لأن عنصر الحل هو الأمثل بالفعل - فهو يساوي واحد.

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/ 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) I+2\cdot II \\ \phantom(0)\\ III-5\cdot II \end(array) \rightarrow \left(\begin (صفيف) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end(صفيف) \يمين). $$

اكتملت الخطوة الثانية. دعنا ننتقل إلى الخطوة الثالثة.

خطوة ثالثة

تتطلب الخطوة الثالثة تصفية عناصر العمود الثالث. كعنصر حاسم، نختار عنصر السطر الثالث، أي. 37/2. اقسم عناصر الصف الثالث على 37/2 (بحيث يصبح عنصر الحل يساوي 1)، ثم أعد تعيين العناصر المقابلة للعمود الثالث إلى الصفر:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37 /2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ III:\frac(37)(2) \end(array) \rightarrow \ left(\begin(array) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end(array) \right) \begin(array) (l) I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom(0) \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) ( ccc|c) 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end(array) \right). $$

تم تلقي الإجابة: $x_1=-2$، $x_2=1$، $x_3=-1$. الحل الكامل بدون شرح يبدو كالتالي:

سيتم حل جميع الأمثلة الأخرى في هذه الصفحة بالطريقة الثانية تمامًا: سنختار العناصر القطرية لمصفوفة النظام كعناصر حل.

إجابة: $x_1=-2$، $x_2=1$، $x_3=-1$.

المثال رقم 2

حل SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27; \\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1 \end(aligned) \right.$ بطريقة غاوس-جوردان.

لنكتب المصفوفة الموسعة لهذا النظام: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end(array) \right)$.

سنختار العناصر القطرية لمصفوفة النظام كعناصر حل: في الخطوة الأولى سنأخذ عنصر الصف الأول، وفي الخطوة الثانية سنأخذ عنصر الصف الثاني، وهكذا.

الخطوة الأولى

نحن بحاجة إلى إعادة تعيين العناصر المقابلة للعمود الأول. لنأخذ عنصر السطر الأول كعنصر حل، أي: 3. وبناء على ذلك، يجب تقسيم السطر الأول على 3 بحيث يصبح عنصر الحل يساوي واحدا. ثم قم بإعادة تعيين كافة عناصر العمود الأول، باستثناء العنصر المسموح به:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\ \ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end(array)\right) \begin(array) (l) I:3\\ \phantom(0)\\\phantom(0)\\\ phantom(0)\end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end(array) \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & - 5 & ​​​​-5\end(صفيف)\يمين). $$

الخطوة الثانية

ننتقل إلى تصفير العناصر المقابلة للعمود الثاني. لقد اتفقنا على أن نأخذ عنصر السطر الثاني كعنصر حاسم، ولكننا لا نستطيع أن نفعل ذلك منذ ذلك الحين العنصر المطلوب يساوي الصفر. الخلاصة: سنقوم بتبديل الخطوط. لا يمكن لمس السطر الأول، لأنه تم استخدامه بالفعل في الخطوة الأولى. الخيار ليس غنيًا: إما أن نتبادل السطرين الثاني والثالث، أو أن نتبادل السطرين الرابع والثاني. وبما أن السطر الرابع يحتوي على (-1)، فليشارك السطر الرابع في "التبادل". لذلك، قم بتبديل السطر الثاني والرابع:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end(array)\right)\rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -2 & -3 & -4 \end(صفيف)\يمين) $$

الآن كل شيء طبيعي: عنصر الدقة يساوي (-1). ويحدث بالمناسبة أن تغيير مواضع الخطوط أمر مستحيل، ولكننا سنناقش ذلك في المثال التالي رقم 3. في الوقت الحالي، نقسم الصف الثاني على (-1)، ثم نعيد ضبط عناصر العمود الثاني. يرجى ملاحظة أن العنصر الموجود في الصف الرابع في العمود الثاني يساوي بالفعل الصفر، لذلك لن نلمس الصف الرابع.

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -2 & -3 & -4\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\II:(-1) \\\phantom(0)\\\phantom(0)\end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -2 & -3 & -4\end(array)\right) \begin(array) (ل) I-1/3\cdot II\\ \phantom(0) \\III-2\cdot II\\\phantom(0)\end(array) \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin( صفيف)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(صفيف)\يمين). $$

خطوة ثالثة

لنبدأ في معالجة العمود الثالث. اتفقنا على أخذ العناصر القطرية لمصفوفة النظام كعنصر حاسم. بالنسبة للخطوة الثالثة، هذا يعني تحديد العنصر الموجود في الصف الثالث. ومع ذلك، إذا أخذنا العنصر 7 ببساطة كعنصر الحل، فسيتعين تقسيم السطر الثالث بأكمله على 7. ويبدو لي أن القسمة على (-2) أسهل. لذلك، لنبدل السطرين الثالث والرابع، ويصبح عنصر الحل (-2):

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & -2 & -3 & -4\end(array)\right) \rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 7 & -9 & -25\end(صفيف)\يمين) $$

عنصر القرار - (-2). اقسم الصف الثالث على (-2) وأعد تعيين العناصر المقابلة للعمود الثالث:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & - 3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\III:( -2)\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(array)\right) \begin(array) (l) I-2 /3\cdot III\\ \phantom(0) \\ \phantom(0)\\IV-7\cdot III\end(array)\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(array)(cccc|c ) 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & - 39\نهاية(صفيف)\يمين). $$

الخطوة الرابعة

دعنا ننتقل إلى تصفير العمود الرابع. يقع عنصر الحل في السطر الرابع ويساوي الرقم $-\frac(39)(2)$.

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \\IV:\left(-\frac(39)(2)\right) \end(array)\rightarrow \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end(array)\right) \begin(array) (l ) I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom(0) \end(array)\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(array)(cccc) |ج) 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end (صفيف)\يمين). $$

انتهى القرار. الإجابة هي: $x_1=-3$، $x_2=-5$، $x_3=-1$، $x_4=2$. الحل الكامل بدون شرح:

إجابة: $x_1=-3$، $x_2=-5$، $x_3=-1$، $x_4=2$.

المثال رقم 3

حل SLAE $\left\(\begin(aligned) & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4 +14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=- 9. \end(aligned)\right.$ بطريقة Gauss-Jordan إذا كان النظام غير مؤكد، وضح الحل الأساسي.

وتتم مناقشة أمثلة مماثلة في موضوع "الحلول العامة والأساسية لاتفاقيات مستوى الخدمة". وفي الجزء الثاني من الموضوع المذكور هذا المثالحلها باستخدام طريقة غاوس. سوف نقوم بحلها باستخدام طريقة غاوس-جوردان. لن نقوم بتحليل الحل خطوة بخطوة، حيث تم ذلك بالفعل في الأمثلة السابقة.

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I \\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\ \\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & -10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II:5 \\ \ phantom(0)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0)\end(array) \rightarrow \\ \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & - 2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end(array)\right) \ ابدأ (صفيف) (l) I+2\cdot II \\ \phantom(0)\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \ النهاية (مصفوفة) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2 /5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & - 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(array)\right). $$

أعتقد أن أحد التحويلات التي تم إجراؤها لا يزال يتطلب شرحًا: $IV:3$. جميع عناصر السطر الرابع قابلة للقسمة تمامًا على ثلاثة، لذا ولأسباب التبسيط بحتة، قمنا بتقسيم جميع عناصر هذا الخط إلى ثلاثة. أصبح الصف الثالث في المصفوفة المحولة صفراً. دعونا نحذف خط الصفر:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 و 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(صفيف)\يمين) $$

لقد حان الوقت لننتقل إلى الخطوة الثالثة، والتي يجب عندها إعادة ضبط عناصر العمود الثالث. ومع ذلك، فإن العنصر القطري (الصف الثالث) يساوي صفرًا. وتغيير مواضع الخطوط لن يفعل شيئاً. لقد استخدمنا بالفعل السطرين الأول والثاني، لذا لا يمكننا لمسهما. لكن لا فائدة من لمس السطرين الرابع والخامس، لأن مشكلة كون عنصر الدقة يساوي الصفر لن تختفي.

في هذه الحالة، يمكن حل المشكلة بطريقة بسيطة للغاية. لا يمكننا التعامل مع العمود الثالث؟ حسنًا، دعنا ننتقل إلى الرقم أربعة. ربما في العمود الرابع لن يكون عنصر الصف الثالث يساوي الصفر. ومع ذلك، فإن العمود الرابع يعاني من نفس المشكلة مثل الثالث. عنصر الصف الثالث في العمود الرابع هو صفر. وتغيير أماكن الخطوط مرة أخرى لن يعطي أي شيء. لا يمكننا معالجة العمود الرابع أيضًا؟ حسنًا، دعنا ننتقل إلى الرقم خمسة. لكن في العمود الخامس، عنصر الصف الثالث ليس حتى صفرًا. وهو يساوي واحدًا، وهو أمر جيد جدًا. إذن، عنصر الحل في العمود الخامس يساوي 1. تم اختيار عنصر الحل، لذلك سنقوم بإجراء تحويلات أخرى لطريقة غاوس-جوردان:

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 و 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(array)\right) \begin(array) (l) I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom(0)\\ IV+III\\ V+ 2 \cdot III \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1 / 5 & ​​2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text(إزالة الصفوف الصفرية)\right|\rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end(صفيف)\ يمين )$$

لقد قمنا بتقليل مصفوفة النظام ومصفوفة النظام الموسعة إلى شكل تدريجي. رتب كلا المصفوفتين تساوي $r=3$، أي تحتاج إلى اختيار 3 متغيرات أساسية. عدد المجهول هو $n=5$، لذا نحتاج إلى اختيار متغيرات حرة $n-r=2$. منذ $r< n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли هذا النظامغير مؤكد (أي لديه عدد لا حصر له من الحلول). لإيجاد حلول للنظام نقوم بإنشاء “خطوات”:

يوجد في "الخطوات" عناصر من الأعمدة رقم 1، رقم 2، رقم 5. وبالتالي، فإن المتغيرات الأساسية ستكون $x_1$، $x_2$، $x_5$. المتغيرات الحرة، على التوالي، ستكون $x_3$، $x_4$. سنقوم بنقل العمودين رقم 3 ورقم 4، الموافقين للمتغيرات الحرة، إلى ما وراء الخط، دون أن ننسى بالطبع تغيير علاماتهما.

$$ \left(\begin(array)(cccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end(array)\right)\rightarrow \left(\begin(array)(ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end(صفيف)\يمين) . $$

من المصفوفة الأخيرة التي نحصل عليها قرار مشترك: $\left\(\begin(محاذاة) & x_1=-\frac(99)(5)-\frac(13)(5)x_3-\frac(4)(5)x_4;\\ & x_2=\ frac(3)(5)+\frac(1)(5)x_3-\frac(2)(5)x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4 .\end(aligned)\right.$. نجد الحل الأساسي بأخذ المتغيرات الحرة التي تساوي الصفر، أي $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\(\begin(محاذاة) & x_1=-\frac(99)(5);\\ & x_2=\frac(3)(5);\\ & x_3=0;\\ & x_4= 0;\\ & x_5=4 \end(محاذاة)\يمين.

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إجابة: الحل العام: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5)-\frac(13)(5)x_3-\frac(4)(5)x_4;\\ & x_2=\frac(3)(5)+\frac(1)(5)x_3-\frac(2)(5)x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4.\end(aligned)\right.$، الحل الأساسي: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5);\\ & x_2=\frac(3) (5);\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4.\end(محاذاة)\right.$.

طريقة غاوس-جوردان. كيف تجد مصفوفة معكوسة
باستخدام التحولات الأولية?

ذات مرة، عالم الرياضيات الألماني فيلهلم جوردان (نحن ننسخ بشكل غير صحيح من الألمانيةالأردن مثل الأردن)جلس لحل نظام آخر من المعادلات. لقد أحب أن يفعل هذا و وقت فراغتحسين مهاراته. ولكن بعد ذلك جاءت اللحظة التي شعر فيها بالملل من كل طرق الحل و طريقة غاوسيةمشتمل...

لنفترض أن لدينا نظامًا مكونًا من ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل ومصفوفته الموسعة مكتوبة. في الحالة الأكثر شيوعًا، تحصل على خطوات قياسية، وهكذا كل يوم... نفس الشيء - مثل أمطار نوفمبر اليائسة.

يبدد الكآبة لفترة من الوقت طريق اخرإحضار المصفوفة إلى شكل متدرج: وهي مكافئة تمامًا ويمكن أن تكون غير مريحة فقط بسبب الإدراك الذاتي. ولكن عاجلاً أم آجلاً يصبح كل شيء مملاً.. ثم فكرت ياردان - لماذا تهتم بالحركة العكسية للخوارزمية الغوسية؟ أليس من الأسهل الحصول على الإجابة على الفور باستخدام تحويلات أولية إضافية؟

...نعم، هذا لا يحدث إلا بسبب الحب =)

لإتقان هذا الدرسسيتعين على "الدمى" أن يسلكوا الطريق F يا rdan وقم بترقية التحولات الأولية إلى المستوى المتوسط ​​على الأقل، بعد إكمال ما لا يقل عن 15-20 مهمة ذات صلة. لذلك، إذا كنت تفهم بشكل غامض موضوع المحادثة و/أو كان لديك سوء فهم لشيء ما أثناء الدرس، فإنني أنصحك بالتعرف على الموضوع بالترتيب التالي:

حسنًا، إنه لأمر رائع للغاية إذا نجح الأمر تقليل ترتيب المحدد.

كما يفهم الجميع، فإن طريقة غاوس-جوردان هي تعديل طريقة غاوسوسنلتقي بتنفيذ الفكرة الرئيسية التي تم التعبير عنها بالفعل أعلاه على الشاشات الأقرب. بالإضافة إلى ذلك، تم تضمين أحد الأمثلة القليلة في هذه المقالة تطبيق حاسم – إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام التحويلات الأولية.

دون مزيد من اللغط:

مثال 1

حل النظام باستخدام طريقة جاوس-جوردان

حل: هذه هي المهمة الأولى للدرس طريقة غاوس للدمىحيث قمنا بتحويل المصفوفة الموسعة للنظام 5 مرات وجعلها في شكل تدريجي:

الآن بدلا من ذلك يعكستدخل التحولات الأولية الإضافية حيز التنفيذ. نحتاج أولاً إلى الحصول على الأصفار في هذه الأماكن: ,
ثم صفر آخر هنا: .

حالة مثالية من وجهة نظر البساطة:

(6) أضيف سطر ثالث إلى السطر الثاني. تمت إضافة سطر ثالث إلى السطر الأول.

(7) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبا في -2.

لا يسعني إلا أن أوضح النظام النهائي:

إجابة:

أحذر القراء من أن يكونوا في مزاج مؤذٍ - لقد كان هذا مثالًا توضيحيًا بسيطًا. تتميز طريقة غاوس-جوردان بتقنياتها الخاصة وليست الحسابات الأكثر ملائمة، لذا يرجى الاستعداد للعمل الجاد.

لا أريد أن أبدو قاطعًا أو انتقائيًا، لكن في الغالبية العظمى من مصادر المعلومات التي رأيتها، المهام النموذجيةتعتبر سيئة للغاية - يجب أن تكون ذكيًا وأن تقضي الكثير من الوقت/الأعصاب في حل صعب وأخرق للكسور. على مدار سنوات الممارسة، تمكنت من الصقل، لن أقول إنها الأفضل، ولكنها طريقة عقلانية وسهلة إلى حد ما ويمكن الوصول إليها لكل من يعرف العمليات الحسابية:

مثال 2

حل النظام المعادلات الخطيةطريقة غاوس-جوردان.

حل: الجزء الأول من المهمة مألوف للغاية:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -1. تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث، وتم إضافة السطر الأول مضروبًا في -5 إلى السطر الرابع.

(2) السطر الثاني مقسوم على 2، السطر الثالث مقسوم على 11، السطر الرابع مقسوم على 3.

(3) السطر الثاني والثالث متناسبان، وقد أزيل السطر الثالث. تمت إضافة السطر الثاني إلى السطر الرابع، مضروبا في -7

(4) السطر الثالث مقسوم على 2.

من الواضح أن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول، ومهمتنا هي إحضار مصفوفته الموسعة إلى النموذج .

كيفية المضي قدما؟ بادئ ذي بدء، تجدر الإشارة إلى أننا فقدنا التحول الأولي اللذيذ - إعادة ترتيب السلاسل. بتعبير أدق، من الممكن إعادة ترتيبها، ولكن هذا لا معنى له (دعونا نفعل ذلك فقط). الإجراءات غير الضرورية). وبعد ذلك ينصح بالالتزام بالنموذج التالي:

نجد أقل مضاعف مشتركالأرقام في العمود الثالث (1، -1، 3)، أي. – أصغر عدد يقبل القسمة على 1 و –1 و 3 بدون باقي. في هذه الحالة، هذا بالطبع "ثلاثة". الآن في العمود الثالث نحتاج إلى الحصول على أرقام متطابقة في المعامل، وهذه الاعتبارات تحدد التحويل الخامس للمصفوفة:

(5) نضرب السطر الأول في -3، ونضرب السطر الثاني في 3. بشكل عام، يمكن أيضًا ضرب السطر الأول في 3، لكن هذا سيكون أقل ملاءمة لـ الحدث التالي. تعتاد على الأشياء الجيدة بسرعة:

(6) أضيف سطر ثالث إلى السطر الثاني. تمت إضافة سطر ثالث إلى السطر الأول.

(7) يحتوي العمود الثاني على قيمتين غير الصفر (24 و 6) ومرة ​​أخرى نحتاج إلى الحصول عليها أرقام متطابقة في المعامل. في هذه الحالة، كل شيء سار على ما يرام - أصغر مضاعف للرقم 24، والأكثر فعالية هو ضرب السطر الثاني بـ -4.

(8) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الأول.

(9) اللمسة الأخيرة: يتم تقسيم السطر الأول على -3 والسطر الثاني مقسم على -24 والسطر الثالث مقسم على 3. يتم تنفيذ هذا الإجراء آخر مرة! لا الكسور المبكرة!

ونتيجة للتحولات الأولية، تم الحصول على النظام الأصلي المعادل:

نحن ببساطة نعبر عن المتغيرات الأساسية بدلالة المتغير الحر:

واكتب:

إجابة:قرار مشترك:

في أمثلة مماثلةغالبًا ما يكون استخدام الخوارزمية المدروسة مبررًا، على العكس من ذلك طريقة غاوسعادة ما تتطلب حسابات تستغرق وقتًا طويلاً ومحبطة تتضمن الكسور.

وبطبيعة الحال، فمن المرغوب فيه للغاية للتحقق، والتي يتم تنفيذها وفقا المخطط المعتادتمت مناقشتها في الدرس الأنظمة والأنظمة غير المتوافقة مع الحل المشترك.

ل قرار مستقل:

مثال 3

ابحث عن حل أساسي باستخدام التحويلات الأولية

تفترض صياغة المشكلة هذه استخدام طريقة غاوس-جوردان، وفي حل العينة يتم اختزال المصفوفة إلى طريقة العرض القياسية مع المتغيرات الأساسية ومع ذلك، ضع في اعتبارك دائمًا ذلك يمكنك اختيار متغيرات أخرى كمتغيرات أساسية. لذلك، على سبيل المثال، إذا كان العمود الأول يحتوي على أرقام ضخمة، فمن المقبول تمامًا تقليل المصفوفة إلى النموذج (المتغيرات الأساسية)، أو إلى النموذج (المتغيرات الأساسية)، أو حتى إلى النموذج مع المتغيرات الأساسية هناك خيارات أخرى.

ولكن لا تزال هذه حالات متطرفة - ليست هناك حاجة لصدمة المعلمين مرة أخرى بمعرفتك وتقنية الحل، وأكثر من ذلك، ليست هناك حاجة لإنتاج نتائج أردنية غريبة مثل . ومع ذلك، قد يكون من الصعب مقاومة استخدام أساس غير نمطي عندما تحتوي المصفوفة الأصلية، على سبيل المثال، في العمود الرابع، على صفرين جاهزين.

ملحوظة : مصطلح "الأساس" له معنى جبريوالمفهوم أساس هندسيلا علاقة له به!

إذا تم اكتشاف زوج فجأة في المصفوفة الموسعة لأحجام البيانات تعتمد خطياخطوط، ثم عليك أن تحاول تقليله إلى نظرة مألوفة مع المتغيرات الأساسية مثال على هذا القرار موجود في المثال رقم 7 من المادة أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية، و هناك ويتم اختيار أساس آخر.

نواصل تحسين مهاراتنا في المرحلة التالية مشكلة مطبقة:

كيفية العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الطريقة الغوسية؟

عادةً ما تتم صياغة الشرط بشكل مختصر، ولكن في جوهره، تعمل خوارزمية Gauss-Jordan هنا أيضًا. طريقة أبسط للعثور مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة المربعة، نظرنا إليها منذ وقت طويل في الدرس المقابل، وفي أواخر الخريف القاسي، يتقن الطلاب المتمرسون طريقة بارعة لحلها.

ملخصالإجراءات القادمة هي كما يلي: أولا يجب عليك الكتابة مصفوفة مربعةجنبا إلى جنب مع مصفوفة الهوية: . ثم، باستخدام التحولات الأولية، تحتاج إلى الحصول عليها مصفوفة الهويةعلى اليسار، بينما (دون الدخول في التفاصيل النظرية)سيتم رسم المصفوفة العكسية على اليمين. يبدو الحل بشكل تخطيطي بالطريقة الآتية:

(من الواضح أن المصفوفة العكسية يجب أن تكون موجودة)

التجريبي 4

دعونا نجد المصفوفة العكسية لمصفوفة باستخدام التحويلات الأولية. للقيام بذلك، نكتبها في حزام واحد مع مصفوفة الهوية، ويندفع "اثنين من الخيول":

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -3.

(٢) أضيف سطر ثاني إلى السطر الأول.

(3) تم تقسيم السطر الثاني على -2.

إجابة:

تحقق من الإجابة في الدرس النموذجي الأول كيفية العثور على معكوس المصفوفة؟

لكنها كانت مجرد مشكلة مغرية أخرى - في الواقع، الحل يستغرق وقتًا طويلاً ومضنيًا. عادةً، سيتم تقديم مصفوفة ثلاثية في ثلاثة:

مثال 5

حل: نعلق مصفوفة الهوية ونبدأ في إجراء التحويلات، مع الالتزام بالخوارزمية "المعتادة". طريقة غاوس:

(١) تم تبديل السطر الأول والثالث. للوهلة الأولى، تبدو إعادة ترتيب الصفوف غير قانونية، ولكن في الواقع من الممكن إعادة ترتيبها - ونتيجة لذلك، نحتاج إلى الحصول على مصفوفة الهوية على اليسار، وعلى اليمين "سنجبر" على الحصول على المصفوفة بالضبط (بغض النظر عما إذا قمنا بإعادة ترتيب الخطوط أثناء الحل أم لا). يرجى ملاحظة أنه بدلا من التقليب، يمكنك ترتيب "الستات" في العمود الأول (المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام 3 و2 و1). يعد حل LCM مناسبًا بشكل خاص في حالة عدم وجود "وحدات" في العمود الأول.

(2) تمت إضافة السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث مضروبًا في -2 و-3 على التوالي.

(3) تمت إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبًا في -1

يتم تنفيذ الجزء الثاني من الحل وفقًا للمخطط المعروف بالفعل من الفقرة السابقة: تصبح تبديلات الصفوف بلا معنى، ونجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام في العمود الثالث (1، –5، 4): 20 توجد خوارزمية صارمة للعثور على LCM، لكن التحديد عادةً ما يكون كافيًا هنا. لا بأس إذا كنت تأخذ ذلك عدد أعلى، وهو قابل للقسمة على 1، –5، و4، على سبيل المثال، الرقم 40. سيكون الفرق في الحسابات الأكثر تعقيدًا.

الحديث عن الحسابات. لحل المشكلة، ليس هناك عيب في تسليح نفسك بآلة حاسبة صغيرة - فهناك الكثير من الأرقام المتضمنة هنا، وسيكون من المخيب للآمال للغاية ارتكاب خطأ حسابي.

(4) اضرب السطر الثالث في 5، والسطر الثاني في 4، والسطر الأول في "ناقص عشرين":

(5) أضيف سطر ثالث إلى السطر الأول والثاني.

(6) تم تقسيم السطر الأول والثالث على 5، وتم ضرب السطر الثاني في -1.

(7) المضاعف المشترك الأصغر للأرقام غير الصفرية في العمود الثاني (-20 و44) هو 220. اضرب الصف الأول في 11، والصف الثاني في 5.

(8) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الأول.

(9) تم ضرب السطر الأول في -1، وتم تقسيم السطر الثاني "للخلف" على 5.

(10) الآن على القطر الرئيسي للمصفوفة اليسرى من المستحسن الحصول عليها المضاعف المشترك الأصغر للأرقام القطرية (44 و 44 و 4). من الواضح تمامًا أن هذا الرقم هو 44. ونضرب السطر الثالث في 11.

(11) قسّم كل سطر على 44. هذا الفعلأجريت في الحل الأخير!

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية هي:

يعد إدراج وإزالة العناصر، من حيث المبدأ، إجراءات غير ضرورية، ولكن هذا مطلوب بواسطة بروتوكول تسجيل المهام.

إجابة:

يتم إجراء الفحص وفقًا للمخطط المعتاد الذي تمت مناقشته في الدرس حول مصفوفة معكوسة.

يمكن للأشخاص المتقدمين اختصار الحل إلى حد ما، لكن يجب أن أحذرك من أن التسرع هنا محفوف بمخاطر متزايدة لارتكاب خطأ.

مهمة مماثلة للحل المستقل:

مثال 6

أوجد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة غاوس-جوردان.

مثال تقريبي لمهمة في أسفل الصفحة. وحتى "لا تقود بالغناء"، قمت بتصميم الحل بالأسلوب المذكور بالفعل - حصريًا من خلال LCM للأعمدة دون إعادة ترتيب واحدة للصفوف والتحولات الاصطناعية الإضافية. في رأيي، هذا المخطط هو، إن لم يكن الأكثر، فهو أحد أكثر المخططات موثوقية.

في بعض الأحيان يكون الحل "الحداثي" الأقصر مناسبًا، وهو كما يلي: في الخطوة الأولى، يكون كل شيء كالمعتاد: .

في الخطوة الثانية، وباستخدام تقنية راسخة (عبر المضاعف المشترك الأصغر للأرقام في العمود الثاني)، يتم تنظيم صفرين مرة واحدة في العمود الثاني: . من الصعب بشكل خاص مقاومة هذا الإجراء إذا كان العمود الثاني يحتوي على أرقام من نفس القيمة المطلقة، على سبيل المثال، نفس "الوحدات" المبتذلة.

وأخيراً في الخطوة الثالثة نحصل على الأصفار المطلوبة في العمود الثالث بنفس الطريقة: .

أما بالنسبة للبعد، فمن الضروري في معظم الحالات حل مصفوفة "ثلاثة في ثلاثة". ومع ذلك، من وقت لآخر، هناك نسخة خفيفة من المشكلة بمصفوفة "اثنين في اثنين" وأخرى صعبة... - موقع إلكتروني مخصص لجميع القراء:

مثال 7

أوجد معكوس المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية

هذا واجب مني في الفيزياء والرياضيات عمل اختباريفي الجبر، ...أوه، أين كانت أول دورة لي =) منذ خمسة عشر عامًا (من المدهش أن الورقة لم تتحول إلى اللون الأصفر بعد)لقد قمت بذلك في 8 خطوات، لكن الآن أصبحت 6 فقط! بالمناسبة، المصفوفة مبدعة للغاية - في الخطوة الأولى تظهر العديد من الحلول المغرية. لي إصدار لاحقفي أسفل الصفحة.

والنصيحة النهائية - بعد هذه الأمثلة، الجمباز العين ونوع من موسيقى جيدةللاسترخاء =)

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

مثال 3: حل: نكتب المصفوفة الموسعة للنظام وباستخدام التحويلات الأولية نحصل على الحل الأساسي:


(١) تم تبديل السطرين الأول والثاني.
(2) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث، مضروبًا في 5.
(3) السطر الثالث مقسوم على 3.
(4) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 2.
(5) السطر الثالث مقسوم على 7.
(6) أقل مضاعف للأرقام في العمود الثالث (-3، 5، 1) هو 15. الصف الأول مضروب في 5، الصف الثاني مضروب في -3، الصف الثالث مضروب في 15.
(7) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الأول. تمت إضافة السطر الثالث إلى السطر الثاني.
(8) تم قسمة السطر الأول على 5، والسطر الثاني مقسوم على -3، والسطر الثالث مقسوم على 15.
(9) أقل مضاعف للأرقام غير الصفرية في العمود الثاني (-2 و 1) يساوي: 2. تم ضرب الصف الثاني في 2
(١٠) أضيف سطر ثاني إلى السطر الأول.
(11) السطر الثاني مقسوم على 2.
لنعبر عن المتغيرات الأساسية بدلالة المتغيرات الحرة:

إجابة :قرار مشترك:

مثال 6: حل: نجد المصفوفة العكسية باستخدام التحويلات الأولية:


(1) تم ضرب السطر الأول بـ -15، والسطر الثاني بـ 3، والسطر الثالث بـ 5.
(٢) أضيف السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث.
(3) تم قسمة السطر الأول على -15، والسطر الثاني مقسم على -3، والسطر الثالث مقسم على -5.
(4) تم ضرب السطر الثاني في 7، وتم ضرب السطر الثالث في -9.
(5) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث.


(6) السطر الثاني مقسوم على 7.
(7) تم ضرب السطر الأول في 27، والسطر الثاني في 6، والسطر الثالث في -4.
(8) أضيف سطر ثالث إلى السطر الأول والثاني.
(9) تم تقسيم السطر الثالث على -4. تمت إضافة السطر الثاني إلى السطر الأول مضروبًا في -1.
(10) السطر الثاني مقسوم على 2.
(11) تم تقسيم كل سطر على 27.
نتيجة ل:
إجابة :

مثال 7: حل: لنوجد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة غاوس-جوردان:
(1) تمت إضافة السطر الثالث إلى السطرين الأول والرابع.
(٢) تم تبديل السطرين الأول والرابع.
(٣) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في 2:


(4) تمت إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الثاني إلى السطر الرابع.
(5) تمت إضافة السطر الرابع إلى السطر الأول والثالث مضروبًا في -1.
(6) تم ضرب السطر الثاني في -1، وتم تقسيم السطر الثالث على -2.
إجابة :

دعونا نربط كل نظام من المعادلات الخطية به مصفوفة موسعة، تم الحصول عليها عن طريق الإضافة إلى المصفوفة أعمود الأعضاء الأحرار:

طريقة جوردان-غاوستستخدم لحل النظام مالمعادلات الخطية مع نأنواع غير معروفة:

هذه الطريقةيكمن في حقيقة أنه بمساعدة التحولات الأولية، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام معادلات مكافئ مع مصفوفة من نوع معين.

نقوم بإجراء التحويلات الأولية التالية على صفوف المصفوفة الموسعة:

1. إعادة ترتيب سلسلتين;

2. ضرب سلسلة بأي رقم غير الصفر;

3. إضافة إلى سلسلة واحدة سلسلة أخرى مضروبة في عدد معين;

4. تجاهل صف صفر (عمود).

مثال 2.11.حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة جوردان غاوس:

أ) × 1 + × 2 + 2 × 3 = -1

2X 1 - X 2 + 2X 3 = -4

4X 1 + X 2 + 4X 3 = -2

الحل: لنقم بإنشاء مصفوفة موسعة:

التكرار 1

حدد العنصر كعنصر دليل. لنقم بتحويل العمود الأول إلى عمود واحد. للقيام بذلك، أضف السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث مضروبًا في (-2) و(-4) على التوالي. نحصل على المصفوفة:

هذا يكمل التكرار الأول.

التكرار 2

حدد عنصر دليل. وبما أننا نقسم السطر الثاني على -3. ثم نضرب السطر الثاني في (-1) و 3 على التوالي، ونضيفه مع السطرين الأول والثالث على التوالي. دعونا نحصل على المصفوفة

التكرار 3

حدد عنصر دليل. وبما أننا نقسم السطر الثالث على (-2). دعونا نحول العمود الثالث إلى وحدة. للقيام بذلك، اضرب السطر الثالث في (-4/3) و(-2/3) على التوالي وأضفه مع السطرين الأول والثاني على التوالي. دعونا نحصل على المصفوفة

أين X 1 = 1, X 2 = 2, X 3 = -2.

بعد الانتهاء من الحل، في مرحلة التدريب، من الضروري إجراء فحص عن طريق استبدال القيم الموجودة في النظام الأصلي، والتي يجب أن تتحول إلى مساواة صحيحة.

ب) × 1 – × 2 + × 3 – × 4 = 4

× 1 + × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 = 8

2X 1 +4X 2 + 5X 3 +10X 4 = 20

2X 1 – 4X 2 + X 3 – 6X 4 = 4

الحل: المصفوفة الموسعة لها الشكل:

وبتطبيق التحويلات الأولية نحصل على:

النظام الأصلي يعادل نظام المعادلات التالي:

× 1 - 3X 2 - 5X 4 = 0

2X 2 + X 3 + 4X 4 = 4

آخر صفين من المصفوفة أ(2) تعتمد خطيا.

تعريف.صفوف المصفوفة ه 1 , ه 2 ,…, ه موتسمى تعتمد خطيا، إذا كان هناك أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت، فذلك تركيبة خطيةصفوف المصفوفة تساوي خط الصفر:

أين 0 =(0، 0…0). صفوف المصفوفة هي مستقل خطيا، عندما يكون مجموع هذه الصفوف يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع المعاملات تساوي الصفر.

في الجبر الخطي، المفهوم مهم جدا رتبة المصفوفة، لأن انها تلعب بشكل جيد للغاية أهمية عظيمةعند حل أنظمة المعادلات الخطية.

النظرية 2.3 (حول رتبة المصفوفة).رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعددها خطيا خطوط مستقلةأو الأعمدة التي يتم من خلالها التعبير عن جميع الصفوف (الأعمدة) الأخرى خطيًا.

رتبة المصفوفة أ(2) يساوي 2، لأن فيه الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا هو 2 (هذان هما أول صفين من المصفوفة).

نظرية 2.4 (كرونيكر – كابيلي).لا يكون نظام المعادلات الخطية ثابتًا إلا إذا كانت رتبة مصفوفة النظام تساوي رتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام.

1. إذا كانت رتبة مصفوفة النظام المشترك تساوي عدد المتغيرات أي ص = ن، ثم النظام لديه القرار الوحيد.

2. إذا كانت رتبة مصفوفة النظام أقل من عدد المتغيرات أي ص< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

في هذه الحالة، النظام لديه 4 متغيرات، ورتبته هي 2، وبالتالي لديه عدد لا نهائي من الحلول.

تعريف.يترك ص< ن, صالمتغيرات س 1 , س 2 ,…, س صوتسمى أساسي، إذا كان محدد المصفوفة من معاملاتها ( قاصر الأساسية ) يختلف عن الصفر. استراحة ن – صتسمى المتغيرات حر.

تعريف.حلالنظام الذي كل شيء ن – صالمتغيرات الحرة تساوي الصفر تسمى أساسي.

النظام المشترك مالمعادلات الخطية مع نالمتغيرات ( م< n ) له عدد لا نهائي من الحلول، يوجد من بينها عدد محدود من الحلول الأساسية لا يتجاوز، حيث .

في حالتنا، أي. النظام لا يحتوي على أكثر من 6 حلول أساسية.

الحل العام هو :

× 1 = 3×2 +5×4

× 3 = 4 – 2× 2 – 4× 4

دعونا نجد الحلول الأساسية. للقيام بذلك، نفترض أن X 2 = 0، X 4 = 0، ثم X 1 = 0، X 3 = 4. الحل الأساسي له الصيغة: (0، 0، 4، 0).

دعونا نحصل على حل أساسي آخر. للقيام بذلك، نأخذ X 3 وX 4 كمجهولين حرين. دعونا نعبر عن المجهولين X 1 و X 2 من خلال المجهولين X 3 و X 4:

× 1 = 6 – 3/2X 2 – × 4

× 2 = 2 - 1/2X 3 - 2X 4.

ثم الحل الأساسي له الصيغة: (6، 2، 0، 0).

مثال 2.12.حل النظام:

× 1 + 2 × 2 – × 3 = 7

2X 1 - 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

الحل: تحويل المصفوفة الموسعة للنظام

لذا فإن المعادلة المقابلة للصف الثالث من المصفوفة الأخيرة متناقضة - فقد نتج عنها مساواة غير صحيحة 0 = –1، وبالتالي فإن هذا النظام غير متناسق. هذا الاستنتاجويمكن الحصول عليها أيضًا من خلال ملاحظة أن رتبة مصفوفة النظام هي 2، في حين أن رتبة مصفوفة النظام الموسعة هي 3.

بشكل عام، المعادلة الخطية لها الشكل:

المعادلة لها حل: إذا كان أحد معاملات المجهولين على الأقل يختلف عن الصفر. في هذه الحالة، يُطلق على أي متجه ذي أبعاد حلاً للمعادلة إذا أصبحت المعادلة هوية عند استبدال إحداثياتها.

الخصائص العامة لنظام المعادلات المحلولة

مثال 20.1

وصف نظام المعادلات.

حل:

1. هل هناك معادلة متناقضة؟(إذا كانت المعاملات، في هذه الحالة المعادلة لها الشكل: وتسمى جدلي.)

• إذا كان النظام يحتوي على شيء متناقض، فهذا النظام غير متسق وليس له حل.

2. البحث عن كافة المتغيرات المسموح بها. (المجهول يسمىمباحلنظام المعادلات، إذا تم تضمينه في إحدى معادلات النظام بمعامل +1، ولكن لم يتم تضمينه في المعادلات المتبقية (أي تم تضمينه بمعامل يساوي صفر).

3. هل تم حل نظام المعادلات؟ (يسمى نظام المعادلات حلها، إذا كانت كل معادلة في النظام تحتوي على مجهول تم حله، ولا يوجد من بينها معادلة متطابقة)

تشكل المجهولات التي تم حلها، مأخوذة من كل معادلة في النظام طقم كاملحل المجهولأنظمة. (في مثالنا هذا)

تُسمى أيضًا العناصر المجهولة المسموح بها والمضمنة في المجموعة الكاملة أساسي()، وغير المدرجة في المجموعة - حر ().

في الحالة العامة، يكون نظام المعادلات التي تم حلها بالشكل التالي:

على في هذه المرحلةالشيء الرئيسي هو أن نفهم ما هو عليه حل غير معروف(مدرجة في الأساس ومجانية).

الحلول الأساسية العامة والخاصة

الحل العامنظام المعادلات المحلولة هو مجموعة من التعبيرات عن المجهولات التي تم حلها من خلال الحدود الحرة والمجهول الحرة:

قرار خاصويسمى الحل الذي يتم الحصول عليه من الحل العام لقيم محددة من المتغيرات الحرة والمجهولة.

الحل الأساسيويسمى حل خاص تم الحصول عليه من الحل العام مع قيم صفرالمتغيرات الحرة.

• ويسمى الحل الأساسي (المتجه). منحط، إذا كان عدد إحداثياته ​​غير الصفرية أقل من عدد المجهولين المسموح به.
• الحل الأساسي يسمى غير منحط، إذا كان عدد إحداثياته ​​غير الصفرية يساوي عدد العناصر المجهولة المسموح بها للنظام المضمن في المجموعة الكاملة.

نظرية (1)

نظام المعادلات الذي تم حله يكون دائمًا ثابتًا(لأنه يحتوي على حل واحد على الأقل)؛ علاوة على ذلك، إذا لم يكن لدى النظام عناصر مجهولة مجانية،(أي أنه في نظام المعادلات، يتم تضمين كافة المسموح بها في الأساس) ثم يتم تعريفه(لديه حل فريد)؛ إذا كان هناك متغير حر واحد على الأقل، فلن يتم تعريف النظام(لديه عدد لا نهائي من الحلول).

مثال 1. ابحث عن الحل العام والأساسي وأي حل خاص لنظام المعادلات:

حل:

1. هل نتحقق مما إذا كان النظام معتمدًا؟

• تم حل النظام (نظرًا لأن كل المعادلات تحتوي على مجهول تم حله)

2. نقوم بتضمين المجهول المسموح به في المجموعة - واحد من كل معادلة.

3. نكتب الحل العام اعتمادًا على ما سمح به للمجهول الذي أدرجناه في المجموعة.

4. إيجاد حل معين. للقيام بذلك، نقوم بمساواة المتغيرات الحرة التي لم ندرجها في المجموعة بأرقام عشوائية.

إجابة: حل خاص(أحد الخيارات)

5. إيجاد الحل الأساسي. للقيام بذلك، نقوم بمساواة المتغيرات الحرة التي لم ندرجها في المجموعة بالصفر.

التحويلات الأولية للمعادلات الخطية

يتم اختزال أنظمة المعادلات الخطية إلى أنظمة حل مكافئة باستخدام التحويلات الأولية.

نظرية (2)

لو اي ضرب معادلة النظام بعدد غير الصفر، واترك باقي المعادلات دون تغيير، ثم . (أي إذا ضربت اليسار و الجانب الأيمنالمعادلات لنفس الرقم، فتحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة)

نظرية (3)

لو إضافة أخرى إلى أي معادلة للنظام، ثم اترك جميع المعادلات الأخرى دون تغيير نحصل على نظام يعادل هذا واحد. (أي أنك إذا أضفت معادلتين (بجمع طرفيهما الأيسر والأيمن)، فستحصل على معادلة مكافئة للبيانات)

النتيجة الطبيعية للنظريات (2 و 3)

لو إضافة معادلة أخرى إلى معادلة مضروبة في عدد معين، واترك جميع المعادلات الأخرى دون تغيير، ثم نحصل على نظام يعادل هذا النظام.

صيغ لإعادة حساب معاملات النظام

إذا كان لدينا نظام معادلات ونريد تحويله إلى نظام معادلات محلولة، فإن طريقة جوردان-غاوس ستساعدنا في ذلك.

الأردن يتحولباستخدام عنصر الحل يسمح لك بالحصول على مجهول تم حله لنظام المعادلات في المعادلة ذات الرقم . (مثال 2).

يتكون تحول الأردن من تحولات أولية على نوعين:

لنفترض أننا نريد أن نجعل المجهول في المعادلة السفلية مجهولاً محلولاً. للقيام بذلك، يجب أن نقسم على، بحيث يكون المجموع.

مثال 2: دعونا نعيد حساب معاملات النظام

عند قسمة معادلة تحتوي على رقم، يتم إعادة حساب معاملاتها باستخدام الصيغ:

للاستبعاد من المعادلة ذات الرقم، عليك ضرب المعادلة برقم والإضافة إلى هذه المعادلة.

نظرية (4) في تقليل عدد معادلات النظام.

إذا كان نظام المعادلات يحتوي على معادلة تافهة، فيمكن استبعادها من النظام، وسيتم الحصول على نظام معادل للنظام الأصلي.

نظرية (5) حول عدم توافق نظام المعادلات.

إذا كان نظام المعادلات يحتوي على معادلة غير متسقة، فهو غير متسق.

خوارزمية طريقة جوردان غاوس

تتكون خوارزمية حل أنظمة المعادلات بطريقة جوردان غاوس من عدد من الخطوات المتشابهة، في كل منها يتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب التالي:

1. يتحقق لمعرفة ما إذا كان النظام غير متناسق. إذا كان النظام يحتوي على معادلة غير متناسقة، فهو غير متسق.
2. يتم التحقق من إمكانية تقليل عدد المعادلات. إذا كان النظام يحتوي على معادلة تافهة، يتم شطبها.
3. إذا تم حل نظام المعادلات، فاكتب الحل العام للنظام، وإذا لزم الأمر، حلول خاصة.
4. إذا لم يتم حل النظام، ففي المعادلة التي لا تحتوي على مجهول تم حله، يتم تحديد عنصر الحل ويتم إجراء تحويل جوردان مع هذا العنصر.
5. ثم ارجع إلى النقطة 1

مثال 3: حل نظام المعادلات باستخدام طريقة جوردان غاوس.

يجد: حلان عامان وحلان أساسيان متقابلان

حل:

تظهر الحسابات في الجدول أدناه:

على يمين الجدول توجد إجراءات على المعادلات. تشير الأسهم إلى المعادلة التي تضاف إليها المعادلة مع عنصر الحل مضروبة في عامل مناسب.

تحتوي الصفوف الثلاثة الأولى من الجدول على معاملات المجهول والجانب الأيمن النظام الأصلي. نتائج تحول الأردن الأول بعنصر الحسم يساوي واحدترد في الأسطر 4، 5، 6. نتائج تحويل الأردن الثاني بعنصر حل يساوي (-1) ترد في الأسطر 7، 8، 9. وبما أن المعادلة الثالثة تافهة، فيمكن تجاهلها.

بيريزنيفا تي.دي.

الموضوع 7

"أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

طريقة غاوس-الأردن."

(الانضباط الأكاديمي "مقدمة في الجبر الخطي والهندسة التحليلية")

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

غاوس - الطريقة الأردنية.

مفاهيم أساسية

تسمى المعادلة ذات المتغيرات n خطي، إذا كانت جميع المتغيرات ( س 1 , س 2 , … س ن ) ودخل فيه إلى القوة 1. الشكل العامتتم كتابة هذه المعادلة رسميًا على النحو التالي:

أ 1 س 1 + أ 2 س 2 + … أ ي س ي + … أ ن س ن = ب, (*)

= ب.

كميات أ ي , ي = 1,…, ن، و ب معروفة (معطى). كميات أ ي وتسمى معاملات المتغيرات(للمجهولين)، و ب - عضو مجاني.

حل المعادلة الخطية (*),,…,) قيم المتغيرات، والتي عند استبدالها في المعادلة (أي عندما يتم استبدال x j بـ أمام الجميع ي من 1 ل نيحولها إلى هوية. نؤكد على أن حل المعادلة ذات المتغيرات n هو دائمًا مجموعة من الأرقام n وكل مجموعة من الأرقام n تمثلها واحدحل. من الواضح أنه إذا كان معامل واحد على الأقل من المتغيرات لا يساوي 0، فإن المعادلة (*) لها حل. بخلاف ذلك، الحل موجود فقط بالنسبة لـ b = 0، وهذه كلها مجموعات عشوائية من أرقام n.

دعونا ننظر في وقت واحد في معادلات م من النموذج (*)، أي. نظاممالمعادلات الجبرية الخطية معنالمتغيرات. دع كل معادلة i -th، i = 1,2,...,m، يتم تحديدها بواسطة معاملات المتغيرات a i 1, a i 2,..., a in والمصطلح الحر b i، أي. يشبه

أ i1 س 1 +أ i2 س 2 + … + أ اي جاي س ي + … + أ في س ن = ب أنا .

ومن ثم، بشكل عام، يمكن كتابة نظام من المعادلات الجبرية الخطية m مع متغيرات n على النحو التالي:

أ 11 س 1 +أ 12 س 2 + … + أ 1 ي س ي + … + أ 1 ن س ن = ب 1

أ 21 س 1 +أ 22 س 2 + … + أ 2ي س ي + … + أ 2 ن س ن = ب 2

………………………………………………………………………………

أ i1 س 1 +أ i2 س 2 + … + أ اي جاي س ي + … + أ في س ن = ب أنا (1)

…………………………………………………

أ م1 س 1 +أ م2 س 2 + … + أ إم جي س ي + … + أ مليون س ن = ب م

أو ما هو نفسه،

= ب أنا , أنا = 1,…, م.

إذا كانت جميع الحدود الحرة تساوي الصفر، فسيتم استدعاء النظام (1). متجانس، أي. يشبه

= 0, أنا = 1,…, م، (1 0 )

خلاف ذلك - غير متجانسة. نظام (1 0 ) هي حالة خاصة من النظام العام (1) .

من خلال حل نظام المعادلات (1)تسمى مجموعة مرتبة ( ,,…,) قيم المتغيرات والتي عند استبدالها في معادلات النظام (1) (أي عند استبدال x j بـ , ي = 1،...،ن) الجميعيحول هذه المعادلات إلى هويات، أي.
=ب أنا للجميع = 1،…،م.

يسمى نظام المعادلات (1). مشترك،إذا كان لديه حل واحد على الأقل. وإلا يتم استدعاء النظام غير مشترك.

سنسمي مجموعة الحلول لنظام المعادلات (1) العديد من حلولهاوترمز إلى X b (X 0 إذا كان النظام متجانسًا). إذا كان النظام غير متناسق، فإن X b = .

المهمة الرئيسية لنظرية أنظمة المعادلات الجبرية الخطية هي معرفة ما إذا كان النظام (1) متسقًا، وإذا كان الأمر كذلك، وصف مجموعة جميع حلوله. هناك طرق لتحليل مثل هذه الأنظمة تتيح وصف مجموعة الحلول في حالة الأنظمة المشتركة أو التحقق من عدم التوافق بخلاف ذلك. إحدى هذه الطرق العالمية هي طريقة الحذف الكامل المتسلسل للمجاهول، أو الطريقةغاوس - الأردن ، والتي سوف ندرسها بالتفصيل.

قبل الانتقال إلى وصف طريقة غاوس-جوردان، نقدم عددًا من التعريفات والعبارات المفيدة لمزيد من الاستخدام.

ويطلق على نظامي المعادلات مقابل، إذا كان لديهم نفس مجموعة الحلول. بمعنى آخر، كل حل لنظام ما هو حل لنظام آخر، والعكس صحيح. تعتبر جميع الأنظمة غير المتوافقة مكافئة لبعضها البعض.

ومن تعريفات التكافؤ ومجموعة الحلول لأنظمة من الشكل (1)، يتبع مباشرة صحة العبارات التالية، والتي سنقوم بصياغتها على شكل نظرية.

النظرية 1. إذا كان النظام (1) لديه معادلة ذات رقمك, 1ك م، مثل ذلكأ كج = 0 ي، الذي - التي

تصبح صحة النظرية واضحة إذا لاحظنا أن المعادلة k لها الشكل

0 س 1 + 0 س 2 + … + 0 س ي + … + 0 س ن = ب ك .

النظرية 2. إذا أضفت إلى إحدى معادلة النظام (1) معادلة أخرى من نفس النظام مضروبة في أي رقم، فستحصل على نظام معادلات مكافئ للنظام الأصلي.

دليل.فلنضرب، على سبيل المثال، المعادلة الثانية للنظام (1) في عدد معين وأضفها إلى المعادلة الأولى. ونتيجة لهذا التحويل نحصل على النظام (1') الذي لم تتغير فيه جميع المعادلات بدءاً من الثانية، ويكون الأول على الشكل التالي

= ب 1 + ب 2 .

من الواضح أنه إذا تم تعيين بعض ( ,,…,) قيم المتغيرات تحول جميع معادلات النظام (1) إلى متطابقات، ثم تحول جميع معادلات النظام (1') إلى متطابقات. على العكس من ذلك، فإن الحل (x' 1 ,x' 2 ,…,x' j , … ,x' n) للنظام (1') هو أيضًا حل للنظام (1)، حيث يتم الحصول على النظام (1) من النظام (1') باستخدام تحويل مماثل، عندما تضاف المعادلة الثانية للنظام (1') إلى المعادلة الأولى للنظام (1')، مضروبة في الرقم (- ).

تم إثبات العبارة التالية بنفس الطريقة تمامًا.

النظرية 2'.إن ضرب معادلة اعتباطية للنظام (1) بأي رقم غير الصفر يحول النظام (1) إلى نظام معادل من المعادلات.

النظريات 2 و 2 'تعطي نوعين من التحولاتالذي خضع له النظام (1)، ويبقى معادلاً لـ:

أ) ضرب (أو قسمة) معادلة اعتباطية للنظام (1) بأي رقم غير الصفر؛

ب) إضافة (أو طرح) إلى معادلة أخرى، مضروبًا في رقم معين.

تسمى هذه التحولات أ) و ب). التحولات الأوليةنظام المعادلات (1).

إذا تم تطبيق التحويلات الأولية على نظام المعادلات (1) عدة مرات، فمن الواضح أن النظام الناتج سيكون أيضًا معادلاً للنظام الأصلي.

يمكن كتابة نظام المعادلات (1) في شكل جدول:

يسمى جدول مستطيل من الأعداد يتكون من معاملات i للمجهولات الخاصة بالنظام (1). مصفوفةالنظام (1) ويشار إليه بـ A (يحتوي على صفوف m وأعمدة n)، ويشار إلى عمود المصطلحات الحرة بـ b. يسمى الجدول المستطيل المكون من معاملات aj للمجاهول ومن عمود المصطلحات الحرة b للنظام (1) مصفوفة موسعةالنظام (1) ويشار إليه (يحتوي على صفوف (m) وأعمدة (n+1))، أي. = (أ، ب). في الصف الأول من المصفوفة يحتوي على كل شيء مشهورالمعلمات التي تميز المعادلة i -th للنظام (1)، i = 1،…، m. يحتوي العمود j للمصفوفة A على جميع معاملات المجهول x j الموجود في النظام (1).

يتم استدعاء الأرقام a ij عناصر المصفوفة A. يقع العنصر a ij في الصف i -th والعمود j -th من المصفوفة A. ومن المعتاد أن نقول أن العنصر a ij موجود عند التقاطعأنا- يا خطوط وي- العمود الرابع من المصفوفة A. إذا كانت جميع عناصر صف (عمود) المصفوفة A (باستثناء واحد) تساوي صفرًا، والعنصر غير الصفري يساوي واحدًا، فإن هذا الصف (العمود) يسمى أعزب(أعزب).

تتوافق التحويلات الأولية للنظام (1) مع التحويلات الأولية التالية في الجدول (2):

أ) ضرب (أو قسمة) جميع عناصر صف الجدول العشوائي (2) بأي رقم غير الصفر,

ب) الجمع (أو الطرح) في سطر واحد (عنصر بعنصر) من سطر آخر مضروبًا في عدد معين.

نتيجة لأي تحول أولي نحصل عليه طاولة جديدة ، حيث بدلا من السطر الذي أضيف إليه (أو مضروبا في أي رقم غير الصفر)، يتم كتابتهخط جديد ، ويتم كتابة الأسطر المتبقية (بما في ذلك الذي تمت إضافته) دون تغيير. الجدول الجديد يتوافق مع نظام المعادلات يعادل النظام الأصلي.

ومن خلال تطبيق التحويلات الأولية يمكن تبسيط الجدول (2) وبالتالي النظام (1) بحيث يصبح حل النظام الأصلي سهلاً. وتعتمد الطريقة المقترحة على هذا.

طريقة الحذف الكامل المتسلسل للمجهول

(طريقة غاوس - جوردان)

طريقة الإزالة الكاملة المتسلسلة للمجهولين، أو طريقة غاوس-الأردن، يكون طريقة عالميةتحليل أي أنظمة (غير معروفة مسبقًا - متوافقة أو غير متوافقة) من المعادلات الجبرية الخطية. يسمح لك بحل الأنظمة المتوافقة أو التحقق من عدم توافق الأنظمة غير المتوافقة.

دعونا نلاحظ الفرق الأساسي بين الطريقة المقترحة لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية وطريقة حل المعادلة التربيعية القياسية على سبيل المثال. يتم حلها باستخدام صيغ معروفة يتم فيها التعبير عن المجهول من خلال معاملات المعادلة. في حالة الأنظمة العامة للمعادلات الجبرية الخطية، ليس لدينا مثل هذه الصيغ ونستخدمها لإيجاد الحلول طريقة التكرار، أو طريقة تكرارية، أو طريقة تكرارية. مثل هذه الأساليب لا تحدد الصيغ، ولكن سلسلة من الإجراءات.

طريقة غاوس-جوردان هي تطبيق متسلسل للسلسلة نفس النوع من الخطوات الكبيرة (أوالتكرارات ). تعد طريقة التكرار هذه إحدى طرق التكرار العديدة المقترحة لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية من الشكل (1). إنها تتكون من المرحلة الأولية والمرحلة الرئيسية والمرحلة النهائية. المرحلة الرئيسية تحتوي على التكرار التكرارات هي مجموعات من الإجراءات المماثلة.

دعونا نعطي نظامًا محددًا للمعادلات الجبرية الخطية (1). هذا يعني انه معروفن , م , أ اي جاي , ب أنا , أنا = 1,…, م ; ي = 1,…, ن . دعونا نصف الطريقة المقترحة لحل هذا النظام.

المرحلة الأولىيتضمن بناء الجدول الأول (0) من النوع (2) والاختيار فيه العنصر الرائد – أي غير الصفر معامل للمتغيرات من الجدول (2).يُطلق على العمود والصف الذي يوجد عند تقاطعه عنصر رئيسي قيادة. (دع العنصر a i 0 j 0 يتم تحديده. ثم i 0 هو الصف السابق، j 0 هو العمود السابق.) دعنا ننتقل إلى المرحلة الرئيسية. لاحظ أنه غالبًا ما يتم استدعاء العنصر الرئيسي متساهل.

المسرح الرئيسييتكون من تكرارات متكررة من نفس النوع بأرقام k = 1، 2،…. دعونا نصف بالتفصيل تكرارات طريقة غاوس-جوردان.

في بداية كل تكرار، يُعرف جدول معين من النوع الأول (2)؛ وهو عنصر (حل) بادئ، وبالتالي يتم تحديد عمود بادئ وصف بادئ فيه. بالإضافة إلى ذلك، هناك معلومات حول الصفوف والأعمدة وقد تم بالفعلقيادة. (لذلك، على سبيل المثال، بعد المرحلة الأولية، أي في التكرار 1، I (0)، العنصر البادئ (الحل) a i 0 j 0 والصف البادئ i 0، العمود البادئ j 0 معروفان.)

التكرار (مع الرقم ك ) يتكون من الإجراءات التالية.

تحويل العمود الرائد(أي العمود الذي يحتوي على العنصر الرئيسي) في وحدة مع 1 بدلا من العنصر الرئيسيعن طريق الطرح التسلسلي عنصرًا تلو الآخر للصف السابق (أي الصف الذي يحتوي على العنصر الرئيسي)، مضروبًا في بعض الأرقام، من الصفوف المتبقية في الجدول. نفسها الخط الرائديتم تحويله عن طريق تقسيم العنصر على العنصر الرئيسي.

تم كتابة جدول جديد (k)، (k هو رقم التكرار)، حيث جميع الأعمدة التي كانت في المقدمة مفردة.

يتم التحقق مما إذا كان من الممكن الاختيار في الجدول الأول (ك) العنصر الرئيسي (الحل) الجديد. حسب التعريف هذا أي عنصر غير الصفر يقف عند تقاطع صف وعمود ليس بعد لم يكونوا مقدمين .

إذا كان هذا الاختيار ممكنا، فسيتم استدعاء العمود والصف عند التقاطع الذي يوجد فيه عنصر (حل) بادئ قيادة. ثم يتم تكرار التكرار بجدول جديد I(k)، أي. يتم تكرار الخطوات من 1 إلى 3 مع الجدول الجديد I (k). في هذه الحالة، يتم إنشاء جدول جديد I (k +1).

لو ممنوعحدد عنصرًا رئيسيًا جديدًا، ثم انتقل إلى المرحلة النهائية.

المرحلة النهائية.لنقم بالتكرارات، يتم الحصول على جدول I (r)، يتكون من مصفوفة معاملات للمتغيرات A (r) وعمود من المصطلحات الحرة b (r)، وفيه ممنوع حدد عنصرًا رائدًا جديدًا، على سبيل المثال. توقفت الطريقة. لاحظ أن الطريقة واجبيا توقف ل عدد محدود من الخطوات، لأن لا يمكن أن يكون r أكبر من min(m,n).

ما هي الخيارات المتاحة لإيقاف الطريقة؟ ماذا تقصد "لا يمكنك تحديد عنصر رئيسي جديد"؟ وهذا يعني أنه بعد التكرار r في المصفوفة A (r) لنظام جديد يعادل النظام (1)، إما

أ) كانت جميع الخطوط A (r) في المقدمة، أي. يحتوي كل سطر على وحدة واحدة بالضبط، لا تظهر في أي سطر آخر،

ب) هناك صفوف متبقية في A (r) تتكون من أصفار فقط.

دعونا نفكر في هذه الخيارات.

أ) في هذه الحالة ص = م، م ن. من خلال إعادة ترتيب الصفوف وإعادة ترقيم المتغيرات (أي إعادة ترتيب الأعمدة)، يمكن تمثيل الجدول I (r) على النحو التالي:

ونؤكد أنه في الجدول (3) يظهر كل متغير برقم i لا يتجاوز r في صف واحد فقط. الجدول (3) يتوافق مع نظام المعادلات الخطية من النموذج

× 1+
=ب (ص) 1 ,

× 2+
=ب (ص) 2 ,

………………………, (4)

س ص +
=ب(ص)ص،

حيث كل متغير برقم i، ليس متفوقاص، يتم التعبير عنها بشكل فريد من خلال المتغيرات x r +1،…،x n، ومعاملات المصفوفة a (r) ij، j = r+1،…،n، والمصطلح الحر b (r) i، الوارد في الجدول (3). إلى المتغيرات س ص +1 , … , س ن لا تتداخل لا قيود، أي. هم يمكن أن تأخذ أي قيمة . ومن ثم، فإن الحل التعسفي للنظام الموصوف في الجدول (3)، أو ما هو نفسه، الحل التعسفي للنظام (4)، أو ما هو نفسه، الحل التعسفي للنظام (1) له الشكل

س ط = ب (ص) ط - أ (ص) إي س ي , أنا = 1,…,ص = م; س ي – أي ل ي = (ص+1)،…،ن. (5)

ومن ثم يمكن كتابة مجموعة الحلول للنظام (1) بالشكل

X ب = (x=(x 1 , … ,x n) : x i = b (r) i - أ (ص) إي س ي لأني = 1،…، ص = م؛ x j – أي لـ j =(r+1),…,n.).

ب) في هذه الحالة ص< m, и существует хотя бы одна строка k, k >r، (نفترض أن إعادة ترتيب الصفوف والأعمدة هي نفسها كما في النقطة أ)) بحيث يكون (r) kj = 0 لجميع j. ثم إذا كان المصطلح الحر المقابل ب (ص) ك غير متساوي 0، فإن المعادلة k ليس لها حل، وبالتالي فإن النظام بأكمله ليس له حل، أي. نظام (1) غير متوافق .

إذا كانت b (r) k المقابلة تساوي 0، فإن المعادلة k تكون زائدة عن الحاجة ويمكن التخلص منها. وبطرح كل هذه المعادلات نجد أن النظام (1) يعادل النظام من صالمعادلات ذات المتغيرات n والتي تتم كتابتها بعد خطوات r باستخدام جدول على الشكل (3) حيث كانت جميع الصفوف في المقدمة. وبذلك نكون قد وصلنا إلى الحالة (أ) المذكورة أعلاه ويمكننا كتابة حل النموذج (5).

تم وصف طريقة غاوس-جوردان بالكامل. خلف عدد محدود من التكراراتسيتم حل نظام المعادلات الجبرية الخطية (إذا كان متسقًا) أو سيكون من الواضح أنه غير متسق (إذا كان غير متسق بالفعل).

المتغيرات المقابلة للعناصر الرائدة (التمكينية).، أو الوقوف في الأعمدة الرائدة، عادة ما يتم استدعاؤها أساسي، والمتغيرات المتبقية هي حر.

دعونا ننتبه إلى ما يلي.

1) عندما نبدأ بحل نظام باستخدام طريقة غاوس-جوردان، قد لا نعرف ما إذا كان هذا النظام متسقاً أم لا. سوف تجيب طريقة غاوس-جوردان على هذا السؤال في عدد محدود من التكرارات r. في حالة النظام المشترك، استنادا إلى الجدول الأخير، يتم كتابة الحل العام للنظام الأصلي. في هذه الحالة عدد المتغيرات الأساسيةيساوي بالضرورة الرقم r للتكرار الأخير، أي. عدد التكرارات المكتملة الرقم r دائمًا لا يتجاوز min(m,n)، حيث m هو الرقم معادلات النظام، ون - عدد متغيرات النظام إذا ر< n, الذي - التي (ن – ص) يساوي عدد المتغيرات الحرة.

2) عند كتابة الحل العام لا حاجةإعادة ترقيم المتغيرات، كما حدث لسهولة الفهم عند الوصف المرحلة الأخيرة. يتم ذلك من أجل فهم أوضح.

3) عند حل النظام (1) باستخدام طريقة غاوس - جوردان أساسيستكون المتغيرات فقط متغيرات تتوافق مع الأعمدة التي تعمل كـ قيادة، والعكس صحيح، إذا كان العمود يعمل في بعض التكرار كعمود بادئ، فسيكون المتغير المقابل بالتأكيد من بين المتغير الأساسي.

4) إذا كان الحل العام للنظام (1) يحتوي على متغير حر واحد على الأقل فإن هذا النظام يحتوي على متغير حر واحد على الأقل كثيرة بلا حدودالحلول الخاصة أما في حالة عدم وجود متغيرات حرة فإن النظام لديه حل فريد يتطابق مع الحل العام.

5) يمكن تحديد العناصر الرائدة بطريقة مختلفة في كل تكرار. الشيء الوحيد المهم هو أن هذه معاملات غير صفرية تقع عند تقاطع صف وعمود لم يكن يؤدي من قبل. اختيارات مختلفةيمكن للعناصر الرائدة أن تعطي إدخالات مختلفةالعديد من الحلول. لكن، مجموعة الحلول نفسها هي نفسها لأي تدوين.

دعونا نشرح تشغيل الطريقة بالأمثلة.

المثال الأول.يقرر النظام التاليالمعادلات الجبرية الخطية

2 × 1 – 3 × 2 + 3x 3 + 5x 4 = -1,

3 × 1 + 4x 2 - 2 × 3 + 6 س 4 = 2, (6)

5 س 1 – 4 س 2 + 6 س 3 + 10 س 4 = 2

طريقة الحذف الكامل المتتابع للمجهول (طريقة غاوس-جوردان).

المرحلة الأولى.أولاً نكتب نظام المعادلات (6) بشكل أكثر ملاءمة - في شكل الجدول الأول (0).