تعرفت في الدروس السابقة على قواعد إيجاد مشتقة الدالة، وتعرفت على استخدام المشتق لدراسة الدالة في الرتابة والأقصى؛ تعلمت كيفية العثور على الظل للرسم البياني للدالة.

دعونا نتذكر قواعد حساب المشتقات:

مشتقة أي عدد تساوي صفر.

مشتق x يساوي واحدًا.

مشتق ka x plus em يساوي ka.

مشتق واحد على x يساوي سالب واحد على x تربيع.

مشتقة الجذر x تساوي واحدًا مقسومًا على اثنين x الجذر.

مشتق جيب التمام x يساوي جيب التمام x.

مشتق جيب التمام x يساوي ناقص جيب x.

مشتق x للأس en يساوي en في x للأس en ناقص واحد.

في بعض الأحيان يتعين عليك حل المسائل العكسية، على سبيل المثال، لاستعادة قانون الحركة من سرعة معروفة.

في الرياضيات، من المعتاد تعيين أسماء خاصة للعمليات العكسية المتبادلة.

على سبيل المثال، عملية معكوس الضرب، هو الانقسام.

عملية استخراج الجذر التربيعيهو عكس التربيع.

تسمى عملية إيجاد مشتقة دالة معينة بالتمايز، والعملية العكسية تسمى التكامل (عملية إيجاد دالة من مشتقة معينة).

أي أن الدالة التي تعمل كنوع من السلف لمشتقة دالة معينة تسمى عادةً مشتقًا عكسيًا.

التعريف: الدالة ygr تساوي ef كبير من x تسمى المشتق العكسي للدالة ygr يساوي ef صغير من x في فاصل زمني محدد x كبير إذا كان لأي x ينتمي هذه الفترة، المساواة راضية:

لا يُشار عادةً إلى الفاصل الزمني الذي تنتمي إليه x، ولكنه ضمني.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

1. الدالة ygr، التي تساوي x تربيع، هي مشتق عكسي للدالة ygr، تساوي اثنين x، لأن أي x تكون المساواة صحيحة: مشتق x تربيع يساوي اثنين x.

2. الدالة ygr، التي تساوي x المكعب، هي مشتق عكسي للدالة ygr، تساوي ثلاثة x تربيع، لأن أي x تكون المساواة صحيحة: مشتق x المكعب يساوي ثلاثة x تربيع.

3. وظيفة اللاعب يساوي جيب x هو مشتق عكسي للدالة y، يساوي جيب تمام x، حيث أن المساواة تنطبق على أي x: مشتق جيب تمام x يساوي جيب تمام x.

4. الدالة ygrek، التي تساوي جذر x، هي مشتق عكسي للدالة ygrek، تساوي واحدًا، مقسومًا على اثنين، جذر x، على الفترة من صفر إلى ما لا نهاية، لأنه لأي x أكبر من الصفر المساواة يحمل: مشتق جذر x يساوي واحدًا، وجذر x مقسومًا على اثنين.

بمعرفة صيغ إيجاد المشتقات، ليس من الصعب إنشاء جدول للمشتقات العكسية:

1. المشتق العكسي للصفر يساوي ثابتًا.

2. المشتق العكسي للوحدة يساوي x.

3. المشتق العكسي لـ x يساوي x تربيع مقسومًا على اثنين.

4. المشتق العكسي للدالة x للأس en، en ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، يساوي x للأس en زائد واحد مقسومًا على en زائد واحد.

5. المشتق العكسي للدالة واحد مقسومًا على x تربيع يساوي سالب واحد مقسومًا على x.

6. المشتق العكسي للدالة واحد مقسومًا على الجذر x يساوي اثنين الجذر x، وx أكبر من الصفر.

7. المشتق العكسي لدالة الجيب x يساوي ناقص جيب التمام x.

8. المشتق العكسي للدالة جيب التمام x يساوي جيب التمام x.

9. المشتق العكسي للدالة واحد مقسومًا على جيب التمام x تربيع يساوي ناقص ظل التمام x.

10. المشتق العكسي للدالة واحد مقسومًا على جيب التمام x تربيع يساوي tan x.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المشتق العكسي للوظائف المختلفة.

التمرين 1

أثبت أن الدالة هي مشتقة عكسية للدالة إذا كانت المشتقة العكسية للدالة تساوي x أس ستة، فإن الدالة نفسها تساوي ستة x أس خمسة.

حل:

1. من خلال تعريف المشتق العكسي، فإن الدالة ygr، التي تساوي ef كبير لـ x، تسمى مشتق عكسي للدالة ygr، تساوي ef صغير لـ x، في فاصل زمني معين x كبير، إذا كان لأي x ينتمي إلى فترة معينة يتم استيفاء المساواة: .

2. دعونا نوجد المشتقة الكبيرة باستخدام صيغة إيجاد مشتقة دالة القدرة، وهي تساوي ستة x أس خمسة.

لقد حصلنا على تساوي تعبيرين، وهو ما يعني، من خلال تعريف المشتق العكسي، أن الدالة ef كبيرة، تساوي x أس ستة، هي مشتق عكسي للدالة ef صغير، تساوي ستة x أس خمسة.

المهمة 2

بالنسبة للدالة (y، تساوي ef لـ x صغيرة)، أوجد المشتق العكسي if

(ef لـ x يساوي سالب واحد مقسومًا على x مكعب).

حل:

1. من خلال تعريف قوة ذات أس عدد صحيح سالب، دعونا نتخيل التعبير ناقص واحد مقسومًا على x مكعب على النحو التالي: ناقص x مرفوعًا للأس الثالث.

2. باستخدام صيغة إيجاد المشتق العكسي لدالة القوة، نجد المشتق العكسي للدالة ef لـ x، يساوي ناقص x أس ناقص ثالث.

نحصل على سالب x أس سالب ثلاثة زائد واحد مقسومًا على سالب ثلاثة زائد واحد.

بتبسيط التعبير، لدينا ناقص x أس ناقص اثنين، مقسومًا على ناقص اثنين، وتقليل السالبات، نحصل على: x أس ناقص اثنين، مقسومًا على اثنين.

من خلال تعريف القوة ذات الأس الصحيح السالب، نقدم التعبير على النحو التالي: واحد مقسوم على اثنين × مربع.

وبالتالي، فإن المشتق العكسي للدالة ef لـ x صغير، يساوي سالب واحد، مقسومًا على x مكعب، هو الدالة ef كبير، يساوي واحدًا، مقسومًا على اثنين x تربيع.

وترد الطرق الرئيسية للتكامل وظائف غير عقلانية(الجذور). وهي تشمل: تكامل اللاعقلانية الكسرية الخطية، التفاضلية ذات الحدين، التكاملات مع الجذر التربيعي لثلاثية الحدود المربعة. يتم إعطاء الاستبدالات المثلثية وبدائل أويلر. بعض التكاملات الإهليلجية معبر عنها بدلالة وظائف أولية.

الدالة غير المنطقية للمتغير هي دالة تتكون من متغير وثوابت عشوائية باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب (الرفع إلى قوة عددية) والقسمة وأخذ الجذور. تختلف الوظيفة غير العقلانية عن الوظيفة العقلانية من حيث أن الوظيفة غير العقلانية تحتوي على عمليات لاستخراج الجذور.

هناك ثلاثة أنواع رئيسية من الدوال غير المنطقية، والتي يتم تقليل التكاملات غير المحددة منها إلى تكاملات الدوال الكسرية. هذه تكاملات تحتوي على جذور قوى الأعداد الصحيحة التعسفية دالة خطية كسرية(يمكن أن تكون الجذور بدرجات مختلفة، ولكن من نفس الوظيفة الكسرية الخطية)؛ تكاملات ذات الحدين التفاضلية والتكاملات مع الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة.

ملاحظة مهمة. الجذور لها معاني متعددة!

عند حساب التكاملات التي تحتوي على جذور، غالبًا ما نواجه تعبيرات النموذج حيث توجد بعض الوظائف متغير التكامل. وينبغي أن يؤخذ في الاعتبار ذلك. وهذا هو، في ر> 0 , |t| = ر. في ر< 0 , |t| = - ر .لذلك، عند حساب هذه التكاملات، من الضروري النظر بشكل منفصل في الحالات t > 0 و ت< 0 . ويمكن القيام بذلك عن طريق كتابة العلامات أو حيثما كان ذلك ضروريا. على افتراض أن العلامة العلوية تشير إلى الحالة t> 0 والسفلي - للحالة ر< 0 . مع مزيد من التحول، تميل هذه العلامات إلى إلغاء بعضها البعض.

النهج الثاني ممكن أيضا، حيث وظيفة التكاملويمكن اعتبار نتيجة التكامل وظائف شاملةمن المتغيرات المعقدة إذًا ليس عليك الانتباه إلى العلامات الموجودة في التعبيرات المتطرفة. ينطبق هذا النهج إذا كان التكامل تحليليًا، أي دالة قابلة للتفاضل لمتغير معقد. في هذه الحالة، يعتبر التكامل وتكامله دوال متعددة القيم. لذلك، بعد التكامل، عند استبدال القيم العددية، من الضروري تحديد فرع أحادي القيمة (سطح ريمان) من التكامل، وله تحديد الفرع المقابل لنتيجة التكامل.

اللاعقلانية الخطية الكسرية

هذه تكاملات لها جذور من نفس الدالة الخطية الكسرية:
,
حيث R هي دالة عقلانية، وهي أرقام عقلانية، m 1، n 1، ...، m s، n s أعداد صحيحة، α، β، γ، δ - أرقام حقيقية.
مثل هذه التكاملات تختزل إلى تكامل العقلاني وظائف الاستبدال:
، حيث n هو القاسم المشترك للأرقام r 1، ...، r s.

قد لا تأتي الجذور بالضرورة من دالة كسرية خطية، ولكن أيضًا من دالة خطية (γ = 0 , δ = 1)، أو على متغير التكامل x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

فيما يلي أمثلة على هذه التكاملات:
, .

التكاملات من ذوات الحدين التفاضلية

التكاملات من ذوات الحدين التفاضليةلديك النموذج:
,
حيث m، n، p هي أرقام نسبية، وa، b أرقام حقيقية.
يتم تقليل هذه التكاملات إلى تكاملات الدوال العقلانية في ثلاث حالات.

1) إذا كان p عدداً صحيحاً. الاستبدال x = t N، حيث N هو القاسم المشترك للكسرين m و n.
2) إذا - عدد صحيح. التعويض a x n + b = t M، حيث M هو مقام الرقم p.
3) إذا - عدد صحيح. الاستبدال a + b x - n = t M، حيث M هو مقام الرقم p.

وفي حالات أخرى، لا يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

في بعض الأحيان يمكن تبسيط هذه التكاملات باستخدام صيغ الاختزال:
;
.

التكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لثلاثية حدود مربعة

هذه التكاملات لها الشكل:
,
حيث R هي دالة عقلانية. لكل تكامل من هذا القبيل هناك عدة طرق لحله.
1) يؤدي استخدام التحويلات إلى تكاملات أبسط.
2) تطبيق البدائل المثلثية أو الزائدية.
3) تطبيق بدائل أويلر.

دعونا نلقي نظرة على هذه الأساليب بمزيد من التفصيل.

1) تحويل الدالة التكاملية

بتطبيق الصيغة وإجراء التحويلات الجبرية، نقوم بتبسيط الدالة التكاملية إلى النموذج:
,
حيث φ(x)، ω(x) هي وظائف عقلانية.

النوع I

تكامل النموذج:
,
حيث P n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n.

تم العثور على هذه التكاملات بهذه الطريقة معاملات غير مؤكدةباستخدام الهوية:

.
بتفاضل هذه المعادلة ومساواة الطرفين الأيسر والأيمن نجد المعاملات A i.

النوع الثاني

تكامل النموذج:
,
حيث P m (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة m.

استبدال ر = (س - α) -1يتم تقليل هذا التكامل إلى النوع السابق. إذا كان m ≥ n، فيجب أن يحتوي الكسر على جزء صحيح.

النوع الثالث

هنا نقوم بالاستبدال:
.
وبعد ذلك سوف يأخذ التكامل الشكل:
.
بعد ذلك، يجب اختيار الثوابت α، β بحيث تصبح معاملات t في المقام صفرًا:
ب = 0، ب 1 = 0.
ثم يتحلل التكامل إلى مجموع التكاملات من نوعين:
,
,
والتي يتم دمجها عن طريق البدائل:
ش 2 = أ 1 ر 2 + ج 1،
الخامس 2 = أ 1 + ج 1 ر -2 .

2) البدائل المثلثية والزائدة

بالنسبة لتكاملات النموذج أ > 0 ,
لدينا ثلاثة بدائل رئيسية:
;
;
;

بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
لدينا البدائل التالية:
;
;
;

وأخيرًا، بالنسبة للتكاملات، أ > 0 ,
البدائل هي كما يلي:
;
;
;

3) بدائل أويلر

أيضًا، يمكن اختزال التكاملات إلى تكاملات الدوال الكسرية لواحدة من بدائل أويلر الثلاثة:
، ل> 0؛
, ل ج > 0 ;
، حيث x 1 هو جذر المعادلة a x 2 + b x + c = 0. إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية.

التكاملات الاهليلجية

في الختام، النظر في تكاملات النموذج:
,
حيث R هي دالة عقلانية. تسمى هذه التكاملات إهليلجية. في منظر عامولا يتم التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية. ومع ذلك، هناك حالات عندما تكون هناك علاقات بين المعاملات A، B، C، D، E، حيث يتم التعبير عن هذه التكاملات من خلال الوظائف الأولية.

فيما يلي مثال يتعلق بمتعددات الحدود الانعكاسية. يتم حساب هذه التكاملات باستخدام البدائل:
.

مثال

حساب التكامل:
.

حل

دعونا نجعل الاستبدال.

.
هنا في x> 0 (ش> 0 ) خذ العلامة العلوية ′+ ′. في العاشر< 0 (ش< 0 ) - أدنى '- '.

.

إجابة

مراجع:
ن.م. غونتر، ر.و. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

في السابق، بالنظر إلى دالة معينة، مسترشدة بصيغ وقواعد مختلفة، وجدنا مشتقها. للمشتق استخدامات عديدة: فهو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ المعامل الزاوي للظل للرسم البياني للوظيفة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص دالة للرتابة والنقاط القصوى؛ فهو يساعد على حل مشاكل التحسين.

ولكن إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، هناك أيضًا مشكلة عكسية - مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.

مثال 1.تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم، وسرعتها عند الزمن t تعطى بالصيغة v=gt. العثور على قانون الحركة.
حل. دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. من المعروف أن s"(t) = v(t). وهذا يعني أنه لحل المشكلة، عليك تحديد دالة s = s(t)، مشتقها يساوي gt. ليس من الصعب تخمينها أن \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ كدوت 2t = GT\)
الإجابة: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد حصلنا على \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). في الواقع، المشكلة لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة على الشكل \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\)، حيث C ثابت اعتباطي، يمكن أن تكون بمثابة قانون لـ الحركة، منذ \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

لجعل المشكلة أكثر تحديدًا، كان علينا إصلاح الموقف الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال عند t = 0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة s(t) = (gt 2)/2 + C نحصل على: s(0) = 0 + C، أي C = s 0. الآن تم تعريف قانون الحركة بشكل فريد: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

في الرياضيات، يتم تعيين العمليات العكسية المتبادلة أسماء مختلفة، توصل إلى رموز خاصة، على سبيل المثال: التربيع (x 2) والجذر التربيعي (\(\sqrt(x)\)) والجيب (sin x) وarcsine (arcsin x)، وما إلى ذلك. عملية إيجاد المشتق فيما يتعلق بوظيفة معينة تسمى التفاضل، أ عملية عكسية، أي عملية العثور على دالة من مشتق معين، - اندماج.

يمكن تبرير مصطلح "مشتق" في حد ذاته "في الحياة اليومية": الوظيفة y = f(x) "تنتج" ميزة جديدةص" = و"(خ). تعمل الدالة y = f(x) بمثابة "الوالد"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يطلقون عليها اسم "الوالد" أو "المنتج"، بل يقولون إنها كذلك بالنسبة إلى الدالة y" = f"( x) أو الصورة الأساسية أو البدائية.

تعريف.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) على الفاصل الزمني X إذا كانت المساواة F"(x) = f(x) تنطبق على \(x \in X\)

من الناحية العملية، عادة لا يتم تحديد الفاصل الزمني X، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).

دعونا نعطي أمثلة.
1) الدالة y = x 2 هي مشتق عكسي للدالة y = 2x، لأنه لأي x تكون المساواة (x 2)" = 2x صحيحة
2) الدالة y = x 3 هي مشتق عكسي للدالة y = 3x 2، لأنه بالنسبة لأي x تكون المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة
3) الدالة y = sin(x) هي مشتق عكسي للدالة y = cos(x)، لأنه لأي x المساواة (sin(x))" = cos(x) صحيحة

عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نحن نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقاته. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

المادة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.

نحن نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 2.إذا كان F(x) هو مشتق عكسي لـ f(x)، فإن kF(x) هو مشتق عكسي لـ kf(x).

النظرية 1.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y = f(kx + m) هو الدالة \(y=\frac(1)(k)F (ك س + م) \)

النظرية 2.إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x) في الفترة X، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، وجميعها لها الشكل y = F(x) + ج.

طرق التكامل

طريقة الاستبدال المتغيرة (طريقة الاستبدال)

تتضمن طريقة التكامل بالاستبدال إدخال متغير تكامل جديد (أي الاستبدال). في هذه الحالة، يتم تقليل التكامل المحدد إلى تكامل جديد، والذي يكون جدوليًا أو قابلاً للاختزال إليه. الطرق الشائعةلا يوجد اختيار للبدائل. يتم اكتساب القدرة على تحديد الاستبدال بشكل صحيح من خلال الممارسة.
فليكن من الضروري حساب التكامل \(\textstyle \int F(x)dx \). لنجري الاستبدال \(x= \varphi(t) \) حيث \(\varphi(t) \) هي دالة لها مشتق مستمر.
ثم \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) وبناء على خاصية الثبات لصيغة التكامل للتكامل غير المحدد نحصل على صيغة التكامل عن طريق التعويض:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

تكامل تعبيرات النموذج \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

إذا كانت m فردية، m > 0، فمن الأفضل إجراء الاستبدال sin x = t.
إذا كانت n فردية، n > 0، فمن الأفضل إجراء الاستبدال cos x = t.
إذا كان n وm متساويين، فمن الأفضل إجراء الاستبدال tg x = t.

تكامل اجزاء

التكامل بالأجزاء - تطبيق الصيغة التالية للتكامل:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
أو:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الدوال

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) × +C $$