دعونا ننظر إلى واحد منهم أهم المواضيعفي علوم الكمبيوتر - . في المنهج المدرسييتم الكشف عنها "بشكل متواضع" إلى حد ما، على الأرجح بسبب قلة الساعات المخصصة لها. المعرفة حول هذا الموضوع، وخاصة على ترجمة أنظمة الأرقام، نكون المتطلبات المسبقةللنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدةوالقبول في الجامعات في الكليات ذات الصلة. أقل بالتفصيلمفاهيم مثل أنظمة الأعداد الموضعية وغير الموضعية، يتم تقديم أمثلة على أنظمة الأرقام هذه، ويتم تقديم قواعد لتحويل الأعداد العشرية الكاملة، والكسور العشرية الصحيحة والأرقام العشرية المختلطة إلى أي نظام أرقام آخر، وتحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام عشري، والتحويل من أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية إلى النظام الثنائيالرموز في الامتحانات كميات كبيرةهناك مشاكل حول هذا الموضوع. القدرة على حلها هي أحد متطلبات المتقدمين. قريبا: لكل موضوع من مواضيع القسم، بالإضافة إلى المادة النظرية التفصيلية، كلها تقريبا الخيارات الممكنة مهامل دراسة ذاتية. بالإضافة إلى ذلك، ستتاح لك الفرصة لتنزيل الملفات الجاهزة من خدمة استضافة الملفات مجانًا تمامًا. حلول مفصلةلهذه المهام، موضحا طرق مختلفةالحصول على الإجابة الصحيحة.

أنظمة الأرقام الموضعية.

أنظمة الأعداد غير الموضعية- أنظمة الأعداد التي لا تعتمد فيها القيمة الكمية للرقم على موقعه في الرقم.

تشمل أنظمة الأرقام غير الموضعية، على سبيل المثال، الرومانية، حيث بدلا من الأرقام هناك أحرف لاتينية.

أنا	واحد 1)
الخامس	5 (خمسة)
X	10 (عشرة)
ل	50 (خمسون)
ج	100 (مائة)
د	500 (خمسمائة)
م	1000 (ألف)

هنا الحرف V يرمز إلى 5 بغض النظر عن موقعه. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن نظام الأرقام الروماني هو مثال كلاسيكي نظام غير موضعيالتدوين ليس غير موضعي تمامًا، لأن ويطرح منه الرقم الأصغر الذي أمام الرقم الأكبر:

انا	49 (50-1=49)
السادس	6 (5+1=6)
الحادي والعشرون	21 (10+10+1=21)
مي	1001 (1000+1=1001)

أنظمة الأرقام الموضعية.

أنظمة الأرقام الموضعية- أنظمة الأعداد التي تعتمد فيها القيمة الكمية للرقم على موقعه في الرقم.

على سبيل المثال، إذا تحدثنا عن نظام الأرقام العشري، ففي الرقم 700، الرقم 7 يعني "سبعمائة"، ولكن نفس الرقم في الرقم 71 يعني "سبعة عشرات"، وفي الرقم 7020 - "سبعة آلاف" .

كل نظام الأرقام الموضعيةلديها خاصة بها قاعدة. يتم اختيار عدد طبيعي أكبر من أو يساوي اثنين كأساس. وهو يساوي عدد الأرقام المستخدمة في نظام أرقام معين.

على سبيل المثال:
• الثنائية- نظام الأرقام الموضعية مع الأساس 2.
• رباعي- نظام الأرقام الموضعية مع الأساس 4.
• خمسة أضعاف- نظام الأرقام الموضعية مع الأساس 5.
• ثماني- نظام الأرقام الموضعية بقاعدة 8.
• السداسي عشري- نظام الأرقام الموضعية بأساس 16.

لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "أنظمة الأرقام" بنجاح، يجب على الطالب أن يحفظ عن ظهر قلب مراسلات الأرقام الثنائية والعشرية والثمانية والست عشرية حتى 16 10:

10 ثانية/ثانية	2 ثانية / ثانية	8 ثانية / ثانية	16 ثانية / ثانية
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	أ
11	1011	13	ب
12	1100	14	ج
13	1101	15	د
14	1110	16	ه
15	1111	17	F
16	10000	20	10

ومن المفيد معرفة كيفية الحصول على الأرقام في أنظمة الأرقام هذه. يمكنك تخمين ذلك بالنظام الثماني والست عشري والثلاثي وغيرها الأنظمة الموضعيةحساب الميتكل شيء يحدث بنفس طريقة النظام العشري الذي اعتدنا عليه:

تتم إضافة واحد إلى الرقم ويتم الحصول على رقم جديد. إذا أصبح مكان الآحاد مساوياً لأساس نظام الأرقام، فإننا نزيد عدد العشرات بمقدار 1، وهكذا.

هذا "الانتقال" هو ما يخيف معظم الطلاب. في الواقع، كل شيء بسيط للغاية. يحدث الانتقال إذا أصبح رقم الوحدات يساوي قاعدة الرقم، نزيد عدد العشرات بمقدار 1. يتذكر الكثيرون النظام العشري القديم الجيد، ويتم الخلط بينهم على الفور بشأن الأرقام في هذا الانتقال، لأن العشرية، على سبيل المثال، العشرات الثنائية هي أشياء مختلفة.

ومن ثم، يقوم الطلاب واسعو الحيلة بتطوير "أساليبهم الخاصة" (من المدهش... العمل) عند ملء، على سبيل المثال، جداول الحقيقة، حيث تكون الأعمدة الأولى (القيم المتغيرة) مليئة في الواقع بأرقام ثنائية بترتيب تصاعدي.

على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى إدخال الأرقام النظام الثماني: نضيف 1 إلى الرقم الأول (0)، نحصل على 1. ثم نضيف 1 إلى 1، نحصل على 2، إلخ. إلى 7. إذا أضفنا واحدًا إلى 7، نحصل على رقم يساوي أساس نظام الأرقام، أي. 8. فأنت بحاجة إلى زيادة رقم العشرات بمقدار واحد (نحصل على الرقم الثماني عشرة - 10). ومن الواضح أن التالي هو الأرقام 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 20، ...، 27، 30، ...، 77، 100، 101...

قواعد التحويل من نظام أرقام إلى آخر.

1 تحويل الأعداد الصحيحة العشرية إلى أي نظام أرقام آخر.

يجب تقسيم الرقم على قاعدة نظام الأرقام الجديدة. أول ما تبقى من القسمة هو أول رقم ثانوي من الرقم الجديد. إذا كان حاصل القسمة أقل من أو يساوي الأساس الجديد، فيجب قسمته (حاصل القسمة) مرة أخرى على الأساس الجديد. ويجب أن يستمر القسمة حتى نحصل على حاصل أقل من الأساس الجديد. هذا هو أعلى رقم في الرقم الجديد (عليك أن تتذكر أنه، على سبيل المثال، في النظام السداسي العشري، بعد 9 هناك أحرف، أي إذا كان الباقي 11، فأنت بحاجة إلى كتابته كـ B).

مثال ("القسمة على الزاوية"): لنحول الرقم 173 10 إلى النظام الثمانيالحساب

وبالتالي، 173 10 = 255 8

2 تحويل الكسور العشرية العادية إلى أي نظام أرقام آخر.

يجب ضرب الرقم بقاعدة نظام الأرقام الجديدة. الرقم الذي أصبح جزءًا صحيحًا هو أعلى رقم في الجزء الكسري للرقم الجديد. للحصول على الرقم التالي الجزء الكسرييجب ضرب المنتج الناتج مرة أخرى بقاعدة جديدة لنظام الأرقام حتى يحدث الانتقال إلى الجزء بأكمله. نستمر في الضرب حتى يساوي الجزء الكسري صفراً، أو حتى نصل إلى الدقة المحددة في المسألة ("... احسب بدقة منزلتين عشريتين مثلاً").

مثال: لنحول الرقم 0.65625 10 إلى نظام الأرقام الثماني.

اكتب العدد في نظام الأرقام الثنائية، وقوى العدد اثنين من اليمين إلى اليسار.على سبيل المثال، نريد تحويل الرقم الثنائي 10011011 2 إلى رقم عشري. دعونا نكتبها أولا. ثم نكتب قوى العدد اثنين من اليمين إلى اليسار. لنبدأ بـ 2 0، وهو ما يساوي "1". نقوم بزيادة الدرجة بمقدار درجة واحدة لكل رقم لاحق. نتوقف عندما يكون عدد العناصر في القائمة مساوياً لعدد الأرقام في الرقم الثنائي. يتكون رقم المثال لدينا، 10011011، من ثمانية أرقام، وبالتالي فإن القائمة المكونة من ثمانية عناصر ستبدو كما يلي: 128، 64، 32، 16، 8، 4، 2، 1

اكتب أرقام العدد الثنائي تحت القوى المقابلة لاثنين.الآن ببساطة اكتب 10011011 تحت الأرقام 128، 64، 32، 16، 8، 4، 2، و1، بحيث يكون كل منها رقم ثنائييتوافق مع قوتها اثنين. يجب أن يتوافق الرقم "1" الموجود في أقصى اليمين من العدد الثنائي مع الرقم "1" الموجود في أقصى اليمين من قوى العدد اثنين، وهكذا. إذا كنت تفضل ذلك، يمكنك كتابة الرقم الثنائي فوق قوى العدد اثنين. الشيء الأكثر أهمية هو أنهم يتناسبون مع بعضهم البعض.

مطابقة الأرقام في رقم ثنائي مع القوى المقابلة لاثنين.ارسم خطوطًا (من اليمين إلى اليسار) تربط كل رقم متتالي من الرقم الثنائي بقوة الرقمين فوقه. ابدأ برسم الخطوط من خلال ربط الرقم الأول من الرقم الثنائي بالقوة الأولى للرقم اثنين فوقه. ثم ارسم خطًا من الرقم الثاني من الرقم الثنائي إلى القوة الثانية للعدد اثنين. استمر في توصيل كل رقم بالقوة المقابلة لها وهي الرقم اثنين. سيساعدك هذا على رؤية العلاقة بين مجموعتين مختلفتين من الأرقام بشكل مرئي.

اكتبه القيمة النهائيةكل قوة اثنين.انتقل من خلال كل رقم من رقم ثنائي. إذا كان الرقم 1، فاكتب القوة المقابلة لاثنين تحت الرقم. إذا كان هذا الرقم 0، فاكتب 0 تحت الرقم.

• وبما أن "1" يطابق "1"، فإنه يبقى "1". وبما أن "2" يطابق "1"، فإنه يبقى "2". وبما أن "4" يقابل "0"، يصبح "0". بما أن "8" يطابق "1"، يصبح "8"، وبما أن "16" يطابق "1"، يصبح "16". "32" يطابق "0" ويصبح "0"، و"64" يطابق "0" وبالتالي يصبح "0"، بينما "128" يطابق "1" وبالتالي يصبح 128.

أضف القيم الناتجة.أضف الآن الأرقام الناتجة تحت السطر. إليك ما عليك فعله: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. هذا هو المعادل العشري للرقم الثنائي 10011011.

اكتب الإجابة مع الحرف السفلي، يساوي النظامالحسابالآن كل ما عليك فعله هو كتابة 155 10 لتوضيح أنك تتعامل مع إجابة عشرية، والتي تتعامل مع قوى العشرة. كلما قمت بتحويل الأرقام الثنائية إلى أعداد عشرية، أصبح من الأسهل عليك أن تتذكر قوى الرقم اثنين، وكلما تمكنت من إكمال المهمة بشكل أسرع.

يستخدم هذه الطريقةلتحويل رقم ثنائي بعلامة عشرية إلى شكل عشري.يمكنك استخدام هذه الطريقة حتى إذا كنت تريد تحويل رقم ثنائي مثل 1.1 2 إلى رقم عشري. كل ما تحتاج إلى معرفته هو أن الرقم الموجود على الجانب الأيسر من العلامة العشرية هو رقم عاديوالرقم الموجود على الجانب الأيمن من العلامة العشرية هو عدد "النصفين" أو 1 × (1/2).

• "1" على يسار الرقم العشري يتوافق مع 2 0، أو 1. 1 على يمين الرقم العشري يتوافق مع 2 -1، أو.5. أضف 1 و.5 وستحصل على 1.5، وهو المعادل العشري لـ 1.1 2.

يستخدم نظام الأرقام الثنائية رقمين فقط، 0 و1. وبعبارة أخرى، الرقم اثنان هو أساس نظام الأرقام الثنائية. (مشابه ل النظام العشريالقاعدة 10.)

لتعلم كيفية فهم الأرقام في نظام الأرقام الثنائية، فكر أولاً في كيفية تكوين الأرقام في نظام الأرقام العشري المألوف لدينا.

في نظام الأرقام العشري لدينا عشرة أرقام (من 0 إلى 9). عندما يصل العدد إلى 9، يتم إدخال رقم جديد (العشرات)، ويتم إعادة تعيين الأرقام إلى الصفر ويبدأ العد مرة أخرى. بعد الرقم 19، يزيد رقم العشرات بمقدار 1، ويتم إعادة تعيين الآحاد إلى الصفر مرة أخرى. وما إلى ذلك وهلم جرا. عندما تصل العشرات إلى 9، يظهر الرقم الثالث - المئات.

يشبه نظام الأرقام الثنائية نظام الأرقام العشري، فيما عدا أن رقمين فقط يشاركان في تكوين الرقم: 0 و1. وبمجرد وصول الرقم إلى الحد الأقصى (أي واحد)، يظهر رقم جديد، و تتم إعادة تعيين القديم إلى الصفر.

دعونا نحاول العد في النظام الثنائي:
0 هو صفر
1 هو واحد (وهذا هو حد التفريغ)
10 هو اثنان
11 يساوي ثلاثة (وهذا هو الحد مرة أخرى)
100 يساوي أربعة
101 - خمسة
110 - ستة
111 - سبعة، الخ.

تحويل الأرقام من الثنائي إلى العشري

ليس من الصعب ملاحظة أنه في نظام الأرقام الثنائية، تزداد أطوال الأرقام بسرعة مع زيادة القيم. كيفية تحديد ما يعنيه هذا: 10001001؟ غير معتاد على هذا النوع من كتابة الأرقام العقل البشريعادة لا أستطيع معرفة كم هو. سيكون من الجيد أن تكون قادرًا على تحويل الأرقام الثنائية إلى أرقام عشرية.

في نظام الأعداد العشرية، يمكن تمثيل أي رقم كمجموع وحدات، عشرات، مئات، إلخ. على سبيل المثال:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

انظر إلى هذا الإدخال بعناية. هنا الأرقام 1 و 4 و 7 و 6 هي مجموعة من الأرقام التي يتكون منها الرقم 1476. ويتم ضرب كل هذه الأرقام تباعا في عشرة مرفوعة بدرجة أو بأخرى. العشرة هي أساس نظام الأرقام العشري. الأس الذي يُرفع إليه الرقم عشرة هو رقم الرقم ناقص واحد.

يمكن توسيع أي رقم ثنائي بطريقة مماثلة. فقط القاعدة هنا ستكون 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

أولئك. الرقم 10001001 في الأساس 2 يساوي الرقم 137 في الأساس 10. يمكنك كتابته هكذا:

10001001 2 = 137 10

لماذا يعد نظام الأرقام الثنائية شائعًا جدًا؟

الحقيقة هي أن نظام الأرقام الثنائية هو لغة تكنولوجيا الكمبيوتر. يجب أن يتم تمثيل كل رقم بطريقة أو بأخرى على وسيط مادي. إذا كان هذا نظامًا عشريًا، فسيتعين عليك إنشاء جهاز يمكن أن يحتوي على عشر حالات. انه لامر معقد. من الأسهل إنتاج عنصر مادي يمكن أن يكون في حالتين فقط (على سبيل المثال، يوجد تيار أو لا يوجد تيار). وهذا هو أحد الأسباب الرئيسية وراء إيلاء الكثير من الاهتمام لنظام الأرقام الثنائية.

تحويل الرقم العشري إلى ثنائي

قد تحتاج إلى ترجمة عدد عشريإلى ثنائي. إحدى الطرق هي القسمة على اثنين وتكوين رقم ثنائي من الباقي. على سبيل المثال، تحتاج إلى الحصول على تدوينه الثنائي من الرقم 77.

أولئك الذين يتقدمون لامتحان الدولة الموحدة والمزيد...

ومن الغريب أنه في دروس علوم الكمبيوتر في المدارس عادة ما يوضحون للطلاب الطريقة الأكثر تعقيدًا وإزعاجًا لتحويل الأرقام من نظام إلى آخر. تتكون هذه الطريقة من تقسيم الرقم الأصلي على الأساس بالتسلسل وجمع الباقي من عملية القسمة ترتيب عكسي.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تحويل الرقم 810 10 إلى رقم ثنائي:

نكتب النتيجة بترتيب عكسي من الأسفل إلى الأعلى. اتضح 81010 = 11001010102

إذا كنت بحاجة إلى التحويل إلى النظام الثنائي، تمامًا أعداد كبيرة، ثم يأخذ سلم التقسيم حجم مبنى متعدد الطوابق. وكيف يمكنك جمع كل الآحاد والأصفار وعدم تفويت أي منها؟

يتضمن برنامج امتحان الدولة الموحدة في علوم الكمبيوتر عدة مهام تتعلق بتحويل الأرقام من نظام إلى آخر. عادةً ما يكون هذا تحويلًا بين الأنظمة الثمانية والست عشرية والثنائية. هذه هي الأقسام A1، B11. ولكن هناك أيضًا مشكلات في أنظمة الأعداد الأخرى، كما هو الحال في القسم B7.

في البداية، دعونا نتذكر جدولين سيكون من الجيد حفظهما عن ظهر قلب لأولئك الذين يختارون علوم الكمبيوتر كمهنة مستقبلية لهم.

جدول الصلاحيات رقم 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

ويمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق ضرب الرقم السابق في 2. لذا، إذا كنت لا تتذكر كل هذه الأرقام، فليس من الصعب الحصول على الباقي في ذهنك من تلك التي تتذكرها.

جدول الأرقام الثنائية من 0 إلى 15 مع تمثيل سداسي عشري:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	أ	ب	ج	د	ه	F

من السهل أيضًا حساب القيم المفقودة عن طريق إضافة 1 إلى القيم المعروفة.

تحويل عدد صحيح

لذلك، دعونا نبدأ بالتحويل مباشرة إلى النظام الثنائي. لنأخذ نفس الرقم 810 10. علينا تحليل هذا العدد إلى حدود تساوي قوى العدد اثنين.

1. نحن نبحث عن قوة اثنين الأقرب إلى 810 ولا تتجاوزها. هذا هو 2 9 = 512.
2. اطرح 512 من 810 نحصل على 298.
3. كرر الخطوتين 1 و2 حتى لا يتبقى أي رقم 1 أو 0.
4. لقد حصلنا عليها هكذا: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

ثم هناك طريقتان، يمكنك استخدام أي منهما. كم هو سهل أن نرى أن قاعدته في أي نظام أرقام هي دائمًا 10. وسيكون مربع القاعدة دائمًا 100، والمكعب 1000. أي أن درجة قاعدة نظام الأرقام هي 1 (واحد)، و هناك العديد من الأصفار خلفها مثل الدرجة.

طريقة 1: ترتيب 1 حسب مراتب مؤشرات المصطلحات. في مثالنا، هذه هي 9 و8 و5 و3 و1. وستحتوي الأماكن المتبقية على أصفار. لذلك، حصلنا على التمثيل الثنائي للرقم 810 10 = 1100101010 2. يتم وضع الوحدات في المراكز التاسع والثامن والخامس والثالث والأول، ويتم العد من اليمين إلى اليسار من الصفر.

الطريقة 2: لنكتب الحدود كقوى لاثنين تحت بعضها البعض، بدءًا بالأكبر.

810 =

الآن دعونا نضيف هذه الخطوات معًا، مثل طي المروحة: 1100101010.

هذا كل شئ. في الوقت نفسه، تم أيضًا حل مشكلة "كم عدد الوحدات الموجودة في التدوين الثنائي للرقم 810؟"

الجواب على قدر وجود مصطلحات (قوى اثنين) في هذا التمثيل. 810 لديه 5 منهم.

الآن المثال أبسط.

دعونا نحول الرقم 63 إلى نظام الأعداد الخماسي. أقرب قوة من 5 إلى 63 هي 25 (المربع 5). المكعب (125) سيكون كثيرًا بالفعل. أي أن 63 يقع بين مربع 5 والمكعب. ثم سنختار المعامل لـ 5 2. هذا هو 2.

نحصل على 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

وأخيرًا، ترجمات سهلة جدًا بين الأنظمة 8 والأنظمة السداسية العشرية. وبما أن قاعدتها هي قوة اثنين، فإن الترجمة تتم تلقائيًا، وذلك ببساطة عن طريق استبدال الأرقام بتمثيلها الثنائي. بالنسبة للنظام الثماني، يتم استبدال كل رقم بثلاثة أرقام ثنائية، وبالنسبة للنظام السداسي العشري، يتم استبدال أربعة. في هذه الحالة، جميع الأصفار البادئة مطلوبة، باستثناء الرقم الأكثر أهمية.

دعونا نحول الرقم 547 8 إلى ثنائي.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

واحد آخر، على سبيل المثال 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	د	6	أ

لنحول الرقم 7368 إلى النظام السداسي العشري أولًا، نكتب الأرقام بثلاثة توائم، ثم نقسمها إلى رباعيات من النهاية: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. دعونا نحول الرقم C25 16 إلى النظام الثماني. أولا نكتب الأرقام رباعية ثم نقسمها إلى ثلاثات من النهاية: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. الآن دعونا نلقي نظرة على التحويل مرة أخرى إلى النظام العشري. ليس من الصعب، والشيء الرئيسي هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. نقوم بتوسيع الرقم إلى كثيرة الحدود مع قوى الأساس ومعاملاتها. ثم نضرب ونضيف كل شيء. ه68 16 = 14*16 2 + 6*16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

تحويل الأرقام السالبة

هنا عليك أن تأخذ في الاعتبار أنه سيتم تقديم الرقم فيه رمز إضافي. لتحويل رقم إلى رمز إضافي، تحتاج إلى معرفة الحجم النهائي للرقم، أي ما نريد أن يتناسب معه - بايت، بايتين، أربعة. الرقم الأكثر أهمية في الرقم يعني العلامة. إذا كان هناك 0، فإن الرقم موجب، وإذا كان 1، فهو سلبي. على اليسار، يتم استكمال الرقم برقم الإشارة. نحن لا نعتبر الأرقام غير الموقعة؛ فهي دائمًا موجبة، ويتم استخدام الجزء الأكثر أهمية فيها كمعلومات.

لتحويل رقم سالب إلى رمز مكمل للثنائي، تحتاج إلى التحويل رقم موجب، عدد إيجابيفي النظام الثنائي، ثم قم بتغيير الأصفار إلى الآحاد والواحد إلى الأصفار. ثم أضف 1 إلى النتيجة.

لذلك، دعونا نحول الرقم -79 إلى النظام الثنائي. الرقم سوف يأخذنا بايت واحد.

نحول 79 إلى النظام الثنائي، 79 = 1001111. نضيف أصفارًا على اليسار إلى حجم البايت، 8 بتات، نحصل على 01001111. نغير 1 إلى 0 و0 إلى 1. نحصل على 10110000. نضيف 1 إلى والنتيجة نحصل على الجواب 10110001. على طول الطريق، نجيب على سؤال امتحان الدولة الموحدة "كم عدد الوحدات الموجودة فيه؟ التمثيل الثنائيالأرقام -79؟" الجواب هو 4.

تؤدي إضافة 1 إلى معكوس الرقم إلى إزالة الفرق بين التمثيلين +0 = 00000000 و -0 = 11111111. في الكود المكمل لشخصين، سيتم كتابتهما بنفس الطريقة 00000000.

تحويل الأعداد الكسرية

يتم تحويل الأعداد الكسرية بالطريقة العكسية لقسمة الأعداد الصحيحة على الأساس، وهو ما نظرنا إليه في البداية. أي استخدام الضرب المتسلسل بأساس جديد مع جمع الأجزاء الكاملة. يتم جمع الأجزاء الصحيحة التي تم الحصول عليها أثناء الضرب، ولكن لا تشارك في العمليات التالية. يتم ضرب الكسور فقط. إذا كان الرقم الأصلي أكبر من 1، فسيتم ترجمة الأجزاء الصحيحة والكسرية بشكل منفصل ثم لصقها معًا.

دعونا نحول الرقم 0.6752 إلى النظام الثنائي.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

ويمكن أن تستمر العملية لفترة طويلة حتى نحصل على جميع الأصفار في الجزء الكسري أو يتم تحقيق الدقة المطلوبة. دعونا نتوقف عند العلامة السادسة في الوقت الحالي.

اتضح 0.6752 = 0.101011.

إذا كان الرقم 5.6752، إذن الثنائيةسيكون 101.101011.

ملاحظة 1

إذا كنت ترغب في تحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر، فمن الملائم أكثر تحويله أولاً إلى نظام الأرقام العشري، وبعد ذلك فقط تحويله من نظام الأرقام العشري إلى أي نظام أرقام آخر.

قواعد تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام عشري

في تكنولوجيا الكمبيوترباستخدام الحساب الآلي، يلعب تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر دورًا مهمًا. أدناه نقدم القواعد الأساسية لمثل هذه التحولات (الترجمات).

عند تحويل رقم ثنائي إلى رقم عشري، يلزم تمثيل الرقم الثنائي باعتباره متعدد الحدود، حيث يتم تمثيل كل عنصر منه على أنه حاصل ضرب رقم من الرقم والقوة المقابلة للرقم الأساسي، في في هذه الحالة$2$، ثم تحتاج إلى حساب كثير الحدود باستخدام قواعد الحساب العشري:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

الشكل 1. الجدول 1

مثال 1

تحويل الرقم $11110101_2$ إلى نظام الأرقام العشري.

حل.باستخدام الجدول المعطى لقوى $1$ للأساس $2$، فإننا نمثل الرقم باعتباره متعدد الحدود:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثماني إلى نظام الأرقام العشرية، تحتاج إلى تمثيله على أنه متعدد الحدود، حيث يتم تمثيل كل عنصر منه على أنه حاصل ضرب رقم من الرقم والقوة المقابلة للرقم الأساسي، في هذا الحالة $8$، ثم تحتاج إلى حساب كثير الحدود وفقًا لقواعد الحساب العشري:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

الشكل 2. الجدول 2

مثال 2

تحويل الرقم $75013_8$ إلى نظام الأرقام العشرية.

حل.باستخدام الجدول الموضح لقوى $2$ للأساس $8$، فإننا نمثل الرقم باعتباره متعدد الحدود:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

لتحويل رقم من النظام السداسي العشري إلى النظام العشري، تحتاج إلى تمثيله على أنه متعدد الحدود، حيث يتم تمثيل كل عنصر منه على أنه حاصل ضرب رقم من الرقم والقوة المقابلة للرقم الأساسي، في هذه الحالة $16$، ثم تحتاج إلى حساب كثير الحدود وفقًا لقواعد الحساب العشري:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

الشكل 3. الجدول 3

مثال 3

تحويل الرقم $FFA2_(16)$ إلى نظام الأرقام العشرية.

حل.باستخدام الجدول الموضح لقوى $3$ للأساس $8$، فإننا نمثل الرقم باعتباره متعدد الحدود:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قواعد تحويل الأرقام من نظام الأرقام العشرية إلى نظام آخر

• لتحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي، يجب قسمته بالتسلسل على $2$ حتى يتبقى أقل من أو يساوي $1$. يتم تمثيل الرقم في النظام الثنائي كتسلسل للنتيجة الأخيرة للقسمة وبقية القسمة بترتيب عكسي.

مثال 4

تحويل الرقم $22_(10)$ إلى نظام الأرقام الثنائية.

حل:

الشكل 4.

$22_{10} = 10110_2$

• لتحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثماني، يجب قسمته بالتسلسل على $8$ حتى يتبقى أقل من أو يساوي $7$. يتم تمثيل الرقم في نظام الأرقام الثماني كسلسلة من أرقام نتيجة القسمة الأخيرة وبقية القسمة بترتيب عكسي.

مثال 5

قم بتحويل الرقم $571_(10)$ إلى نظام الأرقام الثماني.

حل:

الشكل 5.

$571_{10} = 1073_8$

• لتحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام سداسي عشرييجب أن يتم تقسيمها على التوالي على 16$ حتى يتبقى أقل من أو يساوي 15$. يتم تمثيل الرقم في النظام السداسي العشري كسلسلة من أرقام نتيجة القسمة الأخيرة وباقي القسمة بترتيب عكسي.

مثال 6

تحويل الرقم $7467_(10)$ إلى نظام الأرقام الست عشري.

حل:

الشكل 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

من أجل تحويل كسر مناسب من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام غير عشري، من الضروري مضاعفة الجزء الكسري من الرقم الذي يتم تحويله بالتسلسل بقاعدة النظام الذي يحتاج إلى التحويل إليه. الكسر في نظام جديدسيتم تقديمه في شكل أجزاء كاملة من الأعمال، بدءًا من الجزء الأول.

على سبيل المثال: $0.3125_((10))$ في نظام الأرقام الثماني سيبدو مثل $0.24_((8))$.

في هذه الحالة، قد تواجه مشكلة عند الانتهاء عدد عشريقد تتوافق مع كسر لا نهائي (دوري) في نظام الأرقام غير العشري. وفي هذه الحالة فإن عدد أرقام الكسر الممثل في النظام الجديد سيعتمد على الدقة المطلوبة. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الأعداد الصحيحة تظل أعدادًا صحيحة، والكسور الصحيحة تظل كسورًا في أي نظام أرقام.

قواعد تحويل الأرقام من نظام الأرقام الثنائية إلى آخر

• لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم ثماني، يجب تقسيمه إلى ثلاثيات (ثلاثية أرقام)، بدءًا من الرقم الأقل أهمية، وإذا لزم الأمر، إضافة أصفار إلى الثالوث البادئ، ثم استبدال كل ثلاثية بالرقم الثماني المقابل وفقا للجدول 4.

الشكل 7. الجدول 4

مثال 7

تحويل الرقم $1001011_2$ إلى نظام الأرقام الثماني.

حل. باستخدام الجدول 4، نقوم بتحويل الرقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم ثماني:

$001 001 011_2 = 113_8$

• لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى رقم سداسي عشري، يجب تقسيمه إلى رباعيات (أربعة أرقام)، بدءًا من الرقم الأقل أهمية، وإذا لزم الأمر، إضافة أصفار إلى الرباعيات الأكثر أهمية، ثم استبدال كل رباعية بالرقم الثماني المقابل وفقا للجدول 4.