لقد تم استلام النتيجة بالفعل!

أنظمة الأرقام

هناك أنظمة أرقام موضعية وغير موضعية. نظام الأرقام العربي الذي نستخدمه الحياة اليومية، هو موضعي، ولكن الروماني ليس كذلك. في الأنظمة الموضعيةفي التدوين، يحدد موضع الرقم حجم الرقم بشكل فريد. دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال الرقم 6372 في نظام الأرقام العشري. لنرقم هذا الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:

ومن ثم يمكن تمثيل الرقم 6372 على النحو التالي:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

يحدد الرقم 10 نظام الأرقام (في في هذه الحالةهذا هو 10). يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.

خذ بعين الاعتبار الرقم العشري الحقيقي 1287.923. لنرقمه بدءًا من موضع الرقم الصفر من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:

ومن ثم يمكن تمثيل الرقم 1287.923 على النحو التالي:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

بشكل عام، يمكن تمثيل الصيغة على النحو التالي:

ج ن سن +ج ن-1 · سن-1+...+ج1 · س 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

حيث C n هو عدد صحيح في الموضع ن، D -k - الرقم الكسري في الموضع (-k)، س- نظام رقم.

بضع كلمات عن أنظمة الأرقام يتكون الرقم في نظام الأرقام العشري من العديد من الأرقام (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، في نظام الأرقام الثماني يتكون من العديد من الأرقام. (0,1, 2,3,4,5,6,7)، في نظام الأرقام الثنائية - من مجموعة أرقام (0,1)، في نظام الأرقام السداسية العشرية - من مجموعة أرقام (0,1 ،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، حيث A،B،C،D،E،F تتوافق مع الأرقام 10،11، 12،13،14،15 في الجدول Tab.1 يتم عرض الأرقام في أنظمة مختلفةالحساب

الجدول 1
الرموز
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	أ
11	1011	13	ب
12	1100	14	ج
13	1101	15	د
14	1110	16	ه
15	1111	17	F

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر، أسهل طريقة هي تحويل الرقم أولاً إلى النظام العشرينظام الأرقام، ثم قم بالتحويل من نظام الأرقام العشري إلى نظام الأرقام المطلوب.

تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري

باستخدام الصيغة (1)، يمكنك تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري.

مثال 1. تحويل الرقم 1011101.001 من النظام الثنائيالتدوين (SS) إلى العلامة العشرية SS. حل:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4+ 1 ·2 3+ 1 ·2 2+ 0 ·2 1+ 1 ·2 0+ 0 ·2 -1+ 0 ·2 -2+ 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال2. تحويل الرقم 1011101.001 من نظام الأرقام الثماني (SS) إلى النظام العشري SS. حل:

مثال 3 . تحويل رقم AB572.CDF من نظام سداسي عشريالتدوين في العلامة العشرية SS. حل:

هنا أ- تم استبداله بـ 10، ب- في 11، ج- في 12، F- بحلول 15.

تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، تحتاج إلى تحويل الجزء بأكمله من الرقم بشكل منفصل و الجزء الكسريأعداد.

يتم تحويل الجزء الصحيح من الرقم من نظام SS العشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق تقسيم الجزء الصحيح من الرقم بالتسلسل على أساس نظام الأرقام (لـ SS الثنائي - على 2، لـ SS 8-ary - على 8، لـ 16 -ary SS - بمقدار 16، وما إلى ذلك) حتى يتم الحصول على بقايا كاملة، أقل من CC الأساسي.

مثال 4 . لنقم بتحويل الرقم 159 من SS العشري إلى SS الثنائي:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

كما يظهر في الشكل. 1، الرقم 159 عند القسمة على 2 يعطي الناتج 79 والباقي 1. علاوة على ذلك، الرقم 79 عند القسمة على 2 يعطي الناتج 39 والباقي 1، إلخ. نتيجة لذلك، عند إنشاء رقم من بقايا القسمة (من اليمين إلى اليسار)، نحصل على رقم في SS الثنائي: 10011111 . ولذلك يمكننا أن نكتب:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 . لنقم بتحويل الرقم 615 من SS العشري إلى SS الثماني.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

عند تحويل رقم من SS عشري إلى SS ثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم تباعًا على 8 حتى تحصل على الباقي كلهأقل من 8. ونتيجة لذلك، عند بناء رقم من بقايا القسمة (من اليمين إلى اليسار) نحصل على رقم في SS الثماني: 1147 (انظر الشكل 2). ولذلك يمكننا أن نكتب:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 . لنقم بتحويل الرقم 19673 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

كما يتبين من الشكل 3، من خلال قسمة الرقم 19673 على 16 على التوالي، يكون الباقي هو 4، 12، 13، 9. في نظام الأرقام السداسي العشري، الرقم 12 يتوافق مع C، والرقم 13 - D. لذلك، لدينا رقم سداسي عشري- هذا 4CD9.

لتحويل الكسور العشرية المناسبة ( عدد حقيقيمن الصفر الجزء الكامل) في نظام الأرقام مع قاعدة s أمر ضروري رقم معيناضرب على التوالي بـ s حتى ينتج الجزء الكسري الصفر النقيأو لن نحصل على العدد المطلوب من الأرقام. إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ هذا الجزء الصحيح في الاعتبار (يتم تضمينه في النتيجة بالتسلسل).

دعونا نلقي نظرة على ما سبق مع الأمثلة.

مثال 7 . دعونا نحول الرقم 0.214 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي.

		0.214
	س	2
0		0.428
	س	2
0		0.856
	س	2
1		0.712
	س	2
1		0.424
	س	2
0		0.848
	س	2
1		0.696
	س	2
1		0.392

كما يتبين من الشكل 4، يتم ضرب الرقم 0.214 بالتتابع في 2. إذا كانت نتيجة الضرب رقمًا به جزء صحيح غير الصفر، فسيتم كتابة الجزء الصحيح بشكل منفصل (على يسار الرقم)، ويتم كتابة الرقم بجزء صحيح صفر. إذا نتج عن الضرب رقم جزءه صحيح صفر، فيكتب صفر على يساره. وتستمر عملية الضرب حتى يصل الجزء الكسري إلى الصفر الخالص أو نحصل على العدد المطلوب من الأرقام. وبكتابة الأرقام بالخط العريض (الشكل 4) من الأعلى إلى الأسفل نحصل على الرقم المطلوب في نظام الأرقام الثنائية: 0. 0011011 .

ولذلك يمكننا أن نكتب:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 . لنقم بتحويل الرقم 0.125 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي.

		0.125
	س	2
0		0.25
	س	2
0		0.5
	س	2
1		0.0

ولتحويل الرقم 0.125 من الرقم العشري SS إلى الثنائي يتم ضرب هذا الرقم بالتسلسل في 2. وفي المرحلة الثالثة تكون النتيجة 0، وبالتالي يتم الحصول على النتيجة التالية:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 . لنقم بتحويل الرقم 0.214 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري.

		0.214
	س	16
3		0.424
	س	16
6		0.784
	س	16
12		0.544
	س	16
8		0.704
	س	16
11		0.264
	س	16
4		0.224

باتباع المثالين 4 و5، نحصل على الأرقام 3، 6، 12، 8، 11، 4. لكن في نظام SS السداسي العشري، يتوافق الرقمان 12 و11 مع الرقمين C وB. لذلك، لدينا:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

مثال 10 . لنقم بتحويل الرقم 0.512 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثماني.

		0.512
	س	8
4		0.096
	س	8
0		0.768
	س	8
6		0.144
	س	8
1		0.152
	س	8
1		0.216
	س	8
1		0.728

يملك:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 . لنقم بتحويل الرقم 159.125 من نظام الأرقام العشري إلى SS الثنائي. للقيام بذلك، نترجم بشكل منفصل الجزء الصحيح من الرقم (المثال 4) والجزء الكسري من الرقم (المثال 8). مزيد من الجمع بين هذه النتائج نحصل على:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 . لنقم بتحويل الرقم 19673.214 من نظام الأرقام العشري إلى نظام SS الست عشري. للقيام بذلك، نترجم بشكل منفصل الجزء الصحيح من الرقم (المثال 6) والجزء الكسري من الرقم (المثال 9). وعلاوة على ذلك، والجمع بين هذه النتائج التي نحصل عليها.

الغرض من الخدمة. تم تصميم الخدمة لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر وضع على شبكة الإنترنت. للقيام بذلك، حدد قاعدة النظام الذي تريد تحويل الرقم منه. يمكنك إدخال كل من الأعداد الصحيحة والأرقام بفواصل.

رقم

التحويل من نظام الأرقام 10 2 8 16. تحويل إلى نظام الأرقام 2 10 8 16.
ل أرقام كسريةاستخدم 2 3 4 5 6 7 8 منازل عشرية.

يمكنك إدخال كلا من الأرقام الصحيحة، على سبيل المثال 34، والأرقام الكسرية، على سبيل المثال، 637.333. بالنسبة للأرقام الكسرية، تتم الإشارة إلى دقة الترجمة بعد العلامة العشرية.

يتم استخدام ما يلي أيضًا مع هذه الآلة الحاسبة:

طرق تمثيل الأرقام

الثنائية الأرقام (الثنائية) - كل رقم يعني قيمة بتة واحدة (0 أو 1)، ويتم دائمًا كتابة البت الأكثر أهمية على اليسار، ويتم وضع الحرف "b" بعد الرقم. لسهولة الإدراك، يمكن فصل دفاتر الملاحظات بمسافات. على سبيل المثال، 1010 0101 ب.
السداسي عشري أرقام (ست عشرية) - يتم تمثيل كل رباعي برمز واحد 0...9، A، B، ...، F. يمكن تحديد هذا التمثيل بطرق مختلفة هنا فقط يتم استخدام الرمز "h" بعد الرقم الست عشري الأخير رقم. على سبيل المثال، A5h. في نصوص البرامج، يمكن تعيين نفس الرقم إما 0xA5 أو 0A5h، اعتمادًا على بناء جملة لغة البرمجة. تتم إضافة صفر بادئ (0) إلى يسار الرقم السداسي العشري الأكثر أهمية الذي يمثله الحرف للتمييز بين الأرقام والأسماء الرمزية.
عدد عشري الأرقام (العشرية) - يتم تمثيل كل بايت (كلمة، كلمة مزدوجة). رقم عادي، وعادةً ما يتم حذف علامة التمثيل العشري (الحرف "d"). البايت في الأمثلة السابقة له قيمة عشرية تبلغ 165. على عكس التدوين الثنائي والست عشري، من الصعب تحديد قيمة كل بت عقليًا، وهو أمر ضروري في بعض الأحيان.
ثماني الأرقام (الثمانية) - تتم كتابة كل ثلاثية من البتات (يبدأ القسم من الأقل أهمية) كرقم من 0 إلى 7، مع وجود "o" في النهاية. سيتم كتابة نفس الرقم كـ 245o. النظام الثماني غير مريح لأنه لا يمكن تقسيم البايت بالتساوي.

خوارزمية لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

ترجمة الأعداد الصحيحة أرقام عشريةإلى أي نظام أرقام آخر يتم عن طريق قسمة الرقم على القاعدة نظام جديدالترقيم حتى يبقى الباقي رقمًا أصغر من قاعدة نظام الأرقام الجديد. تتم كتابة العدد الجديد على شكل باقي القسمة، بدءًا من الرقم الأخير.
يتم تحويل الكسر العشري الصحيح إلى PSS آخر عن طريق ضرب الجزء الكسري فقط من الرقم بقاعدة نظام الأرقام الجديد حتى تبقى جميع الأصفار في الجزء الكسري أو حتى تصل إلى الدقة المحددةترجمة. نتيجة لكل عملية ضرب، يتكون رقم واحد من الرقم الجديد، بدءاً بالرقم الأعلى.
تتم ترجمة الكسور غير الصحيحة وفقًا للقاعدتين 1 و 2. تتم كتابة الأجزاء الصحيحة والكسرية معًا، مفصولة بفاصلة.

المثال رقم 1.



التحويل من 2 إلى 8 إلى نظام 16 رقم.
هذه الأنظمة هي مضاعفات الرقم اثنين، وبالتالي تتم الترجمة باستخدام جدول المراسلات (انظر أدناه).

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى نظام ثماني (سداسي عشري)، تحتاج إلى تقسيم العلامة العشرية إلى اليمين واليسار عدد ثنائيإلى مجموعات مكونة من ثلاثة أرقام (أربعة أرقام ست عشرية)، مع استكمال المجموعات الخارجية بالأصفار إذا لزم الأمر. يتم استبدال كل مجموعة بالرقم الثماني أو السداسي العشري المقابل.

المثال رقم 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
هنا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

عند التحويل إلى النظام السداسي العشري، يجب عليك تقسيم الرقم إلى أجزاء من أربعة أرقام، مع اتباع نفس القواعد.
المثال رقم 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 سداسي عشري
هنا 0010=2; 1011=ب; 1010=12; 1011=13

تحويل الأرقام من 2 و 8 و 16 إلى النظام العشري يتم عن طريق تقسيم الرقم إلى أرقام فردية وضربه في أساس النظام (الذي يُترجم منه الرقم) مرفوعاً للأس المقابل له رقم سريفي العدد المترجم. في هذه الحالة، يتم ترقيم الأرقام على يسار العلامة العشرية (الرقم الأول مرقم 0) بترتيب متزايد، وفي الجانب الأيمنمع التناقص (أي مع إشارة سلبية). تتم إضافة النتائج التي تم الحصول عليها.

المثال رقم 4.
مثال على التحويل من نظام الأرقام الثنائي إلى النظام العشري.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 مثال للتحويل من نظام الأرقام الثماني إلى النظام العشري. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثال للتحويل من نظام الأرقام السداسي العشري إلى النظام العشري. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

نكرر مرة أخرى خوارزمية تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى PSS آخر

1. من نظام الأرقام العشرية:
   • قسمة الرقم على قاعدة نظام الأرقام الجاري ترجمته؛
   • العثور على الباقي عند قسمة جزء صحيح من الرقم؛
   • اكتب كل ما تبقى من القسمة بترتيب عكسي؛
2. من نظام الأرقام الثنائية
   • للتحويل إلى نظام الأرقام العشرية، من الضروري إيجاد مجموع منتجات الأساس 2 حسب درجة الرقم المقابلة؛
   • لتحويل رقم إلى رقم ثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى ثلاثيات.
     على سبيل المثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • لتحويل رقم من ثنائي إلى سداسي عشري، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى مجموعات مكونة من 4 أرقام.
     على سبيل المثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16

يسمى النظام الموضعي، والتي تعتمد أهمية الرقم أو وزنه على موقعه في الرقم. يتم التعبير عن العلاقة بين الأنظمة في الجدول.
جدول مراسلات نظام الأرقام:

ثنائي SS	سداسي عشري SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	أ
1011	ب
1100	ج
1101	د
1110	ه
1111	F

جدول التحويل الى النظام الثمانيحساب الميت

لتمثيل الأرقام في المعالجات الدقيقة يتم استخدامه نظام الأرقام الثنائية.
علاوة على ذلك، أي الإشارات الرقميةيمكن أن يكون لها حالتين مستقرتين: " مستوى عال" و " مستوى منخفض" في نظام الأرقام الثنائية، يتم تمثيل أي رقم برقمين، على التوالي: 0 و 1. عدد التعسفي x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -mسيتم كتابتها في نظام الأرقام الثنائية كما

x = أ n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+أ 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -م ·2 -م

أين أ — أرقام ثنائية(0 أو 1).

نظام الأرقام الثماني

في نظام الأرقام الثماني، الأرقام الأساسية هي الأرقام من 0 إلى 7. يتم دمج 8 أرقام منخفضة الترتيب في رقم عالي الترتيب.

نظام الأرقام السداسي العشري

في نظام الأرقام السداسي العشري، الأرقام الأساسية هي الأرقام من 0 إلى 15. لتعيين أرقام أساسية أكبر من 9 برمز واحد، بالإضافة إلى الأرقام العربية 0...9 في نظام الأرقام السداسي العشري، يتم استخدام حروف الأبجدية اللاتينية:

10 10 = أ 16 12 10 = ج 16 14 10 = ه 16
11 10 = ب 16 13 10 = د 16 15 10 = ف 16.

على سبيل المثال، سيتم كتابة الرقم 175 10 في نظام الأرقام السداسي العشري بالصيغة AF 16. حقًا،

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

يعرض الجدول الأرقام من 0 إلى 16 في أنظمة الأرقام العشرية والثنائية والثمانية والست عشرية.

عدد عشري	الثنائية	ثماني	السداسي عشري
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	أ
11	1011	13	ب
12	1100	14	ج
13	1101	15	د
14	1110	16	ه
15	1111	17	F
16	10000	20	10

التحويلات الثنائية الثمانية والثنائية السداسية العشرية

يعد نظام الأرقام الثنائية مناسبًا لإجراء العمليات الحسابية باستخدام أجهزة المعالجات الدقيقة، ولكنه غير مناسب للإدراك البشري لأنه يتطلب كمية كبيرةالتصريفات. لذلك في تكنولوجيا الكمبيوتربالإضافة إلى نظام الأرقام الثنائية، يتم استخدام أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية على نطاق واسع لتمثيل الأرقام بشكل أكثر إحكاما.

ثلاثة أرقام من نظام الأرقام الثماني تنفذ كل شيء مجموعات ممكنةالأرقام الثمانية في نظام الأرقام الثنائية: من 0 (000) إلى 7 (111). لتحويل رقم ثنائي إلى رقم ثماني، تحتاج إلى دمج الأرقام الثنائية في مجموعات مكونة من 3 أرقام (ثلاثيات) في اتجاهين، بدءًا من الفاصل العشري. إذا لزم الأمر، تحتاج إلى إضافة أصفار ضئيلة إلى يسار الرقم الأصلي. إذا كان الرقم يحتوي على جزء كسري، فيمكنك أيضًا إضافة أصفار ضئيلة إلى يمينه حتى يتم ملء جميع الثلاثيات. ثم يتم استبدال كل ثالوث برقم ثماني.

مثال: تحويل الرقم 1101110.01 2 إلى نظام الأرقام الثماني.

نقوم بدمج الأرقام الثنائية في ثلاثية من اليمين إلى اليسار. نحن نحصل

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

لتحويل رقم من رقم ثماني إلى ثنائي، تحتاج إلى كتابة كل رقم ثماني في الكود الثنائي:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

تقوم الأرقام الأربعة لنظام الأرقام السداسية العشرية بتنفيذ جميع المجموعات الممكنة من الأرقام السداسية العشرية في نظام الأرقام الثنائية: من 0 (0000) إلى F(1111). لتحويل رقم ثنائي إلى رقم سداسي عشري، تحتاج إلى دمج الأرقام الثنائية في مجموعات مكونة من 4 أرقام (رباعيات) في اتجاهين، بدءًا من الفاصل العشري. إذا لزم الأمر، تحتاج إلى إضافة أصفار ضئيلة إلى يسار الرقم الأصلي. إذا كان الرقم يحتوي على جزء كسري، فأنت بحاجة أيضًا إلى إضافة أصفار ضئيلة إلى يمينه حتى يتم ملء جميع دفاتر الملاحظات. يتم بعد ذلك استبدال كل رباعي برقم سداسي عشري.

مثال: تحويل الرقم 1101110.11 2 إلى نظام الأرقام الست عشري.

نقوم بدمج الأرقام الثنائية في رباعيات من اليمين إلى اليسار. نحن نحصل

0110 1110.1100 2 = 6E,C 16 .

لتحويل رقم من رقم سداسي عشري إلى ثنائي، تحتاج إلى كل منهما رقم سداسي عشرياكتبه في الكود الثنائي.